复动力系统的研究始于1920年,到目前为止,已经有近百年的历史. 对于复平面中单位圆盘上的全纯自映射,Wolff 和Denjoy在1926年给出了经典的Denjoy-Wolff 定理.
定理 1.1[3] 设Δ 是复平面C上的单位圆盘, f∈Hol(Δ,Δ),即f是全纯自映射,且f 在Δ 上没有不动点,那么 ∃τ∈∂Δ使得f的n阶迭代序列fn=f∘f∘⋯∘f在Δ上内闭一致收敛到常值映射τ.
在经典的Denjoy-Wolff定理的基础上,许多学者尝试着改变映射的区域, 看能否在不同的区域上得到与单位圆盘上同样的收敛性. 1941 年, Heins研究了有限连通区域D 上的全纯自映射f 的n 阶迭代序列 fn=f∘f∘⋯∘f 的收敛情形,得到如下的结论
定理 1.2[20] 设D⊂C是一个有界的有限连通区域, 且边界都是约旦曲线,并且f∈Hol(D,D),f的n阶迭代序列fn=f∘f∘⋯∘f 收敛当且仅当f不是D上的自同构映射,并且如果迭代序列{fn}收敛, 一定收敛到某个常值x∈¯D.
紧接着学者们研究了一族解析函数的随机迭代问题,也就是说:如果D⊂C 是一个区域,F⊂Hol(D,D),在D 和F 在满足什么条件的基础下, 对F 中任取的序列{fn},其有限复合序列Gn=f1∘f2∘⋯∘fn (n=1,2,⋯) 在D 上内闭一致收敛到某个常值映射?
Baker和 Rippen等人对C中有界凸域上的情形做了研究, 最后给出了D与F所满足的条件,并得出了如下的结果
定理 1.3[4] 设D⊂C 为有界的凸域, F⊂Hol(D,D),∀fi∈F,fi可以连续地扩展到¯D, 有|f′i|≤1在D 上恒成立, 同时存在z0∈D,使得supf∈F|f′(z0)|<1, 则有Gn=f1∘f2∘⋯∘fn (n=1,2,⋯) 一致收敛到¯D 的一个常数.
随后Beardon通过给出D和F满足的的另外一种一致性条件,得到了以下结论
定理 1.4[5] 设D是C中的双曲区域, F是D上一族全纯自映射,F0是F中有限个映射复合生成的半群. 若F0在Hol(D,C) 中关于紧开拓扑的闭包¯F0 不含恒等映射,且不含 ∂D上的常值映射,则对任意fn∈F,n=1,2,⋯,Gn=f1∘f2∘⋯∘fn在D上内闭一致收敛到一个常值映射.
到1988 年,Abate给出了n 维复平面中有界光滑强凸域上的全纯自映射 的Wolff-Denjoy定理[2],Bracci等人则在n 维复平面的另外的一些区域 (光滑强拟凸域等)做了研究[13, 14, 15]. 但是就非光滑有界凸域上的情形 在后来的二十年内几乎没有研究学者给出相关的结论,直到2012年,Budzynska等人 就n维复平面中的有界严格凸域上的单个全纯自映射的Wolff-Denjoy 迭代理论做了研究, 得出如下结论
定理 1.5[16] 设D⊂⊂Cn为 有界严格凸域,并且f∈Hol(D,D) 没有不动点,那么∃ξ∈∂D, 使得f的n阶迭代序列{fn}在紧开拓扑下收敛到常值映射ξ.
2013年,Abate和Raissy[3]对n维复平面中的非光滑有界凸域上单个全纯自映射 迭代理论的Wolff-denjoy定理进行了研究,对上面的定理给出了新的证明.
本文主要研究目的是在Abate和Raissy的工作基础上,加上一定的一致性条件(D和F所满足的条件), 给出了新的关于非光滑有界凸域上一族解析映射的随机迭代的相关定理. 并且利用Beardon等人的证明思想,给出相关的Gn=f1∘f2∘⋯∘fn,n=1,2,⋯ 的收敛性问题, 即得到本文的主要定理
定理A 设D⊂⊂Cn 是一个有界的严格凸域, 序列{fn}⊂Hol(D,D),Gn=f1∘f2∘⋯∘fn, 若∃z0∈D,使得¯{Gn(z0):n≥1}∩∂D≠∅,则∃{Gn(z)}的子序列{Gni(z)},使得{Gni(z)} 内闭一致收敛到∂D上的常值映射w0.
定理B 设D⊂⊂Cn为有界凸域, F⊂Hol(D,D),F0是F 中有限个映射复合生成的半群, 且对D中的任意的m(1≤m≤n)维仿射子集E和任意的g∈¯F0,g|E≠id,则对任意fn∈F, Gn=f1∘f2∘⋯∘fn,n=1,2,⋯, 在D上满足下面两个条件之一
(i) Gn=f1∘f2∘⋯∘fn收敛到D内一个常值映射;
(ii) ∃x0∈∂D,使得F0中存在一个序列φn内闭一致收敛到h,且有 h(D)⊆⋂R>0Ch(¯Fz0(x0,R)⋂∂D).
定义2.1 (凸域与严格凸域) 给定∀x,y∈Cn,定义[x,y]={sx+(1−s)y∈Cn|s∈[0,1]},(x,y)={sx+(1−s)y∈Cn|s∈(0,1)}.
给定集合D⊂Cn,如果对∀x,y∈D, 都有[x,y]⊆D,我们称D是凸域;
给定集合D⊂Cn,如果对∀x,y∈¯D, 都有[x,y]⊆D,我们称D是严格凸域.
定义2.2 (ch的定义) 设D⊂⊂Cn 是凸域,∀x∈∂D,我们定义 ch(x)={y∈∂D|[x,y]⊂∂D}, 且如果ch(x)=x,我们称x是一个严格凸点. 更一般地,如果F⊂∂D,定义 ch(F)=⋃x∈Fch(x).
注 如果D是一个严格凸域,那么对∀x∈∂D, x都是一个严格凸点.
定义2.3 (Ch(x)的定义) 设D⊂⊂Cn是凸域, ∀x∈∂D,我们定义x这一点的Ch(x)为¯D和x 点的所有复支撑超平面的交集.
定义2.4 (极限映射) 映射φ∈¯F0,F⊂Hol(D,D), F0是F中有限个映射复合生成的半群,{fi}∈F, Gn=f1∘f2∘⋯fn; n=1,2,⋯,如果存在{Gn} 中的一个子序列{Gni}在D上内闭一致收敛到函数φ, 则称φ是{Gn}的极限映射.
命题2.1 (凸域的相关性质)[2] 设D⊂⊂Cn且D是凸域, 那么有
(1) (z,w)⊂D,对∀z∈D,∀w∈D;
(2) 如果x,y∈∂D,那么或者有(x,y)∈∂D 或者有 (x,y)∈D.
命题2.2 (有界凸域性质)[2] 设D⊂⊂Cn 是有界凸域,那么有
(1) 如果z1,z2,w1,w2∈D,s∈[0,1],则有 KD(sz1+(1−s)w1,sz2+(1−s)w2)≤max{KD(z1,z2),KD(w1,w2)};
(2) 如果z,w∈D;s,t∈[0,1],则有 KD(sz+(1−s)w,tz+(1−t)w)≤KD(z,w).
命题2.3 (有界凸域性质)[2] 设D⊂⊂Cn 是有界凸域, x,y∈∂D;{zv},{wv} 是D中的两个序列, 并且满足{zv}收敛到x, {wv}收敛到y,如果有 supv∈NKD(zv,wv)=c<+∞, 那么有[x,y]⊂∂D,特别地,如果x 或者y是一个严格凸点, 那么有x=y. 这里KD 为 D 上的Kobayashi距离.
命题2.4 (凸集分离定理)[18] 设X是一个复的线性赋范空间,A,B是X中的非空凸域,A 的内部不为空, A 的内部与B的交集为空,则存在非零线性泛函f∈X∗和实数r,使得 A⊂{x:Ref(x)≤r};B⊂{x:Ref(x)≥r}.
命题2.5 (Montel定理)[2] 若D是Cn中的有界凸域,则Hol(D,D)是 Hol(D,Cn)中的相对紧集,也就是Hol(D,D) 中的任何一个序列都有内闭一致收敛的子序列.
为了给出了本文中两个主要定理的证明,本文先给出定理所需要的四个引理.
引理3.1 设D⊂⊂Cn是一个有界凸域, 且{fn}⊂Hol(D,D),则存在{fn} 的子列{fni}在D上内闭一致收敛到h∈Hol(D,¯D). 特别地, 若∀z∈D,fn(z)∈Kz⊂D,其中Kz 是仅与z的选取有关的紧集,则有h∈Hol(D,D).
证 由Montel定理可知,Hol(D,D)在Hol(D,Cn) 中是相对紧的,因此Hol(D,D) 中的任何一个序列都有内闭一致收敛的子序列, 且收敛到函数h∈Hol(D,Cn).而且又因为D是有界的凸域, 因此有h(D)⊂¯D,因此h∈Hol(D,¯D).
当有∀z∈D,fn(z)∈Kz⊂D时,很显然有{fn}的 极限函数h∈Hol(D,D).
引理3.2 设D⊂⊂Cn是一个有界凸域, 且{fn}⊂Hol(D,D),{gn}⊂Hol(D,D), 若 {fn}在D 上内闭一致收敛到函数f∈Hol(D,D),{gn} 在D上内闭一致收敛到函数g∈Hol(D,D),则{fn∘gn} 在D 上内闭一致收敛到函数f∘g∈Hol(D,D).
证 对于任意的紧集K1⊂D,而函数g∈Hol(D,D), 因此有g(K1)⊂D,且g(K1) 也为紧集. 因此∃δ>0, 使得紧集K2={w∈Cn|d(w,g(K1))≤δ}⊂D.
由于|dfdz|在紧集K2上有界,故存在正数L>0, 使得对于∀w1,w2∈K2,有 |f(w1)−f(w2)|≤L|w1−w2|.
又因为{gn}在D上内闭一致收敛到函数g∈Hol(D,D), 因此 {gn}在紧集K1上内闭一致收敛到函数g,故有∀0<ε≤2Lδ,∃ 正整数N1. 当∀z∈K1,n>N1时有 |gn(z)−g(z)|<ε2L≤δ. 所以gn(K1)⊆K2,∀n>N1.
由于{fn}在D上内闭一致收敛到函数f∈Hol(D,D), 肯定有{fn}在紧集K2上内闭一致收敛到函数f. 故存在正整数N2>0, 使得对于∀w∈K2,n>N2时,我们可以得出 |fn(w)−f(w)|<ε2.
因此当n>N=max(N1,N2)时,对于∀z∈K1 时, 令w=w1=gn(z)∈K2, w2=g(z)∈K2,则有当n→∞时 |fn∘gn(z)−f∘g(z)|≤|fn∘gn(z)−f∘gn(z)|+|f∘gn(z)−f∘g(z)|=|fn(w)−f(w)|+|f(w1)−f(w2)|<ε2+L|w1−w2|=ε2+L|gn(z)−g(z)|<ε2+Lε2L=ε. 因此我们说{fn∘gn}紧集K1⊂D上内闭一致收敛到函数 {f∘g},则 {fn∘gn} 在D上内闭一致收敛到函数 f∘g∈Hol(D,D).
引理3.3 设D⊂⊂Cn是一个有界凸域, 且F⊂Hol(D,D),F0是F中有限个复合生成的半群, 且满足¯F0⊆Hol(D,D),若φ,ψ是Gn的极限映射,则存在h∈¯F0, 使得ψ=φ∘h.
证 设Gmn=fm∘fm+1∘⋯∘fn. 则有 G1n=f1∘⋯∘fm∘fm+1∘⋯∘fn=G1m∘Gm+1n.
由于φ是Gn的极限映射,{G1n}中存在收敛子列{G1ni}, 使得当i→∞ 时,{G1ni}内闭一致收敛到φ. 同理可得,ψ是Gn的极限映射,{G1m}中存在收敛子列{G1mj}, 使得当j→∞ 时,{G1mj}内闭一致收敛到ψ, 且满足n1<m1<n2<m2<⋯<nj<mj⋯ 则序列{Gnj+1mj}⊂F0⊂Hol(D,D),且根据引理3.1可知, {Gnj+1mj}有内闭一致收敛的子列. 简单起见,不妨设 当j→∞时,{Gnj+1mj}内闭一致收敛到h. 由G1mj=G1nj∘Gnj+1mj, 有h∈¯F0⊂Hol(D,D).
由引理3.2可知有ψ=φ∘h,定理得证.
引理3.4 设D⊂⊂Cn是一个有界凸域, {fn}⊂Hol(D,D),Gn=f1∘f2∘⋯∘fn, 记F0={g1∘g2∘⋯∘gm|∃j,gi=fj,i=1,⋯,m},且¯F0⊆Hol(D,D),则下面两条至少有一条成立
(i) {Gn(z)}收敛到D上的常值映射;
(ii) 存在D中k(1≤k≤n)维子流形E,∃h∈¯F0使得h|E=id|E.
证 因为fi∈Hol(D,D),因此Gn=f1∘f2∘⋯∘fn−1∘fn∈Hol(D,D), 根据引理3.1,存在Gn=f1∘f2∘⋯∘fn−1∘fn中的子列Gni=f1∘f2∘⋯∘fni−1∘fni,使得{Gni} 收敛到函数h.
如果h是D上的常值映射,令h=ω0∈D;
如果{Gn}中存在另外一个极限映射h′,我们不妨设{Gn}的子列 {Gki} 收敛到函数h′,则根据引理3.3中的条件, 一定存在θ∈¯F0,使得h′=h∘θ, 则有对于任意的z∈D,h′(z)=h∘θ(z)=ω0, 则得出了h′=h,即Gn的极限映射唯一. 根据归结原则,有{Gn} 内闭一致收敛到D上的常值映射,此时满足了引理中的第一个条件.
当h不是D常值映射时,我们令φi=fni+1∘fni+2∘⋯∘fni+1∈F0, 则有φi∈Hol(D,D)及φi∈Hol(D,D)∩F0. 因此{φi}满足引理3.1中的条件,故存在{φi}的子列收敛.
简单起见,假设{φi} 收敛到函数φ∈¯F0⊆Hol(D,D). 而 f1∘f2∘⋯∘fni+1∘fni+2∘⋯∘fni+1=f1∘⋯∘fni∘φi. 取上面式子中的ij子列,并且令j→∞ f1∘f2∘⋯∘fni+1∘fni+2∘⋯∘fni+1→h. 而根据引理3.2有 f1∘f2∘⋯∘fni∘φi→h∘φ. 因此我们可以得出h=h∘φ.
若上面式子中的φ=id,而且φ∈¯F0, 则此时我们已经找到了一个子流形,使得在这个子流形上有 φ=id, 此时已经满足了引理3.4中的第二个条件. 反之,当我们所取φ≠id时, 则取φ的n阶迭代序列{φn},根据引理3.1有∃ϕ∈¯F0⊆Hol(D,D)使得 {φn} 的子序列{φni}在D 上内闭一致收敛到ϕ, 并且满足mi=ni−ni−1单调递增.
若ϕ≡w0∈D为常值映射,由h=h∘φ可得h=h∘φni,∀i∈N, 则对∀z∈D,有 h(z)=limi→∞h∘φni(z)=limi→∞h(wi). 上式中的wi=φni(z)→ϕ≡w0∈D,此时 h(z)=limi→∞h(wi)≡z0∈D. 此时h为常值函数,则与h是非常值映射矛盾. 反之,若ϕ不是常值映射, 则对于序列{φmi},根据引理3.2有, ∃ψ∈¯F0⊆Hol(D,D)使得 {φmi} 收敛到ψ,此时我们有 φni=φni−1+mi=φmi∘φni−1.
取上式的ij子列,并令j→∞,则该子列左边收敛到ϕ, 右边根据引理3.2有φmi∘φni−1→ψ∘ϕ,因此有 ϕ=ψ∘ϕ. 注意到ϕ不是常值函数,故∃k(1≤k≤n)维子流形E⊂ϕ(D),此时由于ψ在ϕ(D)等于恒等映射,故ψ|E=id|E,此时满足了引理3.4中的条件(ii).
定理A的证明 根据引理3.1可知, {Gn(z)}满足引理3.1中的条件,因此{Gn(z)}中存在收敛的子序列 {Gni(z)},使得{Gni(z)} 收敛到函数f(z)∈Hol(D,¯D). 又因为存在z0∈D, 使得¯{Gn(z0):n≥1}∩∂D≠∅, 所以有w0=f(z0)∈∂D, 由于D是开的凸域,根据凸集分离定理,存在Cn上的线性函数L(z)=n∑j=1λjzj(λj∈C,j=1,2,⋯,n) 和实数r使得 ¯D⊆{z:ReL(z)⩽r},w0∈{z:ReL(z)⩾r}.
由于w0∈∂D⊂¯D故ReL(w0)=r,且 D=(¯D)∘⊆{z:ReL(z)⩽r}∘={z:ReL(z)<r}.
由于ReL是Cn上的调和函数,f∈Hol(D,ˉD), 故ReL∘f是D上的调和函数,且有ReL∘f(D)⊆ReL(ˉD)⊆(−∞,r]. 而ReL∘f(z0)=ReL(w0)=r, 故该调和函数在z0∈D 取得最大值,根据调和函数的极值原理,我们有ReL∘f≡r. 又由于D是严格凸域, (ReL)−1(r)为Cn中的超平面,且(ReL)−1(r)∩D=∅, 则(ReL)−1(r)∩∂D必至多包含一个点.
事实上,假设w1,w2∈(ReL)−1(r)∩∂D且 w1≠w2,由于D是严格凸域且(ReL)−1(r)为 Cn中的超平面,故连接w1,w2 的线段满足 l={λw1+(1−λ)w2,0<λ<1}⊂(ReL)−1(r)∩D. 这与(ReL)−1(r)∩D=∅矛盾, 故(ReL)−1(r)∩∂D 至多包含一个点, 而w0∈(ReL)−1(r)∩ˉD,因此 (ReL)−1(r)∩ˉD={w0}. 而ReL∘f≡r,故对于∀z∈D有f(z)∈(ReL)−1(r)∩ˉD={w0}, 即f(z)≡w0,∀z∈D,所以有{Gni(z)} 收敛到边界上的一个常值函数w0.
推论4.1 设D⊂⊂Cn 为有界严格凸域,F∈Hol(D,D), F0是F 中有限个映射复合生成的半群,且对D中的任意的m(1≤m≤n) 维仿射子集E和任意的g∈¯F0,g|E≠id, 则有下面的结论成立
(i) 当存在∃z0∈D,使得¯{Gn(z0):n≥1}∩∂D≠∅时,有{Gn(z)}收敛到∂D上的常值映射;
(ii) 当¯F0⊆Hol(D,D)时,{Gn}在D上内闭一致收敛到常值映射.
证 (i) 如果∃z0∈D,使得¯{Gn(z0):n≥1}∩∂D≠∅, 此时根据引理3.4可知{Gn(z)} 内闭一致收敛到∂D上的一个常数, 此时定理已经证明.
(ii) 当¯F0⊆Hol(D,D)时,已经满足了引理3.4中的条件, 则引理3.4中结论必有一条成立,当存在D中k(1≤k≤n)维子流形E, ∃h∈¯F0使得h|E=id|E 成立时与定理中的假设矛盾.
因此{Gn}只能在D上内闭一致收敛到一个常值映射.
定理B的证明 当满足¯F0⊆Hol(D,D)时, 此时根据引理3.4有Gn=f1∘f2∘⋯∘fn 收敛到D内的常值函数. 反之,则存在z0∈D, 序列{φn}⊆F0,使得φn收敛到映射h 且满足h(z0)∈∂D,下面证明 h(D)⊆⋂R>0Ch(¯Fz0(x0,R)∩∂D).
设h(z0)=w0∈∂D,由于D是开的凸域,根据凸集分离定理, 存在Cn上的线性函数L(z)=n∑j=1λjzj(λj∈C,j=1,2,⋯,n) 和实数r使得 ¯D⊆{z:ReL(z)⩽r},w0∈{z:ReL(z)⩾r}. 由于w0∈∂D⊂¯D,故ReL(w0)=r且 D=(¯D)∘⊆{z:ReL(z)⩽r}∘={z:ReL(z)<r}. 由于ReL是Cn上的调和函数,h∈Hol(D,ˉD), 故ReL∘h是D上的调和函数且有ReL∘h(D)⊆ReL(ˉD)⊆(−∞,r]. 而ReL∘h(z0)=ReL(w0)=r,故该调和函数在z0∈D取得最大值, 根据调和函数的极值原理,我们有ReL∘h≡r. 故h(D)∩D=∅. 又h(D)⊆Hol(D,¯D),故h(D)⊂∂D, 根据文献[1,性质2.5]可知 h(D)⊆⋂z∈DCh(h(z))⊆∂D. 由文献[3,命题2.4.17]可知,∃x0∈∂D,∀R>0,∀fi∈Hol(D,D)有 fi(Ez0(x0,R))⊆Fz0(x0,R). 因此有fn1∘fn2∘⋯∘fnj(Ez0(x0,R))⊆Fz0(x0,R), 所以当j→∞时,h(Ez0(x0,R))⊆¯Fz0(x0,R),对于∀z∈Ez0(x0,R), 都有 h(z)∈¯Fz0(x0,R)∩∂D. 因此h(z)∈Ch(¯Fz0(x0,R)∩∂D). 进而 h(Ez0(x0,R))⊆Ch(¯Fz0(x0,R)∩∂D). 而 ⋂z∈DCh(h(z))⊆⋂z∈Ez0(x0,R)Ch(h(z))⊆h(Ez0(x0,R)). 所以有 h(D)⊆⋂z∈DCh(h(z))⊆Ch(¯Fz0(x0,R)∩∂D). 证毕.
当本文两个主要定理中的随机迭代的解析映射相同时,那么定理就变成了单个解析函数的迭代理论, 因此本文给出的定理仍然适合Marco Abate 所给的Wolff-Denjoy 定理的证明, 下面应用本文主要定理的证明方法证明经典的Wolff-Denjoy 定理.
定理5.1 设D⊂⊂Cn中的有界凸域, f∈Hol(D,D),且f是D上的非自同构映射,若f有不动点z0,则f 的迭代序列fn 内闭一致收敛到z0.
证 我们记F={f},则F0={fn}. 若假设∃z∈D,使得limn→+∞KD(fn(z′),z′)=+∞, 则存在fn的子列fnj,使得fnj→x0,j→+∞ 且x0∈∂D,这与z0是f的不动点矛盾. 所以对∀z∈D limn→+∞KD(fn(z),z)=c<+∞.
假设id∈¯F0且有fn的子列fnj, 使得j→+∞时有fnj→id. 而区域D是双曲区域, 则有Hol(D,D)为正规族. 假设j→+∞时fnj−1→h,则有 h(f(z))=limj→+∞fnj−1(f(z))=limj→+∞fnj(z)=id(z)=z, ∀z∈D. 故有h∘f=id,此时映射f为单射,h为满射. 下面证明f是满射. 由文献[20,引理2.1.19]可知对于∀z0∈D,对于z0的任意邻域U,当j→+∞时有z0∈fnj(U)⊂f(D),故f为满射,h为满射, 因此f∘h 在D上有定义,且有 f∘h(z)=limj→+∞f∘fnj−1(z)=limj→+∞fnj(z)=z, ∀z∈∂D. 故f∘h=id,所以f 为 D上的自同构映射,这与题设中 f 是非自同构矛盾,因此有id∉¯F0,故对于 D中任意的m(1≤m≤n) 维仿射子集 E和任意的映射 g∈¯F0,都有 g|E≠id,此时已经满足了我们定理B中的条件(i),故有对于∀z∈D,{fn}内闭一致收敛到D 内的一个常值映射c,而又因为z0是 D内的不动点, 因此 f的迭代序列 fn内闭一致的收敛到 z0.
本文中给出的条件相对于Baker和Ripen的条件弱些,最后的结论也相对弱些, 由此可见,对于一族复解析函数的随机迭代问题的收敛的程度是由定理中相 应的一致性条件决定的,在很弱的一致性条件下得到很强的结论是我们研究 复解析函数的迭代理论的目标,因此寻求 Cn中有界凸域上一族 全纯自映射的随机迭代的内闭一致收敛到常值映射的较弱的条件是非常重要的, 这也是我们今后要继续研究的问题.