考虑广义中立型 Emden-Fowler 时滞微分方程

$$(r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+q(t)|x(\sigma(t))|^{\beta-1}x(\sigma(t))=0,~~t\geq{t_0},(1.1)$$

(1.1)

其中 $z(t)=x(t)+p(t)x(\tau(t)),$ $\alpha>0,\beta>0$ 为常数,$r(t),$ $\tau(t),$ $\sigma(t)\in{C^{1}}([t_0,\infty),R),$ $p(t),$ $q(t)\in{C([t_0,\infty),R)}$.

如果不作说明,本文总假设下列条件成立

$(A_1)$~ $r(t)>0,r'(t)\geq{0},0\leq{p(t)}\leq{1},q(t)\geq{0}$.

$(A_2)$~ $\tau(t)\leq{t},0＜\sigma(t)\leq{t},\sigma'(t)>0, \lim\limits_{{t}\rightarrow\infty}\tau(t)=\lim\limits_{{t}\rightarrow\infty}\sigma(t)=\infty$.

设 ${T_x}=\min\{\tau(t_1),\sigma(t_1)\},t_1\geq{t_0},$ 若函数 $x(t)\in{C^1}([T_x,\infty),R)$ 使得 $r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)\in{C^1}([T_x,\infty),R)$ 且在 $[T_x,\infty)$ 上满足方程(1.1),则称 $x(t)$ 是方程 (1.1) 的一个解. 关于中立型时滞微分方程解的存在唯一性问题可以看文献 ^[1], 本文仅考虑方程 (1.1) 的非平凡解,即一切 $T\geq{T_x}$ 使得 Sup$\{|x(t)|:t\geq{T}\}>0$ 的解 $x(t)$. 方程 (1.1) 的解称为振动,如果它有任意大的零点. 否则称它为非振动. 方程 (1.1) 称为振动,如果它的每一解均为振动.

方程 (1.1) 在理论和实际应用两方面都具有重要意义,例如, 方程 Emden-Fowler 在研究原子核内部的电动势时被导出, 它在核物理中有重要应用. 中立型方程在高速计算机无损线路的网络设计中有应用. 因此,方程 (1.1) 的振动性研究受到同行的关注 (参看文献 ^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]}). 特别是如下的特例

$$(r(t)x'(t))'+q(t)x(t)=0,(1.2)$$

(1.2)

$$x''(t)+q(t)|x(t)|^{\lambda}{\rm sgn}x(t)=0,(1.3)$$

(1.3)

$$[x(t)+p(t)x(t-\tau)]''+q(t)x(t-\sigma)=0,(1.4)$$

(1.4)

$$(r(t)[x(t)+p(t)x(t-\tau)]')'+q(t)|x(\sigma(t))|^{\lambda-1}x(\sigma(t))=0,(1.5)$$

(1.5)

$$(r(t)|x'(t)|^{\alpha-1}x'(t))'+q(t)|x(\sigma(t))|^{\alpha-1}x(\sigma(t))=0.(1.6)$$

(1.6)

对于线性方程 (1.2) 的振动性,Leighton 在文献 ^[2] 中证明了.

定理 A 设

$$\int_{t_0}^{\infty}\frac{1}{r(t)}{\rm d}t=\infty,(1.7)$$

(1.7)

$$\int_{t_0}^{\infty}q(t){\rm d}t=\infty.(1.8)$$

(1.8)

则方程 (1.2) 振动.

对中立型方程 (1.3),Grammatikopoulos 等在文献 ^[3] 给出如下结果

定理B 设 $0\leq{p(t)}\leq{1},q(t)\geq{0},$ 且

$$\int_{t_0}^{\infty}q(s)[1-p(s-\sigma)]{\rm d}s=\infty,(1.9)$$

(1.9)

则方程 (1.4) 振动.

Sun 和 Meng 在文献 ^[4] 中对半线性方程(1.6)建立了如下振动准则 定理C 设

$$\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty, R(t)=\int_{t_0}^{t}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s,(1.10)$$

(1.10)

$$\int_{t_0}^{\infty} \bigg[R^{\alpha}(\sigma(t))q(t)-\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1} \frac{\sigma'(t)}{R(\sigma(t))r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}\bigg]{\rm d}t=\infty,(1.11)$$

(1.11)

则方程 (1.6) 振动.

最近文献 ^[5] 利用 Riccati 方法和积分平均技巧建立了方程 (1.1) 当 $\alpha\geq\beta>0$ 时的若干准则,推广和改进了一系列文献中的结果. 受文献 ^[5] 工作的启发,我们将继续方程 (1.1) 的振动性研究. 在 $\alpha\geq\beta$ 条件下我们将给出不同于文献 ^[5] 的新的振动条件, 同时也证明了若干当 $\beta\geq\alpha$ 时方程 (1.1) 的振动定理, 所得结果推广,改进和统一了若干文献中的结果, 每个定理都给出了例子说明其应用.

本节定理均假设 $\alpha\geq\beta.$

定理2.1 设

$$\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty,(2.1)$$

(2.1)

存在 $\rho(t)\in{C^1}([T_0,\infty),(0,\infty))$ 使得

$$\int_{t_0}^{\infty} \bigg[\rho(t)Q(t)-\frac{r(t)(\rho'(t))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1} (K\rho(t)\sigma'(t))^{\beta}}\bigg]{\rm d}t=\infty,(2.2)$$

(2.2)

则方程 (1.1) 振动. 其中 $K=(z'(t_1))^{\frac{\beta-\alpha}{\beta}}$,$t_1$ 充分大,

$$Q(t)=[1-p(\sigma(t))]^{\beta}q(t).(2.3)$$

(2.3)

证 设方程 (1.1) 有非振动解 $x(t)$. 不失一般性,我们设 $x(t)>0,$ $x(\tau(t))>0,$ $x(\sigma(t))>0,$ $t\geq{t_1}\geq{t_0}.$ 当 $x(t)＜0$ 的情况类似的分析成立. 我们有 $$z(t)\geq{x(t)>0}$$ 和

$$(r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'\leq{0},~~t\geq{t_1}.(2.4)$$

(2.4)

故函数 $r(t)|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)$ 是非增,且 $z'(t)$ 最终定号.

我们断言

$$z'(t)>0,~~t\geq{t_1}.(2.5)$$

(2.5)

否则,如果 $z'(t)＜0,t\geq{t_2}\geq{t_1}.$ 由 (2.4)式 我们有 $-r(t)(-z'(t))^{\alpha}\leq{-M},t\geq{t_2},M>0$ 为常数.

即 $$-z'(t)\geq\Big(\frac{M}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_2}, $$ 积分上式得

$$z(t)\leq{z(t_2)}-M^{\frac{1}{\alpha}}\int_{t_2}^{t}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.(2.6)$$

(2.6)

显然,(2.6)式与 (2.1),(2.4)式 矛盾. 故 (2.5) 式成立.

由 (2.5) 式我们得到

$$x(t)\geq(1-p(t))z(t),(2.7)$$

(2.7)

联合 (2.5),(2.7) 式和方程 (1.1),我们有

$$(r(t)(z'(t))^{\alpha})'+Q(t)z^{\beta}(\sigma(t))\leq{0}.(2.8)$$

(2.8)

定义函数

$$w(t)=\frac{r(t)(z'(t))^\alpha}{z^{\beta}(\sigma(t))},~~t\geq{t_1}, (2.9)$$

(2.9)

则 $w(t)>0,$ 且有 \begin{eqnarray*} w'(t)&=&\frac{(r(t)(z'(t))^\alpha)'}{z^{\beta}(\sigma(t))}-\frac{r(t)(z'(t))^{\alpha}\beta{\sigma'(t)z'(\sigma(t))}}{z^{\beta+1}(\sigma(t))} \\ &\leq& -Q(t)-\frac{\beta\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\beta}}(t)}\frac{r^{1+\frac{1}{\beta}}(t)(z'(t))^{\alpha+1}}{z^{\beta+1}(\sigma(t))} \\ &\leq& -Q(t)-\frac{\beta\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\beta}}(t)}(z'(t))^{\frac{\beta-\alpha}{\beta}}w^{\frac{1+\beta}{\beta}}(t), \end{eqnarray*} 其中,因 $r'(t)\geq{0},[r(t)(z'(t))^{\alpha}]'\leq{0},$ 故有 $z''(t)\leq{0},z'(t)$ 非增. 下面注意到 $\frac{1}{z'(t)}$ 非减,$t\geq{t_1}.$ 即 $\frac{1}{z'(t)}\geq\frac{1}{z'(t_1)},t\geq{t_1}.$ 因此,我们有

$$w'(t)\leq-Q(t)-\frac{K\beta\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\beta}}(t)} w^{\frac{1+\beta}{\beta}}(t),~~t\geq{t_1},(2.10)$$

(2.10)

对 (2.10)式 乘 $\rho(t)$再 积分,利用分部积分我们得到

$$\int_{t_1}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq\rho(t_1)w(t_1)+\int_{t_1}^{t} \bigg(\rho'(s)w(s) -\frac{K\beta\sigma'(s)}{r^{\frac{1}{\beta}}(s)}w^{1+\frac{1}{\beta}}(s)\bigg){\rm d}s,(2.11)$$

(2.11)

在 (2.11) 式右端积分中利用不等式

$$Bu-Au^{1+\frac{1}{\beta}}\leq\frac{\beta^{\beta}}{(\beta+1)^{\beta+1}}\cdot\frac{B^{\beta+1}}{A^{\beta}},~~A>0,B\geq{0}.(2.12)$$

(2.12)

从 (2.11) 式我们有

$$\int_{t_1}^{t}\bigg(\rho(s)Q(s)-\frac{r(s)(\rho'(s))^{\beta+1}} {(\beta+1)^{\beta+1}(K\rho(s)\sigma'(s))^{\beta}}\bigg){\rm d}s\leq\rho(t_1)w(t_1).(2.13)$$

(2.13)

我们看到 (2.13) 式与 (2.2) 式矛盾. 定理 2.1 证毕.

推论 1 设

$$\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty,(2.14)$$

(2)

$$\int_{t_0}^{\infty}Q(t){\rm d}t=\infty.(2.15)$$

(2.15)

则方程 (1.1) 振动.

推论 2 设 $r(t)=1$ 且 (2.15)式 成立,则方程 (1.1) 振动.

证 只须在 (2.2) 式中取 $\rho(t)=1$ 即可.

注 1 推论 1 推广了定理 A. 推论 2 推广了定理 B. 因此,定理 2.1 推广, 改进和统一了著名的 Leighton 定理和 Grammatikopoulos 定理, 值得注意的是推论 1 和 2 对任意 $\alpha>0,\beta>0$ 都成立.

例 1 考虑中立型微分方程 $$(|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+{\rm e}^{u\beta{t}}|x(ut)|^{\beta-1}x(ut)=0,t\geq1,    (E_1)$$ 其中 $z(t)=x(t)+(1-{\rm e}^{-t})x(t-1),\alpha>\beta>1,0＜u,＜1,p(t)=1-{\rm e}^{-t},$ $q(t)={\rm e}^{u\beta{t}},$ $\tau(t)=t-1,\sigma(t)=ut,r(t)=1,Q(t)=1.$ 故 $(E_1)$ 满足推论 2 的条件.

例 2 考虑方程 $$(t^{\alpha}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+t|x(ut)|^{\beta-1}x(ut)=0,t\geq2,    (E_2)$$ 其中 $z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-2),\alpha>\beta>1,0＜u＜1,$ $p(t)=\frac{1}{2},q(t)=t,$ $\tau(t)=t-2,$ $\sigma(t)=ut,$ $r(t)=t^{\alpha}.$ 故 $Q(t)=\frac{t}{2^{\beta}}.$ 因此,$(E_2)$ 满足推论 1 的条件.

上述例 1 和例 2 即为文献 [5,例 3.1 和例 3.2],利用推论 1 和推论 2 即可判定方程的振动性,无需利用定理,这样更简单.定理 2.1 的条件 (2.2) 较推论的条件 (2.15) 更弱,即条件 (2.2) 允许条件 (2.15) 不成立. 即

$$\int_{t_0}^{\infty}Q(t){\rm d}t,＜\infty.(2.16)$$

(2.16)

例 3 考虑方程 $$(|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+\frac{1}{t^\beta}\Big|x\Big(\frac{t}{\beta}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn}{x\Big(\frac{t}{\beta}\Big)}=0,    (E_3)$$ 其中 $\alpha\geq\beta>1,z(t)=x(t)+\frac{1}{\beta}x(t-\tau),\tau>0,p(t)=\frac{1}{\beta},q(t)=\frac{1}{t^\beta},r(t)=1,\sigma(t)=\frac{t}{\beta}.$ 故 $Q(t)=(1-\frac{1}{\beta})^{\beta}\frac{1}{t^\beta}$. 因此,$(2.16)$式 成立. 取 $\rho(t)=t^{\beta+1}$, 则 $\rho(t)Q(t)=(1-\frac{1}{\beta})^{\beta}t$ 且 $\frac{r(t)(\rho'(t))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1}(k\rho(t)\sigma'(t))^{\beta}}=(\frac{\beta}{k})^\beta$. 因此, $$\int_{t_0}^{\infty}(\rho(s)Q(s)-\frac{r(s)(\rho'(s))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1}(k\rho(s)\sigma'(s))^\beta}){\rm d}s=\infty.$$ 由定理 2.1 知,方程 $(E_3)$ 振动.

现令 $R(t)=\int_{t_0}^{t}(\frac{1}{r(s)})^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s$. 下面给出 (2.16) 式成立时,方程 (1.1) 振动的另一个条件.

定理2.2 设 (2.1) 和 (2.16) 式成立. 若 $\alpha>\beta>0$, 且$$\int_{t_0}^{\infty}R^{\beta}(\sigma(t))Q(t){\rm d}t=\infty,(2.17)$$则方程 (1.1) 振动.

证 设方程 (1.1) 存在非振动解 $x(t)$,不失一般性,我们设 $x(t)$ 最终为正,则 $$z(t)\geq{x(t)}>0,~~t\geq{t_1}. $$ 如同定理 2.1 的证明, 我们有 (2.5) 和 (2.8) 式成立.

对 (2.8) 式积分得 $$r(t)(z'(t))^{\alpha}\geq\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s. $$ 即

$$z'(t)\geq\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_1}.(2.18)$$

(2.18)

对 (2.18) 式积分,我们有 \begin{eqnarray*} z(\sigma(t))&\geq& {z(\sigma(t_1))}+\int_{\sigma(t_1)}^{\sigma(t)} \bigg(\frac{1}{r(u)}\int_u^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}u \\ &>&\bigg[\int_{\sigma(t_1)}^{\sigma(t)}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s\bigg] \bigg(\int_{\sigma(t)}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}} \\ &\geq& [R(\sigma(t))-R(\sigma(t_1))] \bigg(\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}. \end{eqnarray*} 亦即

$$\frac{[R(\sigma(t))-R(\sigma(t_1))]^{\beta}}{z^{\beta}(\sigma(t))}\leq \bigg(\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{-\frac{\beta}{\alpha}},~~t\geq{t_1}.(2.19)$$

(2.19)

定义函数 $$F(t)=\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s,~~t\geq{t_1},$$ 则 $F(t)>0$. 对 (2.19)式 两边乘 $Q(t)z^{\beta}(\sigma(t))$, 在 $[t_1,t]$ 上积分我们得到

\begin{eqnarray} &&\int_{t_1}^{t}[R(\sigma(s))-R(\sigma(t_1))]^{\beta}Q(s){\rm d}s \nonumber\\ &\leq &\int_{t_1}^{t}\bigg(\int_{s}^{\infty}Q(u)z^{\beta}(\sigma(u)){\rm d}u\bigg)^{-\frac{\beta}{\alpha}}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s \nonumber\\ &=&-\int_{t_1}^{t}(F(s))^{-\frac{\beta}{\alpha}}{\rm d}F(s) \nonumber\\ &=&\frac{\alpha}{\alpha-\beta}(F(t_1))^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}}-\frac{\alpha}{\alpha-\beta}(F(t))^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}} \nonumber\\ &＜&\frac{\alpha}{\alpha-\beta}(F(t_1))^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}}.%(2.20)$$ \end{eqnarray}

(2.20)

注意到 (2.16) 式成立,故 (2.20) 与 (2.17)式 矛盾. 定理 2.2 证毕.

注 2 文献 [6,定理 3.1]是本文定理 2.2 当 $p(t)=0$ 时的特例. 我们将其结果推广到中立型方程.

例 4 考虑方程 $$\Big(\frac{1}{t^\frac{\alpha}{\beta}}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)\Big)' +\frac{1}{t^{1+\beta}}\Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn} x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0,~~t>0,    (E_4)$$ 其中 $\alpha>\beta>0,z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0,$ $\sigma(t)=\frac{t}{2}, $ $r(t)=\frac{1}{t^\frac{\alpha}{\beta}},p(t)=\frac{1}{2},q(t)=\frac{1}{t^{1+\beta}}, $ $Q(t)=\frac{1}{2^{\beta}t^{1+\beta}}.$

因此,条件 (2.1) 和 (2.16)式 满足 $$R^{\beta}(\sigma(t))=\bigg(\int_{t_0}^{\sigma(t)}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s \bigg)^{\beta}=\bigg(\int_0^{\frac{t}{2}}s^{\frac{1}{\beta}}{\rm d}s\bigg)^{\beta}= \Big(\frac{\beta}{1+\beta}\Big)^{\beta}\Big(\frac{t}{2}\Big)^{1+\beta}.$$ 故 (2.17)式 满足. 由定理 2.2 知方程 $(E_4)$ 振动.

下面的定理对任意 $\alpha>0,\beta>0$ 均成立,我们称方程 (1.1) 为非正则的,如果下式满足

$$\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{1}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t＜\infty.(2.21)$$

(2.21)

现在考虑在非正则条件下,方程 (1.1) 的振动性.

定理2.3 设 (2.21) 和 (2.15) 式成立, 若 $p'(t)\geq0,\tau'(t)>0$ 且

$$\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{t_0}^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\infty,(2.22)$$

(2.22)

则方程 (1.1) 的每一解 $x(t)$ 振动或者 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.$

证 设方程 (1.1) 有最终正解 $x(t)$(对于 $x(t)$ 是最终负解的情况可以类似地证明). 如同定理 2.1 证明中知,$z'(t)$ 最终定号. 故 $z'(t)$ 有两种情况

情况 (i)\quad 若 $z'(t)>0,t\geq{t_1}\geq{t_0}.$ 即 (2.5) 式成立. 利用推论 1 我们可以得到与 (2.15) 式的矛盾.

情况 (ii)\quad 若 $z'(t)＜0,t\geq{t_2}\geq{t_1}.$ 注意到 $p'(t)\geq0,\tau'(t)>0,$ 利用等式 $$z'(t)=x'(t)+p'(t)x(\tau(t))+p(t)x'(\tau(t))\tau'(t)$$ 我们有 $x'(t)\leq0.$ 因此,下列极限存在 $$ \lim_{t\rightarrow\infty}p(t)=p>0~~\mbox{和}~~ \lim_{t\rightarrow\infty}z(t)=l>0. $$

我们断言 $l=0.$ 否则,若 $l>0,$ 则有 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=\frac{l}{1+p}>0.$ 故存在常数 $C>0$ 使得 $$x^{\beta}(\sigma(t))\geq{C},~~t\geq{T}\geq{t_2}.$$

从方程 (1.1),我们得到

$$(r(t)(-z'(t))^{\alpha})'=q(t)x^{\beta}(\sigma(t))\geq{Cq(t)},~~t\geq{T}.(2.23)$$

(2.23)

对 (2.23) 式积分得 $$r(t)(-z'(t))^{\alpha}\geq{C\int_T^{t}}q(s){\rm d}s. $$ 即

$$-z'(t)\geq\bigg(\frac{C}{r(t)}\int_T^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}.(2.24)$$

(2.24)

积分 (2.24)式 我们有

$$z(t)\leq{z(T)}-C^{\frac{1}{\alpha}}\int_T^t \bigg(\frac{1}{r(s)}\int_T^{s}q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.(2.25)$$

(2)

因 $z(t)>0,t\geq{T}$. 故 (2.25) 式与 (2.22)式 矛盾. 因此,$l=0.$ 即 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}z(t)=0,$ 则 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0,$ 定理 2.3 证毕.

例 5 考虑方程 $$(t^{2\alpha}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+{\rm e}^{t}\Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn} x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0,(E_5)$$ 其中 $z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0,r(t)=t^{2\alpha},p(t)=\frac{1}{2},q(t)={\rm e}^{t},Q(t)=\frac{e^t}{2^\beta},\sigma(t)=\frac{1}{2}.$ 显然,(2.21)式 和 (2.15) 式成立,且 $p'(t)=0,\tau'(t)>0$ 因 $$\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{t_0}^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\int_{t_0}^{\infty}\frac{(e^t-{\rm e}^{t_0})^{\frac{1}{\alpha}}}{t^2}{\rm d}t=\infty,$$ 由定理 2.3 知方程 $(E_5)$ 的每一解 $x(t)$ 振动或者 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.$

注 3 本文的条件 (2.15) 改进了文献 [5,(2.1)式]. 并且我们也取消了极限 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}p(t)=C$ 的条件. 因此,定理 2.3 改进了文献[5,定理 3.1].

我们注意到对于方程 (1.1) 振动性的研究,大多考虑 $\alpha=\beta$ 的情况, 最近文献 ^[5] 研究了 $\alpha\geq\beta$ 的情况. 下面我们给出 $\beta\geq\alpha$ 时方程 (1.1) 的两个振动准则.

引理 3.1 设 (2.1)式 成立,且

$$\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{s}^{\infty}Q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s=\infty. (3.1)$$

(3.1)

若 $x(t)$ 是方程 (1.1) 的最终正解. 则有 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}z(t)=\infty.$

证 设 $x(t)>0,t\geq{t_1}\geq{t_0},$ 则由定理 2.1 的证明知 (2.5) 和 (2.8) 式成立, 即 $z'(t)>0,$ 且有 $$(r(t)(z'(t))^{\alpha})'+Q(t)z^{\beta}(\sigma(t))\leq{0},~~t\geq{t_1}.%(2.8)$$ $$ 若 $z(t)$ 有界,则存在常数 $C_1,C_2>0$ 使得

$$0＜C_1\leq{z(t)}\leq{C_2},\quad C_1\leq{z(\sigma{(t)})}\leq{C_2}.(3.2)$$

(3.2)

对 (2.8) 式积分,我们有 $$r(t)(z'(t))^{\alpha}\geq\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s.$$ 即 $$z'(t)\geq\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_1}.$$ 对上式积分得 $$z(t)\geq\int_{t_1}^{t}\bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u)z^{\beta}(\sigma(u)){\rm d}u \bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.$$ 利用 (3.2) 式我们得到

$$C_2\geq{z(t)}\geq{{C_1}^\frac{\beta}{\alpha}}\int_{t_1}^{t} \bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s.(3.3)$$

(3.3)

显然,(3.3)式 与 (3.1) 式矛盾. 因此 $z(t)$ 无界. 注意到 $z'(t)>0,t\geq{t_1}.$ 故有 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}z(t)=\infty,$ 引理 3.1 证毕.

定理3.1 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 存在 $\rho(t)\in{C^1}([t_0,\infty),(0,\infty))$ 使得

$$\int_{t_0}^{\infty}\bigg[\rho(t)Q(t)-\frac{r(\sigma(t))(\rho'(t))^{\alpha+1}} {(\alpha+1)^{\alpha+1}(\rho(t)\sigma'(t))^{\alpha}}\bigg]{\rm d}t=\infty.(3.4)$$

(3.4)

则方程 (1.1) 振动. 证 设方程 (1.1) 有非振动解 $x(t)$. 不失一般性,设 $x(t)$ 是方程 (1.1) 的最终正解. 如同定理 2.1 的证明,我们有 (2.5) 式和 (2.8)式 成立. 定义函数同 (2.9)式,即 $$w(t)=\frac{r(t)(z'(t))^{\alpha}}{z^{\beta}(\sigma(t))},~~t\geq{t_1}.$$ 则

\begin{eqnarray} w'(t)&=&\frac{(r(t)(z'(t))^{\alpha})'}{z^{\beta}(\sigma(t))} -\frac{r(t)(z'(t))^{\alpha}\beta{\sigma'(t)}z'(\sigma(t))}{z^{\beta+1}(\sigma(t))} \nonumber\\ &\leq& -Q(t)-\frac{\beta\sigma'(t)z^{\frac{\beta-\alpha}{\alpha}} (\sigma(t))}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(t),%(3.5)$$ \end{eqnarray}

(3.5)

上式中利用了不等式 $z'(\sigma(t))\geq z'(t)(\frac{r(t)} {r(\sigma(t))})^{\frac{1}{\alpha}}$ 和(2.8)式,下面在(3.5)式 中利用引理 3.1 及 $\beta\geq\alpha,$ 我们得到

$$w'(t)\leq-Q(t)-\frac{\alpha\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\alpha}} (\sigma(t))}w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(t),~~t\geq{T}\geq{t_1}.(3.6)$$

(3.6)

对 (3.6) 式乘 $\rho(t),$ 积分得 $$\int_{T}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq-\int_{T}^{t}\rho(s)w'(s){\rm d}s-\int_{T}^{t} \frac{\alpha\rho(s)\sigma'(s)} {r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(s))}w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s){\rm d}s. $$ 利用分部积分,我们有

$$\int_{T}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq\rho(T)w(T)+\int_{T}^{t} \bigg[\rho'(s)w(s)-\frac{\alpha\rho(s)\sigma'(s)}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(s))} w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)\bigg]{\rm d}s.(3.7)$$

(3.7)

在 (3.7) 式右端积分中利用不等式

$$Bu-Au^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}\leq\frac{\alpha^\alpha}{(\alpha+1)^{\alpha+1}}\frac{B^{\alpha+1}}{A^{\alpha}},~~A>0,B\geq{0},(3.8)$$

(3.8)

我们得到 $$\int_{T}^{t}\rho(s)Q(s){\rm d}s\leq\rho(T)w(T)+\int_{T}^{t}\frac{r(\sigma(s))(\rho'(s))^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^{\alpha+1}(\rho(s)\sigma'(s))^\alpha}{\rm d}s. $$ 即

$$\int_{T}^{t}\bigg[\rho(s)Q(s)-\frac{r(\sigma(s))(\rho'(s))^{\alpha+1}} {(\alpha+1)^{\alpha+1}(\rho(s)\sigma'(s))^\alpha}\bigg]{\rm d}s\leq\rho(T)w(T).(3.9)$$

(3.9)

显然,(3.9)式 与 (3.4)式 矛盾. 定理 3.1 证毕.

注 4 定理 3.1 推广和改进了文献 ^[4] 和文献 ^[7]的主要结果, 只需取 $\alpha=\beta,$ $p(t)=0,$ $\rho(t)=R^{\alpha}(\sigma(t))$ 即可. 同时,定理 3.1 也统一了定理 $A$,定理 $B$ 和定理 $C$ 的结果.

推论 3 设 $r(t)=1,$ (3.1)式成立,若

(3.10)

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{Q(t)\sigma^{\alpha+1}(t)}{\sigma'(t)}> \Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1},(3.10)$$ 则方程 (1.1) 振动. 证 设 (3.10) 式成立. 则存在 $\varepsilon>0$ 使得对一切充分大的 $t$ 有

$$\frac{Q(t)\sigma^{\alpha+1}(t)}{\sigma'(t)}>\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1}+\varepsilon.(3.11)$$

(3.11)

对 (3.11) 式两边乘 $\frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)},$ 我们得到

$$Q(t)\sigma^{\alpha}(t)-\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1}\frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)}>\varepsilon\frac{\sigma'(t)}{\sigma(t)}.(3.12)$$

(3.12)

在 (3.4)式 中取 $\rho(t)=\sigma^{\alpha}(t),r(t)=1,$ 则由 (3.12)式 可以推出 (3.4) 式成立. 故方程 (1.1) 振动. 推论 3 证毕. 例 6 考虑广义中立型 Emden-Fowler 方程 $$(|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+\frac{K}{t^{\alpha+1}} \Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta-1}x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0, ~~t>1,(E_6)$$ 其中 $z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0,\beta\geq\alpha>0,K>0,r(t)=1,$ $p(t)=\frac{1}{2},q(t)=\frac{K}{t^{\alpha+1}},$ $Q(t)=\big(\frac{1}{2}\big)^{\beta}\frac{K}{t^{\alpha+1}},\sigma(t)=\frac{t}{2}.$ \begin{eqnarray*} \int_{t_0}^{\infty} \bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u){\rm d}u\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s &=&\int_1^{\infty}\bigg(\int_s^{\infty}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{\beta}\frac{K}{u^{\alpha+1}}{\rm d}u \bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s \\ &=&\bigg[\frac{K}{\alpha}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{\beta}\bigg]^{\frac{1}{\alpha}}\int_1^{\infty}\ln{s} {\rm d}s=\infty. \end{eqnarray*} 故 (3.1)式 成立. $$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{Q(t)\sigma^{\alpha+1}(t)}{\sigma'(t)}= K\Big(\frac{1}{2}\Big)^{\alpha+\beta}>\Big(\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big)^{\alpha+1}.$$

由上式知, 当 $K>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}2^{\alpha+\beta}$ 时 (3.10) 式成立. 从推论 3 知,当 $K>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}2^{\alpha+\beta}$ 时,$(E_6)$ 振动.

下面我们给出当 (2.15) 式不成立时,方程 (1.1) 的另一个振动准则. 为简便计,我们设

$$A(t)=\frac{\alpha\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}, \quad \overline{Q}(t)=\int_t^{\infty}Q(s){\rm d}s.(3.13)$$

(3.13)

定理3.2 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 若

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}\overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)A(s){\rm d}s>\frac{\alpha}{(\alpha+1)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}}.(3.14)$$

(3.14)

则方程 (1.1) 振动. 证 设方程 (1.1) 有非振动解 $x(t).$ 定义函数 $w(t)$ 同定理 3.1, 则由定理 3.1 的证明知(3.6)式 成立. 即 $$w'(t)\leq-Q(t)-A(t)w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(t),~~t\geq{T}.%(3.6)$$ 对 (3.6)式 积分得

$$w(t)\geq\int_t^{\infty}Q(s){\rm d}s+\int_t^{\infty}A(s)w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s){\rm d}s,(3.15)$$

(3.15)

注意到 $w(t)$ 为非增函数,故有界. 因此 (3.15) 式的两个积分均收敛. 现用 $\overline{Q}(t)$ 除 (3.15)式,我们得到

\begin{eqnarray} \frac{w(t)}{\overline{Q}(t)}&\geq& 1+\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}A(s)w^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s){\rm d}s \nonumber\\ &=&1+\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}A(s)\overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s) \Big(\frac{w(s)}{\overline{Q}(s)}\Big)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}{\rm d}s,~~t\geq{T}. %(3.16) \end{eqnarray}

(3.16)

另一方面,由 (3.14)式 知,存在常数 $c>0$ 使得

$$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty}\overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)A(s){\rm d}s>c>\frac{\alpha}{(\alpha+1)^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}}.(3.17)$$

(3.17)

令 $$\lambda=\inf_{t\geq{T}}\frac{w(t)}{\overline{Q}(t)},$$ 则 $\lambda\geq1.$ 注意到 (3.16)式 和 (3.17) 式我们有

$$\lambda\geq1+\lambda^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}c.(3.18)$$

(3.18)

但是,利用不等式 (3.8),其中令 $B=1,A=c,$ 我们得到

$$\lambda-c\lambda^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}\leq\frac{\alpha^\alpha}{(\alpha+1)^{\alpha+1}}\frac{1}{c^\alpha}＜1,(3.19)$$

(3.19)

显然,(3.19) 式与 (3.18) 式矛盾. 故 方程(1.1) 没有非振动解. 定理 3.2 证毕. 例 7 考虑时滞方程 $$(|x'(t)|x'(t))'+\frac{a}{t^2}|x(\sqrt{t})|^{\beta}{\rm sgn}x(\sqrt{t})=0,(E_7)$$ 其中 $r(t)=1,p(t)=0,q(t)=\frac{a}{t^2},a>0,\sigma(t)=\sqrt{t},\alpha=2,\beta\geq2.$ 我们有 $$\overline{Q}(t)=\int_t^{\infty}Q(s){\rm d}s=\frac{a}{t},$$ $$A(t)=\frac{\alpha\sigma'(t)}{r^{\frac{1}{\alpha}}(\sigma(t))}=\frac{1}{\sqrt{t}},$$ $$\int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(s)}\int_s^{\infty}Q(u){\rm d}u \bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s=\int_{t_0}^{\infty}\Big(\frac{a}{s}\Big)^{\frac{1}{2}}{\rm d}s=\infty.$$ 故 (3.1)式 成立. 下面验证 (3.14)式,因 $$\liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{\overline{Q}(t)}\int_t^{\infty} \overline{Q}^{\frac{\alpha+1}{\alpha}}(s)A(s){\rm d}s= \liminf_{t\rightarrow\infty}\frac{t}{a}\int_t^{\infty}\Big(\frac{a}{s}\Big)^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\sqrt{s}}{\rm d}s=\sqrt{a}.$$ 由定理 3.2,当 $a>\frac{4}{27}$ 时,方程 $(E_7)$ 振动. 注 5 文献 [13,例 2]考虑方程 $(E_7)$ 当 $\alpha=\beta=2$ 的情况, 并且要求 $a>\frac{1}{4}$ 才能保证方程 $(E_7)$ 振动. 我们放宽对常数 $a$ 的要求,也放宽了 $\alpha=\beta$ 的要求. 我们也注意到最近文献 ^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]}中 的振动准则均不能适用我们举例中的方程,或者精确度不如.