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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (5): 878-883   PDF (270 KB)    
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钟越
袁倩
一类非线性Volterra方程零解的稳定性
钟越, 袁倩    
四川师范大学文理学院 成都 610101
摘要: 讨论如下一类非线性Volterra方程零解的稳定性x'(t)=-a(t)x(t)+b(t)x'(g(t))+0tk(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds+h(t),使用不动点理论,并在一定条件下构造适当的压缩映射,得到了方程零解的稳定性.
关键词: 非线性Volterra方程     压缩映射     稳定性    
The Asymptotic Stability of the Zero Solution for A Nonlinear Volterra Equation
Zhong Yue, Yuan Qian    
The Arts and Sciences College of Sichuan Normal University, Chengdu 610101
Abstract: The aim of this paper is to deal with the stability of the zero solution for a nonlinear Volterra integro-differential equation x'(t)=-a(t)x(t)+b(t)x'(g(t))+0tk(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds+h(t),, The asymptotic stability of the zero solution for the equation is established by using fixed-point theory and constructing contraction mapping.
Key words: Nonlinear Volterra equation     Contraction mapping     Asymptotic stability    
1 引言

在讨论不含衰减项方程零解的稳定性时, 常常引入李雅普洛夫泛函. 但对于含有衰减项的方程,特别是当衰减项无界衰减时(见文献[1]), 使用李雅普洛夫泛函讨论零解的稳定性就会遇到困难. 因此, 需寻求其它方法来处理含无界衰减项方程零解的稳定性问题,本文将探讨此类情形. 考虑如下一类非线性Volterra方程

x(t)=a(t)x(t)+b(t)x(g(t))+t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds+h(t), (1.1)

其中a(t),b(t),h(t)是连续函数且有界,x(g(t))为自由衰减项且是对时间t的导数. 由于方程(1.1)不能写成下面的形式

ddt[x(t)+b(t)x(g(t))]=a(t)x(t)+t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds+h(t),

故不能对它采用直接积分,换句话说, 不能直接构造李雅普洛夫泛函来讨论方程零解的稳定性. 类似(1.1)式这类含有无界衰减项的非线性方程, 需引入不动点理论的相关知识,通过构造相应的压缩映射来证明其零解的稳定性. 在众多相关研究中,文献[4]利用上述方法讨论了当g(t)1 时方程

x(t)=a(t)x(t)+c(t)x(tg(t))+ttg(t)k(t,s)h(x(s))ds (1.2)

零解的稳定性. 在文献[6]中, 作者使用相同方法讨论了一类非线性中性微分方程周期解(即在周期变化条件下的解)的存在唯一性. 此外,在讨论方程解的稳定性文献中, 文献[2, 5, 8, 9]分别证明了几类线性方程解的稳定性,而 文献[1, 3, 7, 10, 11]则对几类非线性方程解的稳定性进行了证明. 本文主要参考了文献[4, 6]的分析方法, 在一定条件下构造一个适当压缩映射的同时,引入不动点理论对一类含无界 衰减项的非线性Volterra方程(1.1)零解的稳定性进行了讨论, 并得到了在时间无限大情形下其零解的渐近性态.方程(1.1)与其他工 作的区别在于自由衰减项x(g(t))按时间t 无界衰减且g(t)>0, 积分项t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))dsf(x(s),x(v(s))) 是含两个中间变量的复合函数.

2 基本引理及定理

考虑如下一类含衰减项的微分方程

x(t)=a(t)x(t)+b(t)x(g(t))+h(t), (2.1)

其中a(t),b(t),h(t)是连续有界函数,b(t)0且可微. g(t)>0,tR 且二次连续可微. 通过上节分析知道方程(2.1)不能通过直接积分,再利用李雅普洛夫泛函来讨论, 而需引入不动点理论,构造一个合适的映射. 在方程(2.1)中,假设g(t)0,tR, 有如下引理

引理 2.1 如果 g(t)0,tR,则 x(t)是方程(2.1)的一个解当且仅当

x(t)=[x(0)b(0)g(0)x(g(0))]et0a(s)ds+b(t)g(t)x(g(t))t0[r(u)x(g(u))h(u)]etua(s)dsdu,

其中

r(u)=(b(u)+b(u)a(u))g(u)b(u)g(u)(g(u))2.

在方程(2.1)两边同时乘以et0a(s)ds且从0到t积分有

t0[x(u)eu0a(s)ds]du=t0[b(u)x(g(u))+h(u)]eu0a(s)dsdu, (2.2)

x(t)et0a(s)dsx(0)=t0[b(u)x(g(u))+h(u)]eu0a(s)dsdu. (2.3)

再两边同时除以et0a(s)ds

x(t)=x(0)et0a(s)ds+t0b(u)x(g(u))etua(s)dsdu+t0h(u)etua(s)dsdu. (2.4)

下面考虑右边第二项

t0[b(u)x(g(u))]etua(s)dsdu=t0b(u)x(g(u))g(u)g(u)etua(s)dsdu, (2.5)

利用分部积分方法,令

U(u)=b(u)g(u)etua(s)ds,dV=x(g(u))g(u)du,

则有

t0[b(u)x(g(u))]etua(s)dsdu=b(t)g(t)x(g(t))b(0)g(0)x(g(0))et0a(s)dst0(b(u)+b(u)a(u))g(u)b(u)g(u)(g(u))2x(g(u))etua(s)dsdu=b(t)g(t)x(g(t))b(0)g(0)x(g(0))et0a(s)dst0r(u)x(g(u))etua(s)dsdu, (2.6)

将(2.6)式代入(2.4)式即得证引理.

ψ(t):(,0]R是连续有界初值函数, 假设x(t)=ψ(t),t0,且当t0时满足方程(2.1), 则x(t):=x(t,0,ψ),t0是方程(2.1)的一个解. 如果对任意ϵ>0,存在δ=δ(ϵ)>0, 且ψ:[,t0]R,|ψ(t)|<δ,tt0时,|x(t,t0,ψ)|<ϵ, 则方程(2.1)的零解在t0点稳定.

CRR的连续函数空间并定义集合

S={φ:RRφ(t)=ψ(t),t0;t,φ(t)0,φC},

其中φ有界, 则(S,)是一个完备度量空间.

假设

et0a(s)ds0,t, (2.7)

且存在α>0满足

|b(t)g(t)|+t0|r(u)|etua(s)dsdu+t0|h(u)|etua(s)dsduα<1,t0, (2.8)

则有如下定理

定理 2.2 g(t)0,tR且(2.7)式, (2.8)成立, 则对连续小初值函数ψ(t),方程(2.1)的所有解x(t,0,ψ)均是有界的, 且当t 时,这些解都趋于零. 并且其零解在t0=0点处稳定.

定义映射P:SS

(Pφ)(t)=ψ(t),t0

(Pφ)(t)=[φ(0)b(0)g(0)φ(g(0))]et0a(s)ds+b(t)g(t)φ(g(t))t0[r(u)φ(g(u))h(u)]etua(s)dsdu,t0.

则对φS,Pφ是连续的. 令φS,φK,K是一个正常数. 假设ψ(t)是给定的连续小初值函数,且|ψ|<δ,δ>0, 则利用(2.8)式及(Pφ)(t)的定义有

(Pφ)(t)|1b(0)g(0)|K+|b(t)g(t)|K+Kt0|r(u)|etua(s)dsdu+t0|h(u)|etua(s)dsdu|1b(0)g(0)|δ+αK. (2.9)

由此可知当δ 足够小时, Pφ(t)K,(Pφ)(t)有界. 此外, 由条件(2.7)可知(Pφ)(t)右边第一项趋于零. 又由S的定义知右边第二项亦趋于零. 给定ϵ>0,φSφK,K>0,则存在t1>0, 当t>t1时有|φ(g(t))|<ϵ.由条件(2.7), 当t>t1时,ett1a(s)ds<ϵ/αK. 因此当t>t1时,有

|t0[r(u)φ(g(u))h(u)]etua(s)dsdu|Kt10|r(u)|etua(s)dsdu+ϵtt1|r(u)|etua(s)dsdu+ϵt0|h(u)|etua(s)dsduKett1a(s)dst10|r(u)|etua(s)dsdu+αϵαKett1a(s)ds+αϵϵ+αϵ (2.10)

故当t时,(Pφ)(t)0.

ξ,ηS,则

|(Pξ)(t)(Pη)(t)|{|b(t)g(t)|+t0|r(u)|etua(s)dsdu}ξηαξη. (2.11)

因此,由压缩映射原理,PS中有唯一不动点满足方程(2.1), 且当tP0. 即方程(2.1)的零解在t0=0点处稳定.

3 非线性Volterra方程

考虑如下一类非线性Volterra方程

x(t)=a(t)x(t)+b(t)x(g(t))+t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds+h(t), (3.1)

其中a(t),b(t),h(t)均是连续有界函数. 假设f(0,0)=0f(x,y)x,y是局部李普希兹连续的,即存在K>0, 当|x|,|y|,|z|,|w|K时,有

|f(x,y)f(z,w)|L|xz|+E|yw|, (3.2)

其中常数L,E>0. 记

|f(x,y)|=|f(x,y)f(0,0)+f(0,0)||f(x,y)f(0,0)|+|f(0,0)|L|x|+E|y|. (3.3)

S={φ:(0,)RφK,φ(t)=ψ(t),t0;φ(t)0,t;φC}.

定义映射P:SS

(Pφ)(t)=ψ(t),t0

(Pφ)(t)=(φ(0)b(0)g(0)φ(g(0)))et0a(s)ds+b(t)g(t)φ(g(t))t0[r(u)φ(g(u))h(u)t0k(t,s)f(x(s),x(v(s)))ds]etua(s)dsdu,t0,

对于φS,Pφ是连续的, 若P有一不动点φ,则φ为方程(3.1)的一个解.

为了说明P是压缩的,作如下假设,当α>0时,假设

|b(t)g(t)|+t0[|r(u)|+t0(L+E)|k(t,s)|ds]etua(s)dsdu+t0|h(u)|etua(s)dsduα<1,  t0. (3.4)

有如下定理

定理 3.1 如果g(t)0,tR且(2.7), (3.3)和(3.4)式均成立,则在连续小初值函数ψ(t):(,0]R条件下,当t时, 方程(3.1)的零解在t0=0点处是稳定的.

由条件(2.7)知, 当t>t1ett1a(s)ds<ϵ, 对连续小初值函数ψ(t)|ψ|<δ, δ>0时,由(3.4)式得

(Pφ)(t)|1b(0)g(0)|δ+|b(t)g(t)|K+Kt10|h(u)|et1ua(s)dsdu+Kt10[|r(u)|+t0(L+E)|k(t,s)|ds]et1ua(s)dsdu+ϵtt1|h(u)|etua(s)dsdu+ϵtt1[|r(u)|+t0(L+E)|k(t,s)|ds]etua(s)dsdu|1b(0)g(0)|δ+ϵαK+ϵα, (3.5)

故当t 时,(Pφ)(t)0.

又令ξ,ηS,则

|(Pξ)(t)(Pη)(t)||b(t)g(t)|ξη+ξηt0|h(u)||ξ(g(u))η(g(u))|etua(s)dsdu+ξηt0|t0k(t,s)f(x(s),ξ(v(s)))dst0k(t,s)f(x(s),η(v(s)))ds|etua(s)dsdu{|b(t)g(t)|+t0[|r(u)|+t0(L+E)|k(t,s)|ds]etua(s)dsdu}ξηαξη. (3.6)

因此,由压缩映射原理: PS中有唯一不动点满足方程(3.1), 且当t趋于无穷大时其零解在t0=0点处是稳定的.

参考文献
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[5] 赖绍永. 一类非线性扰动波方程的渐近理论及应用. 四川师范大学学报(自然科学版), 1996, 19(6):56-61
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[7] Raffoul Y N. Uniform asymptotic stability in linear Volterra systems with nonlinear perturbation. Int J Differential Equtions Appl, 2002, 6(1):19-28
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一类非线性Volterra方程零解的稳定性
钟越, 袁倩