Peng 在文献[11] 中介绍了一类非线性期望-$g$-期望. $g$-期望几乎保留了经典期望中除了线性性之外的所有性质, 而且 $g$-期望克服了 Choquet 期望不能定义条件期望的缺陷. 自从 $g$-期望被介绍以来,很多学者致力于这方面的研究. 例如,Chen,Chen 和 Davison 在文献[5] 中研究了 $g$-期望和 Choquet 期望之间的关系, 发现两者同时为线性期望的情况下才一致. $g$-期望和条件 $g$-期望的性质在文献[1] 中得到深入研究. 特别需要指出的是, 文献[1] 中所介绍的倒向随机微分方程生成元表示定理, 对于研究生成元和 $g$-期望之间的等价关系是非常有帮助的. Briand,Coquet,Hu,Mémin 和 Peng 在文献[1]中首次考虑了 $g$-期望的 Jensen 不等式. Chen,Kulperger 和 Jiang 在文献[4] 中弱化了文献[1] 中得假设, 在更加便于验证的假设下,证明了 $g$-期望的 Jensen 不等式. $g$-期望在经济学中的一个重要应用是用来区分厌恶和风险,这一结果由 Chen 和 Epstein 于 2002 年在文献[3] 中首先发现. Hao 在文献[7] 中考虑了 $g$-期望的二阶中心矩, 称为 $g$-方差,并且得到了 $g$-方差的唯一性定理和比较定理. 借助 $g$-方差的比较定理, 一种关于 $g$-期望的 Kolmogrov 不等式被付静和郝涛在文献[8] 中所研究.

本文的主要目的是介绍一类关于 $g$-期望的条件方差,称作条件 $g$-方差, 并研究它的性质. 更加精确的说,我们介绍一类形如 ${\cal E}_g[(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2|{\cal F}_t]$ 的条件 $g$-方差. 文献[7] 在 $g$ 是 $z$ 的线性函数下,证明了 $g$-方差的唯一性定理和比较定理. 然而,对于条件 $g$-方差的唯一性定理,生成元 $g$ 仅仅需要满足基本的假设: Lipschitz,平方可积和连续性 (定理 3.1). 条件 $g$-方差的比较定理不再成立, 即对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,即使 $g_1\geq g_2$, ${\cal D}_{g_1}[\xi|{\cal F}_t] \geq{\cal D}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t]$ 也不再成立 (例 3.1). 条件 $g$-方差关于参数的连续性等价于生成元关于参数的连续性 (定理 3.2). 最后, 我们将条件 $g$-方差作为 ${\cal H}^1_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R})$ 中的连续映射从 $L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 延拓到 $L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$.

本文组织如下：第二节回忆 $g$-期望和条件 $g$-期望的定义和性质,以及下文中经常使用的生成元表示定理. 条件 $g$-方差的概念在第三节中被介绍. 在本节中我们也讨论了条件 $g$-方差的唯一性定理和对参数的连续依赖性. 第四节将条件 $g$-方差延拓到 $L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$ 空间.

给定 $T>0$,令 $(\Omega,{\cal F},P)$ 是一个概率空间. $(B_t)_{t\geq0}$ 是这一空间中 $d$-维标准布朗运动. ${\Bbb F}=\{{\cal F}_t,\ 0\leq t\leq T\}$ 是由这一布朗运动生成的信息流

$${\cal F}_t=\sigma\{B_s,\ s\in[0,t]\}\vee{\cal N},\quad t\in[0,T],$$

这里 ${\cal N}$ 表示所有的 $P$-零测子集. 我们假定 ${\cal F}={\cal F}_T$.

下面介绍两个空间: 对于 $p\geq1$,

$\bullet$ ${{\cal S}}_{{\Bbb F}}^{p}(0,T;{\Bbb R}):= \Big \{ (\psi_t)_{0\leq t\leq T}\ \mbox{ 实值 $ {\Bbb F}$ -适应右连左极过程: } E[\mathop{\rm sup}\limits_{0\leq t\leq T}| \psi_{t} |^{p}]< +\infty \Big \}; $

$\bullet$ ${\cal H}_{{\Bbb F}}^{p}(0,T;{\Bbb R}^{n}): =\Big \{(\varphi_t)_{0\leq t\leq T}\ {\Bbb R}^n \mbox{-值 $ {\Bbb F}$ -循序可测: } \parallel\varphi \parallel^{p}=E[\int^{T}_{0} |\varphi_{t}|^{p}{\rm d}t]<+\infty \Big \}.$

假设 $g(\omega,t,y,z):\Omega\times[0,T]\times {\Bbb R}\times {\Bbb R}^d \rightarrow {\Bbb R}$ 满足

(B1) $g$ 关于 $(y,z)$ 是一致 Lipschitz 的,即存在一个常数 $\mu>0$ 使得对于 $ t\in[0,T],$ $ y_1,\ y_2\in {\Bbb R},$ $z_1,\ z_2\in {\Bbb R}^d$, $P$-a.s.,

$$|g(t,y_1,z_1)-g(t,y_2,z_2)| \leq \mu(|y_1-y_2|+|z_1-z_2|); $$

(B2) $(g(t,0,0))_{t\in[0,T]} \in{\cal H}^2_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R})$;

(B3) 对于 $t\in[0,T],\ y \in {\Bbb R}$,$P$-a.s., $g(t,y,0)=0;$

(B4) 对于 $(y,z)\in {\Bbb R}\times{\Bbb R}^d,$ $P$-a.s., $t\mapsto g(t,y,z)$ 是连续的.

在假设 (B1) 和 (B2) 之下,对于 $\xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,P)$, 下面的倒向随机微分方程

存在唯一适应解 $(y^{T,g,\xi}_t,z^{T,g,\xi}_t)_{{0\leq t\leq T}}\in {\cal S}^2_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R})\times {\cal H}^2_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R}^d)$ (参考文献[10] 或者^[6]).

Peng 于 1997 年在文献[11] 中首次介绍了 $g$-期望和条件 $g$-期望的概念. 该作者用倒向随机微分方程 (2.1) 的解在 $0$ 时刻的值定义 $g$-期望.

定义 2.1 ($g$-期望) 称 ${\cal E}_{g}[\cdot]:L^2(\Omega,{\cal F}_T,P)\rightarrow {\Bbb R}$ 为 $g$-期望,如果 ${\cal E}_{g}[\xi]\triangleq y_0^{T,g,\xi}.$

Peng 在文献[11] 中证明了对于每个 $t\in[0,T]$,存在唯一的 ${\cal F}_t$ 可测的随机变量 $\eta\in L^2(\Omega,{\cal F}_t,P)$ 使得 ${\cal E}_g[\xi I_A]={\cal E}_g[\eta I_A],\ A\in{\cal F}_t,\ 0\leq t\leq T,$ 并用 ${\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]$ 表示这个 ${\cal F}_t$-可测的随机变量 $\eta$. ${\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]$ 实际上是倒向随机微分方程 (2.1) 在 $t$ 时刻的解,即 ${\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]=y_t^{T,g,\xi}.$ 显然,当 $g=0$,$g$-期望 (相应的,条件 $g$-期望) 是经典意义下的期望 (相应的,条件期望),即 ${\cal E}_g[\xi]=E[\xi], {\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t] =E[\xi|{\cal F}_t].$ 受文献[1, 5, 11] 的工作所激发,Hao 在文献[7] 中研究了 $g$-期望的二阶中心矩并给出了如下的 $g$-方差定义

定义 2.2 ($g$-方差) 对任何 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$, ${\cal E}_g[\xi-{\cal E}_g[\xi]]^2$ 被称为 $\xi$ 关于 $g$ 的 $g$-方差,记为 ${\cal D}_g[\xi]$.

$g$-期望和条件 $g$-期望几乎保留了经典期望中除了线性性之外的所有性质 (参考文献[1, 11]).

引理 2.1 (1) $ {\cal E}_g[c|{\cal F}_t]=c,\ c\in {\Bbb R}.$

(2) 如果$ \xi_1\leq\xi_2,$ 则${\cal E}_g[\xi_1|{\cal F}_t]\leq{\cal E}_g[\xi_2|{\cal F}_t].$

(3) $ {\cal E}_g[{\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]]={\cal E}_g[\xi],\ \xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,P).$

(4) $ \eta$ 是$ {\cal F}_t$-可测的并且$ g$不依赖于 $y$,则 ${\cal E}_g[\xi+\eta|{\cal F}_t]={\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]+\eta.$

(5) $ g(t,y,z)$ 是确定性的和$ \xi $独立于$ {\cal F}_t,$ 则 ${\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]={\cal E}_g[\xi].$

(6) 如果$g$ 关于$ (y,z)$ 是凸的 (相应的,凹的)并且是正齐次的,则 $ {\cal E}_g[\xi+\eta|{\cal F}_t]\leq$ (相应的,$\geq)$ ${\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]+{\cal E}_g[\eta|{\cal F}_t], \ t\in[0,T],\ \xi,\eta \in L^2(\Omega,{\cal F}_T,P).$

下面我们介绍生成元表示定理 (参考文献[1] 或者 ^[9]).

引理 2.2　假设 $g$ 满足 (B1),(B3) 和 (B4),则对于 $1\leq p\leq2$ 和每一个 $(t,y,z)\in[0,T[\times {\Bbb R}\times {\Bbb R}^d$,我们有

$$L^p-g(t,y,z)= \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0+}\frac{1} {\varepsilon}\Big[Y_t^{g,t+\varepsilon,y+z\cdot(B_{t+\varepsilon}-B_t)}-y\Big]. $$

本节介绍一种关于 $g$-期望的条件方差,称为条件 $g$-方差, 证明了条件 $g$-方差的唯一性定理,比较定理不再成立. 这种条件 $g$-方差关于参数连续依赖性也得到研究.

下面首先介绍条件 $g$-方差的定义.

定义 3.1 对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,$t\in[0,T]$, ${\cal E}_g[(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2|{\cal F}_t]$ 被称为 $\xi$ 关于 $g$ 的条件 $g$-方差,记为 ${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]$.

注 3.1 (i) 当 $t=0$,${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]$ 是 $g$-方差 ${\cal D}_g[\xi]$.

(ii) 一般来说,${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]$ 不再具有引理 2.1 中 $g$-期望的性质. 主要原因是 $(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2,\ \xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 表示所有平方可积随机变量的一部分,不是全部.

(iii) 如果 $g$ 关于 $z$ 是线性的,即 $g(s,z)=b_sz$, 则存在一个概率测度 $Q^b\in{\cal P}_T$ 使得条件 $g$-方差 ${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]$ 表示为

$$ {\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]= E_{Q^b}[(\xi-E_{Q^b}[\xi])^2| {\cal F}_t], $$

这里

在这种情况下,我们可以按照下面的方式计算 ${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]$

$$ {\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t] =E_{Q^b}\bigg[\bigg(\int^T_0z^{g,\xi}_s{\rm d}\tilde{B}_s\bigg)^2|{\cal F}_t\bigg] =\bigg(\int^t_0z^{g,\xi}_s{\rm d}\tilde{B}_s\bigg)^2 +\int^T_t(z^{g,\xi}_s)^2{\rm d}s, $$

这里 $(y^{g,\xi},z^{g,\xi})$ 是具有标准参数 $(g,\xi)$ 的倒向随机微分方程的解, $\tilde{B}_s$ 是概率测度 $Q^b$ 下的一个布朗运动.

下面介绍条件 $g$-方差的性质.

命题 3.1 假设 $g$ 满足 (B1),(B3) 和 (B4),$t\in[0,T]$,下面两个条件等价

(i) ${\cal D}_g[\xi+c|{\cal F}_t]={\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t],\ \xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P),\ c\in {\Bbb R};$

(ii) $g$ 不依赖于 $y$.

证 我们仅仅证明 $\mathrm{(i)}\Rightarrow\mathrm{(ii)}$, 因为 $\mathrm{(ii)}\Rightarrow\mathrm{(i)}$ 显然. 证明被分成两步.

步骤一 如果 ${\cal D}_g[\xi+c|{\cal F}_t]= {\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t],\ t\in[0,T],\ c\in{\Bbb R}$, 则当 $t=T$,对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$, $ (\xi+c-{\cal E}_g[\xi+c])^2=(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2. $ 这意味着 ${\cal E}_g[\xi]+c={\cal E}_g[\xi+c],\ \forall\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P).$ 根据 $g$-期望的连续性,上面的等式对于所有的平方可积 ${\cal F}_T$-可测随机变量成立.

步骤二 对于 $\xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,P)$, 令 $(Y_t,Z_t)_{t\in[0,T]}$ 是下面倒向随机微分方程的解

在方程 (3.2) 两边加上常数 $c$,则有

$$ Y_t+c=\xi+c+\int^T_tg(s,Y_s,Z_s){\rm d}s-\int^T_tZ_s{\rm d}B_s. $$

记 $\bar{Y_t}=Y_t+c,\ g_c(t,y,z)=g(t,y-c,z).$ 容易证明 $(\bar{Y_t},Z_t)_{t\in[0,T]}$ 是带有标准参数 $(\xi+c,g_c)$ 的倒向随机微分方程的解. 因此,${\cal E}_{g_c}[\xi+c|{\cal F}_t] ={\cal E}_g[\xi|{\cal F}_t]+c.$ 根据步骤一和引理 2.2,我们得到 $P$-a.s., $ g(t,y,z)=g(t,y-c,z),\ (t,y,z)\in[0,T]\times {\Bbb R}\times {\Bbb R}^d.$ 这意味着 $g$ 不依赖于 $y$.

注 3.2 即使 $g$ 不再依赖于 $y$,对于 $\eta\in L^4(\Omega,{\cal F}_t,P),\ \xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P),$ ${\cal D}_g[\xi+\eta|{\cal F}_t] \neq{\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t].$ 事实上, 条件 $g$-方差是一种特殊类型的条件 $g$-期望. 这种条件 $g$-期望仅仅作用在形如 $(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2,\ \xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 的随机变量上, 而不是所有平方可积的随机变量上. 因此, ${\cal E}_g[\xi+\eta]\neq{\cal E}_g[\xi]+\eta,\ \xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 和 $ (\xi-{\cal E}_g[\xi])^2 \neq (\xi+\eta-{\cal E}_g[\xi+\eta])^2 . $ 这说明对于 $\eta\in L^4(\Omega,{\cal F}_t,P),$ $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P),$ ${\cal D}_g[\xi+\eta|{\cal F}_t] \neq{\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t].$

Chen 在文献[2] 中证明了如果对于所有平方可积的随机变量, 两个 $g$-期望一致,则两个生成元一致. 这里我们提出一个类似的问题: 如果${\cal D}_{g_1}[\xi|{\cal F}_t]= {\cal D}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t]$, $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,是否会有 $g_1=g_2$? 答案是肯定的.

定理 3.1 (唯一性定理) 假设 $g_i,\ i=1,2,$ 满足 $\mathrm{(B1)},\ \mathrm{(B3)}$ 和 $\mathrm{(B4)}$,则下面两个条件等价

(i) $ {\cal D}_{g_1}[\xi|{\cal F}_t] ={\cal D}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t],$ $P$-a.s.,$\forall\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P),\ t\in[0,T];$

(ii) $ g_1(t,y,z)=g_2(t,y,z),$ $P$-a.s., $ (t,y,z)\in [0,T]\times{\Bbb R}\times {\Bbb R}^d.$

证 $\mathrm{(i)}\Rightarrow\mathrm{(ii)}$ 根据 (i),当 $t=T$ 时我们有 $ (\xi-{\cal E}_{g_1}[\xi])^2=(\xi-{\cal E}_{g_2}[\xi])^2,\ \xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P). $ 这意味着对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$, $ {\cal E}_{g_1}[\xi]={\cal E}_{g_2}[\xi]. $ 根据 $g$-期望的连续性,可以得到对于所有平方可积的 ${\cal F}_T$-可测的随机变量, $ {\cal E}_{g_1}[\xi]={\cal E}_{g_2}[\xi]. $ 因此,对于 $A\in{\cal F}_t$,

$$ {\cal E}_{g_1}[I_A{\cal E}_{g_1}[\xi|{\cal F}_t]] ={\cal E}_{g_1}[I_A\xi] ={\cal E}_{g_2}[I_A\xi] ={\cal E}_{g_2}[I_A{\cal E}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t]] ={\cal E}_{g_1}[I_A{\cal E}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t]]. $$

由此可得

$$ {\cal E}_{g_1}[\xi|{\cal F}_t]={\cal E}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t],\ \xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,P). $$

根据引理 2.2, 可以得到对于 $(t,y,z)\in[0,T]\times{\Bbb R}\times {\Bbb R}^d$, $P$-a.s.,$ g_1(t,y,z)=g_2(t,y,z).$

注 3.3 (i) Hao 在文献[7] 中假设 $g$ 是 $z$ 的线性函数下,得到 $g$-方差的唯一性定理. 但是从定理 3.1,我们看到只要 $g$ 满足基本假设和函数 $t\mapsto g(t,y,z)$ 关于 $(y,z)$ 是一致连续的,条件 $g$-方差的唯一性定理就成立. 主要原因在于对于条件 $g$-方差 $($或者称作关于随机变量 $(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2$ 的条件 $g$-期望$)$ 我们能够知道时刻 $t\in[0,T]$ 之前的所有信息, 而对于 $g$-方差,我们仅仅知道在 $t=0$ 时刻的信息.

(ii) 事实上,(B4) 中 $g$ 关于 $t$ 的连续性可以减弱为 $g$ 关于 $t$ 是右连续的 (参见文献[1]) 或者当 $g$ 为确定性函数且满足 (B1) 和 (B3) 时,$g$ 关于 $t$ 甚至可以不连续 (参见文献[9]).

一般来说,条件 $g$-方差的比较定理不再成立. 因为即使 $g_1\geq g_2$, 对于所有的 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$, $(\xi-{\cal E}_{g_1}[\xi])^2)$ 不一定比 $(\xi-{\cal E}_{g_2}[\xi])^2)$ 大. 正如下面的例题所示,

例 3.1 令 $g_1(t,y,z)=0$ 和 $g_2(t,y,z)=|z|,\ \forall (t,y,z)\in[0,T]\times {\Bbb R}\times {\Bbb R}$ 和 $\xi=B_T$. 显然, ${\cal E}_{g_1}[B_T]=0$ 和 ${\cal E}_{g_2}[B_T]=T$. 因此,

$${\cal D}_{g_1}[B_T|{\cal F}_t] =E[B_T^2|{\cal F}_t] =B^2_t+(T-t). $$

根据 Girsanov 定理,

$${\cal D}_{g_2}[B_T|{\cal F}_t] =\bigg(B_t+\int^T_tb_r{\rm d}r-T\bigg)^2+(T-t), $$

这里 $|b_r|\leq1.$ 然而,对于 $t\in[0,T]$,我们无法得到

$$ {\cal D}_{g_1}[B_T|{\cal F}_t] \leq{\cal D}_{g_2}[B_T|{\cal F}_t]. $$

下面我们研究条件 $g$-方差关于参数的连续性质. 在介绍结果之前,需要做进一步的假设:

(A1) 生成元序列 $\{g(\alpha,\cdot),\ \alpha\in{\Bbb R}\}$ 是拟 Lipschitz 的, 即存在一个正常数 $L_g$ 使得,对于 $t\in[0,T]$, $y_1,y_2\in{\Bbb R}$, $z_1,z_2\in{\Bbb R}^d$,$\alpha\in{\Bbb R}$,

$$ |g(\alpha,t,y_1,z_1) -g(\alpha,t,y_2,z_2)| \leq L_g (|y_1-y_2|+|z_1-z_2|); $$

(A2) 对于 $\alpha\in{\Bbb R}$, $y\in{\Bbb R},\ t\in[0,T],$ $ g(\alpha,t,y,0)=0. $

定理 3.2 在假设 (A1) 和 (A2) 下, 对任何的 $\alpha_0\in{\Bbb R}$, 下面两个条件等价

(i) 对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,

$$ {\cal H}^2_{{\Bbb F}}-\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal D}_{g_\alpha}[\xi|{\cal F}_{\cdot}] ={\cal D}_{g_{\alpha_0}}[\xi|{\cal F}_{\cdot}]; $$

(ii) 对于 $(y,z)\in{\Bbb R}\times{\Bbb R}^d$, 函数 $\alpha\mapsto g(\alpha,\cdot,y,z)$ 在 $\alpha_0$ 处连续, 即

$$ {\cal H}^2_{{\Bbb F}}- \lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} g(\alpha,\cdot,y,z) =g(\alpha_0,\cdot,y,z). $$

证 为了叙述简单, 将 $g(\alpha,t,y,z),\ t\in[0,T],\ y\in{\Bbb R},\ z\in{\Bbb R}^d$ 简记为 $g_\alpha$.

$ \mathrm{(ii)} \Rightarrow \mathrm{(i)} $ 对于 $\alpha,\ \alpha_0\in{\Bbb R}$ 和 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,令 $(Y^{\alpha,\xi},Z^{\alpha,\xi})$ (相应的,$(Y^{\alpha_0,\xi},Z^{\alpha_0,\xi})$) 是具有参数 $(g_\alpha,\xi)$ (相应的,$(g_{\alpha_0},\xi)$) 的倒向随机微分方程的解. 记 $\delta Y=Y^{\alpha,\xi}-Y^{\alpha_0,\xi}$, $\delta Z=Z^{\alpha,\xi}-Z^{\alpha_0,\xi}$. 在区间 $[t,T]$ 上对 ${\rm e}^{\beta s}|\delta Y_s|^2,\ \beta>0$ 应用 Itô 公式,然后取期望, 得到

\begin{eqnarray*} &&E[{\rm e}^{\beta t}|\delta Y_t|^2] +E\bigg[\int^T_t{\rm e}^{\beta s}(\beta|\delta Y_s|^2+|\delta Z_s|^2){\rm d}s\bigg]\\ &\leq & E[{\rm e}^{\beta T}|\delta Y_T|^2] +E\int^T_t{\rm e}^{\beta s}2|\delta Y_s|\, |g(\alpha,s,Y^{\alpha,\xi}_s,Z^{\alpha,\xi}_s) -g(\alpha_0,s,Y^{\alpha_0,\xi}_s,Z^{\alpha_0,\xi}_s)|{\rm d}s. \end{eqnarray*}

因为 $\{g(\alpha,\cdot),\ \alpha\in{\Bbb R}\}$ 是拟 Lipschitz 的. 根据不等式

$$2y(L_gz+t)\leq\frac{L_g z^2}{\lambda^2}+\frac{t^2}{\mu^2} +y^2(\mu^2+L_g \lambda^2),\ (\lambda,\ \mu>0), $$

我们有

令 $\beta>L_g(2+\lambda^2)+\mu^2$ 和 $\frac{L_g}{\lambda^2}<1$,则

特别的,当 $t=0$,

\begin{eqnarray*} |\delta Y_0|^2 &\leq& \frac{1}{\mu^2}E\int^T_0{\rm e}^{\beta s} |g(\alpha,s,Y^{\alpha_0,\xi}_s,Z^{\alpha_0,\xi}_s) -g(\alpha_0,s,Y^{\alpha_0,\xi}_s,Z^{\alpha_0,\xi}_s)|^2{\rm d}s\\ &\leq& \frac{1}{\mu^2}{\rm e}^{\beta T}E\int^T_0 |g(\alpha,s,Y^{\alpha_0,\xi}_s,Z^{\alpha_0,\xi}_s) -g(\alpha_0,s,Y^{\alpha_0,\xi}_s,Z^{\alpha_0,\xi}_s)|^2{\rm d}s. \end{eqnarray*}

根据 $g$-期望的定义和 $ g_\alpha$ 在 $\alpha_0$ 处的连续性, 得到当 $\alpha\rightarrow\alpha_0$, $ |{\cal E}_{g_\alpha}[\xi]- {\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi]|^2 \rightarrow0.$ 因此,对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$, 当 $\alpha\rightarrow\alpha_0$ 时,

另一方面,令 $(Y^{\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2}, Z^{\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2})$ (相应的, $(Y^{\alpha_0,(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2}, Z^{\alpha_0,(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2})$) 是具有参数 $(g_\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2)$ (相应的, $(g_{\alpha_0},(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2)$) 的倒向随机微分方程的解. 类似于上述论述用 $\Delta Y\triangleq Y^{\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2} -Y^{\alpha_0,(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2}$, $\Delta Z\triangleq Z^{\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2} -Z^{\alpha_0,(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2}$ 替换 $\delta Y,\ \delta Z$, 我们得到

根据 (3.5)式和 $g_\alpha$ 在 $\alpha_0$ 处的连续性,对于 $0\leq t\leq T$,当 $\alpha\rightarrow\alpha_0$,

$$ E[|Y_t^{\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2} -Y_t^{\alpha_0,(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2}|^2] \rightarrow0. $$

注意到 ${\cal D}_{g_\alpha}[\xi|{\cal F}_t] =Y_t^{\alpha,(\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2}$ 和 ${\cal D}_{g_{\alpha_0}}[\xi|{\cal F}_t] =Y_t^{\alpha_0,(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2}, $ 容易得到对于 $\xi\in L^4(\Omega,$ ${\cal F}_T,P)$,

$$ {\cal H}^2_{{\Bbb F}}-\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal D}_{g_\alpha}[\xi|{\cal F}_{\cdot}] ={\cal D}_{g_{\alpha_0}}[\xi|{\cal F}_{\cdot}]. $$

$ \mathrm{(i)} \Rightarrow \mathrm{(ii)}$ 当 $t=T$,对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P),$

$$ \lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} (\xi-{\cal E}_{g_\alpha}[\xi])^2 =(\xi-{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi])^2. $$

因此,对于 $\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,

根据 $g$-期望连续性,(3.7)式 对于所有平方可积的 ${\cal F}_T$-可测的随机变量成立, 而且对于任意的 $A\in{\cal F}_t$,

\begin{eqnarray*} {\cal E}_{g_{\alpha_0}}[I_A{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[\xi|{\cal F}_t]] &=&{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[I_A\xi|{\cal F}_t]] ={\cal E}_{g_{\alpha_0}}[I_A\xi] =\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal E}_{g_{\alpha}}[I_A\xi]\\ &=&\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal E}_{g_{\alpha}}[{\cal E}_{g_{\alpha}}[I_A\xi|{\cal F}_t]] =\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal E}_{g_{\alpha}}[I_A{\cal E}_{g_{\alpha}}[\xi|{\cal F}_t]] \\ &=&{\cal E}_{g_{\alpha_0}}[I_A \lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal E}_{g_{\alpha}}[\xi|{\cal F}_t]]. \end{eqnarray*}

因此,根据引理 2.2,对于任意选取的但是给定的 $\alpha$ 和 $\alpha_0$,我们得到对于 $t\in[0,T]$,$y\in{\Bbb R}$,$z\in{\Bbb R}^d$,

$$ L^2-\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} g(\alpha,t,y,z) =g(\alpha_0,t,y,z). $$

这意味着对于 $y\in{\Bbb R}$,$z\in{\Bbb R}^d$,

$$ {\cal H}^2_{\Bbb F}-\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} g(\alpha,\cdot,y,z) =g(\alpha_0,\cdot,y,z). $$

证毕.

在本节中,我们将条件 $g$-方差作为 ${\cal H}^1_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R})$ 中的连续映射从 $L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 延拓到 $L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$.

对于 $p\geq1$,定义

$$\| \cdot\| _{_{L^p(\mu)}} ={\sup\limits_{Q^b\in{\cal P}_{_T}}}(E_{_{Q^b}}[|\cdot|^p])^{\frac{1}{p}}, $$

这里 ${\cal P}_T$ 由 (3.1) 式给出.

显然,$L^p(\Omega,{\cal F}_T,\mu)\ (p\geq1)$ 在 $\| \cdot\| _{_{L^p(\mu)}}$ 下是一个 Banach空间. 当 $p=1$,我们使用 $\| \cdot\| _{\mu}$ 表示 $\| \cdot\| _{_{L^1(\mu)}}$. 空间 $L^p(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$ 和空间 $L^p(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 具有如下关系

引理 4.1 对任何的 $p\geq1$, $ L^{p+1}(\Omega,{\cal F}_T,P)\subset L^p(\Omega,{\cal F}_T,\mu)\subset L^p(\Omega,{\cal F}_T,P). $

证 对每一个 $\xi\in L^p(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$ 和$Q^b\in{\cal P}_T$,

$$ \| \xi\| _{{L^p(P)}}=(E[|\xi|^p])^{\frac{1}{p}} \leq {\sup\limits_{Q^b\in{\cal P}_{_T}}}(E_{_{Q^b}}[|\xi|^p])^{\frac{1}{p}}, $$

$$ (E_{Q^b}[|\xi|^p])^{\frac{1}{p}}\leq {\rm e}^{\frac{1}{2}\mu^2T}\| \xi\| _{L^{p+1}(P)}. $$

证毕.

注 4.1 在引理 4.1 中,我们假设 $\xi=1_A$, 则对于 $\eta\in L^p(\Omega,{\cal F}_T,\mu),\ p\geq1$ 和 $A\in{\cal F}_T$,

$$\lim\limits_{{P(A)\rightarrow0}}\| \eta1_A\| _{L^p(\mu)}=0.$$

定理 4.1 假设 $g$ 满足 $\mathrm{(B1)},\ \mathrm{(B3)}$ 和 $\mathrm{(B4)}$. 定义在 $L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 上的条件 $g$-方差 ${\cal D}_g[\cdot|{\cal F}_{\cdot}]$ 作为 ${\cal H}^1_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R})$ 中的连续映射可以延拓到 $L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$.

证 对于任何的 $\xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$, 我们定义 $\xi_k=\xi1_{\{|\xi|\leq k\}}.$ 显然,$\xi_k\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$. 对于每一个 $k\geq1$ 和 $\forall t\in[0,T], {\cal D}_g[\xi_k|{\cal F}_t]$ 在 $L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 中具有良定义. 进一步,当 $k\rightarrow +\infty$, $\| \xi_k-\xi\| _{L^2(\mu)}\rightarrow0.$ 根据 $g$-期望的连续性,我们得到当 $k\rightarrow\infty$, $ |{\cal E}_g[\xi_k]-{\cal E}_g[\xi]|\rightarrow0. $

为书写方便,我们记 $\eta_k=(\xi_k-{\cal E}_g[\xi_k])^2,\eta=(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2). $ 因此,

\begin{eqnarray*} \| \eta_k-\eta\| _{\mu} &=&\| (\xi_k-{\cal E}_g[\xi_k])^2-(\xi-{\cal E}_g[\xi])^2)\| _{\mu}\\ &\leq&\| \xi_k^2-\xi^2\| _{\mu} +({\cal E}_g^2[\xi_k]-{\cal E}_g^2[\xi]) +\| 2\xi{\cal E}_g[\xi]-2\xi_k{\cal E}_g[\xi_k]\| _{\mu}. \end{eqnarray*}

根据注 4.1 和 $\xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$, 我们得到当 $k\rightarrow\infty$, $ \| \xi_k^2-\xi^2\| _{\mu}\rightarrow0. $

对于上面不等式右边第三部分,根据 $g$-期望的连续性和注 4.1, 当 $k\rightarrow\infty$,

$$ \begin{array}{ll}[c] \| 2\xi{\cal E}_g[\xi]-2\xi_k{\cal E}_g[\xi_k]\| _{\mu} \leq2\| \xi\| _{L^2(\mu)}|{\cal E}_g[\xi]-{\cal E}_g[\xi_k]| +2\| \xi-\xi_k\| _{L^2(\mu)}|{\cal E}_g[\xi_k]|\rightarrow0. \end{array} $$

因此,当 $k\rightarrow\infty,$ $\| \eta_k-\eta\| _{\mu}\rightarrow0.$ 对于任何的 $m\geq1,\ n\geq1$,

$$ \| {\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_{\cdot}]- {\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_{\cdot}]\| _{{\cal H}^1_{{{\Bbb F}}}(0,T;{\Bbb R})} =E\int^T_0|{\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_t]- {\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_t]|{\rm d}t. $$

根据 Girsanov 定理,存在一个随机过程 $|a_s|\leq \mu$ 和 $Q^b\in{\cal P}_T$ 使得

$$ {\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_t]- {\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_t] =E_{Q^b}[((\xi_m-{\cal E}_g[\xi_m])^2 -(\xi_n-{\cal E}_g[\xi_n])^2){\rm e}^{\int_0^Ta_s{\rm d}s}|{\cal F}_t]. $$

因此,当 $m\rightarrow\infty,\ n\rightarrow\infty$,

\begin{eqnarray*} \| {\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_t]- {\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_t]\| _{{\cal H}^1_{{\Bbb F}}(0,T;{\Bbb R})} &\leq &T{\rm e}^{\mu T}\| \eta_m-\eta_n\| _{\mu}\\ &\leq &T{\rm e}^{\mu T}(\| \eta_m-\eta\| _{\mu} +\| \eta_n-\eta\| _{\mu}) \rightarrow0, \end{eqnarray*}

这里 $\eta_m=(\xi_m-{\cal E}_g[\xi_m])^2$ 和 $\eta_n=(\xi_n-{\cal E}_g[\xi_n])^2$. 因此,对于每个 $k\geq1$ 和 $t\in[0,T]$, $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}{\cal D}_g[\xi_k|{\cal F}_t]$ 存在,记为 ${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t].$

现在证明 ${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t]$ 不依赖于 $\xi_k$. 假设存在 $\xi_m$ 和 $\xi_n$ 使得 ${\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_{\cdot}]$ 和 ${\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_{\cdot}]$ 在 ${\cal H}^1_{{\Bbb {\Bbb F}}}(0,T;{\Bbb R})$ 中分别趋于 ${\cal D}_g[\xi|{\cal F}_{\cdot}]$. 因此,当 $m\rightarrow\infty,\ n\rightarrow\infty$,

\begin{eqnarray*} &&\| {\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_{\cdot}] -{\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_{\cdot}]\| _{{\cal H}^1_{{{\Bbb F}}}(0,T;{\Bbb R})}\\ &\leq& \| {\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_{\cdot}] -{\cal D}_g[\xi|{\cal F}_{\cdot}]\| _{{\cal H}^1_{{{\Bbb F}}}(0,T;{\Bbb R})} +\| {\cal D}_g[\xi_n|{\cal F}_{\cdot}] -{\cal D}_g[\xi|{\cal F}_{\cdot}]\| _{{\cal H}^1_{{{\Bbb F}}}(0,T;{\Bbb R})} \rightarrow0. \end{eqnarray*}

最后,证明该极限对于 $g$ 是唯一的.

如果存在另一个 $g'$ 满足假设 (B1),(B3),(B4) 使得 ${\cal H}^1_{{\Bbb {\Bbb F}}} -\lim\limits_{m\rightarrow\infty}{\cal D}_g[\xi_m|{\cal F}_{\cdot}] ={\cal D}_{g'}[\xi|{\cal F}_{\cdot}]. $ 那么,对于 $\forall\xi\in L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$,$t\in[0,T],$ $ {\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t] ={\cal D}_{g'}[\xi|{\cal F}_t].$ 根据定理 3.1, 对于 $t\in[0,T]$,$(y,z)\in{\Bbb R}\times {\Bbb R}^d$, $P$-a.s., $ g(t,y,z)=g'(t,y,z). $ 证毕.

利用定理 4.1,易将第三节中的结论从 $L^4(\Omega,{\cal F}_T,P)$ 延拓到 $L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$.

推论 4.1 假设 $g$ 满足 $\mathrm{(B1)},\ \mathrm{(B3)}$ 和 $\mathrm{(B4)}$, $t\in[0,T]$,下面两个陈述等价

(i) ${\cal D}_g[\xi+c|{\cal F}_t]={\cal D}_g[\xi|{\cal F}_t],\ \xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu),\ c\in {\Bbb R};$

(ii) $g$ 不依赖于 $y$.

推论 4.2 假设 $g_i,$ $i=1,2$,满足 $\mathrm{(B1)},\ \mathrm{(B3)}$ 和 $\mathrm{(B4)}$, 则下面两个条件等价

(i) $ {\cal D}_{g_1}[\xi|{\cal F}_t] ={\cal D}_{g_2}[\xi|{\cal F}_t],\ \forall\xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu),\ t\in[0,T];$

(ii) $ g_1(t,y,z)=g_2(t,y,z),$ $P$-a.s., $(t,y,z)\in[0,T]\times {\Bbb R}\times {\Bbb R}^d. $

推论 4.3 在假设 $\mathrm{(B1)},\ \mathrm{(B3)}$ 和 $\mathrm{(B4)}$ 下, 对任何的 $\alpha_0\in{\Bbb R}$, 下面两个陈述等价

(i) 对于 $\xi\in L^2(\Omega,{\cal F}_T,\mu)$,

$$ {\cal H}^2_{{\Bbb F}} -\lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} {\cal D}_{g_\alpha}[\xi|{\cal F}_{\cdot}] ={\cal D}_{g_{\alpha_0}}[\xi|{\cal F}_{\cdot}]; $$

(ii) 对于 $(y,z)\in{\Bbb R}\times{\Bbb R}^d$, 函数 $\alpha\mapsto g(\alpha,\cdot,y,z)$ 在 $\alpha_0$ 连续,即

$$ {\cal H}^2_{{\Bbb F}}- \lim\limits_{\alpha\rightarrow\alpha_0} g(\alpha,\cdot,y,z) =g(\alpha_0,\cdot,y,z). $$