在讨论不含衰减项方程零解的稳定性时, 常常引入李雅普洛夫泛函. 但对于含有衰减项的方程,特别是当衰减项无界衰减时(见文献[1]), 使用李雅普洛夫泛函讨论零解的稳定性就会遇到困难. 因此, 需寻求其它方法来处理含无界衰减项方程零解的稳定性问题,本文将探讨此类情形. 考虑如下一类非线性Volterra方程
其中a(t),b(t),h(t)是连续函数且有界,x′(g(t))为自由衰减项且是对时间t的导数. 由于方程(1.1)不能写成下面的形式
ddt[x(t)+b(t)x(g(t))]=−a(t)x(t)+∫t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds+h(t),
故不能对它采用直接积分,换句话说, 不能直接构造李雅普洛夫泛函来讨论方程零解的稳定性. 类似(1.1)式这类含有无界衰减项的非线性方程, 需引入不动点理论的相关知识,通过构造相应的压缩映射来证明其零解的稳定性. 在众多相关研究中,文献[4]利用上述方法讨论了当g′(t)≠1 时方程
零解的稳定性. 在文献[6]中, 作者使用相同方法讨论了一类非线性中性微分方程周期解(即在周期变化条件下的解)的存在唯一性. 此外,在讨论方程解的稳定性文献中, 文献[2, 5, 8, 9]分别证明了几类线性方程解的稳定性,而 文献[1, 3, 7, 10, 11]则对几类非线性方程解的稳定性进行了证明. 本文主要参考了文献[4, 6]的分析方法, 在一定条件下构造一个适当压缩映射的同时,引入不动点理论对一类含无界 衰减项的非线性Volterra方程(1.1)零解的稳定性进行了讨论, 并得到了在时间无限大情形下其零解的渐近性态.方程(1.1)与其他工 作的区别在于自由衰减项x′(g(t))按时间t 无界衰减且g′(t)>0, 积分项∫t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds 中 f(x(s),x(v(s))) 是含两个中间变量的复合函数.
考虑如下一类含衰减项的微分方程
其中a(t),b(t),h(t)是连续有界函数,b(t)≠0且可微. g(t)>0,t∈R 且二次连续可微. 通过上节分析知道方程(2.1)不能通过直接积分,再利用李雅普洛夫泛函来讨论, 而需引入不动点理论,构造一个合适的映射. 在方程(2.1)中,假设g′(t)≠0,t∈R, 有如下引理
引理 2.1 如果 g′(t)≠0,t∈R,则 x(t)是方程(2.1)的一个解当且仅当
x(t)=[x(0)−b(0)g′(0)x(g(0))]e−∫t0a(s)ds+b(t)g′(t)x(g(t))−∫t0[r(u)x(g(u))−h(u)]e−∫tua(s)dsdu,
其中
r(u)=(b′(u)+b(u)a(u))g′(u)−b(u)g″(u)(g′(u))2.
证 在方程(2.1)两边同时乘以e∫t0a(s)ds且从0到t积分有
则
再两边同时除以e∫t0a(s)ds有
下面考虑右边第二项
利用分部积分方法,令
U(u)=b(u)g′(u)e−∫tua(s)ds,dV=x′(g(u))g′(u)du,
则有
将(2.6)式代入(2.4)式即得证引理.
令ψ(t):(−∞,0]⟶R是连续有界初值函数, 假设x(t)=ψ(t),t≤0,且当t≥0时满足方程(2.1), 则x(t):=x(t,0,ψ),t≥0是方程(2.1)的一个解. 如果对任意ϵ>0,存在δ=δ(ϵ)>0, 且ψ:[−∞,t0]⟶R,|ψ(t)|<δ,t≥t0时,|x(t,t0,ψ)|<ϵ, 则方程(2.1)的零解在t0点稳定.
令C是R⟶R的连续函数空间并定义集合
S={φ:R⟶R∣φ(t)=ψ(t),t≤0;t⟶∞,φ(t)⟶0,φ∈C},
其中φ有界, 则(S,‖⋅‖)是一个完备度量空间.
假设
且存在α>0满足
则有如下定理
定理 2.2 若 g′(t)≠0,t∈R且(2.7)式, (2.8)成立, 则对连续小初值函数ψ(t),方程(2.1)的所有解x(t,0,ψ)均是有界的, 且当t⟶∞ 时,这些解都趋于零. 并且其零解在t0=0点处稳定.
证 定义映射P:S⟶S
(Pφ)(t)=ψ(t),t≤0
且
(Pφ)(t)=[φ(0)−b(0)g′(0)φ(g(0))]e−∫t0a(s)ds+b(t)g′(t)φ(g(t))−∫t0[r(u)φ(g(u))−h(u)]e−∫tua(s)dsdu,t≥0.
则对φ∈S,Pφ是连续的. 令φ∈S,‖φ‖≤K,K是一个正常数. 假设ψ(t)是给定的连续小初值函数,且|ψ|<δ,δ>0, 则利用(2.8)式及(Pφ)(t)的定义有
由此可知当δ 足够小时, ‖Pφ(t)‖≤K,即(Pφ)(t)有界. 此外, 由条件(2.7)可知(Pφ)(t)右边第一项趋于零. 又由S的定义知右边第二项亦趋于零. 给定ϵ>0,φ∈S且‖φ‖≤K,K>0,则存在t1>0, 当t>t1时有|φ(g(t))|<ϵ.由条件(2.7), 当t>t1时,e−∫tt1a(s)ds<ϵ/αK. 因此当t>t1时,有
故当t⟶∞时,(Pφ)(t)⟶0.
令ξ,η∈S,则
因此,由压缩映射原理,P在S中有唯一不动点满足方程(2.1), 且当t⟶∞ 时P⟶0. 即方程(2.1)的零解在t0=0点处稳定.
考虑如下一类非线性Volterra方程
其中a(t),b(t),h(t)均是连续有界函数. 假设f(0,0)=0且f(x,y)对x,y是局部李普希兹连续的,即存在K>0, 当|x|,|y|,|z|,|w|≤K时,有
其中常数L,E>0. 记
令
S={φ:(0,∞)⟶R∣‖φ‖≤K,φ(t)=ψ(t),t≤0;φ(t)⟶0,t⟶∞;φ∈C}.
定义映射P:S⟶S
(Pφ)(t)=(φ(0)−b(0)g′(0)φ(g(0)))e−∫t0a(s)ds+b(t)g′(t)φ(g(t))−∫t0[r(u)φ(g(u))−h(u)−∫t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds]e−∫tua(s)dsdu,t≥0,
对于φ∈S,Pφ是连续的, 若P有一不动点φ,则φ为方程(3.1)的一个解.
为了说明P是压缩的,作如下假设,当α>0时,假设
有如下定理
定理 3.1 如果g′(t)≠0,t∈R且(2.7), (3.3)和(3.4)式均成立,则在连续小初值函数ψ(t):(−∞,0]⟶R条件下,当t⟶∞时, 方程(3.1)的零解在t0=0点处是稳定的.
证 由条件(2.7)知, 当t>t1时e−∫tt1a(s)ds<ϵ, 对连续小初值函数ψ(t)当|ψ|<δ, δ>0时,由(3.4)式得
故当t⟶∞ 时,(Pφ)(t)⟶0.
又令ξ,η∈S,则
因此,由压缩映射原理: P在S中有唯一不动点满足方程(3.1), 且当t趋于无穷大时其零解在t0=0点处是稳定的.