多层分红策略下以FGM Copula为相依结构的风险模型


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	杨龙

杨龙

广西省桂林市广西师范大学数学与统计学院桂林 541004

收稿日期: 2014-03-14; 修订日期: 2015-02-24

作者简介: 杨龙,yanglong1773@126.com

摘要: 该文考虑了多层分红策略下相依的风险模型,用Farlie-Gumbel-Morgenstern(FGM) copula定义了索赔间隔时间和索赔额之间的相依结构,研究了Gerber-Shiu期望折扣罚金函数,导出了其所满足的积分微分方程和瑕疵更新方程,并给出了它们的解析解.最后,以索赔额分布服从指数分布为例,给出了破产概率所满足的具体解.

关键词: FGM copula 相依结构 Gerber-Shiu函数多段分红策略瑕疵更新方程

The Risk Process with Dependence Based on FGM Copula under A Multi-Layer Dividend Strategy

Yang Long

School of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin 541004

Received: 2014-03-14; Revised: 2015-02-24

Abstract: In this paper, we consider an extension to the classical compound Poisson risk model under a multi-layer dividend strategy, in which the claim size and inter-claim time are dependent. We assume that the dependence structure between the claim size and the inter-claim time is based on a Farlie-Gumbel-Morgenstern copula. Some piecewise integro-differential equations with certain boundary conditions for the Gerber-Shiu function are derived. Then, applying these results, some defective renewal equations for the Gerber-Shiu function are obtained and explicit expressions are solved. Finally, to illustrate the solution procedure, explicit expressions for the ruin probability are given for exponential claim size.

Key words: Dependence structure Multi-layer dividend strategy Farlie-Gumbel-Morgenstern copula Gerber-Shiu function Defective renewal equation

1 引言

在精算数学中,经典风险模型作为核心研究对象已长达一个多世纪. 该模型假定保险公司在时刻 $t$ 的盈余过程为

$\begin{equation} U(t)=u+ct-\sum\limits_{i=1}^{N(t)}{X_i}=u+ct-S(t),\quad \quad t\geq 0, \end{equation}$

(1.1)

其中, $u$ 表示保险公司的初始准备金, $c>0$ 表示保费收入率. 计数过程 $\{N(t);t\geq0\}$ 是参数为 $\lambda$ 的泊松过程, 它表示到时刻 $t$ 的索赔总次数. 索赔间隔时间序列 $\{V_i;i\geq1\}$ 是指数分布列, 具有共同的概率密度函数 $k(t)=\lambda {\rm e}^{-\lambda t}$ 和分布函数 $K(t)=1-{\rm e}^{-\lambda t}$ . 非负随机变量序列 $\{X_i;i\geq1\}$ 为独立同分布的个体索赔额序列, 其共同的分布函数为 $F$ ,密度函数为 $f$ . 在经典风险模型中,通常假设索赔间隔时间变量 $V_i$ 和个体索赔额变量 $X_i$ 是相互独立的. 尽管这一假设确实使得破产问题的研究得到简化,但和一些现实情形不相吻合,如灾难保险. 为了克服这一缺陷,一些考虑索随机变量 $V_i$ 和 $X_i$ 具有相依性的风险模型被提了出来, 参见文献[1, 2, 3]及其参考文献.

考虑到分红在现实生活中的重要应用,同时也为了更实际地反映出保险投资组合的盈余现金流, De finetti^[4]首次在风险模型中引入了分红策略. 从那时起,带分红策略的风险模型受到许多学者的广泛关注和研究. 他们通常采用的分红策略有barrier分红策略和threshold分红策略, 而主要研究工作集中于探讨相应模型下Gerber-Shiu函数的计算方法问题.

多层分红策略作为barrier分红策略和threshold分红策略的一个重要推广也得到了一些精算学者的关注, 可参见文献[5, 6, ]. 受到Zhang和Yang^[7]的启发,该文考虑了多层分红策略下以FGM copula方程定义了索赔间隔时间和索赔额之间的相依结构的风险模型. 类似于 Albrecher和Hartinger^[5],我们考虑下面的多层分红策略. 令 $N$ 为一正整数,定义分红层 $0=b_0< b_1<\cdots< b_{N-1}< b_N=\infty.$ 在时刻 $t$ ,若盈余处于第 $i$ 个分红层,即 $b_{i-1}\leq U(t)< b_{i},$ 则公司收取的保费率为 $c_i$ , 直到盈余水平上升到第 $i+1$ 个分层或由于理赔而降到分红层 $i$ 以下. 为了表述方便, 我们将该多层分红策略下的盈余过程仍然记为 $U(t),$ 则(1.1)式变为

$\begin{equation} {\rm d}U(t)=c_i{\rm d}t-{\rm d}S(t),\;\;\;\;\;\;\;\;b_{i-1}\leq U(t)< b_i, \end{equation}$

(1.2)

对于 $i=1,2,\cdots,N.$

该文主要探讨了多层分红策略下相依风险模型(1.2)的Gerber-Shiu 期望折扣罚金函数的计算方法并给出了相应的计算结果.

2 相依结构和风险测度

本文中用FGM copula建立了索赔间隔时间和个体索赔额之间的相依关系. FGM copula的定义式为

$\begin{equation} C(u,v)=uv+\theta uv(1-u)(1-v),\;\;\;\;0\leq u,v\leq1, \end{equation}$

(2.1)

其中 $-1\leq\theta\leq1.$ FGM copula包含了正相关和负相关,同时也暗含了独立性假设即 $\theta=0.$ 关于FGM copula的更多性质,参见文献[8].

在文中接下来的部分,我们假定二维随机变量序列 $\{(X_i,V_i),i \in {\mathbb N}^+\}$ 是独立同分布的并与通常表示变量 $(X,V)$ 具有相同的分布. 令 $F_{X,V}(x,t)$ 和 $f_{X,V}(x,t)$ 分别表示 $(X,V)$ 的分布函数和概率密度函数.

由个体索赔额的边际分布函数 $F$ ,索赔间隔时间的边际分布函数 $K$ 以及(2.1)式可得 $(X,V)$ 的分布函数和概率密度函数分别为

$\begin{eqnarray*} F_{X,V}(x,t)&=&C(F(x),K(t))\\ &=&F(x)K(t)+\theta F(x)K(t)(1-F(x))(1-K(t)),\;\;(x,t)\in {\mathbb R}^+\times{\mathbb R}^+, \\ f_{X,V}(x,t)&=&c(F(x),K(t))f(x)k(t)\\ &=&\lambda {\rm e}^{-\lambda t}f(x)+\theta(2\lambda {\rm e}^{-2\lambda t}-\lambda {\rm e}^{-\lambda t})h(x),\;\;(x,t)\in {\mathbb R}^+\times{\mathbb R}^+, \end{eqnarray*}$

其中 $c(u,v)=\frac{\partial^2}{\partial u \partial v}C(u,v)$ 且 $h(x)=(1-2F(x))f(x).$ 特别地,个体索赔额的条件概率密度函数为

$f_{X|V=t}(x)=f(x)+\theta(2{\rm e}^{-\lambda t}-1)h(x).$

另外,我们可以得出多层分红策略下经典的风险模型是本文中的模型在 $\theta=0$ 时的特殊情形.

风险模型(1.2)的破产时刻定义为 $T=\inf\{t>0:U(t)<0\},$ 其中若对任意 $t\geq0$ 都有 $U(t)\geq0,$ 则记 $T=\infty.$ 相应地,给定初始盈余 $U(0)=u,$ 破产概率可定义为

$\psi(u)=P(T<\infty|U(0)=u).$

为了研究更多的与破产相关的风险测度,我们引入Gerber-Shiu期望折扣罚金函数,其定义为

$\Phi(u)=E[{\rm e}^{-\delta T}w(U(T-),|U(T)|)I(T<\infty)|U(0)=u],$

其中 $\delta>0$ 是折现因子, $w$ 为一非负的惩罚函数, $U(T-)$ 和 $|U(T)|$ 分别表示破产前的瞬时盈余和破产时的赤字, $I(A)$ 为事件 $A$ 的示性函数. 特别地,当 $w(x_1,x_2)=1$ 时,Gerber-Shiu函数变为破产时刻的拉普拉斯变换 $\phi_T(u)$ ; 当 $\delta=0,w(x_1,x_2)=1$ 时,Gerber-Shiu函数变为破产概率 $\psi(u)$ . 另外, 我们还可以得到其它与破产相关的函数,这里不再一一介绍.

3 积分微分方程

本节主要给出了Gerber-Shiu期望折扣罚金函数所满足的积分微分方程. 首先当 $i=1,2,\cdots,N,$ 令

$A_i({\cal D})=\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big) \Big(\frac{\lambda+\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big),$

其中 ${\cal I}$ 和 ${\cal D}$ 分别表示恒等算子和微分算子.

当 $b_{i-1}\leq u< b_i$ ,令 $c(u)=c_i$ 为一非负的保费收入率函数并对第一次索赔时间和索赔额取条件, 同时利用 $f_{X,V}(x,t)$ 的定义有

$\begin{eqnarray} \Phi(u)&=&\displaystyle\int_0^{\infty}\int_0^{U(t)} {\rm e}^{-\delta t}\Phi(U(t)-x)f_{X,V}(x,t){\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ &&+\displaystyle\int_0^{\infty}\int_{U(t)}^{\infty}{\rm e}^{-\delta t} w(U(t),x-U(t))f_{X,V}(x,t){\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ &=&\displaystyle\lambda\int_0^{\infty}\int_0^{U(t)} {\rm e}^{-\delta t}\Phi(U(t)-x)f(x){\rm e}^{-\lambda t}{\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ &&+\displaystyle\lambda\int_0^{\infty}\int_{U(t)}^{\infty}{\rm e}^{-\delta t}w(U(t),x-U(t))f(x){\rm e}^{-\lambda t}{\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ &&+\displaystyle\lambda\theta\int_0^{\infty}\int_{0}^{U(t)}{\rm e}^{-\delta t}\Phi(U(t)-x)h(x)(2{\rm e}^{-2\lambda t}-{\rm e}^{-\lambda t}){\rm d}x{\rm d}t \nonumber\\ &&+\displaystyle\lambda\theta\int_0^{\infty}\int_{U(t)}^{\infty}{\rm e}^{-\delta t}w(U(t),x-U(t))h(x)(2{\rm e}^{-2\lambda t}-{\rm e}^{-\lambda t}){\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray}$

(3.1)

其中 $U(t)$ 为第一次索赔到达时刻 $t$ 时的瞬时盈余并满足 $U(0)=u$ 和 ${\rm d}U(t)=c(U(t)){\rm d}t.$ 令

$\xi_1(u)=\int_u^\infty w(u,x-u)f(x){\rm d}x,\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma_1(u)=\int_0^u\Phi(u-x)f(x){\rm d}x+\xi_1(u),$

$\xi_2(u)=\int_u^\infty w(u,x-u)h(x){\rm d}x,\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma_2(u)=\int_0^u \Phi(u-x)h(x){\rm d}x+\xi_2(u).$

则(3.1)式变为

$\begin{equation}\begin{array}{l} \Phi(u)=\displaystyle\int_0^\infty\lambda {\rm e}^{-(\lambda+\delta)t}\big[\gamma_1(U(t))-\theta\gamma_2(U(t))\big]{\rm d}t +\displaystyle\int_0^\infty2\lambda\theta {\rm e}^{-(2\lambda+\delta)t}\gamma_2(U(t)){\rm d}t. \end{array}\end{equation}$

(3.2)

对(3.2)式作变量替换 $s=U(t),$ 并注意到在 $U(0)=u$ 的条件下, ${\rm d}s=c(s){\rm d}t$ 和 $t=\int_u^s[c(y)]^{-1}{\rm d}y$ ,可得

$\begin{eqnarray} \Phi(u)&=&\displaystyle\int_u^\infty\lambda {\rm e}^{-(\lambda+\delta)\int_u^s[c(y)]^{-1}{\rm d}y}[\gamma_1(s)-\theta\gamma_2(s)][c(s)]^{-1}{\rm d}s \nonumber\\ &&+\displaystyle\int_u^\infty2\lambda\theta {\rm e}^{-(2\lambda+\delta)\int_u^s[c(y)]^{-1}{\rm d}y}\gamma_2(s)[c(s)]^{-1}{\rm d}s. \end{eqnarray}$

(3.3)

对(3.3)式关于 $u$ 求导并由(3.3)式和 $c(u)=c_i$ 给出

$\begin{equation} \Phi'(u)=\displaystyle\frac{\lambda+\delta}{c_i}\Phi(u)+\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\displaystyle\int_u^\infty2\lambda\theta {\rm e}^{-(2\lambda+\delta)\int_u^s[c(y)]^{-1}{\rm d}y}\gamma_2(s)[c(s)]^{-1}{\rm d}s -\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}(\gamma_1(u)+\theta\gamma_2(u)). \end{equation}$

(3.4)

再对(3.4)式关于 $u$ 求导并利用(3.4)式有

$\begin{eqnarray} A_i({\cal D})\Phi(u)&=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big)\Big(\displaystyle\int_0^u\Phi(u-x)f(x){\rm d}x+\xi_1(u)\Big) \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big)\Big(\displaystyle\int_0^u\Phi(u-x)h(x){\rm d}x+\xi_2(u)\Big), \end{eqnarray}$

(3.5)

其中 $b_{i-1}\leq u< b_i$ 且 $i=1,2,\cdots,N.$

利用(3.3)式很容易得到Gerber-Shiu函数在 $u=b_i\;(i=1,2,\cdots,N-1)$ 处是连续的,即

$\begin{equation} \Phi(b_i-)=\Phi(b_i+). \end{equation}$

(3.6)

再者由(3.4)式和边界条件(3.6)式可得Gerber-Shiu函数在 $u=b_i\;(i=1,2,\cdots,N-1)$ 处满足

$\begin{equation} c_i\Phi'(b_i-)=c_{i+1}\Phi'(b_i+), \end{equation}$

(3.7)

边界条件(3.6)和(3.7)式表明Gerber-Shiu函数在 $u=b_i\;(i=1,2,\cdots,N-1)$ 处是连续但不可导的, 因此(3.5)式中 $\Phi(u)$ 的导数是指 $\Phi(u)$ 的右导数.

4 分析积分微分方程

该节的主要内容是对积分微分方程(3.5)进行分析和讨论. 在后面的内容中,我们将在一个字母上加一个``帽子"来表示相应函数的拉普拉斯变换.

由文献[,推论4.1]可知,对于任意的 $c_i\;(i=1,2,\cdots,N)$ 下面的广义Lundberg 基本方程

$\begin{equation} \Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big)\Big(\frac{\lambda+\delta}{c_i}-s\Big) -\Big(\frac{\lambda}{c_i}\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big)\hat{f}(s) +\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-s\Big)\hat{h}(s)\Big)=0 \end{equation}$

(4.1)

在右半复平面内恰好有两个不同的根,记为 $\rho_{i1}(\delta)$ 和 $\rho_{i2}(\delta)$ . 不失一般性,我们将这两个根中实部最小的记为 $\rho_{i1}(\delta)$ , 则有 $\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}{\rho_{i1}(\delta)=0}.$ 为了表达的方便, 文中后面的部分将 $\rho_{i1}(\delta)$ 和 $\rho_{i2}(\delta)$ 简记为 $\rho_{i1}$ 和 $\rho_{i2}.$

接下来介绍一下Dickson-Hipp算子及其部分性质. 对于一个定义在 ${\mathbb R}^+$ 的可积函数 $h$ ,Dickson-Hipp算子的定义如下

$T_sh(x)=\int_x^\infty {\rm e}^{-s(y-x)}h(y){\rm d}y\;\;\;x>0,$

其中 $s$ 要使得上面的积分绝对可积. 其具有很多优良性质,该文将主要应用下面两个性质:

1. $T_sh(0)=\hat{h}(s);$

2. $T_s T_rh(x)=T_r T_sh(x)= \frac{T_rh(x)-T_sh(x)}{s-r},r\neq s.$

关于Dickson-Hipp算子的更多性质,可参见文献[9].

类似于文献[], 我们将方程(3.5)中的约束条件 $b_{i-1}\leq u< b_i$ 放松为 $b_{i-1}\leq u,$ 并记 $\Phi_i(u)$ 为下面方程的特解

$\begin{eqnarray} &&A_i({\cal D})\Phi_i(u) \nonumber\\ &=&\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big) \Big(\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}\Phi_i(u-x)f(x){\rm d}x+\displaystyle\int_{u-b_{i-1}}^u\Phi(u-x)f(x){\rm d}x+\xi_1(u)\Big) \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big) \Big(\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}\Phi_i(u-x)h(x){\rm d}x+\displaystyle\int_{u-b_{i-1}}^u\Phi(u-x)h(x){\rm d}x+\xi_2(u)\Big), \end{eqnarray}$

(4.2)

其中 $|T_s\Phi_i(b_{i-1})|<\infty.$ $\Phi_1(u)$ 正是不考虑分红策略时的Gerber-Shiu函数, 其已被Cossette 等^[2]研究.

由积分微分方程理论知方程(3.5)的通解可表示为

$\begin{equation} \Phi(u)=\Phi_i(u)+r_{i1}v_{i1}(u)+r_{i2}v_{i2}(u),\;\;\;\;b_{i-1}\leq u< b_i, \end{equation}$

(4.3)

其中 $r_{i1}$ 和 $r_{i2}$ 是常系数, $v_{i1}(u)$ 和 $v_{i2}(u)$ 是下面齐次积分微分方程的两个线性无关的解

$\begin{eqnarray} A_i({\cal D})v_i(u)&=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}{\cal I} -{\cal D}\Big)\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}v_i(u-x)f(x){\rm d}x \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}{\cal I} -{\cal D}\Big)\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}v_i(u-x)h(x){\rm d}x,\;\;u\geq b_{i-1}, \end{eqnarray}$

(4.4)

且当 $n=N$ 时有 $r_{N1}=r_{N2}=0.$

4.1

$\Phi_i(u)$ 满足的瑕疵更新方程

该小节给出了 $\Phi_i(u)$ 满足的瑕疵更新方程,其在计算Gerber-Shiu函数 $\Phi(u)$ 的显示表达式起着至关重要的作用.

定理 4.1 当 $i=1,2,\cdots,N$ 和Re $(s)\geq 0$ 时,给定条件 $\hat{\Phi}_i(s)<\infty,$ 则方程 (4.2)存在唯一解,且该解满足下面的积分方程

$\begin{equation} \Phi_i(u)=k_i\bigg(\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}\Phi_i(u-x)g_i(x){\rm d}x+\int_{u-b_{i-1}}^u\Phi(u-x)g_i(x){\rm d}x\bigg)+\eta_i(u), \end{equation}$

(4.5)

其中

$\begin{eqnarray*} k_i&=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\bigg(\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_0T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}f(0) +\theta\Big(\frac{\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_0T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}h(0)\\ &&+T_0T_{\rho_{i2}}f(0)+\theta T_0T_{\rho_{i2}}h(0)\bigg), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_i(x)&=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_ik_i}\bigg(\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}f(x) +\theta\Big(\frac{\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}h(x)\\ &&+T_{\rho_{i2}}f(x)+\theta T_{\rho_{i2}}h(x)\bigg), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \eta_i(x)&=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\bigg(\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}\xi_1(x) +\theta\Big(\frac{\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}\xi_2(x)\\ &&+T_{\rho_{i2}}\xi_1(x)+\theta T_{\rho_{i2}}\xi_2(x)\bigg). \end{eqnarray*}$

证证明环境作变量代换 $y=u-b_{i-1}$ 并令 $Q_i(y)=Q_i(u-b_{i-1})=\Phi_i(u)$ ,则(4.2)式变为

$\begin{equation} A_i({\cal D})Q_i(y)=\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big)H_i(y)+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i} \Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big)K_i(y), \end{equation}$

(4.6)

其中

$\begin{equation} H_i(y)=\displaystyle\int_0^yQ_i(y-x)f(x){\rm d}x+M_i(y),\;M_i(y)=\displaystyle\int_0^{b_{i-1}}\Phi(x)f(y+b_{i-1}-x){\rm d}x+\xi_1(y+b_{i-1}), \end{equation}$

(4.7)

$\begin{equation} K_i(y)=\displaystyle\int_0^yQ_i(y-x)h(x){\rm d}x+N_i(y),\;N_i(y)=\displaystyle\int_0^{b_{i-1}}\Phi(x)h(y+b_{i-1}-x){\rm d}x+\xi_2(y+b_{i-1}). \end{equation}$

(4.8)

对(4.6)式两边同取拉普拉斯变换并由拉普拉斯变换的性质可得

$\begin{eqnarray} &&A_i(s)\hat{Q}_i(s)-Q_i(0)s-\Big(Q'_i(0)-\frac{2\delta+3\lambda}{c_i}Q_i(0)\Big) \nonumber\\ &=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big)\hat{H}_i(s) +\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}-s\Big)\hat{K}_i(s)+\frac{\lambda}{c_i}H_i(0)+\frac{\lambda\theta}{c_i}K_i(0). \end{eqnarray}$

(4.9)

由(4.7)和(4.8)式可得

$\begin{equation} \hat{H}_i(s)=\hat{Q}_i(s)\hat{f}(s)+\hat{M}_i(s),\;\;\;\;\;\;\hat{K}_i(s)=\hat{Q}_i(s)\hat{h}(s)+\hat{N}_i(s), \end{equation}$

(1.10)

将(4.10)式代入(4.9)式并经过计算得

$\begin{equation} \hat{Q}_i(s)=\displaystyle\frac{\alpha_i(s)+\beta_i(s)}{\big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\big)\big(\frac{\lambda+\delta}{c_i}-s\big) -\big(\frac{\lambda}{c_i}(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s)\hat{f}(s)+\frac{\lambda\theta}{c_i}(\frac{\delta}{c_i}-s)\hat{h}(s)\big)}, \end{equation}$

(4.11)

其中

$\begin{equation} \alpha_i(s)=Q_i(0)s+Q'_i(0)+\frac{\lambda}{c_i}H_i(0)+\frac{\lambda\theta}{c_i}K_i(0)-\frac{2\delta+3\lambda}{c_i}Q_i(0), \end{equation}$

(4.12)

$\begin{equation} \beta_i(s)=\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big) \hat{M}_i(s)+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-s\Big)\hat{N}_i(s). \end{equation}$

(4.13)

由文献[,推论7.1]知(4.11)式的分母可变为 $(s-\rho_{i1})(s-\rho_{i2})(1-T_sT_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}p_i(0)),$ 其中 $p_i$ 满足

$T_sp_i(0)=\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big) \hat{f}(s)+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-s\Big)\hat{h}(s).$

由条件Re $(s)\geq 0$ 时 $\hat{Q}_i(s)$ 是解析函数知,(4.11)式中分母的根同样也是分子的根. 于是有 $\alpha_i(\rho_{ij})=-\beta_i(\rho_{ij})\;(j=1,2).$ 从(4.12)式可知 $\alpha_i(s)$ 是 $s$ 的一阶多项式. 使用拉格朗日插值定理,(4.11)式的分子可重新写为

$\begin{eqnarray} \alpha_i(s)+\beta_i(s)&=&\displaystyle\frac{\rho_{i2}-s}{\rho_{i1}-\rho_{i2}}\beta_i(\rho_{i1})+\displaystyle\frac{\rho_{i1}-s}{\rho_{i2}-\rho_{i1}}\beta_i(\rho_{i2})+\beta_i(s) \nonumber\\ &=&\displaystyle\frac{(s-\rho_{i1})(s-\rho_{i2})}{\rho_{i1}-\rho_{i2}}\bigg(\displaystyle\frac{\beta_i(s)-\beta_i(\rho_{i2})}{\rho_{i2}-s} -\displaystyle\frac{\beta_i(s)-\beta_i(\rho_{i1})}{\rho_{i1}-s}\bigg). \end{eqnarray}$

(4.14)

从(4.13)式很容易得,当 $j=1,2$ 时

$\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{\beta_i(s)-\beta_i(\rho_{ij})}{\rho_{ij}-s} &=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i} -\rho_{ij}\Big)\frac{\hat{M}_i(s)-\hat{M}_i(\rho_{ij})}{\rho_{ij}-s} +\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\hat{M}_i(s)\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-\rho_{ij}\Big)\frac{\hat{N}_i(s)-\hat{N}_i(\rho_{ij})}{\rho_{ij}-s}+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\hat{N}_i(s). \end{eqnarray*}$

将上式代入(4.14)式右边并经仔细计算得

$\begin{eqnarray} \alpha_i(s)+\beta_i(s)&=&\displaystyle\frac{(s-\rho_{i1}) (s-\rho_{i2})}{\rho_{i1}-\rho_{i2}}\bigg[\displaystyle\frac{\lambda}{c_i} \Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big) \Big(\frac{\hat{M}_i(s)-\hat{M}_i(\rho_{i1})}{s-\rho_{i1}}-\frac{\hat{M}_i(s)- \hat{M}_i(\rho_{i2})}{s-\rho_{i2}}\Big) \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big) \Big(\frac{\hat{N}_i(s)-\hat{N}_i(\rho_{i1})}{s-\rho_{i1}}-\frac{\hat{N}_i(s) -\hat{N}_i(\rho_{i2})}{s-\rho_{i2}}\Big) \nonumber\\ &&-\displaystyle\frac{\lambda(\rho_{i1}-\rho_{i2})}{c_i}\frac{\hat{M}_i(s)-\hat{M}_i(\rho_{i2})}{s-\rho_{i2}}-\displaystyle\frac{\lambda\theta(\rho_{i1}-\rho_{i2})}{c_i} \frac{\hat{N}_i(s)-\hat{N}_i(\rho_{i2})}{s-\rho_{i2}}\bigg]. \end{eqnarray}$

(4.15)

现在我们回顾一个函数 $M(s)$ 对于不同的常数 $r_1,r_2,r_3,\cdots,$ 的差商,其递归定义如下

$M[r_1,s]=\displaystyle\frac{M(s)-M(r_1)}{s-r_1},\;\;\;\;M[r_1,r_2,s]=\displaystyle\frac{M[r_1,s]-M[r_2,s]}{r_1-r_2},$

等等. 那么,应用函数 $\hat{M}_i(s)$ 和 $\hat{N}_i(s)$ 对于 $\rho_{i1}$ 和 $\rho_{i2}$ 的差商,(4.15)式可变为

$\begin{eqnarray} \alpha_i(s)+\beta_i(s)&=&(s-\rho_{i1})(s-\rho_{i2}) \bigg(\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big) \hat{M}_i[\rho_{i1},\rho_{i2},s] -\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\hat{M}_i[\rho_{i2},s] \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big) \hat{N}_i[\rho_{i1},\rho_{i2},s]-\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i} \hat{N}_i[\rho_{i2},s]\bigg). \end{eqnarray}$

(4.16)

将(4.16)式代入(4.11)式并经简单计算得

$\begin{eqnarray} \hat{Q}_i(s)&=&\hat{Q}_i(s)\cdot T_sT_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}p_i(0) +\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i} -\rho_{i1}\Big)\hat{M}_i[\rho_{i1},\rho_{i2},s] -\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\hat{M}_i[\rho_{i2},s] \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i} -\rho_{i1}\Big)\hat{N}_i[\rho_{i1},\rho_{i2},s] -\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\hat{N}_i[\rho_{i2},s]. \end{eqnarray}$

(4.17)

令 $f(x)$ 为一实值可积函数,Gerber和Shiu^[11] 证明了 $\hat{f}(r_1,r_2,\cdots,r_n,s)$ 的拉普拉斯逆变换满足

$\begin{equation} {\cal L}^{-1}\big(\hat{f}(r_1,r_2,\cdots,r_n,s)\big)=(-1)^n\bigg(\prod\limits_{i=1}^{n}T_{r_{i}}f(x)\bigg). \end{equation}$

(4.18)

因此,根据(4.18)式,对(4.17)式应用拉普拉斯逆变换得

$\begin{eqnarray} Q_i(y)&=&\displaystyle\int_0^yQ_i(y-x)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}p_i(x){\rm d}x +\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}M_i(y) +\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}T_{\rho_{i2}}M_i(y) \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}-\rho_{i1}\Big)T_{\rho_{i1}}T_{\rho_{i2}}N_i(y) +\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}T_{\rho_{i2}}N_i(y). \end{eqnarray}$

(4.19)

最后,通过(4.19)式可得定理4.1. 由文献[]可知 $k_i<1$ 且 $g_i(x)$ 是一个适定概率密度函数. 因此,(4.5)式是一个瑕疵更新方程.

4.2 齐次积分微分方程

该小节讨论了齐次积分微分方程(4.4)的解 $v_{i1}(u)$ 和 $v_{i2}(u)$ . 我们将利用拉普拉斯变换的方法给出齐次积分微分方程(4.4)的两个线性无关的解. 首先,假定初始条件 $v_{ij}^{(k)}(b_{i-1})={I}(k=j-1),\;k=0,1$ 成立. 容易验证,在该初始条件下, $v_{i1}(u)$ 和 $v_{i2}(u)$ 是线性无关的.作变量替换 $y=u-b_{i-1}$ , $\chi_i(y)=v_i(y+b_{i-1})=v_i(u)$ ,则(4.4)式变为

$\begin{eqnarray} A_i({\cal D})\chi_i(y)&=&\displaystyle\frac{\lambda}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{2\lambda+\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big)\displaystyle\int_0^y\chi_i(u-x)f(x){\rm d}x \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\displaystyle\frac{\delta}{c_i}{\cal I}-{\cal D}\Big)\displaystyle\int_0^y\chi_i(u-x)h(x){\rm d}x. \end{eqnarray}$

(4.20)

对(4.20)式两边同取拉普拉斯变换并令 $C_i(s)=(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s)(\frac{\lambda+\delta}{c_i}-s)=\sum\limits_{j=0}^{2}C_{ij}s^j.$ 当 $\rho_{i1}$ 和 $\rho_{i2}$ 不同时, Li和Garrido^[12]证明了

$\chi_i(y)=\displaystyle\int_0^y\chi_i(u-x)g_i(x){\rm d}x+\sum\limits_{j=1}^{2}k_{ij}{\rm e}^{\rho_{ij}y},$

其中

$k_{ij}=-\displaystyle\frac{\sum\limits_{m=0}^{1}\chi^{(m)}_i(0)\sum\limits_{k=m+1}^{2}C_{ik}\rho_{ij}^{k-m-1}}{\prod\limits_{k=1,k\neq j}^{2}(\rho_{ik}-\rho_{ij})}.$

因此,有

$\begin{equation} v_i(u)=\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}v_i(u-x)g_i(x){\rm d}x+\sum\limits_{j=1}^{2}k_{ij}{\rm e}^{\rho_{ij}(u-b_{i-1})}. \end{equation}$

(4.21)

现在考虑拉普拉斯变换 $\hat{f}$ 和 $\hat{h}$ 属于有理族的情形,即 $\hat{f}(s)=\frac{q_{k-1}(s)}{p_{k}(s)}$ , $\hat{h}(s)=\frac{q_{l-1}(s)}{p_{l}(s)}$ ,其中, $k,l\in{\mathbb N^+},$ $p_{k}(s)$ 和 $p_{l}(s)$ 是最高次项系数为1且最高次分别为 $k$ 和 $l$ 的两个多项式,它们在右半复平面内没有零点. $q_{k-1}(s)$ 和 $q_{l-1}(s)$ 分别表示最高次为 $k-1$ 和 $l-1$ 的多项式,且满足 $q_{k-1}(0)=p_k(0),$ $q_{l-1}(0)=p_l(0).$

由(4.1)式易知 $\rho_{i1}$ 和 $\rho_{i2}$ 是方程

$\begin{equation} C_i(s)p_{k}(s)p_{l}(s) -\bigg(\frac{\lambda}{c_i}\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big)q_{k-1}(s)p_{l}(s) +\frac{\lambda\theta}{c_i}\Big(\frac{\delta}{c_i}-s\Big)q_{l-1}(s)p_{k}(s)\bigg)=0 \end{equation}$

(4.22)

的两个根. 由于上式左边是一个最高次项系数为1的 $k+l+2$ 次的多项式, 所以方程(4.22)在左半复平面内必有 $k+l$ 个根,记为 $-R_{i1},\cdots,-R_{i k+l}.$ 由文献[12]知

$\begin{equation} \hat{\chi}_i(s)=\displaystyle\frac{d_i(s)p_{k}(s)p_{l}(s)} {\Big[\prod\limits_{j=1}^{2}(s-\rho_{ij})\Big]\Big[\prod\limits_{j=1}^{k+l}(s+R_{ij})\Big]}, \end{equation}$

(4.23)

其中, $d_i(s)=\sum\limits_{j=0}^{1}s^j\sum\limits_{k=j+1}^{2}C_{ik}\chi_i^{(k-j-1)}(0)$ 是一个1次多项式. 进一步,如果 $\rho_{i1},\rho_{i2},R_{i1},\cdots,R_{i k+l}$ 互不相同时,由部分分式展开得

$\begin{equation} \hat{\chi}_i(s)=\sum\limits_{j=1}^{2}\displaystyle\frac{a_{ij}}{s-\rho_{ij}}+\sum\limits_{j=1}^{k+l}\displaystyle\frac{b_{ij}}{s+R_{ij}}, \end{equation}$

(4.24)

其中

$a_{ij}=-\displaystyle\frac{d_i(\rho_{ij})p_k(\rho_{ij})p_l(\rho_{ij})} {\Big[\prod\limits_{m=1}^{k+l}(R_{im}+\rho_{ij})\Big] \Big[\prod\limits_{n=1,n\neq j}^{2}(\rho_{in}-\rho_{ij})\Big]},$

$b_{ij}=\displaystyle\frac{d_i(-R_{ij})p_k(-R_{ij})p_l(-R_{ij})} {\Big[\prod\limits_{m=1}^{2}(R_{ij}+\rho_{im})\Big] \Big[\prod\limits_{n=1,n\neq j}^{k+l}(R_{in}-R_{ij})\Big]}.$

对(4.23)式进行拉普拉斯逆变换得

$\chi_i(y)=\sum\limits_{j=1}^{2}a_{ij}{\rm e}^{\rho_{ij}y}+\sum\limits_{j=1}^{k+l}b_{ij}{\rm e}^{-R_{ij}y},\;\;\;\;y\geq 0,$

因此,有

$\begin{equation} v_i(u)=\sum\limits_{j=1}^{2}a_{ij}{\rm e}^{\rho_{ij}(u-b_{i-1})}+\sum\limits_{j=1}^{k+l}b_{ij}{\rm e}^{-R_{ij}(u-b_{i-1})},\;\;\;\;u\geq b_{i-1}. \end{equation}$

(4.25)

(4.25)式给出了齐次积分微分方程(4.4)的解的一般表达式. 尽管根 $\rho_{i1}$ , $\rho_{i2}$ , $-R_{i1}$ , $\cdots$ , $-R_{i k+l}$ 可能会出现复数,但若出现,则它们必然以成对的共轭复数形式出现, 所以(4.25)式中的 $v_i(u)$ 必是一个实值函数. 由该表达式再结合初始条件 $v_{ij}^{(k)}(b_{i-1})={I}(k=j-1),\;k=0,1,$ 我们可得齐次积分微分方程(4.4)的两个线性无关的解 $v_{i1}(u)$ 和 $v_{i2}(u)$ .

5 Gerber-Shiu函数的计算方法

该小节将给出一个计算Gerber-Shiu函数的方法. 利用上一节的结果和文献[13] 中关于瑕疵更新方程的结果,我们推导Gerber-Shiu函数的显式表达式.

首先,当 $i=1,2,\cdots,N$ 时,定义下面的复合几何分布

$\begin{equation} K_i(x)=1-\bar{K}_i(x)=1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(1-k_i)k_i^n\overline{G^{*n}}_i(x)},\;\;x\geq 0, \end{equation}$

(5.1)

其中 $\overline{G^{*n}}_i(x)$ 是 $g_i(x)$ 的自身 $n$ -重卷积所对应的尾分布函数.

下面考虑瑕疵更新方程(4.5),作变换 $y=u-b_{i-1},$ $Q_i(y)=\Phi_i(y+b_{i-1})=\Phi_i(u),$ 则(4.5)式可写为

$\begin{equation} Q_i(y)=k_i\displaystyle\int_0^yQ_i(y-x){\rm d}G_i(x)+k_iP_i(y+b_{i-1}), \end{equation}$

(5.2)

其中

$\begin{equation} P_i(y+b_{i-1})=P_i(u)=\displaystyle\int_{u-b_{i-1}}^u\Phi(u-x){\rm d}G_i(x)+\eta_i(u)/k_i. \end{equation}$

(5.3)

由文献[13,定理2.1]知瑕疵更新方程(5.2)的解可表示为

$Q_i(y)=\frac{k_i}{1-k_i}\displaystyle\int_0^yP_i(y+b_{i-1}-x){\rm d}K_i(x)+k_iP_i(y+b_{i-1}).$

因此,有

$\begin{equation} \Phi_i(u)=\frac{k_i}{1-k_i}\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}P_i(u-x){\rm d}K_i(x)+k_iP_i(u). \end{equation}$

(5.4)

将(5.3)式代入(5.4)式得

$\begin{equation} \Phi_i(u)=\displaystyle\int_0^{b_{i-1}}\Phi(y)\varphi_i(u,y){\rm d}y+\zeta_i(u), \end{equation}$

(5.5)

其中

$\varphi_i(u,y)=\displaystyle\frac{k_i}{1-k_i}\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}g_i(u-x-y){\rm d}K_i(x)+k_ig_i(u-y),$

$\zeta_i(u)=\displaystyle\frac{1}{1-k_i}\displaystyle\int_0^{u-b_{i-1}}\eta_i(u-x){\rm d}K_i(x)+\eta_i(u).$

公式(5.5)给出了一个递推计算函数 $\Phi_1(u),$ $\Phi_2(u),$ $\cdots,$ $\Phi_N(u)$ 的方法,其中初始值 $\Phi_1(u)=\zeta_1(u).$ 然而,未知系数 $r_{i1},$ $r_{i2}$ 在(5.5)式中并没有显式地表示出来,这样不方便我们确定这些未知系数. 为此,下面给出了 $\Phi_1(u),$ $\Phi_2(u),$ $\cdots,$ $\Phi_N(u)$ 的另外一种表示方法.

定理 5.1 当 $i=1,2,\cdots,N$ 和Re $(s)\geq 0$ 时,给定条件 $\hat{\Phi}_i(s)<\infty,$ 则当 $n=1,2,\cdots,N$ 时, $\Phi_n(u)$ 的解可表示为

$\begin{equation} \Phi_n(u)=L_n(u)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{2}r_{ij}L_{n,i,j}(u), \end{equation}$

(5.6)

其中

$\begin{equation} L_n(u)=\zeta_n(u)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\displaystyle\int_{b_{i-1}}^{b_i}L_i(y)\varphi_n(u,y){\rm d}y, \end{equation}$

(5.7)

$\begin{equation} L_{n,i,j}(u)=\sum\limits_{l=i+1}^{n-1}\displaystyle\int_{b_{l-1}}^{b_l}L_{l,i,j}(y)\varphi_n(u,y){\rm d}y+\int_{b_{i-1}}^{b_i}v_{ij}(y)\varphi_n(u,y){\rm d}y. \end{equation}$

(5.8)

证参见文献[6,定理3].

接下来,我们来确定未知系数 $r_{ij},$ $i=1,2,\cdots,N,$ $j=1,2.$ 注意到 $r_{N1}=r_{N2}=0.$ 考虑在 $u=b_n\;(n=1,2,\cdots,N-1)$ 处的边界条件(3.6)和(3.7)以及初始条件 $v_{ij}^{(k)}(b_{i-1})={I}(k=j-1),\;k=0,1,$ 有下面的递推关系

$\begin{eqnarray} r_{n+1,1}&=&L_n(b_n)-L_{n+1}(b_n)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{2}r_{ij}(L_{n,i,j}(b_n)-L_{n+1,i,j}(b_n)) \nonumber\\ &&+\sum\limits_{j=1}^{2}r_{nj}(v_{nj}(b_n)-L_{n+1,n,j}(b_n)), &&-L'_{n+1}(b_n)-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{2}r_{ij}L'_{n+1,i,j}(b_n). \end{eqnarray}$

(5.9)

$\begin{eqnarray} r_{n+1,2}&=&\displaystyle\frac{c_n}{c_{n+1}}\bigg[L'_n(b_n)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{2}r_{ij}L'_{n,i,j}(b_n) +\sum\limits_{j=1}^{2}r_{nj}v'_{nj}(b_n)\bigg] \nonumber\\ &&-L'_{n+1}(b_n)-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{2}r_{ij}L'_{n+1,i,j}(b_n). \end{eqnarray}$

(5.10)

结合(4.3)式和定理5.1,我们可得下面的定理

定理 5.2 当 $i=1,2,\cdots,N$ 和Re $(s)\geq 0$ 时,给定条件 $\hat{\Phi}_i(s)<\infty,$ 则当 $n=1,2,\cdots,N$ 时,期望折扣罚金函数 $\Phi(u)$ 的解可表示为

$\begin{equation} \Phi(u)=L_n(u)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^{2}r_{ij}L_{n,i,j}(u)+\sum\limits_{j=1}^{2}r_{nj}v_{nj}(u),\;\;\;b_{n-1}\leq u< b_n, \end{equation}$

(5.11)

其中系数 $r_{ij}$ 可由(5.9)和(5.10)式确定.

注 5.1 公式(5.11)非常依赖于复合几何分布函数 $K_i(x)$ . 由文献[]知, 当 $g_i(x)$ 是混合指数函数或混合Erlang函数时, 我们可以得到 $K_i(x)$ 显式表达式.

6 计算实例

该节给了一个例子来演示上节介绍的计算Gerber-Shiu函数的方法. 假定个别理赔额服从指数分布, 即 $f(x)=\alpha {\rm e}^{-\alpha x}$ 且其拉普拉斯变换为 $\hat{f}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha}.$ 由此可知 $h(x)=2\alpha {\rm e}^{-2\alpha x}-\alpha {\rm e}^{-\alpha x},\;\;x\geq0$ 且 $\hat{h}(s)=\frac{2\alpha}{s+2\alpha}-\frac{\alpha}{s+\alpha}.$ 同时,假定有3个分红层,即 $N=3$ , $0=b_0< b_1< b_2< b_3=\infty.$

在上面的假定下,广义Lundberg基本方程(4.1)变为

$\begin{eqnarray} &&\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big)\Big(\frac{\lambda+\delta}{c_i}-s\Big) -\frac{\lambda}{c_i}\bigg(\Big(\frac{2\lambda+\delta}{c_i}-s\Big)\frac{\alpha}{s+\alpha} \nonumber\\ && +\theta\Big(\frac{\delta}{c_i}-s\Big)\Big(\frac{2\alpha}{s+2\alpha} -\frac{\alpha}{s+\alpha}\Big)\bigg)=0,~~i=1,2,3. \end{eqnarray}$

(6.1)

该方程有5个根,

$\rho_{i1}>0,~~ \rho_{i2}>0,~~-R_{i1}<0,~~-R_{i2}<0,~~-R_{i3}<0.$

对于 $i=1,2,$ 令 $v_{i1}(u)$ 和 $v_{i2}(u)$ 是满足下面初值条件的齐次积分微分方程(4.4)的解

$v_{i1}(b_{i-1})=1, ~~v'_{b_{i-1}}=0,~~v_{i2}(b_{i-1})=0,~~v'_{i2}(b_{i-1})=1.$

由公式(4.25)可得,当 $u\geq b_{i-1}$ 时

$\begin{eqnarray} v_{i1}(u)&=&\displaystyle\frac{[c_i\rho_{i1}-(3\lambda+2\delta)](\rho_{i1}+\alpha)^2(\rho_{i1}+2\alpha)}{c_i(R_{i1}+\rho_{i1})(R_{i2}+\rho_{i1})(R_{i3}+\rho_{i1})(\rho_{i1}-\rho_{i2})}{\rm e}^{\rho_{i1}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{[c_i\rho_{i2}-(3\lambda+2\delta)](\rho_{i2}+\alpha)^2(\rho_{i2}+2\alpha)}{c_i(R_{i1}+\rho_{i2})(R_{i2}+\rho_{i2})(R_{i3}+\rho_{i2})(\rho_{i2}-\rho_{i1})}{\rm e}^{\rho_{i2}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&-\displaystyle\frac{(c_iR_{i1}+3\lambda+2\delta)(\alpha-R_{i1})^2(2\alpha-R_{i1})}{c_i(R_{i1}+\rho_{i1})(R_{i1}+\rho_{i2})(R_{i2}-R_{i1})(R_{i3}-R_{i1})}{\rm e}^{-R_{i1}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&-\displaystyle\frac{(c_iR_{i2}+3\lambda+2\delta)(\alpha-R_{i2})^2(2\alpha-R_{i2})}{c_i(R_{i2}+\rho_{i1})(R_{i2}+\rho_{i2})(R_{i1}-R_{i2})(R_{i3}-R_{i2})}{\rm e}^{-R_{i2}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&-\displaystyle\frac{(c_iR_{i3}+3\lambda+2\delta)(\alpha-R_{i3})^2(2\alpha-R_{i3})}{c_i(R_{i3}+\rho_{i1})(R_{i3}+\rho_{i2})(R_{i1}-R_{i3})(R_{i2}-R_{i3})}{\rm e}^{-R_{i3}(u-b_{i-1})}, \end{eqnarray}$

(6.2)

$\begin{eqnarray} v_{i2}(u)&=&\displaystyle\frac{(\rho_{i1}+\alpha)^2(\rho_{i1}+2\alpha)}{(R_{i1}+\rho_{i1})(R_{i2}+\rho_{i1})(R_{i3}+\rho_{i1})(\rho_{i1}-\rho_{i2})}{\rm e}^{\rho_{i1}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{(\rho_{i2}+\alpha)^2(\rho_{i2}+2\alpha)}{(R_{i1}+\rho_{i2})(R_{i2}+\rho_{i2})(R_{i3}+\rho_{i2})(\rho_{i2}-\rho_{i1})}{\rm e}^{\rho_{i2}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{(\alpha-R_{i1})^2(2\alpha-R_{i1})}{(R_{i1}+\rho_{i1})(R_{i1}+\rho_{i2})(R_{i2}-R_{i1})(R_{i3}-R_{i1})}{\rm e}^{-R_{i1}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{(\alpha-R_{i2})^2(2\alpha-R_{i2})}{(R_{i2}+\rho_{i1})(R_{i2}+\rho_{i2})(R_{i1}-R_{i2})(R_{i3}-R_{i2})}{\rm e}^{-R_{i2}(u-b_{i-1})} \nonumber\\ &&+\displaystyle\frac{(\alpha-R_{i3})^2(2\alpha-R_{i3})}{(R_{i3}+\rho_{i1})(R_{i3}+\rho_{i2})(R_{i1}-R_{i3})(R_{i2}-R_{i3})}{\rm e}^{-R_{i3}(u-b_{i-1})}. \end{eqnarray}$

(6.3)

通过细心计算有

$k_i=\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)},$

$g_i(x)=\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{k_i(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)}\alpha {\rm e}^{-\alpha x} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{k_i(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}2\alpha {\rm e}^{-2\alpha x},$

$\eta_i(x)=\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)} {\rm e}^{-\alpha x} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}{\rm e}^{-2\alpha x}.$

由文献[,(4.1)式]知 $\bar{K}_i(x)$ 的表达式为

$\bar{K}_i(x)=A_{i1}{\rm e}^{-S_{i1}x}+A_{i2}{\rm e}^{-S_{i2}x},\;\;\;\;x\geq0,$

其中 $S_{i1}$ 和 $S_{i2}$ 是下面等式的根

$\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)}\frac{\alpha}{\alpha-S} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}\frac{2\alpha}{2\alpha-S}=1,$

且

$A_{i1}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)}\frac{1}{\alpha-S_{i1}} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}\frac{1}{2\alpha-S_{i1}}} {\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)}\frac{\alpha}{(\alpha-S_{i1})^2} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}\frac{2\alpha}{(2\alpha-S_{i1})^2}},$

$A_{i2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)}\frac{1}{\alpha-S_{i2}} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}\frac{1}{2\alpha-S_{i2}}} {\displaystyle\frac{\frac{\lambda}{c_i}\big(\frac{2\lambda}{c_i}+(1-\theta)(\frac{\delta}{c_i}+\alpha)\big)}{(\rho_{i1}+\alpha)(\rho_{i2}+\alpha)}\frac{\alpha}{(\alpha-S_{i2})^2} +\displaystyle\frac{\frac{\lambda\theta}{c_i}\big(\frac{\delta}{c_i}+2\alpha\big)}{(\rho_{i1}+2\alpha)(\rho_{i2}+2\alpha)}\frac{2\alpha}{(2\alpha-S_{i2})^2}}.$

例 1 (破产概率) 本例中,令 $\delta=0$ 和 $w(x,y)\equiv1$ , 则Gerber-Shiu函数 $\Phi(u)$ 变为破产概率 $\psi(u)$ . 令

$\lambda=1,~~\alpha=1.01,~~c_1=1.6,~~c_2=1.4,~~c_3=1.2,~~ b_1=5,~~b_2=10.$

在该假设下,应用上节的计算过程(使用Matlab), 我们得到了 $\psi(u)$ 的具体值,下面给出了 $\psi(u)$ 对不同的相依参数 $\theta=1,0.5,-0.5,-1$ 下的具体值.

$\bullet$ 当 $\theta=1$ 时,有

$\psi(u)=\left\{ \begin{array}{l} 9.3652\cdot10^{-17}{\rm e}^{-1.0100u}+1.0880\cdot10^{-16}{\rm e}^{-2.0200u}-4.1067\cdot10^{-6}{\rm e}^{1.0995u}\\ ~~~+0.0254{\rm e}^{0.0158u}0.5194{\rm e}^{-0.5129u}+0.0405{\rm e}^{-1.7509u}\\ ~~~-0.0128{\rm e}^{-0.5208u}-0.0011{\rm e}^{-1.7495u},\;\;\;\;\;\;\;0\leq u<5,\\ 8.9050\cdot10^{-15}{\rm e}^{-1.0100u}-7.6156\cdot10^{-13}{\rm e}^{-2.0200u}-5.3591\cdot10^{-10}{\rm e}^{1.2495u}\\ ~~~+0.0053{\rm e}^{0.0228u}+0.4796{\rm e}^{-0.4049u}-0.2536{\rm e}^{-1.7471u}\\ ~~~-0.0282{\rm e}^{-0.4139u}-1.1449{\rm e}^{-1.7456u},\;\;\;\;\;\;5\leq u<10,\\ -1.3040\cdot10^{-9}{\rm e}^{-2.0200u}-1.5571\cdot10^{-13}{\rm e}^{-1.0100u}\\ ~~~+0.2045{\rm e}^{-0.2651u}-1.3153\cdot10^{3} {\rm e}^{-1.7462u},\;\;\;u\geq10. \end{array}\right.$

$\bullet$ 当 $\theta=0.5$ 时,有

$\psi(u)=\left\{ \begin{array}{l} 1.0635\cdot10^{-16}{\rm e}^{-1.0100u}-1.7575\cdot10^{-16}{\rm e}^{-2.0200u}-1.4292\cdot10^{-6}{\rm e}^{1.1753u}\\ ~~~+0.0354{\rm e}^{0.0157u}-0.0196{\rm e}^{-0.4523u}-6.1385\cdot10^{-4}{\rm e}^{-1.8937u}\\ ~~~+0.5696{\rm e}^{-0.4455u}+0.0168{\rm e}^{-1.8943u},\;\;\;\;\;\;\;0\leq u<5,\\ 0.0089{\rm e}^{0.0226u}-3.8038\cdot10^{-15}{\rm e}^{-1.0100u}-1.3440\cdot10^{-10}{\rm e}^{1.3403u}\\ ~~~-3.9251\cdot10^{-13}{\rm e}^{-2.0200u}-0.0382{\rm e}^{-0.3592u}-1.7013{\rm e}^{-1.8909u}\\ ~~~+0.5429{\rm e}^{-0.3515u}+0.3516{\rm e}^{-1.8915u},\;\;\;\;\;\;5\leq u<10,\\ 7.4345\cdot10^{-9}{\rm e}^{-2.0200u}-4.6601\cdot10^{-13}{\rm e}^{-1.0100u}\\ ~~~+0.2665{\rm e}^{-0.2322u}-3.4104\cdot10^{3}{\rm e}^{-1.8898u},\;\;\;u\geq10. \end{array}\right.$

$\bullet$ 当 $\theta=-0.5$ 时,有

$\psi(u)=\left\{ \begin{array}{l} 1.2927\cdot10^{-16}{\rm e}^{-2.0200u}-1.4948\cdot10^{-16}{\rm e}^{-1.0100u}+5.5384\cdot10^{-7}{\rm e}^{1.3233u}\\ ~~~+0.0559{\rm e}^{0.0155u}-0.0350{\rm e}^{-0.3599u}+7.2575\cdot10^{-4}{\rm e}^{-2.1340u}\\ ~~~+0.6419{\rm e}^{-0.3543u}-0.0125{\rm e}^{-2.1336u},\;\;\;\;\;\;\;\;0\leq u<5,\\ 2.1525\cdot10^{-12}{\rm e}^{-2.0200u}-8.3096\cdot10^{-15}{\rm e}^{-1.0100u}+3.0010\cdot10^{-11}{\rm e}^{1.5142u}\\ ~~~+0.0174{\rm e}^{0.0223u}-0.0565{\rm e}^{-0.2860u}+8.9402{\rm e}^{-2.1376u}\\ ~~~+0.6404{\rm e}^{-0.2797u}-4.9875{\rm e}^{-2.1372u},\;\;\;\;\;\;\;5\leq u<10,\\ 5.1135\cdot10^{4}{\rm e}^{-2.1402u}-2.1233\cdot10^{-12}{\rm e}^{-1.0100u}\\ ~~~+0.3779{\rm e}^{-0.1880u}+1.6776\cdot10^{-8}{\rm e}^{-2.0200u},\;\;\;u\geq10. \end{array}\right.$

$\bullet$ 当 $\theta=-1$ 时,有

$\psi(u)=\left\{ \begin{array}{l} 7.2619\cdot10^{-7}{\rm e}^{1.3952u}-4.7929\cdot10^{-17}{\rm e}^{-1.0100u}-1.1166\cdot10^{-16}{\rm e}^{-2.0200u}\\ ~~~+0.0657{\rm e}^{0.0155u}-0.0429{\rm e}^{-0.3268u}+0.0015{\rm e}^{-2.2388u}\\ ~~~+0.6691{\rm e}^{-0.3218u}-0.0221{\rm e}^{-2.2382u}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\leq u<5,\\ 1.8042\cdot10^{-12}{\rm e}^{-2.0200u}-6.0132\cdot10^{-15}{\rm e}^{-1.0100u} +2.6466\cdot10^{-11}{\rm e}^{1.5973u}\\ ~~~+0.0220{\rm e}^{0.0220u}-0.0644{\rm e}^{-0.2601u}+34.9355{\rm e}^{-2.2464u}\\ ~~~+0.6780{\rm e}^{-0.2543u}-22.4101{\rm e}^{-2.24570u},\;\;\;\;\;\;5\leq u<10,\\ 1.5468\cdot10^{-12}{\rm e}^{-1.0100u}+3.2705\cdot10^{5}{\rm e}^{-2.2526u}\\ ~~~-3.2148\cdot10^{-8}{\rm e}^{-2.0200u}+0.4263{\rm e}^{-0.1723u},\;\;\;u\geq10. \end{array}\right.$

参考文献

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