广义 Loewner 矩阵和广义 Pick 矩阵在求解 Stieltjes,Nevanlinna, Carath\'{e}odory 以及 Schur 函数类中的 Nevanlinna-Pick 插值问题中有着重要的应用, 如见文献[1, 2, 11]. 近年来,国内外许多文献研究了广义 Loewner矩阵和 Pick 矩阵的秩不变性. 其中,Fritzsche,Kirstein 和 Lasarow^{[4, 5, 6, 7]} 研究了由 Carath\'{e}odory 函数和 Schur 函数生成的广义 Pick 矩阵的秩不变性; 胡永建和陈公宁^[9]证明了由 Nevanlinna 函数生成的广义 Loewner 矩阵的秩不变性; 贺勤,徐清舟和陈公宁^[10] 利用 Toeplitz 向量方法,证明了由 Carath\'{e}odory 函数生成的广义 Pick 矩阵的秩不变性.

本文主要研究由 Stieltjes 函数生成的两类广义 Loewner 矩阵的秩不变性,利用广义 Loewner 矩阵和 Hankel 矩阵之间的联系,以及 Stieltjes 矩量问题的相关结果^{[1, 8, 11]}, 证明了由 Stieltjes 函数生成的第一类同型的广义 Loewner 矩阵的秩是相等的,而第二类同型的广义 Loewner 矩阵的秩相等,或者相差1.

用 ${\Bbb C}^{m\times n}$ 表示全体 $m\times n$ 阶复矩阵构成的集合. 设 $A,B $ 为同型的 Hermite 矩阵,用记号 $A\geq B(A>B)$表示 $A-B$ 是 Hermite 半正定(正定)矩阵. 如果 $f(z)$ 在开的上半复平面 $ {\Bbb C}^+$ 内解析, 在负半实轴 $(-\infty,0)$ 上连续且非负,并且在 $ {\Bbb C}^+$ 内具有非负的虚部, 则称 $f(z)$ 为 Stieltjes 函数,记 ${\cal S}$ 为全体 Stieltjes 函数构成的集合. 众所周知,函数 $f(z)\in {\cal S}$ 当且仅当有如下积分表示^{[1, 11]}

$\begin{equation}\label{1.1} f(z)=\alpha+\int_0^{+\infty}(u-z)^{-1}{\rm d}\tau(u), \end{equation}$

(1.1)

其中,$\alpha\geq 0,$ $ \tau(u)$ 是区间 $[0,+\infty)$ 上的正测度并且满足

$\begin{equation}\label{1.2} \int_0^{+\infty}(1+u)^{-1}{\rm d}\tau(u)<+\infty. \end{equation}$

(1.2)

对任意$f(z)\in{\cal S}$,应用反射 $f(z)=\overline{f(\bar{z})}$, 总可以将$f(z)$的定义域解析开拓到开的下半复平面 ${\Bbb C}^{-}$.

设 $z_{1},\cdots,z_{\rho}$是 ${\Bbb C}^{+}$内 $\rho$个不同的点, 重数分别为 $\tau_{1},\cdots,\tau_{\rho}$; 设 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{\theta}$是 $(-\infty,0)$内 $\theta$个不同的点,重数分别为 $\nu_{1},\cdots,\nu_{\theta}$. 用 $\Delta$ 表示由下列有序数对构成的数据集

$\begin{equation}\label{2.1} \Delta=\{(z_i,\tau_i)_{i=1}^\rho,\ (\bar{z}_i,\tau_i)_{i=1}^\rho,\ (\alpha_j,\nu_j)_{j=1}^{\theta}\}. \end{equation}$

(2.1)

记 $N=2\sum\limits_{i=1}^\rho\tau_{i}+\sum\limits_{j=1}^\theta\nu_{j},$ 称$N$为 $\Delta$ 的维数. 用 ${\cal F}_{N}^{+}$ 表示所有形如(2.1)式的维数为 $N$ 的数据集 $\Delta$ 构 成的集合. 对任意 $\Delta\in {\cal F}_N^+$,我们都可以将它划分为一对数据集 $\{\Delta_{1},\Delta_{2}\}$,其中

$ \begin{equation}\label{2.2} \Delta_{1}=\{(x_i,m_i)_{i=1}^u\},\ \Delta_{2}=\{(y_j,n_j)_{j=1}^v\}, \end{equation}$

(2.2)

其维数分别为$m=\sum\limits_{i=1}^um_{i}$,$n=\sum\limits_{j=1}^vn_{j}$. 这里,$m+n=N,$ 且 $x_{1},\cdots,x_{u}$ ($y_{1},\cdots,y_{v}$) 互不相同, 重数分别为 $m_{1},\cdots,m_{u}$ ($n_{1},\cdots,n_{v}$). 进一步地,如果 $x_{i}=y_{j}=z_{k}\ (\overline{z}_{k},\ \alpha_{k}$), 则 $m_{i}+n_{j}=\tau_{k}\ (\tau_{k},\ \nu_{k}$). 这里, 称由(2.2)式给出的一对数据集 $\{\Delta_1,\Delta_2\}$ 为 $\Delta$ 的一个 $(m,n)$ -劈分.

设$f(z)\in s$,$\{\Delta_{1},\Delta_{2}\}$ 为数据集 $\Delta\in {\cal F}_{N}^{+}$ 的一个 $(m,n)$ -劈分,定义如下形式的 $m\times n$ 阶广义 Loewner 矩阵

$\begin{equation}\label{2.3} P_f^{\Delta_{1},\Delta_{2}}:=(P_{ij})_{i,j=1}^{u,v}\in {\Bbb C}^{m \times n}, \ P_{ij}=(p_{ij}^{kl})_{k,l=0}^{m_{i}-1,n_{j}-1}\in {\Bbb C}^{m_{i}\times n_{j}} \end{equation}$

(2.3)

式中元素 $p_{ij}^{kl}$ 由下式给出

$\begin{equation}\label{2.5} p_{ij}^{kl}= \left\{\begin{array}{ll} { \frac{1}{k!l!}\frac{\partial^{k+l}}{\partial^{k}s \partial^{l}t}\Big(\frac{f(s)-f(t)}{s-t}\Big)_{s=x_{i},t=y_{j}}}, &\ \mbox{如果 $x_{i}\neq y_{j}$};\\[4mm] { \frac{1}{(k+l+1)!}f^{(k+l+1)}(x_{i})},& \ \mbox{如果 $x_{i}=y_{j}$}. \end{array}\right. \end{equation}$

(2.4)

设$f(z)\in S,$ $m,n$ 为正整数且满足 $m+n=N.$ 选取不同的 $\Delta\in {\cal F}_N^+$ 或 $\Delta$的不同的 $(m,n)$ -劈分,可以得到一系列 $m\times n$ 广义 Loewner 矩阵. 我们称这样的矩阵为由 Stieltjes 函数$f(z)$生成的第一类广义 Loewner 矩阵. 将所有第一类 $m\times n$ 广义 Loewner 矩阵构成的集合记作 ${\cal M}_{m,n}(f)$. 本文将证明集合 ${\cal M}_{m,n}(f)$ 中的所有矩阵都具有相同的秩(见定理5.1), 或者等价地,由$f(z)$生成的第一类同型的广义 Loewner 矩阵的秩与 $\Delta\in {\cal F}_N^+$ 及 $\Delta$ 的 $(m,n)$ -劈分的选取无关, 这里,$m+n=N$.

如果用 $zf(z)$ 替换(2.3)和(2.4)式中的 $f(z)$,我们将得到广义 Loewner 矩阵$P_{zf}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$,称之为由 Stieltjes 函数$f(z)$生成的第二类广义 Loewner 矩阵. 为方便起见,用 $\tilde{{\cal M}}_{m,n}(f)$ 表示所有由函数 $f(z)$ 生成的第二类 $m\times n$ 广义 Loewner 矩阵构成的集合. 本文将证明集合 $\tilde{{\cal M}}_{m,n}(f)$ 中的所有矩阵的秩或者相等, 或者相差1 (见定理5.2). 特别地,如果 $f(z)$ 具有积分表达式(1.1)且 $\alpha=0$ ,则由$f(z)$生成的第二类同型的广义 Loewner 矩阵的秩相等.

本节将给出由 Stieltjes 函数 $f(z)$ 生成的第一类和第二类 $m\times n$ 广义 Loewner 矩阵与 $[0,+\infty)$ 上的正测度生成的 $m\times n$ Hankel 矩阵之间的联系.

设 $\Delta\in {\cal F}_N^+$,$\{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\}$ 是 $\Delta $ 的一个 $(m,n)$ -劈分. 定义

$\begin{equation}\label{3.1} p(z)=\prod_{i=1}^{\rho}(z-z_{i})^{\tau_{i}}(z-\overline{z}_{i})^{\tau_{i}} \prod_{j=1}^{\theta}(z-\alpha_{j})^{\nu_{j}}. \end{equation}$

(3.1)

容易验证,$p(z)$ 是一个$N$次首一的实系数多项式,并且$p(z)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上恒大于0. 根据 $\Delta$ 的 $(m,n)$ -劈分 $\{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\}$ 我们可将 $p(z)$ 分解为两个首一多项式 $p_{1}(z)$ 和 $p_{2}(z)$ 的乘积,次数分别为 $m$ 和 $n$

$\begin{equation}\label{3.2} p_{1}(z)=\prod_{j=1}^{u}(z-x_{j})^{m_{j}},\ p_{2}(z)=\prod_{j=1}^{v}(z-y_{j})^{n_{j}}. \end{equation}$

(3.2)

下面引入两组多项式

$\begin{equation}\label{3.3} \begin{array}{ll} p_{1}^{ik}(z):=\frac{p_{1}(z)}{(z-x_{i})^{k+1}},\ &1\leq i \leq u,\ 0\leq k\leq m_{i}-1,\\ p_{2}^{jl}(z):=\frac{p_{2}(z)}{(z-y_{j})^{l+1}},\ &1\leq j \leq v,\ 0\leq l\leq n_{j}-1, \end{array} \end{equation}$

(3.3)

那么,$\{p_{1}^{ik}(z)\}_{i=1,k=0}^{u,m_{i}-1}$ 和 $\{p_{2}^{jl}(z)\}_{j=1,l=0}^{v,n_{j}-1}$ 分别是多项式线性空间 ${\cal P}_{m-1}$ 和 ${\cal P}_{n-1}$ 的一组基.

用 $W_{\Delta_{1}}$ 和 $W_{\Delta_{2}}$ 分别表示 ${\cal P}_{m-1}$ 和 ${\cal P}_{n-1}$ 的标准基 $\{1,z,\cdots,z^{m-1}\}$ 和 $\{1,z,\cdots,z^{n-1}\}$ 到基 $\{p_{1}^{ik}(z)\}_{i=1,k=0}^{u,m_{i}-1}$ 和 $\{p_{2}^{jl}(z)\}_{j=1,l=0}^{v,n_{j}-1}$ 的过渡矩阵,即

$\begin{equation}\label{3.4} \begin{array}{rl} \left(\begin{array}{c} p_{1}^{10}(z)\\ \vdots\\ p_{1}^{1,m_1-1}(z)\\ \vdots\\ p_{1}^{u0}(z)\\ \vdots\\ p_{1}^{u,m_u-1}(z) \end{array}\right) =W_{\Delta_{1}} \left(\begin{array}{c} 1\\ z\\ \vdots\\ z^{m-1} \end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{c} p_{2}^{10}(z)\\ \vdots\\ p_{2}^{1,n_1-1}(z)\\ \vdots\\ p_{2}^{v0}(z)\\ \vdots\\ p_{2}^{v,n_v-1}(z) \end{array}\right) =W_{\Delta_{2}} \left(\begin{array}{c} 1\\ z\\ \vdots\\ z^{n-1} \end{array}\right). \end{array} \end{equation}$

(3.4)

显然,$W_{\Delta_{1}}\in {\Bbb C}^{m \times m}$ 和 $W_{\Delta_{2}}\in {\Bbb C}^{n \times n}$ 都是非奇异矩阵.

设$f(z)\in S$ 具有积分表示(1.1),$p(z)$ 由(3.1)式给出. 定义实数序列

$\begin{equation}\label{3.5} s_i^{(\tau,p)}=\int_0^{+\infty}u^ip(u)^{-1}d\tau(u) (i=0,1,\cdots,N-1), \end{equation}$

(3.5)

其中 $\tau$ 由(1.1)和(1.2)式给出.

下面的定理给出了由$f(z)$生成的第一类广义 Loewner 矩阵 $P_{f}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$ 和由实数 $s_i^{(\tau,p)}$ $ (i=0,$ $1,\cdots,N-2)$ 构成的 Hankel 矩阵之间的联系.

定理3.1    设 $f(z)\in S$ 具有积分表示 (1.1),$\{\Delta_{1},\Delta_{2}\}$ 是 $\Delta\in {\cal F}_N^+$ 的一个 $(m,n)$ -劈分,$P_{f}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$, $W_{\Delta_{i}}\ (i=1,2)$ 分别由 (2.3)-(2.4)式 和 (3.2)-(3.4)式给出. 则

$\begin{equation}\label{3.6} P_f^{\Delta_{1},\Delta_{2}}=W_{\Delta_{1}}H_{m,n}^{(\tau,p)}(W_{\Delta_{2}})^{\rm T}, \end{equation}$

(3.6)

其中 $H_{m,n}^{(\tau,p)}=(s_{i+j}^{(\tau,p)})_{i,j=0}^{m-1,n-1} \in {\Bbb C}^{m\times n}$, 这里 $s_i^{(\tau,p)}\ (i=0,1,\cdots,N-2)$ 由 (3.5)式定义.

证    利用(2.4)式和 $f(z)$ 的积分表示(1.1),对所有 $k,l,i,j,$ 我们有

$$\begin{align} & p_{ij}^{kl}=\frac{1}{k!l!}\frac{{{\partial }^{k+l}}}{\partial {{s}^{k}}\partial {{t}^{l}}}{{(\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{(u-s)(u-t)}}\text{d}\tau (u))}_{s={{x}_{i}},t={{y}_{j}}}} \\ & \ \ \ \ \ =\int_{0}^{+\infty }{\frac{1}{{{(u-{{x}_{i}})}^{k+1}}{{(u-{{y}_{j}})}^{l+1}}}}\text{d}\tau (u) \\ & \ \ \ \ \ =\int_{0}^{+\infty }{\frac{{{p}_{1}}(u){{p}_{2}}(u)}{{{(u-{{x}_{i}})}^{k+1}}{{(u-{{y}_{j}})}^{l+1}}}}\frac{\text{d}\tau (u)}{p(u)} \\ & \ \ \ \ \ =\int_{0}^{+\infty }{p_{1}^{ik}}(u)p_{2}^{jl}(u)p{{(u)}^{-1}}\text{d}\tau (u) \\ \end{align}$$

其中,$p_{1}^{ik}(z)$ 和 $p_{2}^{jl}(z)$ 由 (3.3)式给出. 于是由 (3.4)和 (3.5)式知,

$$\begin{align} & P_{f}^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}}={{W}_{{{\Delta }_{1}}}}\left( \int\limits_{0}^{+\infty }{{{u}^{i+j}}}p{{(u)}^{-1}}d\tau (u) \right)_{i,j=0}^{m-1,n-1}{{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ ={{W}_{{{\Delta }_{1}}}}H_{m,n}^{(\tau ,p)}{{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}},\\ \end{align}$$

因此结论得证.

对任意$\alpha\ge 0$,常函数 $f(z)\equiv \alpha$ 是一个 Stieltjes 函数, 于是 $P_{z\alpha}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$ 是第二类广义 Loewner 矩阵

$$ P_{z\alpha}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}=(P_{ij}^{\Delta_{1},\Delta_{2}})_{i,j=1}^{u,v} \in {\Bbb C}^{m \times n}, $$ $$ P_{ij}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}=\left(\begin{array}{cccc} \alpha& 0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{array}\right) \in{\Bbb C}^{m_i \times n_j},i=1,\cdots,u,j=1,\cdots,v. $$

通过直接计算,我们得到如下引理

引理3.1    设 $\alpha\ge 0$,$\{\Delta_{1},\Delta_{2}\}$ 是 $\Delta\in {\cal F}_N^+$ 的一个 $(m,n)$ -劈分,$W_{\Delta_{i}}\ (i=1,2)$ 是由 (3.2)-(3.4)式给出的过渡矩阵,则

$\begin{equation}\label{3.7} P_{z\alpha}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}=W_{\Delta_{1}} \left(\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots &\ddots & \vdots& \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \alpha \end{array}\right) (W_{\Delta_{2}})^{\rm T}. \end{equation}$

(3.7)

证    由(3.4)式,过渡矩阵 $W_{\Delta_{1}},W_{\Delta_{2}}$ 的最后一列分别为如下两个向量

$$\xi_1=( \mathop{\underbrace{1,0,\cdots,0}}\limits_{m_1}, \cdots, %\underset{m_u} \mathop{\underbrace{1,0,\cdots,0}}\limits_{m_u} )^{\rm T}\in {\Bbb C}^{m} \ \mbox{和} \ \xi_2=( %\underset{n_1} \mathop{\underbrace{1,0,\cdots,0}}\limits_{n_1}, \cdots, %\underset{n_v} \mathop{\underbrace{1,0,\cdots,0}}\limits_{n_v})^{\rm T}\in {\Bbb C}^{n},$$

则

$$\begin{align} & {{W}_{{{\Delta }_{1}}}}\left( \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha \\ \end{matrix} \right){{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}}={{W}_{{{\Delta }_{1}}}}\left( \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\alpha \left( \begin{matrix} 0,& \cdots & 0,& 1 \\ \end{matrix} \right){{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{\xi }_{1}}\alpha \xi _{2}^{\text{T}}=(P_{ij}^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}})_{i,j=1}^{u,v}=P_{z\alpha }^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}},\\ \end{align}$$

结论得证.

类似于定理3.1和引理3.1的证明,我们可以得到第二类广义 Loewner 矩阵 $P_{zf}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$ 和由实数 $s_i^{(\tau,p)}\ (i=1,2,\cdots,N-1)$ 构成的 Hankel 矩阵之间的联系.

定理3.2    设 $f(z)\in S$ 具有积分表示 (1.1),$\{\Delta_{1},\Delta_{2}\}$ 是 $\Delta\in {\cal F}_N^+$ 的一个 $(m,n)$ -劈分,$P_{zf}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$, $W_{\Delta_{i}}\ (i=1,2)$ 分别由 (2.3)-(2.4)和(3.2)-(3.4)式给出,则

$P_{zf}^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}}={{W}_{{{\Delta }_{1}}}}(\tilde{H}_{m,n}^{(\tau ,p)}+\left( \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha \\ \end{matrix} \right)){{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}},$

(3.8)

其中 $\tilde{H}_{m,n}^{(\tau ,p)}=(s_{i+j+1}^{(\tau ,p)})_{i,j=0}^{m-1,n-1}\in {{\mathbb{C}}^{m\times n}}$,这里 $s_i^{(\tau,p)}\ (i=1,2,\cdots,N-1)$ 由 (3.5)式定义.

证    由于 $f(z)$ 有积分表示(1.1),因此 $f(z)-\alpha$ 是一个 Stieltjes 函数. 在(2.4)式中用 $z(f(z)-\alpha)$ 替换 $f(z)$,于是

$$\begin{eqnarray*} p_{ij}^{kl}&=&\frac{1}{k!l!}\frac{\partial^{k+l}}{\partial s^{k}\partial t^{l}}\Big( \frac{s(f(s)-\alpha)-t(f(t)-\alpha)}{s-t} \Big )_{s=x_{i},t=y_{j}}\\ &=&\int_{0}^{+\infty}\frac{u}{(u-x_{i})^{k+1}(u-y_{j})^{l+1}}{\rm d}\tau(u) \\ &=&\int_{0}^{+\infty}\frac{u p_{1}(u)p_{2}(u)}{(u-x_{i})^{k+1}(u-y_{j})^{l+1}} \frac{{\rm d}\tau(u)}{p(u)}\\ &=&\int_{0}^{+\infty}u p_{1}^{ik}(u)p_{2}^{jl}(u)p(u)^{-1}{\rm d}\tau(u),\ \forall\ i,j,k,l. \end{eqnarray*}$$

利用(3.4)和(3.5)式,上述等式可以表示为矩阵乘积的形式

$\begin{align} & P_{z(f-\alpha )}^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}}={{W}_{{{\Delta }_{1}}}}\left( \int\limits_{0}^{+\infty }{{{u}^{i+j+1}}}p{{(u)}^{-1}}d\tau (u) \right)_{i,j=0}^{m-1,n-1}{{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{W}_{{{\Delta }_{1}}}}\text{\tilde{H}}_{m,n}^{(\tau ,p)}{{({{W}_{{{\Delta }_{2}}}})}^{\text{T}}}. \\ \end{align}$

(3.9)

另一方面,由第二类广义 Loewner 矩阵的定义可知

$P_{zf}^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}}=P_{z\alpha }^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}}+P_{z(f-\alpha )}^{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}}.$

(3.10)

将(3.7)和(3.9)式代入(3.10)式中,即得到 (3.8)式,定理得证.

定理 3.1 和定理 3.2 表明研究由 Stieltjes 函数生成的第一类和第二类广义 Loewner 矩阵的秩特征可以转化为研究区间 $[0,+\infty)$ 上的正测度生成的 Hankel 矩阵的秩特征.

设 $s_i^{(\tau,p)}\ (i=0,1,\cdots,N-1)$由 (3.5)式定义. 考察 Stieltjes 矩量问题(SM): 求区间 $[0,+\infty)$ 上的所有正测度 $\sigma(u),$ 满足

$\begin{equation}\label{4.1} s_i^{(\tau,p)}=\int_0^{+\infty}u^i{\rm d}\sigma(u),\ i=0,1,\cdots,N-1. \end{equation}$

(4.1)

显然,SM 问题 (4.1) 总是可解的. 例如,由下式给出的正测度 $\tau_p(u)$就是 SM 问题(4.1)的一个解.

$\begin{equation}\label{4.2} \tau_p(u)=\int_0^up(s)^{-1}{\rm d}\tau(s),\ u\in [0,+\infty). \end{equation}$

(4.2)

利用 Stieltjes 矩量问题的解^{[1, 8, 11]},可以证明如下定理

定理4.1    设 $H_{k,l}^{(\tau,p)}=(s_{i+j}^{(\tau,p)})_{i,j=0}^{k-1,l-1}$, $\text{\tilde{H}}_{k,l}^{(\tau ,p)}=(s_{i+j+1}^{(\tau ,p)})_{i,j=0}^{k-1,l-1}\ (k+l\le N)$,则

$$\text{rank}(\text{H}_{k,l}^{(\tau ,p)})=\text{rank}(\text{H}_{r,r}^{(\tau ,p)}),\ \text{rank}(\text{\tilde{H}}_{k,l}^{(\tau ,p)})=\text{rank}(\text{\tilde{H}}_{r,r}^{(\tau ,p)}),$$

其中 $r=\min\{k,l\}$.

证    当 $k=l$ 时结论显然成立. 只需证明当 $k\neq l$ 时结论成立即可.

不失一般性,假设 $k < l$,则 $r=k$. 注意到 SM 问题(4.1) 总是可解的,根据文献[8] 中给出的 SM 问题的解的参数化表示形式,总存在 SM 问题(4.1)的一个解 $\sigma (u)$ 满足 $\phi (z)=\int_{0}^{+\infty }{{{(u-z)}^{-1}}}\text{d}\sigma (u),$ 并且$\phi(z)$是一个有理 Stieltjes 函数. 设 $\phi(z)$ 在 $z=\infty$ 处的展开式为

$$\begin{eqnarray*} \phi(z)=-\frac{s_{0}}{z}-\frac{s_{1}}{z^{2}}-\cdots-\frac{s_{i-1}}{z^{i}}- \frac{s_{i}}{z^{i+1}}-\cdots. \end{eqnarray*}$$

则由文献[8,引理 2.2]可得

$$\begin{eqnarray*} s_i=\int_0^{+\infty}u^i{\rm d}\sigma (u),\ i=0,1,2,\cdots. \end{eqnarray*}$$

由于(4.2)式定义的 $\tau_p(u)$ 是 SM 问题(4.1)的解,故 $s_i=s_i^{(\tau,p)}\ (i=0,1,\cdots,N-1)$. 基于以下事实

$$\begin{eqnarray*}%\label{3-12} H=(s_{i+j})_{i,j=0}^{l-1}=\left(\begin{array}{cc} H_{k,k}^{(\tau,p)} ~~& A\\[2mm] A^* ~~&B \end{array}\right)=\left(\int_0^{+\infty}u^{i+j}{\rm d}\sigma (u)\right)_{i,j=0}^{l-1}\ge 0, \end{eqnarray*}$$

其中 $A=(s_{i+j})_{i=0,j=k}^{k-1,l-1}$,$B=(s_{i+j})_{i,j=k}^{l-1}$, 可以推出 $R(A)\subseteq R(H_{k,k}^{(\tau,p)})$,从而 ${\rm rank}(H_{k,l}^{(\tau,p)})={\rm rank}(H_{k,k}^{(\tau,p)},A) ={\rm rank}(H_{k,k}^{(\tau,p)}).$

类似地,

$${\rm{\tilde H = }}({{\rm{s}}_{{\rm{i + j + 1}}}})_{{\rm{i}},{\rm{j = 0}}}^{{\rm{l - 1}}}{\rm{ = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{\tilde H}}_{{\rm{k}},{\rm{k}}}^{(\tau ,{\rm{p}})}}&{{\rm{\tilde A}}}\\ {{{{\rm{\tilde A}}}^{\rm{*}}}}&{\tilde B} \end{array}} \right){\rm{ = }}\left( {\int_{\rm{0}}^{{\rm{ + }}\infty } {{{\rm{u}}^{{\rm{i + j + 1}}}}} {\rm{d}}\tilde \tau ({\rm{u}})} \right)_{{\rm{i}},{\rm{j = 0}}}^{{\rm{l - 1}}} \ge {\rm{0}},$$

其中 $\tilde{A}=(s_{i+j+1})_{i=0,j=k}^{k-1,l-1}$,$\tilde{B}=(s_{i+j+1})_{i,j=k}^{l-1}$. 由 ${\rm{\tilde H}}$ 的非负性,可以得出 $R(\tilde{A})\subseteq R({\rm{\tilde H}}_{k,k}^{(\tau,p)}),$ 所以 ${\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{k,l}^{(\tau,p)})={\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{k,k}^{(\tau,p)}, \tilde{A})={\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{k,k}^{(\tau,p)}).$ 定理得证.

设 $N$ 是一个给定的正整数,$\tau(u)$ 是 $f(z)$ 的积分表示 (1.1)中的正测度. 令

$\begin{equation}\label{4.3} \begin{array}{l} p_{0}(z)=(1+z)^{N},\\[2mm] {\displaystyle s_{i}^{{(\tau,p_{0})}}=\int_{0}^{+\infty}u^{i}p_0(u)^{-1}{\rm d}\tau(u), \ i=0,1,\cdots,N-1.} \end{array} \end{equation}$

(4.3)

利用实数 $s_{i}^{(\tau,p_{0})}\ (i=0,1,\cdots,N-1)$可定义两个 Hankel 矩阵

$$ H_{r,r}^{(\tau,p_{0})}=(s_{i+j}^{(\tau,p_0)})_{i,j=0}^{r-1},\ {\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_{0})}=(s_{i+j+1}^{(\tau,p_0)})_{i,j=0}^{r-1}\ (1\le r\le N/2). $$

下面的定理表明: 对于由(3.1)式给出的任意实多项式 $p(z)$,$H_{r,r}^{(\tau,p)}$ 和 ${\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p)}$ 的秩是不变的,并且分别等于 $H_{r,r}^{(\tau,p_{0})},$ ${\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_{0})}$ 的秩.

定理4.2    设 $H_{r,r}^{(\tau,p)},\ {\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p)},\ H_{r,r}^{(\tau,p_0)}$, ${\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_0)}\ (1\le r\le N/2)$ 如前所述,则

$\begin{equation}\label{4.4} {\rm rank}(H_{r,r}^{(\tau,p)})={\rm rank}(H_{r,r}^{(\tau,p_{0})}),\ {\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p)})={\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_{0})}). \end{equation}$

(4.4)

证     由于 $p(z)$ 和 $p_0(z)$ 都是次数为 $N$ 的实多项式并且在区间 $[0,+\infty)$ 上恒大于0,因此实函数 $g(u)=p(u)p_{0}(u)^{-1}\ (0\leq u <+\infty)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上连续有界并且恒大于0. 故总存在两个正数 $c_1$ 和 $c_2$ 使得对任意 $u\in[0,+\infty)$,都有 $c_1 \leq g(u)\leq c_2$,或者等价地,$c_1p(u)^{-1}\leq p_{0}(u)^{-1}\leq c_2p(u)^{-1}\ (0\leq u<+\infty).$ 由此得出如下两个不等式链

$$\begin{eqnarray*} &&c_1\int_{0}^{+\infty} \big( 1, u, \cdots, u^{r-1} \big)^{\rm T} p(u)^{-1}{\rm d}\tau(u) \big( 1,u,\cdots,u^{r-1} \big) \\ &\leq &\int_{0}^{+\infty} \big( 1, u, \cdots, u^{r-1} \big)^{\rm T} p_0(u)^{-1}{\rm d}\tau(u) \big( 1,u,\cdots,u^{r-1} \big)\\ &\leq & c_2 \int_{0}^{+\infty} \big( 1, u, \cdots, u^{r-1} \big)^{\rm T}p(u)^{-1} {\rm d}\tau(u) \big( 1,u,\cdots,u^{r-1} \big) \end{eqnarray*}$$

和

$$\begin{eqnarray*} &&c_1\int_{0}^{+\infty} \big( 1, u, \cdots, u^{r-1} \big)^{\rm T} up(u)^{-1}{\rm d}\tau(u) \big( 1,u,\cdots,u^{r-1} \big) \\ &\leq &\int_{0}^{+\infty} \big( 1, u, \cdots, u^{r-1} \big)^{\rm T} up_0(u)^{-1}{\rm d}\tau(u) \big( 1,u,\cdots,u^{r-1} \big)\\ &\leq &c_2 \int_{0}^{+\infty} \big( 1, u, \cdots, u^{r-1} \big)^{\rm T}up(u)^{-1} {\rm d}\tau(u) \big( 1,u,\cdots,u^{r-1} \big). \end{eqnarray*}$$

再由 (3.5) 和 (4.3)式可得, $c_1H_{r,r}^{(\tau,p)}\leq {H}_{r,r}^{(\tau,p_{0})}\leq c_2{H}_{r,r}^{(\tau,p)}$, $c_1{\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p)}\leq {\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_{0})}\leq c_2{\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p)}$. 注意到 ${H}_{r,r}^{(\tau,p)}$ 和 ${\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p)}$ 都是 Hermite 正定(半正定)矩阵. 因此(4.4)式得证.

本节利用第一类和第二类广义 Loewner 矩阵与区间 $[0,+\infty)$ 上某个正测度生成的 Hankel 矩阵之间的联系,证明这两类广义 Loewner 矩阵的秩不变性.

定理5.1    设 $f(z)\in {\cal S}$,$m,n$ 为给定的正整数,则矩阵 $P_{f}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}\in {\cal M}_{m,n}(f)$ 具有相同的秩.

证    设 $f(z)$ 具有积分表示 (1.1),对任意 $\Delta \in F_N^ + $ 和 $\Delta$ 的任意 $(m,n)$ -劈分 $\{\Delta_1,\Delta_2\}$,由定理 3.1 可知

$\begin{equation}\label{5.1} {\rm rank}(P_{f}^{\Delta_{1},\Delta_{2}})= {\rm rank}(H_{m,n}^{(\tau,p)}), \end{equation}$

(5.1)

其中 $p(z)$ 是由(3.1)式给出的多项式. 另一方面,由定理4.1和定理4.2知,

$\begin{equation}\label{5.2} {\rm rank}(H_{m,n}^{(\tau,p)})={\rm rank}(H_{r,r}^{(\tau,p_0)}), \end{equation}$

(5.2)

其中 $r=\min\{m,n\}$,$p_0(z)=(1+z)^N$. 结合(5.1)和(5.2)式, 可知广义 Loewner 矩阵 $P_{f}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$ 的秩和 $\Delta$ 及其 $(m,n)$ -劈分 $\{\Delta_{1},\Delta_{2}\}$ 的选取无关,并且它的秩等于 Hankel 矩阵 $H_{r,r}^{(\tau,p_0)}$ 的秩. 定理得证.

类似于定理5.1,我们可以证明如下定理.

定理5.2    设 $f(z)\in { S}$,$m,n$ 为给定的正整数,则矩阵 $P_{zf}^{{\Delta _1},{\Delta _2}} \in {\tilde M_{m,n}}(f)$ 的秩或者相等,或者相差$1$.

证    设 $f(z)\in S$ 具有积分表示(1.1),对任意 $\Delta \in{\cal F}_N^+$ 和 $\Delta$ 的任意 $(m,n)$ -劈分 $\{\Delta_1,\Delta_2\}$,由定理3.2可知

$$ {\rm rank}(P_{zf}^{\Delta_{1},\Delta_{2}})={\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{m,n}^{(\tau,p)}+ \left(\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots &\ddots & \vdots& \vdots \\ 0 &\cdots & 0 & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \alpha \end{array}\right)), $$

其中 $p(z)$ 是由(3.1)式给出的多项式. 因此,

$\begin{equation}\label{5.3} {\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{m,n}^{(\tau,p)})\le {\rm rank}(P_{zf}^{\Delta_{1}, \Delta_{2}})\le{\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{m,n}^{(\tau,p)})+1. \end{equation}$

(5.3)

另一方面,由定理4.1和定理4.2可知

$\begin{equation}\label{5.4} {\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{m,n}^{(\tau,p)})={\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_0)}), \end{equation}$

(5.4)

其中 $r=\min\{m,n\}$,$p_0(z)=(1+z)^N$. 将({5.4})式代入({5.3})式可得

$$\begin{eqnarray*} {\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_0)})\le {\rm rank}(P_{zf}^{\Delta_{1}, \Delta_{2}})\le{\rm rank}({\rm{\tilde H}}_{r,r}^{(\tau,p_0)})+1. \end{eqnarray*}$$

上述不等式组说明所有广义 Loewner 矩阵 $P_{zf}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}$ 的秩或者相等, 或者相差1. 定理得证.

利用定理5.2的证明可知,如果 $f(z)$ 具有积分表示(1.1),并且 $\alpha=0$, 则所有第二类 $m\times n$ 广义 Loewner 矩阵 $P_{zf}^{\Delta_{1},\Delta_{2}}\in \tilde M_{m,n}(f)$ 具有相同的秩.