设$C$和$Q$分别为Hilbert空间$H_1$和$H_2$的非空闭凸子集, $A:H_1 \to H_2$是一个有界线性算子. 分裂可行性问题(SFP)是指: 找一点$x \in C$满足
由于此问题在信号处理、图像重构以及其他应用领域的广泛应用而备受关注, 详见文献 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]及其参考文献.目前有许多迭代算法求解(1.1),其中最流行的一种算法是Byrne 的CQ 算法,它以下述方式给定
2009年,Censor和Segal[16]考虑了分裂公共不动点问题(SCFPP): 找一点$x\in {\rm Fix}(U)$满足
如果在(1.3)和(1.4)式中分别取$U=P_{C}$和$V=P_{Q}$则(1.3)和(1.4)式分别化为(1.1)和(1.2)式, 因此,分裂公共不动点问题(SCFPP)是分裂可行性问题(SFP)的推广(一般化), 而相应的迭代算法(1.4)是(1.2)的推广(一般化).
Li 等[14]最近考虑了带约束的分裂公共不动点问题(CSCFPP)如下: 找一点$x\in C\cap {\rm Fix}(T)$满足
注1.1 如果我们取$C=H_1$与$Q=H_2$,则(1.5)式化为(1.3)式. 因此带约束的分裂公共不动点问题(CSCFPP)是分裂公共不动点问题(SCFPP)的一般化, 而相应的迭代算法(1.6)是(1.4)的一般化.
我们用$\Gamma $表示问题(1.5)的解集,即 $$ \Gamma =\{x^*\in H_1:x^*\in C\cap {\rm Fix}(T),\;Ax^*\in Q\cap {\rm Fix}(S)\}. $$ Li 等[14]证明了,如果$\Gamma \ne \emptyset$,$\{\alpha_n\}$满足下列条件 $({{\rm{C}}_{\rm{1}}})\;{\alpha _n} \to 0;({{\rm{C}}_{\rm{2}}})\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\alpha _n}} = \infty ;({{\rm{C}}_{\rm{3}}})\;\frac{{{\alpha _{n + 1}}}}{{{\alpha _n}}} \to 1,$ 则由(1.6)式所产生的序列 $\{x_n\}$强收敛于$x^*=P_{\Gamma }(\theta )$,这里$P_{\Gamma }$表示由$H$到$\Gamma $上 的距离投影.
目前,我们关心的问题如下
(1) Li 等[14]的上述收敛结果能否由已知的收敛定理推得?
(2) 如何修改算法(1.6)式以便在没有假设$(\rm {C_3})\; \frac{{{\alpha }_{n+1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$的情况下保证有强收敛?
本文的目的是要引入三种迭代算法并分析它们的收敛性,所得结果改进并扩展了某些作者的相关结论.
设$H$是实Hilbert空间,用$\left\langle \cdot \ \ \cdot \right\rangle $ 和$\|\cdot \|$ 分别表示${\rm H}$中的内积和范数.
众所周知,$\forall x,y\in H$有下列恒等式成立
设${\rm C}$是$H$中的非空闭凸子集,则$\forall x\in H$,存在唯一的元素${{{\rm P}}_{C}}{\rm x}\in C$满足
称${{P}_{C}}:H\to C$为从${\rm H}$到${\rm C}$上的距离投影,它享有良好的几何性质
$\rm (p_1) \left\langle x-{{P}_{C}}x,y-{{P}_{C}}x \right\rangle \le 0,\ \ \forall x\in H,\ \ \forall y\in C; $
$ \rm (p_2) \left\|P_{C}x-P_{C}y \right\|^2\le \left\langle x-y,P_{C}x-P_{C}y \right\rangle,\; \forall x,y\in H, $
特别地,有 $$ \left\| {{P}_{C}}x-{{P}_{C}}y \right\|\le \left\| x-y \right\|,\;\forall x,y\in H; $$ $ \rm (p_3) \left\|P_{C}x-P_{C}y \right\|^2\le \|x-y\|^2-\|(I-P_{C})x-(I-P_{C})y\|^2,\; \forall x,y\in H, $
特别地,有
$ \rm (p_4) \left\|P_{C}x-y \right\|^2\le \|x-y\|^2-\|(I-P_{C})x\|^2,\;\forall x\in H\ \ y\in C; $
$ \rm (p_5) P_{C}=\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}S, $ 这里$S$是一个非扩张映像.
我们用${\rm dom}(S)$表示$S$的定义域,${\rm Fix}(S)$表示$S$的不动点集.
回顾映像$S:{\rm dom}(S)\subset H\to H$称为非扩张的,如果
熟知,如果$S$是非扩张的且${\rm Fix}({\rm S})\ne \varnothing $,则有
映像$S:{\rm dom}(S)\subset H\to H$称为firmly -非扩张的,如果存在$\lambda \in (0,1)$ 与另一个非扩张映像${\rm T}$满足
注2.1 由$({{{\rm p}}_{2}})$、$({{{\rm p}}_{3}})$和 $({{{\rm p}}_{5}})$可知,${{P}_{C}}$和${\rm I}-{{P}_{C}}$ 都是firmly -非扩张的与$\frac{1}{2}$ -平均非扩张的. 平均非扩张的重要性包含在下列三个命题之中.
命题2.1 (Byrne[4]) 如果${\rm U}$和${\rm V}$分别是 ${{\lambda }_{1}}$ -平均非扩张的和${{\lambda }_{2}}$ - 平均非扩张的, 只要${\rm T=UV}$是适定的,则${\rm T}$是$\lambda $ -平均非扩张的,这 里$\lambda=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_1\lambda_2$.
命题2.2 设${\rm U}$是平均非扩张的,而${\rm V}$是非扩张的, 满足${\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)\ne \varnothing $. 只要${\rm UV}$和 ${\rm VU}$是适定的,就有 $ {\rm Fix}(UV)={\rm Fix}(VU)={\rm Fix}(U)\bigcap{\rm Fix}(V). $
证 先证${\rm Fix}(UV)={\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$.
“右边$\subseteq $左边"是明显的,只需证明”左边$\subseteq $右边".
设${\rm x}=UV{\rm x}$,$p\in {\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$, 因为$U$是平均非扩张的,故存在$\lambda \in (0,1)$及另外一个非扩张映像$W$满足
使用(2.1)式,$x=UVx$,(2.7)式和(2.8)式得 \begin{eqnarray*} \| x-p{{\| }^{2}}&=&\| UVx-p{{\| }^{2}} \\ & =&\| [(1-\lambda )+\lambda W]Vx-p{{\| }^{2}} \\ & =&\| (1-\lambda )Vx+\lambda WVx-[(1-\lambda )Vp+\lambda WVp]{{\| }^{2}} \\ & =&\| (1-\lambda )(Vx-Vp)+\lambda (WVx-WVp){{\| }^{2}} \\ & =&(1-\lambda )\| Vx-Vp{{\| }^{2}}+\lambda \| WVx-WVp{{\| }^{2}} -\lambda (1-\lambda )\| Vx-WVx{{\| }^{2}}, \end{eqnarray*} 这推得
使用(2.7)式和(2.9)式得 $$ x=UVx =(1-\lambda )Vx+\lambda WVx =(1-\lambda )Vx+\lambda Vx =Vx, $$
这推得$x=Ux$,从而有$x\in {\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$.
使用一个类似的推理过程可证${\rm Fix}(VU)={\rm Fix}(V)\bigcap {\rm Fix}(U).$
由于${{P}_{C}}$是$\frac{1}{2}$ -平均非扩张的,故使用命题2.2可以推得下述结论.
命题2.3 (Zhou等[15]) 设$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to H$是非扩张映像满足 ${\rm Fix}(T)\ne \varnothing $,则有 $$ {\rm Fix}({{P}_{C}}T)={\rm Fix}(T)={\rm Fix}(T{{P}_{C}}). $$
命题2.4 (Suzuki[13]) 设$\{{{x}_{n}}\}$和$\{{{y}_{n}}\}$是Banach空间 ${\rm E}$中的两个有界序列,$\{{{\lambda }_{n}}\}$ 是$(0,1)$中的数列满足条件 $0<\mathop{\underline{\lim }}\limits_{n} {{\lambda }_{n}}\le \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} {{\lambda }_{n}}<1.$ 如果$\{{{x}_{n}}\}$和$\{{{y}_{n}}\}$满足下述关系 $$ {{x}_{n+1}}={{\lambda }_{n}}{{x}_{n}}+(1-{{\lambda }_{n}}){{y}_{n}},\ \ n\ge 1, $$ 则${{x}_{n}}-{{y}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$.
命题2.5 (Xu[12]) 设$\{{{a}_{n}}\}$是一个非负数列,满足下述循环关系 $$ {{a}_{n+1}}\le (1-{{{\rm t}}_{n}}){{a}_{n}}+{{\delta }_{n}},\ \ n\ge 1, $$ 其中${{t}_{n}}\in [0, 1]$,而${{\delta }_{n}}\in {{\mathbb{R}}^{1}}$满足条件 (i) $\sum\limits_{{\rm n}=1}^{\infty }{{{t}_{n}}=\infty }$; (ii) $\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \frac{{{\delta }_{n}}}{{{{\rm t}}_{n}}}\le 0$或$\sum\limits_{{\rm n}=1}^{\infty }{\left| {{\delta }_{n}} \right|<\infty }$, 则有${{a}_{n}}\to 0\ (n\to \infty )$.
下面的命题在本文中起着关键的作用.
命题2.6 设${\rm C}$和${\rm Q}$分别为实Hilbert空间${{{\rm H}}_{1}}$ 和${{{\rm H}}_{2}}$的非空闭凸子集,$A:{{H}_{1}}\to {{H}_{2}}$是一个有界线性算子. 设$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$和${\rm S}:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$分别为非扩张映像.任取固定的 $\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$,令${U}=I-\delta A*(I-S{{P}_{Q}})A$,记 $$ {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))=\{x\in {{H}_{1}}:Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S)\}, $$ 则下列结论成立
(1) $\Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))$;
(2) 若$\Gamma \ne \emptyset$,则${\rm Fix}(U)={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))$;
(3) 若$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^{2}}]$,则$U$是非扩张的; 若$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^{2}})$,则$U$是 $\delta\|A\|^2$ -平均非扩张的.
证 (1) 由$\Gamma $的定义即知.
(2) ${{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))\subseteq {\rm Fix}(U)$是明显的, 只需证明相反的包含关系.设$x=Ux$,取定一点$z\in \Gamma $, 则$A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax=\theta $,$Az\in Q$且$Az=SAz$, 这推得${{P}_{Q}}Az=Az$且$A^*(I-S{{P}_{Q}})A{\rm z}=\theta $,从而有
(3) 使用$U$的定义与(2.2)式,$\forall x,y\in {{H}_{1}}$,我们有
现在我们估计(2.16)式右边第2项.
再次使用(2.2)式和$({{{\rm p}}_{3}})$得
下面我们引入三种迭代算法求解(1.6)式.固定$\lambda \in (0,1)$, 记${{T}_{\lambda }}=(1-\lambda ){{I}_{\lambda }}T$.
算法A $$ {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1. $$
算法B $$ {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}={{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1. $$
算法C $$ {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=\lambda {{x}_{n}}+(1-\lambda )T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1. $$
定理3.1 假设$\Gamma \ne \emptyset$, $\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$ 满足下列条件
$({{\rm C}_{1}})$ ${{\alpha }_{n}}\to 0$;
$({{\rm C}_{2}})$ $ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $;
$({{\rm C}_{3}})$ $ \sum\limits_{n=1}^{\infty } {{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|<\infty $ 或$ \frac{{{\alpha }_{n{\rm +}1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$, 则由算法A所产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }u$.
证 由命题2.2、2.3和2.6知,$U$是平均非扩张的,且有 $$ \Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(UT{{P}_{C}}). $$
令${{y}_{n}}=(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u$, 则算法A化为${{{\rm x}}_{n+1}}=T{{P}_{C}}{{y}_{n}}$, 从而产生出一个新的迭代序列$\{{{y}_{n}}\}$
使用Wittmann[11]和Xu[12]的收敛定理,我们断言 $ {{y}_{n}}\to {{x}^{*}}~ (n\to \infty ), $ 而${{x}^{*}}={{P}_{{\rm Fix}(V)}}u={{P}_{\Gamma }}u$, 从而有${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}~ (n\to \infty )$.
如果在算法A中,取$u=\theta $,则我们可得下述推论.
推论3.1 假设$\Gamma \ne \emptyset$,$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$. 如果 $\{\alpha_n\}$满足定理3.1中条件$({{\rm C}_{1}})$--$({{\rm C}_{3}})$. 设$\{x_n\}$是由下列方式产生的序列
注3.1 推论3.1是文献[14]中的定理3.2.值得指出的 是我们所给出的收敛性分析比文献[14]中的方法要简单得多.
定理 3.2 假设$\Gamma \ne \emptyset$, $\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0\ \ (n\to \infty )$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $, 则由算法B所产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }u$. 特别地,如果我们取$u=\theta $,则相应的迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于 $x^*=P_{\Gamma }\theta $.
证 由命题2.2、2.3和2.6知,$U$是平均非扩张的,而且 $$ \begin{array}{rl} \Gamma &=C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) =C\cap {\rm Fix}({{T}_{\lambda }})\cap {\rm Fix}(U) \\ &={\rm Fix}({{T}_{\lambda }}{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}({{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}U). \end{array} $$ 令${{y}_{n}}=(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u$, 则算法B化为${{x}_{n+1}}={{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}{{y}_{n}}$, 由此产生一个新的序列$\{{{y}_{n}}\}$
记$\beta_n=\alpha_{n+1}$,$W=U{{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}$,则$\{{{\beta }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})$与$({{\rm C}_{2}})$,由命题2.1 知 $W$是平均非扩张的,而(3.4)式化为
使用Suzuki[13]的收敛定理,我们断言${{y}_{n}}\to {{x}^{*}}$, 而${{x}^{*}}={{P}_{{\rm Fix}(W)}}u={{P}_{\Gamma }}u$, 从而${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}$ $ (n\to \infty )$. 特别地, 如果取$u=\theta $,则迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*={{P}_{\Gamma }}\theta $.
定理 3.3 假设$\Gamma \ne \emptyset$,$\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件$({{\rm C}_{1}})$与$({{\rm C}_{2}})$, 则由算法$C$所产生的序列$\{x_n\}$依范数收敛于$x^{*}={{P}_{\Gamma }}u$, 特别地,如果我们取$u=\theta $,则相应的迭代序列$\{x_n\}$依范数收敛于 $x^{*}={{P}_{\Gamma }}\theta $.
证 我们分四步完成证明.
第1步 证明$\{{{x}_{n}}\}$是有界的.
使用算法C,$T,\ {{P}_{C}},\ U$的非扩张性得 \begin{eqnarray*} \|x_{n+1}-x^*\|&\le & \lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda )(1-{{\alpha }_{n}})\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}\| u-{{x}^{*}}\| \\ &=&[1-(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}]\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}\| u-{{x}^{*}}\| \\ &\le& \max \{\| {{x}_{1}}-{{x}^{*}}\| ,\| u-{{x}^{*}}\| \}=M,\ \ \forall n\ge 1. \end{eqnarray*} 这表明$\{{{x}_{n}}\}$是有界的,从而$\{U{{x}_{n}}\}$也是有界的.
第2步 证明${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty ).$
令$y_n=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u]$,则算法C可写为
使用$T,\ {{P}_{C}},\ U$的非扩张性得 $$ \begin{array}{rl} \| {{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\| &=\| T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n+1}})U{{x}_{n+1}}+{{\alpha }_{n+1}}u]-T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u]\| \\ &\le \| {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\| +|{{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|(\| u\| +M), \end{array} $$ 这推得 $ \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} (\| {{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\| -\| {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\| )\le 0. $
使用命题2.4,我们断言${{y}_{n}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty )$, 从而有${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty )$.
由于 $$ \begin{array}{rl} \| {{x}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\| &\le \| {{x}_{n}}-{{y}_{n}}\| +\| {{y}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\| \\ &\le \| {{x}_{n}}-{{y}_{n}}\| +{{\alpha }_{n}}(\| u\| +\| U{{x}_{n}}\| )\to 0, \end{array} $$ 故
第3步 证明$ \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0$,其中${{x}^{*}}={{P}_{\Gamma }}u$.
由第1步知$\{{{x}_{n}}\}$是有界的,不失一般性,我们可以假设
第4步 证明${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}\ \ (n\to \infty ).$
由于$U$是$\delta \|A\|^2$ -平均非扩张的,故存在另一个非扩张映像$G$满足
使用算法C,$\| \cdot {{\| }^{2}}$的凸性,$T$与$P_{C}$的非扩张性和(3.11)式得
使用第2步,${{\alpha }_{n}}\to 0$和(3.12)式可推得${{x}_{n}}-G{{x}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$.
再由(3.9)式推得${{x}_{n}}-U{{x}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$,从而由第3步知
记$t_n=(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}$,${{\delta }_{n}}=2t_n(1-{{\alpha }_{n}}) \left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}$,则(3.12)式可重写为
注 3.2 如果我们取${\rm T}=I{{|}_{{{H}_{1}}}}$,$S=I{{|}_{{{H}_{2}}}}$, 则算法A,B和C分别化作求解分裂可行性问题(SFP)(1.1)的相应算法.
注 3.3 由于$T{{P}_{C}}$和$S{{P}_{Q}}$未必是定向算子, 定理3.1--3.3不能由文献[9]推出.
本节我们将把第3节所得到的结果扩展到$T$和$S$都是$\lambda$ -严格伪压缩映像的场合. $T:{\rm dom}(T)\subset H\to H$称为$\lambda$ -严格伪压缩的,如果存在$\lambda >1$使得
易知,(4.1)式等价于
引理 4.1 设$\lambda \in (-\infty ,1)$,$T:{\rm dom}(T)\subset H\to H$是$\lambda $ -严格伪压缩映像. 记${{T}_{\theta }}=(1-\theta )I+\theta T$,则下列结论成立
(1) 当$\theta \in (0,1-\lambda]$时,${{T}_{\theta }}$是非扩张的;
(2) 当$\theta \in (0,1-\lambda )$时,${{T}_{\theta }}$ 是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的;
(3) 当$\theta>0$时,${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$.
证 (1) 由于$\theta \in (0,1-\lambda]$,使用(2.1)和(4.1)式得 \begin{eqnarray*} \| {{T}_{\theta }}x-{{T}_{\theta }}y{{\| }^{2}} &=&\| (1-\theta )(x-y)+\theta (Tx-Ty){{\| }^{2}} \\ & =&(1-\theta )\| x-y{{\| }^{2}}+\theta \| Tx-Ty{{\| }^{2}} -\theta (1-\theta )\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}} \\ & \le& (1-\theta )\| x-y{{\| }^{2}}+\theta \| x-y{{\| }^{2}}-\theta (1-\lambda -\theta )\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}} \\ &\le & \| x-y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T), \end{eqnarray*} 这推得 $$ \| {{T}_{\theta }}x-{{T}_{\theta }}y\| \le \| x-y\| ,\ \ \forall x,y\in {\rm dom}({{T}_{\theta }}). $$
(2) 设$\theta \in (0,1-\lambda )$,则$\frac{\theta }{1-\lambda }\in (0,1)$,${{T}_{\theta }}$可以重写为
由(1)知$\lambda I+\lambda T$是非扩张的,故(4.3)式表明${{T}_{\theta }}$是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的.
(3) 由于$I-{{T}_{\theta }}=\theta (I-T)$,$\theta>0$,故有 $ x\in {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\Leftrightarrow x\in {\rm Fix}(T). $ 证毕.
我们考虑涉及严格伪压缩映像的带约束的分裂公共不动点问题: 找一点$x\in C\bigcap {\rm Fix}(T)$满足
我们用$\Omega $表示问题(4.4)的解集,即
对$\theta \in (1,1-\lambda]$,$\nu\in (0,1-\mu]$, 记${{T}_{\theta }}=(1-\theta )I+\theta T$,$S_\nu=(1-\nu)I+\nu S$.
我们引入下面的算法: $u,{{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\;\beta \in (0,1)$,
使用定理3.1--3.3,我们可以推得下列结果.
定理4.1 假设$\Omega \ne \emptyset $, $\theta \in (0,1-\lambda]$,$\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$ 满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $; $({{\rm C}_{3}})\ \sum\limits_{n=1}^{\infty } {{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|<\infty $或$\ \frac{{{\alpha }_{n{\rm +}1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$, 则由(4.6)产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于 ${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.
证 使用引理4.1(1)和(3)知,${{T}_{\theta }}: {\rm dom}({{T}_{\theta }})\supseteq C\to {{H}_{1}}$是非扩张的, ${{S}_{v}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的, 而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$,${\rm Fix}({{{\rm S}}_{v}}) ={\rm Fix}(S)$.记 ${{U}_{v}}=I-\delta A*(I-{{S}_{v}}{{P}_{Q}})A, $ 则由命题2.6知,${{U}_{v}}$是$\delta \| A{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的, 且有 $${\rm Fix}({{U}_{v}})={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) ={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)). $$
使用定理3.1知,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$,其中 \begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)) \\ &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}
特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.
定理4.2 假设$\Omega \ne \emptyset$,$\theta \in (0,1-\lambda )$, $\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $, 则由(4.6)式产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.
证 此时${{T}_{\theta }}:{\rm dom}({{T}_{\theta }})\supseteq C\to {{H}_{1}}$ 是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的, ${{S}_{v}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的, ${{U}_{v}}=I-\delta A*(I-{{S}_{v}}{{P}_{Q}})A$是$\delta \| A{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的,而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$, ${\rm Fix}({{{\rm S}}_{v}})={\rm Fix}(S)$.再注意到 \begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}
使用定理3.2推知,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta $, 则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.
定理4.3 假设$\Omega \ne \emptyset$,$\theta \in (0,1-\lambda )$, $\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty $, 则由(4.7)式产生的序列 $\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地, 如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.
证 使用引理4.1(2)和(3)知,${{T}_{\theta }}:{\rm dom}({{T}_{\theta }}) \supseteq C\to {{H}_{1}}$是非扩张的,${{S}_{\nu}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的,而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$, ${\rm Fix}({{{\rm S}}_{\nu}})={\rm Fix}(S)$.再注意到 \begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*} 使用定理3.3推得,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$, 特别地,如果取$u=\theta $,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta $.