令 $v=\big( \Omega ,{\cal F},\left( {\cal F}_{t}\right) _{t\geq 0},P,W\big) $ 为一个概率系统. 它由一个完备的概率空间 $\left( \Omega ,{\cal F},P\right),$ 满足通常假设的右连续和完备的信息簇 $ \left( {\cal F}_{t}\right) _{t\geq 0}$以及一个定义在$\left( \Omega ,{\cal F} ,P\right) $上的$d$ -维 $\left( {\cal F}_{t}\right) $布朗运动 $W$ 组成.

令 $U$ 为${\Bbb R}^{n}$中一开集合. 特别地,考虑一个由随机微分方程驱动的连续鞅$X$, 该随机微分方程的系数依赖过程的路径,在这样的意义下,当然是非马尔科夫情形. 更为精确的是,该随机微分方程如下定义

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\rm d}X^{\chi _{t}}\left( r\right) = \mu \left( X_{r}^{\chi _{t}}\right) {\rm d}r+\sigma \left( X_{r}^{\chi _{t}}\right) {\rm d}W\left( r\right) ,\mbox{}t<r,\\ ~ X^{\chi _{t}}\left( s\right) = \chi _{t}\left( s\right) ,\mbox{ 如果 }\ 0\leq s\leq t, \end{array} \right. \label{1.1} \end{equation}

(1.1)

其中记 $\chi _{t}\in \Lambda _{U_{t}}$ 为所有的右连续左极限定义在$\left[0,t\right] $取值于$U$的函数的全体. $ \mu $ 和 $\sigma $ 为定义在 $\Lambda $ 上的泛函,其中$\Lambda $ 记为义在$\left[0,t\right],$ 对于 $\forall t>0$所有右连续左极限定, 取值于${\Bbb R}^{n}$的函数全体. 此外,记 $\chi \left( t\right) $ 为$\chi $在$t$时刻的取值,记$\chi _{t}$ 为$\left[0,t\right] $上的限制,类似定义于$X^{\chi _{t}}$.

一个自然的问题是,如果 $\chi _{t}\in \Lambda _{U_{t}}$,在什么条件下我们能断言 \begin{eqnarray*} X^{\chi _{t}}\left( r\right) \in U,r\in \left[t,+\infty \right), ~ \mbox{$P$ -几乎必然,} \end{eqnarray*} 我们借助于生存性理论来研究该问题(详见文献 []).

记 ${\cal K}$为 ${\Bbb R}^{n}$中一个闭子集. 我们说 $ {\cal K}$ 对于方程(1.1)是具有生存性的当且仅当对于任意的 $\chi _{t}\in \Lambda _{{\cal K}_{t}}$,随机微分方程(1.1)的解满足

\begin{equation} X^{\chi _{t}}\left( s\right) \in {\cal K},\forall s\geq t,~ \mbox{$P$ -几乎必然.} \label{1.2} \end{equation}

(1.2)

事实上,经典系统闭集${\cal K}$上的生存性性质已经被广泛研究. 我们提醒读者, 确定系统可参阅著作^[1]. 对于随机系统,可通过以下方法得到: 通过随机切锥^{[1, 2, 3, 4, 5]},偏微分方程粘性解理论见文献[]. 在文献[11]中,为研究在${\Bbb R}^{n}$中有 界开集下扩散过程转移半群不变测度存在唯一性,作者研究了一类马尔 科夫系统在逐片光滑有界开集下测度的不变性质. 受该文献启发,我们考虑系统(1.1) 在有界开集的生存性性质.

最近,Dupire^[12] 给泛函定义一种导数. Cont和 Fourniè^[13] 使用这种导数在右连左极空间推广了 Fellmer's^[14] 路径变量 公式到非延迟泛函. 他们的结果推广连续半鞅在开集上伊藤公式泛函 (参见文献[13,命题 7]). 基于以上工作,我们使用推广的伊藤积分去研究轨道依赖系统的生存性性质.

本文如下安排: 在第二节预备性知识后,我们在第三节给出光滑区域生存性结果.

本文中,记号主要取自于文献 [13, ]以及文献[12]. 对于一个右连左极轨道 $x\in D\left( \left[0,T\right] ,{\Bbb R}^{n}\right) ,$ 记 $x\left( t\right) $ 为$x$ 在 $t$ 时刻的取值,记 $x_{t}=\left( x\left( u\right) ,0\leq u\leq t\right) $ 为$x$在时间区间$\left[0,t\right] $上的限制. 因此 $x_{t}\in D\left( \left[0,t\right] ,{\Bbb R}^{n}\right) .$ 类似,对于一个随机过程 $X$ 我们将记 $X\left( t\right) $ 在时刻 $t$的取值以及 $X_{t}=\left( X\left( u\right) , 0\leq u\leq t\right) $ 轨道在时间区间 $ \left[0,t\right] $上的限制.

令 $T>0$ 为一个固定的时间点,$U\subset {\Bbb R}^{n}$ 为一个${\Bbb R}^{n}$中的开子集, $S\subset {\Bbb R}^{m}$ 为${\Bbb R}^{m}$中一个 Borel 子集. 我们记$\partial U$为集合 $U$的边界,$U$的闭包记为 $\overline{U}=U\cup \partial U.$ 我们称$f:\left[0,T\right] \mapsto U$,textquotedblleft $U$ -值 右连续左极限textquotedblright 函数,对于每一个 $t\in \left[0,T\right] ,$ $f\left( t-\right) \in U.$ 记 ${\cal U}_{t}=D\left( \left[0,t\right] ,U\right) $ (类似 ${\cal S}_{t}=D\left( \left[0,t\right] ,S\right) $) $ U$ -值右连续左极限函数空间(类似 $S$),以及 $C_{0}\left( \left[0,t\right] ,U\right) $ 为取值于$U$的连续函数空间.

定义2.1 (轨道空间的非延迟泛函) 一个作用在${\cal U}_{T}$上的非延迟泛函是一簇 $F=\left( F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] }$ 映射 $$ F_{t}:{\cal U}_{t}\rightarrow {\Bbb R}. $$

本文考虑如下的非延迟泛函 $$ F=\left( F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] },F_{t}:{\cal U} _{t}\times {\cal S}_{t}\rightarrow {\Bbb R}, $$ 其中 $F$ 有一个关于第二个变量 textquotedblleft 可料的textquotedblright 性质

\begin{equation} \forall t\in \left[0,T\right] ,~ \forall \left( x,v\right) \in {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t},F_{t}\left( x_{t},v_{t}\right) =F_{t}\left( x_{t},v_{t-}\right) . \label{2.1} \end{equation}

(2.1)

$F$ 可看成是作用在向量束上的泛函 $\Upsilon ^{U\times S}=\bigcup\limits _{t\in \left[0,T\right] }{\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}.$

对每一个 $\gamma _{t}\in {\cal U}_{t}$ 记% $$ \gamma _{t,\delta }\left( s\right) =\left\{ \begin{array}{ll} \gamma _{t}\left( s\right) ,~~& \mbox{对于 }\ 0\leq s<t,\\ \gamma _{t}\left( t\right) ,& \mbox{对于 }\ t\leq s\leq t+\delta , \end{array} \right. $$ 以及对于 $x\in {\Bbb R}^{n}$ 充分小 $$ \gamma _{t}^{x}\left( s\right) =\left\{ \begin{array}{ll} \gamma \left( s\right) ,& \mbox{对于 }\ 0\leq s<t,\\ \gamma \left( t\right) +x,~~& \mbox{对于 }\ s=t. \end{array} \right. $$ 显然,$\gamma _{t,\delta }\in {\cal U}_{t+\delta }.$ 我们同样记 $$ \left( \gamma _{t}^{x}\right) _{t,\delta }\left( s\right) =\left\{ \begin{array}{ll} \gamma \left( s\right) ,& \mbox{对于 }\ 0\leq s<t,\\ \gamma \left( t\right) +x,~~& \mbox{对于 }\ t\leq s\leq t+\delta . \end{array} \right. $$ 设 $\bar{\gamma}_{\bar{t}},$ $\gamma _{t}\in {\cal U}_{t}$ 为给定且满足 $\bar{t}\leq t,$ 我们记 $\bar{\gamma}_{\bar{t}}\oplus \gamma _{t}\in {\cal U}_{t}$ 为 $$ \bar{\gamma}_{\bar{t}}\oplus \gamma _{t}=\left\{ \begin{array}{ll} \bar{\gamma}_{\bar{t}}\left( s\right) ,~~& \mbox{对于 }\ 0\leq s<\bar{t},\\ \gamma _{t}\left( s\right) ,& \mbox{对于 }\ \bar{t}\leq s<t. \end{array} \right. $$ 我们现引入两条轨道间的距离,没有必要规定在相同的时间区间. 对于 $T\geq t^{\prime }=t+h\geq t\geq 0,$ $\left( x,v\right) \in {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}$ 以及 $\left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \in D\left( \left[0,t+h\right] ,{\Bbb R}^{n}\right) \times {\cal S}_{t+h}$ 定义 $$ \left\Vert x\right\Vert =\sup\limits_{0\leq s\leq t}\left\vert x_{t}\left( s\right) \right\vert , $$

$$ d_{\infty }\left( \left( x,v\right) ,\left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \right) =\sup\limits_{r\in \left[0,t+h\right] }\left\vert x_{t,h}\left( r\right) -x^{\prime }\left( r\right) \right\vert +\sup\limits_{r\in \left[ 0,t+h\right] }\left\vert v_{t,h}\left( r\right) -v^{\prime }\left( r\right) \right\vert +h. $$ $\left( \Upsilon ^{U\times S},d_{\infty }\right) $ 是一个距离空间.

定义2.2 (固定时间点的连续性) 一个非延迟泛函 $F=\left( F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] }$ 被叫做固定时间连续,如果对于任意的 $t\leq T,$ $F_{t}: {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}\rightarrow {\Bbb R}$ 对于supremum范数是连续的.

定义2.3 (左连续泛函) 定义 ${\Bbb F}_{l}^{\infty }$ 作为泛函$F=\left( F_{t},t\in \left[0,T\right] \right) $的集合,满足 $$ \forall t\in \left[0,T\right] ,~ \varepsilon >0,~ \forall \left( x,v\right) \in {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t},~ \exists \eta >0,~ \forall h\in \left[0,t\right] , $$ $$ \forall \left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \in {\cal U}_{t-h}\times {\cal S}_{t-h},~ d_{\infty }\left( \left( x,v\right) ,\left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \right) <\eta \Rightarrow \left\vert F_{t}\left( x,v\right) -F_{t-h}\left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \right\vert <\varepsilon . $$

定义2.4 (右连续泛函) 定义 ${\Bbb F}_{r}^{\infty }$ 作为泛函 $F=\left( F_{t},t\in \left[0,T\right] \right) $ 的集合,满足 $$ \forall t\in \left[0,T\right] ,~ \varepsilon >0,~ \forall \left( x,v\right) \in {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t},~ \exists \eta >0,~ \forall h\in \left[0,T-t\right] , $$ $$ \forall \left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \in {\cal U}_{t+h}\times {\cal S}_{t+h},~ d_{\infty }\left( \left( x,v\right) ,~ \left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \right) <\eta \Rightarrow \left\vert F_{t}\left( x,v\right) -F_{t+h}\left( x^{\prime },v^{\prime }\right) \right\vert <\varepsilon . $$ 记 ${\Bbb F}^{\infty }={\Bbb F}_{l}^{\infty }\cap {\Bbb F }_{r}^{\infty }$ 为非延迟连续泛函的集合.

定义2.5 (有界保存泛函) 定义 ${\Bbb B}$ 为非延迟泛函 $F$ 的集合,使得对于任意的紧集 $K\subset U$ 以及对于任意的 $R>0$,存在常数 $C_{K,R}>0$ 使得 $$ \forall t\leq T,~ \forall \left( x,v\right) \in D\left( \left[0,t \right] ,K\right) \times {\cal S}_{t}, $$ $$ \sup\limits_{s\in \left[0,t\right] }\left\vert v\left( s\right) \right\vert <R\Rightarrow \left\vert F_{t}\left( x,v\right) \right\vert <C_{K,R}. $$

接下来,我们引入两类非延迟泛函轨道意义下的导数定义 $F=\left( F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] }$: 水平导数和垂直导数.

定义2.6 (水平导数) 非延迟泛函$F=\left( F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] }$在点 $\left( x,v\right) \in {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}$ 的水平导数定义为

\begin{equation} {\cal D}_{t}F\left( x,v\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{ F_{t+h}\left( x_{t,h},v_{t,h}\right) -F_{t}\left( x,v\right) }{h}, \label{2.2} \end{equation}

(2.2)

如果相应的极限存在. 如果 (2.2) 式对于所有的 $\left( x,v\right) \in \Upsilon $都成立,映射 \begin{eqnarray*} {\cal D}_{t}F:{\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}\mapsto {\Bbb R}^{d}, ~ \left( x,v\right) \rightarrow {\cal D}_{t}F\left( x,v\right) \end{eqnarray*} 定义了一类非延迟泛函 ${\cal D}F=\left( {\cal D} _{t}F\right) _{t\in \left[0,T\right] },$ $F$的水平的导数.

定义2.7 (Dupire 导数) 一个非延迟泛函 $F=\left( F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] }$ 被叫做在点 $\left( x,v\right) \in D( \left[0,t\right] ,$ ${\Bbb R}^{n}) \times D\left( \left[0,t\right] , {\Bbb S}_{n}^{+}\right) $ 是垂直可微的,如果 \begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} {\Bbb R}^{n} & \rightarrow & {\Bbb R} \\ \mbox{ }e & \rightarrow & F_{t}\left( x_{t}^{e},v_{t}\right) \end{array} \end{eqnarray*} 在$0$点可微. 在 $0$点的导数为 \begin{eqnarray*} \nabla _{x}F_{t}\left( x,v\right) =\left( \partial _{i}F_{t}\left( x,v\right) ,i=1,\cdots ,d\right), \end{eqnarray*} 其中

\begin{equation} \partial _{i}F_{t}\left( x,v\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{ F_{t}\big( x_{t}^{he_{i}},v\big) -F_{t}\left( x,v\right) }{h} \label{2.3} \end{equation}

(2.3)

叫做$F_{t}$在点$\left( x,v\right) $垂直可微. 如果(2.3) 式对于所有的$\left( x,v\right) \in \Upsilon $都成立,那么垂直导数 \begin{eqnarray*} \nabla _{x}F:{\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}\mapsto {\Bbb R}^{n}, ~ \left( x,v\right) \rightarrow \nabla _{x}F_{t}\left( x,v\right) \end{eqnarray*} 定义了一类取值于${\Bbb R}^{n}$的非延迟泛函 $\nabla _{x}F=\left( \nabla _{x}F_{t}\right) _{t\in \left[0,T\right] }$.

注2.1 如果一个垂直可微泛函满足 (2.1)式,那么它的垂直导数同样满足 (2.1)式.

注2.2 如果 $F_{t}\left( x,v\right) =f\left( t,x\left( t\right) \right) $ 而 $f\in C^{1,1}\left( \left[0,T\right) \times {\Bbb R} ^{n}\right) $ 那么我们得到经典导数 \begin{eqnarray*} {\cal D}_{t}F_{t}\left( x,v\right) =\partial _{t}f\left( t,x\left( t\right) \right) ,\nabla _{x}F_{t}\left( x,v\right) =\nabla _{x}f\left( t,x\left( t\right) \right) . \end{eqnarray*}

注2.3 如果 $F$ 对于第二个变量是可料的,这蕴含 对于任意的 $t\in \left[0,T\right] ,$ $F_{t}\left( x_{t},v_{t}^{e}\right) =F_{t}\left( x_{t},v_{t}\right) $ 类似关于变量$v$导数的概念,在条件(2.1)下 等于零.

定义2.8 令 $I\subset \left[0,T\right] $ 是$\left[0,T\right]$中一子区间. 定义 ${\Bbb C}^{j,k}\left( I\right) $ 为一类非延迟泛函的集合 $F=\left( F_{t}\right) _{t\in I}$ 使得

$ \bullet F$ 在固定时间连续: $F_{t}:{\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t}\mapsto {\Bbb R}$对于supremum范数连续.

$ \bullet F$ 具有在所有点$\left( x,v\right) \in {\cal U}_{t}\times {\cal S}_{t},$ $t\in I$$j$次水平导数以及$k$次垂直导数.

$\bullet {\cal D}^{m}F$,$m\leq j,$ $\nabla _{x}^{n}F,$ $n\leq k$ 在固定时间是连续的 $t\in I.$
我们现在陈述一个结果 (取自于文献[13,命题 7]).

命题2.1 (开集上连续半鞅泛函伊藤公式) 令 $X$ 是一个定义在完备概率空间$\big( \tilde{\Omega},{\tilde{\cal F}},{\tilde{ \cal F}}_{t},$ $P\big) $上,取值于${\Bbb R}^{n}$中开领域$ U $的连续半鞅,其二次变差过程记为 $\left[X \right] .$ 那么对于任意的非延迟泛函 $F\in {\Bbb C} ^{1,2}\left( \left[0,T\right) \right) $ 满足

(a) $F$ 关于第二个变量是可料的,也就是满足 (2.1)式;

(b) $\nabla _{x}F,$ $\nabla _{x}^{2}F,$ ${\cal D}F\in {\Bbb B}$;

(c) $F\in {\Bbb F}_{l}^{\infty }$;

(d) $\nabla _{x}F,$ $\nabla _{x}^{2}F\in {\Bbb F}_{r}^{\infty }$. 我们有 \begin{eqnarray*} F_{s}\left( X_{s},A_{s}\right) -F_{t}\left( X_{t},A_{t}\right) &=&\int_{t}^{s}{\cal D}_{u}F\left( X_{u},A_{u}\right) {\rm d}u+\frac{ 1}{2}\int_{t}^{s}\mbox{Tr}\left[^{t}\nabla _{x}^{2}F_{u}\left( X_{u},A_{u}\right) {\rm d}\left[X\right] \left( u\right) \right] \\ &&+\int_{t}^{s}\nabla _{x}F_{u}\left( X_{u},A_{u}\right) {\rm d}X\left( u\right) ,~ \mbox{$P$ -几乎必然,} \end{eqnarray*}% 其中最后一项是关于$X$的伊藤随机积分.

现考虑如下由方程(1.1)驱动的连续半鞅$X$,并记 $$ \left[X\right] \left( s\right) =\int_{t}^{s}\sigma \left( X_{r}\right) \sigma ^{\ast }\left( X_{r}\right) {\rm d}r=\int_{t}^{s}A\left( r\right) {\rm d}r $$ 为它的二次变差过程. 从今以后,记 $A\left( r\right) =\sigma \left( X_{r}\right) \sigma ^{\ast }\left( X_{r}\right) $, 取值于对称$n\times n$ 正定矩阵${\Bbb S}_{n}^{+}$,同样具有右连左极性质. 我们定义一对 $\left( X_{r},A_{r}\right) =\left( X_{r},\sigma \left( X_{r}\right) \sigma ^{\ast }\left( X_{r}\right) \right) $. 注意到 $A$ 可能不是半鞅. 特别地,$F\left( X_{u},A_{u}\right) =F\left( X_{u},A_{u-}\right) $,其中 $A_{u-}$ 记为定义在$\left[0,t\right] $的轨道 $$ A_{u-}\left( r\right) =A\left( r\right) ,~ r\in \left[0,u\right) ,A_{u-}\left( u\right) =A\left( u-\right) . $$

为下文,令 $U$ 为${\Bbb R}^{n}$中一开子集,其有非空边界$\partial U$ 并记闭包为 $\overline{U}.$ 接下来,我们引入一些有用的记号, 主要取自于文献 [17]并加以适当修改. $$ \Lambda _{U_{t}} \triangleq \left\{ \gamma _{t}\in D\left( \left[0,t \right] ,{\Bbb R}^{n}\right) :\gamma \left( s\right) \in U,~ s\in \left[0,t\right] \right\} , $$ $$ \Lambda _{U} \triangleq \bigcup _{t\in \left[0,+\infty \right) }\Lambda _{U_{t}}, $$ $$ \Lambda _{\overline{U}_{t}} \triangleq \left\{ \gamma _{t}\in D\left( \left[0,t\right] ,{\Bbb R}^{n}\right) :\gamma \left( s\right) \in U,s\in \left[0,t\right) ,\gamma \left( t\right) \in \overline{U}\right\} , $$ $$ \Lambda _{\overline{U}} \triangleq \bigcup _{t\in \left[0,+\infty \right) }\Lambda _{\overline{U}_{t}}, $$ $$ \Lambda _{\partial U_{t}} \triangleq \left\{ \gamma _{t}\in D\left( \left[ 0,t\right] ,{\Bbb R}^{n}\right) :\gamma \left( s\right) \in U,s\in \left[ 0,t\right) ,\gamma \left( t\right) \in \partial U\right\} , $$ $$ \Lambda _{\partial U} \triangleq \bigcup _{t\in \left[0,+\infty \right) }\Lambda _{\partial U_{t}}, $$ $$ \Lambda \triangleq \bigcup _{t\in \left[0,+\infty \right) }D\left( \left[0,t \right] ,{\Bbb R}^{n}\right) . $$ 对于随机微分方程(1.1),我们作出以下假设

(H1) $\mu $ 和 $\sigma $ 是两泛函满足 $$ \left\{ \begin{array}{lllll} \mu : \Lambda \rightarrow {\Bbb R}^{n},\\ \sigma : \Lambda \rightarrow {\Bbb R}^{n\times d}. \end{array} \right. $$

(H2) $\mu $ 和 $\sigma $ 满足李普希兹条件,也就是存在一个正常数 $C_{1}>0$使得 $$ \left\vert \mu \left( x_{t}\right) -\mu \left( x_{t}^{\prime }\right) \right\vert +\left\vert \sigma \left( x_{t}\right) -\sigma \left( x_{t}^{\prime }\right) \right\vert \leq C_{1}\left\Vert x_{t}-x_{t}^{\prime }\right\Vert ,\ \mbox{ 对于 }\ x_{t},~ x_{t}^{\prime }\in \Lambda , $$ 并满足线性增长,也就是 存在常数 $C_{2}>0$ 使得 $$ \left\vert \mu \left( x_{t}\right) \right\vert +\left\vert \sigma \left( x_{t}\right) \right\vert \leq C_{2}\left( 1+\left\Vert x_{t}\right\Vert \right) ,\ \mbox{ 对于}\ x_{t}\in \Lambda .$$

注2.4 注意到 $\mu $ 和 $\sigma $ 不一定是非延迟泛函.

引理2.1 假设条件(H1)--(H2) 成立. 那么随机微分方程(1.1)存在一个唯一强解.

证明可见文献 [22]中 章节IX的 定理 2.1.

本文中,我们仍然需要以下记号,主要取自于 文献[11].

$\bullet 记 C^{2,1}\left( A\right) $ 为所有的在集合 $A$上可微函数集合, 且二阶导数为李普希兹有界,其中$A$是${\Bbb R}^{n}$中一开子集.

$\bullet 记 S\subset {\Bbb R}^{n}$ 为一非空集合. 我们记 $d_{S}$ 为欧几里得空间到集合$S$的距离,也就是 $$ d_{S}\left( x\right) =\inf\limits_{y\in S}\left\vert x-y\right\vert ,\qquad \forall x\in {\Bbb R}^{n}. $$ 如果 $S$ 是闭集,那么以上的 infimum 是最小化,使其最小化的集合被叫做在$S$ 上的投影$x\in {\Bbb R}^{n}$ 也就是 $$ \mbox{Proj}_{S}\left( x\right) =\left\{ y\in S:\left\vert x-y\right\vert =d_{S}\left( x\right) \right\} ,\forall x\in {\Bbb R}^{n}. $$ 对于每一个 $t\in \left[0,+\infty \right) ,$ $x\in S,$ $% \partial S$的撞击时间是一个随机变量,定义为 $$ \tau _{S}\left( \chi _{t}\right) =\inf \left\{ s\geq t:X^{\chi _{t}}\left( s\right) \in \partial S\right\} ,\forall \chi _{t}\in \Lambda . $$

$\bullet 令 {\cal K}$ 是一个${\Bbb R}^{n}$中闭子集,且有非空内点 % $\overset{\circ }{{\cal K}}$ $\mathop{\cal K}\limits^{\circ }$ 和边界 $\partial {\cal K}.$ 我们引入从$\partial {\cal K}$的方向距离函数,也就是 $$ b_{{\cal K}}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{ll} d_{\partial {\cal K}}\left( x\right),~~ & \mbox{如果 }\ x\in \mathop{\cal K}\limits^{\circ },\\ 0 ,& \mbox{如果 }\ x\in \partial {\cal K},\\ -d_{\partial {\cal K}}\left( x\right) ,~~& \mbox{如果 }\ x\in {\cal K}^{c}, \end{array} \right. $$ 其中 ${\cal K}^{c}$ 是集合${\cal K}$的补集. 今后,我们要使用以下集合, 定义为,对任意的$\varepsilon >0$ $$ {\cal N}_{\varepsilon } \triangleq \left\{ x\in {\Bbb R} ^{n}:\left\vert b_{{\cal K}}\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right\} , $$ $$ {\cal K}_{\varepsilon } \triangleq {\cal K\cap N}_{\varepsilon }, $$ $$ {\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{\varepsilon } \triangleq \mathop{\cal K}\limits^{\circ } {\cal \cap N}_{\varepsilon }. $$

本节中,我们将研究随机微分方程(1.1)所对应的随机流$ X^{\chi _{t}}\left( \cdot \right) $,在光滑$C^{2,1}$紧子集${\cal K}$中的生存性性质, 该随机微分方程系数$\mu $ 和 $\sigma $满足条件(H1) 和 (H2).

本文中,${\cal K}$ 是一个$C^{2,1}$类紧区域. 从文献[18,定理5.6],我们有

\begin{equation} {\cal K}\mbox{ 是$C^{2,1}$类紧区域 }\Leftrightarrow \exists \varepsilon _{0}>0\mbox{,使得 }\ b_{{\cal K}}\in C^{2,1}\left( {\cal N}_{\varepsilon _{0}}\right) . \label{3.1} \end{equation}%

(3.1)

一个有用的性质如下 \begin{eqnarray*} \forall x\in {\cal K}_{\varepsilon _{0}},~ \left\{ \begin{array}{l} \exists !~ \bar{x}\in \partial {\cal K}:b_{{\cal K}}\left( x\right) =\left\vert x-\bar{x}\right\vert ,\\ D_{x}b_{{\cal K}}\left( x\right) =D_{x}b_{{\cal K}}\left( \bar{x} \right) =-\vec{n}_{{\cal K}}\left( \bar{x}\right) , \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中 $\vec{n}_{{\cal K}}\left( \bar{x}\right) $ 表示集合${\cal K}$ 在点$\bar{x}$的外在单位法向量,见文献[18]. 另外,如果 $ {\cal K}$ 是一个$C^{2,1}$类紧区域,那么存在$C^{2,1}$类紧区域 $\left\{ Q_{i}\right\} $ 使得

\begin{equation} Q_{i}\subset {\mathop{Q}\limits^{\circ }}_{i+1}\ \mbox{ 以及 }\ \bigcup\limits_{i=1}^{ \infty }Q_{i}=\mathop{\cal K}\limits^{\circ }. \label{3.2} \end{equation}

(3.2)

对于充分大的$i$,取 $$ Q_{i}=\left\{ x\in {\cal K}:b_{{\cal K}}\left( x\right) \geq \frac{1}{i }\right\} . $$ 现在假设

\begin{equation} 0\notin co\left\{ \nabla _{x}b_{{\cal K}}\left( x\right) \right\} ,\qquad \forall x\in \partial {\cal K}. \label{3.3} \end{equation}

(3.3)

那么,每一个点$x\in {\cal K}$,其Clarke切锥有非空内点. 基于此,${\cal K}$ 跟其闭包$\mathop{\cal K}\limits^{\circ }$重合 (更多细节见文献 [2, 11]). 最后,我们注意到,当${\cal K}$是一个满足性质(3.3)的紧集时, 满足(3.2)式的$C^{2,1}$类的紧区域$\left\{ Q_{i}\right\} $序列能取到.

我们现在给出以下结果

定理3.1 假设条件 (H1),(H2) 和性质 (3.3) 成立,那么以下三条叙述相互等价

(i)${\cal K}$ 关于方程(1.1)满足生存性性质;

(ii)对于$\forall {\cal X}_{t}\in \Lambda _{\partial {\cal K}_{t}},$ 我们有

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\cal L}_{\left( {\cal X}_{t},A_{t}\right) }\left( -b_{{\cal K} }\right) \left( {\cal X}_{t}\left( t\right) \right) \leq 0,\\ \sigma ^{\ast }\left( {\cal X}_{t}\right) \nabla _{x}b_{{\cal K} }\left( {\cal X}_{t}\left( t\right) \right) = 0, \end{array} \right. \label{3.4} \end{equation}

(3.4)

其中 $$ {\cal L}_{\left( \chi _{t,A_{t}}\right) }\varphi _{t}={\cal D} _{t}\varphi +\left\langle \nabla _{x}\varphi _{t},\mu \right\rangle +\frac{1 }{2}\mbox{Tr}\left( ^{t}\nabla _{x}^{2}\varphi _{t}A\left( t\right) \right) , $$ 以及 $A\left( t\right) =\sigma \left( {\cal X}_{t}\right) \sigma ^{\ast }\left( {\cal X}_{t}\right) ,$ 对 $\varphi \in {\Bbb C}^{2,1}\left( \left[0,T\right) \right) ;$

(iii)$\mathop{\cal K}\limits^{\circ }$ 关于方程(1.1)满足生存性性质.

为证明该定理,我们需要以下引理.

引理3.1 假设 (H1) 和(H2) 成立,那么对于任意的${\Bbb R}^{n}$中紧区域 $ {\Bbb D}$,以及 $\chi _{t}\in \Lambda _{{\Bbb D }_{t}},$ 随机微分方程(1.1)的解 $X^{\chi _{t}}$满足

\begin{equation} X^{\chi _{t}}\left( s\right) \in {\Bbb D},~ s\in \left[t,+\infty \right) ,\mbox{ $P$ -几乎必然.} \label{3.5} \end{equation}

(3.5)

那么,对于任意的 ${\Bbb C}^{2,1}\left( \left[0,T\right) \right) $ 满足命题 2.1里 (a)--(d)的非延迟泛函 $\varphi $,其作用在$\Upsilon ^{ {\Bbb D}\times {\Bbb S}_{n}^{+}}$ 点$\left( \chi _{t},A_{t}\right) $上有左固定最大 (见文献[17,引理 6]),我们有 $$ \left\{ \begin{array}{l} \ {\cal D}_{t}\varphi \left( \chi _{t},A_{t}\right) +\left\langle \nabla _{x}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) ,\mu \left( \chi _{t}\right) \right\rangle +\frac{1}{2}\mbox{Tr}\left( ^{t}\nabla _{x}^{2}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) A\left( t\right) \right) \leq 0,\\[2mm] \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) =0. \end{array} \right. $$

证 假设 $\varphi $ 是一非延迟泛函,在$\Upsilon ^{{\Bbb D}\times {\Bbb S}_{n}^{+}}$上点取$ \left( \chi _{t},A_{t}\right) $ 左固定最大,当 $t\in \left[0,T\right) .$ 更详细地,对于任意固定的$\left( y_{s},z_{s}\right) \in \Upsilon ^{ {\Bbb D}\times {\Bbb S}_{n}^{+}},$ $s\in \left[t,T\right) ,$ 我们有

\begin{equation} \varphi _{s}\left( \chi _{t}\oplus y_{s},A_{t}\oplus z_{s}\right) \leq \varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) . \label{3.6} \end{equation}

(3.6)

立即,从 (3.5) 和 (3.6)式,我们得到 $$ \forall s\geq t,~ \varphi _{s}\left( X_{s}^{\chi _{t}},A_{s}\right) \leq \varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) ,\mbox{$P$ -几乎必然}. $$ 根据经典方法,以上不等式对已任意的$s\geq t $成立,那么从命题 2.1,可得

\begin{equation} {\cal D}_{t}\varphi \left( \chi _{t},A_{t}\right) +\left\langle \nabla _{x}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) ,\mu \left( \chi _{t}\right) \right\rangle +\frac{1}{2}\mbox{Tr}\left( ^{t}\nabla _{x}^{2}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) A\left( t\right) \right) \leq 0. \label{3.7} \end{equation}

(3.7)

令$\beta :{\Bbb R} {\rightarrow } {\Bbb R}$ 是一个递增函数使得 $\beta'\left( \varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) \right) =1$ 以及 $\beta ''\left( \varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) \right) =\lambda $ 其中 $\lambda >0$ 是任意的. 非常容易验证 $\beta \circ \varphi _{t}$ 同样 在$\Upsilon ^{{\Bbb D}\times {\Bbb S} _{n}^{+}}$点$\left( \chi _{t},A_{t}\right) $达到左固定最大. 因此,从 (3.7)式在点$\left( \chi _{t},A_{t}\right) $,我们有

\begin{equation} {\cal D}_{t}\varphi +\left\langle \mu ,\nabla _{x}\varphi _{t}\right\rangle +\frac{1}{2}\mbox{Tr}\left( \nabla _{x}^{2}\varphi _{t}\sigma ^{\ast }\sigma \right) +\frac{\lambda }{2}\mbox{Tr}\left( \sigma ^{\ast }\sigma \nabla _{x}\varphi _{t}\nabla _{x}^{\ast }\varphi _{t}\right) \leq 0,\label{3.8} \end{equation}

(3.8)

其中,为简单化我们略去$\left( \chi _{t},A_{t}\right) $的依赖性. 显然地 $$ \lambda \mbox{Tr}\left( \sigma ^{\ast }\sigma \left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) D_{x}^{\ast }\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) \right) =\lambda \left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) \right\vert ^{2}. $$ 注意到,当 $\lambda \rightarrow +\infty ,$ ({3.8})式 仍然有界, 我们推出

\begin{equation} \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}\varphi _{t}\left( \chi _{t},A_{t}\right) =0. \label{3.9} \end{equation}

(3.9)

证毕.

注3.1 在引理3.1中,对于紧集${\Bbb D}$,我们没有假设是$C^{2,1}$ 类. 从引理3.1,我们立即得到以下结果.

推论3.1 在引理 3.1 的假设条件下,用 $ {\cal K}$ 取代 ${\Bbb D}$. 设 $$ \varphi \left( \overline{\chi }_{t},A_{t}\right) =-b_{{\cal K}}\left( \overline{\chi }_{t}\left( t\right) \right) ,~ \overline{\chi }_{t}\in \Lambda _{{\cal K}_{t}},~ t\in \left[0,+\infty \right) . $$ 那么我们有,对于 $\forall \overline{\chi }_{t}\in \Lambda _{\partial {\cal K}_{t}}$

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\cal L}_{\left( \overline{\chi }_{t},A_{t}\right) }\left( -b_{{\cal K} }\right) \left( \overline{\chi }_{t}\left( t\right) \right) \leq 0,\\ \sigma ^{\ast }\left( \overline{\chi }_{t}\right) \nabla _{x}b_{{\cal K} }\left( \overline{\chi }_{t}\left( t\right) \right) = 0. \end{array}% \right. \label{3.10} \end{equation}

(3.10)

证 我们验证$\varphi \left( x_{t},A_{t}\right) =-b_{{\cal K}}\left( x_{t}\left( t\right) \right) $满足命题2.1中的(b),(c),(d). 首先,(b) 可从紧集${\cal K}$是$C^{2,1}$类的假设可验证. 对于(c),令 $x\in \Lambda _{{\cal K} _{t}},$ $x^{\prime }\in \Lambda _{{\cal K}_{t-h}}.$ 那么,我们有 $$ \left\vert b_{{\cal K}}\left( x_{t}\left( t\right) \right) -b_{{\cal K} }\left( x_{t-h}^{\prime }\left( t-h\right) \right) \right\vert \leq \left\vert x_{t}\left( t\right) -x_{t-h}^{\prime }\left( t-h\right) \right\vert \leq d_{\infty }\left( x_{t},x_{t-h}^{\prime }\right) . $$ 类似地,令 $x\in \Lambda _{{\cal K}_{t}},$ $x^{\prime }\in \Lambda _{ {\cal K}_{t+h}}.$ 我们同样有 $$ \left\vert b_{{\cal K}}\left( x_{t}\left( t\right) \right) -b_{{\cal K} }\left( x_{t+h}^{\prime }\left( t+h\right) \right) \right\vert \leq \left\vert x_{t}\left( t\right) -x_{t+h}^{\prime }\left( t+h\right) \right\vert \leq d_{\infty }\left( x_{t},x_{t+h}^{\prime }\right) , $$ 因函数$b_{{\cal K}}$的李普希兹常数是1. 接来下验证(d). 事实上,由 (3.1)式 和 $C^{2,1}\left( A\right) $的定义,$\nabla _{x}b_{{\cal K}},$ $\nabla _{x}^{2}b_{{\cal K}}$ 在距离$d_{\infty }$下满足局部李普希兹条件.

现在我们回到紧 $C^{2,1}$类光滑区域 ${\cal K}.$ 方法主要借助于文献[11]. 我们假设$\varepsilon _{0}>0$ 使得,存在一个函数 $ g\in C^{2,1}\left( {\Bbb R}^{n}\right) $ 满足 $$ \left\{ \begin{array}{ll} 0\leq g\leq 1,~~ & \mbox{在 }\ {\cal K},\\ 0<g,& \mbox{在 }\ {\cal K}\backslash {\cal K}_{\varepsilon _{0}},\\ g\equiv b_{{\cal K}},& \mbox{在 }\ {\cal K}_{\varepsilon _{0}}. \end{array} \right. $$ 现在定义 $$ \Psi \left( x_{t},A_{t}\right) =-\log \left( g\left( x_{t}\left( t\right) \right) \right) ,\forall x_{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}. $$

引理3.2 假设(H1),(H2)和 (3.3) 式成立. 那么,存在一个正常数 $M>0,$ 使得

\begin{equation} {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }\Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) \leq M,~ \forall \chi _{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}},~ \forall t\in {\Bbb R}^{+},\label{3.11} \end{equation}

(3.11)

其中 $$ {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }\Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) =\frac{1}{g^{2}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } \left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert ^{2}-\frac{1}{g\left( \chi \left( t\right) \right) }{\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) . $$

证 首先,我们给出一个下文将用到的估计. 注意到 $$ \frac{\partial }{\partial t}\Psi \left( x_{t},A_{t}\right) \equiv 0\ \mbox{ 和 }\ \Psi \left( x_{t},A_{t}\right) = \lim\limits_{\Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}\ni y_{t} %\overset{d_{\infty }}{\rightarrow } \mathop{\longrightarrow }\limits^{d_{\infty }} x_{t}}\Psi \left( y_{t},A_{t}\right) =+\infty ,~ \forall x_{t}\in \Lambda _{\partial {\cal K}_{t}}. $$ 接下来,经过简单计算,我们有 \begin{eqnarray*} {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }\Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) &=&\frac{1}{g^{2}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } \left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) D_{x}g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert ^{2} \\ &&-\frac{1}{g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) }{\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) ,~~ \chi _{t}\in \Lambda _{ {\cal K}_{t}}. \end{eqnarray*} 我们强调,对于任意的 $\chi _{t}\in \Lambda _{\mathop{\cal K}\limits^{\circ } _{t}},$

\begin{equation} \frac{1}{g^{2}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) }\left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) D_{x}g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert ^{2}-\frac{1}{g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }g\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \leq M,\chi _{t}\left( t\right) \in \mathop{\cal K}\limits^{\circ },\label{3.12} \end{equation}

(3.12)

对于某正常数 $M\geq 0.$ 的确,当$ \chi _{t}\left( t\right) \in {\cal N}_{\varepsilon _{0}}^{c},$ $b_{ {\cal K}}\left( x\right) \geq \varepsilon _{0}$ 以上估计成立,因为 $g$ 是在 ${\cal N}_{\varepsilon _{0}}^{c}$严格正的以及假设 (H2), 其中 ${\cal N}_{\varepsilon _{0}}^{c}=\left\{ x\in \mathop{\cal K}\limits^{\circ } :b_{{\cal K}}\left( x\right) \geq \varepsilon _{0}\right\} .$ 因此我们必须验证(3.12)式成立,对于所有的 $\chi _{t}\in \Lambda _{ {\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}$ 满足 $\chi _{t}\left( t\right) \in \mathop{\cal K}\limits^{\circ }\cap {\cal K}_{\varepsilon _{0}},$ 也就是 $$ \frac{1}{b_{{\cal K}}^{2}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } \left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) D_{x}b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert ^{2}-\frac{1}{b_{{\cal K} }\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) }{\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \leq M,\forall \chi _{t}\left( t\right) \in \mathop{\cal K}\limits^{\circ }\cap {\cal K}_{\varepsilon _{0}}. $$ 给定一个 $\chi _{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}$ 满足 $\chi _{t}\left( t\right) \in \mathop{\cal K}\limits^{\circ }\cap {\cal K}_{\varepsilon _{0}},$令 $\bar{x}\left( t\right) $ 记为为一个在边界${\cal K}$上的投影 $\chi _{t}\left( t\right) \in \mathop{\cal K}\limits^{\circ } \cap {\cal K}_{\varepsilon _{0}}$ 注意到 (3.1)及 (3.10)式 并基于 $\chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) }\in \Lambda _{\partial {\cal K} _{t}}$,我们有

\begin{equation} \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) }\right) \nabla _{x}b_{{\cal K}}\left( \bar{x}\left( t\right) \right) =0. \label{3.13} \end{equation}

(3.13)

因此,我们有 \begin{eqnarray*} \left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}b_{{\cal K} }\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert &=&\left\vert \left( \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) -\sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}^{ \bar{x}\left( t\right) }\right) \right) \nabla _{x}b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) +\sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}^{\bar{x} \left( t\right) }\right) \nabla _{x}b_{{\cal K}}\left( \bar{x}\left( t\right) \right) \right\vert \\ &=&\left\vert \left( \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) -\sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) }\right) \right) \nabla _{x}b_{ {\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert \\ &\leq &\left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) -\sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) }\right) \right\vert \\ &\leq &C\left\Vert \chi _{t}-\chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) }\right\Vert =C\left\vert \chi _{t}\left( t\right) -\bar{x}\left( t\right) \right\vert =Cb_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) , \end{eqnarray*} 其中 $C$ 是在距离$\left\Vert \cdot \right\Vert $下$\sigma $的李普希兹常数. 那么

\begin{equation} \frac{1}{b_{{\cal K}}^{2}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } \left\vert \sigma ^{\ast }\left( \chi _{t}\right) \nabla _{x}b_{{\cal K} }\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert ^{2}\leq \frac{\left( Cb_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right) ^{2}}{b_{ {\cal K}}^{2}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) }\leq C^{2}. \label{3.14} \end{equation}

(3.14)

类似地,注意到 (3.1)式,我们观察到 \begin{eqnarray*} {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) =\frac{1}{2}\mbox{Tr}\left( ^{t}\nabla _{x}^{2}b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) A\left( t\right) \right) +\left\langle \mu \left( \chi _{t}\right) ,\nabla _{x}b_{ {\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\rangle \end{eqnarray*} 在距离$\left\Vert \cdot \right\Vert $下在$\mathop{\cal K}\limits^{\circ }\cap {\cal K} _{\varepsilon _{0}}$是李普希兹连续. 因此从

\begin{equation} {\cal L}_{\left( \chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) },A_{t}\right) }\left( -b_{{\cal K}}\right) \left( \bar{x}\left( t\right) \right) \leq 0 \label{3.15} \end{equation}

(3.15)

得到

\begin{eqnarray} &&-\frac{1}{b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) }{\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \nonumber \\ &=&\frac{-{\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) +{\cal L}_{\left( \chi _{t}^{\bar{x} \left( t\right) },A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \bar{x}\left( t\right) \right) +{\cal L}_{\left( \chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) },A_{t}\right) }\left( -b_{{\cal K}}\left( \bar{x}\left( t\right) \right) \right) }{b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } \nonumber \\ &\leq &\frac{1}{b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) } \left\vert {\cal L}_{\left( \chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) },A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \bar{x}\left( t\right) \right) - {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }b_{{\cal K}}\left( \chi _{t}\left( t\right) \right) \right\vert \nonumber \\ &\leq &C\frac{\left\Vert \chi _{t}-\chi _{t}^{\bar{x}\left( t\right) }\right\Vert }{b_{{\cal K}}\left( \chi \left( t\right) \right) }=C\frac{ \left\vert \chi _{t}\left( t\right) -\bar{x}\left( t\right) \right\vert }{b_{ {\cal K}}\left( \chi \left( t\right) \right) }=C\frac{b_{{\cal K} }\left( \chi \left( t\right) \right) }{b_{{\cal K}}\left( \chi \left( t\right) \right) }\leq C,\label{3.16} \end{eqnarray}

(3.16)

对于所有的 $\chi _{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}$ 满足 $\chi _{t}\left( t\right) \in \mathop{\cal K}\limits^{\circ }\cap {\cal K}_{\varepsilon _{0}},$ 其中 $C$ 是$ {\cal L}_{\left( \chi _{t},A_{t}\right) }b_{{\cal K}}$的李普希兹常数. 接下来, 联合 (3.14) 和 (3.16)式,我们得到想要的结果.

注3.2 在命题3.1中,估计 (3.14) 和 (3.16) 表明初始条件 $\chi _{t}$ 必须选自空间 $D\left( \left[0,t\right] ,{\cal K}\right) $.

类似于文献[11],我们现在给出定理3.1的证明.

证 我们首先考虑 (i)$\Rightarrow $(ii). 由命题 3.1,第一个陈述成立. 接下来,我们证明 (ii)$\Rightarrow $(iii). 对于停时$\tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) $ 其中 $\left\{ Q_{i}\right\} $ 是$ C^{2,1}$类紧集序列满足 (3.2)式. 应用泛函伊藤公式 (命题 2.1) 我们可得,对于所有的 $\chi _{t}\in \Lambda _{Q_{i,t}}$ 和 $0\leq t\leq s,$

\begin{eqnarray} &&\Psi \left( X_{s\wedge \tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) }^{\chi _{t}},A_{s\wedge \tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) }\right) -\Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) \nonumber \\ &=&\int_{t}^{s\wedge \tau _{Q_{i,t}}\left( \chi _{t}\right) }\left( {\cal L}_{\left( X_{r}^{\chi _{t}},A_{r}\right) }\Psi \right) \left( X_{r}^{\chi _{t}},A_{r}\right) {\rm d}r \nonumber \\ &&+\int_{t}^{s\wedge \tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) }\left\langle \nabla _{x}\Psi \left( X_{r}^{\chi _{t}},A_{r}\right) ,\sigma \left( X_{r}^{\chi _{t}}\right) \right\rangle {\rm d}W\left( r\right) . \label{3.17} \end{eqnarray}

(3.17)

然后,取期望并注意到 (3.11)式,我们得 \begin{eqnarray*} {\Bbb E}\left[\Psi \left( X_{s\wedge \tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) }^{\chi _{t}},A_{s\wedge \tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) }\right) \right] &=&\Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) +{\Bbb E}\left[ \int_{t}^{s\wedge \tau _{Q_{i}}\left( \chi _{t}\right) }\left( {\cal L} _{\left( X_{r}^{\chi _{t}},A_{r}\right) }\Psi \right) \left( X_{r}^{\chi _{t}},A_{r}\right) {\rm d}r\right] \\ &\leq &\Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) +Ms. \end{eqnarray*} 由 Fatou引理,以上不等式可推出 $$ {\Bbb E}\left[\Psi \left( X_{s\wedge \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) }^{\chi _{t}},A_{s\wedge \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) }\right) \right] \leq \Psi \left( \chi _{t},A_{t}\right) +Ms, ~ \forall s\geq t\geq 0,\forall \chi _{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}. $$ 注意到上式右手边在$\Lambda _{ \mathop{\cal K}\limits^{\circ }}$是有限的,我们推出 $$ P\left( \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) \leq s\right) =P\left( \Psi \left( X_{s\wedge \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) }^{\chi _{t}},A_{s\wedge \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) }\right) =+\infty \right) =0,~ s\geq t\geq 0,\forall \chi _{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}. $$ 取序列 $t_{k}\uparrow +\infty $ 并注意到 $$ 0=P\left( \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) \leq t_{k}\right) \uparrow P\left( \tau _{_{{\cal K}}}\left( \chi _{t}\right) <+\infty \right) ,\forall \chi _{t}\in \Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }} _{t}}. $$ 我们完成了 (ii)$\Rightarrow $(iii)的证明.

接下来,我们证明 (iii)$\Rightarrow $(i). 假设 $\mathop{\cal K}\limits^{\circ }$ 是具有生存性的,固定 $\chi \in \Lambda _{{\cal K}_{t}}$. 令 $\left\{ \chi _{t,k}\right\} $ 是$\Lambda _{{\mathop{\cal K}\limits^{\circ }}_{t}}$中 一序列, 使得 $\chi _{t,k} \mathop{\longrightarrow }\limits^{ \|\cdot\|} % \overset{\left\Vert \cdot\right\Vert }{\rightarrow } \chi _{t}$,基于 ${\cal K}$ 与$\mathop{\cal K}\limits^{\circ }$ 的闭包重合. 那么我们有 $X^{\chi _{t,k}}\left( s\right) \in {\cal K}$,对于 $s\geq t$,$P$ -几乎必然. 对于所有 $s\geq t,$ 注意到 $ X^{\chi _{t,k}}\left( s\right) \rightarrow X^{\chi _{t}}\left( s\right) ,$ $ P $ -几乎必然. 我们推出 \begin{eqnarray*} X^{\chi _{t}}\left( s\right) \in {\cal K},~ \mbox{$P$ -几乎必然,对于 } s\geq t. \end{eqnarray*} 从点$\chi _{t}$ 在 $\Lambda _{{\cal K}_{t}}$中的任意性,我们证得结果.

注3.3 如果我们假设 $t=0,$ $\chi \left( 0\right) =x,$ $k\left( \gamma _{s}\right) =k\left( \gamma _{s}\left( s\right) \right),$ 其中$\gamma \in \Lambda ,$ $x\in {\cal K},$ $s\in \left[0,+\infty \right) ,$ 而分别地,$k=\mu$或$ \sigma.$ 那么我们推广了文献[11,定理 3.2].