为了描述淋病和其他传染病的传播动态,文献[1, 2, 3, 4, 5] 建立和研究了一类非线性时滞微分系统

$$\begin{equation} x'_{i}(t) =-a_{i}(t)x_{i}(t) + (c_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)x_{j}(t-\tau_{ij}(t)) ,\ i=1,2,\cdots,n. % \end{equation}$$

(1.1)

文献[6, 7, 8, 9, 10]的作者们在系统(1.1)中考虑了连续分布时滞,得到如下系统

$$\begin{equation} x'_{i}(t) =-a_{i}(t)x_{i}(t) + (c_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(s)x_{j}(t+s){\rm d}s ,\ i=1,2,\cdots, n. % \end{equation}$$

(1.2)

系统(1.2)比系统(1.1)更符合实际,其中$c_{i}(t)$是第$i$个区域无病易感者数量 (如果不被传染就不会变成染病者), $x_{i}(t)$表示第$i$个区域在t时刻染病者数量,$\beta_{ij}(t)$ 是第$j$个区域的染病者对 第$i$个区域易感者在t时刻的传染率,$a_{i}(t)$表示第$i$个区域染病者的恢复率, $\tau_{ij}(t)\geq 0$表示病毒 在体内的潜伏期,即染病者发病到感染其他人的时段.此外,此模型染病者不会死亡并且不具有免疫力.

收敛性在动力系统行为特征中扮演着关键的角色,种群动力学模型解的收敛性研究已经取 得了广泛的结果(见文献[11, 12, 13]). 特别地,恢复率函数$a_{i}(t)$为不震动时,即

$$\begin{equation} \inf\limits_{t\in R}a_{i } (t)> 0,\ \ i \in J=\{1,\ 2,\ \cdots,n \}, %$$ \end{equation}$$

(1.3)

系统(1.1)和(1.2)已经建立了非震动条件下确保解收敛的若干充分性条件, 其结论可见文献[1, 2, 3, 4, 5, 14, 16] 和 ^{[6, 7, 8, 9, 10, 15]}.

另一方面,文献[17]指出,随着季节波动,震动系数出现在线性种群动力学模型方程中, 在某些季节死亡率(收获率) 可能会大于出生率,此外由于缺乏药物和及时治疗,某些突发传染病会出现负恢复率. 那么,一个问题自然产生了: 寻求确立带有震动恢复率的系统(1.1)和(1.2)的全局指数稳定性的条件.基于上述讨论, 本文中我们将研究如下 带有时变时滞和连续分布时滞传染病模型的指数稳定性

$$\begin{eqnarray} x'_{i}(t) &=&-a_{i}(t)x_{i}(t) + (c_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)x_{j}(t-\tau_{ij}(t)) \nonumber\\ & &+(\tilde{c}_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(t) \int^{0}_{-\infty}K_{ij}(s)x_{j}(t+s){\rm d}s ,~ i\in J, % (1.4) \end{eqnarray}$$

(1.4)

其中 $a_{i}:R\rightarrow R$,$c_{i},\ \beta_{ij},\tilde{c}_{i},\ \tilde{\beta}_{ij},\tau_{ij}:R\rightarrow [0,+\infty)$ 和 $K_{ij}:(-\infty,0]\rightarrow [0,+\infty)$是有界连续函数,且 $K_{ij}(t) {\rm e}^{\kappa t}$ 在$[0,+\infty)$可积, $\kappa$为一个确定正的常数,$i,\ j\in J.$ 显然,方程(1.1)和(1.2)是模型(1.4) 的特殊情形.

基于模型(1.4)的生物学意义,我们只考虑如下初始条件

$$x_{i}(s)=\varphi_{i}(s),s\in (-\infty,\ 0],\varphi_{i}(0)>0,\ i\in J, \varphi=(\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n)\in C_+ ,$$

(1.5)

这里

$$C_{+}=\underbrace{C^{B}((-\infty,0],[0, +\infty))\times C^{B}((-\infty,0],[0,+\infty)) \times \cdots\times C^{B}((-\infty,0],[0,+\infty))}_n,$$

且 $C^{B}((-\infty,0],[0,+\infty))$ 是有界连续函数的集合.

本文主要目的是在舍弃假设(1.3)的前提下,给出初值问题$(1.4)$和$(1.5)$的全局指数稳定性的充分 条件. 据我们所知,具有震动恢复率的模型$(1.4)$的收敛性问题未见他人研究,本 文的结果是全新的. 本文第三部分数值模拟例子很好地说明了我们结果的有效性.

本文假设以下条件成立.

$(H_{1})$ 存在一个正的常数$F^{i}$ 和一个连续函数 $a_{i}^{*} :R\rightarrow (0,\ +\infty)$ 使得

$${\rm e}^{ -\int_{s}^{t}a_{i}(u){\rm d}u}\leq F^{i} {\rm e}^{-\int_{s}^{t}a_{i}^{*}(u){\rm d}u} \ \mbox{ } t,s\in R,\mbox{ }t-s\geq 0, \ i\in J;$$

$(H_{2})$ 存在正的常数 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}$ 使得

$$\sup\limits_{t\in R}\bigg\{-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}F^{i}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} +\xi_{i}^{-1} F^{i}\tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\xi_{j} \tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm d}v\bigg\} < 0 ,\ i\in J.$$

为了方便,我们介绍一些符号.

$$|x|=(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\ \cdots,|x_{n}|)^{T}, \|x\|=\max\limits_{1\leq i\leq n} |x_{i}|, g^{+}=\sup\limits_{t\in R}|g(t)|, g^{-}=\inf\limits_{t\in R}|g(t)|.$$

记初值问题$(1.4)$和$(1.5)$的解为$x(t;0,\varphi)= (x_{1}(t; 0,\varphi), x_{2}(t;0,\varphi),\cdots,x_{n}(t; 0,\varphi))^{T}$, 并记其最大右存在区间为$[0,\eta(\varphi))$.

定理 2.1 假设 $(H_{1})$ 和$(H_{2})$ 成立. 则,当$x_i(t; 0,\varphi)>0 ,t\in [0, \eta(\varphi)),\ i\in J,$ 集合 $\{x_i(t; 0,\varphi ): t\in [0,\eta(\varphi)), i\in J\}$ 有界,且 $\eta(\varphi)=+\infty$. 此外,当 $t\rightarrow+\infty$时,$x(t;0,\varphi)= (x_{1}(t; 0,\varphi), x_{2}(t;0,\varphi),\cdots,x_{n}(t; 0,\varphi))^{T}$ 收敛于$(0,0,\cdots,0)^{T}$.

证 令

$$(x_{1}(t), x_{2}(t),\cdots,x_{n}(t))^{T}=(x_{1}(t; t_{0},\varphi),x_{2}(t; t_{0},\varphi),\cdots,x_{n}(t; t_{0},\varphi))^{T}.$$

首先证明

$$\begin{equation} x_i(t)>0 ,\ t\in [0, \eta(\varphi)),\ i\in J. %$$ \end{equation}$$

(2.1)

利用反证法,假设(2.1)式不成立, 那么必存在 $i\in J$ 和 $T\in [0,\eta(\varphi))$ 使得

$$\begin{equation} x _{i}(T) =0,\ x _{j}(t) >0 ,\ t\in (-\infty,T),\ j\in J.% $$ \end{equation}$$

(2.2)

由(1.4)式,有

$$\begin{eqnarray*} x_{i}'(s) &=&-\bigg\{ a_{i}(s)+\sum\limits_{j=1}^{n} [\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) + \tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(s+v){\rm d}v] \bigg\} x_{i}(s) \\ &&+ c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) + \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v ,\ s\in [0,T] \end{eqnarray*}$$

和

$$\begin{eqnarray*} 0 & = & x _{i}(T)\\ & = & x_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{T}\{a_{i}(u)+\sum\limits_{j=1}^{n}[\beta_{ij}(u)x_{j}(u-\tau_{ij}(u)) + \tilde{\beta}_{ij}(u)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(u+v){\rm d}v]\}{\rm d}u}\\ & & + \int_{0}^{T}{\rm e}^{ -\int_{s}^{T}\{a_{i}(u)+\sum\limits_{j=1}^{n}[\beta_{ij}(u)x_{j}(u-\tau_{ij}(u)) + \tilde{\beta}_{ij}(u)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(u+v){\rm d}v]\}{\rm d}u}\\ & & \bigg[ c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) + \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ & \geq &x_{i}(0) {\rm e}^{-\int_{0}^{T}\{a_{i}(u)+\sum\limits_{j=1}^{n}[\beta_{ij}(u)x_{j}(u-\tau_{ij}(u)) + \tilde{\beta}_{ij}(u)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(u+v){\rm d}v]\}{\rm d}u} \\ & > & 0, \end{eqnarray*}$$

这是一个矛盾,因此(2.1) 式成立.

其次证明 $\{x_i(t ): t\in [0,\eta(\varphi)), i\in J\}$ 有界且 $\eta(\varphi)=+\infty$.

令$y (t) = (y_{1}(t),y_{2}(t),\cdots,y_{n}(t))^{T} = ( \xi_{1}^{-1} x_{1}(t) ,\xi_2^{-1} x_{2}(t) ,\cdots,\xi_n^{-1} x_{n}(t) )^{T}.$ 由 $(1.4)$式 有

$$\begin{eqnarray*} y_{i}'(t)&=&-a_{i}(t)y_i (t )+\xi_{i}^{-1} (c_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)x_{j}(t-\tau_{ij}(t)) \\& \ &+\xi_{i}^{-1}(\tilde{c}_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(s)x_{j}(t+s){\rm d}s,\ i\in J. % \ \ \ (2.1) \end{eqnarray*}$$

由 $(H_{2})$,选择一个常数$\lambda \in (0,\min\{\kappa, \min\limits_{i\in J}a_{i} ^{*}\ ^{-}\})$ 使得

$$\begin{eqnarray} && \sup\limits_{t\in R}\bigg\{\lambda-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}F^{i}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} {\rm e}^{ \lambda \tau_{ij} ^{+}} \nonumber \\ && +\xi_{i}^{-1} F^{i}\tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n} \xi_{j}\tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm e}^{-\lambda v }{\rm d}v \bigg\} < 0 . %(2.3) \end{eqnarray}$$

(2.3)

设

$$\begin{equation} \|\varphi \|_{\xi}= \sup\limits_{t\leq 0 }\max\limits_{1\leq i\leq n }\xi_{i}^{-1}|\varphi_{i} (t) | . % \end{equation}$$

(2.4)

对任意 $\varepsilon>0$,有$\left\| y(t) \right\|<({{\left\| \varphi \right\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{-\lambda t}}<M({{\left\| \varphi \right\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{-\lambda t}},\ t\in (-\infty ,0],$ 这里 $M=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{F}^{i}}}+1.$.

下面证明

$\left\| y(t) \right\|<M({{\left\| \varphi \right\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{-\lambda t}},\ t\in [0,\eta (\varphi )).%\text{ }$

(2.5)

否则,必存在 $i\in J$ 和 $\theta \in (0,\eta(\varphi))$ 使得

$$\begin{equation}\left\{ \begin{array}{rcl} |y_{i} (\theta)|&=&\|y(\theta)\| = M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta},\ \ \\ \ \|y(t)\| &<&M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda t} ,\ t \in(-\infty ,\theta). \end{array} \right.% $$ \end{equation}$$

(2.6)

注意到

$$\begin{eqnarray} &&y_{i}'(s)+a_{i}(s)y_i (s ) \nonumber\\&=& \xi_{i}^{-1} (c_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \nonumber\\ & &+\xi_{i}^{-1}(\tilde{c}_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v,\ s\in [0,t],\ t\in [0,\theta]. % (2.7) \end{eqnarray}$$

(2.7)

在(2.7)式的两边乘以 ${\rm e}^{ \int_{0}^{s}a_{i}(u){\rm d}u}$,并在$[0,t]$上积分 ,得

$$\begin{eqnarray} y_{i} (t) &=&y_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{t}a_{i}(u){\rm d}u}+ \int_{0}^{t}{\rm e}^{ -\int_{s}^{t}a_{i}(u){\rm d}u}\bigg[\xi_{i}^{-1} (c_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \nonumber\\ & &+\xi_{i}^{-1}(\tilde{c}_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s,\ t\in [0, \theta]. % (2.8) \end{eqnarray}$$

(2.8)

那么,由(2.3),(2.6)和(2.8)式,有

$$\begin{eqnarray*} |y_{i} (\theta)| &=&y_{i} (\theta)\\ &=&y_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}+ \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}\bigg[\xi_{i}^{-1} (c_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \\& \ &+\xi_{i}^{-1}(\tilde{c}_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ &\leq & y_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}+ \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \\& &+\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ &\leq & y_{i} (0)F^{i} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}+ F^{i}\int_{0}^{\theta}{\rm e}^{-\int_{s}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s )\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)\xi_{j}y_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \\& \ &+\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)\xi_{j}y(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s\\ & \leq & (\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon)F^{i} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}\\& \ &+ F^{i}\int_{0}^{\theta}{\rm e}^{-\int_{s}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s )\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)\xi_{j}M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda (s-\tau_{ij}(s))} \\& \ & +\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)\xi_{j} M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda (s+v)}{\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ & \leq & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta}\bigg\{ \frac{F^{i}}{M} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u}\\& \ &+ \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u}F^{i}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)\xi_{j} {\rm e}^{ \lambda \tau_{ij} ^{+}} \\& \ &+\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\xi_{j}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm e}^{-\lambda v }{\rm d}v\bigg]{\rm d}s \bigg\}\\ & \leq & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta} \bigg[\frac{F^{i}}{M} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u} + \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u}(a^{*}_{i}(s)-\lambda){\rm d}s\bigg]\\ & \leq & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta} \bigg[1-(1-\frac{F^{i}}{M}) {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u} \bigg] \\ &< & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta}, \end{eqnarray*}$$

这与(2.6)式的第一个方程矛盾,所以(2.5) 式成立.令 $\varepsilon\longrightarrow 0^{+}$,由(2.5)式知

$$\|y(t)\| \leq M\|\varphi \|_{\xi}{\rm e}^{-\lambda t} \leq M\|\varphi \|_{\xi} , \ t\in [0,\eta(\varphi)) ,$$

说明集合$\{x_i(t ): t\in [0,\eta(\varphi)),i\in J\}$ 有界. 根据文献[18]中的定理2.3和2.4,易得$\eta(\varphi)=+\infty$. 因此,

$$\|x(t)\|\leq \max\limits_{i\in J}\xi_{i}\|y(t)\| \leq \max\limits_{i\in J}\xi_{i} M\|\varphi \|_{\xi}{\rm e}^{-\lambda t},\ t\in [0,+\infty ),$$

这就完成了定理2.1的证明.

下面处理与模型(1.4)类似的如下系统

$$\begin{eqnarray} x'_{i}(t) &=&-a_{i}(t)x_{i}(t) + (c_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)x_{j}(t-\tau_{ij}(t)) \nonumber\\ & &+(\tilde{c}_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(t) \int^{0}_{-\bar{\tau}_{ij}(t)}K_{ij}(s)x_{j}(t+s){\rm d}s ,\ i\in J, % (2.9) \end{eqnarray}$$

(2.9)

其中 $a_{i}:R\rightarrow R$,$c_{i},\ \beta_{ij},\tilde{c}_{i},\ \tilde{\beta}_{ij},\tau_{ij},\bar{\tau}_{ij}: R \rightarrow [0,+\infty)$ 和 $K_{ij}:[-\bar{\tau}_{ij}^{+},0]\rightarrow [0,+\infty)$ 都是有界连续函数,$i,j\in J.$

令 $\tau=\max\limits_{ i,j\in J}\{\tau_{ij}^{+},\bar{\tau}_{ij}^{+}\} ,$ 和

$$\tilde{C}^{n}_{+}=\underbrace{C([-\tau,0],[0,+\infty))\times C([-\tau,0],[0,+\infty)) \times \cdots\times C([-\tau,0],[0,+\infty))}_n.$$

与系统(2.9)相关的初始条件形式如下

$$x_{i}(s)=\varphi_{i}(s),s\in [-\tau,0],\ \varphi_{i}(0)>0,i\in J, \ \varphi=(\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n)\in \tilde{C}^{n}_+ .$$

(2.10)

与定理2.1的论证类似,我们得到

定理 2.2 假设$(H_{1})$ 成立, 存在正的常数 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}$ 使得

$$\sup\limits_{t\in R }\bigg\{-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} +\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\bar{\tau}_{ij}(t)}K_{ij}(v) {\rm d}v\xi_{j} \bigg\} < 0 ,\ i\in J.$$

设初值问题$(2.9)$和$(2.10)$的解为 $x(t;0,\varphi) =(x_{1}(t), x_{2}(t),\cdots,x_{n}(t))^{T}$ ,并记其最大右存在区间为 $[0,\eta(\varphi))$. 则当 $x_i(t)\geq 0 ,\ t\in [0,\ \eta(\varphi)), i\in J,$ 集合 $\{x_i(t ): t\in [0,\eta(\varphi)), i\in J\}$ 有界,且 $\eta(\varphi)=+\infty$. 此外,当 $t\rightarrow+\infty$时,$x(t;0,\varphi)$ 指数收敛于 $(0, 0,\cdots,0)^{T}$.

注 2.1 当 $a_{i}(t)\equiv a_{i}^{*}(t) (i\in J)$ 不震动时,在

$$-[a_{i }(t )-\lambda] + \sum_{j=1}^{n}c_{i }(t )\beta_{ij}(t ) {\rm e}^{\lambda \max\limits_{ i,j\in J}\{\tau_{ij}^{+}\} } <0, \lambda \mbox{ 为一个正的常数 ,}\ i \in J$$

(2.11)

和

$$-[a_{i }(t )-\lambda] + \sum_{j=1}^{n}c_{i }(t )\beta_{ij}(t ) \int^{0}_{-\tau_{ij}^{+}}K_{ij}(s){\rm d}s < 0, \lambda \mbox{ 为一个正的常数,}\ i \in J$$

(2.12)

的假设下,系统(1.1)和(2.9)的指数收敛性分别在文献[14, 16]和^[15]已经得证. 显然,(2.11)式是条件$(H_{2})$ 在 $a(t)\equiv a^{*}(t)$和 $\tilde{\beta}_{ij}(t)\equiv 0$的特殊情形, (2.12)式是条件$(H_{2})$ 的当$a(t)\equiv a^{*}(t)$ 和 $\beta _{ij}(t )\equiv 0$的特殊情形. 所以文献[14, 16] 和^[15]的结果分别是本文定理2.1和2.2的推论.因此, 本文的结论改进和扩展了先前文献的结果.

例 3.1 考虑如下带有时滞和震动恢复率的传染病模型

$\left\{ \begin{align} & {{x}_{{{1}'}}}(t)\text{=}-(18+20\sin 2000t){{x}_{1}}(t)+(2-{{x}_{1}}(t))[{{\sin }^{2}}\sqrt{3}t{{x}_{1}}(t-{{\cos }^{2}}t) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{\sin }^{2}}t{{x}_{2}}(t-{{\cos }^{4}}(t)]+\frac{1}{100}(2-{{x}_{1}}(t))[{{\sin }^{2}}\sqrt{3}t)\int_{-\infty }^{0}{{{\text{e}}^{s}}}{{x}_{1}}(t+s)\text{d}s \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{\sin }^{2}}\sqrt{3}t\int_{-\infty }^{0}{{{\text{e}}^{s}}}{{x}_{2}}(t+s)\text{d}s], \\ & {{x}_{{{2}'}}}(t)\text{=}-(18+20\cos 2000t){{x}_{2}}(t)+(2-{{x}_{2}}(t))[{{\cos }^{2}}\sqrt{3}t{{x}_{1}}(t-{{\cos }^{2}}t) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{\cos }^{2}}t{{x}_{2}}(t-{{\cos }^{4}}(t))]+\frac{1}{100}(2-{{x}_{2}}(t))[{{\cos }^{2}}\sqrt{3}t\int_{-\infty }^{0}{{{\text{e}}^{s}}}{{x}_{1}}(t+s)\text{d}s \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{{\cos }^{2}}\sqrt{3}t\int_{-\infty }^{0}{{{\text{e}}^{s}}}{{x}_{2}}(t+s)\text{d}s]. \\ \end{align} \right.$

(3.1)

显然,

$$a_{1}(t)=18+20\sin 2000 t,\ a_{2}(t)=18+20\cos 2000 t,\ a_{1}^{*}(t)=a_{2}^{*}(t)=18,\xi_{i} =1.$$

$${\rm e}^{-\int_{s}^{t}a_{i}(u){\rm d}u}\leq {\rm e}^{\frac{1}{100}} {\rm e}^{-18(t-s)},\ t,s\in R ,\ t-s\geq 0, i=1,2.$$

$$\begin{eqnarray*} &&\sup\limits_{t\in R }\bigg\{-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}F^{i}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} +\xi_{i}^{-1} F^{i}\tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm d}v\xi_{j} \bigg\} \\ &\leq &-18+ {\rm e}^{\frac{1}{100}}(2+2+2+2)<-1 ,\ \xi_{i} =1,\ i=1,2. \end{eqnarray*}$$

即系统(3.1)满足了定理2.1的所有条件.故当$t\rightarrow+\infty$时, 系统(3.1)具有初值$\varphi \in C_{+}$条件下的所有解指数收敛于$(0, 0)$.数值模拟验证了此结果(见图 1).

注 3.1 系统(3.1)是一个带有震动恢复率$a_{1}(t)=18+20\sin 2000 t$ 和 $a_{2}(t)=18+20\cos 2000 t$的简单传染病模型,很显然,文献[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16]和其中的参考文献的所有结果不能 直接获得系统(3.1)的所有解的指数收敛性, 这说明本文结论是全新的.