近年来, 随着具有内部间断点的不连续的 Sturm-Liouville 问题广泛应用于工程技术与物理领域, 越来越多的人关注并研究这类问题. 众所周知, 经典 Sturm-Liouville 问题的解及其拟导数在问题区间的所有紧子集上都是绝对连续的, 而许多问题并不满足这一条件. 例如热传导问题, 光的衍射问题以及由不同材料重叠形成的 薄叠层板块的热传导问题等(见文献 [5]). 特别的, 越来越多的研究者对边界条件中含有谱参数, 特征值和特征函数的估计式以及特征函数系的完备性给予了研究, 类似的问题可参阅文献[7-9, 11-16, 19-27].

Fulton 研究了边界条件中含有谱参数并且不含有间断点的 Sturm-Liouville 算子的谱性质, 得到了特征值、特征函数的估计式以及震荡理论(见文献 [10]). Kadakal 和 Mukhtarov Osh 研究了一类边界条件中在一端点处的边界条件具有谱参数并且权函数是不连续的 Sturm-Liouville 问题(见文献 [11]), 得到了特征值和特征函数的估计式、格林函数以及讨论了特征函数系的完备性. 具有两个间断点的不连续 Sturm-Liouville 问题在文献[18-19] 中也已被研究. 在最近的一篇文献中(见文献 [18]), Erdo\v{g}an \d{s}en 研究了具有不连续权函数, 在一个端点处边界条件中含有谱参数并且具有两个间断点的不连续的 Sturm-Liouville 问题, 作者得到了格林函数和特征值的估计式, 以及讨论了特征函数的完备性. 然而, 文献中的权函数 $ \omega(x) $ 在所讨论的每个区间等于常数, 这大大限制了问题的实用性.

本文考虑下述两个边界条件均依赖于谱参数的不连续 Sturm-Liouville 问题

$\begin{equation}\label{1} \tau u:=-u''(x)+q(x)u(x)=\lambda \omega(x)u(x), \end{equation}$

(1.1)

其中 $ x\in J=[a, \xi)\cup(\xi, b] $, 在端点处的特征参数相关的边界条件是

${{L}_{1}}u:=\lambda ({{\alpha }_{{{1}'}}}u(a)-{{\alpha }_{{{2}'}}}{u}'(a))-({{\alpha }_{1}}u(a)-{{\alpha }_{2}}{u}'(a))=0,$

(1.2)

$\begin{equation}\label{3} L_2u:=\lambda(\beta_1'u(b)-\beta_2'u'(b))+(\beta_1u(b)-\beta_2u'(b))=0, \end{equation}$

(1.3)

在间断点 $ x=\xi$ 处的转移条件是

$ \begin{equation} L_{3}u:=u(\xi+0)-\gamma_{1}u(\xi-0)-\delta_{1}u'(\xi-0)=0, \label{4} \end{equation}$

(1.4)

$ \begin{equation} L_{4}u:=u'(\xi+0)-\gamma_{2}u(\xi-0)-\delta_{2}u'(\xi-0)=0, \label{5} \end{equation}$

(1.5)

其中函数 $ q(x)$ 在 $ [a, \xi), (\xi, b]$ 是实值连续的且具有有限极限 $ q(\xi\pm0)=\lim\limits_{x\rightarrow\xi\pm}q(x) $; $\lambda $ 是谱参数; 边界条件和转移条件的系数是实数; 对 $x \in J$, 我们定义权函数 $ \omega(x)= \frac{1}{x^{2}} $. 且假设 $ ab>0 $, $ \rho_1 = \left| \begin{array}{cc} \gamma_1 & \gamma_2 \\ \delta_1 & \delta_2 \\ \end{array} \right|>0, $ $ \rho_{2}=\left| \begin{array}{cc} \alpha'_{1} & \alpha_{1} \\ \alpha'_{2} & \alpha_{2} \\ \end{array} \right|>0 $, $ \rho_3 = \left| \begin{array}{cc} \beta'_{1} & \beta_{1} \\ \beta'_{2} & \beta_{2} \\ \end{array} \right|>0 $.

在这里我们考虑的是具有转移条件和两个边界条件均依赖于谱参数的不连续的 Sturm-Liouville 方程的谱问题, 运用经典分析技巧和算子理论, 在一个新的 Hilbert 空间中定义了一个与问题 (1.1)-(1.5) 相关的算子, 使得问题的特征值与此算子的特征值一致. 通过寻找 Sturm-Liouville 方程 (1.1) 的通解, 并且利用边界条件和转移条件, 得到问题的基本解, 这是得到问题 (1.1)-(1.5) 的特征值和特征函数的性质以及估计式的关键.

本章结构安排如下: 在第二部分, 构造了一个与带有转移条件的 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 相关的新的 Hilbert 空间, 本文的所有讨论都是在这个空间中进行的, 并且在此空间中定义了新的自伴算子, 使得问题的特征值与此算子的特征值一致. 在第三部分, 构造了基本解, 得到了基本解的估计式, 讨论了 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的谱的性质. 在第四部分, 得到了特征值和特征函数的估计式. 在第五部分, 讨论了特征函数系的完备性. 在第六部分, 得到了格林函数和预解算子.

在这一部分, 我们引入一个新的Hilbert空间 $ H=H_1\bigoplus {\Bbb C}^{2} $, 其中 $ H_1=L^{2}[a, \xi)\bigoplus L^{2} (\xi, b] $, 对任意的 $I\subset {\Bbb R}$, $L^{2}(I)$ 为所有满足 $ \int_{I} |f(x)|^{2}{\rm d}x < \infty$的复值可测函数全体, $ {\Bbb C}^{2} $为复数域乘积空间. 在 $H$ 上的内积定义作

$$ \langle F, G\rangle=\rho_1\int^{\xi}_{a}f\overline{g}\omega {\rm d}x+\int^{b}_{\xi} f\overline{g}\omega {\rm d}x+\frac{\rho_1}{\rho_2}f_1\overline{g_1}+\frac{1}{\rho_3} f_2\overline{g_2}, $$

其中

$$ F:=(f(x), f_1, f_2), \ G:=(g(x), g_1, g_2)\in H. $$

在 Hilbert 空间 $H$ 中定义一个对称算子 $A$, 使得所考虑的问题 (1.1)-(1.5) 的特征值问题与这个算子的特征值一致. 方便起见, 我们利用以下记号

$$ B_a(u)=\alpha_1u(a)-\alpha_2u'(a), $$ $$ B'_a(u)=\alpha'_1u(a)-\alpha'_2u'(a), $$ $$ B_b(u)=\beta_1u(b)-\beta_2u'(b), $$ $$ B'_b(u)=\beta'_1u(b)-\beta'_2u'(b). $$

在 Hilbert 空间 $H$ 上定义算子 $A$ 如下

\begin{eqnarray*} D(A)=&\Big\{&F=(f(x), f_{1}, f_{2})\in H \mid f(x), \ f'(x) \mbox{ 在 $[a, \xi)\cup (\xi, b]$ 上绝对连续,} \\ &&\mbox{在 $ \xi $ 点 $ f(\xi\pm0), \ f'(\xi\pm0)$ 存在极限,} \\ &&\mbox{并且满足 }\ \tau f\in H_{1}, \ L_{3}f=L_{4}f=0, \ f_{1}=B'_a(f), \ f_{2}=B'_b(f)\Big \}, \end{eqnarray*} $$ AF=\Big(\frac{1}{\omega(x)}(-f''+q(x)f), B_a(f), -B_b(f)\Big), $$

其中$ F=(f(x), B'_a(f), B'_b(f))\in D(A). $ 由此, 所考虑的问题 (1.1)-(1.5) 就转化为算子的形式

$$AF=\lambda F.$$

引理 2.1   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5)的特征值与算子 $A$ 的特征值一致, 且特征函数是算子 $A$ 的相应的特征函数的第一个分量.

引理 2.2   算子 $A$ 的定义域 $D(A)$ 在 $H$ 中稠密.

证   令 $ F=(f(x), f_{1}, f_2)\in H, F\bot D(A)$, $ C^{\infty}_{0}$ 是满足下列条件的函数集

$$ \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll} \varphi_1(x),\ \ & x\in [a, \xi), \\ \varphi_2(x),& x\in (\xi, b], \end{array}\right. $$

其中 $ \varphi_1(x)\in{\Bbb C}_0^{\infty}[a, \xi) $, $ \varphi_2(x)\in{\Bbb C}_0^{\infty}(\xi, b] $. 由于 $ {\Bbb C}_0^{\infty}\oplus0\oplus0\subset D(A) $ ($ 0\in{\Bbb C} )$, 对所有的与 $ F $ 正交的 $ U=(u(x), 0, 0)\in {\Bbb C}_0^{\infty}\oplus0\oplus0 $,

$$ \langle F, U\rangle=\rho_1\int^{\xi}_{a}f\overline{u}\omega {\rm d}x+\int^{b}_{\xi}f\overline{u}\omega {\rm d}x=0, $$

由此可知 $f(x)$ 在 $H_1$ 中与 $ C^{\infty}_{0}$ 正交, 这说明 $ f(x)=0$. 对所有的 $ V=(v(x), v_1, 0)\in D ( A )$, $ \langle F, V\rangle=\frac{\rho_1}{\rho_2}f_1\overline{v}_1=0 $, 由于 $ v_1 $ 是任意的函数, 因此 $ f_1=0 $. 进一步, 对所有 $ G=(g(x), g_1, g_2)\in D(A)$, 我们有 $ \langle F, G\rangle=\frac{1}{\rho_3}f_2\overline{g}_2=0 $. 由于 $g_2$ 为任意的函数, 因此 $ f_2=0$. 故 $ F=(0, 0, 0)$, 证毕.

引理 2.3   线性算子 $A$ 是对称的.

证   令 $ F, G\in D(A) $, 通过内积和算子 $ A $ 的定义, 我们得到

$\begin{align} & \langle AF,G\rangle -\langle F,AG\rangle ={{\rho }_{1}}[W(f,\bar{g};\xi -0)-W(f,\bar{g};a)]+[W(f,\bar{g};b)-W(f,\bar{g};\xi +0)]+ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}[{{B}_{a}}(f){{{{B}'}}_{a}}(\bar{g})-{{{{B}'}}_{a}}(f){{B}_{a}}(\bar{g})]+\frac{1}{{{\rho }_{3}}}[{{{{B}'}}_{b}}(f){{B}_{b}}(\bar{g})-{{B}_{b}}(f){{{{B}'}}_{b}}(\bar{g})], \\ \end{align}$

(2.1)

其中 $ W(f, g; x) $ 为 $ f $ 和 $ g $ 的朗斯基行列式

$$ W(f, g; x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x). $$

由转移条件 (1.4)-(1.5) 得

$\begin{equation}\label{11} W(f, \overline{g}; \xi+0)=\rho_1W(f, \overline{g}; \xi-0), \end{equation}$

(2.2)

并且, 容易得到

$\begin{equation}\label{13} B_a(f)B'_a(\overline{g})-B'_a(f)B_a(\overline{g})=\rho_2 W(f, \overline{g}; a), \end{equation}$

(2.3)

$\begin{equation}\label{14} B'_b(f)B_b(\overline{g})-B_b(f)B'_b(\overline{g})=-\rho_3W(f, \overline{g}; b). \end{equation}$

(2.4)

将(2.2)-(2.4)式 代入 (2.1)式, 即得到对任意 $F$, $G$ $\in D(A)$, 有 $ \langle AF, G\rangle=\langle F, AG\rangle $, 证毕.

定理 2.1   线性算子 $A$ 是自伴的.

证   由于 $ A $ 是对称的, 接下来只需证明如果对所有的 $ F = ( f(x), B_a' (f), B_b' (f)) \in D(A) $, 若 $ \langle AF, W \rangle =\langle F, U \rangle $, 则 $ W \in D(A) $ 并且 $ AW = U $ 即可, 其中 $W =( w(x), h, r ), \ U = ( u(x), k, s )$, 即要证

(i) $ w(x), w'(x)$ 在 $ [a, \xi_1)\bigcup (\xi_1, b] $ , 并且 $ \tau w \in H_{1}$;

(ii) $ h = \alpha' _1w(a)-\alpha' _2w'(a), \ r = \beta' _1w(b)-\beta' _2w'(b) $;

(iii) $ L_i w = 0, \ i=3, 4; $

(iv) $ u(x) = \tau w;$

(v) $ k = \alpha_1w(a)-\alpha_2w'(a), \ s = - ( \beta_1w(b)-\beta_2w'(b) ) $.

对任意的 $F \in {\Bbb C}^{\infty}_0 \oplus 0 \oplus 0 \in D (A) $ 满足

$$ \rho_1\int^{\xi}_{a}(\tau f)\overline{w}\omega {\rm d}x+\int^{b}_{\xi}(\tau f) \overline{w}\omega {\rm d}x=\rho_1\int^{\xi}_{a}f\overline{u}\omega {\rm d}x+\int^{b}_{\xi}f\overline{u}\omega {\rm d}x, $$

即 $ \langle \tau f, w \rangle_1 =\langle f, u \rangle_1 $. 根据经典的 Sturm-Liouville 理论, (i) 和 (iv) 成立. 通过 (iv), 对所有的 $F \in D(A) $, 方程 $ \langle AF, W \rangle =\langle F, U \rangle $ 变成

$$ \langle \tau f, w \rangle_1 = \langle f, lw \rangle_1+\frac{\rho_1}{\rho_2}[-B_a(f)\overline{h}+B'_a(f)\overline{k}]+\frac{1}{\rho_3}[-B'_b(f)\overline{s}+B_b(f)\overline{r}]. $$

由于

$$ \langle \tau f, w \rangle_1 = \langle f, lw \rangle_1 + \rho_1[W(f, \overline{w}; \xi-0)-W(f, \overline{w}; a)] +[W(f, \overline{w}; b)-W(f, \overline{w}; \xi+0)], $$

因此

$$\begin{eqnarray*} && \frac{\rho_1}{\rho_2}[-B_a(f)\overline{h}+B'_a(f)\overline{k}]+ \frac{1}{\rho_3}[-B'_b(f)\overline{s}+B_b(f)\overline{r}]\\ &=&\rho_1[W(f, \overline{w}; \xi-0)-W(f, \overline{w}; a)] +[W(f, \overline{w}; b)-W(f, \overline{w}; \xi+0)]. \end{eqnarray*}$$

由 Naimark 粘结引理[2]得, 存在 $ F \in D(A) $ 使得

$$ f(b)=f'(b)=f(\xi\pm 0)=f'(\xi\pm 0)=0, \ f(a)=\alpha' _2, \ f' (a)=\alpha' _1. $$

代入到上一个等式, 我们得到 $ h = \alpha' _1w(a)-\alpha' _2w'(a) $. 进一步, 存在 $ F \in D(A) $ 使得

$$ f(a)=f'(a)=f(\xi\pm 0)=f'(\xi\pm 0)=0, \ f(b)=\beta' _2, \ f' (b)=\beta' _1. $$

类似的, 我们有 $ r = \beta' _1w(b)-\beta' _2w'(b) $. 因此 (ii) 成立. 同样的方法可以证明 (v). 下一步, 令 $ F \in D(A) $, 并且满足 $ f(b)=f'(b)=f(a)=f' (a)=f(\xi+ 0)=0, \ f(\xi- 0)=-\delta_1, \ f' (\xi- 0)=\gamma_1, \ f'(\xi+ 0)=\rho_1, $ 则我们有 $ w(\xi_{1}+0)-\gamma_{1}w(\xi_{1}-0)-\delta_{1}w'(\xi_{1}-0)=0 $. 类似的可以证明 $ L_4w=0 $. 因此算子 $ A $ 是自伴的.

推论 2.1   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的所有特征值是实的.

推论 2.2   若 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_2 $ 是 Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的两个不同的特征值, 则相应的特征函数 $ u_1$ 和 $ u_2 $ 在如下意义下是正交的

$$ \rho_1\int^{\xi}_{a}u_1\overline{u}_2\omega {\rm d}x+\int^{b}_{\xi}u_1\overline{u}_2\omega {\rm d}x +\frac{\rho_1}{\rho_2}B'_a(u_1)B'_a(\overline{u}_2)+\frac{1}{\rho_3}B'_b(u_1)B'_b(\overline{u}_2)=0. $$

由于所有的特征值是实的, 仅研究实值的特征函数是必要的, 因此, 我们假设所有的特征函数是实值的.

我们首先给出下面的引理, 可通过文献 [21,引理 2.1] 的技巧来证明.

引理 3.1   令 $ q(x) $ 是 [a, b] 上的实值连续函数, $ f(\lambda), \ g(\lambda)$ 是给定的整函数. 则对任意的 $\lambda\in {\Bbb C}$, 方程

$$ \tau u:=-u''(x)+q(x)u(x)=\lambda\omega(x)u(x), \ x\in [a, b] $$

满足初始条件

$$ u(a)=f(\lambda), \ u'(a)=g(\lambda)\ ( \mbox{或} \ u(b)=f(\lambda), u'(b)=g(\lambda)) $$

的解 $ u=u(x, \lambda)$ 存在且唯一.并且对于每一个固定的 $ x\in [a, b)$ (或 $ x\in (a, b]$), $u(x, \lambda)$ 是 $\lambda $ 的整函数.

首先我们定义方程 (1.1) 的两个基本解

$$ \phi(x, \lambda)=\left\{\begin{array}{ll} \phi_1(x, \lambda), \ x\in [a, \xi), \\ \phi_2(x, \lambda), \ x\in (\xi, b];\\ \end{array}\right. \chi(x, \lambda)=\left\{\begin{array}{ll} \chi_1(x, \lambda), \ x\in [a, \xi), \\ \chi_2(x, \lambda), \ x\in (\xi, b], \end{array}\right. $$

其中 $ \phi_1(x, \lambda) $ 为方程 (1.1)在 $ [a, \xi) $ 上满足初始条件

$\begin{equation}\label{15} \left( \begin{array}{c} \phi_1(a, \lambda) \\ \phi'_1(a, \lambda) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \lambda\alpha'_2-\alpha_2 \\ \lambda\alpha'_1-\alpha_1 \\ \end{array} \right) \end{equation}$

(3.1)

的解. 通过引理 3.1, 定义 $ \phi_2(x, \lambda) $ 为方程 (1.1) 在 $ (\xi, b] $ 上满足初始条件

$\begin{equation}\label{16} \left( \begin{array}{c} \phi_2(\xi+0) \\ \phi'_2(\xi+0) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1\phi_1(\xi-0)+\delta_1\phi'_1(\xi-0) \\ \gamma_2\phi_1(\xi-0)+\delta_2\phi'_1(\xi-0) \\ \end{array} \right) \end{equation}$

(3.2)

的解. 类似的可以定义 $ \chi_2(x, \lambda) $ 和 $ \chi_1(x, \lambda) $ 为满足初始条件

$\begin{equation}\label{18} \left( \begin{array}{c} \chi_2(b) \\ \chi_2'(b) \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \lambda\beta'_2+\beta_2 \\ \lambda\beta'_1+\beta_1 \\ \end{array} \right), \end{equation}$

(3.3)

$\left( \begin{matrix} {{\chi }_{1}}(\xi -0) \\ {{{{\chi }'}}_{1}}(\xi -0) \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{{{\delta }_{2}}{{\chi }_{2}}(\xi +0)-{{\delta }_{1}}{{{{\chi }'}}_{2}}(\xi +0)}{{{\rho }_{1}}} \\ \frac{{{\gamma }_{1}}{{{{\chi }'}}_{2}}(\xi +0)-{{\gamma }_{2}}{{\chi }_{2}}(\xi +0)}{{{\rho }_{1}}} \\ \end{matrix} \right)$

(3.4)

的解.

下面我们考虑朗斯基行列式

$$ w_{i}(\lambda)=W(\varphi_{i}, \chi_{i}; x) =\varphi_{i}\chi_{i}'-\varphi_{i}'\chi_{i}, i=1, 2, $$

其中 $ w_{1}(\lambda), w_{2}(\lambda)$ 关于 $ x $ 分别在区间 $ [a, \xi] $, $ [\xi, b] $ 上是整函数.

引理 3.2   对于每一个 $ \lambda\in {\Bbb C} $, $ \rho_1w_1(\lambda)=w_2(\lambda)$.

证   由 (3.1)-(3.4)式, 简单计算可以得到

$$ W_\lambda(\phi_2, \chi_2; \xi+0)=\rho_1W_\lambda(\phi_1, \chi_1; \xi-0), $$

因此对每个 $ \lambda\in {\Bbb C} $, 有 $\rho_1w_1(\lambda)=w_2(\lambda)$. 证毕.

下面, 我们定义特性函数

$$ w(\lambda):=w_1(\lambda)=\frac{1}{\rho_1}w_2(\lambda). $$

定理 3.1   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的特征值和特性函数 $ w(\lambda)$ 的零解是一致的.

证   令 $ w(\lambda_0)=0 $. 则对 $ x\in [a, \xi) $, $ W_\lambda(\phi_1(\cdot, \lambda_0), \chi_1(\cdot, \lambda_0); x)\equiv 0$, 对 $ x\in (\xi, b] $, $ W_\lambda(\phi_2(\cdot, \lambda_0),$ $ \chi_2(\cdot, \lambda_0); x)\equiv 0 $. 因此, 函数 $ \phi_1(x, \lambda_0) $ 和 $ \chi_1(x, \lambda_0) $ 是线性相关的, 即存在 $ k_1\neq 0 $, 使得 $ \phi_1(x, \lambda_0)=k_1\chi_1(x, \lambda_0) $. 类似的存在 $ k_2\neq 0 $, 使得 $ \phi_2(x, \lambda_0)=k_2\chi_2(x, \lambda_0) $. 从而可得 $ \chi(x, \lambda_0) $ 满足边界条件 (1.2), $ \phi(x, \lambda_0) $ 满足边界条件 (1.3), 因此, $ \phi(x, \lambda_0) $, $ \chi(x, \lambda_0) $ 是特征值 $ \lambda_0 $ 对应的特征函数. 反之, 令 $ u_0(x) $ 为对应于特征值 $ \lambda_0 $ 的任意一个特征函数. 假设 $ w(\lambda_0)\neq 0 $, 因此 $ W_\lambda(\phi_i(\cdot, \lambda_0), \chi_i(\cdot, \lambda_0); x)\neq 0 $, $ x\in \Omega_i $ ($ i=1, 2 $). 由熟知的朗斯基行列式的性质知, 对每对函数 $ \phi_1(x, \lambda_0) $, $ \chi_1(x, \lambda_0) $ 和 $ \phi_2(x, \lambda_0) $, $ \chi_2(x, \lambda_0) $ 是线性无关的. 因此方程 (1.1) 的解 $ u_0(x) $ 可以表示为

$\begin{equation}\label{21} u_0(x, \lambda_0)=\left\{\begin{array}{ll} c_1\phi_1(x, \lambda_0)+c_2\chi_1(x, \lambda_0),~~& x\in [a, \xi), \\ c_3\phi_2(x, \lambda_0)+c_4\chi_2(x, \lambda_0),& x\in (\xi, b], \end{array}\right. \end{equation}$

(3.5)

系数 $ c_i $ ($i=1, 2, 3, 4$) 至少有一个不为零. 考虑以 $ c_i $ ($i=1, 2, 3, 4$) 作为变量的线性方程组

$\begin{equation}\label{22} L_v(u_0(x))=0, \ v=1, 2, 3, 4, \end{equation}$

(3.6)

并且将其代入 (3.1)-(3.4)式, 可以得到, 此系统的系统矩阵行列式等于 $ \rho^{2}_1w^{3}_1(\lambda_0)\neq0 $. 因此系统 (3.6) 只有平凡解, 故 $ c_i=0 $ ($ i=1, 2, 3, 4$), 这与假设矛盾, 证毕.

推论 3.1   如果 $ \lambda=\lambda_0 $ 是一个特征值, 则 $ \phi(x, \lambda_0) $ 和 $ \chi(x, \lambda_0) $ 是线性相关的.

证   令 $ \lambda=\lambda_0 $ 为问题 (1.1)-(1.5) 的一个特征值. 由定理 3.1 可得, $ W_\lambda(\phi_i(\cdot, \lambda_0), $ $ \chi_i(\cdot, \lambda_0); $ $x)\equiv 0 $, 因此对 $ k_1\neq 0 $ 和 $ k_2\neq 0 $,

$\begin{equation}\label{23} \chi_i(x, \lambda_0)=k_i\phi_i(x, \lambda_0), \ (i=1, 2). \end{equation}$

(3.7)

下面我们要证明 $ k_1=k_2$. 假设 $ k_1\neq k_2 $, 利用$ \phi_i(x, \lambda_0) $, $ \chi_i(x, \lambda_0) $ 的定义和方程 (3.7), 我们可以得到

$$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} (k_1-k_2)\phi_2(\xi+0, \lambda_0)=&k_1\phi_2(\xi+0, \lambda_0)-k_2\phi_2(\xi+0, \lambda_0)\\ =&\gamma_1k_1\phi_1(\xi-0, \lambda_0)+\delta_1k_1\phi'_1(\xi-0, \lambda_0)-k_2\phi_2(\xi+0, \lambda_0)\\ =&\gamma_1\chi_1(\xi-0, \lambda_0)+\delta_1\chi'_1(\xi-0, \lambda_0)-\chi_2(\xi+0, \lambda_0)\\ =&0. \end{array} \end{eqnarray*}$$

因此,

$\begin{equation}\label{24} \phi_2(\xi+0, \lambda_0)=0. \end{equation}$

(3.8)

类似的, 由 $ (k_1-k_2)\phi'_2(\xi+0, \lambda_0) $, 通过相同的过程, 可以得到

$\begin{equation}\label{25} \phi'_2(\xi+0, \lambda_0)=0. \end{equation}$

(3.9)

由于 $ \phi_2(x, \lambda_0) $ 是方程 (1.1) 在 $ (\xi, b] $ 上满足初始条件 (3.8)-(3.9) 的解, 由解的存在唯一性可以得到 $ \phi_2(x, \lambda_0)\equiv0 $ 在 $ (\xi, b] $ 上恒成立. 利用 (3.2)式 和 (3.8)-(3.9)式同样可以得到

$$ \phi_1(\xi-0, \lambda_0)=\phi'_1(\xi-0, \lambda_0)=0 . $$

从而, $ \phi_1(x, \lambda_0)\equiv0 $ 在 $ [a, \xi) $上恒成立. 因此在$ [a, \xi)\cup(\xi, b] $上 $ \phi(x, \lambda_0)\equiv0 $. 因此由 (3.3)式, 得到 $ \alpha'_1\alpha_2-\alpha'_2\alpha_1=0 $, 由于 $ \rho_2=\alpha'_1\alpha_2-\alpha'_2\alpha_1 > 0 $, 矛盾. 证毕.

定理 3.2   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的特征值是解析单的.

证   令 $ \lambda=s+{\rm i}t $, 为了简便, 令 $ \phi=\phi(x, \lambda) $, $ \phi_{1\lambda}=\frac{\partial\phi_1}{\partial\lambda} $, $ \phi'_{1\lambda}=\frac{\partial\phi_1' }{\partial\lambda} $. 对方程 $ \tau \chi=\lambda\omega\chi $ 两端关于 $ \lambda $ 求导可以得到

$\begin{equation}\label{26} \tau \chi_\lambda=\omega\chi+\lambda\omega\chi_\lambda. \end{equation}$

(3.10)

利用分部积分可得

$\begin{equation}\label{27} \langle \frac{\tau \chi_\lambda}{\omega}, \phi\rangle_1-\langle \chi_\lambda, \frac{\tau \phi}{\omega}\rangle_1= \rho_1(\chi_{1\lambda}\overline{\phi'_1}-\chi'_{1\lambda}\overline{\phi_1})|^{\xi}_{a}+(\chi_{2\lambda}\overline{\phi'_2}-\chi'_{2\lambda}\overline{\phi_2})|^{b}_{\xi}.\\ \end{equation}$

(3.11)

将 (3.10) 式和 $ \tau \phi=\lambda\omega\phi $ 代入 (3.11) 式的左边, 得到

$$ \lambda\langle \chi_\lambda, \phi\rangle_1+\langle \chi, \phi\rangle_1-\langle\chi_\lambda, \lambda\phi\rangle_1=\langle\chi, \phi\rangle_1+2 {\rm i}t\langle\chi_\lambda, \phi\rangle_1. $$

而且

\begin{eqnarray*} & &\rho_1(\chi_{1\lambda}\overline{\phi'_1}-\chi'_{1\lambda}\overline{\phi_1})|^{\xi}_{a}+(\chi_{2\lambda}\overline{\phi'_2}-\chi'_{2\lambda}\overline{\phi_2})|^{b}_{\xi}\\ & =&(\beta'_2\overline{\phi}'_2(b)-\beta'_1\overline{\phi}_2(b))-\rho_1[(\lambda\alpha'_1-\alpha_1)\chi_{1\lambda}(a)-(\lambda\alpha'_2-\alpha_2)\chi'_{1\lambda}(a)]. \end{eqnarray*}

注意到

$$ w'(\lambda)=\alpha'_2\chi'_1(a)-\alpha'_1\chi_1(a)+(\lambda\alpha'_2-\alpha_2) \chi'_{1\lambda}(a)-(\lambda\alpha'_1-\alpha_1)\chi_{1\lambda}(a), $$

因此方程 (3.11) 变成

$\begin{equation}\label{28} \rho_1w'(\lambda)=\langle \chi, \phi\rangle_1+2{\rm i}t\langle \chi_\lambda, \phi\rangle_1+\rho_1(\alpha'_2\chi'_1(a)-\alpha'_1\chi_1(a)) -(\beta'_2\overline{\phi}'_2(b)-\beta'_1\overline{\phi}_2(b)). \end{equation}$

(3.12)

接下来, 令 $ \mu $ 为 $ w(\lambda) $ 的任意一个零点, 由于 $ w(\mu)=0 $, 我们得到 $ \phi_1(x, \mu)=c_1\chi_1(x, \mu)\ (c_1\neq 0) $, $ \phi_2(x, \mu)=c_2\chi_2(x, \mu)\ (c_2\neq 0) $, 其中 $ c_1 $, $ c_2 \in {\Bbb C} $. 由

$$\begin{eqnarray*} \phi_2(\xi+0, \mu)&=&\gamma_1\phi_1(\xi-0, \mu)+\delta_1\phi'_1(\xi-0, \mu)\\ & =&c_1[\gamma_1\chi_1(\xi-0, \mu)+\delta_1\chi'_1(\xi-0, \mu)]\\ &=&c_1\chi_2(\xi+0, \mu) \end{eqnarray*}$$

得到 $ c_1=c_2\neq 0 $. 因此, 经过简单计算, (3.12)式变成

$$ \rho_1w'(\mu)=\overline{c}_1 (\rho_1\int^{\xi}_{a}|\chi_1(x, \mu)|^{2}\omega(x){\rm d}x +\int^{b}_{\xi}|\chi_2(x, \mu)|^{2}\omega(x){\rm d}x +\rho_1\rho_2c_0+\rho_3), $$

这里 $ \rho_1>0 $, $ \rho_2>0$, $\rho_3>0$, $c_0>0$ 和 $ \overline{c}_1>0 $, 因此 $ w'(\mu)\neq 0 $. 从而 $ \mu $ 的解析重数是 1. 证毕.

引理 3.3   令 $ \lambda=s^{2}+\frac{1}{4} $, $ s=\sigma+{\rm i}t $, $ \sigma>0$. 则下面的积分方程对 $ k=0, 1$ 成立

$\begin{eqnarray}\label{29} \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\phi_1(x, \lambda) &=&\frac{\phi_1(a)}{\sqrt{a}}\left(\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\cos [s(\ln a-\ln x)]+\frac{1}{2s}\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin [s(\ln a-\ln x)]\right) \nonumber\\ & &-\frac{\sqrt{a}\phi'_1(a)}{s}\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin [s(\ln a-\ln x)] \nonumber\\ &&-\frac{1}{s}\int^{x}_{a}\sqrt{t}q(t)\phi_1(t)\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin[ s(\ln t-\ln x)]{\rm d}t, \end{eqnarray}$

(3.13)

$\begin{eqnarray}\label{30} \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\phi_2(x, \lambda) &=&\frac{\gamma_1\phi_1(\xi-0)+\delta_1\phi'_1(\xi-0)}{\sqrt{\xi}} \bigg(\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\cos [s(\ln \xi-\ln x)] \nonumber\\ & &+\frac{1}{2s}\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin[ s(\ln \xi-\ln x)] \bigg) \nonumber\\ &&-\frac{\gamma_2\phi_1(\xi-0)+\delta_2\phi'_1(\xi-0)}{s}\sqrt{\xi}\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin [s(\ln \xi-\ln x)] \nonumber\\ & &-\frac{1}{s}\int^{x}_{\xi}\sqrt{t}q(t)\phi_2(t)\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin [s(\ln t-\ln x)]{\rm d}t. \end{eqnarray} $

(3.14)

证   当 $ q=0 $ 且 $ \lambda >\frac{1}{4}$ 时, 欧拉方程 $ u''(x)+\frac{\lambda}{x^{2}}u(x)=0 $ 的两个线性无关解为

$$ u_1(x)=x^{\frac{1}{2}}\cos \bigg(\frac{\sqrt{4\lambda-1}}{2}\ln |x| \bigg)$$ 和 $$ u_2(x)=x^{\frac{1}{2}}\sin \bigg(\frac{\sqrt{4\lambda-1}}{2}\ln |x| \bigg). $$

当 $ q\neq 0 $ 时, 考虑 $ \phi_1(x, \lambda) $ 作为下列非齐次柯西问题的解

$$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} u{{(x)}^{\prime \prime }}+\frac{\lambda }{{{x}^{2}}}u(x)=q(x)u(x,\lambda ), \\ {{\phi }_{1}}(a,\lambda )=\lambda {{{{\alpha }'}}_{2}}-{{\alpha }_{2}},{{{{\phi }'}}_{1}}(a,\lambda )=\lambda {{{{\alpha }'}}_{1}}-{{\alpha }_{1}}. \\ \end{array} \right. $$

利用常数变异法可得, $ \phi_1(x, \lambda) $ 满足

$$\begin{eqnarray*} \phi_1(x, \lambda)&=&\frac{\phi_1(a)}{\sqrt{a}}\left(\sqrt{x}\cos[ s(\ln a-\ln x)]+\frac{1}{2s}\sqrt{x}\sin [s(\ln a-\ln x)]\right)\\ & &-\frac{\sqrt{a}\phi'_1(a)}{s}\sqrt{x}\sin [s(\ln a-\ln x)]\\ &&-\frac{1}{s}\int^{x}_{a}\sqrt{t}q(t)\phi_1(t)\sqrt{x}\sin[ s(\ln t-\ln x)]{\rm d}t, \end{eqnarray*}$$

然后对其关于 $ x$ 微分可得 (3.13)式, 对 (3.14)式的证明类似, 在此省略．

定理 3.3   令 $ \lambda=s^{2}+\frac{1}{4} $, $ s=\sigma+{\rm i}t $, $ \sigma>0$. 则当 $ \alpha'_2 \neq 0$, $ |\lambda|\rightarrow\infty $ 时

$\begin{equation}\label{32} \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\phi_1(x, \lambda)=\frac{s^{2}\alpha'_2}{\sqrt{a}} \sqrt{x}\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\cos [s(\ln a-\ln x)]+O(|s|^{k+1}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln x)}), \end{equation}$

(3.15)

$\begin{equation}\label{33} \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\phi_2(x, \lambda)=\frac{s^{3}\alpha'_2\delta_1}{\sqrt{a}\xi}\sqrt{x}\sin [s(\ln a-\ln\xi)]\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\cos[ s(\ln \xi-\ln x)]+O(|s|^{k+2}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln x)}), \end{equation}$

(3.16)

当 $ \alpha'_2=0 $, $ |\lambda|\rightarrow\infty $ 时,

$\begin{equation}\label{35} \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\phi_1(x, \lambda)=-\frac{s\alpha'_1}{\sqrt{a}}\sqrt{x}\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sin[ s(\ln a-\ln x)]+O(|s|^{k}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln x)}), \end{equation}$

(3.17)

$\begin{equation}\label{36} \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\phi_2(x, \lambda)=-\frac{s^{2}\alpha'_1\delta_1} {\sqrt{a}\xi}\sqrt{x}\cos[ s(\ln a-\ln\xi)]\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}} \cos[ s(\ln \xi-\ln x)]+O(|s|^{k+1}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln x)}), \end{equation}$

(3.18)

此处 $ k=0, 1 $, 且上述估计式对 $ x\in J$ 是一致成立的.

证   由于对 $ \phi_1(x, \lambda) $ 的证明和文献 [1] 中 Titchmarsh 对 $ \phi(x, \lambda) $ 的证明相同, 但是 $ \phi_2(x, \lambda) $ 由非常数的初始条件定义的, 因此需要分开考虑. 在此我们仅证明当 $ k=0 $ 时的公式 (3.23). $ \alpha'_2\neq 0 $, 则根据 (3.15)式,

$$ \phi_1(\xi-0, \lambda)=\frac{s^{2}\alpha'_2}{\sqrt{a}}\sqrt{\xi}\cos [s(\ln a-\ln \xi)]+O(|s|{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln \xi)}), $$ $$ \phi_1'(\xi-0, \lambda)=\frac{s^{3}\alpha'_2}{\sqrt{a}\sqrt{\xi}}\sin [s(\ln a-\ln \xi)]+O(|s|^{2}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln \xi)}). $$

将这些估计式代入 $ k=0 $ 时的公式 (3.14) 中, 我们有

$\begin{eqnarray}\label{38} \phi_2(x, \lambda)&=&\frac{s^{3}\alpha'_2\delta_1}{\sqrt{a}\xi}\sqrt{x}\sin [s(\ln a-\ln\xi)]\cos[ s(\ln \xi-\ln x)] \nonumber\\ & &-\frac{1}{s}\int^{x}_{\xi}\sqrt{t}q(t)\phi_2(t)\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^{k}}\sqrt{x}\sin [s(\ln t-\ln x)]{\rm d}t % \nonumber\\ +O(|s|^{2}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln x)}). \end{eqnarray}$

(3.19)

容易证明

$\begin{equation}\label{39} \phi_2(x, \lambda)=O(|s|^{3}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln x)}), \end{equation}$

(3.20)

将 (3.20) 式代入 (3.19) 式得到当 $ k=0 $ 时 (3.16) 式. 证毕.

定理 3.4   令 $ \lambda=s^{2}+\frac{1}{4} $, $ s=\sigma+{\rm i}t $, $ \sigma>0$. 则特性函数 $ w_2(\lambda) $ 有以下估计式

情形一   若 $ \beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2\neq 0 $, 则

$\begin{equation}\label{40} w_2(\lambda)=-\frac{s^{6}\alpha'_2\beta'_2\delta_1}{\sqrt{ab}\xi}\sin[ s(\ln a-\ln \xi)]\sin [s(\ln \xi-\ln b)]+O(|s|^{5}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln b)}); \end{equation}$

(3.21)

情形二 若 $ \beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2=0 $, 则

$\begin{equation}\label{41} w_2(\lambda)=\frac{s^{5}\alpha'_1\beta'_2\delta_1}{\sqrt{ab}\xi}\cos [s(\ln a-\ln \xi)]\sin [s(\ln \xi-\ln b)]+O(|s|^{4}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln b)}); \end{equation}$

(3.22)

情形三 若 $ \beta'_2= 0 $, $ \alpha'_2\neq 0 $, 则

$\begin{equation}\label{42} w_2(\lambda)=\frac{s^{5}\alpha'_2\beta'_1\delta_1\sqrt{b}}{\sqrt{a}\xi}\sin[ s(\ln a-\ln \xi)]\cos [s(\ln \xi-\ln b)]+O(|s|^{4}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln b)}); \end{equation}$

(3.23)

情形四 若 $ \beta'_2= 0 $, $ \alpha'_2= 0 $, 则

$\begin{equation}\label{43} w_2(\lambda)=-\frac{s^{4}\alpha'_1\beta'_1\delta_1\sqrt{b}}{\sqrt{a}\xi}\cos [s(\ln a-\ln \xi)]\cos[ s(\ln \xi-\ln b)]+O(|s|^{3}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln b)}); \end{equation}$

(3.24)

证   将 (3.16) 和 (3.18) 式代入

$$\begin{eqnarray*} w_2(\lambda)&=&\phi_2(b, \lambda)\chi'_2(b, \lambda)-\phi'_2(b, \lambda)\chi_2(b, \lambda)\\ &=&\lambda(\beta'_1\phi_2(b, \lambda)-\beta'_2\phi'_2(b, \lambda))+(\beta_1\phi_2(b, \lambda)-\beta_2\phi'_2(b, \lambda)) \end{eqnarray*}$$

中即可.

推论 3.2   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的特征值有下界.

证   将 $ s={\rm i}t $ ($ t>0 $) 代入定理 3.4 中的式子中, 可以得到当 $ t\rightarrow\infty $ 时, $ w_2(-t^{2}+\frac{1}{4})\rightarrow\infty $. 因此当 $ \lambda $ 无穷大时, $ w_2(\lambda)\neq 0 $.

本节我们主要是给出 Sturm-Liouville 问题的特征值与特征函数的估计式. 由于特征值与整函数 $ w_2(\lambda) $ 的零点一致, 因此所考虑问题的特征值没有有限极限. 此外, 所有的特征值都是实的, 并且有下界. 因此, 我们可以将其重新排列成 $ \lambda_0\leq \lambda_1\leq \lambda_2\leq\cdots $ (包括重数).

定理 4.1   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的特征值 $ \lambda_n=s^{2}_n+\frac{1}{4}$ $ (n=0, 1, 2, \cdots) $ 有如下估计 ($ n\rightarrow\infty $)

情形一 若 $ \beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2\neq 0 $, 则

$\begin{equation}\label{44} s'_n=\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi}+O(\frac{1}{n}), \ s''_n=\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}+O(\frac{1}{n}); \end{equation}$

(4.1)

情形二 若 $ \beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2=0 $, 则

$\begin{equation}\label{45} s'_n=\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln a-\ln \xi}+O(\frac{1}{n}), \ s''_n=\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}+O(\frac{1}{n}); \end{equation}$

(4.2)

情形三 若 $ \beta'_2= 0 $, $ \alpha'_2\neq 0 $, 则

$\begin{equation}\label{46} s'_n=\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi}+O(\frac{1}{n}), \ s''_n=\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b}+O(\frac{1}{n}); \end{equation}$

(4.3)

情形四 若 $ \beta'_2= 0 $ , $ \alpha'_2= 0 $, 则

$\begin{equation}\label{47} s'_n=\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln a-\ln \xi}+O(\frac{1}{n}), \ s''_n=\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b}+O(\frac{1}{n}). \end{equation}$

(4.4)

证   我们只证明情形一中的 $s'_n$ 的渐近估计, 其他情形可类似证明. 若 $\beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2\neq 0 $, 定义 $w_2(s)=w_0(s)+a(s)$, 其中 $w_0(s)=-\frac{s^{6}\alpha'_2\beta'_2\delta_1}{\sqrt{ab}\xi}\sin[ s(\ln a-\ln \xi)]\sin [s(\ln \xi-\ln b)]$, $a(s)=O(|s|^{5}{\rm e}^{|t|(\ln a-\ln b)})$. 利用 Rouche 定理, 假如 $f(s)$, $g(s)$ 在封闭区间 $\Gamma$ 内解析, 且 $g(s) $$ \Gamma_n:= \bigg\{s\in {\Bbb C} \Big| |s|=\frac{1}{\ln a-\ln \xi}(n+\frac{1}{2})\pi \bigg\} $$

中 $w_0(s)>a(s)$. 令 $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\cdots $ 为 $w_2(\lambda)$ 的零点, $ \lambda_n=s^{2}_n+\frac{1}{4}$, 在封闭曲线 $\Gamma_n$ 内, $w_0(s)$ 在 $s=0$ 处具有零点, $s=\frac {1}{\ln a-\ln \xi}k\pi$, $k=\pm 1, \pm 2, \cdots, \pm n$, 而且零点个数为 $2n+6$, 又因为

$$s'_n=\frac {1}{\ln a-\ln \xi}(n-1)\pi+\delta_n, $$

其中 $ \delta_n=O(1) $, 更准确的

$$ |\delta_n|< \frac {1}{\ln a-\ln \xi}\frac{\pi}{2}, $$

当 $n$ 趋于无穷大时, 代回原方程得

$$ \delta_n=O(\frac{1}{n}), $$

综上所述,

$$ s'_n=\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi}+O(\frac{1}{n}).$$

证毕.

根据定理 4.1, 我们可以得到特征函数 $ \phi(x, \lambda_n) $ 的估计式.

定理 4.2   Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的特征函数有如下估计式

情形一 若 $ \beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2\neq 0 $, 则

$$ \phi(x, \lambda'_n)=\left\{\begin{array}{ll} \bigg [\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi} \bigg]^{2}\frac{\alpha'_2} {\sqrt{a}}\sqrt{x}\cos \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(n), ~ & x\in [a, \xi), \\[2mm] O(n^{2}), & x\in(\xi, b]. \end{array}\right. $$ $$ \phi(x, \lambda''_n)=\left\{\begin{array}{ll} \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]^{2}\frac{\alpha'_2}{\sqrt{a}}\sqrt{x} \cos \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(n), \ & x\in [a, \xi), \\[3mm] { \bigg[}\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]^{3} \frac{\alpha'_2\delta_1}{\sqrt{a}\xi} \sqrt{x}\sin \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln \xi) \bigg] \\[3mm] \cdot \cos \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln \xi-\ln x) \bigg] +O(n^{2}), & x\in(\xi, b]; \end{array}\right. $$

情形二 若 $ \beta'_2\neq 0 $, $ \alpha'_2=0 $, 则

\begin{eqnarray*} \phi(x, \lambda'_n)=\left\{\begin{array}{ll} - \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln a-\ln \xi} \bigg]\frac{\alpha'_1}{\sqrt{a}} \sqrt{x}\sin \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln a-\ln \xi}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(1), \ & x\in [a, \xi), \\[2mm] O(n), & x\in(\xi, b]. \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \phi(x, \lambda''_n)=\left\{\begin{array}{ll} - \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]\frac{\alpha'_1}{\sqrt{a}}\sqrt{x} \sin \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(1), \ &x\in [a, \xi), \\[3mm] - \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]^{2}\frac{\alpha'_1\delta_1} {\sqrt{a}\xi_1}\sqrt{x}\cos \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln \xi) \bigg] \\[3mm] \cdot \cos \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln \xi-\ln x) \bigg]+O(n), &x\in(\xi, b]; \end{array}\right. \end{eqnarray*}

情形三 若 $ \beta'_2= 0 $ , $ \alpha'_2\neq 0 $, 则

\begin{eqnarray*} \phi(x, \lambda'_n)=\left\{\begin{array}{ll} \bigg [\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi} \bigg]^{2}\frac{\alpha'_2}{\sqrt{a}} \sqrt{x}\cos \bigg[\frac{(n-1)\pi}{\ln a-\ln \xi}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(n), \ & x\in [a, \xi), \\[2mm] O(n^{2}), & x\in(\xi, b]. \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \phi(x, \lambda''_n)=\left\{\begin{array}{ll} \bigg [\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]^{2} \frac{\alpha'_2}{\sqrt{a}}\sqrt{x}\cos \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi} {\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(n),\ & x\in [a, \xi), \\[3mm] { \bigg[}\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]^{3} \frac{\alpha'_2\delta_1}{\sqrt{a}\xi}\sqrt{x}\sin \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln \xi) \bigg] \\[3mm] \cdot \cos \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln \xi_1-\ln x) \bigg]+O(n^{2}), & x\in(\xi, b]; \end{array}\right. \end{eqnarray*}

情形四 若 $ \beta'_2= 0 $, $ \alpha'_2= 0 $, 则

\begin{eqnarray*} \phi(x, \lambda'_n)=\left\{\begin{array}{ll} - \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln a-\ln \xi} \bigg]\frac{\alpha'_1}{\sqrt{a}} \sqrt{x}\sin \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln a-\ln \xi}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(1), \ &x\in [a, \xi), \\[3mm] O(n), & x\in(\xi, b]. \end{array}\right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \phi(x, \lambda''_n)=\left\{\begin{array}{ll} - \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg] \frac{\alpha'_1}{\sqrt{a}}\sqrt{x}\sin \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi} {\ln \xi-\ln b}(\ln a-\ln x) \bigg]+O(1), \ & x\in [a, \xi), \\[3mm] - \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b} \bigg]^{2}\frac{\alpha'_1\delta_1} {\sqrt{a}\xi}\sqrt{x}\cos \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b} (\ln a-\ln \xi) \bigg] \\[3mm] \cdot \cos \bigg[\frac{(n-\frac{1}{2})\pi}{\ln \xi-\ln b}(\ln \xi-\ln x) \bigg]+O(n), &x\in(\xi, b]. \end{array}\right. \end{eqnarray*}

并且这些估计式对 $ x\in J $ 一致成立.

定理 5.1   算子 $ A $ 只有点谱, 即

$$ \sigma(A)=\sigma_p(A). $$

证   只需证明如果 $ \gamma $ 不是 $ A $ 的特征值, 则 $\gamma \in \rho(A) $. 在这里我们引入算子方程

$$ (A-\gamma)Y=F \in H , $$

其中 $\gamma\in {\Bbb R}$. 考虑初值问题

$\begin{equation}\label{48} \left\{\begin{array}{ll} \tau u-\gamma \omega(x)u(x)=f(x)\omega(x), \\ u(\xi+0)-\gamma_{1}u(\xi-0)-\delta_{1}u'(\xi-0)=0, \\ u'(\xi+0)-\gamma_{2}u(\xi-0)-\delta_{2}u'(\xi-0)=0. \end{array}\right. \end{equation}$

(5.1)

令

$$ u(x)= \left\{\begin{array}{ll} u_1(x), \ & x\in [a, \xi), \\ u_2(x), \ & x\in (\xi, b] \end{array}\right. $$

为方程 $ \tau u-\gamma \omega(x)u(x)=0 $ 满足转移条件 (1.4)-(1.5) 的解.令

$$ w(x)= \left\{\begin{array}{ll} w_1(x), \ & x\in [a, \xi), \\ w_2(x), & x\in (\xi, b] \end{array}\right. $$

为方程

$$ \tau u-\gamma \omega(x)u(x)=f(x)\omega(x) $$

满足

$$ w(\xi+0)-\gamma_{1}w(\xi-0)-\delta_{1}w'(\xi-0)=0, $$ $$ w'(\xi+0)-\gamma_{2}w(\xi-0)-\delta_{2}w'(\xi-0)=0 $$

的解.则初值问题 (5.1) 有通解

$\begin{equation}\label{49} y(x)= \left\{\begin{array}{ll} du_1(x)+w_1(x), \ &x\in [a, \xi), \\ du_2(x)+ w_2(x), \ & x\in (\xi, b], \end{array}\right. \end{equation}$

(5.2)

其中 $ d \in {\Bbb C}$.

由于 $ \gamma $ 不是问题 (1.1)-(1.5) 的特征值, 我们有

$\begin{equation}\label{50} \gamma(\alpha_1'u_1(a)-\alpha_2'u_1'(a))-(\alpha_1u_1(a)-\alpha_2u_1'(a))\neq 0, \end{equation}$

(5.3)

$\begin{equation}\label{51} \gamma(\beta_1'u_3(b)-\beta_2'u'_3(b))+(\beta_1u_3(b)-\beta_2u'_3(b))\neq 0. \end{equation}$

(5.4)

$ (A-\gamma)Y=F \in H $ 第二个和第三个元素意味着

$\begin{equation}\label{52} (\alpha_1y(a)-\alpha_2y'(a))-\gamma(\alpha_1'y(a)-\alpha_2'y'(a))=B'_a(f), \end{equation}$

(5.5)

$\begin{equation}\label{53} (\beta_2y'(b)-\beta_1y(b))-\gamma(\beta_1'y(b)-\beta_2'y'(b))=B'_b(f), \end{equation}$

(5.6)

将 (5.2) 式代入到 (5.3) 和 (5.4)式, 得到

$$\begin{eqnarray*} && [(\alpha_1u_1(a)-\alpha_2u_1'(a))- \gamma(\alpha_1'u_1(a)-\alpha_2'u_1'(a))]d \\ &=&B'_a(f)+\gamma(\alpha_1'w_1(a)-\alpha_2'w_1'(a))-(\alpha_1w_1(a)-\alpha_2w_1'(a)), \\[2mm] && [(\beta_2u'_2(b)-\beta_1u_2(b))-\gamma(\beta_1'u_2(b)-\beta_2'u'_2(b))]d\\ &=&B'_b(f)+\gamma(\beta_1'w_2(b)-\beta_2'w'_2(b))-(\beta_2w'_2(b)-\beta_1w_2(b)). \end{eqnarray*}$$

通过 (5.3) 和 (5.4)式, 我们知道 $ d $是唯一的. 因此 $ y $ 是唯一的.

上述讨论说明 $ (A-\gamma I)^{-1} $ 定义在全空间 $ H $ 上, 通过定理 2.1 和闭图像定理, 我们知道 $ (A-\gamma I)^{-1} $ 是有界的. 因此 $ \gamma \in \rho(A) $, 即 $ \sigma(A)=\sigma_p(A)$.

引理 5.1   边值问题 (1.1)-(1.5) 的特征值有且仅有可数无穷个, 且没有有限聚点.

引理 5.2   算子 $ A $ 有紧预解集, 即对每个 $ \delta \in {\Bbb R}/\sigma_p(A)$, $ (A-\delta I)^{-1} $ 在 $ H $ 上是紧的 (参见文献[22, 定理 6.3.3]).

通过以上引理和紧算子的谱定理, 我们可以得到以下定理:

定理 5.2    Sturm-Liouville 问题 (1.1)-(1.5) 的特征函数扩张成算子 $ A $ 的特征函数在 $H$ 中在是完备的, 即令 $ \{\Phi_n=(\phi_n(x), B'_a(\phi_n), B'_b(\phi_n));n \in {\Bbb N}\} $ 为算子 $ A $ 的最大正交特征函数集, 其中 $\{\phi_n(x);n \in {\Bbb N}\}$ 是问题 (1.1)-(1.5) 的特征函数. 则对所有 $ F \in H $, 有

$$ F=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\langle F, \Phi_n \rangle \Phi_n . $$

令 $ A:H\rightarrow H $, 并且令 $ \lambda $ 不是 $ A $ 的特征值. 为了找到预解算子 $ R(\lambda, A)=(\lambda I-A)^{-1} $, 我们考虑算子方程

$\begin{equation}\label{54} (\lambda I-A)U=F, \end{equation}$

(6.1)

其中 $ F=(f(x), f_1, f_2) $. 这个算子方程等价于非齐次微分方程

$\begin{equation}\label{55} u''(x)+(\lambda \omega(x)-q(x))u(x)=f(x)\omega(x), \end{equation}$

(6.3)

其中 $ x\in[a, \xi)\cup(\xi, b] $, 满足非齐次边界条件

$\begin{equation}\label{56} \lambda(\alpha_1'u(a)-\alpha_2'u'(a))-(\alpha_1u(a)-\alpha_2u'(a))=f_1, \end{equation}$

(6.3)

$\begin{equation}\label{57} \lambda(\beta_1'u(b)-\beta_2'u'(b))+(\beta_1u(b)-\beta_2u'(b))=f_2, \end{equation}$

(6.4)

和转移条件 (1.4)-(1.5).

应用常数变易法, 寻找方程 (6.2) 形如下列形式的通解

$\begin{equation}\label{58} U(x, \lambda)= \left\{\begin{array}{ll} c_{1}(x, \lambda)\phi_{1}(x, \lambda)+c_{2}(x, \lambda)\chi_{1}(x, \lambda),\ & x\in[a, \xi), \\ c_{3}(x, \lambda)\phi_{2}(x, \lambda)+c_{4}(x, \lambda)\chi_{2}(x, \lambda), & x\in(\xi, b]. \end{array}\right. \end{equation}$

(6.5)

通过利用文献 [11-13] 同样的方法, 非齐次微分方程 (6.2) 的通解可表示为

$\begin{equation}\label{59} U(x, \lambda)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\phi_{1}(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{\xi}_{x}f(y)\chi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y+\frac{\chi_{1}(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{x}_{a}f(y)\phi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y\\ +c_{1}\phi_{1}(x, \lambda)+c_{2}\chi_{1}(x, \lambda), \ \ \ x\in[a, \xi), \\ \frac{\phi_{2}(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{b}_{x}f(y)\chi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y+\frac{\chi_{2}(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{x}_{\xi}f(y)\phi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y\\ +c_{3}\phi_{2}(x, \lambda)+c_{4}\chi_{2}(x, \lambda), \ \ \ x\in(\xi, b], \end{array}\right. \end{equation}$

(6.6)

其中 $ c_i\ (i=1, 2, \cdots , 4) $ 是任意的常数. 将方程 (6.6) 代入方程 (6.3)-(6.4) 以及条件 (1.4)-(1.5) 中, 可得

$$c_{1}=\frac{1}{w_{2}(\lambda)}\int^{b}_{\xi}f(y)\chi_{2}(y) \omega(y){\rm d}y+\frac{f_2}{w_2(\lambda)}, c_2=-\frac{f_1}{w_1(\lambda)}, $$ $$ c_3=\frac{f_2}{w_2(\lambda)}, c_{4}=\frac{1}{w_1(\lambda)} \int^{\xi}_{a}f(y)\phi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y-\frac{f_1}{w_1(\lambda)}. $$

因此方程 (6.2) 满足 条件(1.4)-(1.5) 和 (6.3)-(6.4) 的唯一解 $ U(x, \lambda) $ 可表示为

$\begin{equation}\label{60} U(x, \lambda)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\phi_{1}(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{\xi}_{x}f(y)\chi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y+\frac{\chi_{1}(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{x}_{a}f(y)\phi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y \\[3mm] +\frac{\phi_1(x\lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{b}_{\xi}f(y)\chi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y -\frac{f_1\chi_1(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}+\frac{f_2\phi_1(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}, \ \ x\in[a, \xi), \\[3mm] \frac{\phi_{2}(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{b}_{x}f(y)\chi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y+\frac{\chi_{2}(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{x}_{\xi}f(y)\phi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y\\ +\frac{\chi_2(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{\xi}_{a}f(y)\phi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y -\frac{f_1\chi_2(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}+\frac{f_2\phi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}, \ \ x\in (\xi, b]. \end{array}\right. \end{equation}$

(6.7)

由于

$\begin{equation}\label{61} w_1(\lambda)=\frac{1}{\rho_1}w_2(\lambda), \end{equation}$

(6.8)

可得到解 $ U(x, \lambda) $ 的另一表达形式

$ \begin{equation}\label{62} U(x, \lambda)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{\phi_{1}(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{\xi}_{x}f(y)\chi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y+\frac{\chi_{1}(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}\int^{x}_{a}f(y)\phi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y\\ +\frac{\phi_1(x\lambda)}{\rho_1w_1(\lambda)}\int^{b}_{\xi}f(y)\chi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y -\frac{f_1\chi_1(x, \lambda)}{w_1(\lambda)}+\frac{f_2\phi_1(x, \lambda)}{\rho_1w_1(\lambda)}, & x\in[a, \xi), \\ \frac{\phi_{2}(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{b}_{x}f(y)\chi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y+\frac{\chi_{2}(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{x}_{\xi}f(y)\phi_{2}(y)\omega(y){\rm d}y\\ +\frac{\rho_1\chi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}\int^{\xi}_{a}f(y)\phi_{1}(y)\omega(y){\rm d}y -\frac{\rho_1f_1\chi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}+ \frac{f_2\phi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}, & x\in (\xi, b]. \end{array}\right. \end{equation}$

(6.9)

因此, 从预解式 (6.9) 可得到格林函数. 为此, 令

$$ G(x, y; \lambda)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\phi(y, \lambda)\chi_i(x, \lambda)}{w_i(\lambda)},\ \ & a\leq y\leq x\leq b, \ \ \ x\neq\xi, y\neq\xi, \\ \frac{\phi_i(x, \lambda)\chi(y, \lambda)}{w_i(\lambda)}, & a\leq x\leq y\leq b, \ \ \ x\neq\xi, y\neq\xi, \end{array}\right.\ i=1, 2, $$

我们可以重新将预解式 (6.9) 写成以下形式

$ \begin{eqnarray}\label{63} U(x, \lambda)&=&\rho_1\int^{\xi}_{a}G(x, y; \lambda)f(y)\omega(y){\rm d}y +\int^{b}_{\xi}G(x, y; \lambda)f(y)\omega(y){\rm d}y \nonumber\\ &&-\frac{\rho_1f_1\chi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}+\frac{f_2\phi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}. \end{eqnarray}$

(6.10)

另一方面, 将 $ y $ 看作变量, 把 $ B'_b $ 和 $ B'_a $ 应用到格林函数, 注意到 $ \chi(x, \lambda) $ 和 $ \phi(x, \lambda) $ 满足初始条件 $ (3.1) $ 和 $ (3.3) $, 我们有

$\begin{eqnarray}\label{64} B'_b(G(x, \cdot; \lambda))&=&\beta'_1G(x, b; \lambda)-\beta'_2 \frac{\partial G(x, b; \lambda)}{\partial y} \nonumber\\ & =&\frac{\phi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}[\beta'_1\chi_2 (b, \lambda)-\beta'_2 \chi'_2(b, \lambda)] \nonumber\\ &=&\frac{\phi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}[\beta'_1 (\lambda \beta'_2+\beta_2)-\beta'_2(\lambda\beta'_1+\beta_1)] \nonumber\\ & =&\rho_3\frac{\phi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}. \end{eqnarray}$

(6.11)

类似的,

$\begin{equation}\label{65} B'_a(G(x, \cdot; \lambda))=-\rho_2\frac{\chi_2(x, \lambda)}{w_2(\lambda)}. \end{equation}$

(6.12)

将 (6.11)-(6.12)式 代入到 方程(6.10), 方程 (6.10) 亦可表示为

$\begin{eqnarray}\label{66} U(x, \lambda)&=&\rho_1\int^{\xi}_{a}G(x, y; \lambda)f(y)\omega(y){\rm d}y +\int^{b}_{\xi}G(x, y; \lambda)f(y)\omega(y){\rm d}y \nonumber\\ &&+\frac{\rho_1}{\rho_2} B'_a(G(x, \cdot; \lambda))f_1+\frac{1}{\rho_3} B'_b(G(x, \cdot; \lambda))f_2. \end{eqnarray}$

(6.13)

现在定义

$$ \widetilde{G}(x, \lambda)=(G(x, \cdot; \lambda), \ B'_a(G(x, \cdot; \lambda)), \ B'_b(G(x, \cdot; \lambda))), $$ $$ F=(f(x), f_1, f_2), \overline{F}=(\overline{f(x)}, \overline{f_1}, \overline{f_2})), $$

则方程 (6.13) 有如下形式

$$ U(x, \lambda)=\langle \widetilde{G}(x, \lambda), \overline{F}\rangle. $$

因此预解算子 $ R(\lambda, A)=(\lambda I-A)^{-1} $ 可表示为如下形式

$$ R(\lambda, A)F= (\langle \widetilde{G}(x, \lambda), \overline{F}\rangle, B'_a(\langle \widetilde{G}(x, \lambda), \overline{F}\rangle), B'_b(\langle \widetilde{G}(x, \lambda), \overline{F}\rangle)). $$