趋向性描述了微生物在外界条件的刺激下的应激反应,当外界刺激是化学物质时称趋化性. 我们以趋化性为例,讨论微生物应激反应的机理. 本文研究了一类经典的趋化性模型 Keller-Segel 模型^[1] 平面行波解的存在性. 此模型的数学描述为

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lc} u_t = \nabla \cdot \left( {d\nabla u - u\nabla H\left( v \right)} \right),\\ v_t = D \Delta v + g\left( {u,v} \right), \end{array} \right. \end{equation}$$

(1.1)

其中,$u$ 和 $v$ 分别表示生物物种种群密度和引起种群趋化性行为的化学物质的浓度. $d$ 表示种群的扩散系数或随机移动,通常 $d$ 是种群密度的函数. 而 $D$ 表示化学物质的扩散系数,$\nabla H\left( v \right)$ 表示种群可感知到的化学物质浓度的梯度,即灵敏度函数. 反馈函数 $g(u,v)$ 则描述了种群对化学物质的回馈反应.

对于上述趋化性模型,很多专家和学者研究了它的行波解. 当灵敏度函数 $H\left( v \right) = \log \left( v \right)$ 时, Othmer 和 Stevens^[2] 建立了描述粘细菌因化学物质而聚集的模型. Keller 和 Segel^[3] 在实验中观察到某些细菌沿行波带运动, 进而研究了描述这类现象的模型行波解的存在性. 在灵敏度函数 $H\left( v \right) = \log \left( v \right)$ 下, 不考虑化学物质自身的扩散 $( u = 0 )$, 他们得到了行波解. Rosen^[4] 则推广了反馈函数 $g$ 的范围, Keller和 Odell^[5] 也将灵敏度函数推广到 $H(v) = -v^{-p}$. 然而,此时反馈函数的类型依然受到了严格的限制, 并且他们的方法不考虑化学物质的扩散. 后来,Nagai和Ikeda^[6] 讨论了 $g=-u$ 时的考虑化学物质扩散性的模型行波解的存在性. Horstmann 和 Stevens^[7] 针对几种灵敏度函数和反馈函数提出了一种构造性方法, 以保证行波解的存在性. Schwetlick 和 Hartmut^[8] 定性分析了 行波解存在对灵敏度函数和反馈函数的要求,证明了灵敏度函数的奇性是存在 有界行波的必要条件. 当模型考虑到细胞的繁殖和死亡因素时,即使灵敏度函数 非奇性,行波解仍然可能存在. 黎勇^[9]在 $H(v) = \chi v^{1-p}$ 和 $g\left( {u,v} \right) = - \kappa _0 v^\alpha u$ 时, 就 $D = 0$,$D \ne 0$ 讨论了行波解的存在性. Xue等^[10] 构建了新的细菌趋化性模型,该模型在灵敏度函数非奇的情况 下考虑了细胞间的相关性. 他们证明了这个模型解的全局存在性,从数值方 法和解析方法上证明了行波解的存在性. 陈学勇等^[11]讨论了一类 基于趋化性现象的强耦合非线性偏微分方程组,利用相轨分析法,得到了该模型 行波解存在的充分条件和必要条件. 此外,趋化性模型行波解的 稳定性也引起了大量学者的关注. Li 和 Wang^[12] 证明了一类双曲-抛物型趋化性模型任意幅度行波 解的非线性稳定性,同时,他们也得到了一类由 Keller-Segel 模型衍变的遵守守恒律的系统在不假设波强度很小的前提下,行波解的存在性 和非线性稳定性^[13]. Martin Meyries^[14] 研究了奇性灵敏度函数下 带化学物质非线性扩散的 Keller-Segel 模型,得到了行波解的存在性, 在波的一个指数权重邻域内的局部适定性和一定条件下的非线性不稳定性. 最近 Wang^[15] 总结了趋化性模型的行波解情况,包括存在性,波速, 渐近衰减率和稳定性等,并且提出了趋化性模型存在的一些开放性问题.

我们研究带动力项的 Othmer-Stevens 模型. 针对当灵敏度函数 $H(v)= \frac{{ \Lambda}}{\tau }\log \left( v \right)$ 和 $g(u,v)=u^\gamma - v^\alpha u^\beta$ 时,分别研究模型 (2.1) 在 $D=0$ 和 $D\neq0$ 两种不同情况下的行波解的存在性

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \frac{\mu }{\tau }\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial x^2 }} - \frac{\Lambda}{\tau }\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{u}}{v}\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right),\\ \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac{D}{\tau }\frac{{\partial ^2 v}}{{\partial x^2 }} + u^\gamma - v^\alpha u^\beta, \end{array} \right.\quad t\in R, \end{equation}$$

(2.1)

其中,$\tau$,$\Lambda$ 是正常数. 反馈函数 $g(u,v)$ 中 $u^\gamma$ 表示外界化学物质的自然增长,$- v^\alpha u^\beta$ 表示化学物质对种群的抑制作用. 不同于以往所讨论的模型,我们引入的化学物质增长项为 $u^\gamma,$ 其中 $\gamma > 0$. 记 $$u(x,t)=B(x-ct)=B(\xi),\quad \quad v(x,t)=S(x-ct)=S(\xi),$$ 我们寻找模型(2.1)满足下列条件的行波解 $$(B(-\infty),S(-\infty))=(0,0),\quad \quad (B(+\infty),S(+\infty))=(0,S_0),$$ 这里,$S_0>0$. 换言之,我们要寻找下列常微分方程组

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} - c\frac{{dB}}{{d\xi }} = \frac{\mu }{\tau }\frac{{d^2 B}}{{d\xi ^2 }} - \frac{\Lambda}{\tau }\frac{d}{{d\xi }}\left( {\frac{{ B }}{S} \frac{{dS}}{{d\xi }}} \right),\\ - c\frac{{dS}}{{d\xi }} = \frac{D}{\tau }\frac{{d^2 S}}{{d\xi ^2 }} + B^\gamma - S^\alpha B^\beta,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty}(B(\xi),S(\xi))=(0,0),\\ \lim\limits_{\xi\to+\infty}(B(\xi),S(\xi))=(0,S_0). \end{array} \right.\quad \xi\in R \end{equation}$$

(2.2)

的解.

下面是我们对模型 $(2.1)$ 研究的主要结果.

定理2.1 若常数 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足条件

$$\begin{equation} \frac{\Lambda}{\mu}\gamma-1 > 0 ,\quad \quad \gamma>0,\quad \quad \beta = ( {1 - \alpha } )\gamma ,\quad \quad 0 < \alpha < 1 , \end{equation}$$

(2.3)

则存在一个正常数 $S_0$ 使得系统 $(2.1)$ 存在单调递增的行波解且满足条件 $$(B(-\infty),S(-\infty))=(0,0),(B(+\infty),S(+\infty))=(0,S_0).$$ 此时,波速 $c > 0$ 并满足

$$\begin{equation} \tau \gamma c^2\frac{(D+\Lambda)\gamma-\mu}{(\gamma\Lambda-\mu)^2}< \alpha(1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}. \end{equation}$$

(2.4)

注2.1 定理 2.1 中若将 (2.3) 式 改为

$$\begin{equation} \frac{\Lambda}{\mu}\gamma-1 > 0 ,\quad \quad \gamma>0,\quad \quad \beta = \gamma ,\quad \quad \alpha = 0,\end{equation}$$

(2.3')

则对任意正常数 $S_0$,问题 $(2.2)$ 无解.

定理2.2 当 $D = 0$ 时,若常数 $\alpha,\beta,\gamma$ 满足

$$\begin{equation} \frac{\Lambda}{\mu}\gamma-1 > 0 ,\quad \quad \beta = ( {1 - \alpha } )\gamma ,\quad \quad \alpha < 0, \end{equation}$$

(2.5)

则对任意正常数 $c ,$ 存在常数 $S_0 > 0,$ 使得系统 $(2.1)$ 存在单调递增的行波解,波速 $c$ 满足 $$(B(-\infty),S(-\infty))=(0,0),\quad (B(+\infty),S(+\infty))=(0,S_0).$$

我们将在第三章中证明定理 2.1,而定理 2.2 中行波解的存在性证明则是第四章的内容.

本定理证明分为两个部分,分别对应 $D > 0,D = 0$ 的不同情形进行讨论. 我们先考虑模型 $(2.1)$ 在 $D > 0$ 下行波解的存在性. 我们的证明基于如下事实: 对于问题

$$\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(u) \hspace{1.0cm} x\in R,\quad t\in R, \end{equation}$$

(3.1)

若存在从 $p^*$ 到 $0$ 的行波解 $u(x,t)=p(\xi)$, 则这个行波解一定满足

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lc} p'' + cp' + f(p) = 0,\\xi\in R,\\ p(-\infty) = p^*,\quad p(+\infty) = 0, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.2)

其中,$\xi=x-ct$,正数 $c$ 为行波速度.

首先我们将问题 $(2.1)$ 的求解转换成讨论问题 (3.1) 的形式,然后运用下面的已知结果.

引理3.1^[16] 若 $f \in C^1 [0,p^*],f(0) = f(p^* ) = 0,f'(0) > 0,f'(p^* ) < 0$ 且对于任意的 $p \in (0,p^* )$,$f(p) > 0$,则存在一个唯一的常数 $c_*$ 满足

$$\begin{equation} 2\sqrt {f'(0)} \le c_* \le 2\sqrt {\mathop {\sup }\limits_{(0,p^* )} \frac{{f(p)}}{p}}, \end{equation}$$

(3.3)

使得问题 $(3.2)$ 有严格递减的解 $p$ 当且仅当 $c\ge c_*$.

可以证明(详细见附录),若 $(B(\xi),S(\xi))$ 是问题 $(2.2)$ 的解,则

$$\begin{equation} \lim\limits_{\xi\to\pm\infty}(B'(\xi),S'(\xi))=(0,0). \end{equation}$$

(3.4)

对任意的 $\xi$,将 问题 (2.2) 的第一个方程从 $\xi$ 到 $+\infty$ 积分,可得

$$\begin{equation} cB(\xi) = -\frac{\mu}{\tau}\frac{d B}{d\xi}+\frac{\Lambda B} {\tau S}\frac{d S}{d\xi}. \end{equation}$$

(3.5)

再任意固定 $\xi_0$,将方程 $(3.5)$ 从 $\xi_{0}$ 到 $\xi$ 积分,可得

$$\begin{equation} B(\xi,\xi_0) = C\left( {\xi _0 } \right)S^\lambda e^{ - \frac{{\tau c}}{\mu }\xi }, \end{equation}$$

(3.6)

其中 $$\lambda = \frac{{ \Lambda }}{\mu },\hspace{0.8cm} C\left( {\xi _0 } \right) = \frac{{B\left( {\xi _0 } \right)}}{{S\left( {\xi _0 } \right)}}e^{\frac{{\tau c}}{\mu }\xi _0 }.$$ 将 (3.6)式 代入 $(2.2)$式 的第二个方程,可得

$$\begin{equation} - c\frac{{dS}}{{d\xi }} = \frac{D}{\tau }\frac{{d^2 S}}{{d\xi ^2 }} + C^\gamma\left( {\xi _0 } \right) S^{\lambda \gamma } e^{ - \frac{{\tau c}}{\mu }\gamma \xi } - C^\beta\left( {\xi _0 } \right) S^{\alpha + \lambda \beta } e^{ - \frac{{\tau c}}{\mu }\beta \xi }. \end{equation}$$

(3.7)

为了简化 $(3.7)$式,我们引进新变量 $y$ 和函数 $p(y)$. 令 $$\varepsilon = \frac{D}{\tau },\quad \quad S(\xi) = \frac{1}{m}e^{l_1 \xi } p\left( y \right),\quad \quad \xi = ky ,$$ 其中,正常数 $m,k,l_1$ 满足 $$\left\{ \begin{array}{l} m^{\lambda \gamma - 1} = C^\gamma \left( {\xi _0 } \right) ,\\ l_1 \left( {\lambda \gamma - 1} \right) = \frac{{\tau c}}{\mu }\gamma ,\\ l_1 \left( {\alpha + \lambda \beta - 1} \right) = \frac{{\tau c}}{\mu }\beta. \end{array} \right.$$ 于是等式 $(3.7)$ 转化为

$$\begin{equation} - c\left( {\frac{{l_1 }}{m}e^{l_1 \xi } p\left( y \right) + \frac{1}{{mk}}e^{l_1 \xi } \frac{{dp}}{{dy}}} \right) \nonumber\\ = \varepsilon \left( {\frac{{l_1 ^2 }}{m}e^{l_1 \xi } p\left( y \right) + \frac{{2l_1 }}{{mk}}e^{l_1 \xi } \frac{{dp}}{{dy}} + \frac{1}{{mk^2 }}e^{l_1 \xi } \frac{{d^2 p}}{{dy^2 }}} \right) + C^\gamma\left( {\xi _0 } \right) \left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^{\lambda \gamma } e^{\left( {l_1 \lambda \gamma - \frac{{\tau c}}{\mu }\gamma } \right)\xi } \nonumber\\ - C^\beta\left( {\xi _0 } \right) \left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^{\alpha + \lambda \beta } e^{^{\left( {l_1 \left( {\alpha + \lambda \beta } \right) - \frac{{\tau c}}{\mu }\beta } \right)\xi } }. \end{equation}$$

(3.8)

将 $(3.8)$ 式两边同除以 $e^{l_{1}\xi}$,得

$$\begin{equation} - c\left( {\frac{{l_1 }}{m}p\left( y \right) + \frac{1}{{mk}}\frac{{dp}}{{dy}}} \right) \nonumber\\ = \varepsilon \left( {\frac{{l_1 ^2 }}{m}p\left( y \right) + \frac{{2l_1 }}{{mk}}\frac{{dp}}{{dy}} + \frac{1}{{mk^2 }}\frac{{d^2 p}}{{dy^2 }}} \right) + C^\gamma\left( {\xi _0 } \right) \left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^{\lambda \gamma } e^{\left( {l_1 \left( {\lambda \gamma - 1} \right) - \frac{{\tau c}}{\mu }\gamma } \right)\xi } \nonumber\\ - C^\beta\left( {\xi _0 } \right) \left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^{\alpha + \lambda \beta } e^{^{\left( {l_1 \left( {\alpha + \lambda \beta - 1} \right) - \frac{{\tau c}}{\mu }\beta } \right)\xi } }. \end{equation}$$

(3.9)

由前面几个常数的定义知

$$\begin{equation} m^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\gamma } = C^\gamma \left( {\xi _0 } \right),\quad \quad m^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\beta } = C^\beta \left( {\xi _0 } \right) = m^{\alpha + \lambda \beta - 1}. \end{equation}$$

(3.10)

于是 $(3.9)$式 等价为

$$\begin{equation} \frac{{d^2 p}}{{dy^2 }} + \frac{k}{\varepsilon }(2l_1 \varepsilon + c)\frac{{dp}}{{dy}} + \frac{{k^2}}{\varepsilon }p( y )\Big[(l_1 ^2 \varepsilon + cl_1) + p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu}}\gamma }( y ) - p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\beta }( y )\Big]= 0, \end{equation}$$

(3.11)

并且 $(2.3)$式 可改写为

$$\begin{equation} \lambda \gamma - 1 > 0,\quad \quad \alpha + \lambda \beta - 1 > 0,\quad \quad \beta = \left( {1 - \alpha } \right)\gamma. \end{equation}$$

(2.3")

由 $\xi = ky,k>0$ 知,$\xi$ 趋向 $+\infty$ 当且仅当 $y$ 趋向 $+\infty$.

可以证明(详见引理 3.3)当条件 $(2.3)$ 成立,且对某正常数 $p^*$, 如果 $p(y)$ 是下面问题

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{d^2 p}}{{dy^2 }} + \frac{k}{\varepsilon }(2l_1 \varepsilon + c) \frac{{dp}}{{dy}} + \frac{{k^2}}{\varepsilon }p( y )\Big[(l_1 ^2 \varepsilon + cl_1) + p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu}}\gamma }( y ) - p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\beta }( y )\Big]= 0,\quad y \in R,\\ p(-\infty) = p^*>0,\quad \quad p(+\infty)= 0 \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.12)

的解,则存在一个正常数 $S_0$ 使得

$$\begin{equation} \lim\limits_{y\to+\infty}\frac{1}{m}e^{l_1 \xi } p\left( y \right) = \lim\limits_{y\to+\infty}\frac{1}{m}e^{l_1 ky } p\left( y \right) = S_0. \end{equation}$$

(3.13)

注意到函数 $S(\xi)$ 与 $p(y)$ 之间的联系,可推出 $S(\xi)$ 是问题 $(3.7)$ 的解,从而问题 $(2.2)$ 有解.

引理3.2 若 $D \neq 0$,$(2.3)$式 成立, 对满足不等式 $(2.4)$ 的正常数 $c$,存在一个正常数 $p^*$ 使得问题 $(3.12)$ 有古典解.

证 若 $0<\alpha<1,$ 由 $\gamma > \beta$ 可得

$$\begin{equation} \gamma = l_2 \beta \quad \quad ( {l_2 = \frac{1}{{1 - \alpha }} > 1} ). \end{equation}$$

(3.14)

记

$$\begin{equation} \frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\beta = t > 0,\quad \quad l_1 ^2 \varepsilon + cl_1 = h > 0, \end{equation}$$

(3.15)

定义函数 $f( p )$ 和 $r( p )$ 如下 $$f( p ) = \frac{{k^2 }}{\varepsilon }p( y )\Big[{( {l_1 ^2 \varepsilon + cl_1 } ) + p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\gamma }( y ) - p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\beta }( y ) }\Big],\quad \quad r(p) = h + p^{l_2 t} - p^t,$$ 此时,

$$\begin{equation} f( p ) = \frac{{k^2 }}{\varepsilon }pr( p ). \end{equation}$$

(3.16)

对于函数 $r(p)$,注意到 $r(0) = r(1) = h > 0$,可证明存在唯一零点 $p_0 \quad ( 0 < p_0 < 1)$ 使得 $r'( p_0 ) = 0$,即

$$\begin{equation} l_2 p_0 ^{l_2 t - 1} - p_0 ^{t - 1} = 0. \end{equation}$$

(3.17)

此时, $$p_0 =\Big ( \frac{1}{{l_2 }}\Big)^{\frac{1}{{( {l_2 - 1} )t}}} = ( 1-\alpha )^{\frac{1}{{( {l_2 - 1} )t}}}.$$ 再由 $(2.4)$ 式可得 $$\begin{eqnarray*} r( p_0) &=& h + p_0 ^{l_2 t} - p_0 ^t = h + \left( {\frac{1}{{l_2 }}} \right)^{\frac{{l_2 }}{{l_2 - 1}}} - \left( {\frac{1}{{l_2 }}} \right)^{\frac{1}{{l_2 - 1}}}\\ & =& h + ( 1-\alpha )^{\frac{{l_2 }}{{l_2 - 1}}} - ( 1-\alpha )^{\frac{1}{{l_2 - 1}}}<0. \end{eqnarray*}$$ $r(p)$ 在区间 $( 0,p_0 )$ 内有且仅有一个根 $p^*$. $f(p)$ 满足引理 3.1 中的条件 $$f \in C^1 \left[{0,p^ * } \right],f\left( 0 \right) = 0,f\left( {p^ * } \right) = 0, f'\left( 0 \right) = \frac{{k^2 }}{\varepsilon }h > 0,$$ $$f'\left( {p^ * } \right) = \frac{{k^2 t}}{\varepsilon }\left( {p^ * } \right)^t \left( {l_2 \left( {p^ * } \right)^{\left( {l_2 - 1} \right)t} - 1} \right) < 0,$$ $$f(p)>0 \quad \mbox{对所有的} \quad p \in \left( {0,p^ * } \right).$$ 注意到 $p_0$ 是函数 $r'(p)$ 在区间 $(0,1)$ 上的唯一零点,我们得到 $$f'(0) = \lim\limits_{p\to 0^+} \frac{{f\left( p \right)}}{p} = \lim\limits_{p\to 0^+} \frac{k^2}{\epsilon}r(p) = \frac{{k^2 }}{\varepsilon }h = \mathop {\sup }\limits_{\left( {0,p^ * } \right)}\frac{{k^2 }}{\varepsilon } r(p) = \mathop {\sup }\limits_{\left( {0,p^ * } \right)} \frac{{f\left( p \right)}}{p},$$ 由引理 3.1 得最小波速为 $$c_*=2k\sqrt {\frac{h}{\varepsilon }}.$$ 又由于 $$\frac{k}{\varepsilon }\left( {2l_1 \varepsilon + c} \right) = \frac{k}{\varepsilon }\sqrt {c^2 + 4\varepsilon h} \ge 2\sqrt {\frac{{k^2 }}{\varepsilon }h} = 2\sqrt {f'\left( 0 \right)}=c_*,$$ 根据引理 3.1,$p(y)$ 是问题 $(3.12)$ 的解.

注3.1 当 $p>p_0$ 时,方程 $(3.11)$ 不存在有界行波解. 因为 $\lim\limits_{p\to+\infty} f(p) = +\infty$,对任意的 $p>p_0,r'(p)>0$, 存在一个正常数 $\hat p \in (p_0,+\infty)$ 使得 $f(\hat p)=0$. 可以证明 $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{d^2 p}{dy^2 } + \frac{k}{\varepsilon }( { 2l_1 \varepsilon + c } )\frac{dp}{dy} + \frac{k^2 }{\varepsilon }p( y )\Big[ {\left( {l_1 ^2 \varepsilon + cl_1 } \right) + p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\gamma }\left( y \right) - p^{\frac{{\tau c}}{{l_1 \mu }}\beta }\left( y \right) } \Big] = 0,\quad y \in R,\\ p(-\infty)=\hat p,\quad p(+\infty)=p^* \end{array} \right.$$ 有严格递减的解. 然后,由函数 $S(\xi) = \frac{1}{m}e^{l_1 \xi } p( y (\xi))$ 的定义,可得 $$\lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} \frac{1}{m}e^{l_1 \xi } p\Big( \frac{\xi}{k}\Big ) = +\infty.$$ 因此,当 $p>p_0$ 时,方程 $(3.11)$ 不存在有界行波解.

引理3.3 若引理 $3.2$ 中的条件成立,则问题 $(2.1)$ 有正行波解 $(u(x,t),v(x,t))$ 使得 $(B(\xi),S(\xi))$ 满足问题 (2.2). 同时, $S(\xi)$ 关于 $\xi$ 单调递增.

证 由上面的推理可知,$p( y )$ 是问题 $(3.12)$ 的解,则 $( B(\xi), S(\xi) )$ 是问题 $(2.2)$ 中方程组的解. 下面我们只需证明 $( B(\xi),S(\xi) )$ 满足问题 $(2.2)$ 的边界条件.

方程 $$\frac{{d^2 p}}{{dy^2 }} + \frac{k}{\varepsilon }\left( {2l_1 \varepsilon + c} \right)\frac{{dp}}{{dy}} + f\left( p \right) = 0$$ 等价于

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dp}}{{dy}} = q ,\\ \frac{{dq}}{{dy}} = - \frac{k}{\varepsilon }\left( {2l_1 \varepsilon + c} \right)q - f\left( p \right). \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.18)

$(0,0)$ 是上述系统的一个平衡点. 将系统 $(3.18)$ 在 $(0,0)$ 线性化,得

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dp}}{{dy}} = q ,\\ \frac{{dq}}{{dy}} = - \frac{k}{\varepsilon }\left( {2l_1 \varepsilon + c} \right)q - \frac{{k^2 }}{\varepsilon }hp , \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.19)

其对应的矩阵为 $$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - \frac{{{k^2}}}{\varepsilon }h}&{ - \frac{k}{\varepsilon }\left( {2{l_1}\varepsilon + c} \right)} \end{array}} \right).$$ 因为矩阵的特征值为 $$\mu_{1}=-kl_{1},\quad \quad \mu_{2}=-kl_{1}-\frac{kc}{\varepsilon},$$ 对应的特征向量分别为 $\vec{\phi_1} = ( 1,\mu_1)^\perp$,$\vec{\phi_2} = ( 1,\mu_2)^\perp$,所以线性化系统 $(3.19)$ 存在趋于 $(0,0)$ 的轨线 $$(\overline p_1 \left( y \right),\overline q_1 \left( y \right) )^\perp = c_1 e^{ - kl_1 y}\vec{\phi_1} ,\quad \quad (\overline p_2 \left( y \right),\overline q_2 \left( y \right) )^\perp = c_2 e^{\left( { - kl_1 - \frac{{kc}}{\varepsilon }} \right)y}\vec{\phi_2},$$ 其中,$c_1,c_2$ 为常数. 又因为 $l_1\lambda - \frac{\tau c}{\mu} = \frac{\tau c}{\mu (\lambda \gamma -1 )} > 0$,所以 $$\lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi \to + \infty } \frac{1}{m}e^{l_1 \xi } p\left( y \right) = \lim\limits_{y \to + \infty } \frac{{c_1 }}{m}e^{kl_1 y} e^{^{ - kl_1 y} } = \frac{{c_1 }}{m}\triangleq S_0,$$ $$\lim\limits_{\xi \to + \infty } B(\xi) = \lim\limits_{\xi \to + \infty } C\left( {\xi _0 } \right)\left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^\lambda e^{\left( {l_1 \lambda - \frac{{\tau c}}{\mu }} \right)\xi } = \lim\limits_{y \to + \infty } \frac{{C\left( {\xi _0 } \right) \cdot c_3 }}{{m^\lambda }}e^{ - \frac{{\tau c}}{\mu }ky} = 0 ,$$ $$\lim\limits_{\xi \to - \infty } S\left( \xi \right) = \lim\limits_{y \to - \infty } C\left( {\xi _0 } \right)\left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^\lambda e^{\left( {l_1 \lambda - \frac{{\tau c}}{\mu }} \right)ky} = 0 ,$$ $$\lim\limits_{\xi \to - \infty } B\left( \xi \right) = \lim\limits_{y \to - \infty } C\left( {\xi _0 } \right)\left( {\frac{{p\left( y \right)}}{m}} \right)^\lambda e^{\left( {l_1 \lambda - \frac{{\tau c}}{\mu }} \right)\xi } = 0.$$

由此可知,如果引理 3.2 中的条件成立,问题 $(2.1)$ 存在正行波解 $(u(x,t),v(x,t))$ 使得 $(B(\xi),S(\xi))$ 是问题 $(2.2)$ 的解.

下面我们用反证法证明 $S(\xi)$ 的单调性. 假设 $S(\xi)$ 关于 $\xi$ 不是单调递增的, 则存在两个实数 $\xi _1 < \xi _2$,但是 $S(\xi _1 ) > S(\xi _2)$. 令 $$T =\{( \xi _1 ,\xi _2 ) | \xi _1 ,\xi _2 \in R,S(\xi _1 ) > S( \xi _2 )\},$$ 则 $T$ 非空. 记 $$\xi _1^* = \min \limits_ { ( \xi _1 ,\xi _2 ) \in T } \{\xi _1\},\quad \xi _2^* = \max\limits _ { ( \xi _1^* ,\xi _2 ) \in T } \{\xi _2\} .$$ 因为 $S(\xi) \in C^1 [\xi _1^* ,\xi _2^*]$,根据闭区间上连续函数的最值性定理,$S(\xi)$ 的最大值可在点 $\xi^*$ 处取得. 由费马定理得 $S'(\xi^*)=0$. 记 $\xi^* = ky^*, p_0 =mS( \xi^* )e^{-l_1\xi^*}$,则下面三种情形等价.

$$\begin{equation} \begin{array}{ll} ({\rm{i}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} S'({\xi ^*}) = 0,\\ ({\rm{ii}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{1}{m}{e^{{l_1}{\xi ^*}}}{[({l_1}p(y) + \frac{1}{{{k^2}}}p'(y))]_{\xi = {\xi ^*}}} = 0,\\ {\rm (iii)} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}[(l_1p(y)+\frac{1}{k^2}p'(y))] _{y=y^*}=0. \end{array} \end{equation}$$

(3.20)

又由于 $(B(\xi^*),S(\xi^*))$ 是问题 $(2.2)$ 解曲线上的一点, 问题 $(2.2)$ 可转化为问题 $(3.12)$, 那么$(B(\xi^*),S(\xi^*))$ 对应的点 $(y^*,p_0)$ 是问题 $(3.12)$ 解曲线上的点. 对初值问题

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dp}}{{dy}} = -k^2l_1p,\\ p(y^*)=p_0, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.21)

因为 $f(y,p)=-k^2l_1p(y) \in C^1( \Lambda ),\Lambda:\{(y,p)||y-y^*|\leq a_1, |p-p_0|\leq a_2\},$ $\exists L>0$ 使得 $f(y,p)$ 在 $\Lambda$ 上关于 $p$ 满足 Lipschitz 条件, 由常微分方程初值问题解的存在唯一性定理知, 初值问题 $(3.21)$ 在区间 $(y^*-h,y^*+h)$ 上存在唯一解 $y=p^*(y)=p_0e^{k^2l_1y}$, 其中 $h= \min\{a_{1},\frac{{a_{2}}}{{M}}\},$ $M=\max\limits_ { ( y,p ) \in R } |f(y,p)|$. 同时由于 $\lim\limits_{y\rightarrow-\infty}p^*(y)=+\infty, \lim\limits_{y\rightarrow-\infty}p(y)=p^*,$ $\lim\limits_{y\rightarrow-\infty}p^*(y)\neq \lim\limits_{y\rightarrow-\infty}p(y),$ $y=p(y),y=p^*(y)$ 是经过点 $(y^*,p_0)$ 的两条不同曲线. 这与初值问题 $(3.21)$ 解的唯一性矛盾. 因此,$S(\xi)$ 关于 $\xi$ 单调递增.

综上可知,引理 3.3 得证.

现在我们考虑 $D=0$ 的情形. 当 $D=0$ 时,问题 $(2.1)$ 变为

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\partial b}}{{\partial t}} + \frac{1}{\tau }\frac{\partial }{{\partial x}} \left( {\frac{{ \Lambda b }}{s}\frac{{\partial s}}{{\partial x}}} \right) = \frac{\mu }{\tau }\frac{{\partial ^2 b}}{{\partial x^2 }} ,\\ \frac{{\partial s}}{{\partial t}} = b^\gamma - s^\alpha b^\beta , \end{array} \quad \quad t \in R. \right. \end{equation}$$

(3.22)

同时,问题 $(2.2)$ 变为

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} - c\frac{{dB}}{{d\xi }} + \frac{1}{\tau }\frac{d}{{d\xi }} \left( {\frac{{ \Lambda B}}{S}\frac{{dS}}{{d\xi }}} \right) = \frac{\mu }{\tau }\frac{{d^2 B}}{{d\xi ^2 }} ,\\ - c\frac{{dS}}{{d\xi }} = B^\gamma - S^\alpha B^\beta , \end{array} \\xi\in R,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty}(B(\xi),S(\xi))=(0,0),\\ \lim\limits_{\xi\to+\infty}(B(\xi),S(\xi))=(0,S_0). \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.23)

运用推导 $(3.7)$式 类似的方法,我们得到

$$\begin{equation} - c\frac{{dS}}{{d\xi }} = C^\gamma\left( {\xi _0 } \right) S^{\lambda \gamma } e^{ - \frac{{\tau c}}{\mu }\gamma \xi } - C^\beta\left( {\xi _0 } \right) S^{\alpha + \lambda \beta } e^{ - \frac{{\tau c}}{\mu }\beta \xi }. \end{equation}$$

(3.24)

选择常数 $\sigma$,$\eta$ 满足等式 $$\left\{ \begin{array}{l} \sigma = - \frac{{\tau c}}{\mu },\\ \lambda \gamma - 1 = \gamma \eta ,\\ \alpha + \lambda \beta - 1 = \beta \eta . \end{array} \right.$$ 同时记 $X = S^\eta e^{\sigma \xi }$,(3.24) 式 可表示为

$$\begin{equation} \frac{{dX}}{{d\xi }} = \frac{\eta }{c}C^\beta\left( {\xi _0 } \right) S^{\alpha + \lambda \beta + \eta - 1} e^{\left( {\sigma - \frac{{\tau c}}{\mu }\beta } \right)\xi } - \frac{\eta }{c}C^\gamma\left( {\xi _0 } \right) S^{\lambda \gamma + \eta - 1} e^{\left( {\sigma - \frac{{\tau c}}{\mu }\gamma } \right)\xi } + \sigma X. \end{equation}$$

(3.25)

并且有

$$\begin{equation} \eta = \frac{{\lambda \gamma - 1}}{\gamma } = \frac{{\alpha + \lambda \beta - 1}}{\beta },\quad \quad \beta = \left( {1 - \alpha } \right)\gamma. \end{equation}$$

(3.26)

记 $\bar{X}=C(\xi_{0})X$,(3.25) 式 变为

$$\begin{equation} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right). \end{equation}$$

(3.27)

若 $(2.3)$式 成立,则必有

$$\begin{equation} \beta ,\gamma > 0,\quad \lambda \gamma - 1 > 0,\quad \alpha + \lambda \beta - 1 > 0,\quad \beta = \left( {1 - \alpha } \right)\gamma, \end{equation}$$

(3.28)

$$\begin{equation} \gamma > \beta ,\quad \quad 0 < \alpha < 1. \end{equation}$$

(3.29)

引理3.4n 假设条件 $(2.3)$ 成立,对满足 $$\frac{\tau \gamma }{\gamma\Lambda - \mu} c^2 =\alpha(1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}$$ 的正常数 $c$,则存在常数 $S_0 > 0$ 使得 $(3.22)$式 存在单调递增行波解且波速为 $c$.

证 由 $$\gamma > \beta > 0,\quad \quad 0 < \alpha < 1,\quad \quad \sigma < 0$$ 和满足条件的正常数 $c$,对任意 $\bar{X} \geq 0$,函数 $g(\bar X) = \bar{X}(\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma) \leq 0$. 易证函数 $g$ 存在唯一正零点 $\bar{X}^*$

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} g(0)=g(\bar{X}^*)=0 ,\\ g(\bar{X}) < 0,\quad \bar{X}\in(0, \bar{X}^*)\cup(\bar{X}^*,+\infty). \end{array}\right. \end{equation}$$

(3.30)

当 $\bar{X}^* < \bar{X}_0 < +\infty$ 时,考虑下面的初值问题

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lc} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right),\quad \xi\in I,\\ \bar X\left( 0 \right) = \bar X_0, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.31)

其中,$\bar{X}_0 \in \bar I \subset R.$ 由常微分方程初值问题解的存在唯一性定理可得, 问题 $(3.31)$ 存在唯一的局部解,解的最大存在区间记作 $I$. 因为 $\bar X = 0$ 和 $\bar X = \bar{X}^*$ 是问题

$$\begin{equation} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right), \quad \xi\in I \end{equation}$$

(3.32)

仅有的两个非负稳态解,所以可推出 $I = R$,问题 $(3.31)$ 存在严格单调递减的解,满足

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \bar {X}(\xi) >0,\\xi \in R,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} \bar{X}(\xi) = +\infty,\quad \lim\limits_{\xi\to+\infty} \bar{X}(\xi) = \bar{X}^* > 0. \end{array} \end{equation}$$

(3.33)

又因为 $\sigma < 0$,$\eta > 0$,可得

$$\begin{equation} \lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} = \lim\limits_{\xi\to+\infty} \bigg[\frac{\bar{X}(\xi)}{C(\xi_0)}e^{-\sigma \xi}\bigg]^{\frac{1}{\eta}}= +\infty. \end{equation}$$

(3.34)

函数 $S(\xi)$ 无界,问题 $(3.22)$ 不存在正行波解.

同理,任意取定 $\bar{X}_0 \in (0,\bar{X}^*)$,初值问题 $(3.31)$ 存在唯一的全局严格递增的正解. 事实上,

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \bar {X}(\xi) >0,\\xi \in R,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} \bar{X}(\xi) = \bar{X}^* > 0,\quad \lim\limits_{\xi\to+\infty} \bar{X}(\xi) = 0. \end{array} \end{equation}$$

(3.35)

将方程 $( 3.31 )$ 在点 $\bar {X} = 0$ 线性化,可知存在某一正常数 $\hat {X}$ 使得

$$\begin{equation} \lim\limits_{\xi\to+\infty} \frac{\bar {X}(\xi)}{e^{\sigma\xi}} = \hat {X}. \end{equation}$$

(3.36)

记 $S_0 = [\frac{\hat {X}}{C(\xi_0)}]^{\frac{1}{\eta}}$,对 $\sigma < 0$,我们有

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} = \bigg[\frac{\hat {X}}{C(\xi_0)}\bigg]^{\frac{1}{\eta}} = S_0,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to-\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} = 0. \end{array} \end{equation}$$

(3.37)

又因为 $$\frac{-\sigma\lambda}{\eta}-\frac{\tau c}{\mu} = \Big( \frac{\lambda}{\eta}-1\Big)\frac{\tau c}{\mu} = \Big( \frac{\lambda \gamma}{\lambda \gamma - 1}-1\Big)\frac{\tau c}{\mu} >0,$$ 可得 $$\lim\limits_{\xi\to+\infty} B(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} C(\xi,\xi_0)[X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{\lambda}{\eta}}\lim\limits_{\xi\to+\infty}e^{-\frac{\tau c}{\mu}\xi} = 0,$$ $$\lim\limits_{\xi\to-\infty} B(\xi) = \lim\limits_{\xi\to-\infty} C(\xi,\xi_0)[X(\xi)]^{\frac{\lambda}{\eta}}\lim\limits_{\xi\to-\infty}e^{[\frac{-\sigma\lambda}{\eta}-\frac{\tau c}{\mu}]\xi} = 0.$$ 所以问题 $(3.22)$ 存在波速为 $c$ 的单调递增行波解, 问题$(3.23)$ 存在正解.

引理3.5 假设条件 $(2.3)$ 成立,若存在正常数 $c$ 满足 $$\frac{\tau \gamma}{\gamma\Lambda - \mu} c^2 <\alpha(1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}},$$ 则存在常数 $S_0 >0$ 使得问题 $(3.22)$ 有波速为 $c$ 的单调递增行波解.

证 由 $$0 < \alpha < 1,\quad \quad \gamma > \beta ,\quad \quad \sigma < 0$$ 和满足上述条件的常数 $c$, 函数 $g\left( {\bar X} \right) = \frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma$ 有两个不同的正零点, 记较小的正零点为 $\bar{X}^{*}$. 任取 $\bar X_0 \in ( 0,\bar {X}^* )$,考虑初值问题

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right), \quad \xi\in I,\\ \bar X\left( 0 \right) = \bar X_0, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.38)

其中,$\bar X_0 \in I \subset R$. 由前面可知问题 $(3.18)$ 有唯一正解,$I$ 仍表示解的最大存在区间. 由于 $\bar X = 0$ 和 $\bar X = \bar {X}^*$ 是方程

$$\begin{equation} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right), \quad \xi\in I \end{equation}$$

(3.39)

的两个稳态解,$0 < \bar X_0 < \bar {X}^*$,我们可推出 $I = R$. 另外,问题 $(3.18)$ 的解 $\bar X(\xi)$ 严格递减,并且极限为

$$\begin{equation} \lim\limits_{\xi\to-\infty} \bar{X}(\xi) = \bar {X}^*,\quad \quad \lim\limits_{\xi\to+\infty} \bar{X}(\xi) = 0. \end{equation}$$

(3.40)

根据问题 $(3.31)$ 在点 $\bar {X} = 0$ 处的线性化方程,可得

$$\begin{equation} \lim\limits_{\xi\to+\infty} \frac{\bar {X}(\xi)}{e^{\sigma\xi}} = \bar {X}_0. \end{equation}$$

(3.41)

记 $S_0 = [\frac{\bar {X}_0}{C(\xi_0)}]^{\frac{1}{\eta}}$,于是对于 $\sigma<0$,我们有

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} =\bigg [\frac{\bar {X}_0}{C(\xi_0)}\bigg]^{\frac{1}{\eta}} = S_0,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to-\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi]^{\frac{1}{\eta}}} = 0. \end{array} \end{equation}$$

(3.42)

又由于 $$\frac{-\sigma\lambda}{\eta}-\frac{\tau c}{\mu} = \bigg[ \frac{\lambda}{\eta}-1\bigg]\frac{\tau c}{\mu} = \bigg[\frac{\lambda \gamma}{\lambda \gamma - 1}-1\bigg]\frac{\tau c}{\mu} >0,$$ 我们得到 $$\lim\limits_{\xi\to+\infty} B(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} C(\xi,\xi_0)[X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{\lambda}{\eta}}\lim\limits_{\xi\to+\infty} e^{-\frac{\tau c}{\mu}\xi} = 0,$$ $$\lim\limits_{\xi\to-\infty} B(\xi) = \lim\limits_{\xi\to-\infty} C(\xi,\xi_0)[X(\xi)]^{\frac{\lambda}{\eta}}\lim\limits_{\xi\to-\infty}e^{[\frac{-\sigma\lambda}{\eta}-\frac{\tau c}{\mu}]\xi} = 0.$$

由此可知 $(b(x,t),s(x,t))$ 是问题 $(3.22)$ 的正行波解,从而 $(B(\xi),S(\xi))$ 是问题 $(3.23)$ 的解.

$S( \xi )$ 的单调性证明类似于引理 3.3 中的证明,可根据下列初值问题 $(3.43)$ 解的存在唯一性定理,利用反证法来证明.

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dX}}{{d\xi}} = \sigma X,\\ X(\xi^*)=X_0, \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.43)

其中,$X_0=S^\eta( \xi^*)e^{-\sigma \xi^*}$.

综上,引理 3.5 得证.

引理3.6 若 $D = 0$,条件 $(2.3)$ 成立,当常数 $c > 0$,满足条件

$$\begin{equation} \frac{\tau \gamma}{\gamma\Lambda - \mu} c^2 \leq \alpha(1-\alpha)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}} \end{equation}$$

(3.44)

时,存在正常数 $S_0$ 使得系统 $(2.1)$ 存在波速为 $c$ 的单调递增行波解,且 $$(B(-\infty),S(-\infty))=(0,0),(B(+\infty),S(+\infty))=(0,S_0).$$

由引理 3.4 和引理 3.5,可得引理 3.6

.

综上,由引理 3.2,3.3 和 3.6,定理 2.1 得证.

值得指出的是,定理 2.1 中的条件 $(2.3)$ 不能被 $(2.3')$ 替代. 下面我们来证明注 2.1,其中引理 3.7 是当 $D \neq 0$ 的情况, 而引理 3.8 是当 $D = 0$ 的情况.

引理3.7 若 $D \neq 0$,$(2.3')$ 成立, 则对任意常数 $p^*$,问题 $(3.12)$ 无解.

证 由 $\alpha = 0$,$\beta = \gamma$,问题 $(3.12)$ 中的方程变为

$$\begin{equation} \frac{{d^2 p}}{{dy^2 }} + \frac{k}{\varepsilon }\left( {2l_1 \varepsilon + c} \right)\frac{{dp}}{{dy}} + \frac{{k^2 }}{\varepsilon }\left( {l_1 ^2 \varepsilon + cl_1 } \right)p\left( y \right) = 0,\quad \quad y \in R. \end{equation}$$

(3.45)

这是一个二阶常系数的线性常微分方程,它的一般解为 $$p(y) = c_1 e^{ - kl_1 y} + c_2 e^{-( kl_1 +\frac{{kc}}{\varepsilon } ) y},$$ 其中 $c_1$,$c_2$ 为常数. 因为 $\mu_i$ $( i = 3,4 )$ 都是负数,所以对任意常数 $p^*$,若函数 $p(y)$ 满足 $$p(-\infty)=p^*,\quad \quad p(+\infty)=0,$$ 则可推出 $p^* = 0$,进而 $p( y ) \equiv 0$. 引理 3.7 得证.

引理3.8 若 $(2.3')$ 成立,问题 $(3.22)$ 不存在正行波解.

证 由 $\beta=\gamma$,方程 $(3.27)$ 存在正解 $$\begin{array}{l} \bar {X}(\xi) = a_0 e^{\sigma \xi},\\xi \in R,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} \bar {X}(\xi) =+\infty,\quad \quad \lim\limits_{\xi\to+\infty} \bar {X}(\xi) =0. \end{array}$$ 于是

$$\begin{equation} \begin{array}{l} S(\xi) = [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} = \bigg[\frac{\bar{X}(\xi)}{C(\xi_0)}e^{-\sigma \xi}\bigg]^{\frac{1}{\eta}} \equiv \bigg(\frac{a_0}{C(\xi_0)}\bigg)^{\frac{1}{\mu}},\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} B(\xi) = \lim\limits_{\xi\to-\infty} C(\xi,\xi_0)S^{\lambda}e^{-\frac{\tau c}{\mu}\xi} = +\infty. \end{array} \end{equation}$$

(3.46)

显然,问题 $(3.22)$ 不存在行波解.

注 2.1 得证.

最后,我们来证明定理 2.2.

引理4.1 若 $\beta > 0 > \alpha$,$\beta=(1-\alpha)\gamma$,则对任意常数 $c > 0$,存在正常数 $S_0$ 使得问题 $(3.22)$ 有单调递增的行波解,波速为 $c$.

证 由于 $\beta > \gamma > 0,\quad c > 0,\quad \eta > 0$,$\sigma < 0$,函数 $g(\bar{X})=\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma$ 有唯一的正零点,记作 $\bar{X}^{*}$. 取 $\bar{X}_{0}\in (0,\bar{X}^{*})$, 初值问题

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lc} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right),\quad \xi\in I,\\ \bar X\left( 0 \right) = \bar X_0 \end{array} \right. \end{equation}$$

(4.1)

存在唯一正解. 又因为

$$\begin{equation} \frac{{d\bar X}}{{d\xi }} = \bar X\left( {\frac{\eta }{c}\bar X^\beta - \frac{\eta }{c}\bar X^\gamma + \sigma } \right), \\xi\in I \end{equation}$$

(4.2)

在区间 $(0,\bar{X}^{*})$ 上没有稳态解,我们可推出 $I = R$,问题 $(4.1)$ 的解 $\bar X(\xi)$ 严格单调递减,同时,也可得到

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \bar {X}(\xi) >0,\\xi \in R,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} \bar{X}(\xi) = \bar{X}^{*},\quad \quad \lim\limits_{\xi\to+\infty} \bar{X}(\xi) = 0. \end{array} \end{equation}$$

(4.3)

运用引理 3.5 中类似的证明方法,可得到如下极限

$$\begin{equation} \begin{array}{l} \lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} = \bigg[\frac{c_0}{C(\xi_0)}\bigg]^{\frac{1}{\eta}}\triangleq S_0,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} S(\xi) = \lim\limits_{\xi\to-\infty} [X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{1}{\eta}} = 0,\\ \lim\limits_{\xi\to+\infty} B(\xi) = \lim\limits_{\xi\to+\infty} C(\xi_0)[X(\xi)e^{-\sigma \xi}]^{\frac{\lambda}{\eta}}\lim\limits_{\xi\to+\infty} e^{-\frac{\tau c}{\mu}\xi} = 0,\\ \lim\limits_{\xi\to-\infty} B(\xi)= \lim\limits_{\xi\to-\infty} C(\xi_0)[X(\xi)]^{\frac{\lambda}{\eta}}\lim\limits_{\xi\to-\infty}e^{[\frac{-\sigma\lambda}{\eta}-\frac{\tau c}{\mu}]\xi} = 0, \end{array} \end{equation}$$

(4.4)

这里 $$\frac{-\sigma\lambda}{\eta}-\frac{\tau c}{\mu} = \Big( \frac{\lambda}{\eta}-1\Big)\frac{\tau c}{\mu} = \Big( \frac{\lambda \gamma}{\lambda \gamma - 1}-1\Big)\frac{\tau c}{\mu} >0.$$

由此可知 $(B(\xi),S(\xi))$ 是问题 $(3.23)$ 的解,进而 $(b(x,t),s(x,t))$ 是问题 $(3.22)$ 的正行波解.

类似于引理 3.5 中的证明可证 $S ( \xi )$ 的单调性.

综上,定理 2.2 得证.

引理5.1 若 $( B(\xi),S(\xi) )$ 是问题 $(2.2)$ 的解,则 $$\lim\limits_{\xi\to\pm\infty }\frac{dB}{d\xi}(\xi) = 0,\quad \quad \lim\limits_{\xi\to\pm\infty }\frac{dS}{d\xi}(\xi) = 0.$$

证 (i) 若 $\lim\limits_{\xi\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}$ 存在,则它一定为 0. 否则,存在实数 $a \neq 0$ 使得 $\lim\limits_{\xi\to+\infty}\frac{dS}{d\xi} = a$,$\lim\limits_{\xi\to+\infty} \mid S(\xi)\mid = +\infty$. 这与条件 $\lim\limits_{\xi\to+\infty} S(\xi) = S_0$ 矛盾,因此若 $\lim\limits_{\xi\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}$ 存在,一定为 0.

(ii) 证明极限 $\lim\limits_{\xi\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}$ 的存在性. 假设极限 $\lim\limits_{\xi\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}$ 不存在,则存在 $-\infty \leq a < b \leq+\infty$ 使得 $$\limsup_{\xi\rightarrow +\infty}\frac{dS}{d\xi}=b,\hspace{0.5cm} \liminf_{\xi\rightarrow +\infty}\frac{dS}{d\xi}=a.$$ 由扰动引理,存在两个子列 $\{\xi_{n}\},\{\eta_{n}\}$ 满足 $\lim\limits_{n\to+\infty} \xi_{n} = + \infty,\quad \lim\limits_{n\to+\infty} \eta_{n} = + \infty,$ 并且 $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}(\xi_{n})= a,\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{d^{2}S}{d\xi^2}(\xi_{n}) = 0;$$ $$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}(\eta_{n})= b,\quad \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{d^{2}S}{d\xi^2}(\eta_{n})= 0.$$ 对子列 $\{\xi_{n}\}$,因为 $S(+\infty)=S_0 >0,B(+\infty)=0$, 由 问题$(2.2)$ 的第二个方程可得

$$\begin{equation} -ca = -c \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}(\xi_n) \nonumber\\ = \lim\limits_{n\to+\infty}\bigg\{\frac{D}{\tau}\frac{d^{2}S}{d\xi^2}(\xi_n)+ B^\gamma(\xi_n)- S^{\alpha}(\xi_n)B^{\beta}(\xi_n)\bigg\} \nonumber\\ = 0, \end{equation}$$

(5.1)

又因为 $c > 0$,所以 $a = 0$.

同理在 $(5.1)$式 中,用 $\eta_{n}$ 代替 $\xi_{n}$, 可证 $b = 0$. 这与 $a < b$ 矛盾,所以极限 $\lim\limits_{\xi\to+\infty}\frac{dS}{d\xi}$ 存在且为 0.

同理可证 $\lim\limits_{\xi\to-\infty}\frac{dS}{d\xi}=0$. 进一步可得 $$\lim\limits_{\xi\to\pm\infty}\frac{d^2S}{d\xi^2}=0.$$

(iii) 类似于 $$\lim\limits_{\xi\to\pm\infty}\frac{dS}{d\xi}=0,\quad \quad \lim\limits_{\xi\to\pm\infty}\frac{d^2S}{d\xi^2}=0$$ 的证明,从问题 $(2.2)$ 的第一个方程,可得 $$\lim\limits_{\xi\to\pm\infty}\frac{dB}{d\xi}=0.$$

引理 5.1 得证.