数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (5): 833-844   PDF (418 KB)    
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马文雅
张乔夫
崔俊芝
局部任意阶增长的拟线性抛物方程解的存在性
马文雅1, 张乔夫2,3, 崔俊芝4    
1 河南农业大学信息与管理科学学院 郑州 450002;
2 浙江大学电气工程学院 杭州 310027;
3 宁波鑫高益公司浙江 余姚 315400;
4 中国科学院计算数学与科学工程计算研究所 北京 100190
收稿日期: 2014-02-07; 修订日期: 2015-04-20
基金项目: 国家重点基础研究发展计划(973计划)项目(2012CB025904)、国家自然科学基金(90916027)和NSFC-河南人才培养联合基金(U1404102)资助
作者简介: 张乔夫,zhangqf@lsec.cc.ac.cn
摘要: 该文运用Schauder不动点方法对一类具有局部任意阶增长、含有记忆项的拟线性抛物方程证明了全局弱解的存在性.具体地,通过固定系数及源项中的函数变量构造一个线性映射,其定义域取值范围是有界的,但可以局部任意阶增长.由极值原理知其值域包含在一个有界凸集中,又注意到解关于数据的连续依赖性,所以该映射是连续的,结合紧性得知存在不动点.证明中仅要求系数关于函数变量连续,关于时空变量可测即可.另外,对含记忆项的情形也进行了考察.
关键词: 拟线性抛物方程     不动点     存在性     局部任意阶增长    
Global Existence for Some Quasi-Linear Parabolic Equations with Locally Arbitrary Growth and Memory
Ma Wenya1, Zhang Qiaofu2,3, Cui Junzhi4    
1 College of Information and Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou 450002;
2 College of Electrical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027;
3 Ningbo Xingaoyi Co, Ltd, Zhejiang Yuyao 315400;
4 LSEC, ICMSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190
Received: 2014-02-07; Revised: 2015-04-20
Abstract: Existence theory for a kind of quasi-linear parabolic equations is established by the Schauder fixed point method. Actually a linearized map is defined by fixing the function variables in the coefficients and the right-hand term. Its domain is chosen to be bounded but a locally arbitrary growth condition is considered. Therefore its range is contained in a closed convex set through the maximum principle. This map is continuous since the solution smoothly depends on the data. Compactness is deduced from the embedding theorem, so there exists a fixed point. The coefficients are just required to be continuous with respect to the function variables, but can be only measurable with respect to the space and time variables. Moreover, memory terms are also considered.
Key words: Existence theory     Quasi-linear parabolic equations     Fixed point     Locally arbitrary growth condition    
1 引言

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb R}^n(n\geqslant 2)$ 中有界 Lipschitz 区域,$T$ 为任意正常数. 记 $Q_T=\Omega\times(0,T)$,下文在 $Q_T$ 中考察拟线性抛物方程

\begin{equation}%\label{eq:fangcheng} \partial_t u-\mbox{div}( A^u\nabla u) =f^u , \end{equation} (1.1)

其中

\begin{equation}A^u=A\left(u(x,t),u(x,t-\tau),\chi_{_{[0,T-\tau]}}u(x, t+\tau),x,t\right), \end{equation} (1.2)
\begin{equation}f^u=f\left(u(x,t),u(x,t-\tau),\chi_{_{[0,T-\tau]}}u(x,t+\tau),x, t\right).\end{equation} (1.3)

$\chi_{_{[0,T-\tau]}}$ 代表特征函数,

\begin{equation} \chi_{_{[0,T-\tau]}}(t)=\left\{\begin{array}{ll}1,~~& \mbox{当}~ t \in [0,T-\tau],\\ 0,& \mbox{其它.} \end{array} \right. \end{equation} (1.4)

并且 当 $(x,s)\in\Omega\times[-\tau,0]$,$\tau\in [0,\infty)$时, $u(x,s)=\eta(x,s)$. 若 $A^u=A(u(x,t),x,t)=(k_{ij}+4u^3b_{ij})$,该模型即为综合热交换模型中的对流-辐射耦合的 Rosseland 方程(参见文献[17]). 一般地,系数中也可依赖超前项和滞后项. 若

\begin{equation}A^u=A\left(u(x,t),x,t\right)+\int_{0}^{\tau+t}u(x,t-s)\beta(s){\rm{d}} s,\end{equation} (1.5)

其中 $\beta(s)$ 为 $L^1(0,T+\tau)$ 中的非负函数, 该模型可被用来描述具有记忆的热传导刚体(参见文献[2]). $f^u$代表热源,通常关注取值非负的情形.

本文中,设 $g(x,t)\in H^1(Q_T)$,初边值条件即为

$ u(x,t)=g(x,t),~~\hbox{a.e. } ~~\partial\Omega\times(0,T), $ (1.6a)
$ u(x,s)=\eta(x,s),~~\hbox{a.e. }~~\Omega\times[-\tau,0], $ (1.6b)
$ u(x,0)=g(x,0)=\eta(x,0),~~\hbox{a.e. }~ ~ \Omega. $ (1.6c)

借助空间 $L^2(0,T; H^1_0(\Omega))$ 的对偶 $L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$, 上述问题化归为寻找满足条件 (1.6b)-(1.6c) 的 $u\in L^2(0,T; H^1(\Omega))$,并使

\begin{equation}\label{latter} \partial_t u\in L^2(0, T;H^{-1}(\Omega)),\quad (u-g)\in L^2(0,T; H^1_0(\Omega)) \end{equation} (1.7)

且

\begin{eqnarray}\label{pro}%\label{eq:fangcheng} &&\langle \partial_t u,\varphi\rangle_{ L^2(0,T; H^1_0(\Omega))} +\iint_{Q_T}A^u\nabla u \cdot \nabla \varphi{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &=& \iint_{Q_T}f^u\varphi{\rm{d}} x{\rm{d}} t ,\quad\forall \varphi\in L^2(0,T; H^1_0(\Omega)). \end{eqnarray} (1.8)

易见,由 (1.7)式的第二式直接可得 (1.6a)式.

该模型的提出主要源自于综合传热问题、多孔介质中的渗流问题, 以及化学过程中的反映扩散等问题. 譬如,对综合传热问题,为了考察超音速飞行器的性能和安全, 特别是在其升降过程中受大气摩擦故而温度急剧升高的背景下,需要考察复合材料所承受的高温变化范围, 特别要保证温度在其服役过程中不能无限增长或发生爆破. 由于在高温环境下, 辐射效应显著、不能忽略,所以应考虑对流-辐射耦合的综合热交换问题, 其典型代表即上述的 Rosseland 方程(参见文献[17]). 其它, 诸如化学过程中的反应扩散方程,或者描述非饱和多孔介质中流体输运(例如, 土壤中的渗流)的 Richard 方程(参见文献[4])等也属于这一类型. 此外,还包括一些微分积分方程(参见文献[14])等, 其非局部的积分微分项可能来自于扩散过程中的跳跃(参见文献[9]) 或股票定价(参见文献[1])等过程.

就复合材料综合传热的 Rosseland 方程(参见文献[17])来说, 系数中的跳跃和增长阶使得无法使用传统的 Leray- Schauder 定理(参见文献[18])进行处理. 而 Richard 方程(参见文献 [4])中也面临着同样的问题,因为多孔介质本身使得系数剧烈震荡. 类似地,在描述反应扩散的化学过程中,反应界面同样具有非连续的特点.

这里列举一些抛物方程初边值问题的主要文献. 由于传统的 Leray-Schauder 理论 (参见文献[10])中,系数要求 Hölder 连续、且满足增长性条件的限制, 所以上述问题无法采用 Leray-Schauder 不动点定理(参见文献 [18,第 277 页]) 及 $C^{\alpha,\frac\alpha2}$ 估计(参见文献 [6,第 228-240 页]). 一般地,系数中的连续性条件和增长性条件通常被用来证明古典解 (参见文献[6, 10, 15, 16]). 譬如, 基于对梯度 Hölder 模的先验估计,文献[15] 深入研究了二阶抛物方程的古典解. 反之,若丢掉这些限制,一般只能得到相对弱的结果. 譬如, 在不具备增长性条件和结构性条件的情况下,文献 [3] 通过构造基本解的方法得到上述问题的局部古典解. 而当系数和源项是非局部项的情况, 文献 [2] 利用最大 $L^p$ 正则性和半群方法证明了存在唯一性. 对于非光滑问题来说, 文献 [13] 通过隐函数方法得到解的局部存在唯一性以及关于数据的连续依赖性.

本文中考察的问题并没有增长阶数的限制,这是最初考察热交换问题时根据物理需 要而提出的很一般的限制,随后在此基础上进行了适当的数学扩展. 全文作如下基本假设

(A1) $Q_T=\Omega\times(0,T),$ 其中 $\Omega\subset{\mathbb R}^n (n\geqslant2)$ 是有界 Lipschitz 区域;

(A2) $A=(a_{ij})$ 是对称矩阵. $T_{\min},T_{\max}$ $(T_{\min}\leqslant T_{\max})$ 为固定常数.

\begin{equation} \forall (z,v,r,x,t,\xi )\in [T_{\min},T_{\max}+T_*]^3 \times Q_T \times {\Bbb R}^n, \end{equation} (1.9)

系数和源项满足

\begin{equation}\label{lambda} \lambda |\xi|^2 \leqslant a_{ij}(z,v,r,x,t)\xi_i\xi_j\leqslant \Lambda |\xi|^2, \end{equation} (1.10)
\begin{equation}\label{Force} 0\leqslant f(z,v,r,x,t)\leqslant F(x,t)\in L^\frac{n+2+\delta}2(Q_T), ~~\forall \delta>0, \end{equation} (1.11)

其中

\begin{equation} 0< \lambda=\lambda(T_{\min},T_{\max}) \leqslant \Lambda=\Lambda(T_{\min},T_{\max},T_*). \end{equation} $T_*=C_0\| F\|_{L^\frac{n+2+\delta}2(Q_T)}|Q_T|^{\frac{2\delta}{(n+2)(n+2+\delta)}}, $ (1.12)

而 $C_0$ 仅依赖 $\lambda,n,\delta$ (参见公式 (3.27)).

(A3)

$ u(x,s)=\eta(x,s)\in C([-\tau,0]; L^2(\Omega)), $ (1.13a)
$ T_{\min}\leqslant \eta(x,s)\leqslant T_{\max},~ \mbox{a.e. } \Omega\times[-\tau,0], $ (1.13b)
$ g(x,t) \in H^{1}( Q_T ),~ g(x,0)=\eta(x,0),~\hbox{a.e. }~\Omega, $ (1.13c)
$ T_{\min}\leqslant g(x,t)\leqslant T_{\max},~ \mbox{a.e. } \partial_pQ_T,\label{pg} $ (1.13d)
$ \partial_pQ_T= \{\partial \Omega \times (0,T)\}\cup \{(x,0);x\in\Omega\}. $ (1.13e)

(A4) $A^z$ 和 $f^z$ 在 ${\mathfrak C}$ 中关于 $z$ 连续,其中

\begin{equation} \begin{array}{ll} {\mathfrak C} =\big\{ \varphi\in L^2(Q_T);& T_{\min}\leqslant \varphi(x,t) \leqslant T_{\max}+T_*,\mbox{a.e. } Q_T,\\ & \varphi(x,s)=\eta(x,s),\mbox{a.e. } \Omega\times[-\tau,0]\big\}.\label{C} \end{array} \end{equation} (1.14)

也就是说,若 $ z_i,z\in {\mathfrak C}$,且 $\|z_i-z\|_{L^2(Q_T)}\to 0$,则

\begin{equation} \max_{1\leq p,q\leq n}\| A_{pq}^{z_{i }}-A_{pq}^z\|_{L^2(Q_T)}\to 0, \end{equation} (1.15)
\begin{equation} \|f^{z_{i }}-f^z\|_{L^2(Q_T)}\to 0. \end{equation} (1.16)

注1.1 条件 (A2) 即所谓的局部任意阶增长条件. 其物理意义表现为温度始终不超出区间 $[T_{\min},T_{\max}+T_*]$. 通常考虑,一个物理量只有在有界区间内才有意义, 所以此处仅考察局部的增长条件.

注1.2 若 $f^z=0$,则 (1.14) 式退化为

\begin{equation}\label{cf0} \begin{array}{ll} {\mathfrak C} =\big\{ \varphi\in L^2(Q_T);& T_{\min}\leqslant \varphi(x,t) \leqslant T_{\max},\mbox{a.e. } Q_T,\\ & \varphi(x,s)=\eta(x,s),\mbox{a.e. } \Omega\times[-\tau,0]\big\}. \end{array} \end{equation} (1.17)

所以最大值在边界达到.

相较于 (1.17) 式在 $L^2(Q_T)$ 中的考虑,也可以在 $L^\infty(Q_T)$ (参考文献[19, 20])中考察该问题. 相应的我们就需要 de Giorgi-Nash-Moser 估计和 Arzel$\grave{\rm a}$-Ascoli 定理来得到紧性. 这里为简单起见,仅以 $L^2(Q_T)$ 讨论之.

注1.3 若 $a_{pq}$ 关于 $z, v,r$ 是 Hölder 连续的,即 $a_{pq}\in C^\alpha,~\alpha\in(0,1)$, 则条件 (A4) 自然满足,因为

\begin{eqnarray} &&\big\|a_{pq}(z_i,v_i,r_i,x,t)-a_{pq}(z,v,r,x ,t)\big\|_{L^2(Q_T)} \nonumber\\ &\leqslant& \big\|a_{pq}(z_i,v_i,r_i,x,t)-a_{pq}(z,v_i, r_i,x ,t)\big\|_{L^2(Q_T)} \nonumber\\ && +\big\|a_{pq}(z,v_i,r_i,x,t)-a_{pq}(z,v,r_i,x ,t)\big\|_{L^2(Q_T)} \nonumber\\ && +\big\|a_{pq}(z,v,r_i,x,t)-a_{pq}(z,v,r,x ,t)\big\|_{L^2(Q_T)} \nonumber\\ &\leqslant& C\bigg[\Big(\int_0^T\!\!\int_\Omega|z_i-z|^{2\alpha}{\rm{d}} x{\rm{d}} t\Big)^\frac12+\cdots+\Big(\int_0^T\!\!\int_\Omega|r_i-r|^{2\alpha}{\rm{d}} x{\rm{d}} t\Big)^\frac12\bigg]\nonumber\\ &\leqslant& C\big|Q_T\big|^\frac{1-\alpha}2\Big(\big\|z_i-z\big\|^\alpha_{L^2(Q_T)}+\big\|v_i-v\big\|^\alpha_{L^2(Q_T)} +\big\|r_i-r\big\|^\alpha_{L^2(Q_T)}\Big). \end{eqnarray} (1.18)
\begin{eqnarray} &&\big\|z_i(x,t-\tau)-z(x,t-\tau)\big\|^2_{L^2(Q_T)}\nonumber\\ &=&\big\|\eta(x,s)-\eta(x,s)\big\|^2_{L^2(\Omega\times(-\tau,0))}+\big\|z_i(x, s)-z(x,s)\big\|^2_{L^2(\Omega\times(0,T-\tau))}\nonumber\\ &=&0+\big\|z_i(x, t)-z(x, t)\big\|^2_{L^2(\Omega\times(0,T-\tau))}\rightarrow0. \end{eqnarray} (1.19)
\begin{eqnarray} &&\big\|\chi_{_{[0,T-\tau]}}\big(z_i(x,t+\tau)-z(x, t+\tau)\big)\big\|^2_{L^2(Q_T)}\nonumber\\ &=&\int_\tau^T\!\!\int_\Omega|z_i(x,s)-z(x,s)|^2{\rm{d}} x{\rm{d}} s\nonumber \\ &\leqslant&\big\|z_i(x,t)-z(x,t)\big\|^2_{L^2(Q_T)}\to0. \end{eqnarray} (1.20)

上式对 $f(z,v,r,x,t)$ 也同样成立.

注1.4 事实上,利用抛物型方程的最大正则性估计(参见文献[11, 12]), 本文所采用的方法还可推广至混合边值问题(参见文献[20]).

2 预备和结论

在叙述主要结论之前先介绍几个预备空间.

定义2.1

(参见文献 [8,第 61 和 204 页],或文献 [6,第 42 页])

(1)

\begin{equation} W\equiv \big\{w\in L^2(0 ,T ; H^1_0(\Omega))\big| \partial_t w\in L^2(0, T;H^{-1}(\Omega))\big\}, \end{equation} (2.1)
\begin{equation} \|w\|_W^2 = \|w\|_{ L^2(0,T; H^1_0(\Omega))}^2 +\| \partial_t w\|_{ L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))}^2. \end{equation} (2.2)

(2)

\begin{equation} V_2(Q_T)\equiv\big\{w\in L^2(Q_T)\big|w\in{L^\infty(0,T;L^2(\Omega))}, \nabla w\in{L^2(Q_T; {\mathbb R}^n)}\big\}, \end{equation} (2.3)
${\begin{array}{*{20}{c}} \circ \\ V \end{array}_2}({Q_T}) \equiv \{ w \in {V_2}({Q_T})|w(x,t) = 0,\;\;\;\partial \Omega \times (0,T)\} ,$ (2.4)
\begin{equation} V^{1,0}_2(Q_T)\equiv V_2(Q_T)\cap C([0,T];L^2(\Omega)), \end{equation} (2.5)

其中

\begin{equation} \|w\|_{ V_2(Q_T)}^2 = \|w\|_{L^\infty(0,T;L^2(\Omega))}^2+\|\nabla w\|_{ L^2(Q_T;{\Bbb R}^n)}^2 , \end{equation} (2.6)
${\left\| w \right\|_{{{\begin{array}{*{20}{c}} \circ \\ V \end{array}}_2}({Q_T})}} \equiv {\left\| w \right\|_{{V_2}({Q_T})}},{\left\| w \right\|_{V_2^{1,0}({Q_T})}} \equiv {\left\| w \right\|_{{V_2}({Q_T})}}.$ (2.7)
引理2.1 (1) (参见文献 [5,第 173 页],或 [8,第 61 页])
\begin{equation} W \hookrightarrow C([0,T]; L^2(\Omega )),\quad W\hookrightarrow L^2(Q_T). \end{equation} (2.8)

上述第二个嵌入是紧的.

(2) (参见文献 [5,第 173 页]) $C^\infty([0,T];H^1_0 (\Omega))$ 在 $W$中紧.

引理2.2 (参见文献 [6,第 42-44 页])

(1) $H^1 (Q_T) \subset V^{1,0}_2(Q_T)$,$ W\hookrightarrow V_2^{1,0}(Q_T).$

(2) $\forall k\in {\Bbb R}$,若 ~$ u(x,t) \in V^{1,0}_2(Q_T)$,则

\begin{equation} (u-k)_+(x,t)=\max\{(u-k)(x,t),0\}\in V^{1,0}_2(Q_T) . \end{equation} (2.9)

(3) $\forall k\in {\Bbb R}$,若 $ \|u_i-u\|_{ V^{1,0}_2(Q_T)}\to 0$,则

\begin{equation} \|(u_i-k)_+-(u-k)_+\|_{ V^{1,0}_2(Q_T)}\to 0 . \end{equation} (2.10)

(4)

${\begin{array}{*{20}{c}} \circ \\ V \end{array}_2}({Q_T})\hookrightarrow{L^{\frac{{2(n + 2)}}{n}}}({Q_T}).$ (2.11)

引理2.3 (参见文献 [10,推论 11.2]) 设 ${\mathfrak C}$ 是 Banach 空间 ${\mathfrak B}$ 中的闭凸集,${\cal L}$ 是从 ${\mathfrak C}$ 映到 ${\mathfrak C}$ 自身的连续映射,且像集 ${\cal L}{\mathfrak C}$ 是紧的. 则 ${\cal L}$ 存在不动点.

注2.1 本文通过 Schauder 不动点定理(引理 2.3)证明全局弱解的存在性. 基本思想是从弱形式构造出线性映射,并寻找该映射下不变的闭凸集 $\mathfrak C$. 若 $f=0$,那它就是 (1.17)式. 若 $f$ 有界,类似结果在 Rosseland 方程(参见文献[19])中已得到. 其实本文可对外力项作更一般的改进和假设 (参见公式 (1.11)). 可验证,该线性映射在闭凸集 $\mathfrak C$ 上连续. 而且,由嵌入定理可得其值域是紧的,所以存在不动点.

引理2.4 设 $1\leqslant p\leqslant\infty$,则

\begin{equation} {\mathfrak C} =\{ \varphi\in L^p(Q_T); C_1\leqslant \varphi(x,t) \leqslant C_2,\mbox{a.e. } Q_T\} \end{equation} (2.12)

是 Banach 空间 $L^p(Q_T )$ 中的闭凸集.

证 设 $v_i\in {\mathfrak C}$,$v\in L^p(Q_T )$,$\|v_i-v\|_{L^p(Q_T)}\to 0$. 若 $v \notin {\mathfrak C}$, 则存在正常数 $\delta_0,\delta_1$ 使得集合 $Q_0\equiv\{(x,t)\in Q_T; v(x,t)\geqslant C_2+\delta_0,\hbox{ 或 }\ v\leqslant C_1-\delta_0\}$ 的 Lebesgue 测度 $|Q_0|\geqslant \delta_1.$ 则当 $1\leqslant p<\infty$ 时,

\begin{equation} \|v_i-v\|_{L^p(Q_T)}^p =\iint_{Q_T}|v_i-v | ^p\geqslant \iint_{Q_0 } |v_i-v | ^p\geqslant \delta_0^p \delta_1; \end{equation} (2.13)

当 $p=\infty$ 时,

\begin{equation} \|v_i-v\|_{L^\infty(Q_T)}\geqslant\delta_0. \end{equation} (2.14)

这与 $\|v_i-v\|_{L^p(Q_T)}\to 0$ 矛盾,故 ${\mathfrak C}$ 为闭集. 此外,$\forall \theta\in [0,1],$

\begin{equation} \theta v_1 + (1-\theta) v_2\leqslant \theta C_2 + (1-\theta)C_2=C_2. \end{equation} (2.15)

同样,

\begin{equation} \theta v_1 + (1-\theta) v_2\geqslant C_1. \end{equation} (2.16)

故 ${\mathfrak C}$ 为凸集.

注2.2 条件(A4) 中给出的集合 $\mathfrak C$ 为 $L^2(Q_T)$ 中的闭凸集.

本文主要结论列举如下.

定理2.1 在假设 (A1)-(A4) 条件下,$\forall z\in {\mathfrak C} $,存在唯一的 $w \in {\mathfrak C}$ 使得

\begin{equation} (w-g)\in L^2(0,T; H^1_0(\Omega)),\quad (w-g)(x,0)=0 ,\label{wg} \end{equation} (2.17)
\begin{equation} \partial_t w\in L^2(0, T;H^{-1}(\Omega)),\label{wh} \end{equation} (2.18)

且 $\forall \varphi\in L^2(0,T; H^1_0(\Omega)),$

\begin{equation}\label{eq:fangcheng} %&& \langle \partial_t w,\varphi\rangle_{ L^2(0,T; H^1_0(\Omega))} +\iint_{Q_T} A^z\nabla w \cdot \nabla \varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t%\nonumber\\ %&&~~~~~~~~ = \iint_{Q_T}f^z\varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t , = \iint_{Q_T}f^z\varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t , \end{equation} (2.19)

由此可定义 ${\mathfrak C}$ 上的线性映射 ${\cal L}: {\mathfrak C}\to {\mathfrak C}$,${\cal L}z=w$.

定理2.2 在假设 (A1)-(A4) 条件下,问题 (1.6)-(1.8) 存在解 $u\in{\mathfrak C}$.

3 定理证明
定理2.1的证明 对线性化方程 (2.19),

通过 Galerkin 方法(参见文献 [5,第 171 页],文献[7,第 77 页], 文献 [8,第 205-211 页]; 对混合边值问题,参见文献 [12,定理 2.2]), 可以在 $L^2(0,T; H^1(\Omega))$ 中得到解 $w$, $(w-g)\in W$.

结合假设(A3) 和引理 2.2,得

\begin{equation} \label{g} \left\{ \begin{array}{ll} &g \in H^1(Q_T)\subset V_2^{1,0}(Q_T),\\ & v\equiv(w-g)\in W \hookrightarrow V_2^{1,0}(Q_T), \end{array} \right. \end{equation} (3.1)

则

\begin{equation} v\in V_2^{1,0}(Q_T),\quad w\in V_2^{1,0}(Q_T), \end{equation} (3.2)

进而,$ \forall~ k\geqslant T_{\max},$ 有

\begin{equation} \varphi=(w-k)_+\in V^{1,0}_2(Q_T) . \end{equation} (3.3)

由式 (1.13d) 可见在抛物型边界上,

\begin{equation} \varphi(x,t)\big|_{\partial_p Q_T}=(g-k)_+\big|_{\partial_p Q_T} =0,\quad \varphi\in L^2(0,T; H^1_0(\Omega)) . \end{equation} (3.4)

对于 (2.19) 式中的第一项,可以利用 $L^2((0,T)\times\Omega)$ 上的内积及其稠密性得到.

首先,$\forall v_i\in C^\infty([0,T]; H^1_0(\Omega))\subset H^1(Q_T)$,直接计算可得

\begin{eqnarray} &&\langle \partial_t (v_i+g),(v_i+g-k)_+\rangle_{ L^2(0, T; H^1_0(\Omega))} \nonumber\\ &=& \iint_{Q_T} \partial_t (v_i+g)\cdot(v_i+g-k)_+{\rm{d}} x{\rm{d}} t \nonumber\\ &=& \iint_{Q_T} \partial_t \frac {(v_i+g-k)_+(x,t)^2}{2}{\rm{d}} x{\rm{d}} t \nonumber\\ &=&\int_\Omega \left[\frac {(v_i+g-k)_+(x,T)^2}{2} -\frac {(v_i+g-k)_+(x,0)^2}{2}\right]{\rm{d}} x.\label{left11} \end{eqnarray} (3.5)

其次,因为 $C^\infty([0,T]; H^1_0(\Omega))$ 在 $W$ 中稠密,于是对于 $v=(w-g)\in W$,可找到

\begin{equation} \{v_i\}\subset C^\infty([0,T]; H^1_0(\Omega)),\quad \mbox{s.t.}\quad \|v_i-v\|_W\rightarrow0. \end{equation} (3.6)

而 $W\hookrightarrow V_2^{1,0}(Q_T)$,故

\begin{equation} \|(v_i+g)-(v+g) \|_{V_2^{1,0}(Q_T) }=\|v_i-v\|_{V_2^{1,0}(Q_T)}\rightarrow0. \end{equation} (3.7)

再由引理 2.2 可知

\begin{eqnarray} \|(v_i+g-k)_+-(v +g-k)_+\|_{V_2^{1,0}(Q_T) }\to 0. \end{eqnarray} (3.8)

从而,根据定义 2.1,有

\begin{equation} \|(v_i+g-k)_+-(v +g-k)_+\|_{ C([0,T];L^2(\Omega)) }\to 0. \end{equation} (3.9)
\begin{equation} \|(v_i+g-k)_+-(v +g-k)_+\|_{ L^2(0,T; H^1 (\Omega)) }\to 0. \end{equation} (3.10)

由于

\begin{equation} v_i,v|_{\partial \Omega\times (0,T) }=0,\quad g|_{\partial \Omega \times (0,T)}\leqslant T_{\max}\leqslant k, \end{equation} (3.11)

故

\begin{equation} \|(v_i+g-k)_+-(v +g-k)_+\|_{ L^2(0,T; H^1_0 (\Omega)) }\to 0.\label{left12} \end{equation} (3.12)

然后,对于 $\partial_tv_i$,有

\begin{equation} \|\partial_tv_i-\partial_tv\|_{L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))}\leqslant\|v_i-v\|_W\rightarrow0. \end{equation} (3.13)

由于 $\partial_tg\in L^2(Q_T)\hookrightarrow L^2(0, T;H^{-1}(\Omega)),$ 故

\begin{equation} \|\partial_t (v_i+g)-\partial_t (v+g)\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\Omega)) }\to 0.\label{v6} \end{equation} (3.14)

结合 (3.5)、(3.12) 和 (3.14)式,可知

\begin{eqnarray} &&\langle \partial_t w,(w-k)_+\rangle_{ L^2(0,T; H^1_0(\Omega))} \nonumber\$1pt] &=&\langle \partial_t (v+g),(v+g-k)_+\rangle_{ L^2(0, T; H^1_0(\Omega))} \nonumber\$1pt] &=&\lim_{i\to \infty}\langle \partial_t (v_i+g),(v_i+g-k)_+\rangle_{ L^2(0,T; H^1_0(\Omega))} \nonumber\\ &=& \lim_{i\to \infty}\int_ \Omega \left[\frac {(v_i+g-k)_+(x,T)^2}{2}-\frac {(v_i+g-k)_+(x,0)^2}{2}\right]{\rm{d}} x \nonumber\\ &=& \int_ \Omega\frac {(v+g-k)_+(x,T)^2}{2}{\rm{d}} x-\int_ \Omega\frac {(v+g-k)_+(x,0)^2}{2}{\rm{d}} x \nonumber\\ &=& \int_ \Omega\frac {(v+g-k)_+(x,T)^2}{2}{\rm{d}} x=\int_\Omega\frac{(w-k)_+(x,T)^2}2 {\rm{d}} x . \end{eqnarray} (3.15)

所以利用 Hölder 不等式,(2.19) 式可化为

\begin{eqnarray} &&\frac12\int_\Omega(w-k)_+^2(x,T){\rm{d}} x+\iint_{Q_T} A^z\nabla w\nabla(w-k)_+{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &=&\iint_{Q_T}f^z\cdot(w-k)_+{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &\leqslant&\left(\iint_{Q_T}|f^z|^{\beta}{\rm{d}} x{\rm{d}} t\right)^{\frac1{\beta}}\left(\iint_{Q_T}\!|(w-k)_+|^{\gamma}{\rm{d}} x{\rm{d}} t\right)^{\frac1{\gamma}}\bigg(\iint_{Q_T\cap[w>k]}\!1{\rm{d}} x{\rm{d}} t\bigg)^{\frac1{\zeta}},\label{holder} \end{eqnarray} (3.16)

其中

\begin{equation}\beta=\frac{n+2+\delta}{2},\quad \gamma=\frac{2(n+2)}n,\quad\zeta=\frac{2(n+2)(n+2+\delta)}{n(n+2)+(n+4)\delta}. %\frac1\zeta=1-\frac1\beta-\frac1\gamma. \end{equation} (3.17)

而由假设 (A2) 中的 (1.10) 式,可得

\begin{eqnarray} \iint_{Q_T}A^z\nabla w\cdot\nabla\varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t &=& \iint_{Q_T} A^z\nabla w \cdot \nabla (w-k)_+{\rm{d}} x{\rm{d}} t \nonumber\\ &=& \iint_{Q_T} A^z\nabla (w-k)_+ \cdot \nabla (w-k)_+{\rm{d}} x{\rm{d}} t \nonumber\\ &\geqslant& \lambda \iint_{Q_T} |\nabla (w-k)_+|^2{\rm{d}} x{\rm{d}} t. \end{eqnarray} (3.18)

所以,(3.16) 式可化为

\begin{eqnarray} &&\frac12\int_\Omega(w-k)^2_+(x,T){\rm{d}} x+\lambda\iint_{Q_T}|\nabla(w-k)_+|^2{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &\leqslant&\|(w-k)_+\|_{L^\frac{2(n+2)}n(Q_T)}\|F\|_{L^\frac{n+2+\delta}{2}(Q_T)}|Q_T\cap[w>k]|^{n^*/2}\nonumber\\ &\leqslant&\epsilon\|(w-k)_+\|_{L^\frac{2(n+2)}n(Q_T)}^2+\frac1{4\epsilon} \|F\|^2_{L^\frac{n+2+\delta}{2}(Q_T)}|Q_T\cap[w>k]|^{n^*},~~ \forall \epsilon>0,\label{epsilon} \end{eqnarray} (3.19)

其中

\begin{equation}n^*={\frac n{(n+2)}+4\Big(\frac1{n+2}-\frac1{n+2+\delta}\Big)}, ~~\forall \delta>0.\end{equation} (3.20)

$\forall s \in (0,T)$,在上式中若以 $s$ 代替 $T$,还可得

\begin{eqnarray} && \sup_{s\in[0,T]}\int_\Omega(w-k)^2_+(x,s){\rm{d}} x+2\lambda\iint_{Q_T}|\nabla(w-k)_+|^2{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &\leqslant& 2\epsilon\|(w-k)_+\|_{L^\frac{2(n+2)}n(Q_T)}^2+\frac1{2\epsilon} \|F\|^2_{L^\frac{n+2+\delta}{2}(Q_T)}|Q_T\cap[w>k]|^{n^*},~~ \forall \epsilon>0.\label{epsilon1} \end{eqnarray} (3.21)

由于${\begin{array}{*{20}{c}} \circ \\ V \end{array}_2}({Q_T})\hookrightarrow{L^{\frac{{2(n + 2)}}{n}}}({Q_T}),$ 只要在 (3.21) 式中取适当的 $\epsilon=C(n,\lambda)$,可得(参见文献[6, 18])

$\left\| {{{(w - k)}_ + }} \right\|_{{L^{\frac{{2(n + 2)}}{n}}}({Q_T})}^2 \le C\left\| F \right\|_{{L^{\frac{{n + 2 + \delta }}{2}}}({Q_T})}^2{\left| {{Q_T} \cap [w > k]} \right|^{{n^*}}},$ (3.22)

其中 $C$ 仅依赖 $n$ 和 $\lambda$.

另一方面,$~ \forall ~h>k$,又有

\begin{eqnarray} \iint_{Q_T}|(w-k)_+|^\frac{2(n+2)}n{\rm{d}} x{\rm{d}} t &\geqslant& \iint_{Q_T\cap[w>h]}|(w-k)_+|^\frac{2(n+2)}n{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &\geqslant& (h-k)^\frac{2(n+2)}n|Q_T\cap[w>h]|, \end{eqnarray} (3.23)

即

\begin{equation} \|(w-k)_+\|_{L^\frac{2(n+2)}n(Q_T)}^2\geqslant(h-k)^2|Q_T\cap[w>h]|^\frac n{n+2}.\label{wgeq} \end{equation} (3.24)

记 $\psi(k)\equiv|Q_T\cap[w>k]|$. 则由 (3.22) 和 (3.24)式可得

\begin{equation} \psi(h)\leqslant\frac{C\big\|F\big\|_{L^\frac{n+2+\delta}2(Q_T)}^\frac{2(n+2)}n}{(h-k)^\frac{2(n+2)}n}\big[\psi(k)\big]^{\frac{(n+2)n^*}n}. \end{equation} (3.25)

由于 $\frac{(n+2)n^*}n>1$,利用 de Giorgi 迭代(参见文献[6, 18])可得

\begin{equation} \psi(k+d)=0,\quad d\geqslant C_0\|F\|_{L^\frac{n+2+\delta}2(Q_T)}|Q_T|^{2(\frac1{n+2}-\frac1{n+2+\delta})}, \end{equation} (3.26)

其中

\begin{equation}\label{c0parameter} C_0=2^{\frac{n(n+2+\delta)+4\delta}{4\delta}}C^{\frac n{2(n+2)}} \end{equation} (3.27)

仅依赖 $n,\lambda$ 和 $\delta$.

于是,

\begin{equation} w\leqslant T_{\max}+C_0\|F\|_{L^\frac{n+2+\delta}2(Q_T)}|Q_T|^{2(\frac1{n+2}-\frac1{n+2+\delta})}=T_{\max}+T_*. \end{equation} (3.28)

相应地,在 (2.19) 式中取 $\varphi=-(w-T_{\min})_{-}$ 可得

\begin{equation} \langle\partial_tw,\varphi\rangle=\int_\Omega\frac{(w-T_{\min})_{-}^2(x,T)}2{\rm{d}} x\geqslant0. \end{equation} (3.29)
\begin{eqnarray} \iint_{Q_T} A^z\nabla w\nabla\varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t &\geqslant& \lambda\iint_{Q_T}|\nabla (w-T_{\min})_-|^2{\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &\geqslant & C(\Omega)\lambda\iint_{Q_T}(w-T_{\min})_-^2{\rm{d}} x{\rm{d}} t. \end{eqnarray} (3.30)

因为 $f^z\geqslant0$,所以

\begin{equation} \iint_{Q_T}f^z\varphi{\rm{d}} x{\rm{d}} t\leqslant0. \end{equation} (3.31)

于是得到 $\varphi\equiv 0,w\geqslant T_{\min}$ 且 $w\in\mathfrak C$.

定理 2.2 的证明 因为 $\| (w-g ) \|_{W}\leqslant C$ (参见文献 [5,第 171 页],文献[6,第 51-53 页], 文献[7,第 77 页],文献[8,第 205-211 页]),且 $W$ 紧嵌入 $L^2(Q_T)$ (引理 2.1), 所以 $\{{\cal L}z-g; z\in{\mathfrak C}\}$ 在 $L^2(Q_T)$ 中紧. 于是,${\cal L}{\mathfrak C}$ 也在 $L^2(Q_T)$ 中紧.

下面证明线性映射 $\mathcal L$ 的连续性. 设

\begin{equation} z_i,z\in {\mathfrak C},\quad \|z_i-z\|_{L^2(Q_T)}\to 0,\quad {\cal L}z_i=w_i ,\quad {\cal L}z =w, \end{equation} (3.32)

只需在 $L^2(Q_T)$ 中证明 $w_i\rightarrow w$.

一方面,$\{w_i-g\}_{i=1}^\infty$ 在 $W$ 中一致有界,而 $W$ 是 Hilbert 空间. 所以存在子列 $\{w_{i_k}\}$ 和 $v_0=(w_0-g)\in W$ 满足

\begin{equation}\label{weak} (w_{i_k}-g) \rightharpoonup (w_0-g) ,\quad W \mbox{ 中}. \end{equation} (3.33)

这里,$``\rightharpoonup "$ 代表弱收敛. 由引理 2.1, $W\hookrightarrow L^2(Q_T)$ 是紧嵌入,并结合定义 2.1 可得

$ \|w_{i_k}-g-w_0+g\|_{L^2(Q_T)}\to 0 ,\quad \|w_{i_k}-w_0\|_{L^2(Q_T)}\to 0; $ (3.34a)
$ \partial_t (w_{i_k}-g) \rightharpoonup \partial_t (w_0-g) ,\quad L^2(0,T; H^{-1}(\Omega)) \mbox{ 中} ; $ (3.34b)
$ \partial_t g\in L^2(Q_T)\subset L^2(0,T; H^{-1}(\Omega)) . $ (3.34c)

从而

\begin{equation} \partial_t w_{i_k} \rightharpoonup \partial_t w_0 ,\quad L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))\mbox{ 中} . \end{equation} (3.35)

那么, $\forall \phi\in C^{\infty} ([0,T]; C^{\infty}_0(\Omega))$,

\begin{equation} \langle \partial_t w_{i_k}-\partial_t w_0 ,\phi\rangle_{L^2(0, T; H^{ 1}_0 (\Omega)) }\to 0 . \end{equation} (3.36)

又由 假设(A4) 知 $A^z$ 和 $f^z$ 关于 $z$ 是连续的,故

\begin{eqnarray} &&\left|\iint_{Q_T} ( A^{z_{i_k}}\nabla w_{i_k}-A^z\nabla w_0) \cdot\nabla \phi {\rm{d}} x{\rm{d}} t\right| \nonumber\\ &\leqslant& \left|\iint_{Q_T}(A^{z_{i_k}}-A^z) \nabla w_{i_k}\cdot\nabla \phi {\rm{d}} x{\rm{d}} t\right| +\left|\iint_{Q_T}(\nabla w_{i_k}-\nabla w_0) \cdot ( A^z\nabla \phi){\rm{d}} x{\rm{d}} t\right| \nonumber\\ &\leqslant& C \max_{1\leqslant p,q\leqslant n}\left\|A_{pq}^{z_{i_k}}-A_{pq}^{z}\right\|_{L^2(Q_T)}+\varepsilon_{i_k} \to 0, \end{eqnarray} (3.37)
\begin{equation} \iint_{Q_T}(f^{z_{i_k}}-f^z)\phi {\rm{d}} x{\rm{d}} t \leqslant\|f^{z_{i_k}}-f^z\|_{L^2(Q_T)}\|\phi\|_{L^2(Q_T)}\to 0. \end{equation} (3.38)

从而可得

\begin{equation} \langle \partial_t w_{0} ,\phi\rangle_{L^2(0,T; H^{ 1}_0 (\Omega)) } +\iint_{Q_T} A^z\nabla w_{0}\cdot\nabla \phi {\rm{d}} x{\rm{d}} t= \iint_{Q_T}f^z\phi {\rm{d}} x{\rm{d}} t . \end{equation} (3.39)

又因为 $C^{\infty} ([0,T]; C^{\infty}_0(\Omega))$ 在 $L^2(0,T; H^{ 1}_0 (\Omega))$ 中稠密,所以

\begin{eqnarray} &&\langle \partial_t w_{0} ,\varphi\rangle_{L^2(0,T; H^{ 1}_0 (\Omega)) } +\iint_{Q_T} A^z\nabla w_{0}\cdot\nabla \varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t\nonumber\\ &=& \iint_{Q_T}f^z\varphi {\rm{d}} x{\rm{d}} t, \quad\forall \varphi\in L^2(0,T; H^{ 1}_0 (\Omega)) . \end{eqnarray} (3.40)

另一方面,对于边值条件来说,成立

\begin{equation} (w_0-g)\in L^2(0,T; H^1_0(\Omega)) ,\quad (w_0-g)|_{\partial \Omega \times (0,T)}=0. \end{equation} (3.41)

而对初值条件来说, $\forall \psi(x)\in L^2(\Omega)$,引入

\begin{eqnarray} \langle\psi(x),\phi(x,t)\rangle_W &\stackrel{{\rm def}}{=}& \int_{\Omega}\psi(x) \phi(x,0){\rm{d}} x\nonumber\\ &\leqslant & \|\psi(x)\|_{L^2(\Omega)}\|\phi(x,t)\|_{C([0,T]; L^2(\Omega))}\nonumber\\ &\leqslant& C\|\psi(x)\|_{L^2(\Omega)}\|\phi(x,t)\|_W. \end{eqnarray} (3.42)

它是 $W$ 上的一个有界线性泛函.

那么,(3.33)式中的弱收敛意味着

$ \int_\Omega((w_{i_k}-g)-(w_0-g))(x,0)\psi(x){\rm{d}} x\rightarrow0,\quad \forall \psi(x)\in L^2(\Omega). $

由 Riesz 表示定理有在$L^2(\Omega)$中

\begin{equation} (w_{i_k}-g)(x,0) \rightharpoonup (w_0-g) (x,0) . \end{equation} (3.43)

再由 (2.17) 式的初始条件,有

\begin{equation} ( w_{i_k}-g)(x,0) =0,\quad \mbox{} L^2(\Omega), \end{equation} (3.44)

得到

\begin{equation} ( w_{0}-g)(x,0) =0,\quad \mbox{} L^2(\Omega) . \end{equation} (3.45)

以上过程可以看出,$w_0$ 满足线性化方程及初边值条件,i.e.,$w_0={\cal L}z$.

由定理 2.1 中的唯一性,得 $w_0={\cal L}z =w$. 所以

$$\|w_{i_k}-w \|_{L^2(Q_T)}\to 0 . $$

结合 ${\cal L}{\mathfrak C}$ 的紧性,$ \{\|w_{i }-w \|_{L^2(Q_T)} \}$ 的所有子列都收敛到 $0$,所以

$$\|w_{i }-w \|_{L^2(Q_T)}\to 0 , $$

就得到 ${\cal L}$ 的连续性.

于是利用引理 2.3,得到不动点.

注3.1 关于定理 2.1 中的分部积分,参见文献 [12,定理 1.7].

实际上,由 de Giorgi-Nash-Moser 估计和 Arzelà-Ascoli 定理, ${\cal L}$ 在 $C^0(\overline{Q}_T)$ 上连续. 由线性最大正则性(参见文献[11, 12]),一个自然的猜想是: ${\cal L}$ 在 $C^{2\alpha,\alpha} (\overline{Q}_T)$ 和 $W$ 上连续.

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