数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (4): 803-814   PDF (332 KB)    
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曾云辉1
罗李平1
俞元洪2
中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性
曾云辉1, 罗李平1, 俞元洪2     
1 衡阳师范学院数学与计算科学系, 湖南 衡阳 421008;
2 中国科学院数学与系统科学研究院, 北京 100190
摘要: 该文建立了广义中立型Emden-Fowler方程
(r(t)|z'(t)|α-1z'(t))'+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0
的若干新的振动准则, 其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),α>0,β>0, 所得结果改进和推广了最近文献中的一些结果.
关键词: Emden-Fowler方程     中立型     振动准则    
Oscillation for Emden-Fowler Delay Differential Equations of Neutral Type
Zeng Yunhui1, Luo liping1, Yu Yuanhong2    
1 Department of Mathematics and ComputationalScience, Hengyang Normal University, Hunan Hengyang 421008;
2 Academy of System Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190
Abstract: In this paper we establish some new oscillation criteria for the generalized Emden-Fowler delay differential equations of neutral type of the form
(r(t)|z'(t)|α-1z'(t))'+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0,
where z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),α>0,β>0. The results obtained improve and extend some known results in the literature, recently.
Key words: Emden-Fowler equation     Neutral type     Oscillation criterion    

1 引言

考虑广义中立型 Emden-Fowler 时滞微分方程

(r(t)|z(t)|α1z(t))+q(t)|x(σ(t))|β1x(σ(t))=0,  tt0,(1.1)
(1.1)
其中 z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)), α>0,β>0 为常数,r(t), τ(t), σ(t)C1([t0,),R), p(t), q(t)C([t0,),R).

如果不作说明,本文总假设下列条件成立

(A1)~ r(t)>0,r(t)0,0p(t)1,q(t)0.

(A2)~ τ(t)t,0σ(t)t,σ(t)>0,limtτ(t)=limtσ(t)=.

Tx=min{τ(t1),σ(t1)},t1t0, 若函数 x(t)C1([Tx,),R) 使得 r(t)|z(t)|α1z(t)C1([Tx,),R) 且在 [Tx,) 上满足方程(1.1),则称 x(t) 是方程 (1.1) 的一个解. 关于中立型时滞微分方程解的存在唯一性问题可以看文献 [1], 本文仅考虑方程 (1.1) 的非平凡解,即一切 TTx 使得 Sup{|x(t)|:tT}>0 的解 x(t). 方程 (1.1) 的解称为振动,如果它有任意大的零点. 否则称它为非振动. 方程 (1.1) 称为振动,如果它的每一解均为振动.

方程 (1.1) 在理论和实际应用两方面都具有重要意义,例如, 方程 Emden-Fowler 在研究原子核内部的电动势时被导出, 它在核物理中有重要应用. 中立型方程在高速计算机无损线路的网络设计中有应用. 因此,方程 (1.1) 的振动性研究受到同行的关注 (参看文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]). 特别是如下的特例

(r(t)x(t))+q(t)x(t)=0,(1.2)
(1.2)
x(t)+q(t)|x(t)|λsgnx(t)=0,(1.3)
(1.3)
[x(t)+p(t)x(tτ)]+q(t)x(tσ)=0,(1.4)
(1.4)
(r(t)[x(t)+p(t)x(tτ)])+q(t)|x(σ(t))|λ1x(σ(t))=0,(1.5)
(1.5)
(r(t)|x(t)|α1x(t))+q(t)|x(σ(t))|α1x(σ(t))=0.(1.6)
(1.6)
对于线性方程 (1.2) 的振动性,Leighton 在文献 [2] 中证明了.

定理 A 设

t01r(t)dt=,(1.7)
(1.7)
t0q(t)dt=.(1.8)
(1.8)
则方程 (1.2) 振动.

对中立型方程 (1.3),Grammatikopoulos 等在文献 [3] 给出如下结果

定理B0p(t)1,q(t)0,

t0q(s)[1p(sσ)]ds=,(1.9)
(1.9)
则方程 (1.4) 振动.

Sun 和 Meng 在文献 [4] 中对半线性方程(1.6)建立了如下振动准则 定理C

t0(1r(t))1αdt=,R(t)=tt0(1r(s))1αds,(1.10)
(1.10)
t0[Rα(σ(t))q(t)(αα+1)α+1σ(t)R(σ(t))r1α(σ(t))]dt=,(1.11)
(1.11)
则方程 (1.6) 振动.

最近文献 [5] 利用 Riccati 方法和积分平均技巧建立了方程 (1.1) 当 αβ>0 时的若干准则,推广和改进了一系列文献中的结果. 受文献 [5] 工作的启发,我们将继续方程 (1.1) 的振动性研究. 在 αβ 条件下我们将给出不同于文献 [5] 的新的振动条件, 同时也证明了若干当 βα 时方程 (1.1) 的振动定理, 所得结果推广,改进和统一了若干文献中的结果, 每个定理都给出了例子说明其应用.

2 αβ 时的振动准则

本节定理均假设 αβ.

定理2.1

t0(1r(t))1αdt=,(2.1)
(2.1)
存在 ρ(t)C1([T0,),(0,)) 使得
t0[ρ(t)Q(t)r(t)(ρ(t))β+1(β+1)β+1(Kρ(t)σ(t))β]dt=,(2.2)
(2.2)
则方程 (1.1) 振动. 其中 K=(z(t1))βαβ,t1 充分大,
Q(t)=[1p(σ(t))]βq(t).(2.3)
(2.3)

设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 不失一般性,我们设 x(t)>0, x(τ(t))>0, x(σ(t))>0, tt1t0.x(t)0 的情况类似的分析成立. 我们有 z(t)x(t)>0

(r(t)|z(t)|α1z(t))0,  tt1.(2.4)
(2.4)
故函数 r(t)|z(t)|α1z(t) 是非增,且 z(t) 最终定号.

我们断言

z(t)>0,  tt1.(2.5)
(2.5)

否则,如果 z(t)0,tt2t1. 由 (2.4)式 我们有 r(t)(z(t))αM,tt2,M>0 为常数.

z(t)(Mr(t))1α,  tt2,

积分上式得

z(t)z(t2)M1αtt2(1r(s))1αds.(2.6)
(2.6)
显然,(2.6)式与 (2.1),(2.4)式 矛盾. 故 (2.5) 式成立.

由 (2.5) 式我们得到

x(t)(1p(t))z(t),(2.7)
(2.7)
联合 (2.5),(2.7) 式和方程 (1.1),我们有
(r(t)(z(t))α)+Q(t)zβ(σ(t))0.(2.8)
(2.8)

定义函数

w(t)=r(t)(z(t))αzβ(σ(t)),  tt1,(2.9)
(2.9)
w(t)>0, 且有 w(t)=(r(t)(z(t))α)zβ(σ(t))r(t)(z(t))αβσ(t)z(σ(t))zβ+1(σ(t))Q(t)βσ(t)r1β(t)r1+1β(t)(z(t))α+1zβ+1(σ(t))Q(t)βσ(t)r1β(t)(z(t))βαβw1+ββ(t),
其中,因 r(t)0,[r(t)(z(t))α]0, 故有 z(t)0,z(t) 非增. 下面注意到 1z(t) 非减,tt1.1z(t)1z(t1),tt1. 因此,我们有
w(t)Q(t)Kβσ(t)r1β(t)w1+ββ(t),  tt1,(2.10)
(2.10)
对 (2.10)式 乘 ρ(t)再 积分,利用分部积分我们得到
tt1ρ(s)Q(s)dsρ(t1)w(t1)+tt1(ρ(s)w(s)Kβσ(s)r1β(s)w1+1β(s))ds,(2.11)
(2.11)
在 (2.11) 式右端积分中利用不等式
BuAu1+1βββ(β+1)β+1Bβ+1Aβ,  A>0,B0.(2.12)
(2.12)
从 (2.11) 式我们有
tt1(ρ(s)Q(s)r(s)(ρ(s))β+1(β+1)β+1(Kρ(s)σ(s))β)dsρ(t1)w(t1).(2.13)
(2.13)
我们看到 (2.13) 式与 (2.2) 式矛盾. 定理 2.1 证毕.

推论 1

t0(1r(t))1αdt=,(2.14)
(2)
t0Q(t)dt=.(2.15)
(2.15)
则方程 (1.1) 振动.

推论 2 r(t)=1 且 (2.15)式 成立,则方程 (1.1) 振动.

只须在 (2.2) 式中取 ρ(t)=1 即可.

注 1 推论 1 推广了定理 A. 推论 2 推广了定理 B. 因此,定理 2.1 推广, 改进和统一了著名的 Leighton 定理和 Grammatikopoulos 定理, 值得注意的是推论 1 和 2 对任意 α>0,β>0 都成立.

例 1 考虑中立型微分方程 (|z(t)|α1z(t))+euβt|x(ut)|β1x(ut)=0,t1,(E1)

其中 z(t)=x(t)+(1et)x(t1),α>β>1,0u,1,p(t)=1et, q(t)=euβt, τ(t)=t1,σ(t)=ut,r(t)=1,Q(t)=1.(E1) 满足推论 2 的条件.

例 2 考虑方程 (tα|z(t)|α1z(t))+t|x(ut)|β1x(ut)=0,t2,(E2)

其中 z(t)=x(t)+12x(t2),α>β>1,0u1, p(t)=12,q(t)=t, τ(t)=t2, σ(t)=ut, r(t)=tα.Q(t)=t2β. 因此,(E2) 满足推论 1 的条件.

上述例 1 和例 2 即为文献 [5,例 3.1 和例 3.2],利用推论 1 和推论 2 即可判定方程的振动性,无需利用定理,这样更简单.定理 2.1 的条件 (2.2) 较推论的条件 (2.15) 更弱,即条件 (2.2) 允许条件 (2.15) 不成立. 即

t0Q(t)dt,.(2.16)
(2.16)

例 3 考虑方程 (|z(t)|α1z(t))+1tβ|x(tβ)|βsgnx(tβ)=0,(E3)

其中 αβ>1,z(t)=x(t)+1βx(tτ),τ>0,p(t)=1β,q(t)=1tβ,r(t)=1,σ(t)=tβ.Q(t)=(11β)β1tβ. 因此,(2.16)式 成立. 取 ρ(t)=tβ+1, 则 ρ(t)Q(t)=(11β)βtr(t)(ρ(t))β+1(β+1)β+1(kρ(t)σ(t))β=(βk)β. 因此, t0(ρ(s)Q(s)r(s)(ρ(s))β+1(β+1)β+1(kρ(s)σ(s))β)ds=.
由定理 2.1 知,方程 (E3) 振动.

现令 R(t)=tt0(1r(s))1αds. 下面给出 (2.16) 式成立时,方程 (1.1) 振动的另一个条件.

定理2.2 设 (2.1) 和 (2.16) 式成立. 若 α>β>0, 且t0Rβ(σ(t))Q(t)dt=,(2.17)

则方程 (1.1) 振动.

设方程 (1.1) 存在非振动解 x(t),不失一般性,我们设 x(t) 最终为正,则 z(t)x(t)>0,  tt1.

如同定理 2.1 的证明, 我们有 (2.5) 和 (2.8) 式成立.

对 (2.8) 式积分得 r(t)(z(t))αtQ(s)zβ(σ(s))ds.

z(t)(1r(t)tQ(s)zβ(σ(s))ds)1α,  tt1.(2.18)
(2.18)
对 (2.18) 式积分,我们有 z(σ(t))z(σ(t1))+σ(t)σ(t1)(1r(u)uQ(s)zβ(σ(s))ds)1αdu>[σ(t)σ(t1)(1r(s))1αds](σ(t)Q(s)zβ(σ(s))ds)1α[R(σ(t))R(σ(t1))](tQ(s)zβ(σ(s))ds)1α.
亦即
[R(σ(t))R(σ(t1))]βzβ(σ(t))(tQ(s)zβ(σ(s))ds)βα,  tt1.(2.19)
(2.19)

定义函数 F(t)=tQ(s)zβ(σ(s))ds,  tt1,

F(t)>0. 对 (2.19)式 两边乘 Q(t)zβ(σ(t)), 在 [t1,t] 上积分我们得到

tt1[R(σ(s))R(σ(t1))]βQ(s)dstt1(sQ(u)zβ(σ(u))du)βαQ(s)zβ(σ(s))ds=tt1(F(s))βαdF(s)=ααβ(F(t1))αβαααβ(F(t))αβαααβ(F(t1))αβα.
(2.20)
注意到 (2.16) 式成立,故 (2.20) 与 (2.17)式 矛盾. 定理 2.2 证毕.

注 2 文献 [6,定理 3.1]是本文定理 2.2 当 p(t)=0 时的特例. 我们将其结果推广到中立型方程.

例 4 考虑方程 (1tαβ|z(t)|α1z(t))+1t1+β|x(t2)|βsgnx(t2)=0,  t>0,(E4)

其中 α>β>0,z(t)=x(t)+12x(tτ),τ>0, σ(t)=t2, r(t)=1tαβ,p(t)=12,q(t)=1t1+β, Q(t)=12βt1+β.

因此,条件 (2.1) 和 (2.16)式 满足 Rβ(σ(t))=(σ(t)t0(1r(s))1αds)β=(t20s1βds)β=(β1+β)β(t2)1+β.

故 (2.17)式 满足. 由定理 2.2 知方程 (E4) 振动.

下面的定理对任意 α>0,β>0 均成立,我们称方程 (1.1) 为非正则的,如果下式满足

t0(1r(t))1αdt.(2.21)
(2.21)

现在考虑在非正则条件下,方程 (1.1) 的振动性.

定理2.3 设 (2.21) 和 (2.15) 式成立, 若 p(t)0,τ(t)>0

t0(1r(t)tt0q(s)ds)1αdt=,(2.22)
(2.22)
则方程 (1.1) 的每一解 x(t) 振动或者 limtx(t)=0.

设方程 (1.1) 有最终正解 x(t)(对于 x(t) 是最终负解的情况可以类似地证明). 如同定理 2.1 证明中知,z(t) 最终定号. 故 z(t) 有两种情况

情况 (i)\quad 若 z(t)>0,tt1t0. 即 (2.5) 式成立. 利用推论 1 我们可以得到与 (2.15) 式的矛盾.

情况 (ii)\quad 若 z(t)0,tt2t1. 注意到 p(t)0,τ(t)>0, 利用等式 z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))+p(t)x(τ(t))τ(t)

我们有 x(t)0. 因此,下列极限存在 limtp(t)=p>0    limtz(t)=l>0.

我们断言 l=0. 否则,若 l>0, 则有 limtx(t)=l1+p>0. 故存在常数 C>0 使得 xβ(σ(t))C,  tTt2.

从方程 (1.1),我们得到

(r(t)(z(t))α)=q(t)xβ(σ(t))Cq(t),  tT.(2.23)
(2.23)
对 (2.23) 式积分得 r(t)(z(t))αCtTq(s)ds.
z(t)(Cr(t)tTq(s)ds)1α.(2.24)
(2.24)
积分 (2.24)式 我们有
z(t)z(T)C1αtT(1r(s)sTq(u)du)1αds.(2.25)
(2)
z(t)>0,tT. 故 (2.25) 式与 (2.22)式 矛盾. 因此,l=0.limtz(t)=0,limtx(t)=0, 定理 2.3 证毕.

例 5 考虑方程 (t2α|z(t)|α1z(t))+et|x(t2)|βsgnx(t2)=0,(E5)

其中 z(t)=x(t)+12x(tτ),τ>0,r(t)=t2α,p(t)=12,q(t)=et,Q(t)=et2β,σ(t)=12. 显然,(2.21)式 和 (2.15) 式成立,且 p(t)=0,τ(t)>0t0(1r(t)tt0q(s)ds)1αdt=t0(etet0)1αt2dt=,
由定理 2.3 知方程 (E5) 的每一解 x(t) 振动或者 limtx(t)=0.

注 3 本文的条件 (2.15) 改进了文献 [5,(2.1)式]. 并且我们也取消了极限 limtp(t)=C 的条件. 因此,定理 2.3 改进了文献[5,定理 3.1].

3 βα 时的振动准则

我们注意到对于方程 (1.1) 振动性的研究,大多考虑 α=β 的情况, 最近文献 [5] 研究了 αβ 的情况. 下面我们给出 βα 时方程 (1.1) 的两个振动准则.

引理 3.1 设 (2.1)式 成立,且

t0(1r(t)sQ(u)du)1αds=.(3.1)
(3.1)
x(t) 是方程 (1.1) 的最终正解. 则有 limtz(t)=.

x(t)>0,tt1t0, 则由定理 2.1 的证明知 (2.5) 和 (2.8) 式成立, 即 z(t)>0, 且有 (r(t)(z(t))α)+Q(t)zβ(σ(t))0,  tt1.

$$ 若 $z(t)$ 有界,则存在常数 $C_1,C_2>0$ 使得

0C1z(t)C2,C1z(σ(t))C2.(3.2)
(3.2)
对 (2.8) 式积分,我们有 r(t)(z(t))αtQ(s)zβ(σ(s))ds.
z(t)(1r(t)tQ(s)zβ(σ(s))ds)1α,  tt1.
对上式积分得 z(t)tt1(1r(s)sQ(u)zβ(σ(u))du)1αds.
利用 (3.2) 式我们得到
C2z(t)C1βαtt1(1r(s)sQ(u)du)1αds.(3.3)
(3.3)
显然,(3.3)式 与 (3.1) 式矛盾. 因此 z(t) 无界. 注意到 z(t)>0,tt1. 故有 limtz(t)=, 引理 3.1 证毕.

定理3.1 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 存在 ρ(t)C1([t0,),(0,)) 使得

t0[ρ(t)Q(t)r(σ(t))(ρ(t))α+1(α+1)α+1(ρ(t)σ(t))α]dt=.(3.4)
(3.4)
则方程 (1.1) 振动. 设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 不失一般性,设 x(t) 是方程 (1.1) 的最终正解. 如同定理 2.1 的证明,我们有 (2.5) 式和 (2.8)式 成立. 定义函数同 (2.9)式,即 w(t)=r(t)(z(t))αzβ(σ(t)),  tt1.
w(t)=(r(t)(z(t))α)zβ(σ(t))r(t)(z(t))αβσ(t)z(σ(t))zβ+1(σ(t))Q(t)βσ(t)zβαα(σ(t))r1α(σ(t))wα+1α(t),
(3.5)
上式中利用了不等式 z(σ(t))z(t)(r(t)r(σ(t)))1α 和(2.8)式,下面在(3.5)式 中利用引理 3.1 及 βα, 我们得到
w(t)Q(t)ασ(t)r1α(σ(t))wα+1α(t),  tTt1.(3.6)
(3.6)
对 (3.6) 式乘 ρ(t), 积分得 tTρ(s)Q(s)dstTρ(s)w(s)dstTαρ(s)σ(s)r1α(σ(s))wα+1α(s)ds.
利用分部积分,我们有
tTρ(s)Q(s)dsρ(T)w(T)+tT[ρ(s)w(s)αρ(s)σ(s)r1α(σ(s))wα+1α(s)]ds.(3.7)
(3.7)
在 (3.7) 式右端积分中利用不等式
BuAuα+1ααα(α+1)α+1Bα+1Aα,  A>0,B0,(3.8)
(3.8)
我们得到 tTρ(s)Q(s)dsρ(T)w(T)+tTr(σ(s))(ρ(s))α+1(α+1)α+1(ρ(s)σ(s))αds.
tT[ρ(s)Q(s)r(σ(s))(ρ(s))α+1(α+1)α+1(ρ(s)σ(s))α]dsρ(T)w(T).(3.9)
(3.9)
显然,(3.9)式 与 (3.4)式 矛盾. 定理 3.1 证毕.

注 4 定理 3.1 推广和改进了文献 [4] 和文献 [7]的主要结果, 只需取 α=β, p(t)=0, ρ(t)=Rα(σ(t)) 即可. 同时,定理 3.1 也统一了定理 A,定理 B 和定理 C 的结果.

推论 3r(t)=1, (3.1)式成立,若

(3.10)
lim inftQ(t)σα+1(t)σ(t)>(αα+1)α+1,(3.10)
则方程 (1.1) 振动. 设 (3.10) 式成立. 则存在 ε>0 使得对一切充分大的 t
Q(t)σα+1(t)σ(t)>(αα+1)α+1+ε.(3.11)
(3.11)
对 (3.11) 式两边乘 σ(t)σ(t), 我们得到
Q(t)σα(t)(αα+1)α+1σ(t)σ(t)>εσ(t)σ(t).(3.12)
(3.12)
在 (3.4)式 中取 ρ(t)=σα(t),r(t)=1, 则由 (3.12)式 可以推出 (3.4) 式成立. 故方程 (1.1) 振动. 推论 3 证毕. 例 6 考虑广义中立型 Emden-Fowler 方程 (|z(t)|α1z(t))+Ktα+1|x(t2)|β1x(t2)=0,  t>1,(E6)
其中 z(t)=x(t)+12x(tτ),τ>0,βα>0,K>0,r(t)=1, p(t)=12,q(t)=Ktα+1, Q(t)=(12)βKtα+1,σ(t)=t2. t0(1r(s)sQ(u)du)1αds=1(s(12)βKuα+1du)1αds=[Kα(12)β]1α1lnsds=.
故 (3.1)式 成立. lim inftQ(t)σα+1(t)σ(t)=K(12)α+β>(αα+1)α+1.

由上式知, 当 K>(αα+1)α+12α+β 时 (3.10) 式成立. 从推论 3 知,当 K>(αα+1)α+12α+β 时,(E6) 振动.

下面我们给出当 (2.15) 式不成立时,方程 (1.1) 的另一个振动准则. 为简便计,我们设

A(t)=ασ(t)r1α(σ(t)),¯Q(t)=tQ(s)ds.(3.13)
(3.13)

定理3.2 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 若

lim inft1¯Q(t)t¯Qα+1α(s)A(s)ds>α(α+1)α+1α.(3.14)
(3.14)
则方程 (1.1) 振动. 证 设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 定义函数 w(t) 同定理 3.1, 则由定理 3.1 的证明知(3.6)式 成立. 即 w(t)Q(t)A(t)wα+1α(t),  tT.
对 (3.6)式 积分得
w(t)tQ(s)ds+tA(s)wα+1α(s)ds,(3.15)
(3.15)
注意到 w(t) 为非增函数,故有界. 因此 (3.15) 式的两个积分均收敛. 现用 ¯Q(t) 除 (3.15)式,我们得到
w(t)¯Q(t)1+1¯Q(t)tA(s)wα+1α(s)ds=1+1¯Q(t)tA(s)¯Qα+1α(s)(w(s)¯Q(s))α+1αds,  tT.
(3.16)
另一方面,由 (3.14)式 知,存在常数 c>0 使得
lim inft1¯Q(t)t¯Qα+1α(s)A(s)ds>c>α(α+1)α+1α.(3.17)
(3.17)

λ=inftTw(t)¯Q(t),

λ1. 注意到 (3.16)式 和 (3.17) 式我们有

λ1+λα+1αc.(3.18)
(3.18)
但是,利用不等式 (3.8),其中令 B=1,A=c, 我们得到
λcλα+1ααα(α+1)α+11cα1,(3.19)
(3.19)
显然,(3.19) 式与 (3.18) 式矛盾. 故 方程(1.1) 没有非振动解. 定理 3.2 证毕. 例 7 考虑时滞方程 (|x(t)|x(t))+at2|x(t)|βsgnx(t)=0,(E7)
其中 r(t)=1,p(t)=0,q(t)=at2,a>0,σ(t)=t,α=2,β2. 我们有 ¯Q(t)=tQ(s)ds=at,
A(t)=ασ(t)r1α(σ(t))=1t,
t0(1r(s)sQ(u)du)1αds=t0(as)12ds=.
故 (3.1)式 成立. 下面验证 (3.14)式,因 lim inft1¯Q(t)t¯Qα+1α(s)A(s)ds=lim infttat(as)321sds=a.
由定理 3.2,当 a>427 时,方程 (E7) 振动. 注 5 文献 [13,例 2]考虑方程 (E7)α=β=2 的情况, 并且要求 a>14 才能保证方程 (E7) 振动. 我们放宽对常数 a 的要求,也放宽了 α=β 的要求. 我们也注意到最近文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]中 的振动准则均不能适用我们举例中的方程,或者精确度不如.

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中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性
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