为了描述淋病和其他传染病的传播动态,文献[1, 2, 3, 4, 5] 建立和研究了一类非线性时滞微分系统

文献[6, 7, 8, 9, 10]的作者们在系统(1.1)中考虑了连续分布时滞,得到如下系统

系统(1.2)比系统(1.1)更符合实际,其中$c_{i}(t)$是第$i$个区域无病易感者数量 (如果不被传染就不会变成染病者), $x_{i}(t)$表示第$i$个区域在t时刻染病者数量,$\beta_{ij}(t)$ 是第$j$个区域的染病者对 第$i$个区域易感者在t时刻的传染率,$a_{i}(t)$表示第$i$个区域染病者的恢复率, $ \tau_{ij}(t)\geq 0$表示病毒 在体内的潜伏期,即染病者发病到感染其他人的时段.此外,此模型染病者不会死亡并且不具有免疫力.

收敛性在动力系统行为特征中扮演着关键的角色,种群动力学模型解的收敛性研究已经取 得了广泛的结果(见文献[11, 12, 13]). 特别地,恢复率函数$a_{i}(t)$为不震动时,即

系统(1.1)和(1.2)已经建立了非震动条件下确保解收敛的若干充分性条件, 其结论可见文献[1, 2, 3, 4, 5, 14, 16] 和 ^{[6, 7, 8, 9, 10, 15]}.

另一方面,文献[17]指出,随着季节波动,震动系数出现在线性种群动力学模型方程中, 在某些季节死亡率(收获率) 可能会大于出生率,此外由于缺乏药物和及时治疗,某些突发传染病会出现负恢复率. 那么,一个问题自然产生了: 寻求确立带有震动恢复率的系统(1.1)和(1.2)的全局指数稳定性的条件.基于上述讨论, 本文中我们将研究如下 带有时变时滞和连续分布时滞传染病模型的指数稳定性

其中 $ a_{i}:R\rightarrow R$,$ c_{i},\ \beta_{ij},\tilde{c}_{i},\ \tilde{\beta}_{ij},\tau_{ij}:R\rightarrow [0,+\infty) $ 和 $K_{ij}:(-\infty,0]\rightarrow [0,+\infty)$是有界连续函数,且 $K_{ij}(t) {\rm e}^{\kappa t}$ 在$[0,+\infty)$可积, $\kappa$为一个确定正的常数,$ i,\ j\in J.$ 显然,方程(1.1)和(1.2)是模型(1.4) 的特殊情形.

基于模型(1.4)的生物学意义,我们只考虑如下初始条件

这里

$$C_{+}=\underbrace{C^{B}((-\infty,0],[0, +\infty))\times C^{B}((-\infty,0],[0,+\infty)) \times \cdots\times C^{B}((-\infty,0],[0,+\infty))}_n, $$

且 $C^{B}((-\infty,0],[0,+\infty))$ 是有界连续函数的集合.

本文主要目的是在舍弃假设(1.3)的前提下,给出初值问题$(1.4)$和$(1.5)$的全局指数稳定性的充分 条件. 据我们所知,具有震动恢复率的模型$(1.4)$的收敛性问题未见他人研究,本 文的结果是全新的. 本文第三部分数值模拟例子很好地说明了我们结果的有效性.

本文假设以下条件成立.

$ (H_{1})$ 存在一个正的常数$F^{i}$ 和一个连续函数 $a_{i}^{*} :R\rightarrow (0,\ +\infty)$ 使得

$$ {\rm e}^{ -\int_{s}^{t}a_{i}(u){\rm d}u}\leq F^{i} {\rm e}^{-\int_{s}^{t}a_{i}^{*}(u){\rm d}u} \ \mbox{ } t,s\in R,\mbox{ }t-s\geq 0, \ i\in J; $$

$(H_{2})$ 存在正的常数 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}$ 使得

$$ \sup\limits_{t\in R}\bigg\{-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}F^{i}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} +\xi_{i}^{-1} F^{i}\tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\xi_{j} \tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm d}v\bigg\} < 0 ,\ i\in J. $$

为了方便,我们介绍一些符号.

$$ |x|=(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\ \cdots,|x_{n}|)^{T}, \|x\|=\max\limits_{1\leq i\leq n} |x_{i}|, g^{+}=\sup\limits_{t\in R}|g(t)|, g^{-}=\inf\limits_{t\in R}|g(t)|. $$

记初值问题$(1.4)$和$(1.5)$的解为$ x(t;0,\varphi)= (x_{1}(t; 0,\varphi), x_{2}(t;0,\varphi),\cdots,x_{n}(t; 0,\varphi))^{T} $, 并记其最大右存在区间为$[0,\eta(\varphi))$.

定理 2.1 假设 $ (H_{1}) $ 和$ (H_{2}) $ 成立. 则,当$ x_i(t; 0,\varphi)>0 ,t\in [0, \eta(\varphi)),\ i\in J,$ 集合 $\{x_i(t; 0,\varphi ): t\in [0,\eta(\varphi)), i\in J\}$ 有界,且 $\eta(\varphi)=+\infty$. 此外,当 $t\rightarrow+\infty$时,$ x(t;0,\varphi)= (x_{1}(t; 0,\varphi), x_{2}(t;0,\varphi),\cdots,x_{n}(t; 0,\varphi))^{T}$ 收敛于$(0,0,\cdots,0)^{T}$.

证 令

$$ (x_{1}(t), x_{2}(t),\cdots,x_{n}(t))^{T}=(x_{1}(t; t_{0},\varphi),x_{2}(t; t_{0},\varphi),\cdots,x_{n}(t; t_{0},\varphi))^{T}. $$

首先证明

利用反证法,假设(2.1)式不成立, 那么必存在 $i\in J$ 和 $T\in [0,\eta(\varphi))$ 使得

由(1.4)式,有

\begin{eqnarray*} x_{i}'(s) &=&-\bigg\{ a_{i}(s)+\sum\limits_{j=1}^{n} [\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) + \tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(s+v){\rm d}v] \bigg\} x_{i}(s) \\ &&+ c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) + \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v ,\ s\in [0,T] \end{eqnarray*}

和

\begin{eqnarray*} 0 & = & x _{i}(T)\\ & = & x_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{T}\{a_{i}(u)+\sum\limits_{j=1}^{n}[\beta_{ij}(u)x_{j}(u-\tau_{ij}(u)) + \tilde{\beta}_{ij}(u)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(u+v){\rm d}v]\}{\rm d}u}\\ & & + \int_{0}^{T}{\rm e}^{ -\int_{s}^{T}\{a_{i}(u)+\sum\limits_{j=1}^{n}[\beta_{ij}(u)x_{j}(u-\tau_{ij}(u)) + \tilde{\beta}_{ij}(u)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(u+v){\rm d}v]\}{\rm d}u}\\ & & \bigg[ c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) + \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ & \geq &x_{i}(0) {\rm e}^{-\int_{0}^{T}\{a_{i}(u)+\sum\limits_{j=1}^{n}[\beta_{ij}(u)x_{j}(u-\tau_{ij}(u)) + \tilde{\beta}_{ij}(u)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v )x_{j}(u+v){\rm d}v]\}{\rm d}u} \\ & > & 0, \end{eqnarray*}

这是一个矛盾,因此(2.1) 式成立.

其次证明 $\{x_i(t ): t\in [0,\eta(\varphi)), i\in J\}$ 有界且 $\eta(\varphi)=+\infty$.

令$ y (t) = (y_{1}(t),y_{2}(t),\cdots,y_{n}(t))^{T} = ( \xi_{1}^{-1} x_{1}(t) ,\xi_2^{-1} x_{2}(t) ,\cdots,\xi_n^{-1} x_{n}(t) )^{T}. $ 由 $ (1.4) $式 有

\begin{eqnarray*} y_{i}'(t)&=&-a_{i}(t)y_i (t )+\xi_{i}^{-1} (c_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)x_{j}(t-\tau_{ij}(t)) \\& \ &+\xi_{i}^{-1}(\tilde{c}_{i}(t)-x_{i}(t))\sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(s)x_{j}(t+s){\rm d}s,\ i\in J. % \ \ \ (2.1) \end{eqnarray*}

由 $(H_{2})$,选择一个常数$\lambda \in (0,\min\{\kappa, \min\limits_{i\in J}a_{i} ^{*}\ ^{-}\}) $ 使得

设

对任意 $\varepsilon>0$,有$\left\| y(t) \right\|<({{\left\| \varphi \right\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{-\lambda t}}<M({{\left\| \varphi \right\|}_{\xi }}+\varepsilon ){{\text{e}}^{-\lambda t}},\ t\in (-\infty ,0],$ 这里 $M=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{F}^{i}}}+1.$.

下面证明

否则,必存在 $i\in J$ 和 $ \theta \in (0,\eta(\varphi)) $ 使得

注意到

在(2.7)式的两边乘以 ${\rm e}^{ \int_{0}^{s}a_{i}(u){\rm d}u} $,并在$ [0,t]$上积分 ,得

那么,由(2.3),(2.6)和(2.8)式,有

\begin{eqnarray*} |y_{i} (\theta)| &=&y_{i} (\theta)\\ &=&y_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}+ \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}\bigg[\xi_{i}^{-1} (c_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \\& \ &+\xi_{i}^{-1}(\tilde{c}_{i}(s)-x_{i}(s))\sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ &\leq & y_{i} (0) {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}+ \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}a_{i}(u){\rm d}u}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)x_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \\& &+\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)x_{j}(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ &\leq & y_{i} (0)F^{i} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}+ F^{i}\int_{0}^{\theta}{\rm e}^{-\int_{s}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s )\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)\xi_{j}y_{j}(s-\tau_{ij}(s)) \\& \ &+\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)\xi_{j}y(s+v){\rm d}v\bigg]{\rm d}s\\ & \leq & (\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon)F^{i} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}\\& \ &+ F^{i}\int_{0}^{\theta}{\rm e}^{-\int_{s}^{\theta}a^{*}_{i}(u){\rm d}u}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s )\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)\xi_{j}M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda (s-\tau_{ij}(s))} \\& \ & +\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v)\xi_{j} M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda (s+v)}{\rm d}v\bigg]{\rm d}s \\ & \leq & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta}\bigg\{ \frac{F^{i}}{M} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u}\\& \ &+ \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u}F^{i}\bigg[ \xi_{i}^{-1}c_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(s)\xi_{j} {\rm e}^{ \lambda \tau_{ij} ^{+}} \\& \ &+\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(s) \sum_{j=1}^{n}\xi_{j}\tilde{\beta}_{ij}(s)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm e}^{-\lambda v }{\rm d}v\bigg]{\rm d}s \bigg\}\\ & \leq & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta} \bigg[\frac{F^{i}}{M} {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u} + \int_{0}^{\theta}{\rm e}^{ -\int_{s}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u}(a^{*}_{i}(s)-\lambda){\rm d}s\bigg]\\ & \leq & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta} \bigg[1-(1-\frac{F^{i}}{M}) {\rm e}^{-\int_{0}^{\theta}(a^{*}_{i}(u)-\lambda){\rm d}u} \bigg] \\ &< & M(\|\varphi \|_{\xi}+\varepsilon){\rm e}^{-\lambda \theta}, \end{eqnarray*}

这与(2.6)式的第一个方程矛盾,所以(2.5) 式成立.令 $\varepsilon\longrightarrow 0^{+}$,由(2.5)式知

$$\|y(t)\| \leq M\|\varphi \|_{\xi}{\rm e}^{-\lambda t} \leq M\|\varphi \|_{\xi} , \ t\in [0,\eta(\varphi)) , $$

说明集合$\{x_i(t ): t\in [0,\eta(\varphi)),i\in J\}$ 有界. 根据文献[18]中的定理2.3和2.4,易得$\eta(\varphi)=+\infty$. 因此,

$$\|x(t)\|\leq \max\limits_{i\in J}\xi_{i}\|y(t)\| \leq \max\limits_{i\in J}\xi_{i} M\|\varphi \|_{\xi}{\rm e}^{-\lambda t},\ t\in [0,+\infty ),$$

这就完成了定理2.1的证明.

下面处理与模型(1.4)类似的如下系统

其中 $ a_{i}:R\rightarrow R$,$ c_{i},\ \beta_{ij},\tilde{c}_{i},\ \tilde{\beta}_{ij},\tau_{ij},\bar{\tau}_{ij}: R \rightarrow [0,+\infty) $ 和 $K_{ij}:[-\bar{\tau}_{ij}^{+},0]\rightarrow [0,+\infty)$ 都是有界连续函数,$ i,j\in J.$

令 $\tau=\max\limits_{ i,j\in J}\{\tau_{ij}^{+},\bar{\tau}_{ij}^{+}\} ,$ 和

$$\tilde{C}^{n}_{+}=\underbrace{C([-\tau,0],[0,+\infty))\times C([-\tau,0],[0,+\infty)) \times \cdots\times C([-\tau,0],[0,+\infty))}_n.$$

与系统(2.9)相关的初始条件形式如下

与定理2.1的论证类似,我们得到

定理 2.2 假设$ (H_{1}) $ 成立, 存在正的常数 $\xi_{1},\xi_{2},\cdots,\xi_{n}$ 使得

$$ \sup\limits_{t\in R }\bigg\{-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} +\xi_{i}^{-1} \tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\bar{\tau}_{ij}(t)}K_{ij}(v) {\rm d}v\xi_{j} \bigg\} < 0 ,\ i\in J. $$

设初值问题$(2.9)$和$(2.10)$的解为 $ x(t;0,\varphi) =(x_{1}(t), x_{2}(t),\cdots,x_{n}(t))^{T} $ ,并记其最大右存在区间为 $[0,\eta(\varphi))$. 则当 $x_i(t)\geq 0 ,\ t\in [0,\ \eta(\varphi)), i\in J,$ 集合 $\{x_i(t ): t\in [0,\eta(\varphi)), i\in J\}$ 有界,且 $\eta(\varphi)=+\infty$. 此外,当 $t\rightarrow+\infty$时,$ x(t;0,\varphi)$ 指数收敛于 $(0, 0,\cdots,0)^{T}$.

注 2.1 当 $a_{i}(t)\equiv a_{i}^{*}(t) (i\in J)$ 不震动时,在

和

的假设下,系统(1.1)和(2.9)的指数收敛性分别在文献[14, 16]和^[15]已经得证. 显然,(2.11)式是条件$(H_{2}) $ 在 $a(t)\equiv a^{*}(t)$和 $\tilde{\beta}_{ij}(t)\equiv 0$的特殊情形, (2.12)式是条件$ (H_{2}) $ 的当$a(t)\equiv a^{*}(t)$ 和 $ \beta _{ij}(t )\equiv 0$的特殊情形. 所以文献[14, 16] 和^[15]的结果分别是本文定理2.1和2.2的推论.因此, 本文的结论改进和扩展了先前文献的结果.

例 3.1 考虑如下带有时滞和震动恢复率的传染病模型

显然,

$$a_{1}(t)=18+20\sin 2000 t,\ a_{2}(t)=18+20\cos 2000 t,\ a_{1}^{*}(t)=a_{2}^{*}(t)=18,\xi_{i} =1. $$

$$ {\rm e}^{-\int_{s}^{t}a_{i}(u){\rm d}u}\leq {\rm e}^{\frac{1}{100}} {\rm e}^{-18(t-s)},\ t,s\in R ,\ t-s\geq 0, i=1,2. $$

\begin{eqnarray*} &&\sup\limits_{t\in R }\bigg\{-a_{i} ^{*}(t) +\xi_{i}^{-1}F^{i}c_{i}(t) \sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}(t)\xi_{j} +\xi_{i}^{-1} F^{i}\tilde{c}_{i}(t) \sum_{j=1}^{n} \tilde{\beta}_{ij}(t)\int^{0}_{-\infty}K_{ij}(v) {\rm d}v\xi_{j} \bigg\} \\ &\leq &-18+ {\rm e}^{\frac{1}{100}}(2+2+2+2)<-1 ,\ \xi_{i} =1,\ i=1,2. \end{eqnarray*}

即系统(3.1)满足了定理2.1的所有条件.故当$t\rightarrow+\infty$时, 系统(3.1)具有初值$\varphi \in C_{+}$条件下的所有解指数收敛于$(0, 0)$.数值模拟验证了此结果(见图 1).

图 1

Fig. 1

图 1 系统(3.1)在初值$ \varphi(s)\equiv (7,8)^T, (1,1)^T,(6,3)^T$ 下的数值解

注 3.1 系统(3.1)是一个带有震动恢复率$ a_{1}(t)=18+20\sin 2000 t $ 和 $ a_{2}(t)=18+20\cos 2000 t$的简单传染病模型,很显然,文献[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16]和其中的参考文献的所有结果不能 直接获得系统(3.1)的所有解的指数收敛性, 这说明本文结论是全新的.