考虑广义中立型 Emden-Fowler 时滞微分方程
如果不作说明,本文总假设下列条件成立
(A1)~ r(t)>0,r′(t)≥0,0≤p(t)≤1,q(t)≥0.
(A2)~ τ(t)≤t,0<σ(t)≤t,σ′(t)>0,limt→∞τ(t)=limt→∞σ(t)=∞.
设 Tx=min{τ(t1),σ(t1)},t1≥t0, 若函数 x(t)∈C1([Tx,∞),R) 使得 r(t)|z′(t)|α−1z′(t)∈C1([Tx,∞),R) 且在 [Tx,∞) 上满足方程(1.1),则称 x(t) 是方程 (1.1) 的一个解. 关于中立型时滞微分方程解的存在唯一性问题可以看文献 [1], 本文仅考虑方程 (1.1) 的非平凡解,即一切 T≥Tx 使得 Sup{|x(t)|:t≥T}>0 的解 x(t). 方程 (1.1) 的解称为振动,如果它有任意大的零点. 否则称它为非振动. 方程 (1.1) 称为振动,如果它的每一解均为振动.
方程 (1.1) 在理论和实际应用两方面都具有重要意义,例如, 方程 Emden-Fowler 在研究原子核内部的电动势时被导出, 它在核物理中有重要应用. 中立型方程在高速计算机无损线路的网络设计中有应用. 因此,方程 (1.1) 的振动性研究受到同行的关注 (参看文献 [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]). 特别是如下的特例
定理 A 设
对中立型方程 (1.3),Grammatikopoulos 等在文献 [3] 给出如下结果
定理B 设 0\leq{p(t)}\leq{1},q(t)\geq{0}, 且
Sun 和 Meng 在文献 [4] 中对半线性方程(1.6)建立了如下振动准则 定理C 设
最近文献 [5] 利用 Riccati 方法和积分平均技巧建立了方程 (1.1) 当 \alpha\geq\beta>0 时的若干准则,推广和改进了一系列文献中的结果. 受文献 [5] 工作的启发,我们将继续方程 (1.1) 的振动性研究. 在 \alpha\geq\beta 条件下我们将给出不同于文献 [5] 的新的振动条件, 同时也证明了若干当 \beta\geq\alpha 时方程 (1.1) 的振动定理, 所得结果推广,改进和统一了若干文献中的结果, 每个定理都给出了例子说明其应用.
本节定理均假设 \alpha\geq\beta.
定理2.1 设
证 设方程 (1.1) 有非振动解 x(t). 不失一般性,我们设 x(t)>0, x(\tau(t))>0, x(\sigma(t))>0, t\geq{t_1}\geq{t_0}. 当 x(t)<0 的情况类似的分析成立. 我们有 z(t)\geq{x(t)>0} 和
我们断言
否则,如果 z'(t)<0,t\geq{t_2}\geq{t_1}. 由 (2.4)式 我们有 -r(t)(-z'(t))^{\alpha}\leq{-M},t\geq{t_2},M>0 为常数.
即 -z'(t)\geq\Big(\frac{M}{r(t)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}},~~t\geq{t_2}, 积分上式得
由 (2.5) 式我们得到
定义函数
推论 1 设
推论 2 设 r(t)=1 且 (2.15)式 成立,则方程 (1.1) 振动.
证 只须在 (2.2) 式中取 \rho(t)=1 即可.
注 1 推论 1 推广了定理 A. 推论 2 推广了定理 B. 因此,定理 2.1 推广, 改进和统一了著名的 Leighton 定理和 Grammatikopoulos 定理, 值得注意的是推论 1 和 2 对任意 \alpha>0,\beta>0 都成立.
例 1 考虑中立型微分方程 (|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+{\rm e}^{u\beta{t}}|x(ut)|^{\beta-1}x(ut)=0,t\geq1, (E_1) 其中 z(t)=x(t)+(1-{\rm e}^{-t})x(t-1),\alpha>\beta>1,0<u,<1,p(t)=1-{\rm e}^{-t}, q(t)={\rm e}^{u\beta{t}}, \tau(t)=t-1,\sigma(t)=ut,r(t)=1,Q(t)=1. 故 (E_1) 满足推论 2 的条件.
例 2 考虑方程 (t^{\alpha}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+t|x(ut)|^{\beta-1}x(ut)=0,t\geq2, (E_2) 其中 z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-2),\alpha>\beta>1,0<u<1, p(t)=\frac{1}{2},q(t)=t, \tau(t)=t-2, \sigma(t)=ut, r(t)=t^{\alpha}. 故 Q(t)=\frac{t}{2^{\beta}}. 因此,(E_2) 满足推论 1 的条件.
上述例 1 和例 2 即为文献 [5,例 3.1 和例 3.2],利用推论 1 和推论 2 即可判定方程的振动性,无需利用定理,这样更简单.定理 2.1 的条件 (2.2) 较推论的条件 (2.15) 更弱,即条件 (2.2) 允许条件 (2.15) 不成立. 即
例 3 考虑方程 (|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+\frac{1}{t^\beta}\Big|x\Big(\frac{t}{\beta}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn}{x\Big(\frac{t}{\beta}\Big)}=0, (E_3) 其中 \alpha\geq\beta>1,z(t)=x(t)+\frac{1}{\beta}x(t-\tau),\tau>0,p(t)=\frac{1}{\beta},q(t)=\frac{1}{t^\beta},r(t)=1,\sigma(t)=\frac{t}{\beta}. 故 Q(t)=(1-\frac{1}{\beta})^{\beta}\frac{1}{t^\beta}. 因此,(2.16)式 成立. 取 \rho(t)=t^{\beta+1}, 则 \rho(t)Q(t)=(1-\frac{1}{\beta})^{\beta}t 且 \frac{r(t)(\rho'(t))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1}(k\rho(t)\sigma'(t))^{\beta}}=(\frac{\beta}{k})^\beta. 因此, \int_{t_0}^{\infty}(\rho(s)Q(s)-\frac{r(s)(\rho'(s))^{\beta+1}}{(\beta+1)^{\beta+1}(k\rho(s)\sigma'(s))^\beta}){\rm d}s=\infty. 由定理 2.1 知,方程 (E_3) 振动.
现令 R(t)=\int_{t_0}^{t}(\frac{1}{r(s)})^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s. 下面给出 (2.16) 式成立时,方程 (1.1) 振动的另一个条件.
定理2.2 设 (2.1) 和 (2.16) 式成立. 若 \alpha>\beta>0, 且\int_{t_0}^{\infty}R^{\beta}(\sigma(t))Q(t){\rm d}t=\infty,(2.17)则方程 (1.1) 振动.
证 设方程 (1.1) 存在非振动解 x(t),不失一般性,我们设 x(t) 最终为正,则 z(t)\geq{x(t)}>0,~~t\geq{t_1}. 如同定理 2.1 的证明, 我们有 (2.5) 和 (2.8) 式成立.
对 (2.8) 式积分得 r(t)(z'(t))^{\alpha}\geq\int_t^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s. 即
定义函数 F(t)=\int_{t}^{\infty}Q(s)z^{\beta}(\sigma(s)){\rm d}s,~~t\geq{t_1}, 则 F(t)>0. 对 (2.19)式 两边乘 Q(t)z^{\beta}(\sigma(t)), 在 [t_1,t] 上积分我们得到
注 2 文献 [6,定理 3.1]是本文定理 2.2 当 p(t)=0 时的特例. 我们将其结果推广到中立型方程.
例 4 考虑方程 \Big(\frac{1}{t^\frac{\alpha}{\beta}}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t)\Big)' +\frac{1}{t^{1+\beta}}\Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn} x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0,~~t>0, (E_4) 其中 \alpha>\beta>0,z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0, \sigma(t)=\frac{t}{2}, r(t)=\frac{1}{t^\frac{\alpha}{\beta}},p(t)=\frac{1}{2},q(t)=\frac{1}{t^{1+\beta}}, Q(t)=\frac{1}{2^{\beta}t^{1+\beta}}.
因此,条件 (2.1) 和 (2.16)式 满足 R^{\beta}(\sigma(t))=\bigg(\int_{t_0}^{\sigma(t)}\Big(\frac{1}{r(s)}\Big)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}s \bigg)^{\beta}=\bigg(\int_0^{\frac{t}{2}}s^{\frac{1}{\beta}}{\rm d}s\bigg)^{\beta}= \Big(\frac{\beta}{1+\beta}\Big)^{\beta}\Big(\frac{t}{2}\Big)^{1+\beta}. 故 (2.17)式 满足. 由定理 2.2 知方程 (E_4) 振动.
下面的定理对任意 \alpha>0,\beta>0 均成立,我们称方程 (1.1) 为非正则的,如果下式满足
现在考虑在非正则条件下,方程 (1.1) 的振动性.
定理2.3 设 (2.21) 和 (2.15) 式成立, 若 p'(t)\geq0,\tau'(t)>0 且
证 设方程 (1.1) 有最终正解 x(t)(对于 x(t) 是最终负解的情况可以类似地证明). 如同定理 2.1 证明中知,z'(t) 最终定号. 故 z'(t) 有两种情况
情况 (i)\quad 若 z'(t)>0,t\geq{t_1}\geq{t_0}. 即 (2.5) 式成立. 利用推论 1 我们可以得到与 (2.15) 式的矛盾.
情况 (ii)\quad 若 z'(t)<0,t\geq{t_2}\geq{t_1}. 注意到 p'(t)\geq0,\tau'(t)>0, 利用等式 z'(t)=x'(t)+p'(t)x(\tau(t))+p(t)x'(\tau(t))\tau'(t) 我们有 x'(t)\leq0. 因此,下列极限存在 \lim_{t\rightarrow\infty}p(t)=p>0~~\mbox{和}~~ \lim_{t\rightarrow\infty}z(t)=l>0.
我们断言 l=0. 否则,若 l>0, 则有 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=\frac{l}{1+p}>0. 故存在常数 C>0 使得 x^{\beta}(\sigma(t))\geq{C},~~t\geq{T}\geq{t_2}.
从方程 (1.1),我们得到
例 5 考虑方程 (t^{2\alpha}|z'(t)|^{\alpha-1}z'(t))'+{\rm e}^{t}\Big|x\Big(\frac{t}{2}\Big)\Big|^{\beta} {\rm sgn} x\Big(\frac{t}{2}\Big)=0,(E_5) 其中 z(t)=x(t)+\frac{1}{2}x(t-\tau),\tau>0,r(t)=t^{2\alpha},p(t)=\frac{1}{2},q(t)={\rm e}^{t},Q(t)=\frac{e^t}{2^\beta},\sigma(t)=\frac{1}{2}. 显然,(2.21)式 和 (2.15) 式成立,且 p'(t)=0,\tau'(t)>0 因 \int_{t_0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{r(t)}\int_{t_0}^{t}q(s){\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{\alpha}}{\rm d}t=\int_{t_0}^{\infty}\frac{(e^t-{\rm e}^{t_0})^{\frac{1}{\alpha}}}{t^2}{\rm d}t=\infty, 由定理 2.3 知方程 (E_5) 的每一解 x(t) 振动或者 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0.
注 3 本文的条件 (2.15) 改进了文献 [5,(2.1)式]. 并且我们也取消了极限 \lim\limits_{t\rightarrow\infty}p(t)=C 的条件. 因此,定理 2.3 改进了文献[5,定理 3.1].
我们注意到对于方程 (1.1) 振动性的研究,大多考虑 \alpha=\beta 的情况, 最近文献 [5] 研究了 \alpha\geq\beta 的情况. 下面我们给出 \beta\geq\alpha 时方程 (1.1) 的两个振动准则.
引理 3.1 设 (2.1)式 成立,且
证 设 x(t)>0,t\geq{t_1}\geq{t_0}, 则由定理 2.1 的证明知 (2.5) 和 (2.8) 式成立, 即 z'(t)>0, 且有 (r(t)(z'(t))^{\alpha})'+Q(t)z^{\beta}(\sigma(t))\leq{0},~~t\geq{t_1}.%(2.8) $$ 若 $z(t)$ 有界,则存在常数 $C_1,C_2>0$ 使得
定理3.1 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 存在 \rho(t)\in{C^1}([t_0,\infty),(0,\infty)) 使得
注 4 定理 3.1 推广和改进了文献 [4] 和文献 [7]的主要结果, 只需取 \alpha=\beta, p(t)=0, \rho(t)=R^{\alpha}(\sigma(t)) 即可. 同时,定理 3.1 也统一了定理 A,定理 B 和定理 C 的结果.
推论 3 设 r(t)=1, (3.1)式成立,若
由上式知, 当 K>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}2^{\alpha+\beta} 时 (3.10) 式成立. 从推论 3 知,当 K>(\frac{\alpha}{\alpha+1})^{\alpha+1}2^{\alpha+\beta} 时,(E_6) 振动.
下面我们给出当 (2.15) 式不成立时,方程 (1.1) 的另一个振动准则. 为简便计,我们设
定理3.2 设 (2.1)式 和 (3.1)式 成立. 若
令 \lambda=\inf_{t\geq{T}}\frac{w(t)}{\overline{Q}(t)}, 则 \lambda\geq1. 注意到 (3.16)式 和 (3.17) 式我们有