设D为复平面C上的单位圆盘. H(D)表示D上解析函数全体组成的函数空间. α-Bloch空间 Bα和小α-Bloch空间(0<α<∞)分别定义为 Bα={f∈H(D):supz∈D(1−|z|2)α|f′(z)|<∞},
Zygmund空间 Z是由满足下列性质的f∈H(D)∩C(¯D)组成的函数空间 supeiθ∈∂D,h>0|f(ei(θ+h))+f(ei(θ−h))−2f(eiθ)|h<∞.
空间F(p,q,s) 和小 F0(0<p,s<∞,−2<q<∞) (见文献[17])分别定义为 F={f∈H(D):supa∈D∫D|f′(z)|p(1−|z|2)q(1−|σa(z)|2)sdm(z)<∞},
设φ是D到自身的一个解析映射,则φ按下式 (Cφf)(z)=f(φ(z)),f∈H(D),z∈D,
本文主要研究了从Zygmund空间到Bμ空间, F空间到Bμ 空间及其相应小空间上的广义复合算子的有界性和紧性,得到了一些充分必要的判别条件, 拓展了文献[7]中的主要结果. 下文中用C表示常数,约定它是绝对正常数并且在不同的地方可以不同.
由于后面主要定理证明的需要,在本节中我们首先给出下面几个引理.
引理2.1 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权. 则Cgφ: Z (或 Z0)→Bμ (或Bμ0)是紧算子当且仅当 Cgφ: Z (或 Z0)→Bμ (或Bμ0)有界并且对于 Z (或 Z0)中的任意有界序列{fn}n∈ N,fn在D的 紧子集上一致收敛于0时,有‖Cgφfn‖Bμ→0.
注 此定理可以用文献[1]中的常规方法类似证明,故我们略去其证明过程.
引理2.2[9] Bμ0中的闭集K是紧的当且仅当K有界并且 lim|z|→1supf∈Kμ(|z|)|f′(z)|=0.
定理2.1 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权,则下面条件等价.
(1) Cgφ: Z→Bμ有界.
(2) Cgφ: Z0→Bμ有界.
(3)
(2)⇒(3)~ 设Cgφ:Z0→Bμ有界. 则对f∈Z0存在常数C使得 ‖Cgφf‖Bμ≤C‖f‖ Z.
其中a∈D∖{0}. 则ha∈ Z0 (见文献[13]). 计算易知 h′a(z)=(ln11−ˉaz)2(ln11−|a|2)−1.
(3)⇒(1)~ 假设(2.1)式成立. 则对任意f∈ Z,由(1.1)式得
定理2.2 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ 是正规权,则下面条件等价.
(1) Cgφ: Z→Bμ是紧算子.
(2) Cgφ: Z0→Bμ是紧算子.
(3) Cgφ: Z→Bμ有界,并且
(2)⇒(3) 设Cgφ: Z0→Bμ是紧算子, 则Cgφ: Z0→Bμ有界. 由定理2.1知 Cgφ: Z→Bμ有界. 设{zn}n∈N是D中的序列满足 n→∞时,|φ(zn)|→1并且φ(zn)≠0(n∈N).
令 hn(z)=h(¯φ(zn)z)¯φ(zn)(ln11−|φ(zn)|2)−1,n∈N.
由于 ‖Cgφhn‖Bμ=supz∈Dμ(|z|)|(Cgφhn)′(z)|≥μ(|zn|)|h′n(φ(zn))‖g(zn)|=μ(|zn|)|g(zn)|ln11−|φ(zn)|2,
(3)⇒(1) 设Cgφ: Z→Bμ有界并且(2.8)式成立. 由定理2.1知
定理2.3 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权, 则Cgφ: Z0→Bμ0有界当且仅当Cgφ: Z0→Bμ有界并且
证 设Cgφ: Z0→Bμ0有界,易知Cgφ: Z0→Bμ有界. 取函数f(z)=z∈ Z0,则立即可得(2.10)式.
反过来,设Cgφ: Z0→Bμ有界,并且(2.10)式成立. 则对任意多项式P 有
定理2.4 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权,则下面条件等价.
(1) Cgφ: Z→Bμ0是紧算子.
(2) Cgφ: Z0→Bμ0是紧算子.
证 (1)⇒(2)显然.
(2)⇒(3) 设 Cgφ: Z0→Bμ0是紧算子, 则Cgφ: Z0→Bμ0有界. 由定理2.3知(2.10)式成立.
当‖φ‖∞<1时,根据(2.10)式得 lim|z|→1μ(|z|)|g(z)|ln21−|φ(z)|2≤ln21−‖φ‖2∞lim|z|→1μ(|z|)|g(z)|=0.
现在设‖φ‖∞=1. 又设{zn}n∈N是D中的序列满足当 n→∞时,|φ(zn)|→1. 由于Cgφ: Z0→Bμ是紧算子. 由定理2.2有 lim|φ(z)|→1μ(|z|)|g(z)|ln21−|φ(z)|2=0,
因此当σ<|z|<1,r<|φ(z)|<1时有
(3)⇒(1) 设f∈ Z,由(1.1)式知 μ(|z|)|(Cgφf)′(z)|=μ(|z|)|f′(φ(z))‖g(z)|≤C‖f‖ Zμ(|z|)|g(z)|ln21−|φ(z)|2.
在这一节中,我们对从 F(p,q,s) (或 F0(p,q,s))到Bμ (或Bμ0)上的 广义复合算子的有界性、 紧性进行刻画,首先介绍下面引理.
引理3.1 [17] 设0<p,s<∞,−2<q<∞,q+s>−1并且f∈ F(p,q,s), 则存在常数C>0使得‖f‖βα≤C‖f‖F,此外,如果f∈ F0(p,q,s), 则f∈βα0. 这里α=q+2p.
类似引理2.1,我们易证下面的结论.
引理3.2 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权. 又设0<p,s<∞,−2<q<∞,q+s>−1. 则Cgφ: F (p,q,s)(或F0(p,q,s)→Bμ)(或Bμ0) 是紧算子当且仅当Cgφ:F(p,q,s)(或F0(p,q,s)→Bμ (或Bμ0) 有界并且对于 F(p,q,s) (或 F0(p,q,s))中的任意有界序列{fn}n∈N, fn在D 的紧子集上一致收敛于0时,有‖Cgφfn‖Bμ→0.
定理3.1 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权. 又设0<p,s<∞, −2<q<∞,q+s>−1. 则Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界当且仅当
证 设Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界. 令α=q+2p,固定w∈D, 考虑函数
反之,设(3.1)式成立. 对任意f∈F(p,q,s),根据引理3.1有 supz∈D(1−|z|2)α|f′(z)|⩽C‖f‖F(p,q,s)
定理3.2 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权. 又设0<p,s<∞, −2<q<∞,q+s>−1. 则Cgφ:F(p,q,s)→Bμ是紧算子当且仅当
证 设Cgφ:F(p,q,s)→Bμ是紧算子. 令α=q+2p, 并且{zn}z∈N是D中的序列满足当n→∞时,|φ(zn)|→1. 考虑函数 fn(z)=(z−φ(zn))(1−|φ(zn)|2)(1−¯φ(zn)z)α+1.
反过来,设(3.3)式成立. 令{fn}n∈N是 F(p,q,s)中有界序列并在D的紧 子集上一致收敛于0. 令M=supn‖fn‖F(p,q,s)<∞,根据引理3.2, 往证limn→∞‖Cgφfn‖Bμ=0. 由(3.3)式,对于任意ε>0,存在r∈(0,1),当|φ(z)|>r时, 有μ(|z|)|g(z)|(1−|φ(z)|2)α<ε. 由Cauchy 估计, 如果{fn}n∈N在D的紧子集上一致收敛于0,则{f′n}n∈N 在D的紧子集上也一致收敛于0,即存在n0>0使得当n>n0 时, sup{|φ(w)|≤r}|f′n(φ(w))|<ε. 由以上叙述及引理3.1得到 supw∈Dμ(|w|)|f′n(φ(w))‖g(w)|≤sup{|φ(w)|≤r}μ(|w|)|f′n(φ(w))‖g(w)|+sup{|φ(w)|>r}μ(|w|)|f′n(φ(w))‖g(w)|=sup{|φ(w)|≤r}μ(|w|)|f′n(φ(w))‖g(w)|+sup{|φ(w)|>r}(1−|φ(w)|2)α|f′n(φ(w))|μ(|w|)|g(w)|(1−|φ(w)|2)α≤Csup{|φ(w)|≤r}|f′n(φ(w))|+‖fn‖ Fsup{|φ(w)|>r}μ(|w|)|g(w)|(1−|φ(w)|2)α≤(C+M)ε,
定理3.3 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权. 又设0<p,s<∞, −2<q<∞,q+s>−1. 则Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界当且仅当 Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界并且
证 设Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界,则Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界. 取f(z)=z∈F0(p,q,s),即得到(3.4)式.
反之,设Cgφ:F(p,q,s)→Bμ有界并且(3.4)式成立. 则对任意多项式P有
下面我们给出在满足一定条件下小空间与对应空间上的广义复合算子的紧性是等价的.
定理3.4 设g∈H(D),φ:D→D解析,μ是正规权. 又设0<p,s<∞, −2<q<∞,q+s>−1. 则下面条件等价.
(1) Cgφ:F(p,q,s)→Bμ是紧算子.
(2) Cgφ:F(p,q,s)→Bμ是紧算子.
证 (1)⇒(2) 显然.
(2)⇒(3) 令α=q+2p. 设Cgφ:F(p,q,s)→Bμ是紧算子, 由引理2.2,对M>0有 lim|z|→1sup‖f‖ F≤M,f∈ F0μ(|z|)|(Cgφf)′(z)|=0.
(3)⇒(1) 设f∈ F满足‖f‖ F≤1. 由引理3.1, f∈Bα,‖f‖Bα≤C‖f‖ F. μ(|z|)|(Cgφf)′(z)|=μ(|z|)|f′(φ(z))‖g(z)|=(1−|φ(z)|2)α|f′(φ(z))|μ(|z|)|g(z)|(1−|φ(z)|2)α≤C‖f‖ Fμ(|z|)|g(z)|(1−|φ(z)|2)α.