考虑广义中立型 Emden-Fowler 时滞微分方程
如果不作说明,本文总假设下列条件成立
(A1)~ r(t)>0,r′(t)≥0,0≤p(t)≤1,q(t)≥0.
(A2)~ τ(t)≤t,0<σ(t)≤t,σ′(t)>0,limt→∞τ(t)=limt→∞σ(t)=∞.
设 Tx=min{τ(t1),σ(t1)},t1≥t0, 若函数 x(t)∈C1([Tx,∞),R) 使得 r(t)|z′(t)|α−1z′(t)∈C1([Tx,∞),R) 且在 [Tx,∞) 上满足方程(1.1),则称 x(t) 是方程 (1.1) 的一个解. 关于中立型时滞微分方程解的存在唯一性问题可以看文献 [1], 本文仅考虑方程 (1.1) 的非平凡解,即一切 T≥Tx 使得 Sup{|x(t)|:t≥T}>0 的解 x(t). 方程 (1.1) 的解称为振动,如果它有任意大的零点. 否则称它为非振动. 方程 (1.1) 称为振动,如果它的每一解均为振动.
方程 (1.1) 在理论和实际应用两方面都具有重要意义,例如, 方程 Emden-Fowler 在研究原子核内部的电动势时被导出, 它在核物理中有重要应用. 中立型方程在高速计算机无损线路的网络设计中有应用. 因此,方程 (1.1) 的振动性研究受到同行的关注 (参看文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]). 特别是如下的特例
定理 A 设
对中立型方程 (1.3),Grammatikopoulos 等在文献 [3] 给出如下结果
定理B 设 0≤p(t)≤1,q(t)≥0, 且
Sun 和 Meng 在文献 [4] 中对半线性方程(1.6)建立了如下振动准则 定理C 设
最近文献 [5] 利用 Riccati 方法和积分平均技巧建立了方程 (1.1) 当 α≥β>0 时的若干准则,推广和改进了一系列文献中的结果. 受文献 [5] 工作的启发,我们将继续方程 (1.1) 的振动性研究. 在 α≥β 条件下我们将给出不同于文献 [5] 的新的振动条件, 同时也证明了若干当 β≥α 时方程 (1.1) 的振动定理, 所得结果推广,改进和统一了若干文献中的结果, 每个定理都给出了例子说明其应用.
本节定理均假设 α≥β.
定理2.1 设
证 设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 不失一般性,我们设 x(t)>0, x(τ(t))>0, x(σ(t))>0, t≥t1≥t0. 当 x(t)<0 的情况类似的分析成立. 我们有 z(t)≥x(t)>0
我们断言
否则,如果 z′(t)<0,t≥t2≥t1. 由 (2.4)式 我们有 −r(t)(−z′(t))α≤−M,t≥t2,M>0 为常数.
即 −z′(t)≥(Mr(t))1α, t≥t2,
由 (2.5) 式我们得到
定义函数
推论 1 设
推论 2 设 r(t)=1 且 (2.15)式 成立,则方程 (1.1) 振动.
证 只须在 (2.2) 式中取 ρ(t)=1 即可.
注 1 推论 1 推广了定理 A. 推论 2 推广了定理 B. 因此,定理 2.1 推广, 改进和统一了著名的 Leighton 定理和 Grammatikopoulos 定理, 值得注意的是推论 1 和 2 对任意 α>0,β>0 都成立.
例 1 考虑中立型微分方程 (|z′(t)|α−1z′(t))′+euβt|x(ut)|β−1x(ut)=0,t≥1, (E1)
例 2 考虑方程 (tα|z′(t)|α−1z′(t))′+t|x(ut)|β−1x(ut)=0,t≥2, (E2)
上述例 1 和例 2 即为文献 [5,例 3.1 和例 3.2],利用推论 1 和推论 2 即可判定方程的振动性,无需利用定理,这样更简单.定理 2.1 的条件 (2.2) 较推论的条件 (2.15) 更弱,即条件 (2.2) 允许条件 (2.15) 不成立. 即
例 3 考虑方程 (|z′(t)|α−1z′(t))′+1tβ|x(tβ)|βsgnx(tβ)=0, (E3)
现令 R(t)=∫tt0(1r(s))1αds. 下面给出 (2.16) 式成立时,方程 (1.1) 振动的另一个条件.
定理2.2 设 (2.1) 和 (2.16) 式成立. 若 α>β>0, 且∫∞t0Rβ(σ(t))Q(t)dt=∞,(2.17)
证 设方程 (1.1) 存在非振动解 x(t),不失一般性,我们设 x(t) 最终为正,则 z(t)≥x(t)>0, t≥t1.
对 (2.8) 式积分得 r(t)(z′(t))α≥∫∞tQ(s)zβ(σ(s))ds.
定义函数 F(t)=∫∞tQ(s)zβ(σ(s))ds, t≥t1,
注 2 文献 [6,定理 3.1]是本文定理 2.2 当 p(t)=0 时的特例. 我们将其结果推广到中立型方程.
例 4 考虑方程 (1tαβ|z′(t)|α−1z′(t))′+1t1+β|x(t2)|βsgnx(t2)=0, t>0, (E4)
因此,条件 (2.1) 和 (2.16)式 满足 Rβ(σ(t))=(∫σ(t)t0(1r(s))1αds)β=(∫t20s1βds)β=(β1+β)β(t2)1+β.
下面的定理对任意 α>0,β>0 均成立,我们称方程 (1.1) 为非正则的,如果下式满足
现在考虑在非正则条件下,方程 (1.1) 的振动性.
定理2.3 设 (2.21) 和 (2.15) 式成立, 若 p′(t)≥0,τ′(t)>0 且
证 设方程 (1.1) 有最终正解 x(t)(对于 x(t) 是最终负解的情况可以类似地证明). 如同定理 2.1 证明中知,z′(t) 最终定号. 故 z′(t) 有两种情况
情况 (i)\quad 若 z′(t)>0,t≥t1≥t0. 即 (2.5) 式成立. 利用推论 1 我们可以得到与 (2.15) 式的矛盾.
情况 (ii)\quad 若 z′(t)<0,t≥t2≥t1. 注意到 p′(t)≥0,τ′(t)>0, 利用等式 z′(t)=x′(t)+p′(t)x(τ(t))+p(t)x′(τ(t))τ′(t)
我们断言 l=0. 否则,若 l>0, 则有 limt→∞x(t)=l1+p>0. 故存在常数 C>0 使得 xβ(σ(t))≥C, t≥T≥t2.
从方程 (1.1),我们得到
例 5 考虑方程 (t2α|z′(t)|α−1z′(t))′+et|x(t2)|βsgnx(t2)=0,(E5)
注 3 本文的条件 (2.15) 改进了文献 [5,(2.1)式]. 并且我们也取消了极限 limt→∞p(t)=C 的条件. 因此,定理 2.3 改进了文献[5,定理 3.1].
我们注意到对于方程 (1.1) 振动性的研究,大多考虑 α=β 的情况, 最近文献 [5] 研究了 α≥β 的情况. 下面我们给出 β≥α 时方程 (1.1) 的两个振动准则.
引理 3.1 设 (2.1)式 成立,且
证 设 x(t)>0,t≥t1≥t0, 则由定理 2.1 的证明知 (2.5) 和 (2.8) 式成立, 即 z′(t)>0, 且有 (r(t)(z′(t))α)′+Q(t)zβ(σ(t))≤0, t≥t1.
定理3.1 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 存在 ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)) 使得
注 4 定理 3.1 推广和改进了文献 [4] 和文献 [7]的主要结果, 只需取 α=β, p(t)=0, ρ(t)=Rα(σ(t)) 即可. 同时,定理 3.1 也统一了定理 A,定理 B 和定理 C 的结果.
推论 3 设 r(t)=1, (3.1)式成立,若
由上式知, 当 K>(αα+1)α+12α+β 时 (3.10) 式成立. 从推论 3 知,当 K>(αα+1)α+12α+β 时,(E6) 振动.
下面我们给出当 (2.15) 式不成立时,方程 (1.1) 的另一个振动准则. 为简便计,我们设
定理3.2 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 若
令 λ=inft≥Tw(t)¯Q(t),