广义 Loewner 矩阵和广义 Pick 矩阵在求解 Stieltjes,Nevanlinna, Carath\'{e}odory 以及 Schur 函数类中的 Nevanlinna-Pick 插值问题中有着重要的应用, 如见文献[1, 2, 11]. 近年来,国内外许多文献研究了广义 Loewner矩阵和 Pick 矩阵的秩不变性. 其中,Fritzsche,Kirstein 和 Lasarow[4, 5, 6, 7] 研究了由 Carath\'{e}odory 函数和 Schur 函数生成的广义 Pick 矩阵的秩不变性; 胡永建和陈公宁[9]证明了由 Nevanlinna 函数生成的广义 Loewner 矩阵的秩不变性; 贺勤,徐清舟和陈公宁[10] 利用 Toeplitz 向量方法,证明了由 Carath\'{e}odory 函数生成的广义 Pick 矩阵的秩不变性.
本文主要研究由 Stieltjes 函数生成的两类广义 Loewner 矩阵的秩不变性,利用广义 Loewner 矩阵和 Hankel 矩阵之间的联系,以及 Stieltjes 矩量问题的相关结果[1, 8, 11], 证明了由 Stieltjes 函数生成的第一类同型的广义 Loewner 矩阵的秩是相等的,而第二类同型的广义 Loewner 矩阵的秩相等,或者相差1.
用 Cm×n 表示全体 m×n 阶复矩阵构成的集合. 设 A,B 为同型的 Hermite 矩阵,用记号 A≥B(A>B)表示 A−B 是 Hermite 半正定(正定)矩阵. 如果 f(z) 在开的上半复平面 C+ 内解析, 在负半实轴 (−∞,0) 上连续且非负,并且在 C+ 内具有非负的虚部, 则称 f(z) 为 Stieltjes 函数,记 S 为全体 Stieltjes 函数构成的集合. 众所周知,函数 f(z)∈S 当且仅当有如下积分表示[1, 11]
其中,α≥0, τ(u) 是区间 [0,+∞) 上的正测度并且满足
对任意f(z)∈S,应用反射 f(z)=¯f(ˉz), 总可以将f(z)的定义域解析开拓到开的下半复平面 C−.
设 z1,⋯,zρ是 C+内 ρ个不同的点, 重数分别为 τ1,⋯,τρ; 设 α1,⋯,αθ是 (−∞,0)内 θ个不同的点,重数分别为 ν1,⋯,νθ. 用 Δ 表示由下列有序数对构成的数据集
记 N=2ρ∑i=1τi+θ∑j=1νj, 称N为 Δ 的维数. 用 F+N 表示所有形如(2.1)式的维数为 N 的数据集 Δ 构 成的集合. 对任意 Δ∈F+N,我们都可以将它划分为一对数据集 {Δ1,Δ2},其中
其维数分别为m=u∑i=1mi,n=v∑j=1nj. 这里,m+n=N, 且 x1,⋯,xu (y1,⋯,yv) 互不相同, 重数分别为 m1,⋯,mu (n1,⋯,nv). 进一步地,如果 xi=yj=zk (¯zk, αk), 则 mi+nj=τk (τk, νk). 这里, 称由(2.2)式给出的一对数据集 {Δ1,Δ2} 为 Δ 的一个 (m,n) -劈分.
设f(z)∈s,{Δ1,Δ2} 为数据集 Δ∈F+N 的一个 (m,n) -劈分,定义如下形式的 m×n 阶广义 Loewner 矩阵
式中元素 pklij 由下式给出
设f(z)∈S, m,n 为正整数且满足 m+n=N. 选取不同的 Δ∈F+N 或 Δ的不同的 (m,n) -劈分,可以得到一系列 m×n 广义 Loewner 矩阵. 我们称这样的矩阵为由 Stieltjes 函数f(z)生成的第一类广义 Loewner 矩阵. 将所有第一类 m×n 广义 Loewner 矩阵构成的集合记作 Mm,n(f). 本文将证明集合 Mm,n(f) 中的所有矩阵都具有相同的秩(见定理5.1), 或者等价地,由f(z)生成的第一类同型的广义 Loewner 矩阵的秩与 Δ∈F+N 及 Δ 的 (m,n) -劈分的选取无关, 这里,m+n=N.
如果用 zf(z) 替换(2.3)和(2.4)式中的 f(z),我们将得到广义 Loewner 矩阵PΔ1,Δ2zf,称之为由 Stieltjes 函数f(z)生成的第二类广义 Loewner 矩阵. 为方便起见,用 ˜Mm,n(f) 表示所有由函数 f(z) 生成的第二类 m×n 广义 Loewner 矩阵构成的集合. 本文将证明集合 ˜Mm,n(f) 中的所有矩阵的秩或者相等, 或者相差1 (见定理5.2). 特别地,如果 f(z) 具有积分表达式(1.1)且 α=0 ,则由f(z)生成的第二类同型的广义 Loewner 矩阵的秩相等.
本节将给出由 Stieltjes 函数 f(z) 生成的第一类和第二类 m×n 广义 Loewner 矩阵与 [0,+∞) 上的正测度生成的 m×n Hankel 矩阵之间的联系.
设 Δ∈F+N,{Δ1,Δ2} 是 Δ 的一个 (m,n) -劈分. 定义
容易验证,p(z) 是一个N次首一的实系数多项式,并且p(z) 在区间 [0,+∞) 上恒大于0. 根据 Δ 的 (m,n) -劈分 {Δ1,Δ2} 我们可将 p(z) 分解为两个首一多项式 p1(z) 和 p2(z) 的乘积,次数分别为 m 和 n
下面引入两组多项式
那么,{pik1(z)}u,mi−1i=1,k=0 和 {pjl2(z)}v,nj−1j=1,l=0 分别是多项式线性空间 Pm−1 和 Pn−1 的一组基.
用 WΔ1 和 WΔ2 分别表示 Pm−1 和 Pn−1 的标准基 {1,z,⋯,zm−1} 和 {1,z,⋯,zn−1} 到基 {pik1(z)}u,mi−1i=1,k=0 和 {pjl2(z)}v,nj−1j=1,l=0 的过渡矩阵,即
显然,WΔ1∈Cm×m 和 WΔ2∈Cn×n 都是非奇异矩阵.
设f(z)∈S 具有积分表示(1.1),p(z) 由(3.1)式给出. 定义实数序列
其中 τ 由(1.1)和(1.2)式给出.
下面的定理给出了由f(z)生成的第一类广义 Loewner 矩阵 PΔ1,Δ2f 和由实数 s(τ,p)i (i=0, 1,⋯,N−2) 构成的 Hankel 矩阵之间的联系.
定理3.1 设 f(z)∈S 具有积分表示 (1.1),{Δ1,Δ2} 是 Δ∈F+N 的一个 (m,n) -劈分,PΔ1,Δ2f, WΔi (i=1,2) 分别由 (2.3)-(2.4)式 和 (3.2)-(3.4)式给出. 则
其中 H(τ,p)m,n=(s(τ,p)i+j)m−1,n−1i,j=0∈Cm×n, 这里 s(τ,p)i (i=0,1,⋯,N−2) 由 (3.5)式定义.
证 利用(2.4)式和 f(z) 的积分表示(1.1),对所有 k,l,i,j, 我们有
其中,pik1(z) 和 pjl2(z) 由 (3.3)式给出. 于是由 (3.4)和 (3.5)式知,
因此结论得证.
对任意α≥0,常函数 f(z)≡α 是一个 Stieltjes 函数, 于是 PΔ1,Δ2zα 是第二类广义 Loewner 矩阵
通过直接计算,我们得到如下引理
引理3.1 设 α≥0,{Δ1,Δ2} 是 Δ∈F+N 的一个 (m,n) -劈分,WΔi (i=1,2) 是由 (3.2)-(3.4)式给出的过渡矩阵,则
证 由(3.4)式,过渡矩阵 WΔ1,WΔ2 的最后一列分别为如下两个向量
则
结论得证.
类似于定理3.1和引理3.1的证明,我们可以得到第二类广义 Loewner 矩阵 PΔ1,Δ2zf 和由实数 s(τ,p)i (i=1,2,⋯,N−1) 构成的 Hankel 矩阵之间的联系.
定理3.2 设 f(z)∈S 具有积分表示 (1.1),{Δ1,Δ2} 是 Δ∈F+N 的一个 (m,n) -劈分,PΔ1,Δ2zf, WΔi (i=1,2) 分别由 (2.3)-(2.4)和(3.2)-(3.4)式给出,则
其中 ˜H(τ,p)m,n=(s(τ,p)i+j+1)m−1,n−1i,j=0∈Cm×n,这里 s(τ,p)i (i=1,2,⋯,N−1) 由 (3.5)式定义.
证 由于 f(z) 有积分表示(1.1),因此 f(z)−α 是一个 Stieltjes 函数. 在(2.4)式中用 z(f(z)−α) 替换 f(z),于是
利用(3.4)和(3.5)式,上述等式可以表示为矩阵乘积的形式
另一方面,由第二类广义 Loewner 矩阵的定义可知
将(3.7)和(3.9)式代入(3.10)式中,即得到 (3.8)式,定理得证.
定理 3.1 和定理 3.2 表明研究由 Stieltjes 函数生成的第一类和第二类广义 Loewner 矩阵的秩特征可以转化为研究区间 [0,+∞) 上的正测度生成的 Hankel 矩阵的秩特征.
设 s(τ,p)i (i=0,1,⋯,N−1)由 (3.5)式定义. 考察 Stieltjes 矩量问题(SM): 求区间 [0,+∞) 上的所有正测度 σ(u), 满足
显然,SM 问题 (4.1) 总是可解的. 例如,由下式给出的正测度 τp(u)就是 SM 问题(4.1)的一个解.
利用 Stieltjes 矩量问题的解[1, 8, 11],可以证明如下定理
定理4.1 设 H(τ,p)k,l=(s(τ,p)i+j)k−1,l−1i,j=0, \tilde{H}(τ,p)k,l=(s(τ,p)i+j+1)k−1,l−1i,j=0 (k+l≤N),则
其中 r=min{k,l}.
证 当 k=l 时结论显然成立. 只需证明当 k≠l 时结论成立即可.
不失一般性,假设 k<l,则 r=k. 注意到 SM 问题(4.1) 总是可解的,根据文献[8] 中给出的 SM 问题的解的参数化表示形式,总存在 SM 问题(4.1)的一个解 σ(u) 满足 ϕ(z)=∫+∞0(u−z)−1dσ(u), 并且ϕ(z)是一个有理 Stieltjes 函数. 设 ϕ(z) 在 z=∞ 处的展开式为
则由文献[8,引理 2.2]可得
由于(4.2)式定义的 τp(u) 是 SM 问题(4.1)的解,故 si=s(τ,p)i (i=0,1,⋯,N−1). 基于以下事实
其中 A=(si+j)k−1,l−1i=0,j=k,B=(si+j)l−1i,j=k, 可以推出 R(A)⊆R(H(τ,p)k,k),从而 rank(H(τ,p)k,l)=rank(H(τ,p)k,k,A)=rank(H(τ,p)k,k).
类似地,
其中 ˜A=(si+j+1)k−1,l−1i=0,j=k,˜B=(si+j+1)l−1i,j=k. 由 ˜H 的非负性,可以得出 R(˜A)⊆R(˜H(τ,p)k,k), 所以 rank(˜H(τ,p)k,l)=rank(˜H(τ,p)k,k,˜A)=rank(˜H(τ,p)k,k). 定理得证.
设 N 是一个给定的正整数,τ(u) 是 f(z) 的积分表示 (1.1)中的正测度. 令
利用实数 s(τ,p0)i (i=0,1,⋯,N−1)可定义两个 Hankel 矩阵
下面的定理表明: 对于由(3.1)式给出的任意实多项式 p(z),H(τ,p)r,r 和 ˜H(τ,p)r,r 的秩是不变的,并且分别等于 H(τ,p0)r,r, ˜H(τ,p0)r,r 的秩.
证 由于 p(z) 和 p0(z) 都是次数为 N 的实多项式并且在区间 [0,+∞) 上恒大于0,因此实函数 g(u)=p(u)p0(u)−1 (0≤u<+∞) 在区间 [0,+∞) 上连续有界并且恒大于0. 故总存在两个正数 c1 和 c2 使得对任意 u∈[0,+∞),都有 c1≤g(u)≤c2,或者等价地,c1p(u)−1≤p0(u)−1≤c2p(u)−1 (0≤u<+∞). 由此得出如下两个不等式链
和
再由 (3.5) 和 (4.3)式可得, c1H(τ,p)r,r≤H(τ,p0)r,r≤c2H(τ,p)r,r, c1˜H(τ,p)r,r≤˜H(τ,p0)r,r≤c2˜H(τ,p)r,r. 注意到 H(τ,p)r,r 和 ˜H(τ,p)r,r 都是 Hermite 正定(半正定)矩阵. 因此(4.4)式得证.
本节利用第一类和第二类广义 Loewner 矩阵与区间 [0,+∞) 上某个正测度生成的 Hankel 矩阵之间的联系,证明这两类广义 Loewner 矩阵的秩不变性.
定理5.1 设 f(z)∈S,m,n 为给定的正整数,则矩阵 PΔ1,Δ2f∈Mm,n(f) 具有相同的秩.
证 设 f(z) 具有积分表示 (1.1),对任意 Δ∈F+N 和 Δ 的任意 (m,n) -劈分 {Δ1,Δ2},由定理 3.1 可知
其中 p(z) 是由(3.1)式给出的多项式. 另一方面,由定理4.1和定理4.2知,
其中 r=min{m,n},p0(z)=(1+z)N. 结合(5.1)和(5.2)式, 可知广义 Loewner 矩阵 PΔ1,Δ2f 的秩和 Δ 及其 (m,n) -劈分 {Δ1,Δ2} 的选取无关,并且它的秩等于 Hankel 矩阵 H(τ,p0)r,r 的秩. 定理得证.
类似于定理5.1,我们可以证明如下定理.
定理5.2 设 f(z)∈S,m,n 为给定的正整数,则矩阵 PΔ1,Δ2zf∈˜Mm,n(f) 的秩或者相等,或者相差1.
证 设 f(z)∈S 具有积分表示(1.1),对任意 Δ∈F+N 和 Δ 的任意 (m,n) -劈分 {Δ1,Δ2},由定理3.2可知
其中 p(z) 是由(3.1)式给出的多项式. 因此,
另一方面,由定理4.1和定理4.2可知
其中 r=min{m,n},p0(z)=(1+z)N. 将({5.4})式代入({5.3})式可得
上述不等式组说明所有广义 Loewner 矩阵 PΔ1,Δ2zf 的秩或者相等, 或者相差1. 定理得证.
利用定理5.2的证明可知,如果 f(z) 具有积分表示(1.1),并且 α=0, 则所有第二类 m×n 广义 Loewner 矩阵 PΔ1,Δ2zf∈˜Mm,n(f) 具有相同的秩.