经过半个多世纪的发展, 有界线性算子半群已成为算子理论中理论成熟,应用广泛的分支. 算子半群是研究微分方程混合问题的有力工具之一. 特别地, 它在数学及工程技术的许多问题中起重要作用,例如: 弹性振动理论, 随机分析与遍历理论,无穷维线性系统与分布参数控制系统,人口发展系统, 散射理论等^{[1, 2]}. 此外, 采用算子半群研究微分方程解的适定性是行之有效和事半功倍的.

Hamilton 算子矩阵 $H$ 来源于无穷维 Hamilton 系统 $\dot{u}=Hu$,其中 $u$ 是取值于函数空间 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 中关于时间 $t$ 的向量值函数^{[3, 4, 5]}. 因此,通过 Hamilton 算子矩阵生成的半群, 可以分析和研究 Hamilton 系统的适定性.

众所周知,无界算子的数值域是无界的, 这也是无界算子能否生成算子半群的主要问题之一. Hamilton 算子矩阵, 作为一类特殊的算子矩阵,有着自己独特的谱分布. 因此,借助 Hamilton 算子矩阵特有的谱性质,研究其半群生成定理是非常有必要的.

若无特别说明,文中 ${\cal X}$ 表示复无穷维 Hilbert 空间. 为了避免混淆, ${\cal X}$ 和 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 中的内积分别用 $( \cdot ,\cdot )$ 和 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示.

定义2.1   设 $H=\bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\C~&-A^{*}\end{array}\bigg): {\cal D}(H)\subset {\cal X}\oplus {\cal X}\to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是稠定闭的线性算子. 若 $A$ 是闭的, $B$ 和 $C$ 是自伴算子,则称 $H$ 为 Hamilton 算子矩阵. 此外,若 $(JH)^*=(JH)$,则称 Hamilton 算子矩阵 $H$ 为辛自伴的,其中 $J=\bigg(\begin{array}{cc}0&~I\\-I&~0\end{array}\bigg)$.

定义2.2^[1]   设 $T=\{T(t):0\leq t<\infty\}$ 是从 Banach 空间 ${\cal X}$ 到 ${\cal X}$ 的线性算子族. 称 $T$ 为强连续有界线性算子半群 (简称 $C_0$ 半群),如果下面四个条件成立

(1) $\|T(t)\|<\infty,t\geq0$ (即$\sup\{\| T(t)f\|:f\in {\cal X},\| f\|\leq1\}<\infty)$;

(2) $T(t+s)f=T(t)T(s)f$,$f\in {\cal X}$,$t,s\geq0$;

(3) $T(0)f=f$,$f\in {\cal X}$;

(4) $t\to T(t)f (f\in {\cal X})$ 在 $t\geq0$ 连续.

此外,如果

(5) $\|T(t)f\|\leq\|f\|$,$t\geq0$,$f\in {\cal X}$ (即 $\|T(t)\|\leq1$,$t\geq0$)

成立,则称 $T$ 为压缩半群.

定义2.3^[6]   设 $T$ 是 Banach 空间 ${\cal X}$ 中的可闭线性算子. $T$ 的预解集和谱集分别定义为

$$\rho(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:T-\lambda\hbox{ 是单射, }(T-\lambda)^{-1}\hbox{ 在 }{\cal X}\hbox{ 上有界 } \},$$ $$\sigma(T)={\mathbb C}\setminus\rho(T).$$

$T$ 的点谱, 连续谱和剩余谱分别定义为

$$\sigma_p(T)=\{\lambda \in {\mathbb C}:T-\lambda\hbox{ 不是单射 }\},$$ $$\sigma_c(T)=\{\lambda \in {\mathbb C}:T-\lambda\hbox{ 是单射,} \overline{{\cal R}(T-\lambda)}={\cal X},{\cal R}(T-\lambda)\neq {\cal X}\},$$ $$\sigma _r(T)=\{\lambda \in {\mathbb C}:T-\lambda\hbox{ 是单射, }\overline{{\cal R}(T-\lambda)}\neq {\cal X}\}.$$

注意到 $\rho(T)\neq\varnothing$ 蕴含 $T$ 是闭算子. 因此,根据闭图像定理,

$$\rho(T)=\{\lambda\in{\mathbb C}:T-\lambda\hbox{ 是双射}\},$$

进而

$$\sigma(T)=\sigma_p(T)\cup\sigma_c(T)\cup\sigma_r(T).$$

定义2.4^[7]   设 $T$ 是 ${\cal X}$ 中的线性算子. 称集合

$$W(T)=\{(Tv,v):v\in{\cal D}(T),\|v\|=1\}$$

为 $T$ 的数值域. 称 $T$ 为耗散算子,如果 $W(T)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq0\}$,其中 ${\rm Re}z$ 为复数 $z$ 的实部.

定义2.5^[6] 设 $T=\bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\C~&D\end{array}\bigg)$ 是 ${\cal X}\oplus{\cal X}$ 中的稠定闭算子矩阵,其中 $A$,$B$, $C$ 和 $D$ 均为稠定可闭算子. 记 ${\cal D}_1={\cal D}(A)\cap{\cal D}(C)$,${\cal D}_2= {\cal D}(B)\cap{\cal D}(D)$. 显然,$T$ 的自然定义域为 ${\cal D}(T)={\cal D}_1\oplus {\cal D}_2$. 定义 $2\times 2$ 矩阵

$$T_{f,g}=\left(\begin{array}{cc}(Af,f)~&(Bg,f)\\(Cf,g)~&(Dg,g)\end{array}\right),$$

其中 $f\in{\cal D}_1,g\in{\cal D}_2$,且 $\|f\|=\| g\|=1.$ 则称集合

$$W^2(T)=\bigcup\limits_{ f\in {\cal D}_1,g\in {\cal D}_2,\atop \| f\|=\| g\|=1 } \sigma_p(T_{f,g})$$

为 $T$ 的二次数值域.

引理3.1^[8]   设 $H$ 是 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 中辛自伴的 Hamilton 算子矩阵, 则以下结论成立

(1) $\sigma_r(H)=\{\lambda\in {\mathbb C}:\lambda \not \in \sigma_p(H),-\overline{\lambda}\in\sigma_p(H)\}$.

(2) $\sigma_p(H)\cup \sigma_r(H)$ 关于虚轴对称,且 $\sigma_r(H)$ 不包含关于虚轴对称的点.

(3) $\sigma_c(H)$ 关于虚轴对称, 进而 $\sigma(H)$ 和 $\rho(H)$ 分别关于虚轴对称.

引理3.2   设 $T$ 是 ${\cal X}$ 中的稠定闭线性算子,则

$$\sigma_p(T)\cup\sigma_c(T)\subset \overline{W(T)}.$$

证   结合文献 [9,命题 1.1]和 $\sigma_p(T)\cup\sigma_c(T)\subset \sigma_{ap}(T)$,结论即可得证, 其中 $\sigma_{ap}(T)$ 是算子 $T$ 的近似点谱.

下面定理讨论了 Hamilton 算子矩阵 $H$ 生成 $\mathcal X\oplus\mathcal X$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 的充分必要条件,其中 $(T(t))_{t\geq0}$ 满足 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$.

定理3.1   设 $H$ 是 ${\cal X}\oplus{\cal X}$ 中辛自伴的 Hamilton 算子矩阵,则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta<0$ 使得 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$ 当且仅当以下条件成立

(1) $W(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq\beta\}$;

(2) $\sigma(H)=\varnothing.$

证    若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 满足 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则 $U(t)=T(t){\rm e}^{-\beta t}$ 是 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群. 因此,$H-\beta$ 作为 $U(t)$ 的生成元是耗散算子. 进而, $W(H-\beta)$ 包含于左半闭平面,并且 $ \{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z>0\}\subset\rho(H-\beta).$ 因此,

$W(H)\subset \{z\in \mathbb{C}:\text{Re}z\le \beta \},\{z\in \mathbb{C}:\text{Re}z>\beta \}\subset \rho (H).$

(3.1)

由引理 3.2 可知, $\sigma_p(H)\cup\sigma_c(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq\beta\}$. 因为 $\beta<0$,结合引理 3.1 和 $(3.1)$式 的第二式,可得 $ \sigma_p(H)\cup\sigma_r(H)=\varnothing$ 且 $\sigma_c(H)=\varnothing$. 因此,$\sigma(H)=\varnothing.$

反之,假设条件 (1) 和 (2) 成立. 由条件 (1) 可知,$H-\beta$ 是耗散算子. 条件 (2) 蕴含 $\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z>0\}\subset \rho(H-\beta)$. 从而,$H-\beta$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群 $(U(t))_{t\geq0}$. 因此,$H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $T(t)=U(t){\rm e}^{\beta t}$ 满足 $\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$.

定理3.2   设 $H$ 是 ${\cal X}\oplus{\cal X}$ 中辛自伴的 Hamilton 算子矩阵,则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta\geq0$ 使得 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$ 当且仅当以下条件成立

(1) $W(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq\beta\}$;

(2) $\sigma_p(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$.

证   若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 满足 $\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则 $H-\beta$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群 $U(t)=T(t){\rm e}^{-\beta t}$. 进而, $W(H-\beta)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq0\}$ 且 $\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z>0\}\subset\rho(H-\beta)$. 因此, $W(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq\beta\}$ 且 $\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z>\beta\}\subset\rho(H)$. 由引理 3.1 和 3.2 可知, $\sigma_p(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$.

反之,由条件 (1) 可知,$H-\beta$ 是耗散算子. 由引理 3.1 和 3.2 可知,条件 (2) 蕴含 $\sigma_c(H)\cup\sigma_r(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$. 从而, $\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z>\beta\}\subset\rho(H)$,进一步有, $\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z>0\}\subset \rho(H-\beta)$. 因此, $H-\beta$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群 $(U(t))_{t\geq0}$. 所以,$H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $T(t)=U(t){\rm e}^{\beta t}$ 满足 $\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$.

推论3.1   设 $H$ 是 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 中辛自伴的 Hamilton 算子矩阵,则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群当且仅当以下条件成立

(1) $W(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\leq0\}$;

(2) $\sigma_p(H)\subset {\rm i}{\mathbb R},$ 其中 i${\mathbb R}=\{{\rm i}\lambda:\lambda\in{\mathbb R}\}.$

注3.1   设 $H$ 是 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 中辛自伴的 Hamilton 算子矩阵. 若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus{\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$, 且存在 $\beta\geq0$ 使得 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则 $\sigma(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$. 特别地,若 $\beta=0$,则 $(T(t))_{t\geq0}$ 是压缩半群. 此时,$\sigma_p(H)\subset {\rm i}{\mathbb R}$, $\sigma_r(H)=\varnothing$,$\sigma_c(H)\subset {\rm i}{\mathbb R}$, ${\mathbb C}\setminus {\rm i}{\mathbb R}\subset \rho(H).$

证   若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus{\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta\geq0$ 使得 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则由定理 3.2 可知, $\sigma(H)\subset\{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$. 当 $\beta=0$ 时,容易验证 $\sigma_p(H)\subset {\rm i}{\mathbb R}$,并且 $ \sigma_c(H)\subset {\rm i}{\mathbb R}$. 由引理 3.1 可知,$\sigma_r(H)=\varnothing$. 进而,${\mathbb C}\setminus {\rm i}{\mathbb R}\subset \rho(H).$

根据定理 3.1,3.2 和注 3.1, 若辛自伴的 Hamilton 算子矩阵 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 满足 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则 $H$ 的谱分布如下

引理3.3   若 Hamilton 算子矩阵 $H=\bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\C~&-A^{*}\end{array}\bigg):{\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^*)\to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是耗散算子,则 $A$ 和 $-A^*$ 均为耗散算子.

证   根据文献 [6,定理 2.5.3 和 定理 2.5.4],结论易得.

引理3.4   设 $H=\bigg(\begin{array}{cc} A~&B\\0~&-A^{*}\end{array}\bigg):{\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^*)\to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是上三角 Hamilton 算子矩阵,则

$$\sigma_p(H)=\sigma_p(A)\cup\bigg \{\lambda\in {\mathbb C}:\lambda \in \sigma_p(-A^*),{\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big) \setminus \bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\ 0\end{array}\bigg)\neq\varnothing\bigg\}, $$

其中 ${\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big)$ 是行算子 $(A_1-\lambda\ B_2)$ 的零空间, $A_1=A|_{{\cal N}(A-\lambda)^{\perp}\cap{\cal D}(A)}$,$B_2=B| _{{\cal N}(A^*+\lambda)}$. 此外,

$${\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big)\setminus \bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\0\end{array}\bigg) = \bigg\{\bigg(\begin{array}{cc}f\\g\end{array}\bigg): \begin{array}{ll}f\in{\cal N}(A-\lambda)^{\perp}, g\in{\cal N}(A^*+\lambda)\setminus\{0\},\\ (A-\lambda)f=-Bg\end{array}\bigg\}.$$

证   设 $\lambda\in\sigma_p(H)$,$\xi=(f \ g)^t\in{\cal D}(H)$ 是 $\lambda$ 所对应的特征向量,则 $(H-\lambda)\xi=0,$ 即

$$ \left \{ \begin{array}{l} (A-\lambda)f+Bg=0,\nonumber\\ (A^*+\lambda)g=0.\nonumber \end{array} \right. $$

若 $g=0$,则 $f\neq0$,从而 $\lambda\in\sigma_p(A);$ 若 $g\neq0$,则 $\lambda\in\sigma_p(-A^*)$,且 ${\cal N}\big((A-\lambda \ B)\big)\setminus \bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\0\end{array}\bigg)\neq\varnothing$. 因此,

$$\sigma_p(H)=\sigma_p(A)\cup\bigg\{\lambda\in{\mathbb C}:\lambda\in\sigma_p(-A^*), {\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big)\setminus \bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\0\end{array}\bigg)\neq\varnothing\bigg\}.$$

下面给出集合 ${\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big)\setminus \bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\0\end{array}\bigg)$ 的更详细的描述.

因为 $A$ 是闭算子,所以 ${\cal N}(A-\lambda)$ 是 ${\cal X}$ 中的闭子空间. 因此,在空间分解 ${\cal N}(A-\lambda)\oplus{\cal N}(A-\lambda)^{\perp}\oplus{\cal N}(A^*+\lambda)^{\perp}\oplus{\cal N}(A^*+ \lambda)$ 下,$H-\lambda$ 有如下形式

$$\left(\begin{array}{cccc}0&~A_1-\lambda~&B_1&~B_2\\0&0&-A^*_1-\lambda&~0\end{array}\right).$$

因为 $-A^*_1-\lambda$ 在 ${\cal N}(A^*+\lambda)^{\perp}$ 上是单射,所以

$${\cal N}\left(\left(\begin{array}{cccc}A_1-\lambda&B_1&B_2\\0&~-A^*_1-\lambda~&0\end{array}\right)\right) ={\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big).$$

又因为

$${\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big)=\bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A_1-\lambda)\\0\end{array}\bigg)\oplus \bigg(\begin{array}{cc}0\\ {\cal N}(B_2)\end{array}\bigg) \oplus\bigg\{\bigg(\begin{array}{cc}f\\g\end{array}\bigg): \begin{array}{ll}f\in{\cal N}(A_1-\lambda)^{\perp}, g\in{\cal N}(B_2)^{\perp},\\(A-\lambda)f=-Bg\end{array}\bigg\},$$

且 $A_1-\lambda$ 在 ${\cal N}(A-\lambda)^{\perp}$ 上是单射,所以

$${\cal N}\big((A_1-\lambda\ \ B_2)\big)=\bigg\{\bigg(\begin{array}{cc}f\\g\end{array}\bigg): f\in{\cal N}(A-\lambda)^{\perp},g\in{\cal N}(A^*+\lambda), (A-\lambda)f=-Bg\bigg\}.$$

因此,

$${\cal N}\big((A_1-\lambda \ B_2)\big)\setminus\bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\0\end{array}\bigg) =\bigg\{\bigg(\begin{array}{cc}f\\g\end{array}\bigg): \begin{array}{ll}f\in{\cal N}(A-\lambda)^{\perp}, g\in{\cal N}(A^*+\lambda) \setminus\{0\},\\(A-\lambda)f=-Bg\end{array}\bigg\}.$$

证毕.

注3.2   若 $T$ 是闭的,$S$ 是可闭算子,则 ${\cal D}(T)\subset{\cal D}(S)$ 蕴含 $S$ 是 $T$ -有界 (参见文献 ^[7]). 因此,Hamilton 算子矩阵 $H$ 是对角占优的当且仅当 ${\cal D}(H)={\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^*)$, 是次对角占优的当且仅当 $ {\cal D}(H)={\cal D}(C)\oplus{\cal D}(B).$ 记 $H$ 的占优阶为 $\delta$.

定理3.3   设 $H=\bigg(\begin{array}{cc} A~&B\\0~&-A^{*}\end{array}\bigg): {\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^*)\to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是占优阶 $\delta<$ 1 的上三角 Hamilton 算子矩阵. 若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta\geq0$ 使得 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则

(1) $A$ 和 $-A^*$ 均右方有界且界为 $\beta$ (参见文献 ^[10]) (即 ${\rm Re}(Af,f)\leq\beta(f,f)$, $f\in{\cal D}(A)$,$ {\rm Re}(-A^*g,g)\leq\beta(g,g)$, $g\in{\cal D}(A^*)$);

(2) $\sigma_p(A)\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$, $\sigma_p(-A^*)\cap M\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\},$其中 $M=\bigg\{\lambda\in{\mathbb C}:{\cal N}\big((A_1-\lambda\ B_2)\big) \setminus\bigg(\begin{array}{cc}{\cal N}(A-\lambda)\\0\end{array}\bigg)\neq\varnothing\bigg\}$, $A_1$ 和 $B_2$ 为引理 3.4 中所定义.

证   若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta\geq0$ 使得 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,则 $H$ 是右方有界且界为 $\beta$. 由引理 3.3 可知,$A$ 和 $-A^*$ 均为右方有界且界为 $\beta$. 因此, 条件 (1) 成立. $H$ 的占优阶 $\delta<1$ 蕴含 $H$ 是辛自伴的 (参见文献 ^[6]). 根据定理 3.2 和引理 3.4,我们有 $\sigma_p(A)\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$,$\sigma_p(-A^*)\cap M\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}.$ 因此,条件 (2) 成立.

定理3.4   设 $H=\bigg(\begin{array}{cc} A~&B\\0~&-A^{*}\end{array}\bigg): {\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^{*})\to {\cal X}\oplus{\cal X}$ 是占优阶 $\delta<1$ 的上三角 Hamilton 算子矩阵. 若存在 $\beta\geq0$ 使得

$${\rm Re}(Bg,f)\leq (\alpha_0+\beta)\| f \|^2+(\beta_0+\beta)\| g\|^2,\ v =(f\ g)^t \in {\cal D}(H),$$

则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且 $\|T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$ 当且仅当以下条件成立

(1) $A$ 和 $-A^*$ 均右方有界且界为 $\beta$;

(2) $\sigma_p(A)\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$, $\sigma_p(-A^*)\cap M\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\},$ \\ 其中 $\alpha_0=\inf \{{\rm Re}\lambda: \lambda\in W(-A)\}$,$\beta_0=\inf \{{\rm Re}\lambda: \lambda\in W(A^*)\}$,$M$ 为定理 3.3 中所定义.

证   由条件 (1) 可知, $W(-A)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\geq-\beta\}$, $W(A^*)\subset\{z\in{\mathbb C}:{\rm Re}z\geq-\beta\}$. 因此, $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ 存在. 对任意 $v =(f\ g)^t\in {\cal D}(H)$,$f\neq0$,$g\neq0$,因为

$${\rm Re}(Bg,f)\leq (\alpha_0+\beta)\| f \|^2+(\beta_0+\beta)\| g\|^2,$$

所以

$${\rm Re}\frac{(Bg,f)}{\| f\|^2+\| g\|^2}\leq {\rm Re}\bigg(\frac{\| f\|^2}{\| f\|^2+\| g\|^2}\frac{(-Af,f)+\beta(f,f)}{\| f\|^2}+\frac{\| g\|^2}{\| f\|^2+\| g\|^2}\frac{(A^*g,g)+\beta(g,g)}{\| g\|^2}\bigg).$$

因此,

$${\rm Re}(Bg,f)\leq {\rm Re}(-Af,f)+\beta(f,f)+{\rm Re}(A^{*}g,g)+\beta(g,g),$$

即

$${\rm Re}\langle Hv,v\rangle={\rm Re}(Bg,f)+{\rm Re}(Af,f)+{\rm Re}(-A^{*}g,g)\leq\beta\langle v,v\rangle.$$

当 $f=0$ 或 $g=0$ 时,容易证明 ${\rm Re}\langle Hv,v\rangle\leq\beta\langle v,v\rangle.$ 因此,$H$ 是右方有界且界为 $\beta$. 另一方面,条件 $\delta<1$ 蕴含 $H$ 是辛自伴的. 由条件 (2) 和引理 3.4 可知, $\sigma_p(H)\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}. $ 因此,根据定理 3.2,$H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 且 $\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$.

反之,若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 且 $\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$,根据定理 3.3,结论易得.

推论3.2   设 $H=\bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\0~&-A^{*}\end{array}\bigg): {\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^{*}) \to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是占优阶 $\delta<1$ 的上三角 Hamilton 算子矩阵. 若 $A$ 是反自伴算子 (即 $A=-A^*$) 且

$${\rm Re}(Bg,f)\leq 0,v=(f \ g)^t\in {\cal D}(H),$$

则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群.

证   因为 $A$ 是反自伴算子,所以对任意 $f \in {\cal D}(A),$ 我们有

$$(Af,f)=(f,A^*f)=(f,-Af)=-\overline{(Af,f)}.$$

显然,$(Af,f)$ 是纯虚数. 因此,$A$ 是耗散算子且 $\alpha_0=0,\beta_0=0$. 根据定理 3.4,条件 ${\rm Re}(Bg,f)\leq 0,v=(f\ g)^t\in {\cal D}(H)$ 蕴含 $H$ 是 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上一个压缩半群的无穷小生成元.

推论3.3    设 $H=\bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\0~&-A^{*}\end{array}\bigg): {\cal D}(A)\oplus{\cal D}(A^{*})\to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是上三角 Hamilton 算子矩阵. 若以下条件成立

(1) $A$ 和 $-A^*$ 是耗散算子;

(2) $\sigma_p(A)\subset{\rm i}{\mathbb R}$,$\sigma_p(-A^*)\subset {\rm i}{\mathbb R}$;

(3) $B$ 是有界算子且 $\| B\|\leq2\sqrt{\alpha_0\cdot\beta_0}$,\\ 则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的压缩半群,其中 $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ 为定理 3.4 中所定义.

证   条件 (1) 蕴含 $\alpha_0\geq0$ 和 $\beta_0\geq0$ 存在. 由条件 (3) 可知,对任意 $v=(f\ g)^t\in{\cal D}(H),$ 我们有

$${\rm Re}(Bg,f)\leq\| B\|\cdot\| g\|\cdot\| f\| \leq2\sqrt{\alpha_0\cdot\beta_0}\cdot\| g\|\cdot\| f\|\leq\alpha_0\| f\|^2+\beta_0\| g\|^2.$$

另外,条件 (2) 蕴含 $\sigma_p(H)\subset {\rm i}{\mathbb R}$. 因此,根据定理 3.4,结论易得.

定理3.5   设 $H=\bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\C~&-A^{*}\end{array}\bigg): {\cal D}(C)\oplus{\cal D}(B) \to {\cal X}\oplus {\cal X}$ 是占优阶 $\delta<1$ 的 Hamilton 算子矩阵. 若 $C\subset -B$,$A$ 是自伴算子,则 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta>0$ 使得 $\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0)$ 当且仅当

$$W(A)\subset \{z\in{\mathbb R}:-\beta\leq z\leq\beta\}.$$

证 条件 $\delta<1$ 蕴含 $H$ 是辛自伴的. 由条件 $C\subset -B$ 可知,对任意 $v=(f\ g)^t\in{\cal D}(H)$,我们有

$\begin{eqnarray} {\rm Re}\langle Hv,v\rangle&=& {\rm Re}\bigg\langle \bigg(\begin{array}{cc}A~&B\\C~&-A^*\end{array}\bigg) \bigg(\begin{array}{cc}f\\ g\end{array}\bigg),\bigg(\begin{array}{cc}f\\ g\end{array}\bigg)\bigg\rangle\nonumber\\ &=& {\rm Re}(Af,f)+{\rm Re}(B g,f)+{\rm Re}(C f,g)-{\rm Re}(A^*g,g)\nonumber \\ &=& {\rm Re}(Af,f)-{\rm Re}(A^* g,g). \end{eqnarray}$

(3.2)

由条件 $W(A)\subset \{z\in{\mathbb R}:-\beta\leq z\leq\beta\}$ 可知

$$-\beta\| f\|^2\leq (Af,f)\leq\beta\| f\|^2,\ -\beta\| g\|^2\leq (-A^*g,g)\leq\beta\| g\|^2.$$

因此,结合 $(3.2)$ 式 可得

$$-\beta\|v\|^2\leq {\rm Re}\langle Hv,v\rangle\leq\beta\| v\|^2.$$

从而,$\overline{W(H)}\subset\{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$. 由引理 3.2 可知, $\sigma_p(H)\subset \{z\in{\mathbb C}:-\beta\leq {\rm Re}z\leq\beta\}$. 因此,根据定理 3.2,$H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$ 满足

$$\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}(t\geq0). $$

反之,若 $H$ 生成 ${\cal X}\oplus {\cal X}$ 上的 $C_0$ 半群 $(T(t))_{t\geq0}$,且存在 $\beta>0$ 使得

$$\| T(t)\|\leq {\rm e}^{\beta t}\ (t\geq0), $$

则根据定理 3.2,我们有 $W(H)\subset \{z\in{\mathbb C}: {\rm Re}z\leq\beta\}$. 由引理 3.3 可知,$W(A)\subset \{z\in{\mathbb C}: {\rm Re}z\leq\beta\}$, $W(-A^*)\subset \{z\in{\mathbb C}: {\rm Re}z\leq\beta\}$. 因为 $A$ 是自伴算子,所以 $W(A)\subset {\mathbb R}$. 进而,$W(A)\subset \{z\in{\mathbb R}:-\beta\leq z\leq\beta\}$.

考虑四阶微分方程混合问题

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a\frac{{{\partial }^{4}}u(x,y)}{\partial {{x}^{4}}}+b\text{i}\frac{{{\partial }^{3}}u(x,y)}{\partial {{x}^{2}}\partial y}+c\frac{{{\partial }^{2}}u(x,y)}{\partial {{y}^{2}}}=0,\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ } & y>0,-\infty < x < +\infty ,\\ u(x,0)=\varphi (x),& -\infty < x < +\infty ,\\ {{{{u}'}}_{y}}(x,0)=\psi (x),& -\infty < x < +\infty ,\\ u(\pm \infty ,y)=0,& {} \\ \end{array} \right.$

(4.1)

其中 $a,b$ 和 $c$ 为实的非零常数满足 $b^{2}=-4ac$,$\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$ 为四阶连续可微函数. 下面分三步进行讨论.

第一步   将上述问题转换成抽象 Cauchy 问题.

用变量 $y$ 模拟时间变量 $t$,将上述方程转换成如下 Hamilton 系统

$$\frac{\partial }{\partial y}\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -\frac{b\text{i}}{2c}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}~ & I \\ [2mm]0~ & -\frac{b\text{i}}{2c}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} p \\ q \\ \end{matrix} \right),$$

其中 $p=-cu$,$q=-c\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{b{\rm i}}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ (参见文献 ^[11]).

令 ${\cal X}=L^{2}(-\infty,+\infty).$ 对应的上三角 Hamilton 算子矩阵 $H$ 中,定义 $B=I$ 是全空间 ${\cal X}$ 上的单位算子,$A$ 和 $-A^*$ 为

$$Ap=-A^*p=-\frac {b{\rm i}}{2c}\frac{\partial^2p}{\partial x^2}:{\cal D}(A)={\cal D}(-A^*)=\{p\in {\cal X}:p',p''\in {\cal X}\}.$$

记 $V(y)=(p \ q)^t=(-cu\ -c\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{b{\rm i}}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})^t.$ 则问题 (4.1) 成为 ${\cal Z}={\cal X}\oplus {\cal X}$ 中的抽象 Cauchy 问题

$\begin{equation} \label{chouxiang:1} \left \{ \begin{array}{l} \frac {{\rm d}V(y)}{{\rm d}y}=HV(y),\\[3mm] V(0)=\bigg( -c\varphi(x) \ -c\psi(x)-\frac{b{\rm i}}{2}\varphi''(x)\bigg)^t. \end{array} \right. \end{equation}$

(4.2)

第二步   验证 $H$ 生成 ${\cal Z}$ 上的一个 $C_0$ 半群.

显然,$H$ 是满足定理 3.4 中条件的 Hamilton 算子矩阵. 因此,$H$ 生成 ${\cal Z}$ 上的一个 $C_0$ 半群.

第三步   给出 $H$ 所生成 $C_0$ 半群的具体表达式, 进而给出抽象 Cauchy 问题 (4.2) 的解. 对任意 $u=(u_{1}\ u_{2})^t \in {\cal Z}$,考虑方程 $(\lambda -H)v=u (\lambda>0),$ 即

$ \begin{equation} \label{fourier:1} \left \{ \begin{array}{l} \lambda v_{1}+\frac {b{\rm i}}{2c}v_{1}''-v_{2}=u_{1},\\ \lambda v_{2}+\frac{b{\rm i}}{2c}v_{2}''=u_{2}. \end{array} \right. \end{equation}$

(4.3)

记 $v(x)=(v_{1}(x)\ v_{2}(x))^t$ 和 $u(x)=(u_{1}(x)\ u_{2}(x))^t$ 的 Fourier 变换分别为 ${\cal F}(v(x))=V(\omega)=(V_{1}(\omega) \ V_{2}(\omega))^t$ 和 $ {\cal F}(u(x))=U(\omega)=(U_{1}(\omega)\ U_{2}(\omega))^t$. 对方程组 (4.3) 两端作 Fourier 变换,可得

$$ \left \{\begin{array}{l} \lambda V_{1}(\omega)-\frac {b{\rm i}}{2c}\omega^2V_{1}(\omega)-V_{2}(\omega)=U_{1}(\omega), \\ \lambda V_{2}(\omega)- \frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2V_{2}(\omega)=U_{2}(\omega), \end{array} \right. $$

即

$$V(\omega)=\frac{1}{\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2}\left(\begin{array}{cc}1~& \frac{1}{\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2}\\[3mm] 0~&1\end{array}\right)U(\omega). $$

根据 Parseval 等式,我们有

$$\begin{eqnarray*} \| v\|^2&=& \int_{-\infty}^{+\infty}| v_1(x)|^2{\rm d}x+\int_{-\infty}^{+\infty}| v_2(x)|^2{\rm d}x\nonumber\\ &=& \frac{1}{2\pi}\bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}|V_1(\omega)|^2 {\rm d}\omega+\int_{-\infty}^{+\infty}|V_2(\omega)|^2{\rm d}\omega\bigg)\nonumber\\ &=& \frac{1}{2\pi}\frac{1}{|\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2|^2}\bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}|U_1(\omega)|^2{\rm d} \omega+\bigg(1+\frac{1}{|\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2|^2}\bigg)\int_{-\infty}^{+\infty}|U_2(\omega)|^2{\rm d} \omega\bigg)\nonumber\\ &\leq& \nonumber \frac{1+|\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2|^2}{|\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2|^4}\frac{1}{2\pi}\bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}|U_1(\omega)|^2 {\rm d}\omega+\int_{-\infty}^{+\infty}|U_2(\omega)|^2{\rm d}\omega\bigg). \end{eqnarray*}$$

因此,对充分大的 $\lambda>0$,存在 $M>0$ 使得

$$\| v\|^2 \leq \frac{M}{2\pi}\bigg(\int_{-\infty}^{+\infty}|U_1(\omega)|^2 {\rm d}\omega+\int_{-\infty}^{+\infty}|U_2(\omega)|^2{\rm d}\omega\bigg) =M\|u \|^2. $$

所以,$\lambda \in \rho(H)$ 且 $H$ 的预解算子满足

$$\| R(\lambda;H)\|\leq M. $$

经计算可得

$${\cal F}[(R(\lambda;H)^nu)(x)]=\frac{1}{(\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2)^n}\left(\begin{array}{cc}1~& \frac{1}{\lambda -\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2}\\[3mm] 0~&1\end{array}\right)^nU(\omega).$$

因此,

$$\begin{eqnarray*} {\cal F}[({\rm e}^{yH_{\lambda}}u)(x)]&=&{\rm e}^{-\lambda y}{\cal F}[({\rm e}^{y\lambda^{2}R(\lambda;H)}u)(x)]\nonumber\\ &=&{\rm e}^{-\lambda y}{\cal F}\bigg[\bigg(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{y^{n}\lambda^{2n}}{n!}R(\lambda;H)^nu\bigg)(x)\bigg]\nonumber\\ &=& \exp\left(\begin{array}{cc} \frac{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2\lambda y}{\lambda-\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2}~~& \frac{\lambda^2y}{(\lambda-\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2)^2} \\[4mm] 0~~& \frac{\frac{b i}{2c}\omega^2\lambda y}{\lambda-\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2}\end{array}\right)U(\omega),\nonumber \end{eqnarray*}$$

其中 $H_\lambda$ 为 $H$ 的 Yosida 逼近. 因为

$$\begin{eqnarray*} {\cal F}[(T(y)u)(x)]&=&\lim_{\lambda\rightarrow\infty}{\cal F}[({\rm e}^{yH_{\lambda}}u)(x)]\nonumber\\ &=&\exp\left(\begin{array}{cc} \frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y~&y\\[3mm] 0~& \frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y\end{array}\right)U(\omega)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{cc}{\rm e}^{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y}~&y{\rm e}^{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y}\\ 0~&{\rm e}^{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y}\end{array}\right)U(\omega)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{cc}{\rm e}^{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y}U_{1}(\omega)+y{\rm e}^{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y}U_{2}(\omega)\\ {\rm e}^{\frac{b{\rm i}}{2c}\omega^2y}U_{2}(\omega)\end{array}\right),\nonumber \end{eqnarray*} $$

且 ${\cal F}(\frac{1}{\sqrt{-4\pi y{\rm i}}}{\rm e}^{-\frac{{\rm i}x^2}{4y}})={\rm e}^{{\rm i}\omega^2 y}$ $(y>0),$ 根据卷积公式, 我们有

$$(T(y)u)(x)=\left(\begin{array}{cc} \int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}}{2\pi by}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c}{2by}{\rm i}\xi^2}u_1(x-\xi){\rm d}\xi +\int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}y}{2\pi b}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c}{2by}{\rm i}\xi^2}u_2(x-\xi){\rm d}\xi\\ \int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}}{2\pi by}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c}{2by}{\rm i}\xi^2}u_2(x-\xi){\rm d}\xi\end{array}\right).$$

当 $V(0)\in {\cal D}(H)$ 时,问题 (4.2) 的解为 $T(y)V(0)$,即

\begin{eqnarray*} &&T(y)V(0)\\ &=&\left(\begin{array}{cc} -\int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}}{2\pi by}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c{\rm i}\xi^2}{2by}}c\varphi(x-\xi){\rm d}\xi -\int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}y}{2\pi b}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c{\rm i}\xi^2}{2by}}(c\psi+\frac{b{\rm i}}{2}\varphi'')(x-\xi){\rm d}\xi\\ -\int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}}{2\pi by}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c{\rm i}\xi^2}{2by}}(c\psi+\frac{b{\rm i}}{2}\varphi'')(x-\xi){\rm d}\xi\end{array}\right). \end{eqnarray*}

因此,问题 (4.1) 的解为

$$u(x,y)=\int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}}{2\pi by}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c{\rm i}\xi^2}{2by}}\varphi(x-\xi){\rm d}\xi +\int_{-\infty}^\infty\sqrt{\frac{c{\rm i}y}{2\pi b}}\cdot {\rm e}^{-\frac{c{\rm i}\xi^2}{2by}}(\psi+\frac{b{\rm i}}{2c}\varphi'')(x-\xi){\rm d}\xi.$$

Hamilton 算子矩阵具有自身独特的谱和数值域的分布. 因此,本文所得结论只对 Hamilton 算子矩阵成立,对其它算子矩阵未必成立.