设 $I_\alpha,0 <\alpha < n$ 是 $\alpha$ 阶的分数次积分算子,其定义如下 $$ I_\alpha f(x):=\int_{{\Bbb R}^n}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}{\rm d}y. $$ 对一个局部可积函数 $b,$ Chanillo^[1] 定义了如下交换子 $$ [b,I_\alpha]f(x):= b(x)I_\alpha f(x)-I_\alpha (bf)(x), $$ 并且证明了,当指标 $1<p<n/\alpha$ 满足 $1/q=1/p-\alpha/n$ 和 $b\in {\rm BMO}({\Bbb R}^n),$ 则交换子 $[b,I_\alpha]$ 是从 $L^p({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$ 有界的. 如果 $n-\alpha$ 是偶数,则反过来的结果也是正确的. 丁勇^[2] 利用交换子 $[b,I_\alpha]$ 的有界性完整地刻画了函数空间 ${\rm BMO}({\Bbb R}^n)$. Paluszyński^[3] 证明了, 当 $1 < p < q<\infty,0 < \beta < 1$ 满足 $1/q = 1/p -(\beta+\alpha)/n$ 和 $1/p-(\beta +\alpha)/n>0,$ 则 $b\in {\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)$ 当且仅当交换子 $[b,I_\alpha]$ 是从 $L^p({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$ 有界的. 后来,胡和古^[4] 证明了,当 $\omega\in A_1,$ $1 < p < q<\infty, 0 < \beta < 1$ 满足 $1/q = 1/p -(\beta+\alpha)/n$ 和 $1/p-(\beta +\alpha)/n>0,$ 则 $b\in{\rm Lip}_\beta(\omega)$ 的充分必要条件是 $[b,I_\alpha]$ 从 $L^p(\omega)$ 到 $L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})$ 有界的.

Kenig 和 Stein 在文献 [5]中首先考虑了多线性分数次积分算子 (见定义 2.2)并获得了其在乘积勒贝格空间上的有界性. 当 $b$ 是有界平均振荡函数时,Moen^[6]、陈和薛^[7] 相互独立地建立了多线性分数次积分及其交换子的加权有界性. 而默和张^[8] 由李普希兹函数与多线性分数次积分算子生成的交换子 在乘积勒贝格空间上的有界性. Chaffee 在文献[9]中利用多线性 Caldèron-Zygmund 算子和多线性分数次积分算子的交换子刻画了函数空间 ${\rm BMO}({\Bbb R}^n)$. 本文建立了多线性分数次积分交换子的加 权有界性与加权李普希兹空间的紧密关系.

定义 2.1 (多线性分数次极大算子) 设 $0<\alpha<mn,$ 对任意的局部可积函数向量 $\vec f=(f_1,\cdots,f_m),$ 多线性分数次极大算子 ${\cal M}_\alpha$ 定义如下

$$ {\cal M}_\alpha(f_1,\cdots,f_m)(x)=\sup_{Q\ni x}|Q|^{\alpha/n}\prod_{j=1}^m \frac1{|Q|}\int_Q|f_j(y_j)|{\rm d}y_j. $$

当 $m=1$ 时,上述极大函数就是经典的分数次极大函数 $M_\alpha.$

定义 2.2 (多线性分数次积分算子) 设 $0<\alpha<mn,$ 多线性分数次积分算子 $I_\alpha$ 定义如下

$$ I_\alpha(f_1,\cdots,f_m)(x)=\int_{({\Bbb R}^n)^m}\frac{f_1(y_1)\cdots f_m(y_m)} {(\sum\limits_{j=1}^m|x-y_j|)^{mn-\alpha}}{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m. $$

定义 2.3 (李普希兹空间) 设 $0<\beta<1,$ 我们称局部可积函数 $b$ 属于李普希兹空间 ${\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n),$ 是指

$$ \|b\|_{{\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)}=\sup_{Q}\frac1{|Q|^{1+\beta/n}}\int_Q|b(y)-b_Q|{\rm d}y<\infty. $$

注 2.4 $$\|b\|_{{\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)}= \sup_{Q}\frac1{|Q|^{1+\beta/n}}\int_Q|b(y)-b_Q|{\rm d}y \thickapprox\sup_{x,h\in{\Bbb R}^n,h\neq0}\frac{|b(x+h)-b(x)|}{|h|^\beta}.$$

定义 2.5 (交换子) 设 $\vec b\in L_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n)\times\cdots\times L_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n),$ 由 $b$ 和 $ I_\alpha$ 生成的交换子为 $$ [\Sigma\vec b,I_\alpha](f_1,\cdots,f_m)(x)=\sum\limits_{j=1}^m \int_{({\Bbb R}^n)^m}[b_j(x)-b_j(y_j)]\frac{f_1(y_1)\cdots f_m(y_m)} {(\sum\limits_{i=1}^m|x-y_i|)^{mn-\alpha}}{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m, $$ 我们记第 $j$ 项为 $$ [b_j,I_\alpha](f_1,\cdots,f_m)(x)=\int_{({\Bbb R}^n)^m}[b_j(x)-b_j(y_j)]\frac{f_1(y_1)\cdots f_m(y_m)}{(\sum\limits_{i=1}^m|x-y_i|)^{mn-\alpha}}{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m. $$ 由 $b$ 和 $M_\alpha$ 生成的交换子定义为 \begin{eqnarray*} && [\Sigma\vec b,{\cal M}_\alpha](f_1,\cdots,f_m)(x)\\ &=&\sum\limits_{j=1}^m\sup_{Q\ni x}\frac1{|Q|^{\alpha/n}}\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|f_j(y_j)||b_j(x)-b_j(y_j)|{\rm d}y_j\bigg)\bigg(\prod_{i=1\atop i\neq j}^m\frac1{|Q|}\int_Q|f_i(y_i)|{\rm d}y_i\bigg), \end{eqnarray*} 同样记第 $j$ 项为 \begin{eqnarray*} &&[b_j,{\cal M}_\alpha](f_1,\cdots,f_m)(x)\\ &=&\sup_{Q\ni x}\frac1{|Q|^{\alpha/n}}\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|f_j(y_j)||b_j(x)-b_j(y_j)|{\rm d}y_j\bigg)\bigg(\prod_{i=1\atop i\neq j}^m\frac1{|Q|}\int_Q|f_i(y_i)|{\rm d}y_i\bigg). \end{eqnarray*} 为了书写简化,我们记 $$ [\Sigma\vec b,\bar I_\alpha](f_1,\cdots,f_m)(x)=\sum\limits_{j=1}^m\int_{({\Bbb R}^n)^m}|b_j(x)-b_j(y_j)|\frac{|f_1(y_1)\cdots f_m(y_m)|}{(\sum\limits_{i=1}^m|x-y_i|)^{mn-\alpha}}{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m, $$ 并记它的第 $j$ 项为 $$ [b_j,\bar I_\alpha](f_1,\cdots,f_m)(x)=\int_{({\Bbb R}^n)^m}|b_j(x)-b_j(y_j)|\frac{|f_1(y_1)\cdots f_m(y_m)|}{(\sum\limits_{i=1}^m|x-y_i|)^{mn-\alpha}}{\rm d}y_1\cdots {\rm d}y_m. $$ 因为一般的多线性情形与双线性情形没有本质上的区别,所以我们的主要结果都以双线性的形式给出. 下面为非加权的结果.

定理 2.6 设 $0<\alpha<2n,$ $0<\beta<1,$ 使得 $\alpha+\beta<2n.$ 又设 $1<p_1,p_2<\infty$ 满足 $1/p=1/p_1+1/p_2$ 和 $1/q=1/p-(\beta+\alpha)/n.$ 下面的命题都是等价的 (i)~ $\vec b\in {\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)\times{\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)$; (ii)~ $[\Sigma\vec b,\bar I_\alpha]$ 有界地映射 $L^{p_1}({\Bbb R}^n)\times L^{p_2} ({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$; (iii)~ $[\Sigma\vec b,{\cal M}_\alpha]$ 有界地映射 $L^{p_1}({\Bbb R}^n)\times L^{p_2}({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n).$

定义 2.7 ($A_p$ 权)权函数 $\omega$ 称为是属于 $A_p\ (1 < p <\infty)$ 类的,如果它满足下面条件 $$ \sup_Q\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q\omega(x){\rm d}x\bigg)\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q\omega(x)^{1-p'}{\rm d}x\bigg)^{p-1}<\infty, $$ 其中 $p'$ 是 $p$ 的共轭指标,即 $1/p+1/p' = 1.$ 当 $p = 1$ 时,如果存在常数 $C>1$ 使得对几乎所有的 $x$ 满足 $$ \frac1{|Q|}\int_Q\omega(x){\rm d}x\leq C\ {\rm ess}\inf_{x\in Q}\omega(x). $$ 则我们称 $\omega\in A_1.$ 另外,我们记 $A_\infty=\bigcup\limits_{p\geq1}A_p.$

定义 2.8 (加权李普希兹空间) 设 $0<\beta<1,$ $1\leq p<\infty$ 以及 $\omega\in A_\infty,$ 我们称局部可积函数 $b$ 是属于加权李普希兹空间 ${\rm Lip}_\beta^p(\omega)$ 的,是指 $$ \|b\|_{{\rm Lip}_\beta^p(\omega)}:=\sup_{Q}\frac1{\omega(Q)^{\beta/n}} \bigg(\frac1{\omega(Q)}\int_Q|b(y)-b_Q|^p\omega(y)^{1-p}{\rm d}y\bigg)^{1/p}<\infty, $$ 当 $p=1$ 时,简记 ${\rm Lip}_\beta(\omega)={\rm Lip}_\beta^1(\omega).$

注 2.9 显然,当 $\omega=1$ 时,则加权李普希兹空间 ${\rm Lip}_\beta(\omega)$ 就是经典的李普希兹空间 ${\rm Lip}_\beta.$ 若 $\omega\in A_1$,García-Cuerva^[10]证明了,当 $1\leq p<\infty$ 时, 所有的 ${\rm Lip}_\beta^p(\omega)$ 等价. 下面我们用双线性分数次积分算子的交换子来刻画加权李普希兹空间.

定理 2.10 设 $0<\alpha<2n,$ $0<\beta<1,$ 使得 $\alpha+\beta<2n.$ 令 $\omega\in A_1$ 和指标 $1<p_1,p_2<\infty$ 满足 $1/p=1/p_1+1/p_2$ 和 $1/q=1/p-(\beta+\alpha)/n.$ 下面的命题等价 (iv)~ $\vec b\in {\rm Lip}_\beta(\omega)\times{\rm Lip}_\beta(\omega)$; (v)~ $[\Sigma\vec b,I_\alpha]$ 是从 $L^{p_1}(\omega)\times L^{p_2}(\omega)$ 到 $L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})$ 有界的.

注 2.11 显然,$\vec b\in {\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)\times {\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)$ 当且仅当 $[\Sigma\vec b,I_\alpha]$ 从 $L^{p_1}({\Bbb R}^n)\times L^{p_2}({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$ 有界.

注 2.12 我们注意到,当 $\beta=0$ 上述定理依然成立,也就是说,$\vec b\in {\rm BMO}(\omega)$ 的充分必要条件是 $[\Sigma\vec b,I_\alpha]$ 从 $L^{p_1}(\omega)\times L^{p_2}(\omega)$ 到 $L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})$ 是有界的.

注 2.13 我们以一个开问题结束这节的内容,对于多线分数次积分算子与上述定理中的 $\vec b$ 生成的迭代交换子 $$ [\Pi\vec b,\bar I_\alpha](f_1,f_2)(x)=\int_{({\Bbb R}^n)^m}\prod_{j=1}^2|b_j(x)-b_j(y_j)|\frac{|f_1(y_1) f_2(y_2)|}{(\sum\limits_{j=1}^2|x-y_j|)^{2n-\alpha}}{\rm d}y_1{\rm d}y_2. $$ 是否也有上述相同的定理? 如果没有,那么当 $[\Pi\vec b,I_\alpha]$ 是从 $L^{p_1}({\Bbb R}^n)\times L^{p_2}({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$ 有界的, 那么 $\vec b$ 是什么样的函数类?

命题3.1 设 $0<\alpha<2n,$ $\vec f=(f_1,f_2)\in L_{loc}({\Bbb R}^n)\times L_{loc}({\Bbb R}^n)$ 以及 $x\in{\Bbb R}^n,$ 则有 $$ [\Sigma\vec b,{\cal M}_\alpha](f_1,f_2)(x)\leq C[\Sigma\vec b,\bar I_\alpha](f_1,f_2)(x). $$

证 任取 $x\in{\Bbb R}^n$ 和 $r>0,$ 则我们可以验证 \begin{eqnarray*} [b_j,\bar I_\alpha](f_1,f_2)(x)&\geq&\int_{B(x,r)^2}|b_j(x)-b_j(y_j)|\frac{|f_1(y_1)f_2(y_2)|}{(|x-y_1|+|x-y_2|)^{2n-\alpha}}{\rm d}y_1{\rm d}y_2\\ &\geq&\frac1{(2r)^{2n-\alpha}}\int_{B(x,r)^2}|b_j(x)-b_j(y_j)||f_1(y_1)f_2(y_2)|{\rm d}y_1{\rm d}y_2. \end{eqnarray*} 两边对 $r>0$ 取上确界并对 $j=1,2$ 求和即得证.

引理 3.2^[7] 设 $0<\alpha<2n,$ $1<p_1,p_2<\infty$ 满足 $1/p=1/p_1+1/p_2$ 和 $1/q=1/p-\alpha/n.$ 如果 $b_1,b_2\in {\rm BMO}({\Bbb R}^n),$ 则存在常数 $C$ 使得 $$ \|[\Sigma\vec b,\bar I_\alpha](f_1,f_2)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\leq C\prod_{j=1}^2\|b_j\|_{{\rm BMO}}\prod_{j=1}^2\|f_j\|_{L^{p_j}({\Bbb R}^n)}. $$

引理 3.3^[5] 设 $0<\alpha<2n.$ 令 $I_\alpha$ 为多线性分数次积分算子. 如果 $1<p_1,p_2<\infty$ 满足 $1/p=1/p_1+1/p_2$ 和 $1/q=1/p-\alpha/n,$ 在 $$ \|I_\alpha(f_1,f_2)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\leq C\prod_{j=1}^2\|f_j\|_{L^{p_j}({\Bbb R}^n)}. $$ 当某个 $p_j=1,$ 则 $$ \|I_\alpha(f_1,f_2)\|_{L^{q,\infty}({\Bbb R}^n)}\leq C\prod_{j=1}^2\|f_j\|_{L^{p_j}({\Bbb R}^n)}. $$

引理3.4 设 $0<\alpha<2n,$ $0<\beta<1$ 使得 $\alpha+\beta<2n,$ 令 $1<p_1,p_2<\infty,$ $1/p=1/p_1+1/p_2$ 使得 $1/q=1/p-(\beta+\alpha)/n.$ 若 $\vec b\in {\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)\times {\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n),$ 则存在与 $f_1,f_2$ 无关的常数 $C$ 使得 $$ \|[\Sigma_{\vec b},\bar I_\alpha](f_1,f_2)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\leq C\prod_{j=1}^2\|b_j\|_{{\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n)}\prod_{j=1}^2\|f_j\|_{L^{p_j}({\Bbb R}^n)}. $$

证 证明方法完全类似于默和张^[8]的叙述,故略去.

定理 2.6 的证明 (i)$\Rightarrow$(ii)~ 由引理 3.4 直接可得. (ii)$\Rightarrow$(iii)~ 由命题 3.1 和假设 $[\Sigma\vec b,\bar I_\alpha]$ 从 $L^{p_1}({\Bbb R}^n)\times L^{p_2}({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$ 有界可以知道,$[\Sigma\vec b,{\cal M}_\alpha]$ 也从 $L^{p_1}({\Bbb R}^n)\times L^{p_2}({\Bbb R}^n)$ 到 $L^q({\Bbb R}^n)$ 有界. (iii)$\Rightarrow$(i)~ 不失一般性,设 $j=1,$ 由已知条件,有 \begin{eqnarray*} &&\frac1{|Q|^{1+\beta/n}} \int_{Q}|b_1(x)-(b_1)_Q|{\rm d}x\\ &\leq&\frac1{|Q|^{2+\beta/n}}\int_Q\int_Q|b_1(x)-b_1(y_1)|{\rm d}y_1{\rm d}x\\ &=&\frac1{|Q|^{1+\alpha/n+\beta/n}}\int_Q\frac1{|Q|^{2-\alpha/n}}\int_Q|b_1(x)-b_1(y_1)|\chi_Q(y_1){\rm d}y_1\int_{Q}\chi_Q(y_2){\rm d}y_2{\rm d}x\\ &\leq&\frac1{|Q|^{1+\alpha/n+\beta/n}}\int_Q[b_1,{\cal M}_\alpha](\chi_Q,\chi_Q)(x){\rm d}x\\ &\leq&\frac1{|Q|^{1+\alpha/n+\beta/n}}|Q|^{1/q'}\bigg(\int_Q([b_1,{\cal M}_\alpha](\chi_Q,\chi_Q)(x))^q{\rm d}x\bigg)^{1/q}\\ &\leq&\frac C{|Q|^{1+\alpha/n+\beta/n}}|Q|^{1/q'}|Q|^{1/p_1+1/p_2}=C. \end{eqnarray*} 即 $b_1\in{\rm Lip}_\beta({\Bbb R}^n).$

引理 4.1^[11] 令 $0 <p,\delta<\infty$ 和 $\omega\in A_\infty.$ 则存在正常数 $C$ 使得 $$ \int_{{\Bbb R}^n}|M_\delta f(x)|^p\omega(x){\rm d}x \leq C\int_{{\Bbb R}^n}|M_\delta^\sharp f(x)|^p \omega(x){\rm d}x, $$ 对所有使得上式右边有限的光滑函数都成立.

引理 4.2^{[12, 13]} 设 $0 <\alpha< n,$ $1 < p < n/\alpha$ 以及 $1/q = 1/p-\alpha/n.$ 如果 $\omega\in A_{p,q},$ 则 $$\|M_\alpha(f)\|_{L^q(\omega^q)}\leq C\|f\|_{L^p(\omega^{p})},$$ 其中 $\omega\in A_{p,q}.$

引理4.3^[14] 假设 $0 <\alpha< n,$ $0 < s < p < n/\alpha,$ 和 $1/q = 1/p -\alpha/n.$ 若 $\omega\in A_\infty,$ 则 $$ \bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|M_{\alpha,\omega,s}(f)(x)|^q\omega(x){\rm d}x\bigg)^{1/q}\leq C\bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|^p\omega(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}, $$ 这里 $$ M_{\alpha,\omega,s}(f)(x)=\sup_{Q\ni x}\bigg(\frac{1}{\omega(Q)^{1-s\alpha/n}}\int_Q|f(y)|^s\omega(y)dy\bigg)^{1/s}. $$

引理4.4 设 $\omega\in A_1,$ $0 <\beta < 1$ 以及 $b\in {\rm Lip}_\beta(\omega).$ (1)~ 对任意的 $k\geq 1,$ 我们有 $$|b_{B(x,2r)}-b_{B(x,2^{k+1}r)}|\leq k\omega(x)\omega(B(x,2^{k+1}r))^{\beta/n} \|b\|_{{\rm Lip}_\beta(\omega)}.$$ (2)~ 对任意的 $1\leq s<\infty$ 和球 $B\ni x,$ 我们有 $$ \frac{\omega(B)^{\beta/n}}{|B|}\int_B|f(y)|{\rm d}y\leq CM_{\beta,\omega,s}. $$ (3)~ 对任意的 $1 < s < \infty $ 和球 $B\ni x,$ 若 $0<\alpha<n$ 且 $\alpha+\beta<n,$ 则我们有 $$\frac1{|B|^{1-\alpha/n}}\int_B|(b(y)-b_B)f(y)|{\rm d}y \leq C\omega(x)\|b\|_{{\rm Lip}_\beta(\omega)} M_{\alpha+\beta,\omega,s}(f)(x). $$

证 (1) 和 (2) 都是文献[14] 中的结果,只需稍作修改. (3) 也完全可以按照 文献[14] 中的方法证明.

引理 4.5 (Kolmogorov不等式)^[15] 假设 $0 < \alpha< n$ 和 $p ,q > 0$ 满足 $1/q=1/p-\alpha/n.$ 则对任意的可测函数 $f$ 和方体 $Q$ 有

引理 4.6 令 $\omega\in A_1,$ $\vec b\in {\rm Lip}_\beta(\omega)\times {\rm Lip}_\beta(\omega)$ 和 $0<\delta<1/2.$ 则对所有的 $s>0$ 和 $x\in{\Bbb R}^n$ 使得 \begin{eqnarray*} M_\delta^\sharp([\Sigma\vec b,I_\alpha](f_1,f_2))(x) &\leq & C\sum\limits_{j=1}^2\|b_j\|_{{\rm Lip}_\beta(\omega)} \Big(\omega(x)^{1+\beta/n}M_\beta(I_\alpha(f_1,f_2))(x)\\ &&+\omega(x)^{1-\alpha/n}M_{\alpha+\beta,\omega,s}(f_1)(x)M(f_2)(x)\\ &&+\omega(x)^{1+\beta/n}M_{\alpha+\beta}(f_1)(x)M(f_2)(x)\\ &&+\omega(x)^{1-\alpha/n}M_{\alpha+\beta,\omega,s}(f_2)(x)M(f_1)(x)\\ &&+\omega(x)^{1+\beta/n}M_{\alpha+\beta}(f_2)(x)M(f_1)(x)\Big) \end{eqnarray*} 对所有的具有紧支集的有界函数 $f_1,f_2$ 都成立.

证 给定 $b\in{\rm Lip}_\beta(\omega),$ 由线性性质,我们只需要考虑下述算子即可 $$[b,I_\alpha](f_1,f_2)(x)=b(x)I_\alpha(f_1,f_2)(x)-I_\alpha(bf_1,f_2)(x).$$ 任意固定 $x_0\in{\Bbb R}^n$ 并取中心为$x_0$ 的方体 $Q.$ 记 $\lambda=b_{2Q}.$ 因为 $0<\delta<1/2,$ 则对任意的常数 $c\in{\Bbb R}$ 有 $$ \bigg(\frac1{|Q|}\int_Q||[b,I_\alpha](f_1,f_2)(z)|^\delta-|c|^\delta|{\rm d}z\bigg)^{1/\delta}\leq C(T_1+T_2), $$ 其中 $$ T_1=\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|(b(z)-\lambda)I_\alpha(f_1,f_2)(z)|^\delta|{\rm d}z\bigg)^{1/\delta} $$ 和 $$ T_2=\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|I_\alpha((b-\lambda)f_1,f_2)(z)-c|^\delta|{\rm d}z\bigg)^{1/\delta}. $$ 通过霍尔德不等式,我们可以得到 \begin{eqnarray*} T_1&\leq &C\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|b(z)-\lambda|^{\delta/(1-\delta)}{\rm d}z\bigg)^{(1-\delta)/\delta}\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|I_\alpha(f_1,f_2)(z)|{\rm d}z\bigg)\\ &\leq &C\bigg(\frac1{|Q|}\int_{2Q}|b(z)-\lambda|{\rm d}z\bigg)\bigg(\frac1{|Q|}\int_Q|I_\alpha(f_1,f_2)(z)|{\rm d}z\bigg)\\ &\leq &C\|b\|_{{\rm Lip}_\beta(\omega)}\frac{\omega(2Q)^{1+\beta/n}}{|2Q|^{1+\beta/n}}M_\beta(I_\alpha(f_1,f_2))(x)\\ &\leq &C\omega(x)^{1+\beta/n}\|b\|_{{\rm Lip}_\beta(\omega)}M_\beta(I_\alpha(f_1,f_2))(x). \end{eqnarray*} 为了估计 $T_2,$ 分解函数 $f_i$ 为 $f_i=f_i^0+f_i^\infty,$ 其中 $f_i^0= f_i\chi_{2Q}.$ 那么 $$ f_1f_2=f_1^0f_2^0+f_1^0f_2^\infty+f_1^\infty f_2^0+f_1^\infty f_2^\infty. $$ 进而有 \begin{eqnarray*} I_\alpha((b-\lambda)f_1,f_2)&=&I_\alpha((b-\lambda)f_1^0,f_2^0)+ I_\alpha((b-\lambda)f_1^0,f_2^\infty)\\ &&+I_\alpha((b-\lambda)f_1^\infty,f_2^0)+I_\alpha((b-\lambda)f_1^\infty,f_2^\infty). \end{eqnarray*} 对指标 $p =1/2$ 和 $q=n/(2n-\alpha),$ 利用 Kolmogorov 不等式 (4.1),以及引理 4.4 得 \begin{eqnarray*} \bigg(\frac1{|Q|} \int_Q|I_\alpha((b-\lambda)f_1^0,f_2^0)(z)|^{1/2}{\rm d}z\bigg)^{2} &\leq& C|Q|^{2+\alpha/n}\|I_\alpha((b-\lambda)f_1^0,f_2^0)\|_{L^{\frac{n}{2n-\alpha},\infty},Q}\\ &\leq &C|Q|^{2+\alpha/n}\|(b-\lambda)f_1^0\|_{L^1}\|f_2^0\|_{L^1}\\ &\leq &C\omega(x)\|b\|_{{\rm Lip}_\beta(\omega)}M_{\beta,\omega,s}(f_1)(x)M_{\alpha}(f_2)(x). \end{eqnarray*} 对任意的 $x\in Q,$ 由拉格朗日中值定理和引理 4.4,我们有 \begin{eqnarray*} &&|I_\alpha ((b-\lambda)f_1^{\infty},f_2^{0})(x)-(I_\alpha((b-\lambda)f_1^{\infty},f_2^{0}))_Q|\\ &\leq& C\int_{2Q}|f_2^{0}(y_2)|\sum\limits_{k=1}^\infty\int_{2^{k+1}\backslash 2^kQ}\frac{|Q|^\frac1n|b(y_1)-\lambda|}{(|x_0-y_1|+|x_0-y_2|)^{2n-\alpha+1}}|f_1^{\infty}(y_1)|{\rm d}y_1 {\rm d}y_2\\ &\leq& C\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{|2^kQ|^{2-\alpha/n}}\bigg(\int_{2^{k+1}Q}|f_2(y_2)|{\rm d}y_2\bigg)\bigg(\int_{2^{k+1}Q}|b(y_1)-\lambda||f_1(y_1)|{\rm d}y_1\bigg)\\ &\leq& C\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{|2^kQ|^{2-\alpha/n}}\bigg(\int_{2^{k+1}Q}|f_2(y_2)|{\rm d}y_2\bigg) \\ &&\times \bigg(\int_{2^{k+1}Q}[|b(y_1)-b_{2^{k+1}Q}|+|b_{2^{k+1}Q}-b_{2Q}|]|f_1(y_1)|{\rm d}y_1\bigg)\\ &\leq& C\omega(x)^{1-\alpha/n}M_{\alpha+\beta,\omega,s}(f_1)(x)M(f_2)(x)+C\omega(x)^{1+\beta/n}M_{\alpha+\beta}(f_1)(x)M(f_2)(x). \end{eqnarray*} 同样, \begin{eqnarray*} &&|I_\alpha((b-\lambda)f_1^{\infty},f_2^{\infty})(x)-(I_\alpha((b-\lambda)f_1^{\infty},f_2^{\infty}))_Q|\\ &\leq &C\omega(x)^{1-\alpha/n}M_{\alpha+\beta,\omega,s}(f_1)(x)M(f_2)(x)+C\omega(x)^{1+\beta/n}M_{\alpha+\beta}(f_1)(x)M(f_2)(x). \end{eqnarray*} 相同的过程可以估计 $$ |I_\alpha((b-\lambda)f_1^{0},f_2^{\infty})(x)-(I_\alpha((b-\lambda)f_1^{0},f_2^\infty))_Q| \leq C\omega(x)M_{\beta,\omega,s}(f_1)(x)M_{\alpha}(f_2)(x). $$ 至此,我们完成了证明.

定理 2.10 的证明 我们先证明 (viii)$\Rightarrow$(ivv). 由引理 4.6 和引理 4.1,则只要证明对任意的 $j\in\{1,2\}$ 都有 $$ \|\omega^{1+\beta/n} M_\beta(I_\beta(f_1,f_2))\|_{L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})} \leq C\prod_{i=1}^2\|f_i\|_{L^{p_i}(\omega)}, $$ $$ \|\omega^{1-\alpha/n} M_{\alpha+\beta,\omega,s}(f_j)\prod_{i=1\atop i\neq j}^2 M(f_i)\|_{L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})}\leq C\prod_{i=1}^2\|f_i\|_{L^{p_i}(\omega)}, $$ $$ \|\omega^{1+\beta/n} M_{\alpha+\beta}(f_j)\prod_{i=1\atop i\neq j}^2 M(f_i)\|_{L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})} \leq C\prod_{i=1}^2\|f_i\|_{L^{p_i}(\omega)}. $$ 因为 $\omega^{q/p}\in A_1,$ 那么 $\omega^{1/p}\in A_{p,q}.$ 则由引理 4.2,文献[6,定理 3.5]或文献[7,定理 2.3], 我们可以得到第一个不等式 \begin{eqnarray*} \|\omega^{1+\beta/n} M_\beta(I_\beta(f_1,f_2))\|_{L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})} &=&\|M_\beta(I_\alpha(f_1,f_2))\|_{L^q(\omega^{q/p})}\\ &\leq& C\|I_\alpha(f_1,f_2)\|_{L^{\frac{pn}{n-p\alpha}}(\omega^{\frac{n}{n-p\alpha}})}\\ &\leq& C\prod_{i=1}^2\|f_i\|_{L^{p_i}(\omega)}. \end{eqnarray*} 利用霍尔德不等式和引理 4.3,我们得到的第二个不等式. 第三个不等式归结于霍尔德不等式和引理 4.2.

反过来,我们采用 Janson^[16]的方法和叙述. 选定 $z_0\in{\Bbb R}^n$ 使得 $|z_0| = 3.$ 对于 $x\in B(z_0,2),$ 因为 $|x|^{-\alpha+n}\in C^\infty(B(z_0,2)),$ 所以存在绝对可和的序列 $\{a_m\},$ 即 $\sum\limits_m|a_m|<\infty,$ 使得 $|x|^{-\alpha+n}=\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}^n}a_m {\rm e}^{{\rm i}\langle v_m,x\rangle }.$ 对任意的 $x_0\in{\Bbb R}^n$ 和 $\rho>0,$ 令 $B=B(x_0,\rho)$ 和 $B_{z_0}=B(x_0+z_0\rho,\rho),$ 并记 $s(x)={\rm sgn}[\int_{B_{z_0}}b(x)-b(y_1){\rm d}y_1],$ 我们有 \begin{eqnarray*} &&\int_B |b(x)-b_{B_{z_0}}|{\rm d}x\\ &=&\frac1{|B_{z_0}|^{2}}\int_B\int_{B_{z_0}^2}[b(x)-b(y_1)]s(x){\rm d}y_1{\rm d}y_2\\ &=&C\rho^{-\alpha}\int_B\int_{B_{z_0}^2}[b(x)-b(y_1)]\bigg(\sum\limits_{i=1}^2|x-y_i|\bigg)^{\alpha-2n}\bigg|\frac{|x-y_1|+|x-y_2|}{\rho}\bigg|^{2n-\alpha}s(x){\rm d}y_1{\rm d}y_2\\ &\leq&\frac C{\rho^{-\alpha}}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}^n}|a_{m}|\int_B|s(x) I_\alpha(\chi_{B_{z_0}}{\rm e}^{{\rm i}\langle v_m,\cdot/\rho \rangle},\chi_{B_{z_0}})(x)\chi_{B}(x) {\rm e}^{{\rm i}\langle v_m,x/\rho \rangle}|{\rm d}x\\ &\leq&\frac C{\rho^{-\alpha}}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}^n}|a_{m}|\|I_\alpha(\chi_{B_{z_0}} {\rm e}^{{\rm i}\langle v_m,\cdot/\rho\rangle },\chi_{B_{z_0}})\|_{L^q(\omega^{1-(1-\alpha/n)q})}\bigg(\int_B\omega(x)^{r'[1-\alpha/n-1/r]}{\rm d}x\bigg)^{1/r'}\\ &\leq& \frac C{\rho^{-\alpha}}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}^n}|a_{m}|\prod_{i=1}^2\|\chi_B\|_{L^{p_i}(\omega)}\bigg(\int_B\omega(x)^{r'[1-\alpha/n-1/r]}{\rm d}x\bigg)^{1/r'}\\ &\leq &C\omega(B)^{1/p+1/q'-\alpha/n}=C\omega(B)^{1+\beta/n}. \end{eqnarray*} 这就蕴涵着 $b\in {\rm Lip}_\beta(\omega).$