数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (6): 1115-1126   PDF (346 KB)    
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刘元星
周海云
王培元
周宇
Hilbert空间中求解带约束的分裂公共不动点问题的三种迭代算法
刘元星1, 周海云2,3, 王培元2,4,5, 周宇2,6    
1 河北经贸大学数统学院 石家庄 050061;
2 军械工程学院基础部 石家庄 050003;
3 河北师范大学数信学院 石家庄 050024;
4 海军装备研究院博士后科研工作站 北京 102249;
5 海军航空兵学院 辽宁葫芦岛 125001;
6 石家庄陆军指挥学院军事运筹研究中心 石家庄 050000
摘要: 该文的目的是研究带约束的分裂公共不动点问题.建立和分析了求解带约束的分裂公共不动点问题的三种新的迭代算法.建立了三种迭代算法的强收敛性结果,这些结果改进并推广了某些作者的相关结论.
关键词: 带约束的公共不动点问题     非扩张映像     迭代算法     强收敛    
Three Kinds of Iterative Algorithms for Solving the Constrained Split Common Fixed Point Problem in Hilbert Spaces
Liu Yuanxing1, Zhou Haiyun2,3, Wang Peiyuan2,4,5, Zhou Yu2,6     
1 School of Mathematics and Statistics, Hebei University of Economics and Business, Shijiazhuang 050061;
2 Department of Basic Courses, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003;
3 College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024;
4 Postdoctoral Workstation, Naval Equipment Institute, Beijing 102249;
5 Naval Aviation Institution, Liaoning Huludao 125001;
6 Military Strategy Research Center, Shijiazhuang Army Command College, Shijiazhuang 050000
Abstract: The purpose of this paper is to study the constrained split common fixed point problem. We suggest and analyze three kinds of iterative algorithms for solving the problem. Several strong convergence theorems have been established, which improve and extend the related results obtained by some authors.
Key words: Constrained split common fixed point problem     Nonexpansive mapping     Iterative algorithm     Strong convergence    
1 引言

设$C$和$Q$分别为Hilbert空间$H_1$和$H_2$的非空闭凸子集, $A:H_1 \to H_2$是一个有界线性算子. 分裂可行性问题(SFP)是指: 找一点$x \in C$满足

\begin{equation} Ax \in Q. \end{equation} (1.1)

由于此问题在信号处理、图像重构以及其他应用领域的广泛应用而备受关注, 详见文献 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]及其参考文献.目前有许多迭代算法求解(1.1),其中最流行的一种算法是Byrne 的CQ 算法,它以下述方式给定

\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}={{P}_{C}}[{{x}_{n}}-\gamma A^*(I-{{P}_{Q}})A{{x}_{n}}],\ \ n\ge 1, \end{equation} (1.2)
其中$\gamma \in (0,2/{\|A\|^2})$,$A^*$是$A$的共轭算子, ${{P}_{C}}$和${{P}_{Q}}$分别是$H_1$和$H_2$向$C$和$Q$上的距离投影.

2009年,Censor和Segal[16]考虑了分裂公共不动点问题(SCFPP): 找一点$x\in {\rm Fix}(U)$满足

\begin{equation} Ax\in {\rm Fix}(V), \end{equation} (1.3)
其中$U$和$V$是两个定向算子,${\rm Fix}(U)=\{x\in {{H}_{1}}:Ux=x\}$和 ${\rm Fix}(V)=\{x\in {{H}_{2}}:Vx=x\}$分别表示$U$和$V$的不动点集. 它们提出了下述算法求解(1.3)
\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=U[{{x}_{n}}-\lambda A^*(I-V)A{{x}_{n}}],\ \ n\ge 1, \end{equation} (1.4)
其中$\lambda \in (0,2/{\|A\|^2})$,$A^*$是有界线性算子$A:H_1\to H_2$的共轭算子.

如果在(1.3)和(1.4)式中分别取$U=P_{C}$和$V=P_{Q}$则(1.3)和(1.4)式分别化为(1.1)和(1.2)式, 因此,分裂公共不动点问题(SCFPP)是分裂可行性问题(SFP)的推广(一般化), 而相应的迭代算法(1.4)是(1.2)的推广(一般化).

Li 等[14]最近考虑了带约束的分裂公共不动点问题(CSCFPP)如下: 找一点$x\in C\cap {\rm Fix}(T)$满足

\begin{equation} Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S), \end{equation} (1.5)
其中$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$和$S:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$ 是两个非扩张映像.他们提出下述算法求解问题(1.5)
\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=TP_{C}[(1-{{\alpha }_{n}})({{x}_{n}}-\delta A^*(I-S{{P}_{Q}})A{{x}_{n}})],\ \ n\ge 1, \end{equation} (1.6)
其中$\{{{\alpha }_{n}}\}$是$(0,1)$中一数列,而$\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$.

注1.1 如果我们取$C=H_1$与$Q=H_2$,则(1.5)式化为(1.3)式. 因此带约束的分裂公共不动点问题(CSCFPP)是分裂公共不动点问题(SCFPP)的一般化, 而相应的迭代算法(1.6)是(1.4)的一般化.

我们用$\Gamma $表示问题(1.5)的解集,即 $$ \Gamma =\{x^*\in H_1:x^*\in C\cap {\rm Fix}(T),\;Ax^*\in Q\cap {\rm Fix}(S)\}. $$ Li 等[14]证明了,如果$\Gamma \ne \emptyset$,$\{\alpha_n\}$满足下列条件
        $({{\rm{C}}_{\rm{1}}})\;{\alpha _n} \to 0;({{\rm{C}}_{\rm{2}}})\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\alpha _n}} = \infty ;({{\rm{C}}_{\rm{3}}})\;\frac{{{\alpha _{n + 1}}}}{{{\alpha _n}}} \to 1,$
则由(1.6)式所产生的序列 $\{x_n\}$强收敛于$x^*=P_{\Gamma }(\theta )$,这里$P_{\Gamma }$表示由$H$到$\Gamma $上 的距离投影.

目前,我们关心的问题如下

(1) Li 等[14]的上述收敛结果能否由已知的收敛定理推得?

(2) 如何修改算法(1.6)式以便在没有假设$(\rm {C_3})\; \frac{{{\alpha }_{n+1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$的情况下保证有强收敛?

本文的目的是要引入三种迭代算法并分析它们的收敛性,所得结果改进并扩展了某些作者的相关结论.

2 预备知识

设$H$是实Hilbert空间,用$\left\langle \cdot \ \ \cdot \right\rangle $ 和$\|\cdot \|$ 分别表示${\rm H}$中的内积和范数.

众所周知,$\forall x,y\in H$有下列恒等式成立

\begin{equation} \| tx+(1-t)y{{\| }^{2}}=t\| x{{\| }^{2}}+(1-t)\| y{{\| }^{2}}-t(1-t)\| x-y{{\| }^{2}},\ \ t\in \mathbb{R}, \end{equation} (2.1)
\begin{equation} \| x\pm y{{\| }^{2}}=\| x{{\| }^{2}}\pm 2\left\langle x,y \right\rangle +\| y{{\| }^{2}}, \end{equation} (2.2)

设${\rm C}$是$H$中的非空闭凸子集,则$\forall x\in H$,存在唯一的元素${{{\rm P}}_{C}}{\rm x}\in C$满足

\begin{equation} \|x-{{P}_{C}}x\|=\inf\{ \|x-y\|:y\in C\}. \end{equation} (2.3)

称${{P}_{C}}:H\to C$为从${\rm H}$到${\rm C}$上的距离投影,它享有良好的几何性质

$\rm (p_1) \left\langle x-{{P}_{C}}x,y-{{P}_{C}}x \right\rangle \le 0,\ \ \forall x\in H,\ \ \forall y\in C; $

$ \rm (p_2) \left\|P_{C}x-P_{C}y \right\|^2\le \left\langle x-y,P_{C}x-P_{C}y \right\rangle,\; \forall x,y\in H, $

特别地,有 $$ \left\| {{P}_{C}}x-{{P}_{C}}y \right\|\le \left\| x-y \right\|,\;\forall x,y\in H; $$ $ \rm (p_3) \left\|P_{C}x-P_{C}y \right\|^2\le \|x-y\|^2-\|(I-P_{C})x-(I-P_{C})y\|^2,\; \forall x,y\in H, $

特别地,有

$ \rm (p_4) \left\|P_{C}x-y \right\|^2\le \|x-y\|^2-\|(I-P_{C})x\|^2,\;\forall x\in H\ \ y\in C; $

$ \rm (p_5) P_{C}=\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}S, $ 这里$S$是一个非扩张映像.

我们用${\rm dom}(S)$表示$S$的定义域,${\rm Fix}(S)$表示$S$的不动点集.

回顾映像$S:{\rm dom}(S)\subset H\to H$称为非扩张的,如果

\begin{equation} \| Sx-Sy\| \le \| x-y\| ,~~ \forall x,y\in {\rm dom}(S). \end{equation} (2.4)

熟知,如果$S$是非扩张的且${\rm Fix}({\rm S})\ne \varnothing $,则有

\begin{equation} \left\langle (I-S)x,x-p \right\rangle \ge \frac{1}{2}\| (I-S)x{{\| }^{2}}, ~~ \forall x\in {\rm dom}(S),\ \ \forall p\in {\rm Fix}(S). \end{equation} (2.5)

映像$S:{\rm dom}(S)\subset H\to H$称为firmly -非扩张的,如果存在$\lambda \in (0,1)$ 与另一个非扩张映像${\rm T}$满足

\begin{equation} S=(1-\lambda )I+\lambda T. \end{equation} (2.6)

注2.1 由$({{{\rm p}}_{2}})$、$({{{\rm p}}_{3}})$和 $({{{\rm p}}_{5}})$可知,${{P}_{C}}$和${\rm I}-{{P}_{C}}$ 都是firmly -非扩张的与$\frac{1}{2}$ -平均非扩张的. 平均非扩张的重要性包含在下列三个命题之中.

命题2.1 (Byrne[4]) 如果${\rm U}$和${\rm V}$分别是 ${{\lambda }_{1}}$ -平均非扩张的和${{\lambda }_{2}}$ - 平均非扩张的, 只要${\rm T=UV}$是适定的,则${\rm T}$是$\lambda $ -平均非扩张的,这 里$\lambda=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_1\lambda_2$.

命题2.2 设${\rm U}$是平均非扩张的,而${\rm V}$是非扩张的, 满足${\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)\ne \varnothing $. 只要${\rm UV}$和 ${\rm VU}$是适定的,就有 $ {\rm Fix}(UV)={\rm Fix}(VU)={\rm Fix}(U)\bigcap{\rm Fix}(V). $

先证${\rm Fix}(UV)={\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$.

“右边$\subseteq $左边"是明显的,只需证明”左边$\subseteq $右边".

设${\rm x}=UV{\rm x}$,$p\in {\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$, 因为$U$是平均非扩张的,故存在$\lambda \in (0,1)$及另外一个非扩张映像$W$满足

\begin{equation} U=(1-\lambda )I+\lambda W. \end{equation} (2.7)
由于$p=Up=Vp$知
\begin{equation} p=Wp=W{\rm Vp}. \end{equation} (2.8)

使用(2.1)式,$x=UVx$,(2.7)式和(2.8)式得 \begin{eqnarray*} \| x-p{{\| }^{2}}&=&\| UVx-p{{\| }^{2}} \\ & =&\| [(1-\lambda )+\lambda W]Vx-p{{\| }^{2}} \\ & =&\| (1-\lambda )Vx+\lambda WVx-[(1-\lambda )Vp+\lambda WVp]{{\| }^{2}} \\ & =&\| (1-\lambda )(Vx-Vp)+\lambda (WVx-WVp){{\| }^{2}} \\ & =&(1-\lambda )\| Vx-Vp{{\| }^{2}}+\lambda \| WVx-WVp{{\| }^{2}} -\lambda (1-\lambda )\| Vx-WVx{{\| }^{2}}, \end{eqnarray*} 这推得

\begin{equation} Vx=WVx. \end{equation} (2.9)

使用(2.7)式和(2.9)式得 $$ x=UVx =(1-\lambda )Vx+\lambda WVx =(1-\lambda )Vx+\lambda Vx =Vx, $$

这推得$x=Ux$,从而有$x\in {\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$.

使用一个类似的推理过程可证${\rm Fix}(VU)={\rm Fix}(V)\bigcap {\rm Fix}(U).$

由于${{P}_{C}}$是$\frac{1}{2}$ -平均非扩张的,故使用命题2.2可以推得下述结论.

命题2.3 (Zhou等[15]) 设$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to H$是非扩张映像满足 ${\rm Fix}(T)\ne \varnothing $,则有 $$ {\rm Fix}({{P}_{C}}T)={\rm Fix}(T)={\rm Fix}(T{{P}_{C}}). $$

命题2.4 (Suzuki[13]) 设$\{{{x}_{n}}\}$和$\{{{y}_{n}}\}$是Banach空间 ${\rm E}$中的两个有界序列,$\{{{\lambda }_{n}}\}$ 是$(0,1)$中的数列满足条件 $0<\mathop{\underline{\lim }}\limits_{n} {{\lambda }_{n}}\le \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} {{\lambda }_{n}}<1.$ 如果$\{{{x}_{n}}\}$和$\{{{y}_{n}}\}$满足下述关系 $$ {{x}_{n+1}}={{\lambda }_{n}}{{x}_{n}}+(1-{{\lambda }_{n}}){{y}_{n}},\ \ n\ge 1, $$ 则${{x}_{n}}-{{y}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$.

命题2.5 (Xu[12]) 设$\{{{a}_{n}}\}$是一个非负数列,满足下述循环关系 $$ {{a}_{n+1}}\le (1-{{{\rm t}}_{n}}){{a}_{n}}+{{\delta }_{n}},\ \ n\ge 1, $$ 其中${{t}_{n}}\in [0, 1]$,而${{\delta }_{n}}\in {{\mathbb{R}}^{1}}$满足条件 (i) $\sum\limits_{{\rm n}=1}^{\infty }{{{t}_{n}}=\infty }$; (ii) $\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \frac{{{\delta }_{n}}}{{{{\rm t}}_{n}}}\le 0$或$\sum\limits_{{\rm n}=1}^{\infty }{\left| {{\delta }_{n}} \right|<\infty }$, 则有${{a}_{n}}\to 0\ (n\to \infty )$.

下面的命题在本文中起着关键的作用.

命题2.6 设${\rm C}$和${\rm Q}$分别为实Hilbert空间${{{\rm H}}_{1}}$ 和${{{\rm H}}_{2}}$的非空闭凸子集,$A:{{H}_{1}}\to {{H}_{2}}$是一个有界线性算子. 设$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$和${\rm S}:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$分别为非扩张映像.任取固定的 $\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$,令${U}=I-\delta A*(I-S{{P}_{Q}})A$,记 $$ {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))=\{x\in {{H}_{1}}:Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S)\}, $$ 则下列结论成立

(1) $\Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))$;

(2) 若$\Gamma \ne \emptyset$,则${\rm Fix}(U)={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))$;

(3) 若$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^{2}}]$,则$U$是非扩张的; 若$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^{2}})$,则$U$是 $\delta\|A\|^2$ -平均非扩张的.

(1) 由$\Gamma $的定义即知.

(2) ${{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))\subseteq {\rm Fix}(U)$是明显的, 只需证明相反的包含关系.设$x=Ux$,取定一点$z\in \Gamma $, 则$A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax=\theta $,$Az\in Q$且$Az=SAz$, 这推得${{P}_{Q}}Az=Az$且$A^*(I-S{{P}_{Q}})A{\rm z}=\theta $,从而有

\begin{equation} \begin{array}[b]{rl} 0&=\left\langle A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax-A^*(I-S{{P}_{Q}})Az,x-z \right\rangle \\ &=\left\langle (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Az,Ax-Az \right\rangle \\ &=\| Ax-Az{{\| }^{2}}-\left\langle S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}A{\rm z},Ax-Az \right\rangle , \end{array} \end{equation} (2.10)
这推得
\begin{equation} \| Ax-Az{{\| }^{2}}=\left\langle S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}Az,Ax-Az \right\rangle \le \| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Az \| \|Ax-Az\| . \end{equation} (2.11)
在(2.11)式两端消去$\|Ax-Az\|$得
\begin{equation} \| Ax-Az\| \le \| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Az\| . \end{equation} (2.12)
使用(2.12)式可得 $$ \| Ax-Az{{\| }^{2}}\le \| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Az{{\| }^{2}} \le \| Ax-Az{{\| }^{2}}-\| (I-{{P}_{Q}})Ax{{\| }^{2}}, $$ 这推得
\begin{equation} Ax={{P}_{Q}}Ax, \end{equation} (2.13)
\begin{equation} Ax\in Q. \end{equation} (2.14)
将(2.13)式代入(2.10)式得 $ 0{\rm =}\left\langle Ax-SAx,Ax-Az \right\rangle \ge \frac{1}{2}\| Ax-SAx{{\| }^{2}}, $ 这推得
\begin{equation} Ax=SAx, \end{equation} (2.15)
即$Ax\in {\rm Fix}(S)$,再由(2.14)式知 $ {\rm A}x\in Q\cap {\rm Fix}(S)\Rightarrow x\in {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)). $

(3) 使用$U$的定义与(2.2)式,$\forall x,y\in {{H}_{1}}$,我们有

\begin{eqnarray} \| Ux-Uy{{\| }^{2}}&=&\| x-y{{\| }^{2}}-2\delta \left\langle A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax-A^*(I-S{{P}_{Q}})Ay,x-y \right\rangle \nonumber\\ & &+{{\delta }^{2}}\| A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax-A^*(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &\le & \| x-y{{\| }^{2}}-2\delta \left\langle (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay,Ax-Ay \right\rangle \nonumber\\ &&+{{\delta }^{2}}\| A{{\| }^{2}}\| (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&\| x-y{{\| }^{2}}+2\delta \left\langle (I-S{{P}_{Q}})Ay-(I-S{{P}_{Q}})Ax,Ax-Ay \right\rangle \nonumber\\ && +{{\delta }^{2}}\| A{{\| }^{2}}\| (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}}. \end{eqnarray} (2.16)

现在我们估计(2.16)式右边第2项.

再次使用(2.2)式和$({{{\rm p}}_{3}})$得

\begin{eqnarray} && \left\langle Ay-S{{P}_{Q}}Ay-(Ax-S{{P}_{Q}}Ax),Ax-Ay \right\rangle \nonumber\\ & =&\left\langle Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax,S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}Ay \right\rangle \nonumber\\ && -\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&\frac{1}{2}\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}}+\frac{1}{2}\| S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\| Ax-Ay{{\| }^{2}}-\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}} \nonumber\\ & \le& -\frac{1}{2}\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}}+\frac{1}{2}\| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Ay{{\| }^{2}} -\frac{1}{2}\| Ax-Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ & \le& -\frac{1}{2}\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}}-\frac{1}{2}\| (I-{{P}_{Q}})Ax-(I-{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}}. \end{eqnarray} (2.17)
将(2.17)式代入(2.16)式并使用$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}}]$得将(2.17) 式代入(2.16)式并使用$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}}]$得
\begin{eqnarray} \| Ux-Uy{{\| }^{2}}&\le& \| x-y{{\| }^{2}}-\delta (1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&-\delta \| (I-{{P}_{Q}})Ax-(I-{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &\le& \| x-y{{\| }^{2}}-\delta \| (I-{{P}_{Q}})Ax-(I-{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}}. \end{eqnarray} (2.18)
由(2.18)式知,当$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}}]$时,$U$是非扩张的. 记$V=I-\frac{1}{\| A{{\| }^{2}}}A*(I-S{{P}_{Q}})A$,则$V$是非扩张的.注意到 $ U=(1-\delta \| A{{\| }^{2}})I+\delta \| A{{\| }^{2}}V, $ 故 当$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}})$时,$U$是 $\delta \| {\rm A}{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的.

下面我们引入三种迭代算法求解(1.6)式.固定$\lambda \in (0,1)$, 记${{T}_{\lambda }}=(1-\lambda ){{I}_{\lambda }}T$.

算法A $$ {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1. $$

算法B $$ {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}={{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1. $$

算法C $$ {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=\lambda {{x}_{n}}+(1-\lambda )T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1. $$

3 收敛性分析

定理3.1 假设$\Gamma \ne \emptyset$, $\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$ 满足下列条件

$({{\rm C}_{1}})$ ${{\alpha }_{n}}\to 0$;

$({{\rm C}_{2}})$ $ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $;

$({{\rm C}_{3}})$ $ \sum\limits_{n=1}^{\infty } {{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|<\infty $ 或$ \frac{{{\alpha }_{n{\rm +}1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$, 则由算法A所产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }u$.

由命题2.2、2.3和2.6知,$U$是平均非扩张的,且有 $$ \Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(UT{{P}_{C}}). $$

令${{y}_{n}}=(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u$, 则算法A化为${{{\rm x}}_{n+1}}=T{{P}_{C}}{{y}_{n}}$, 从而产生出一个新的迭代序列$\{{{y}_{n}}\}$

\begin{equation} {{y}_{n+1}}=(1-{{\alpha }_{n+1}})(UT{{P}_{C}}){{y}_{n}}+{{\alpha }_{n{\rm +}1}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation} (3.2)

记${{\beta }_{n}}={{\alpha }_{n+1}}$,$V=UT{{P}_{C}}$,则(3.1)式化为
\begin{equation} {{y}_{n+1}}=(1-{{\beta }_{n}})V{{y}_{n}}+{{\beta }_{n}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation} (3.2)

使用Wittmann[11]和Xu[12]的收敛定理,我们断言 $ {{y}_{n}}\to {{x}^{*}}~ (n\to \infty ), $ 而${{x}^{*}}={{P}_{{\rm Fix}(V)}}u={{P}_{\Gamma }}u$, 从而有${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}~ (n\to \infty )$.

如果在算法A中,取$u=\theta $,则我们可得下述推论.

推论3.1 假设$\Gamma \ne \emptyset$,$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$. 如果 $\{\alpha_n\}$满足定理3.1中条件$({{\rm C}_{1}})$--$({{\rm C}_{3}})$. 设$\{x_n\}$是由下列方式产生的序列

\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}],\ \ n\ge 1, \end{equation} (3.3)
则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }\theta $.

注3.1 推论3.1是文献[14]中的定理3.2.值得指出的 是我们所给出的收敛性分析比文献[14]中的方法要简单得多.

定理 3.2 假设$\Gamma \ne \emptyset$, $\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0\ \ (n\to \infty )$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $, 则由算法B所产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }u$. 特别地,如果我们取$u=\theta $,则相应的迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于 $x^*=P_{\Gamma }\theta $.

由命题2.2、2.3和2.6知,$U$是平均非扩张的,而且 $$ \begin{array}{rl} \Gamma &=C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) =C\cap {\rm Fix}({{T}_{\lambda }})\cap {\rm Fix}(U) \\ &={\rm Fix}({{T}_{\lambda }}{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}({{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}U). \end{array} $$ 令${{y}_{n}}=(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u$, 则算法B化为${{x}_{n+1}}={{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}{{y}_{n}}$, 由此产生一个新的序列$\{{{y}_{n}}\}$

\begin{equation} y_{n+1}=(1-{{\alpha }_{n+1}})(U{{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}){{y}_{n}}+{{\alpha }_{n+1}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation} (3.4)

记$\beta_n=\alpha_{n+1}$,$W=U{{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}$,则$\{{{\beta }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})$与$({{\rm C}_{2}})$,由命题2.1 知 $W$是平均非扩张的,而(3.4)式化为

\begin{equation} y_{n+1}=(1-{{\beta }_{n}})W{{y}_{n}}+{{\beta }_{n}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation} (3.5)

使用Suzuki[13]的收敛定理,我们断言${{y}_{n}}\to {{x}^{*}}$, 而${{x}^{*}}={{P}_{{\rm Fix}(W)}}u={{P}_{\Gamma }}u$, 从而${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}$ $ (n\to \infty )$. 特别地, 如果取$u=\theta $,则迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*={{P}_{\Gamma }}\theta $.

定理 3.3 假设$\Gamma \ne \emptyset$,$\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件$({{\rm C}_{1}})$与$({{\rm C}_{2}})$, 则由算法$C$所产生的序列$\{x_n\}$依范数收敛于$x^{*}={{P}_{\Gamma }}u$, 特别地,如果我们取$u=\theta $,则相应的迭代序列$\{x_n\}$依范数收敛于 $x^{*}={{P}_{\Gamma }}\theta $.

我们分四步完成证明.

第1步 证明$\{{{x}_{n}}\}$是有界的.

使用算法C,$T,\ {{P}_{C}},\ U$的非扩张性得 \begin{eqnarray*} \|x_{n+1}-x^*\|&\le & \lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda )(1-{{\alpha }_{n}})\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}\| u-{{x}^{*}}\| \\ &=&[1-(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}]\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}\| u-{{x}^{*}}\| \\ &\le& \max \{\| {{x}_{1}}-{{x}^{*}}\| ,\| u-{{x}^{*}}\| \}=M,\ \ \forall n\ge 1. \end{eqnarray*} 这表明$\{{{x}_{n}}\}$是有界的,从而$\{U{{x}_{n}}\}$也是有界的.

第2步 证明${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty ).$

令$y_n=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u]$,则算法C可写为

\begin{equation} {{x}_{n+1}}=\lambda {{x}_{n}}+(1-\lambda ){{y}_{n}},\ \ n\ge 1. \end{equation} (3.6)

使用$T,\ {{P}_{C}},\ U$的非扩张性得 $$ \begin{array}{rl} \| {{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\| &=\| T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n+1}})U{{x}_{n+1}}+{{\alpha }_{n+1}}u]-T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u]\| \\ &\le \| {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\| +|{{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|(\| u\| +M), \end{array} $$ 这推得 $ \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} (\| {{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\| -\| {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\| )\le 0. $

使用命题2.4,我们断言${{y}_{n}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty )$, 从而有${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty )$.

由于 $$ \begin{array}{rl} \| {{x}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\| &\le \| {{x}_{n}}-{{y}_{n}}\| +\| {{y}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\| \\ &\le \| {{x}_{n}}-{{y}_{n}}\| +{{\alpha }_{n}}(\| u\| +\| U{{x}_{n}}\| )\to 0, \end{array} $$ 故

\begin{equation} {{x}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty ). \end{equation} (3.7)

第3步 证明$ \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0$,其中${{x}^{*}}={{P}_{\Gamma }}u$.

由第1步知$\{{{x}_{n}}\}$是有界的,不失一般性,我们可以假设

\begin{equation} \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u} -{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle = \lim_{j \to \infty } \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{{{n}_{j}}}}-{{x}^{*}} \right\rangle , \end{equation} (3.8)
其中${{x}_{{{n}_{j}}}}\rightharpoonup \hat{x}\ (j\to \infty )$. 使用Geobel和Kirk[16]的次闭原理知,$\hat{x}=T{{P}_{C}}U\hat{x}$.由命题2.2知 $ \Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}}U) , $ 因而$\hat{x}\in \Gamma $.由(3.8)式和$({{{\rm p}}_{1}})$知 $ \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle {\rm =}\left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}\hat{x}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0. $

第4步 证明${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}\ \ (n\to \infty ).$

由于$U$是$\delta \|A\|^2$ -平均非扩张的,故存在另一个非扩张映像$G$满足

\begin{equation} U=(1-\delta \| A{{\| }^{2}})I+\delta \| A{{\| }^{2}}G \end{equation} (3.9)
\begin{equation} {\rm Fix}(G)={\rm Fix}(U). \end{equation} (3.10)
使用(2.1),(3.9)与(3.10)式得
\begin{eqnarray} \|Ux-x^{*}\|^2&=&\| (1-\delta \| A{{\| }^{2}})(x-{{x}^{*}})+\delta \| A{{\| }^{2}}(Gx-{{x}^{*}}){{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&(1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| x-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+\delta \| A{{\| }^{2}}\| Gx-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&-\delta \| A{{\| }^{2}}\| (1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| x-Gx{{\| }^{2}} \nonumber\\ &\le& \| x-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}-\delta \| A{{\| }^{2}}\| (1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| x-Gx{{\| }^{2}},\ \ \forall x\in {{H}_{1}}. \end{eqnarray} (3.11)

使用算法C,$\| \cdot {{\| }^{2}}$的凸性,$T$与$P_{C}$的非扩张性和(3.11)式得

\begin{eqnarray} \| {{x}_{n+1}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} &\le& \lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda )\| {{y}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &=&\lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda )\| (1-{{\alpha }_{n}})(U{{x}_{n}}-{{x}^{*}})+{{\alpha }_{n}}(u-{{x}^{*}}){{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&\lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda )[{{(1-{{\alpha }_{n}})}^{2}}\| U{{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+{{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&+2{{\alpha }_{n}}(1-{{\alpha }_{n}})\left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle] \nonumber\\ &\le& [1-(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}]\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&+2(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}(1-{{\alpha }_{n}})\left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \nonumber\\ && -(1-\lambda ){{(1-{{\alpha }_{n}})}^{2}}\delta \| A{{\| }^{2}}(1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| {{x}_{n}}-G{{x}_{n}}{{\| }^{2}}. \end{eqnarray} (3.12)

使用第2步,${{\alpha }_{n}}\to 0$和(3.12)式可推得${{x}_{n}}-G{{x}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$.

再由(3.9)式推得${{x}_{n}}-U{{x}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$,从而由第3步知

\begin{equation} \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{\rm U} {{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle =\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0. \end{equation} (3.13)

记$t_n=(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}$,${{\delta }_{n}}=2t_n(1-{{\alpha }_{n}}) \left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}$,则(3.12)式可重写为

\begin{equation} \| {{x}_{n+1}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}\le (1-{{t}_{n}})\| {{x}_{n}}- x*{{\| }^{2}}+{{\delta }_{n}},\ \ n\ge 1, \end{equation} (3.14)
其中$\{{{\delta }_{n}}\}$满足条件 $ \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \frac{{{\delta }_{n}}}{{{t}_{n}}}\le 0$, 而$\{{{t}_{n}}\}$满足条件$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\rm t}}_{n}}=\infty $. 使用命题2.5得${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}$ $ (n\to \infty )$. 如果我们取${\rm u}=\theta $, 则相应的迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{{\rm x}}^{*}}={{P}_{\Gamma }}\theta $.

注 3.2 如果我们取${\rm T}=I{{|}_{{{H}_{1}}}}$,$S=I{{|}_{{{H}_{2}}}}$, 则算法A,B和C分别化作求解分裂可行性问题(SFP)(1.1)的相应算法.

注 3.3 由于$T{{P}_{C}}$和$S{{P}_{Q}}$未必是定向算子, 定理3.1--3.3不能由文献[9]推出.

4 结论的扩展

本节我们将把第3节所得到的结果扩展到$T$和$S$都是$\lambda$ -严格伪压缩映像的场合. $T:{\rm dom}(T)\subset H\to H$称为$\lambda$ -严格伪压缩的,如果存在$\lambda >1$使得

\begin{equation} \| Tx-Ty{{\| }^{2}}\le \| x-y{{\| }^{2}}+\lambda \| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T). \end{equation} (4.1)

易知,(4.1)式等价于

\begin{equation} \left\langle Tx-Ty,x-y \right\rangle \le \| x-y\| -\frac{1-\lambda }{2}\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T). \end{equation} (4.2)

引理 4.1 设$\lambda \in (-\infty ,1)$,$T:{\rm dom}(T)\subset H\to H$是$\lambda $ -严格伪压缩映像. 记${{T}_{\theta }}=(1-\theta )I+\theta T$,则下列结论成立

(1) 当$\theta \in (0,1-\lambda]$时,${{T}_{\theta }}$是非扩张的;

(2) 当$\theta \in (0,1-\lambda )$时,${{T}_{\theta }}$ 是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的;

(3) 当$\theta>0$时,${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$.

(1) 由于$\theta \in (0,1-\lambda]$,使用(2.1)和(4.1)式得 \begin{eqnarray*} \| {{T}_{\theta }}x-{{T}_{\theta }}y{{\| }^{2}} &=&\| (1-\theta )(x-y)+\theta (Tx-Ty){{\| }^{2}} \\ & =&(1-\theta )\| x-y{{\| }^{2}}+\theta \| Tx-Ty{{\| }^{2}} -\theta (1-\theta )\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}} \\ & \le& (1-\theta )\| x-y{{\| }^{2}}+\theta \| x-y{{\| }^{2}}-\theta (1-\lambda -\theta )\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}} \\ &\le & \| x-y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T), \end{eqnarray*} 这推得 $$ \| {{T}_{\theta }}x-{{T}_{\theta }}y\| \le \| x-y\| ,\ \ \forall x,y\in {\rm dom}({{T}_{\theta }}). $$

(2) 设$\theta \in (0,1-\lambda )$,则$\frac{\theta }{1-\lambda }\in (0,1)$,${{T}_{\theta }}$可以重写为

\begin{equation} {{{\rm T}}_{\theta }}=(1-\frac{\theta }{1-\lambda })I+\frac{\theta }{1-\lambda }[\lambda I+(1-\lambda )T], \end{equation} (4.3)

由(1)知$\lambda I+\lambda T$是非扩张的,故(4.3)式表明${{T}_{\theta }}$是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的.

(3) 由于$I-{{T}_{\theta }}=\theta (I-T)$,$\theta>0$,故有 $ x\in {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\Leftrightarrow x\in {\rm Fix}(T). $ 证毕.

我们考虑涉及严格伪压缩映像的带约束的分裂公共不动点问题: 找一点$x\in C\bigcap {\rm Fix}(T)$满足

\begin{equation} Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S), \end{equation} (4.4)
其中$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$为$\lambda$ -严格伪压缩映像, 而$S:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$为$\mu$ -严格伪压缩映像, $A:H_1\to H_2$为有界线性算子,$C$和$Q$分别为$H_1$和$H_2$中的非空闭凸子集.

我们用$\Omega $表示问题(4.4)的解集,即

\begin{equation} \Omega=C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)). \end{equation} (4.5)

对$\theta \in (1,1-\lambda]$,$\nu\in (0,1-\mu]$, 记${{T}_{\theta }}=(1-\theta )I+\theta T$,$S_\nu=(1-\nu)I+\nu S$.

我们引入下面的算法: $u,{{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\;\beta \in (0,1)$,

\begin{equation} {{x}_{n+1}}={{T}_{\theta }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})({{x}_{n}}-\delta A^*(I-{{S}_{\nu}}{{P}_{Q}})A{{x}_{n}})+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1 \end{equation} (4.6)
\begin{equation} {{x}_{n+1}}=\beta {{x}_{n}}+(1-\beta ){{T}_{\theta }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})({{x}_{n}}-\delta A^*(I-{{S}_{\nu}}{{P}_{Q}})A{{x}_{n}})+{{\alpha }_{n}}u],\ n\ge 1, \end{equation} (4.7)
其中$\delta\in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$,$\{\alpha_n\}$为满足一定条件的数列.

使用定理3.1--3.3,我们可以推得下列结果.

定理4.1 假设$\Omega \ne \emptyset $, $\theta \in (0,1-\lambda]$,$\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$ 满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $; $({{\rm C}_{3}})\ \sum\limits_{n=1}^{\infty } {{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|<\infty $或$\ \frac{{{\alpha }_{n{\rm +}1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$, 则由(4.6)产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于 ${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.

使用引理4.1(1)和(3)知,${{T}_{\theta }}: {\rm dom}({{T}_{\theta }})\supseteq C\to {{H}_{1}}$是非扩张的, ${{S}_{v}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的, 而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$,${\rm Fix}({{{\rm S}}_{v}}) ={\rm Fix}(S)$.记 ${{U}_{v}}=I-\delta A*(I-{{S}_{v}}{{P}_{Q}})A, $ 则由命题2.6知,${{U}_{v}}$是$\delta \| A{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的, 且有 $${\rm Fix}({{U}_{v}})={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) ={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)). $$

使用定理3.1知,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$,其中 \begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)) \\ &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}

特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.

定理4.2 假设$\Omega \ne \emptyset$,$\theta \in (0,1-\lambda )$, $\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $, 则由(4.6)式产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.

此时${{T}_{\theta }}:{\rm dom}({{T}_{\theta }})\supseteq C\to {{H}_{1}}$ 是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的, ${{S}_{v}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的, ${{U}_{v}}=I-\delta A*(I-{{S}_{v}}{{P}_{Q}})A$是$\delta \| A{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的,而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$, ${\rm Fix}({{{\rm S}}_{v}})={\rm Fix}(S)$.再注意到 \begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}

使用定理3.2推知,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta $, 则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.

定理4.3 假设$\Omega \ne \emptyset$,$\theta \in (0,1-\lambda )$, $\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $, 则由(4.7)式产生的序列 $\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地, 如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.

使用引理4.1(2)和(3)知,${{T}_{\theta }}:{\rm dom}({{T}_{\theta }}) \supseteq C\to {{H}_{1}}$是非扩张的,${{S}_{\nu}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的,而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$, ${\rm Fix}({{{\rm S}}_{\nu}})={\rm Fix}(S)$.再注意到 \begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*} 使用定理3.3推得,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$, 特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.

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