设$C$和$Q$分别为Hilbert空间$H_1$和$H_2$的非空闭凸子集, $A:H_1 \to H_2$是一个有界线性算子. 分裂可行性问题(SFP)是指: 找一点$x \in C$满足

$$\begin{equation} Ax \in Q. \end{equation}$$

(1.1)

由于此问题在信号处理、图像重构以及其他应用领域的广泛应用而备受关注, 详见文献 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]及其参考文献.目前有许多迭代算法求解(1.1),其中最流行的一种算法是Byrne 的CQ 算法,它以下述方式给定

$$\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}={{P}_{C}}[{{x}_{n}}-\gamma A^*(I-{{P}_{Q}})A{{x}_{n}}],\ \ n\ge 1, \end{equation}$$

(1.2)

其中$\gamma \in (0,2/{\|A\|^2})$,$A^*$是$A$的共轭算子, ${{P}_{C}}$和${{P}_{Q}}$分别是$H_1$和$H_2$向$C$和$Q$上的距离投影.

2009年,Censor和Segal^[16]考虑了分裂公共不动点问题(SCFPP): 找一点$x\in {\rm Fix}(U)$满足

$$\begin{equation} Ax\in {\rm Fix}(V), \end{equation}$$

(1.3)

其中$U$和$V$是两个定向算子,${\rm Fix}(U)=\{x\in {{H}_{1}}:Ux=x\}$和 ${\rm Fix}(V)=\{x\in {{H}_{2}}:Vx=x\}$分别表示$U$和$V$的不动点集. 它们提出了下述算法求解(1.3)

$$\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=U[{{x}_{n}}-\lambda A^*(I-V)A{{x}_{n}}],\ \ n\ge 1, \end{equation}$$

(1.4)

其中$\lambda \in (0,2/{\|A\|^2})$,$A^*$是有界线性算子$A:H_1\to H_2$的共轭算子.

如果在(1.3)和(1.4)式中分别取$U=P_{C}$和$V=P_{Q}$则(1.3)和(1.4)式分别化为(1.1)和(1.2)式, 因此,分裂公共不动点问题(SCFPP)是分裂可行性问题(SFP)的推广(一般化), 而相应的迭代算法(1.4)是(1.2)的推广(一般化).

Li 等^[14]最近考虑了带约束的分裂公共不动点问题(CSCFPP)如下: 找一点$x\in C\cap {\rm Fix}(T)$满足

$$\begin{equation} Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S), \end{equation}$$

(1.5)

其中$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$和$S:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$ 是两个非扩张映像.他们提出下述算法求解问题(1.5)

$$\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=TP_{C}[(1-{{\alpha }_{n}})({{x}_{n}}-\delta A^*(I-S{{P}_{Q}})A{{x}_{n}})],\ \ n\ge 1, \end{equation}$$

(1.6)

其中$\{{{\alpha }_{n}}\}$是$(0,1)$中一数列,而$\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$.

注1.1 如果我们取$C=H_1$与$Q=H_2$,则(1.5)式化为(1.3)式. 因此带约束的分裂公共不动点问题(CSCFPP)是分裂公共不动点问题(SCFPP)的一般化, 而相应的迭代算法(1.6)是(1.4)的一般化.

我们用$\Gamma$表示问题(1.5)的解集,即 $$\Gamma =\{x^*\in H_1:x^*\in C\cap {\rm Fix}(T),\;Ax^*\in Q\cap {\rm Fix}(S)\}.$$ Li 等^[14]证明了,如果$\Gamma \ne \emptyset$,$\{\alpha_n\}$满足下列条件
        $({{\rm{C}}_{\rm{1}}})\;{\alpha _n} \to 0;({{\rm{C}}_{\rm{2}}})\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\alpha _n}} = \infty ;({{\rm{C}}_{\rm{3}}})\;\frac{{{\alpha _{n + 1}}}}{{{\alpha _n}}} \to 1,$
则由(1.6)式所产生的序列 $\{x_n\}$强收敛于$x^*=P_{\Gamma }(\theta )$,这里$P_{\Gamma }$表示由$H$到$\Gamma$上 的距离投影.

目前,我们关心的问题如下

(1) Li 等^[14]的上述收敛结果能否由已知的收敛定理推得?

(2) 如何修改算法(1.6)式以便在没有假设$(\rm {C_3})\; \frac{{{\alpha }_{n+1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$的情况下保证有强收敛?

本文的目的是要引入三种迭代算法并分析它们的收敛性,所得结果改进并扩展了某些作者的相关结论.

设$H$是实Hilbert空间,用$\left\langle \cdot \ \ \cdot \right\rangle$ 和$\|\cdot \|$ 分别表示${\rm H}$中的内积和范数.

众所周知,$\forall x,y\in H$有下列恒等式成立

$$\begin{equation} \| tx+(1-t)y{{\| }^{2}}=t\| x{{\| }^{2}}+(1-t)\| y{{\| }^{2}}-t(1-t)\| x-y{{\| }^{2}},\ \ t\in \mathbb{R}, \end{equation}$$

(2.1)

$$\begin{equation} \| x\pm y{{\| }^{2}}=\| x{{\| }^{2}}\pm 2\left\langle x,y \right\rangle +\| y{{\| }^{2}}, \end{equation}$$

(2.2)

设${\rm C}$是$H$中的非空闭凸子集,则$\forall x\in H$,存在唯一的元素${{{\rm P}}_{C}}{\rm x}\in C$满足

$$\begin{equation} \|x-{{P}_{C}}x\|=\inf\{ \|x-y\|:y\in C\}. \end{equation}$$

(2.3)

称${{P}_{C}}:H\to C$为从${\rm H}$到${\rm C}$上的距离投影,它享有良好的几何性质

$\rm (p_1) \left\langle x-{{P}_{C}}x,y-{{P}_{C}}x \right\rangle \le 0,\ \ \forall x\in H,\ \ \forall y\in C;$

$\rm (p_2) \left\|P_{C}x-P_{C}y \right\|^2\le \left\langle x-y,P_{C}x-P_{C}y \right\rangle,\; \forall x,y\in H,$

特别地,有 $$\left\| {{P}_{C}}x-{{P}_{C}}y \right\|\le \left\| x-y \right\|,\;\forall x,y\in H;$$ $\rm (p_3) \left\|P_{C}x-P_{C}y \right\|^2\le \|x-y\|^2-\|(I-P_{C})x-(I-P_{C})y\|^2,\; \forall x,y\in H,$

特别地,有

$\rm (p_4) \left\|P_{C}x-y \right\|^2\le \|x-y\|^2-\|(I-P_{C})x\|^2,\;\forall x\in H\ \ y\in C;$

$\rm (p_5) P_{C}=\frac{1}{2}I+\frac{1}{2}S,$ 这里$S$是一个非扩张映像.

我们用${\rm dom}(S)$表示$S$的定义域,${\rm Fix}(S)$表示$S$的不动点集.

回顾映像$S:{\rm dom}(S)\subset H\to H$称为非扩张的,如果

$$\begin{equation} \| Sx-Sy\| \le \| x-y\| ,~~ \forall x,y\in {\rm dom}(S). \end{equation}$$

(2.4)

熟知,如果$S$是非扩张的且${\rm Fix}({\rm S})\ne \varnothing$,则有

$$\begin{equation} \left\langle (I-S)x,x-p \right\rangle \ge \frac{1}{2}\| (I-S)x{{\| }^{2}}, ~~ \forall x\in {\rm dom}(S),\ \ \forall p\in {\rm Fix}(S). \end{equation}$$

(2.5)

映像$S:{\rm dom}(S)\subset H\to H$称为firmly -非扩张的,如果存在$\lambda \in (0,1)$ 与另一个非扩张映像${\rm T}$满足

$$\begin{equation} S=(1-\lambda )I+\lambda T. \end{equation}$$

(2.6)

注2.1 由$({{{\rm p}}_{2}})$、$({{{\rm p}}_{3}})$和 $({{{\rm p}}_{5}})$可知,${{P}_{C}}$和${\rm I}-{{P}_{C}}$ 都是firmly -非扩张的与$\frac{1}{2}$ -平均非扩张的. 平均非扩张的重要性包含在下列三个命题之中.

命题2.1 (Byrne^[4]) 如果${\rm U}$和${\rm V}$分别是 ${{\lambda }_{1}}$ -平均非扩张的和${{\lambda }_{2}}$ - 平均非扩张的, 只要${\rm T=UV}$是适定的,则${\rm T}$是$\lambda$ -平均非扩张的,这 里$\lambda=\lambda_1+\lambda_2-\lambda_1\lambda_2$.

命题2.2 设${\rm U}$是平均非扩张的,而${\rm V}$是非扩张的, 满足${\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)\ne \varnothing$. 只要${\rm UV}$和 ${\rm VU}$是适定的,就有 ${\rm Fix}(UV)={\rm Fix}(VU)={\rm Fix}(U)\bigcap{\rm Fix}(V).$

证 先证${\rm Fix}(UV)={\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$.

“右边$\subseteq$左边"是明显的,只需证明”左边$\subseteq$右边".

设${\rm x}=UV{\rm x}$,$p\in {\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$, 因为$U$是平均非扩张的,故存在$\lambda \in (0,1)$及另外一个非扩张映像$W$满足

$$\begin{equation} U=(1-\lambda )I+\lambda W. \end{equation}$$

(2.7)

由于$p=Up=Vp$知

$$\begin{equation} p=Wp=W{\rm Vp}. \end{equation}$$

(2.8)

使用(2.1)式,$x=UVx$,(2.7)式和(2.8)式得 $$\begin{eqnarray*} \| x-p{{\| }^{2}}&=&\| UVx-p{{\| }^{2}} \\ & =&\| [(1-\lambda )+\lambda W]Vx-p{{\| }^{2}} \\ & =&\| (1-\lambda )Vx+\lambda WVx-[(1-\lambda )Vp+\lambda WVp]{{\| }^{2}} \\ & =&\| (1-\lambda )(Vx-Vp)+\lambda (WVx-WVp){{\| }^{2}} \\ & =&(1-\lambda )\| Vx-Vp{{\| }^{2}}+\lambda \| WVx-WVp{{\| }^{2}} -\lambda (1-\lambda )\| Vx-WVx{{\| }^{2}}, \end{eqnarray*}$$ 这推得

$$\begin{equation} Vx=WVx. \end{equation}$$

(2.9)

使用(2.7)式和(2.9)式得 $$x=UVx =(1-\lambda )Vx+\lambda WVx =(1-\lambda )Vx+\lambda Vx =Vx,$$

这推得$x=Ux$,从而有$x\in {\rm Fix}(U)\bigcap {\rm Fix}(V)$.

使用一个类似的推理过程可证${\rm Fix}(VU)={\rm Fix}(V)\bigcap {\rm Fix}(U).$

由于${{P}_{C}}$是$\frac{1}{2}$ -平均非扩张的,故使用命题2.2可以推得下述结论.

命题2.3 (Zhou等^[15]) 设$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to H$是非扩张映像满足 ${\rm Fix}(T)\ne \varnothing$,则有 $${\rm Fix}({{P}_{C}}T)={\rm Fix}(T)={\rm Fix}(T{{P}_{C}}).$$

命题2.4 (Suzuki^[13]) 设$\{{{x}_{n}}\}$和$\{{{y}_{n}}\}$是Banach空间 ${\rm E}$中的两个有界序列,$\{{{\lambda }_{n}}\}$ 是$(0,1)$中的数列满足条件 $0<\mathop{\underline{\lim }}\limits_{n} {{\lambda }_{n}}\le \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} {{\lambda }_{n}}<1.$ 如果$\{{{x}_{n}}\}$和$\{{{y}_{n}}\}$满足下述关系 $${{x}_{n+1}}={{\lambda }_{n}}{{x}_{n}}+(1-{{\lambda }_{n}}){{y}_{n}},\ \ n\ge 1,$$ 则${{x}_{n}}-{{y}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$.

命题2.5 (Xu^[12]) 设$\{{{a}_{n}}\}$是一个非负数列,满足下述循环关系 $${{a}_{n+1}}\le (1-{{{\rm t}}_{n}}){{a}_{n}}+{{\delta }_{n}},\ \ n\ge 1,$$ 其中${{t}_{n}}\in [0, 1]$,而${{\delta }_{n}}\in {{\mathbb{R}}^{1}}$满足条件 (i) $\sum\limits_{{\rm n}=1}^{\infty }{{{t}_{n}}=\infty }$; (ii) $\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \frac{{{\delta }_{n}}}{{{{\rm t}}_{n}}}\le 0$或$\sum\limits_{{\rm n}=1}^{\infty }{\left| {{\delta }_{n}} \right|<\infty }$, 则有${{a}_{n}}\to 0\ (n\to \infty )$.

下面的命题在本文中起着关键的作用.

命题2.6 设${\rm C}$和${\rm Q}$分别为实Hilbert空间${{{\rm H}}_{1}}$ 和${{{\rm H}}_{2}}$的非空闭凸子集,$A:{{H}_{1}}\to {{H}_{2}}$是一个有界线性算子. 设$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$和${\rm S}:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$分别为非扩张映像.任取固定的 $\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$,令${U}=I-\delta A*(I-S{{P}_{Q}})A$,记 $${{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))=\{x\in {{H}_{1}}:Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S)\},$$ 则下列结论成立

(1) $\Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))$;

(2) 若$\Gamma \ne \emptyset$,则${\rm Fix}(U)={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))$;

(3) 若$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^{2}}]$,则$U$是非扩张的; 若$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^{2}})$,则$U$是 $\delta\|A\|^2$ -平均非扩张的.

证 (1) 由$\Gamma$的定义即知.

(2) ${{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S))\subseteq {\rm Fix}(U)$是明显的, 只需证明相反的包含关系.设$x=Ux$,取定一点$z\in \Gamma$, 则$A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax=\theta$,$Az\in Q$且$Az=SAz$, 这推得${{P}_{Q}}Az=Az$且$A^*(I-S{{P}_{Q}})A{\rm z}=\theta$,从而有

$$\begin{equation} \begin{array}[b]{rl} 0&=\left\langle A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax-A^*(I-S{{P}_{Q}})Az,x-z \right\rangle \\ &=\left\langle (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Az,Ax-Az \right\rangle \\ &=\| Ax-Az{{\| }^{2}}-\left\langle S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}A{\rm z},Ax-Az \right\rangle , \end{array} \end{equation}$$

(2.10)

这推得

$$\begin{equation} \| Ax-Az{{\| }^{2}}=\left\langle S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}Az,Ax-Az \right\rangle \le \| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Az \| \|Ax-Az\| . \end{equation}$$

(2.11)

在(2.11)式两端消去$\|Ax-Az\|$得

$$\begin{equation} \| Ax-Az\| \le \| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Az\| . \end{equation}$$

(2.12)

使用(2.12)式可得 $$\| Ax-Az{{\| }^{2}}\le \| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Az{{\| }^{2}} \le \| Ax-Az{{\| }^{2}}-\| (I-{{P}_{Q}})Ax{{\| }^{2}},$$ 这推得

$$\begin{equation} Ax={{P}_{Q}}Ax, \end{equation}$$

(2.13)

即

$$\begin{equation} Ax\in Q. \end{equation}$$

(2.14)

将(2.13)式代入(2.10)式得 $0{\rm =}\left\langle Ax-SAx,Ax-Az \right\rangle \ge \frac{1}{2}\| Ax-SAx{{\| }^{2}},$ 这推得

$$\begin{equation} Ax=SAx, \end{equation}$$

(2.15)

即$Ax\in {\rm Fix}(S)$,再由(2.14)式知 ${\rm A}x\in Q\cap {\rm Fix}(S)\Rightarrow x\in {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)).$

(3) 使用$U$的定义与(2.2)式,$\forall x,y\in {{H}_{1}}$,我们有

$$\begin{eqnarray} \| Ux-Uy{{\| }^{2}}&=&\| x-y{{\| }^{2}}-2\delta \left\langle A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax-A^*(I-S{{P}_{Q}})Ay,x-y \right\rangle \nonumber\\ & &+{{\delta }^{2}}\| A^*(I-S{{P}_{Q}})Ax-A^*(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &\le & \| x-y{{\| }^{2}}-2\delta \left\langle (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay,Ax-Ay \right\rangle \nonumber\\ &&+{{\delta }^{2}}\| A{{\| }^{2}}\| (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&\| x-y{{\| }^{2}}+2\delta \left\langle (I-S{{P}_{Q}})Ay-(I-S{{P}_{Q}})Ax,Ax-Ay \right\rangle \nonumber\\ && +{{\delta }^{2}}\| A{{\| }^{2}}\| (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}}. \end{eqnarray}$$

(2.16)

现在我们估计(2.16)式右边第2项.

再次使用(2.2)式和$({{{\rm p}}_{3}})$得

$$\begin{eqnarray} && \left\langle Ay-S{{P}_{Q}}Ay-(Ax-S{{P}_{Q}}Ax),Ax-Ay \right\rangle \nonumber\\ & =&\left\langle Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax,S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}Ay \right\rangle \nonumber\\ && -\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&\frac{1}{2}\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}}+\frac{1}{2}\| S{{P}_{Q}}Ax-S{{P}_{Q}}Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\| Ax-Ay{{\| }^{2}}-\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}} \nonumber\\ & \le& -\frac{1}{2}\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}}+\frac{1}{2}\| {{P}_{Q}}Ax-{{P}_{Q}}Ay{{\| }^{2}} -\frac{1}{2}\| Ax-Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ & \le& -\frac{1}{2}\| Ay-S{{P}_{Q}}Ay-Ax+S{{P}_{Q}}Ax{{\| }^{2}}-\frac{1}{2}\| (I-{{P}_{Q}})Ax-(I-{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}}. \end{eqnarray}$$

(2.17)

将(2.17)式代入(2.16)式并使用$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}}]$得将(2.17) 式代入(2.16)式并使用$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}}]$得

$$\begin{eqnarray} \| Ux-Uy{{\| }^{2}}&\le& \| x-y{{\| }^{2}}-\delta (1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| (I-S{{P}_{Q}})Ax-(I-S{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&-\delta \| (I-{{P}_{Q}})Ax-(I-{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}} \nonumber\\ &\le& \| x-y{{\| }^{2}}-\delta \| (I-{{P}_{Q}})Ax-(I-{{P}_{Q}})Ay{{\| }^{2}}. \end{eqnarray}$$

(2.18)

由(2.18)式知,当$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}}]$时,$U$是非扩张的. 记$V=I-\frac{1}{\| A{{\| }^{2}}}A*(I-S{{P}_{Q}})A$,则$V$是非扩张的.注意到 $U=(1-\delta \| A{{\| }^{2}})I+\delta \| A{{\| }^{2}}V,$ 故 当$\delta \in (0,{}^{1}/{}_{\| A{{\| }^{2}}})$时,$U$是 $\delta \| {\rm A}{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的.

下面我们引入三种迭代算法求解(1.6)式.固定$\lambda \in (0,1)$, 记${{T}_{\lambda }}=(1-\lambda ){{I}_{\lambda }}T$.

算法A $${{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1.$$

算法B $${{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}={{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1.$$

算法C $${{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ u\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=\lambda {{x}_{n}}+(1-\lambda )T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1.$$

定理3.1 假设$\Gamma \ne \emptyset$, $\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$ 满足下列条件

$({{\rm C}_{1}})$ ${{\alpha }_{n}}\to 0$;

$({{\rm C}_{2}})$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty$;

$({{\rm C}_{3}})$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty } {{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|<\infty$ 或$\frac{{{\alpha }_{n{\rm +}1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$, 则由算法A所产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }u$.

证 由命题2.2、2.3和2.6知,$U$是平均非扩张的,且有 $$\Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(UT{{P}_{C}}).$$

令${{y}_{n}}=(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u$, 则算法A化为${{{\rm x}}_{n+1}}=T{{P}_{C}}{{y}_{n}}$, 从而产生出一个新的迭代序列$\{{{y}_{n}}\}$

$$\begin{equation} {{y}_{n+1}}=(1-{{\alpha }_{n+1}})(UT{{P}_{C}}){{y}_{n}}+{{\alpha }_{n{\rm +}1}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation}$$

(3.2)

记${{\beta }_{n}}={{\alpha }_{n+1}}$,$V=UT{{P}_{C}}$,则(3.1)式化为

$$\begin{equation} {{y}_{n+1}}=(1-{{\beta }_{n}})V{{y}_{n}}+{{\beta }_{n}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation}$$

(3.2)

使用Wittmann^[11]和Xu^[12]的收敛定理,我们断言 ${{y}_{n}}\to {{x}^{*}}~ (n\to \infty ),$ 而${{x}^{*}}={{P}_{{\rm Fix}(V)}}u={{P}_{\Gamma }}u$, 从而有${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}~ (n\to \infty )$.

如果在算法A中,取$u=\theta$,则我们可得下述推论.

推论3.1 假设$\Gamma \ne \emptyset$,$\delta \in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$. 如果 $\{\alpha_n\}$满足定理3.1中条件$({{\rm C}_{1}})$--$({{\rm C}_{3}})$. 设$\{x_n\}$是由下列方式产生的序列

$$\begin{equation} {{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\ \ {{x}_{n+1}}=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}],\ \ n\ge 1, \end{equation}$$

(3.3)

则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }\theta$.

注3.1 推论3.1是文献[14]中的定理3.2.值得指出的 是我们所给出的收敛性分析比文献[14]中的方法要简单得多.

定理 3.2 假设$\Gamma \ne \emptyset$, $\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0\ \ (n\to \infty )$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty$, 则由算法B所产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*=P_{\Gamma }u$. 特别地,如果我们取$u=\theta$,则相应的迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于 $x^*=P_{\Gamma }\theta$.

证 由命题2.2、2.3和2.6知,$U$是平均非扩张的,而且 $$\begin{array}{rl} \Gamma &=C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) =C\cap {\rm Fix}({{T}_{\lambda }})\cap {\rm Fix}(U) \\ &={\rm Fix}({{T}_{\lambda }}{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}({{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}U). \end{array}$$ 令${{y}_{n}}=(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u$, 则算法B化为${{x}_{n+1}}={{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}{{y}_{n}}$, 由此产生一个新的序列$\{{{y}_{n}}\}$

$$\begin{equation} y_{n+1}=(1-{{\alpha }_{n+1}})(U{{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}){{y}_{n}}+{{\alpha }_{n+1}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation}$$

(3.4)

记$\beta_n=\alpha_{n+1}$,$W=U{{T}_{\lambda }}{{P}_{C}}$,则$\{{{\beta }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})$与$({{\rm C}_{2}})$,由命题2.1 知 $W$是平均非扩张的,而(3.4)式化为

$$\begin{equation} y_{n+1}=(1-{{\beta }_{n}})W{{y}_{n}}+{{\beta }_{n}}u,\ \ n\ge 1. \end{equation}$$

(3.5)

使用Suzuki^[13]的收敛定理,我们断言${{y}_{n}}\to {{x}^{*}}$, 而${{x}^{*}}={{P}_{{\rm Fix}(W)}}u={{P}_{\Gamma }}u$, 从而${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}$ $(n\to \infty )$. 特别地, 如果取$u=\theta$,则迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于$x^*={{P}_{\Gamma }}\theta$.

定理 3.3 假设$\Gamma \ne \emptyset$,$\delta \in (0,1/{\|A\|^2})$. 如果$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件$({{\rm C}_{1}})$与$({{\rm C}_{2}})$, 则由算法$C$所产生的序列$\{x_n\}$依范数收敛于$x^{*}={{P}_{\Gamma }}u$, 特别地,如果我们取$u=\theta$,则相应的迭代序列$\{x_n\}$依范数收敛于 $x^{*}={{P}_{\Gamma }}\theta$.

证 我们分四步完成证明.

第1步 证明$\{{{x}_{n}}\}$是有界的.

使用算法C,$T,\ {{P}_{C}},\ U$的非扩张性得 $$\begin{eqnarray*} \|x_{n+1}-x^*\|&\le & \lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda )(1-{{\alpha }_{n}})\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}\| u-{{x}^{*}}\| \\ &=&[1-(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}]\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}\| +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}\| u-{{x}^{*}}\| \\ &\le& \max \{\| {{x}_{1}}-{{x}^{*}}\| ,\| u-{{x}^{*}}\| \}=M,\ \ \forall n\ge 1. \end{eqnarray*}$$ 这表明$\{{{x}_{n}}\}$是有界的,从而$\{U{{x}_{n}}\}$也是有界的.

第2步 证明${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty ).$

令$y_n=T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u]$,则算法C可写为

$$\begin{equation} {{x}_{n+1}}=\lambda {{x}_{n}}+(1-\lambda ){{y}_{n}},\ \ n\ge 1. \end{equation}$$

(3.6)

使用$T,\ {{P}_{C}},\ U$的非扩张性得 $$\begin{array}{rl} \| {{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\| &=\| T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n+1}})U{{x}_{n+1}}+{{\alpha }_{n+1}}u]-T{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})U{{x}_{n}}+{{\alpha }_{n}}u]\| \\ &\le \| {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\| +|{{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|(\| u\| +M), \end{array}$$ 这推得 $\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} (\| {{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}\| -\| {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\| )\le 0.$

使用命题2.4,我们断言${{y}_{n}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty )$, 从而有${{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty )$.

由于 $$\begin{array}{rl} \| {{x}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\| &\le \| {{x}_{n}}-{{y}_{n}}\| +\| {{y}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\| \\ &\le \| {{x}_{n}}-{{y}_{n}}\| +{{\alpha }_{n}}(\| u\| +\| U{{x}_{n}}\| )\to 0, \end{array}$$ 故

$$\begin{equation} {{x}_{n}}-T{{P}_{C}}U{{x}_{n}}\to \theta \ \ (n\to \infty ). \end{equation}$$

(3.7)

第3步 证明$\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0$,其中${{x}^{*}}={{P}_{\Gamma }}u$.

由第1步知$\{{{x}_{n}}\}$是有界的,不失一般性,我们可以假设

$$\begin{equation} \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u} -{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle = \lim_{j \to \infty } \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{{{n}_{j}}}}-{{x}^{*}} \right\rangle , \end{equation}$$

(3.8)

其中${{x}_{{{n}_{j}}}}\rightharpoonup \hat{x}\ (j\to \infty )$. 使用Geobel和Kirk^[16]的次闭原理知,$\hat{x}=T{{P}_{C}}U\hat{x}$.由命题2.2知 $\Gamma =C\cap {\rm Fix}(T)\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}})\cap {\rm Fix}(U) ={\rm Fix}(T{{P}_{C}}U) ,$ 因而$\hat{x}\in \Gamma$.由(3.8)式和$({{{\rm p}}_{1}})$知 $\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle {\rm =}\left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}\hat{x}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0.$

第4步 证明${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}\ \ (n\to \infty ).$

由于$U$是$\delta \|A\|^2$ -平均非扩张的,故存在另一个非扩张映像$G$满足

$$\begin{equation} U=(1-\delta \| A{{\| }^{2}})I+\delta \| A{{\| }^{2}}G \end{equation}$$

(3.9)

与

$$\begin{equation} {\rm Fix}(G)={\rm Fix}(U). \end{equation}$$

(3.10)

使用(2.1),(3.9)与(3.10)式得

$$\begin{eqnarray} \|Ux-x^{*}\|^2&=&\| (1-\delta \| A{{\| }^{2}})(x-{{x}^{*}})+\delta \| A{{\| }^{2}}(Gx-{{x}^{*}}){{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&(1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| x-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+\delta \| A{{\| }^{2}}\| Gx-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&-\delta \| A{{\| }^{2}}\| (1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| x-Gx{{\| }^{2}} \nonumber\\ &\le& \| x-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}-\delta \| A{{\| }^{2}}\| (1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| x-Gx{{\| }^{2}},\ \ \forall x\in {{H}_{1}}. \end{eqnarray}$$

(3.11)

使用算法C,$\| \cdot {{\| }^{2}}$的凸性,$T$与$P_{C}$的非扩张性和(3.11)式得

$$\begin{eqnarray} \| {{x}_{n+1}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} &\le& \lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda )\| {{y}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &=&\lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda )\| (1-{{\alpha }_{n}})(U{{x}_{n}}-{{x}^{*}})+{{\alpha }_{n}}(u-{{x}^{*}}){{\| }^{2}} \nonumber\\ & =&\lambda \| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda )[{{(1-{{\alpha }_{n}})}^{2}}\| U{{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+{{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&+2{{\alpha }_{n}}(1-{{\alpha }_{n}})\left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle] \nonumber\\ &\le& [1-(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}]\| {{x}_{n}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}+(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}} \nonumber\\ &&+2(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}(1-{{\alpha }_{n}})\left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \nonumber\\ && -(1-\lambda ){{(1-{{\alpha }_{n}})}^{2}}\delta \| A{{\| }^{2}}(1-\delta \| A{{\| }^{2}})\| {{x}_{n}}-G{{x}_{n}}{{\| }^{2}}. \end{eqnarray}$$

(3.12)

使用第2步,${{\alpha }_{n}}\to 0$和(3.12)式可推得${{x}_{n}}-G{{x}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$.

再由(3.9)式推得${{x}_{n}}-U{{x}_{n}}\to \theta \ (n\to \infty )$,从而由第3步知

$$\begin{equation} \mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{\rm U} {{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle =\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \left\langle {\rm u}-{{{\rm x}}^{*}}{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle \le 0. \end{equation}$$

(3.13)

记$t_n=(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}$,${{\delta }_{n}}=2t_n(1-{{\alpha }_{n}}) \left\langle u-{{x}^{*}},U{{x}_{n}}-{{x}^{*}} \right\rangle +(1-\lambda ){{\alpha }_{n}}^{2}\| u-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}$,则(3.12)式可重写为

$$\begin{equation} \| {{x}_{n+1}}-{{x}^{*}}{{\| }^{2}}\le (1-{{t}_{n}})\| {{x}_{n}}- x*{{\| }^{2}}+{{\delta }_{n}},\ \ n\ge 1, \end{equation}$$

(3.14)

其中$\{{{\delta }_{n}}\}$满足条件 $\mathop{\overline{\lim }}\limits_{n} \frac{{{\delta }_{n}}}{{{t}_{n}}}\le 0$, 而$\{{{t}_{n}}\}$满足条件$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{\rm t}}_{n}}=\infty$. 使用命题2.5得${{x}_{n}}\to {{x}^{*}}$ $(n\to \infty )$. 如果我们取${\rm u}=\theta$, 则相应的迭代序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{{\rm x}}^{*}}={{P}_{\Gamma }}\theta$.

注 3.2 如果我们取${\rm T}=I{{|}_{{{H}_{1}}}}$,$S=I{{|}_{{{H}_{2}}}}$, 则算法A,B和C分别化作求解分裂可行性问题(SFP)(1.1)的相应算法.

注 3.3 由于$T{{P}_{C}}$和$S{{P}_{Q}}$未必是定向算子, 定理3.1--3.3不能由文献[9]推出.

本节我们将把第3节所得到的结果扩展到$T$和$S$都是$\lambda$ -严格伪压缩映像的场合. $T:{\rm dom}(T)\subset H\to H$称为$\lambda$ -严格伪压缩的,如果存在$\lambda >1$使得

$$\begin{equation} \| Tx-Ty{{\| }^{2}}\le \| x-y{{\| }^{2}}+\lambda \| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T). \end{equation}$$

(4.1)

易知,(4.1)式等价于

$$\begin{equation} \left\langle Tx-Ty,x-y \right\rangle \le \| x-y\| -\frac{1-\lambda }{2}\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T). \end{equation}$$

(4.2)

引理 4.1 设$\lambda \in (-\infty ,1)$,$T:{\rm dom}(T)\subset H\to H$是$\lambda$ -严格伪压缩映像. 记${{T}_{\theta }}=(1-\theta )I+\theta T$,则下列结论成立

(1) 当$\theta \in (0,1-\lambda]$时,${{T}_{\theta }}$是非扩张的;

(2) 当$\theta \in (0,1-\lambda )$时,${{T}_{\theta }}$ 是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的;

(3) 当$\theta>0$时,${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$.

证 (1) 由于$\theta \in (0,1-\lambda]$,使用(2.1)和(4.1)式得 $$\begin{eqnarray*} \| {{T}_{\theta }}x-{{T}_{\theta }}y{{\| }^{2}} &=&\| (1-\theta )(x-y)+\theta (Tx-Ty){{\| }^{2}} \\ & =&(1-\theta )\| x-y{{\| }^{2}}+\theta \| Tx-Ty{{\| }^{2}} -\theta (1-\theta )\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}} \\ & \le& (1-\theta )\| x-y{{\| }^{2}}+\theta \| x-y{{\| }^{2}}-\theta (1-\lambda -\theta )\| (I-T)x-(I-T)y{{\| }^{2}} \\ &\le & \| x-y{{\| }^{2}},\ \ \forall x,y\in {\rm dom}(T), \end{eqnarray*}$$ 这推得 $$\| {{T}_{\theta }}x-{{T}_{\theta }}y\| \le \| x-y\| ,\ \ \forall x,y\in {\rm dom}({{T}_{\theta }}).$$

(2) 设$\theta \in (0,1-\lambda )$,则$\frac{\theta }{1-\lambda }\in (0,1)$,${{T}_{\theta }}$可以重写为

$$\begin{equation} {{{\rm T}}_{\theta }}=(1-\frac{\theta }{1-\lambda })I+\frac{\theta }{1-\lambda }[\lambda I+(1-\lambda )T], \end{equation}$$

(4.3)

由(1)知$\lambda I+\lambda T$是非扩张的,故(4.3)式表明${{T}_{\theta }}$是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的.

(3) 由于$I-{{T}_{\theta }}=\theta (I-T)$,$\theta>0$,故有 $x\in {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\Leftrightarrow x\in {\rm Fix}(T).$ 证毕.

我们考虑涉及严格伪压缩映像的带约束的分裂公共不动点问题: 找一点$x\in C\bigcap {\rm Fix}(T)$满足

$$\begin{equation} Ax\in Q\cap {\rm Fix}(S), \end{equation}$$

(4.4)

其中$T:{\rm dom}(T)\supseteq C\to {{H}_{1}}$为$\lambda$ -严格伪压缩映像, 而$S:{\rm dom}(S)\supseteq Q\to {{H}_{2}}$为$\mu$ -严格伪压缩映像, $A:H_1\to H_2$为有界线性算子,$C$和$Q$分别为$H_1$和$H_2$中的非空闭凸子集.

我们用$\Omega$表示问题(4.4)的解集,即

$$\begin{equation} \Omega=C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)). \end{equation}$$

(4.5)

对$\theta \in (1,1-\lambda]$,$\nu\in (0,1-\mu]$, 记${{T}_{\theta }}=(1-\theta )I+\theta T$,$S_\nu=(1-\nu)I+\nu S$.

我们引入下面的算法: $u,{{x}_{1}}\in {{H}_{1}},\;\beta \in (0,1)$,

$$\begin{equation} {{x}_{n+1}}={{T}_{\theta }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})({{x}_{n}}-\delta A^*(I-{{S}_{\nu}}{{P}_{Q}})A{{x}_{n}})+{{\alpha }_{n}}u],\ \ n\ge 1 \end{equation}$$

(4.6)

与

$$\begin{equation} {{x}_{n+1}}=\beta {{x}_{n}}+(1-\beta ){{T}_{\theta }}{{P}_{C}}[(1-{{\alpha }_{n}})({{x}_{n}}-\delta A^*(I-{{S}_{\nu}}{{P}_{Q}})A{{x}_{n}})+{{\alpha }_{n}}u],\ n\ge 1, \end{equation}$$

(4.7)

其中$\delta\in (0,\frac{1}{\|A\|^2})$,$\{\alpha_n\}$为满足一定条件的数列.

使用定理3.1--3.3,我们可以推得下列结果.

定理4.1 假设$\Omega \ne \emptyset$, $\theta \in (0,1-\lambda]$,$\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$ 满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty$; $({{\rm C}_{3}})\ \sum\limits_{n=1}^{\infty } {{\alpha }_{n+1}}-{{\alpha }_{n}}|<\infty$或$\ \frac{{{\alpha }_{n{\rm +}1}}}{{{\alpha }_{n}}}\to 1$, 则由(4.6)产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta$,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于 ${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta$.

证 使用引理4.1(1)和(3)知,${{T}_{\theta }}: {\rm dom}({{T}_{\theta }})\supseteq C\to {{H}_{1}}$是非扩张的, ${{S}_{v}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的, 而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$,${\rm Fix}({{{\rm S}}_{v}}) ={\rm Fix}(S)$.记 ${{U}_{v}}=I-\delta A*(I-{{S}_{v}}{{P}_{Q}})A,$ 则由命题2.6知,${{U}_{v}}$是$\delta \| A{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的, 且有 $${\rm Fix}({{U}_{v}})={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) ={{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)).$$

使用定理3.1知,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$,其中 $$\begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)) \\ &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}$$

特别地,如果取$u=\theta$,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta$.

定理4.2 假设$\Omega \ne \emptyset$,$\theta \in (0,1-\lambda )$, $\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty$, 则由(4.6)式产生的序列$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta$,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta$.

证 此时${{T}_{\theta }}:{\rm dom}({{T}_{\theta }})\supseteq C\to {{H}_{1}}$ 是$\frac{\theta }{1-\lambda }$ -平均非扩张的, ${{S}_{v}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的, ${{U}_{v}}=I-\delta A*(I-{{S}_{v}}{{P}_{Q}})A$是$\delta \| A{{\| }^{2}}$ -平均非扩张的,而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$, ${\rm Fix}({{{\rm S}}_{v}})={\rm Fix}(S)$.再注意到 $$\begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}(T)\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}(S)) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ & =&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}$$

使用定理3.2推知,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地,如果取$u=\theta$, 则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta$.

定理4.3 假设$\Omega \ne \emptyset$,$\theta \in (0,1-\lambda )$, $\nu\in (0,1-\mu]$,$\{{{\alpha }_{n}}\}$满足条件 $({{\rm C}_{1}})\ \ {{\alpha }_{n}}\to 0$; $({{\rm C}_{2}})\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\alpha }_{n}}=\infty$, 则由(4.7)式产生的序列 $\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$. 特别地, 如果取$u=\theta$,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta$.

证 使用引理4.1(2)和(3)知,${{T}_{\theta }}:{\rm dom}({{T}_{\theta }}) \supseteq C\to {{H}_{1}}$是非扩张的,${{S}_{\nu}}:{\rm dom}({{S}_{v}})\supseteq Q\to {{H}_{2}}$是非扩张的,而且${\rm Fix}({{T}_{\theta }})={\rm Fix}(T)$, ${\rm Fix}({{{\rm S}}_{\nu}})={\rm Fix}(S)$.再注意到 $$\begin{eqnarray*} \Omega &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{S}_{v}})) \\ &=&C\cap {\rm Fix}({{T}_{\theta }})\cap {{A}^{-1}}(Q\cap {\rm Fix}({{U}_{v}})). \end{eqnarray*}$$ 使用定理3.3推得,$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}u$, 特别地,如果取$u=\theta$,则$\{{{x}_{n}}\}$依范数收敛于${{x}^{*}}={{P}_{\Omega }}\theta$.