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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (4): 803-814   PDF (332 KB)    
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曾云辉1
罗李平1
俞元洪2
中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性
曾云辉1, 罗李平1, 俞元洪2     
1 衡阳师范学院数学与计算科学系, 湖南 衡阳 421008;
2 中国科学院数学与系统科学研究院, 北京 100190
摘要: 该文建立了广义中立型Emden-Fowler方程
(r(t)|z'(t)|α-1z'(t))'+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0
的若干新的振动准则, 其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),α>0,β>0, 所得结果改进和推广了最近文献中的一些结果.
关键词: Emden-Fowler方程     中立型     振动准则    
Oscillation for Emden-Fowler Delay Differential Equations of Neutral Type
Zeng Yunhui1, Luo liping1, Yu Yuanhong2    
1 Department of Mathematics and ComputationalScience, Hengyang Normal University, Hunan Hengyang 421008;
2 Academy of System Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190
Abstract: In this paper we establish some new oscillation criteria for the generalized Emden-Fowler delay differential equations of neutral type of the form
(r(t)|z'(t)|α-1z'(t))'+q(t)|x(σ(t))|β-1x(σ(t))=0,
where z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),α>0,β>0. The results obtained improve and extend some known results in the literature, recently.
Key words: Emden-Fowler equation     Neutral type     Oscillation criterion    

1 引言

考虑广义中立型 Emden-Fowler 时滞微分方程

(r(t)|z(t)|α1z(t))+q(t)|x(σ(t))|β1x(σ(t))=0,  tt0,(1.1) (1.1)
其中 z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)), α>0,β>0 为常数,r(t), τ(t), σ(t)C1([t0,),R), p(t), q(t)C([t0,),R).

如果不作说明,本文总假设下列条件成立

(A1)~ r(t)>0,r(t)0,0p(t)1,q(t)0.

(A2)~ τ(t)t,0σ(t)t,σ(t)>0,limtτ(t)=limtσ(t)=.

Tx=min{τ(t1),σ(t1)},t1t0, 若函数 x(t)C1([Tx,),R) 使得 r(t)|z(t)|α1z(t)C1([Tx,),R) 且在 [Tx,) 上满足方程(1.1),则称 x(t) 是方程 (1.1) 的一个解. 关于中立型时滞微分方程解的存在唯一性问题可以看文献 [1], 本文仅考虑方程 (1.1) 的非平凡解,即一切 TTx 使得 Sup{|x(t)|:tT}>0 的解 x(t). 方程 (1.1) 的解称为振动,如果它有任意大的零点. 否则称它为非振动. 方程 (1.1) 称为振动,如果它的每一解均为振动.

方程 (1.1) 在理论和实际应用两方面都具有重要意义,例如, 方程 Emden-Fowler 在研究原子核内部的电动势时被导出, 它在核物理中有重要应用. 中立型方程在高速计算机无损线路的网络设计中有应用. 因此,方程 (1.1) 的振动性研究受到同行的关注 (参看文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]). 特别是如下的特例

(r(t)x(t))+q(t)x(t)=0,(1.2) (1.2)
x (1.3)
[x(t)+p(t)x(t-\tau)]''+q(t)x(t-\sigma)=0,(1.4) (1.4)
(r(t)[x(t)+p(t)x(t-\tau)]')'+q(t)|x(\sigma(t))|^{\lambda-1}x(\sigma(t))=0,(1.5) (1.5)
(r(t)|x'(t)|^{\alpha-1}x'(t))'+q(t)|x(\sigma(t))|^{\alpha-1}x(\sigma(t))=0.(1.6) (1.6)
对于线性方程 (1.2) 的振动性,Leighton 在文献 [2] 中证明了.

定理 A 设

\int_{t_0}^{\infty}\frac{1}{r(t)}{\rm d}t=\infty,(1.7) (1.7)
\int_{t_0}^{\infty}q(t){\rm d}t=\infty.(1.8) (1.8)
则方程 (1.2) 振动.

对中立型方程 (1.3),Grammatikopoulos 等在文献 [3] 给出如下结果

定理B0\leq{p(t)}\leq{1},q(t)\geq{0},

\int_{t_0}^{\infty}q(s)[1-p(s-\sigma)]{\rm d}s=\infty,(1.9) (1.9)
则方程 (1.4) 振动.

Sun 和 Meng 在文献 [4] 中对半线性方程(1.6)建立了如下振动准则 定理C

\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty, R(t)=\int_{t_0}^{t}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s,(1.10) (1.10)
\int_{t_0}^{\infty} \bigg[R^{\alpha}(\sigma(t))q(t)-\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1} \frac{\sigma'(t)}{R(\sigma(t))r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}\bigg]{\rm d}t=\infty,(1.11) (1.11)
则方程 (1.6) 振动.

最近文献 [5] 利用 Riccati 方法和积分平均技巧建立了方程 (1.1) 当 \alpha\geq\beta>0 时的若干准则,推广和改进了一系列文献中的结果. 受文献 [5] 工作的启发,我们将继续方程 (1.1) 的振动性研究. 在 \alpha\geq\beta 条件下我们将给出不同于文献 [5] 的新的振动条件, 同时也证明了若干当 \beta\geq\alpha 时方程 (1.1) 的振动定理, 所得结果推广,改进和统一了若干文献中的结果, 每个定理都给出了例子说明其应用.

2 \alpha\geq\beta 时的振动准则

本节定理均假设 \alpha\geq\beta.

定理2.1

\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty,(2.1) (2.1)
存在 \rho(t)\in{C^1}([T_0,\infty),(0,\infty)) 使得
\int_{t_0}^{\infty} \bigg[\rho(t)Q(t)-\frac{r(t)(\rho'(t))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1} (K\rho(t)\sigma'(t))^{\beta}}\bigg]{\rm d}t=\infty,(2.2) (2.2)
则方程 (1.1) 振动. 其中 K=(z'(t_1))^{\frac{\beta-\alpha}{\beta}},t_1 充分大,
Q(t)=[1-p(\sigma(t))]^{\beta}q(t).(2.3) (2.3)

设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 不失一般性,我们设 x(t)>0, x(\tau(t))>0, x(\sigma(t))>0, t\geq{t_1}\geq{t_0}.x(t)<0 的情况类似的分析成立. 我们有 z(t)\geq{x(t)>0}

(r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'\leq{0},~~t\geq{t_1}.(2.4) (2.4)
故函数 r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t) 是非增,且 z'(t) 最终定号.

我们断言

z'(t)>0,~~t\geq{t_1}.(2.5) (2.5)

否则,如果 z'(t)<0,t\geq{t_2}\geq{t_1}. 由 (2.4)式 我们有 -r(t)(-z'(t))^{\alpha}\leq{-M},t\geq{t_2},M>0 为常数.

-z'(t)\geq\Big(\frac{M}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_2}, 积分上式得

z(t)\leq{z(t_2)}-M^{\frac{1}{\alpha}}\int_{t_2}^{t}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.(2.6) (2.6)
显然,(2.6)式与 (2.1),(2.4)式 矛盾. 故 (2.5) 式成立.

由 (2.5) 式我们得到

x(t)\geq(1-p(t))z(t),(2.7) (2.7)
联合 (2.5),(2.7) 式和方程 (1.1),我们有
(r(t)(z'(t))^{\alpha})'+Q(t)z^{\beta}(\sigma(t))\leq{0}.(2.8) (2.8)

定义函数

w(t)=\frac{r(t)(z'(t))^\alpha}{z^{\beta}(\sigma(t))},~~t\geq{t_1}, (2.9) (2.9)
w(t)>0, 且有 \begin{eqnarray*} w'(t)&=&\frac{(r(t)(z'(t))^\alpha)'}{z^{\beta}(\sigma(t))}-\frac{r(t)(z'(t))^{\alpha}\beta{\sigma'(t)z'(\sigma(t))}}{z^{\beta+1}(\sigma(t))} \\ &\leq& -Q(t)-\frac{\beta\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\beta}}(t)}\frac{r^{1+\frac{1}{\beta}}(t)(z'(t))^{\alpha+1}}{z^{\beta+1}(\sigma(t))} \\ &\leq& -Q(t)-\frac{\beta\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\beta}}(t)}(z'(t))^{\frac{\beta-\alpha}{\beta}}w^{\frac{1+\beta}{\beta}}(t), \end{eqnarray*} 其中,因 r'(t)\geq{0},[r(t)(z'(t))^{\alpha}]'\leq{0}, 故有 z''(t)\leq{0},z'(t) 非增. 下面注意到 \frac{1}{z'(t)} 非减,t\geq{t_1}.\frac{1}{z'(t)}\geq\frac{1}{z'(t_1)},t\geq{t_1}. 因此,我们有
w'(t)\leq-Q(t)-\frac{K\beta\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\beta}}(t)} w^{\frac{1+\beta}{\beta}}(t),~~t\geq{t_1},(2.10) (2.10)
对 (2.10)式 乘 \rho(t)再 积分,利用分部积分我们得到
\int_{t_1}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq\rho(t_1)w(t_1)+\int_{t_1}^{t} \bigg(\rho'(s)w(s) -\frac{K\beta\sigma'(s)}{r^{\frac{1}{\beta}}(s)}w^{1+\frac{1}{\beta}}(s)\bigg){\rm d}s,(2.11) (2.11)
在 (2.11) 式右端积分中利用不等式
Bu-Au^{1+\frac{1}{\beta}}\leq\frac{\beta^{\beta}}{(\beta+1)^{\beta+1}}\cdot\frac{B^{\beta+1}}{A^{\beta}},~~A>0,B\geq{0}.(2.12) (2.12)
从 (2.11) 式我们有
\int_{t_1}^{t}\bigg(\rho(s)Q(s)-\frac{r(s)(\rho'(s))^{\beta+1}} {(\beta+1)^{\beta+1}(K\rho(s)\sigma'(s))^{\beta}}\bigg){\rm d}s\leq\rho(t_1)w(t_1).(2.13) (2.13)
我们看到 (2.13) 式与 (2.2) 式矛盾. 定理 2.1 证毕.

推论 1

\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty,(2.14) (2)
\int_{t_0}^{\infty}Q(t){\rm d}t=\infty.(2.15) (2.15)
则方程 (1.1) 振动.

推论 2 r(t)=1 且 (2.15)式 成立,则方程 (1.1) 振动.

只须在 (2.2) 式中取 \rho(t)=1 即可.

注 1 推论 1 推广了定理 A. 推论 2 推广了定理 B. 因此,定理 2.1 推广, 改进和统一了著名的 Leighton 定理和 Grammatikopoulos 定理, 值得注意的是推论 1 和 2 对任意 \alpha>0,\beta>0 都成立.

例 1 考虑中立型微分方程 (|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+{\rm e}^{u\beta{t}}|x(ut)|^{\beta-1}x(ut)=0,t\geq1,    (E_1) 其中 z(t)=x(t)+(1-{\rm e}^{-t})x(t-1),\alpha>\beta>1,0<u,<1,p(t)=1-{\rm e}^{-t}, q(t)={\rm e}^{u\beta{t}}, \tau(t)=t-1,\sigma(t)=ut,r(t)=1,Q(t)=1.(E_1) 满足推论 2 的条件.

例 2 考虑方程 (t^{\alpha}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+t|x(ut)|^{\beta-1}x(ut)=0,t\geq2,    (E_2) 其中 z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-2),\alpha>\beta>1,0<u<1, p(t)=\frac{1}{2},q(t)=t, \tau(t)=t-2, \sigma(t)=ut, r(t)=t^{\alpha}.Q(t)=\frac{t}{2^{\beta}}. 因此,(E_2) 满足推论 1 的条件.

上述例 1 和例 2 即为文献 [5,例 3.1 和例 3.2],利用推论 1 和推论 2 即可判定方程的振动性,无需利用定理,这样更简单.定理 2.1 的条件 (2.2) 较推论的条件 (2.15) 更弱,即条件 (2.2) 允许条件 (2.15) 不成立. 即

\int_{t_0}^{\infty}Q(t){\rm d}t,<\infty.(2.16) (2.16)

例 3 考虑方程 (|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+\frac{1}{t^\beta}\Big|x\Big(\frac{t}{\beta}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn}{x\Big(\frac{t}{\beta}\Big)}=0,    (E_3) 其中 \alpha\geq\beta>1,z(t)=x(t)+\frac{1}{\beta}x(t-\tau),\tau>0,p(t)=\frac{1}{\beta},q(t)=\frac{1}{t^\beta},r(t)=1,\sigma(t)=\frac{t}{\beta}.Q(t)=(1-\frac{1}{\beta})^{\beta}\frac{1}{t^\beta}. 因此,(2.16)式 成立. 取 \rho(t)=t^{\beta+1}, 则 \rho(t)Q(t)=(1-\frac{1}{\beta})^{\beta}t\frac{r(t)(\rho'(t))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1}(k\rho(t)\sigma'(t))^{\beta}}=(\frac{\beta}{k})^\beta. 因此, \int_{t_0}^{\infty}(\rho(s)Q(s)-\frac{r(s)(\rho'(s))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1}(k\rho(s)\sigma'(s))^\beta}){\rm d}s=\infty. 由定理 2.1 知,方程 (E_3) 振动.

现令 R(t)=\int_{t_0}^{t}(\frac{1}{r(s)})^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s. 下面给出 (2.16) 式成立时,方程 (1.1) 振动的另一个条件.

定理2.2 设 (2.1) 和 (2.16) 式成立. 若 \alpha>\beta>0, 且\int_{t_0}^{\infty}R^{\beta}(\sigma(t))Q(t){\rm d}t=\infty,(2.17)则方程 (1.1) 振动.

设方程 (1.1) 存在非振动解 x(t),不失一般性,我们设 x(t) 最终为正,则 z(t)\geq{x(t)}>0,~~t\geq{t_1}. 如同定理 2.1 的证明, 我们有 (2.5) 和 (2.8) 式成立.

对 (2.8) 式积分得 r(t)(z'(t))^{\alpha}\geq\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s.

z'(t)\geq\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_1}.(2.18) (2.18)
对 (2.18) 式积分,我们有 \begin{eqnarray*} z(\sigma(t))&\geq& {z(\sigma(t_1))}+\int_{\sigma(t_1)}^{\sigma(t)} \bigg(\frac{1}{r(u)}\int_u^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}u \\ &>&\bigg[\int_{\sigma(t_1)}^{\sigma(t)}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s\bigg] \bigg(\int_{\sigma(t)}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}} \\ &\geq& [R(\sigma(t))-R(\sigma(t_1))] \bigg(\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}. \end{eqnarray*} 亦即
\frac{[R(\sigma(t))-R(\sigma(t_1))]^{\beta}}{z^{\beta}(\sigma(t))}\leq \bigg(\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{-\frac{\beta}{\alpha}},~~t\geq{t_1}.(2.19) (2.19)

定义函数 F(t)=\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s,~~t\geq{t_1},F(t)>0. 对 (2.19)式 两边乘 Q(t)z^{\beta}(\sigma(t)), 在 [t_1,t] 上积分我们得到

\begin{eqnarray} &&\int_{t_1}^{t}[R(\sigma(s))-R(\sigma(t_1))]^{\beta}Q(s){\rm d}s \nonumber\\ &\leq &\int_{t_1}^{t}\bigg(\int_{s}^{\infty}Q(u)z^{\beta}(\sigma(u)){\rm d}u\bigg)^{-\frac{\beta}{\alpha}}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s \nonumber\\ &=&-\int_{t_1}^{t}(F(s))^{-\frac{\beta}{\alpha}}{\rm d}F(s) \nonumber\\ &=&\frac{\alpha}{\alpha-\beta}(F(t_1))^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}}-\frac{\alpha}{\alpha-\beta}(F(t))^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}} \nonumber\\ &<&\frac{\alpha}{\alpha-\beta}(F(t_1))^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}}.%(2.20)$$ \end{eqnarray} (2.20)
注意到 (2.16) 式成立,故 (2.20) 与 (2.17)式 矛盾. 定理 2.2 证毕.

注 2 文献 [6,定理 3.1]是本文定理 2.2 当 p(t)=0 时的特例. 我们将其结果推广到中立型方程.

例 4 考虑方程 \Big(\frac{1}{t^\frac{\alpha}{\beta}}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)\Big)' +\frac{1}{t^{1+\beta}}\Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn} x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0,~~t>0,    (E_4) 其中 \alpha>\beta>0,z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0, \sigma(t)=\frac{t}{2}, r(t)=\frac{1}{t^\frac{\alpha}{\beta}},p(t)=\frac{1}{2},q(t)=\frac{1}{t^{1+\beta}}, Q(t)=\frac{1}{2^{\beta}t^{1+\beta}}.

因此,条件 (2.1) 和 (2.16)式 满足 R^{\beta}(\sigma(t))=\bigg(\int_{t_0}^{\sigma(t)}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s \bigg)^{\beta}=\bigg(\int_0^{\frac{t}{2}}s^{\frac{1}{\beta}}{\rm d}s\bigg)^{\beta}= \Big(\frac{\beta}{1+\beta}\Big)^{\beta}\Big(\frac{t}{2}\Big)^{1+\beta}. 故 (2.17)式 满足. 由定理 2.2 知方程 (E_4) 振动.

下面的定理对任意 \alpha>0,\beta>0 均成立,我们称方程 (1.1) 为非正则的,如果下式满足

\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t<\infty.(2.21) (2.21)

现在考虑在非正则条件下,方程 (1.1) 的振动性.

定理2.3 设 (2.21) 和 (2.15) 式成立, 若 p'(t)\geq0,\tau'(t)>0

\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{t_0}^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty,(2.22) (2.22)
则方程 (1.1) 的每一解 x(t) 振动或者 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.

设方程 (1.1) 有最终正解 x(t)(对于 x(t) 是最终负解的情况可以类似地证明). 如同定理 2.1 证明中知,z'(t) 最终定号. 故 z'(t) 有两种情况

情况 (i)\quad 若 z'(t)>0,t\geq{t_1}\geq{t_0}. 即 (2.5) 式成立. 利用推论 1 我们可以得到与 (2.15) 式的矛盾.

情况 (ii)\quad 若 z'(t)<0,t\geq{t_2}\geq{t_1}. 注意到 p'(t)\geq0,\tau'(t)>0, 利用等式 z'(t)=x'(t)+p'(t)x(\tau(t))+p(t)x'(\tau(t))\tau'(t) 我们有 x'(t)\leq0. 因此,下列极限存在 \lim_{t\rightarrow\infty}p(t)=p>0~~\mbox{和}~~ \lim_{t\rightarrow\infty}z(t)=l>0.

我们断言 l=0. 否则,若 l>0, 则有 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=\frac{l}{1+p}>0. 故存在常数 C>0 使得 x^{\beta}(\sigma(t))\geq{C},~~t\geq{T}\geq{t_2}.

从方程 (1.1),我们得到

(r(t)(-z'(t))^{\alpha})'=q(t)x^{\beta}(\sigma(t))\geq{Cq(t)},~~t\geq{T}.(2.23) (2.23)
对 (2.23) 式积分得 r(t)(-z'(t))^{\alpha}\geq{C\int_T^{t}}q(s){\rm d}s.
-z'(t)\geq\bigg(\frac{C}{r(t)}\int_T^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}.(2.24) (2.24)
积分 (2.24)式 我们有
z(t)\leq{z(T)}-C^{\frac{1}{\alpha}}\int_T^t \bigg(\frac{1}{r(s)}\int_T^{s}q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.(2.25) (2)
z(t)>0,t\geq{T}. 故 (2.25) 式与 (2.22)式 矛盾. 因此,l=0.\lim\limits_{t\rightarrow\infty}z(t)=0,\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0, 定理 2.3 证毕.

例 5 考虑方程 (t^{2\alpha}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+{\rm e}^{t}\Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn} x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0,(E_5) 其中 z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0,r(t)=t^{2\alpha},p(t)=\frac{1}{2},q(t)={\rm e}^{t},Q(t)=\frac{e^t}{2^\beta},\sigma(t)=\frac{1}{2}. 显然,(2.21)式 和 (2.15) 式成立,且 p'(t)=0,\tau'(t)>0\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{t_0}^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\int_{t_0}^{\infty}\frac{(e^t-{\rm e}^{t_0})^{\frac{1}{\alpha}}}{t^2}{\rm d}t=\infty, 由定理 2.3 知方程 (E_5) 的每一解 x(t) 振动或者 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.

注 3 本文的条件 (2.15) 改进了文献 [5,(2.1)式]. 并且我们也取消了极限 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}p(t)=C 的条件. 因此,定理 2.3 改进了文献[5,定理 3.1].

3 \beta\geq\alpha 时的振动准则

我们注意到对于方程 (1.1) 振动性的研究,大多考虑 \alpha=\beta 的情况, 最近文献 [5] 研究了 \alpha\geq\beta 的情况. 下面我们给出 \beta\geq\alpha 时方程 (1.1) 的两个振动准则.

引理 3.1 设 (2.1)式 成立,且

\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{s}^{\infty}Q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s=\infty. (3.1) (3.1)
x(t) 是方程 (1.1) 的最终正解. 则有 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}z(t)=\infty.

x(t)>0,t\geq{t_1}\geq{t_0}, 则由定理 2.1 的证明知 (2.5) 和 (2.8) 式成立, 即 z'(t)>0, 且有 (r(t)(z'(t))^{\alpha})'+Q(t)z^{\beta}(\sigma(t))\leq{0},~~t\geq{t_1}.%(2.8) $$ 若 $z(t)$ 有界,则存在常数 $C_1,C_2>0$ 使得

0<C_1\leq{z(t)}\leq{C_2},\quad C_1\leq{z(\sigma{(t)})}\leq{C_2}.(3.2) (3.2)
对 (2.8) 式积分,我们有 r(t)(z'(t))^{\alpha}\geq\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s.z'(t)\geq\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_1}. 对上式积分得 z(t)\geq\int_{t_1}^{t}\bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u)z^{\beta}(\sigma(u)){\rm d}u \bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s. 利用 (3.2) 式我们得到
C_2\geq{z(t)}\geq{{C_1}^\frac{\beta}{\alpha}}\int_{t_1}^{t} \bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.(3.3) (3.3)
显然,(3.3)式 与 (3.1) 式矛盾. 因此 z(t) 无界. 注意到 z'(t)>0,t\geq{t_1}. 故有 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}z(t)=\infty, 引理 3.1 证毕.

定理3.1 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 存在 \rho(t)\in{C^1}([t_0,\infty),(0,\infty)) 使得

\int_{t_0}^{\infty}\bigg[\rho(t)Q(t)-\frac{r(\sigma(t))(\rho'(t))^{\alpha+1}} {(\alpha+1)^{\alpha+1}(\rho(t)\sigma'(t))^{\alpha}}\bigg]{\rm d}t=\infty.(3.4) (3.4)
则方程 (1.1) 振动. 设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 不失一般性,设 x(t) 是方程 (1.1) 的最终正解. 如同定理 2.1 的证明,我们有 (2.5) 式和 (2.8)式 成立. 定义函数同 (2.9)式,即 w(t)=\frac{r(t)(z'(t))^{\alpha}}{z^{\beta}(\sigma(t))},~~t\geq{t_1}.
\begin{eqnarray} w'(t)&=&\frac{(r(t)(z'(t))^{\alpha})'}{z^{\beta}(\sigma(t))} -\frac{r(t)(z'(t))^{\alpha}\beta{\sigma'(t)}z'(\sigma(t))}{z^{\beta+1}(\sigma(t))} \nonumber\\ &\leq& -Q(t)-\frac{\beta\sigma'(t)z^{\frac{\beta-\alpha}{\alpha}} (\sigma(t))}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(t),%(3.5)$$ \end{eqnarray} (3.5)
上式中利用了不等式 z'(\sigma(t))\geq z'(t)(\frac{r(t)} {r(\sigma(t))})^{\frac{1}{\alpha}} 和(2.8)式,下面在(3.5)式 中利用引理 3.1 及 \beta\geq\alpha, 我们得到
w'(t)\leq-Q(t)-\frac{\alpha\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\alpha}} (\sigma(t))}w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(t),~~t\geq{T}\geq{t_1}.(3.6) (3.6)
对 (3.6) 式乘 \rho(t), 积分得 \int_{T}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq-\int_{T}^{t}\rho(s)w'(s){\rm d}s-\int_{T}^{t} \frac{\alpha\rho(s)\sigma'(s)} {r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(s))}w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s){\rm d}s. 利用分部积分,我们有
\int_{T}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq\rho(T)w(T)+\int_{T}^{t} \bigg[\rho'(s)w(s)-\frac{\alpha\rho(s)\sigma'(s)}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(s))} w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)\bigg]{\rm d}s.(3.7) (3.7)
在 (3.7) 式右端积分中利用不等式
Bu-Au^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}\leq\frac{\alpha^\alpha}{(\alpha+1)^{\alpha+1}}\frac{B^{\alpha+1}}{A^{\alpha}},~~A>0,B\geq{0},(3.8) (3.8)
我们得到 \int_{T}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq\rho(T)w(T)+\int_{T}^{t}\frac{r(\sigma(s))(\rho'(s))^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^{\alpha+1}(\rho(s)\sigma'(s))^\alpha}{\rm d}s.
\int_{T}^{t}\bigg[\rho(s)Q(s)-\frac{r(\sigma(s))(\rho'(s))^{\alpha+1}} {(\alpha+1)^{\alpha+1}(\rho(s)\sigma'(s))^\alpha}\bigg]{\rm d}s\leq\rho(T)w(T).(3.9) (3.9)
显然,(3.9)式 与 (3.4)式 矛盾. 定理 3.1 证毕.

注 4 定理 3.1 推广和改进了文献 [4] 和文献 [7]的主要结果, 只需取 \alpha=\beta, p(t)=0, \rho(t)=R^{\alpha}(\sigma(t)) 即可. 同时,定理 3.1 也统一了定理 A,定理 B 和定理 C 的结果.

推论 3r(t)=1, (3.1)式成立,若

(3.10)
\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{Q(t)\sigma^{\alpha+1}(t)}{\sigma'(t)}> \Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1},(3.10) 则方程 (1.1) 振动. 设 (3.10) 式成立. 则存在 \varepsilon>0 使得对一切充分大的 t
\frac{Q(t)\sigma^{\alpha+1}(t)}{\sigma'(t)}>\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1}+\varepsilon.(3.11) (3.11)
对 (3.11) 式两边乘 \frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)}, 我们得到
Q(t)\sigma^{\alpha}(t)-\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1}\frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)}>\varepsilon\frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)}.(3.12) (3.12)
在 (3.4)式 中取 \rho(t)=\sigma^{\alpha}(t),r(t)=1, 则由 (3.12)式 可以推出 (3.4) 式成立. 故方程 (1.1) 振动. 推论 3 证毕. 例 6 考虑广义中立型 Emden-Fowler 方程 (|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+\frac{K}{t^{\alpha+1}} \Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta-1}x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0, ~~t>1,(E_6) 其中 z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0,\beta\geq\alpha>0,K>0,r(t)=1, p(t)=\frac{1}{2},q(t)=\frac{K}{t^{\alpha+1}}, Q(t)=\big(\frac{1}{2}\big)^{\beta}\frac{K}{t^{\alpha+1}},\sigma(t)=\frac{t}{2}. \begin{eqnarray*} \int_{t_0}^{\infty} \bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s &=&\int_1^{\infty}\bigg(\int_s^{\infty}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{\beta}\frac{K}{u^{\alpha+1}}{\rm d}u \bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s \\ &=&\bigg[\frac{K}{\alpha}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{\beta}\bigg]^{\frac{1}{\alpha}}\int_1^{\infty}\ln{s} {\rm d}s=\infty. \end{eqnarray*} 故 (3.1)式 成立. \liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{Q(t)\sigma^{\alpha+1}(t)}{\sigma'(t)}= K\Big(\frac{1}{2}\Big)^{\alpha+\beta}>\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1}.

由上式知, 当 K>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}2^{\alpha+\beta} 时 (3.10) 式成立. 从推论 3 知,当 K>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}2^{\alpha+\beta} 时,(E_6) 振动.

下面我们给出当 (2.15) 式不成立时,方程 (1.1) 的另一个振动准则. 为简便计,我们设

A(t)=\frac{\alpha\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}, \quad \overline{Q}(t)=\int_t^{\infty}Q(s){\rm d}s.(3.13) (3.13)

定理3.2 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 若

\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}\overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)A(s){\rm d}s>\frac{\alpha}{(\alpha+1)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}}.(3.14) (3.14)
则方程 (1.1) 振动. 证 设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 定义函数 w(t) 同定理 3.1, 则由定理 3.1 的证明知(3.6)式 成立. 即 w'(t)\leq-Q(t)-A(t)w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(t),~~t\geq{T}.%(3.6) 对 (3.6)式 积分得
w(t)\geq\int_t^{\infty}Q(s){\rm d}s+\int_t^{\infty}A(s)w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s){\rm d}s,(3.15) (3.15)
注意到 w(t) 为非增函数,故有界. 因此 (3.15) 式的两个积分均收敛. 现用 \overline{Q}(t) 除 (3.15)式,我们得到
\begin{eqnarray} \frac{w(t)}{\overline{Q}(t)}&\geq& 1+\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}A(s)w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s){\rm d}s \nonumber\\ &=&1+\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}A(s)\overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s) \Big(\frac{w(s)}{\overline{Q}(s)}\Big)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}{\rm d}s,~~t\geq{T}. %(3.16) \end{eqnarray} (3.16)
另一方面,由 (3.14)式 知,存在常数 c>0 使得
\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}\overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)A(s){\rm d}s>c>\frac{\alpha}{(\alpha+1)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}}.(3.17) (3.17)

\lambda=\inf_{t\geq{T}}\frac{w(t)}{\overline{Q}(t)},\lambda\geq1. 注意到 (3.16)式 和 (3.17) 式我们有

\lambda\geq1+\lambda^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}c.(3.18) (3.18)
但是,利用不等式 (3.8),其中令 B=1,A=c, 我们得到
\lambda-c\lambda^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}\leq\frac{\alpha^\alpha}{(\alpha+1)^{\alpha+1}}\frac{1}{c^\alpha}<1,(3.19) (3.19)
显然,(3.19) 式与 (3.18) 式矛盾. 故 方程(1.1) 没有非振动解. 定理 3.2 证毕. 例 7 考虑时滞方程 (|x'(t)|x'(t))'+\frac{a}{t^2}|x(\sqrt{t})|^{\beta}{\rm sgn}x(\sqrt{t})=0,(E_7) 其中 r(t)=1,p(t)=0,q(t)=\frac{a}{t^2},a>0,\sigma(t)=\sqrt{t},\alpha=2,\beta\geq2. 我们有 \overline{Q}(t)=\int_t^{\infty}Q(s){\rm d}s=\frac{a}{t}, A(t)=\frac{\alpha\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}=\frac{1}{\sqrt{t}}, \int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u){\rm d}u \bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s=\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{a}{s}\Big)^{\frac{1}{2}}{\rm d}s=\infty. 故 (3.1)式 成立. 下面验证 (3.14)式,因 \liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty} \overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)A(s){\rm d}s= \liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{t}{a}\int_t^{\infty}\Big(\frac{a}{s}\Big)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\sqrt{s}}{\rm d}s=\sqrt{a}. 由定理 3.2,当 a>\frac{4}{27} 时,方程 (E_7) 振动. 注 5 文献 [13,例 2]考虑方程 (E_7)\alpha=\beta=2 的情况, 并且要求 a>\frac{1}{4} 才能保证方程 (E_7) 振动. 我们放宽对常数 a 的要求,也放宽了 \alpha=\beta 的要求. 我们也注意到最近文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]中 的振动准则均不能适用我们举例中的方程,或者精确度不如.

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中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性
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