本文中,$X$ 表示Banach空间,$X^{\ast}$ 表示 $X$ 的共轭空间. $X$ 的单位球面和单位球分别用$S(X)$和 $U(X)$表示,即 $$S(X)=\{x:x\in X,\|x\| =1\},~~U(X)=\{x:x\in X,\|x\|\leq1\}.$$ 类似地,$X^{\ast}$ 的单位球面和单位球分别用$S(X^{\ast})$和 $U(X^{\ast})$表示.以Span$\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{l}\}$ 表示 $X$ 中 $l$ 个元 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{l}$ 所生成的子空间. 对 $\forall x\in S(X)$ 及 $\delta>0$,记 $$\sum(x)=\{x^{\ast}:x^{\ast}\in S(X^{\ast}),x^{\ast}(x) =\|x\|\},$$ 以 $F^{\ast}(x,\delta)$ 表示切片 $F^{\ast}(x,\delta)=\{x^{\ast}:x^{\ast}\in U(X^{\ast}),x^{\ast}(x)\geq1-\delta\}$;对 $\forall x^{\ast}\in S(X^{\ast})$ 及 $\delta>0$,记 $$A_{x^{\ast}}=\{x:x\in S(X),x^{\ast}(x)=\|x\|\},$$ 以 $F(x^{\ast},\delta)$ 表示切片 $F(x^{\ast},\delta)=\{ x:x\in U(X),x^{\ast}(x)\geq1-\delta\}$. 用 $\Lambda:X\longrightarrow X^{**}$ 表示典型嵌入映像, 即对每一个$x\in X,$ 对应$X^{**}$ 中一元$\hat{x},\hat{x}(x^{\ast})=x^{\ast}(x),\forall x^{\ast}\in X^{*},$ 在典型嵌入映像下,$\Lambda(X)$ 作为 $X^{**}$ 的 子空间与 $X$ 等距同构,因此,常把 $X$的元看成$X^{**}$的元.

1936年,Clarkson^[1] 首先引入了一致凸Banach空间的概念, 开创了以Banach空间单位球的几何结构出发 研究Banach空间性质的方法,于是便开始了Banach空间凸性理论的研究. 由于凸性具有非常鲜明的直观几何意义,凸性的研究吸引了众多的数学工作者. 相对于凸性而言,光滑性一方面作为凸性的对偶性质而被提出; 另一方面,它与范数(它是一种特殊的凸函数)的 各种可微性质有密切的联系,因此也得到了深入的研究, 随着也掀起了Banach空间光滑性理论的研究.在Banach空间 的凸性与光滑性研究中,一旦给定某种凸性C(或光滑性S),并且该凸性C(或光滑性S)得到 广泛研究时,加强或减弱该凸性C(或光滑性S)就有可能得到比该凸性C(或光滑性S)较强或 稍弱的新凸性C(或光滑性S).

Fan 和Glicksburg^[2]于1955年推广了由Sumulian 引入的2R空间概念,给出了完全$k$凸($k$R)空间概念.作为 $k$R空间的局部情形, 南朝勋和王建华^[3]于1988年给出了局部完全$k$凸(L$k$R)空间概念. 1995年,王建华^[4]进一步把局部完全$k$凸(L$k$R)空间推广 成紧局部完全$k$凸(CL$k$R)空间. 本文引入了比紧局部完全$k$凸(CL$k$R)空间稍弱的一种新凸性,我们称之为 拟紧局部完全$k$凸(即 quasi-CL$k$R,简记为QCL$k$R), 同时也引入了与其对偶的称之为拟紧局部完全$k$光滑(即 quasi-CL$k$S, 简记为QCL$k$S)的一种新光滑性, 讨论了 QCL$k$R 空间和 QCL$k$S 空间的 性质以及它们与其它凸性和光滑性的关系.

为了研究度量投影的连续性, 王建华^[4]引进了一种新的几何性质 (C-II),并在与他人合作完成的文章^[5]中通过引入 (C-WM) 性质刻画了几何性质 (C-II). 他所引入的 (C-WM) 性质是 Panda 和 Kapoor^[6] 所引入的 (WM) 性质的推广.

设 $X$ 是 Banach 空间,$k\geq 1$是正整数. 若对满足 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|x +x_{n_{1}}+\cdots+x_{n_{k}}\|=k+1$ 的任何序列$\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和$\forall x\in S(X),$ 必能推出 $\|x_{n}-x\|\rightarrow 0,$ 则称 $X$ 是 L$k$R 空间. 若把 $\|x_{n}-x\|\rightarrow 0$ 改为 $\{x_{n}\}$ 是相对紧集,则 $X$ 称为 CL$k$R 空间.

注 1.1 L$k$R 空间和 CL$k$R 空间中涉及到的 $\{x_{n}\}\subset U(X)$ 可以改写成 $\{x_{n}\}\subset S(X)$.

称$x\in S(X),\{x_{n}\}\subset U(X)$满足条件$(\ast)$: 如果对每个$\delta>0,$ 存在自然数$N(\delta),$ 使以下等式成立

$${\rm co}(\{x\}\bigcup\{x_{n}: n\geq N(\delta)\})\bigcap{(1-\delta)U(X)}= \emptyset.$$

称 $X$ 有 (C-WM) 性质^[5] : 如果$x\in S(X),\{x_{n}\}\subset U(X)$满足条件$(\ast)$,则存在某个$x_{0}\in S(X), x^{\ast}_{0}\in\sum(x_{0})$及$\{x_{n}\}$ 的子列$\{x_{n_{j}}\},$ 使$x^{\ast}_{0}(x_{n_{j}})\rightarrow x^{\ast}_{0}(x_{0})=1.$

称 $X$ 有 (C-II) 性质^[5] : 如果$x\in S(X),\{x_{n}\}\subset U(X)$满足条件$(\ast)$,则$\{x_{n}\}$是相对紧集.

(C-II) 性质的的特征刻画^[5]: $X$ 有 (C-II) 性质当且仅当 $X$ 是具有 (C-WM) 性质的近强凸空间.

称 $X$ 有 (S) 性质^[6]: 如果任意$x\in S(X),\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{\ast})$满足条件$n\rightarrow\infty$时 $x^{\ast}_{n}(x)\rightarrow 1,$ 则必能推出$\{x^{\ast}_{n}\}$是相对紧集.

本文的作者之一于 2000 年给出了 CL$k$R 的对偶概念, 并把它称之为紧局部完全$k$光滑(CL$k$S)空间^[7]. 在与他人合作完成的论文^[8]中引入了几何性质 (C-II) 的对偶性质 (S-II), 并在自反的假设下给出了 (S-II) 的特征刻画.

设 $X$ 是 Banach 空间,$k\geq 1$是正整数. 若对$\forall x\in S(X)$ 及满足 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|x^{\ast} +x^{\ast}_{n_{1}}+\cdots+x^{\ast}_{n_{k}}\|=k+1$ 的任何序列$\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{\ast})$ 和$\forall x^{\ast}\in \sum(x),$ 必能推出 $\|x^{\ast}_{n}-x^{\ast}\|\rightarrow 0,$ 则称 $X$ 是 L$k$S 空间. 若把 $\|x^{\ast}_{n}-x^{\ast}\|\rightarrow 0$ 改为 $\{x^{\ast}_{n}\}$ 是相对紧集,则 $X$ 称为 CL$k$S 空间.

注 1.2 L$k$S 空间和 CL$k$S 空间中涉及到的 $\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{\ast})$ 可以改写成 $\{x^{\ast}_{n}\}\subset S(X^{\ast}).$

定义 1.1^[9] 称 $X$ 是 $\omega$- 强凸空间,如果对任意 $x\in S(X),x^{*}\in \sum(x),\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset S(X),$使得对任意 $k\in$N,有 $$\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}x^{\ast}(x +x_{n_{1}}+\cdots+x_{n_{k}})=k+1,$$ 则$\{x_{n}\}_{n=1}^\infty$是相对紧集.

定义 1.2^[9] 称 $X$ 是 $\omega$ -强光滑空间,如果对任意 $x^{*}\in S(X^{\ast}),x\in A_{x^{\ast}},\{x^{\ast}_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset S(X^{\ast}),$使得对任意 $k\in$N,有 $$\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}(x^{\ast} +x^{\ast}_{n_{1}}+\cdots+x^{\ast}_{n_{k}})(x)=k+1,$$ 则$\{x^{\ast}_{n}\}_{n=1}^\infty$是相对紧集.

定义 1.3^[10] 称 $X$ 是近强凸(近非常凸) 空间,如果对 $\forall x\in S(X),\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset S(X)$和某个$x^{*}\in \sum(x),$当$x^{*}(x_{n})\rightarrow 1$ $(n\rightarrow\infty)$时,$\{x_{n}\}_{n=1}^\infty$为相对紧集(相对弱紧集).

引理 1.1^[9] $X$ 是 $\omega$ -强凸空间当且仅当对 $\forall x\in S(X)$ 及 $\epsilon>0,x^{*}\in\sum(x),$ 存在 $\delta=\delta(x,\epsilon)>0$ 及紧集 $C\subset X,$ 使 $F(x^{*},\delta)\subset \{y:y\in X,$d$(y,C)<\epsilon\}$.

引理 1.2^[9] $X$ 是 $\omega$ -强光滑空间当且仅当对 $\forall x^{*}\in S(X^{*})$ 及 $\epsilon>0,x\in A_{x^{*}},$ 存在 $\delta=\delta(x^{*},\epsilon)>0$ 及紧集 $C^{*}\subset X^{*},$ 使 $F^{*}(x,\delta)\subset \{y:y\in X^{*},$d$(y,C^{*})<\epsilon\}$.

引理 1.3^[9] $X^{\ast}$是 $\omega$ -强光滑空间当且仅当 $X$是自反的 $\omega$ -强凸空间．

引理 1.4^[9] 若 $X$ 是 $\omega$ -强光滑空间,则 $X$具有 (S) 性质．

引理 1.5^[11] 若 $X$是 $\omega$ -强凸空间,则 $X$具有 (H) 性质; 当 $X$ 自反时,其逆亦真．

引理 1.6 若 $X$ 是 $\omega$ -强凸的,则 $X$ 是近强凸的．

证 设 $\forall x\in S(X),\{x_{n}\}\subset S(X)$,且对某个 $x^{*}\in\sum(x),$ 有 $x^{*}(x_{n})\rightarrow 1(n\rightarrow\infty)$,则必有 $$\lim x^{\ast}(x +x_{n_{1}}+\cdots+x_{n_{k}})=k+1,(n_{1},\cdots,n_{k}\rightarrow\infty),$$ 因 $X$ 是 $\omega$ -强凸的,所以 $\{x_{n}\}$ 是相对紧的,故 $X$ 是近强凸的．

引理 1.7^[10] $X$ 为近非常凸当且仅当 $\sum \left ( x^{*} \right )=\hat{A}_{x^{*}}$.

引理 1.8^[12] 若紧集 $C\subset X,\{x_{n}\}\subset S(X)$, 使得对任意 $n\in$N,有 d$(x_{n},C)<\epsilon$, 则存在子序列 $\{x_{n_{k}}\}\subset\{x_{n}\}$,使 $\|x_{n_{l}}-x_{n_{k}}\|<2\epsilon.$

引理 1.9 若 $x_{0}\in S(X),$ $C=\{y: y\in$Span$x_{0},\|y\|\leq 3\},$ 则对 $\forall x\in U(X),$ 有 $${\rm d}(x,{\rm Span} x_{0})= {\rm d}(x,C).$$

证 因为 Span$x_{0}=C\bigcup \{y: y\in$Span$x_{0},\|y\|>3\},$ 所以对 $z\in \{y: y\in$Span$x_{0},\|y\|>3\}$ 及 $\forall x\in U(X),$ 有 $${\rm d} (x,{\rm Span} x_{0})\leq 1,\|x-z\|\geq \|z\|-\|x\|> 2,$$ 故对 $\forall z\in \{ y: y\in$ Span $x_{0},\|y\|>3\},$ 恒有 d$(x,$Span$x_{0})\neq\|x-z\|,$ 因此 d$(x,$Span$x_{0})=$d$(x,C).$ 证毕.

引理 1.10^[13] (局部自反原理)设 $X^{\ast}_{0}$ 和 $X^{\ast\ast}_{0}$ 分别是 $X^{\ast}$ 和 $X^{\ast\ast}$ 的有限维子空间,则对任何 $\epsilon\in(0,1),$ 存在一一有界线性算子 $T:X^{\ast\ast}_{0}\rightarrow X^{\ast},$ 使

$(\alpha) (1-\epsilon )\left \| F \right \|\leq \left \| T(F) \right \|\leq (1+\epsilon )\left \| F \right \|,F\in X_{0}^{**};$

$(\beta) f(T(F))=F(f),f\in X_{0}^{*},F\in X_{0}^{**};$

$(\gamma) T(\hat{x})=x,x\in X\bigcap X_{0}^{**}.$

定义 2.1 称 $x\in S(X)$ 是 $X$ 的 QCL$k$R 点,若对任意 $\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$, 当 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1$时, $\{x_{n}\}$是相对紧集. 若每个 $x\in S(X)$ 都是 $X$ 的 QCL$k$R 点,则称 $X$ 是 QCL$k$R 空间.

定义 2.2 称 $x\in S(X)$ 是 $X$ 的 QCL$k$S 点,若对任意 $x^{\ast}\in\sum(x),\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{*})$和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$,当 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}}\|=1$时, 存在$\{x^{\ast}_{n}\}$的子列$\{x^{\ast}_{n_{j}}\},$ 使$x^{\ast}_{n_{j}}\rightarrow y^{\ast}$ (这里$y^{\ast}$在单位球面$S(X)$上某一点达到范数). 若每个 $x\in S(X)$ 都是 $X$ 的 QCL$k$S 点,则称 $X$ 是 QCL$k$S 空间.

注 2.1 QCL$k$R 空间中涉及到的 $\{x_{n}\}\subset U(X) [$ 相应地,QCL$k$S 空间中涉及到的 $\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{\ast})]$ 可以改写成 $\{x_{n}\}\subset S(X)$ [相应地,可以改写成 $\{x^{\ast}_{n}\}\subset S(X^{\ast})].$

定义 2.3 称 $X$ 有拟 (C-WM) 性质: 若对任意$x\in S(X),\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$, 当 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1$时, 存在某个$x_{0}\in S(X), x^{\ast}_{0}\in\sum(x_{0})$及$\{x_{n}\}$的子列$\{x_{n_{j}}\},$ 使$x^{\ast}_{0}(x_{n_{j}})\rightarrow x^{\ast}_{0}(x_{0})=1.$

注 2.2 (C-WM) 性质蕴含拟 (C-WM) 性质.

事实上,设对任意 $\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k,$有 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1.$ 不失一般性,可假设 $n_k>\cdots>n_1,$ 这时便能推出 $\lim\limits_{{n_1}\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1.$ 因此对每个$\delta>0,$ 存在自然数$N(\delta),$ 当 $n_1>N(\delta)$时,有 $$\|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|>1-\delta,$$ 因而 co$(\{x\}\bigcup\{x_{n_{1}}: n_{1}\geq N(\delta)\})\bigcap{(1-\delta)U(X)}= \emptyset.$ 这说明$(\ast)$条件被满足,于是由 $X$ 具有 (C-WM) 性质知,存在某个$x_{0}\in S(X),x^{\ast}_{0}\in\sum(x_{0})$及$\{x_{n_{1}}\}$的子列$\{x_{m}\},$ 使$x^{\ast}_{0}(x_{m})\rightarrow x^{\ast}_{0}(x_{0})=1,$ 故 $X$ 具有拟 (C-WM) 性质.

与拟 (C-WM) 性质对偶地,可以引入拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质.

定义 2.4 称 $X$ 有拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质: 若对任意 $x\in S(X),x^{\ast}\in\sum(x),\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{*})$和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$,当 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}}\|=1$ 时, 存在某个$x^{*}_{0}\in S(X^{\ast}),x_{0}\in A_{x^{*}_{0}}$ 及 $\{x^{*}_{n}\}$的子列 $\{x^{*}_{n_{j}}\}$, 使得 $x^{*}_{n_{j}}(x_{0})\rightarrow x^{*}_{0}(x_{0})=1.$

定理 3.1 $X$ 是 QCL$k$R 空间的充要条件是 $X$具有拟 (C-WM) 性质且对 $\forall x\in S(X)$ 及 $\epsilon>0,x^{*}\in\sum(x),$ 存在 $\delta=\delta(x,\epsilon)>0$ 及紧集 $C\subset X,$ 使 $F(x^{*},\delta)\subset \{y:y\in X,$d$(y,C)<\epsilon\}$.

证 必要性. 首先证明 $X$ 具有拟 (C-WM) 性质. 若对任意 $x\in S(X)$,$\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$,有 $$\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1,$$ 则 由 $X$ 是 QCL$k$R 空间的假设知,$\{x_{n}\}$是相对紧集,因此 存在 $\{x_{n}\}$ 的子列 $\{x_{n_{j}}\},$ 使 $\|x_{n_{j}}-x_{0}\|\rightarrow0,x_{0}\in S(X).$ 由 Hahn-Banach 定理知,存在 $x^{\ast}_{0}\in S(X^{\ast})$,使 $x^{\ast}_{0}(x_{0})=1.$ 因此$x^{\ast}_{0}\in\sum(x_{0})$ 且 $x^{\ast}_{0}(x_{n_{j}})\rightarrow x^{\ast}_{0}(x_{0})=1,$ 故 $X$ 具有拟 (C-WM) 性质.

若存在 $x_{0}\in S(X)$ 及 $\epsilon_{0}>0,x^{*}_{0}\in\sum(x_{0}),$使得对$\forall n\in N$ 及任意紧集 $C\subset X$,集合 $F(x^{*}_{0},1/n)$ 不包含在 $\{y\in X,$d$(y,C)<\epsilon_{0}\}$ 中. 由 $x^{*}_{0}\in\sum(x_{0})$ 知,$x_{0}\in F(x^{*}_{0},1/n)$. 记 $C^{n}_{1}= \{y:y\in$Span$x_{0}; \|y\|\leq3\}$ ,则 $C^{n}_{1}$ 是紧集,因而 $F(x^{*}_{0},1/n)$ 不包含在 $\{y:y\in X,$d$(y,C^{n}_{1})<\epsilon_{0}\}$ 中,利用引理1.9,可取 $x_{1}\in F(x^{*}_{0},1/n)$,使 $${\rm{d}}({x_1},{\rm{Span}}{x_0}) = {\rm{d}}({x_1},C_1^n)\geq\epsilon_{0}.$$ 记 $C^{n}_{2}=\{y:y\in$Span$(x_{0},x_{1}); \|y\|\leq3\}$,则 $C^{n}_{2}$ 仍是紧集,因而 $F(x^{*}_{0},1/n)$ 仍不包含在 $\{y:y\in X,$d$(y,C^{n}_{2})<\epsilon_{0}\}$ 中,故可取 $x_{2}\in F(x^{*}_{0},1/n)$,使 $${\rm{d}}({x_2},{\rm{Span}}({x_0},{x_1})) = d({x_2},C_2^n)\geq\epsilon_{0}.$$ 继续上述过程,可取 $x_{0},x_{1},\cdots,x_{n-1}\in F(x^{*}_{0},1/n)$. 记 $C_n^n = \{ y:y \in {\rm{Span}}({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_{n - 1}});\parallel y\parallel \le 3\}$,则 $C^{n}_{n}$ 仍是紧集,因而 $F(x^{*}_{0},1/n)$ 仍不包含在 $\{y:y\in X,$d$(y,C^{n}_{n})<\epsilon_{0}\}$ 中,故可取 $x_{n}\in F(x^{*}_{0},1/n)$,使得对 $\forall n\in$N,有 $${\rm{d}}({x_n},{\rm{Span}}({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_{n - 1}})) = {\rm{d}}({x_n},C_n^n)\geq\epsilon_{0},$$ 这表明 $\{x_{n}\}$ 不是相对紧集.

另一方面,由于 $x_{n}\in F(x^{*}_{0},1/n)$,故 $x^{*}_{0}(x_{n})\geq1-1/n$ ,进而有 $x^{*}_{0}(x_{n})\rightarrow1(n\rightarrow\infty)$ ,于是对 $\forall k\in$ N,$\{n_{i}\}\subset\{n\},i=1,\cdots,k$,有 $$\|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|\geq x^{*}_{0}(\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}),$$ 由此得到 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1,$ 再由 $X$ 是 QCL$k$R 空间知,$\{x_{n}\}$ 是相对紧集. 这与 $\{x_{n}\}$ 不是相对紧集相矛盾.

充分性. 设 $x\in S(X)$,$\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,$ $i=0,$ $\cdots,k$,有 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1.$ 因 $X$具有拟 (C-WM) 性质,所以存在某个 $x_{0}\in S(X)$,$x^{*}_{0}\in \sum{(x_{0})}$ 及 $\{x_{n}\}$ 的子列 $\{x_{m}\}$, 使 $x^{*}_{0}(x_{m})\rightarrow x^{*}_{0}(x_{0})=1$. 进而对 $\forall n\in$ N,存在 $N_{1}$,使得当 $m>N_{1}$ 时,有 $x^{*}_{0}(x_{m})\geq1-1/2n.$ 由于 $x_{0}\in S(X)$,$x^{*}_{0}\in \sum({x_{0}})$,故对 $\epsilon=1/2n$, 存在 $\delta_{1}= \delta_{1}(x_{0},1/2n)>0$ 及紧集 $C_{n}\subset X$,使 $$F(x^{*}_{0},\delta_{1})\subset \{y:y\in X,{\rm d}(y,C_{n})<1/2n\}.$$ 令 $\delta= \min \{\delta_{1},1/2n\}$,则 $x^{*}_{0}(x_{m})\geq1-\delta$, 且 $$F(x^{*}_{0},\delta)\subset F(x^{*}_{0},\delta_{1})\subset \{y:y\in X,{\rm d}(y,C_{n})<1/2n\},$$ 故有 $$\{x_{m}\}\subset \{y:y\in X,{\rm d} (y,C_{n})<1/2n\},$$ 由引理 1.8 知,存在子序列 $\{x_{m_{k}}\}\subset\{x_{m}\}$,使 $\|x_{m_{k}}-x_{m_{l}}\|<1/n$, 采用对角线法可得 $\{x_{m_{k}}\}$ 的收敛子列,这导致 $\{x_{n}\}$ 是相对紧集,故 $X$ 是 QCL$k$R 空间.

定理 3.2 $X$ 是 QCL$k$S 空间的充要条件是 $X$具有拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质且 $\forall x^{*}\in S(X^{*})$ 及 $\epsilon>0,x\in A_{x^{*}},$ 存在 $\delta=\delta(x^{*},\epsilon)>0$ 及紧集 $C^{*}\subset X^{*},$ 使 $F^{*}(x,\delta)\subset \{y:y\in X^{*},$d$(y,C^{*})<\epsilon\}$.

证 必要性. 首先证明 $X$ 具有拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质. 设对任意 $x\in S(X),x^{\ast}\in\sum(x),\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{*})$和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$,有 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}}\|=1,$ 则由 $X$ 是 QCL$k$S 空间知, 存在$\{x^{\ast}_{n}\}$的子列$\{x^{\ast}_{n_{j}}\},$ 使$x^{\ast}_{n_{j}}\rightarrow x^{\ast}_{0}$ (这里$x^{\ast}_{0}$在单位球面$S(X)$上某一点达到范数),取 $x_{0}\in A_{x^{\ast}_{0}},$ 则 $x^{*}_{n_{j}}(x_{0})\rightarrow x^{\ast}_{0}(x_{0})=1,$ 故 $X$具有拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质.

若存在 $x^{*}_{0}\in S(X^{*})$ 及 $\epsilon_{0}>0,x_{0}\in A_{x^{*}_{0}},\forall n\in$ N 及任意紧集 $C^{*}\subset X^{*},$ 使 $F^{*}(x_{0},1/n)$ 不包含在 $\{y:y\in X^{*},$d$(y,C^{*})<\epsilon_{0}\}$ 中. 由 $x_{0}\in A_{x^{*}_{0}}$ 知,$x^{*}_{0}\in F^{*}(x_{0},1/n)$. 记 $C^{n}_{1}= \{y:y\in$Span$x^{*}_{0}; \|y\|\leq3\}$ ,则 $C^{n}_{1}$ 是紧集,因而 $F^{*}(x_{0},1/n)$ 不包含在 $\{y:y\in X^{*},$d$(y,C^{n}_{1})<\epsilon_{0}\}$ 中,利用引理1.9,可取 $x^{*}_{1}\in F^{*}(x_{0},1/n)$,使 $${\rm d} (x^{*}_{1},{\rm Span} x^{*}_{0})= {\rm d} (x^{*}_{1},C^{n}_{1})\geq\epsilon_{0}.$$ 记 $$C^{n}_{2}=\{y:y\in {\rm Span} (x^{*}_{0},x^{*}_{1}),\|y\|\leq3\},$$ 则 $C^{n}_{2}$ 仍是紧集,因而 $F^{*}(x_{0},1/n)$ 不包含在 $\{y:y\in X^{*},$d$(y,C^{n}_{2})<\epsilon_{0}\}$ 中,故可取 $x^{*}_{2}\in F^{*}(x_{0},1/n)$,使 $${\rm{d}}(x_2^*,{\rm{Span}}(x_0^*,x_1^*)) = {\rm{d}}(x_2^*,C_2^n)\geq\epsilon_{0}.$$ 继续上述过程,可取 $x^{*}_{0},x^{*}_{1},\cdots,x^{*}_{n-1}\in F^{*}(x_{0},1/n)$. 记 $$C^{n}_{n}= \{y:y\in {\rm Span} (x^{*}_{0},x^{*}_{1},\cdots,x^{*}_{n-1}),\|y\| \leq3\},$$ 则 $C^{n}_{n}$ 仍是紧集,因而 $F^{*}(x_{0},1/n)$ 仍不包含在 $\{y:y\in X^{*},$d$(y,C^{n}_{n})<\epsilon_{0}\}$ 中,故可取 $x^{*}_{n}\in F^{*}(x_{0},1/n),$ 使得对 $\forall n\in$N,有 $${\rm{d}}(x_n^*,{\rm{Span}}(x_0^*,x_1^*, \cdots ,x_{n - 1}^*)) = {\rm{d}}(x_n^*,C_n^n)\geq\epsilon_{0},$$ 这表明 $\{x^{*}_{n}\}$ 不是相对紧集.

另一方面,由于 $x^{*}_{n}\in F^{*}(x_{0},1/n),$ 故 $x^{*}_{n}(x_{0})\geq1-1/n,$ 进而有 $x^{*}_{n}(x_{0})\rightarrow1(n\rightarrow\infty),$ 于是对 $\forall k\in$N,$\{n_{i}\}\subset\{n\},i=1,\cdots,k,$ 有 $$\|\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}}\|\geq(\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}})(x_{0}),$$ 由此得到 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}}\|=1$, 再由 $X$ 是 QCL$k$S 空间知,$\{x^{*}_{n}\}$ 是相对紧的. 这与 $\{x^{*}_{n}\}$ 不是相对紧相矛盾.

充分性.设对任意 $x\in S(X),x^{\ast}\in\sum(x),\{x^{\ast}_{n}\}\subset U(X^{*})$和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k,$ 有 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty}\|\lambda_{0}x^{*} +\lambda_{1}x^{*}_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x^{*}_{n_{k}}\|=1.$ 因 $X$具有拟 (C-WM)$^{\ast},$ 所以存在某个 $x^{*}_{0}\in S(X^{*})$,$x_{0}\in A_{x^{*}_{0}}$ 及 $\{x^{*}_{n}\}$ 的子列 $\{x^{*}_{m}\},$ 使 $x^{*}_{m}(x_{0})\rightarrow x^{*}_{0}(x_{0})=1,$ 进而对 $\forall n\in$N,存在 $N_{1}$,当 $m>N_{1}$ 时,有 $x^{*}_{m}(x_{0})\geq1-1/2n.$ 由于 $x^{*}_{0}\in S(X^{*})$,$x_{0}\in A_{x^{*}_{0}},$ 故 对 $\epsilon=1/2n$,存在 $\delta_{1}= \delta_{1}(x_{0},1/2n)>0$ 及紧集 $C_{n}^{*}\subset X^{*},$ 使 $$F^{*}(x_{0},\delta_{1})\subset \{y:y\in X^{*},{\rm d} (y,C_{n}^{*})<1/2n\}.$$ 令 $\delta= \min \{\delta_{1},1/2n\},$ 则 $x^{*}_{m}(x_{0})\geq1-\delta,$ 且 $$F^{*}(x_{0},\delta)\subset F^{*}(x_{0},\delta_{1})\subset \{y:y\in X^{*},{\rm d} (y,C_{n}^{*})<1/2n\},$$ 于是 $\{x^{*}_{m}\}\subset \{y:y\in X^{*},$d$(y,C_{n}^{*})<1/2n\},$ 由引理1.8,存在子序列 $\{x^{*}_{m_{k}}\}\subset\{x^{*}_{m}\},$ 使 $\|x^{*}_{m_{k}}-x^{*}_{m_{l}}\|<1/n,$ 采用对角线法可得 $\{x^{*}_{m_{k}}\}$ 的收敛子列,这导致 $\{x^{*}_{n}\}$ 是相对紧集,故 QCL$k$S 空间.

由引理 1.1 和定理 3.1 得到推论 3.1 (相应地,由引理 1.2 和定理 3.2 得到推论 3.2).

推论 3.1 $X$ 是 QCL$k$R 空间的充要条件是 $X$ 是具有拟 (C-WM) 性质的 $\omega$ -强凸空间.

推论 3.2 $X$ 是 QCL$k$S 空间的充要条件是 $X$ 是具有拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质的 $\omega$ -强光滑空间.

由引理 1.6 和推论 3.1 得到推论 3.3.

推论 3.3 若 $X$ 是 QCL$k$R 空间,则 $X$ 是近强凸的.

由推论 3.1 和引理 1.5 得到推论 3.4 (相应地,由推论 3.2 和引理 1.4 得到推论 3.5).

推论 3.4 若$X$ 是 QCL$k$R 空间,则 $X$ 同时具有拟 (C-WM) 性质和 (H) 性质.

推论 3.5 若$X$ 是 QCL$k$S 空间,则 $X$ 同时具有拟 (C-WM)$^{\ast}$ 性质和 (S) 性质.

由推论 3.2,引理 1.3 和引理 1.5 得到推论 3.6.

推论 3.6 若$X^{*}$ 是 QCL$k$S 空间,则 $X$ 是具有 (H) 性质的自反空间.

定理 3.3 (1) $X$ 是 QCL$k$R 空间当且仅当 $\forall x\in S(X),x^{\ast}\in\sum(x)$ 是 $X^{\ast}$ 的 QCL$k$S 点;

(2) $X$ 是 QCL$k$S 空间当且仅当 $\forall x\in S(X),x^{\ast}\in\sum(x)$ 是 $X^{\ast}$ 的 QCL$k$R 点.

证 (1) 充分性. 设对任意 $\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$, 有 $\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1.$ 因为 $x^{\ast}\in\sum(x),$ 所以把 $x$ 是理解为 $X^{\ast\ast}$ 的点,则 $x\in\sum(x^{*}),$ 于是由 $x^{\ast}\in\sum(x)$ 是 $X^{\ast}$ 的 QCL$k$S 点知, 存在$\{x_{n}\}$的子列$\{x_{n_{j}}\},$使$x_{n_{j}}\rightarrow x_{0}^{\ast\ast}$ (这里$x_{0}^{\ast\ast}$在单位球面$S(X^{\ast})$上某一点$x_{0}^{\ast}$达到范数), 故$x_{n_{j}}\stackrel{w}\longrightarrow x_{0}^{\ast\ast},$ 由 Mazur 定理知,$\Lambda(X)$弱闭,故 $x_{0}^{**}\in \Lambda(X),$ 即存在 $x_{0}\in S(X),$ 使 $x_{0}^{**}={x}_{0},$ 故有$x_{n_{j}}\rightarrow x_{0}$,这说明 $X$ 是 QCL$k$R 空间.

必要性. 若存在 $x_{0}\in S(X),$ 使 $x_{0}^{\ast}\in\sum(x_{0})$ 不是 $X^{\ast}$ 的 QCL$k$S 点,则存在 $x_{0}^{\ast\ast}\in\sum(x_{0}^{\ast})$和 $\{x_{n}^{\ast\ast}\}_{n=1}^\infty\subset U(X^{\ast\ast})$,使

$$\begin{eqnarray} \lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x_{0}^{\ast\ast}+\lambda_{1}x_{n_{1}}^{\ast\ast} +\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}^{\ast\ast}\|=1, \end{eqnarray}$$

(3.1)

但 $\{x_{n}^{\ast\ast}\}_{n=1}^\infty$ 的 任何子列 $\{x_{m}^{\ast\ast}\}_{m=1}^\infty$ 均不收敛于在单位球面$S(X^{\ast})$ 上某一点达到范数的点$y^{\ast\ast},$ 即存在 $\epsilon_{0}>0$, 使得 $\|x_{m}^{\ast\ast}-y^{\ast\ast}\|\geq\epsilon_{0}$. 因此,存在 $y_{m}^{\ast}\in U(X^{\ast})$,使得

$$\begin{eqnarray} $$ \left | x_{m}^{\ast\ast}(y_{m}^{\ast})-y^{\ast\ast}(y_{m}^{\ast})\right |\geq \epsilon_{0}/2. \end{eqnarray}$$

(3.2)

因 $X$ 是 QCL$k$R 空间,由推论 3.3 知,$X$ 是近强凸空间,进而 $X$ 是近非常凸的, 再由引理 1.7 知, $\sum(x_{0}^{\ast})=\hat{A}_{x_{0}^{\ast}},$ 因此存在 $x^{0}\in A_{x_{0}^{\ast}}$,使得 $x^{0}=x_{0}^{\ast\ast}$.

任取 $\{x_{m}^{\ast\ast}\}_{m=1}^\infty$ 的 $k$ 个子列 $\{x_{m_{i}(m)}^{\ast\ast}\}_{m=1}^\infty, i=1,2,\cdots,k$, 其中 $m_{i}(m)$ 表示 $\{m_{i}\}$ 的第 $m$ 项. 对每个 $m,$ 令 $$X_{m}^{\ast\ast}={\rm Span} \{x^{0},x_{m}^{\ast\ast}, x_{m_{1}(m)}^{\ast\ast},\cdots,x_{m_{k}(m)}^{\ast\ast}\},~~X_{m}^{\ast}= {\rm Span} \{x_{0}^{\ast},y_{m}^{\ast}\},$$ 由局部自反原理 (引理 1.10),存在一一有界线性算子 $T_{m}:X_{m}^{\ast\ast}\rightarrow X$ 满足

$(\alpha)$ $$1-\frac{1}{m}\leq \left \| T_{m}(x_{m}^{**}) \right \|\leq 1+\frac{1}{m},1-\frac{1}{m}\leq \left \| T_{m}(x_{m_{i}(m)}^{**}) \right \|\leq 1+\frac{1}{m},i=1,2,\cdots ,k;$$ $$\begin{eqnarray*} &&(1-1/m)\|\lambda_{0}x^{0}+\lambda_{1}x^{\ast\ast}_{m_{1}(m)} +\cdots+\lambda_{k}x^{\ast\ast}_{m_{k}(m)}\| \\ &\leq& \|T_{m}(\lambda_{0}x^{\ast\ast}_{0}+\lambda_{1}x^{\ast\ast}_{m_{1}(m)}+\cdots +\lambda_{k}x^{\ast\ast}_{m_{k}(m)})\| \\ &\leq& (1+1/m)\|\lambda_{0}x^{0}+\lambda_{1}x^{\ast\ast}_{m_{1}(m)} +\cdots+\lambda_{k}x^{\ast\ast}_{m_{k}(m)}\|; \end{eqnarray*}$$

$(\beta)y_{m}^{*}(T_{m}(x_{m_{i}(m)}^{**}))=x_{m_{i}(m)}^{**}(y_{m}^{*}),i=1,2,\cdots ,k;$

$(\gamma) T_{m}(x^{0})=x^{0}$.

令 $x_{m}=T_{m}(x_{m}^{**}),x_{m_{i}(m)}=T_{m}(x_{m_{i}(m)}^{**})$, 则 $\{x_{m_{i}(m)}\}$ 是 $\{x_{m}\}$ 的子列, $i=1,2,\cdots,k,$ 由 $(\alpha)$式得 $\|x_{m}\|\rightarrow1,\|x_{m_{i}(m)}\|\rightarrow1,$ 于是有 $x_{m}\in U(X),x_{m_{i}(m)}\in U(X),i=1,2,\cdots,k.$ 由$(\beta),(\gamma)$ 和 $(3.1)$ 式得 $m_{1},m_{2},\cdots,m_{k}\rightarrow\infty$时 $$\lim \|\lambda_{0}x^{0}+\lambda_{1}x_{m_{1}(m)} +\cdots+\lambda_{k}x_{m_{k}(m)}\|=1.$$ 已知 $X$ 是 QCL$k$R 空间,所以 $\{x_{m}\}$ 是相对紧集. 设 $\{x_{m_{s}}\}$ 是 $\{x_{m}\}$ 的收敛子列,则 $x_{m_{s}}\rightarrow x.$ 再由$\|x_{m}\|\rightarrow1$ 知,$x\in S(X).$ 由 Hahn-Banach 定理,存在 $x^{\ast}\in S(X^{\ast}),$ 使$x^{\ast}(x)=1,$ 因此在 $(3.2)$ 式中取 $y^{**}=x,$ 则由 $(3.2)$ 式和 $(\beta)$ 得 $$\lim \|x_{m_{s}}-x\|\geq \lim \left | y_{m}^{\ast}(x_{m_{s}}-x)\right | =\lim \left | x_{m}^{\ast\ast}(y_{m}^{*})-y^{\ast\ast}(y_{m}^{*})\right |\geq \epsilon_{0}/2,$$ 此与 $x_{m_{s}}\rightarrow x$ 相矛盾.

(2) 结合(1)的结论,用反证法易证.

由推论 3.6 和定理 3.3 得到推论 3.7.

推论 3.7 若$X^{*}$ 是 QCL$k$R 空间,则 $X$ 是 QCL$k$S 空间; $X^{*}$ 是 QCL$k$S 空间当且仅当 $X$ 是自反的 QCL$k$R 空间．

由推论 3.1 和引理 1.5 得到推论 3.8.

推论 3.8 若$X$是自反的 Banach 空间,则$X$是 QCL$k$R 空间当且仅当$X$同时具有拟 (C-WM) 性质和 (H) 性质.

定理 3.4 若 $X$ 是 CL$k$R 空间,则 $X$ 是 QCL$k$R 空间.

证 设对任意 $\{x_{n}\}\subset U(X)$ 和满足条件 $\sum\limits_{i=0}^{k}\lambda_{i}=1$ 的一切可能的 $\lambda_{i}\geq0,i=0,\cdots,k$,有 $$\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|\lambda_{0}x +\lambda_{1}x_{n_{1}}+\cdots+\lambda_{k}x_{n_{k}}\|=1.$$ 特别地,取 $\lambda_{i}=1/(k+1),i=0,\cdots,k,$ 则有 $$\lim\limits_{{n_1,\cdots,n_k}\,\rightarrow\,\infty} \|x +x_{n_{1}}+\cdots+x_{n_{k}}\|=k+1,$$ 于是由 $X$ 是 CL$k$R 空间知,$\{x_{n}\}$ 是相对紧集,故 $X$ 是 QCL$k$R 空间.

相仿可证如下定理.

定理 3.5 若 $X$ 是 CL$k$S 空间,则 $X$ 是 QCL$k$S 空间.