国内外众多学者对同轴圆柱间旋转流动Couette-Taylor流问题的复杂 动力学行为进行了大量深入的研究^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]}, 这种流动存在着多种演化到湍流的方式, 提供了从层流到湍流过渡非常好的例子.目前的研究主要是利用分歧理论来解释和 分析实验中观察到的流动发展到湍流前的各种涡流及其相互演化的过程, 以及从层流过渡到湍流的方式及仿真等,而对流动发展到湍流之后混沌吸引子 的存在性及仿真等问题目前很少有文献涉及。由以往的实验研究可知,随雷诺数的增大, 这种流动最终总要演化成湍流的,也就是说混沌总是要发生的, 所以探讨其混沌吸引子的存在性问题不但在理论上有价值, 而且在实践上也有直接意义.文献^[1]将Lorenz截断法用于Couette-Taylor流问题, 给出一些理论结果,或许是模态过于简单而且任意,文献^[1]并没有发现混沌现象. 文献^[2]运用特征谱方法截取了一个三模系统,讨论了系统的动力学行为. 本文研究了与此三模系统 类似的新三模系统,给出了系统平衡点存在的条件,讨论了其奇怪 吸引子的存在性,给出其Hausdorff维数上界的估计,数值模拟了系统阵发混沌、倒分叉和滞后现象等动力学行为发生的全过程, 数值仿真了系统的分岔图、最大Lyapunov指数、庞加莱截面 、功率谱以及返回映射等,从而揭示了此系统混沌行为的普适特征.

考虑如下三模态系统

$$\begin{array}{l} \stackrel{.}{x}=-\sigma(x-y)+cxz/r,\\ \stackrel{.}{y}=-xz+ar x-y,\\ \stackrel{.}{z}=xy-bz, \end{array}$$

(2.1)

其中状态变量$x,y,z$均为时间$t$的函数,$a,b,c,\sigma$为常系数,$r>0$为实参数, 这里我们省略了此系统的截取过程. 显然$S_0=(0,0,0)$是其平衡点,关于$S_0$的稳定性问题有下面的结论.

定理1 当$r<\frac{1}{a }$时,系统(2.1)的零平衡点 $S_0=(0,0,0)$稳定; 当$r=\frac{1}{a }$时此系统的零平衡点$S_0$为临界点; 当$r>\frac{1}{a }$此系统的零平衡点$S_0$不稳定.

证 系统(2.1)在零平衡点$S_0=(0,0,0)$处的特征多项式为

$$\left |\begin{array}{ccc} \lambda +\sigma & -\sigma & 0\\ -ar & \lambda +1& 0 \\ 0 & 0 &\lambda +b \end{array}\right | =0.$$

(2.2)

设三个根分别为:$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$,则$\lambda_1=-b,$ $\lambda_2,\lambda_3$满足

$$\lambda^2+(1+\sigma)\lambda+(\sigma -a\sigma r)=0 .$$ 由韦达定理及常微分定性理论定理得证.

下面讨论系统(2.1)非零平衡点$S_{+},S_{-}$的存在性,通过计算得系统(2.1)的 非零平衡点表示为:$S_{+}=(x_{+},y_{+},z)$, $S_{-}=(x_{-},y_{-},z)$, 这里$x_{\pm}=\pm\sqrt{\frac{b\sigma (1-ar)}{ac-\sigma }}$, $y_{\pm}=\frac{abrx_{\pm}}{x^2+b}$, $z=\frac{x_{\pm}y_{\pm}}{b}$, 其中$x^2=\frac{b\sigma (1-ar)}{ac-\sigma }$, $x_{+},x_{-}$表示非零平衡点的$x$坐标.因此只有$x^2_{+}$或$x^2_{-}$ 大于零时才有意义,故$\frac{b\sigma (1-ar)}{ac-\sigma }>0$ 是非零平衡点$S_{+},S_{-}$存在的条件.

关于吸引子的存在性有下面的结论.

定理2 若$z<\frac{r}{c}(\sigma+b+1)$, 三模态系统(2.1)吸引子存在.

证 对系统(2.1)作运算得

$$\frac{ \partial \dot{x}}{ \partial x}+\frac{ \partial \dot{y}}{ \partial y} +\frac{ \partial \dot{z}}{ \partial z}=-(\sigma+b+1)+\frac{c}{r}z .$$ 当$-(\sigma+b+1)+\frac{c}{r}z<0$时,系统是耗散的,故存在吸引子,即$z<\frac{r}{c}(\sigma+b+1)$ 是吸引子存在的条件.

设H是Hilbert空间,$Y\subset H$是H的一个子集.$I$是指标集. 给定$d\in R_+,\epsilon>0$. inf$\sum\limits_{i\in I} r_i^d$记为$\mu_H(Y,d,\epsilon)$,$r_i$指覆盖Y的H中的 一组开球半径,且$r_i\leq \epsilon(\forall i\in I)$.

$$\mu_H(Y,d)\stackrel{\Delta}{=}\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \mu_H(Y,d,\epsilon)=\sup_{\epsilon >0}\mu_H(Y,d,\epsilon).$$ 称$\mu_H(Y,d)$为$Y$中$d$维测度(Hausdorff measure).

对于$d_0\in [0,\infty)$使$\forall d>d_0,\mu_H(Y,d)=0$而 $\forall d<d_0,\mu_H(Y,d)=+ \infty$.称$d_0$为Y的Hausdorff维数.记为 $d_H(Y)$^[9].

记$||\cdot||,|\cdot|_X$分别表示$H$和$X$中的范数,如下结论取自文献^[9].

定理3 设H是Hilbert空间,$X\subset H$是紧集,S是X到H的连续映射,使 $SX\subset X$.假定$\forall u\in X,\exists L(u)\in {\cal L}(H)$

$$\sup_{\forall u,v\in X,0<|u-v|_X<\epsilon} \frac{||Su-Sv-L(u)(v-u)||}{||u-v||}\rightarrow 0,\ \epsilon\rightarrow 0$$ 且$\sup\limits_{\forall u\in X} ||L(u)||_{\cal L(H)}<+ \infty, \sup\limits_{\forall u\in X}\omega_d(L(u))<1$, 则对于某个$d>0$满足以上条件的集合X的Hausdorff维数不大于d.

注 这里的$\omega_d$ 及下面要用到的$\omega_m(L),\Lambda^m H,(\cdot,\cdot)_ {\Lambda^m H}$等的定义参见文献^[9].

由于系统(2.1)比著名的Lorenz方程多一个非线性项$cxz/r$,所以其吸引子的Hausdorff维数估计问题与文献^[9]的结论类似, 但其证明要相对复杂些,具体有如下结论.

定理4 三模态方程(2.1)吸引子的Hausdorff维数$d_H\leq 2+s$. $s\in (0,1)$.

证 (2.1)式可以记为抽象形式

$$u'=F(u)=F(x,y,z) \begin{array}{rcl} =-\left(\begin{array}{c} \sigma x-\sigma y-\frac{c}{r}xz\\[2mm] -arx+y+xz\\ bz-xy \end{array} \right). \end{array}$$ 设$U=\xi (t) \in H=R^3$,则

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{{\rm d}U}{{\rm d}t}=F'(u)\cdot U,\\[2mm] U(0)=\xi, \end{array}\right.$$

(3.1)

$$-F'(u)\cdot U=A_1 U+A_2 U+B(u)U.$$ $$\begin{array}{l} \begin{array}{cc} A_1=\left(\begin{array}{ccc} \sigma &0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&b \end{array}\right),& A_2=\left(\begin{array}{ccc} 0&-\sigma&0\\ -ar&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right), \end{array} B(u)=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{c}{r}z&0& -\frac{c}{r}x\\[2mm] z&0&x\\ -y&-x&0 \end{array}\right). \end{array}$$

考虑初值问题(3.1),对于初值$\xi_1,\xi_2,\xi_3\in R^3$的解$U=(U_1,U_2, U_3)$.在任意时刻$t>0,$ $U_i(t)=L(t,u_0)\xi_i,u_0$是系统(2.1)的初值. $L(t,u_0)$是$R^3$中的线性算子

$$L(t,u_0):U(0)=\xi(\in R^3) \rightarrow U(t)(\in R^3) .$$

在$\Lambda^m H(m=2,3)$中考虑

$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}|U_1 \Lambda U_2 \Lambda U_3|= |U_1 \Lambda U_2\Lambda U_3 |{\rm Tr}F'(u),$$ $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}|U_1 \Lambda U_2|= |U_1 \Lambda U_2 |{\rm Tr}(F'(u)\cdot Q),$$ 这里$Q=Q_2(t,u_0;\xi_1,\xi_2)$是$R^3$到$\overline{{\rm span}\{ U_1,U_2 \}}$ 的正交投影.Tr是Teman在文献^[9]中引入的. $$|U_1 \Lambda U_2 \Lambda U_3(t)|=|\xi_1 \Lambda \xi_2 \Lambda \xi_3| \exp\Big[-(\sigma+b+1-\frac{c}{r}z)t\Big],$$ $$\omega_3 (L(t,u_0))=\sup_{\xi_i \in H,|\xi_i|=1,i=1,2,3} |U_1 \Lambda U_2 \Lambda U_3(t)|.$$ 记$\sigma+b+1-\frac{c}{r}z=\varepsilon,$ 由定理2得$\varepsilon >0$. 所以 $$\omega_3 (L(t,u_0))\leq \exp\Big[-(\sigma+b+1-\frac{c}{r}z)t\Big]=\exp(-\varepsilon t).$$

这里以$\Lambda_i,\mu_i\ (i=1,2,3)$分别记一致Lyapvnov数和一致Lyapvnov 指数^[9].则

$$\Lambda_1 \Lambda_2 \Lambda_3=\lim_{t\rightarrow \infty} {\overline{\omega_3(t)}}^{1/t}=\exp(-\varepsilon t),$$ $$\mu_1+\mu_2+\mu_3=-\varepsilon.$$ 同理可得 $$|U_1 \Lambda U_2|=|\xi_1 \Lambda \xi_2|\exp\int_0^t {\rm Tr}(F'(u(\tau))\cdot Q(\tau)){\rm d}\tau.$$ 如果$|\xi_1 \Lambda \xi_2|\not=0$,那么$|U_1 \Lambda U_2| \not=0,\forall t>0$. 设$\varphi_i=(x_i,y_i,z_i),i=1,2,3$是$R^3$中的一组标准正交基,则$|\varphi_i|=\sqrt{x_i^2+ y_i^2+z_i^2}=1\ (i=1,2,3)$. $$\begin{eqnarray*} {\rm Tr}(A_1+A_2)\cdot Q&=&\sum_{i=1}^{2}((A_1+A_2)\varphi_i,\varphi_i)\\ &=&\sigma x^2_1+y^2_1+bz^2_1+\sigma x^2_2+y^2_2+bz^2_2 -(\sigma+ar)(x_1y_1+x_2y_2). \end{eqnarray*}$$ 令$m=\max(1,b,\sigma)$,则有 ${\rm Tr}(A_1+A_2)\cdot Q\leq 2m+|\sigma+ar|$, 所以 $${\rm Tr}(A_1+A_2)\cdot Q\geq -2m-|\sigma+ar|.$$ 由 $$\begin{eqnarray*} {\rm Tr}(B(u)\cdot Q)&=&\sum_{i=1}^2 (B(u)\varphi_i)\varphi_i \\ &=&-\frac{c}{r}\sum_{i=1}^2 x_i (zx_i+xz_i)+\sum_{i=1}^2 y_i (zx_i+xz_i)-\sum_{i=1}^2 z_i (yx_i+xy_i), \end{eqnarray*}$$ 则有 $$\begin{eqnarray*} |{\rm Tr}(B(u)\cdot Q)|&\leq&\frac{\mid c\mid}{r}\sum_{i=1}^2 |x_i|(|z x_i|+|xz_i|) +\sum_{i=1}^2 |y_i|(|z x_i|+|xz_i|) +\sum_{i=1}^2 |z_i|(|yx_i|+|xy_i|)\\ &\leq &\frac{\mid c\mid}{r}|u(t)|^2+\frac{\mid c\mid}{r}\frac{1}{2}(|\varphi_1|^2+|\varphi_2|^2) +2|u(t)|^2+|\varphi_1|^2+|\varphi_2|^2\\ &\leq & \frac{\mid c\mid}{r}|u(t)|^2+\frac{\mid c\mid}{r}+2|u(t)|^2+2 =(\frac{\mid c\mid}{r}+2)|u(t)|^2+\frac{\mid c\mid}{r}+2. \end{eqnarray*}$$ 所以有 $${\rm Tr}(B(u)\cdot Q)\geq -(\frac{\mid c\mid}{r}+2)|u(t)|^2-\frac{\mid c\mid}{r}-2 \geq -(\frac{\mid c\mid}{r}+2)\rho_0^2-\frac{\mid c\mid}{r}-2,$$ 其中$\rho_0$ 是系统的吸收半径.所以 $${\rm Tr}((A_1+A_2+B(u))\cdot Q)\geq -(\frac{\mid c\mid}{r}+2)\rho_0^2 -\frac{\mid c\mid}{r}-2-2m-\mid\sigma+ar\mid.$$ 令 $k_2=(\frac{\mid c\mid}{r}+2)\rho_0^2+\frac{\mid c\mid}{r}+2+2m+\mid\sigma+ar\mid,$ 则 $${\rm Tr}((A_1+A_2+B(u))\cdot Q)\geq -k_2\geq -k_2-\delta (0<\delta<<1).$$

所以, $|U_1\Lambda U_2|\leq |\xi_1\Lambda \xi_2|\exp((k_2+\delta)t).$ 故

$$\omega_2(L(t,u_0))\leq \exp((k_2+\delta)t),t\geq t_1(\delta).$$ $$\overline{\omega_2(t)}\leq\exp((k_2+\delta)t), \Lambda_1 \Lambda_2\leq \exp(k_2), \mu_1+\mu_2 <k_2.$$ 令$k(\delta)=-s\varepsilon +(1-s)(k_2+\delta)$, 则有 $$\begin{eqnarray*} \omega_d(L(t,u_0))&\leq &\omega_2(L(t,u_0))^{1-s}\omega_3(L(t,u_0))^s\leq \exp((k_2+\delta)t)^{1-s} \exp(-\varepsilon t)^s\\ &=&\exp[(1-s)(k_2+\delta)t-s\varepsilon t]=\exp(k(\delta)t). \end{eqnarray*}$$ 若$k(\delta)<0$得 $\omega_d(t)=\sup\limits_{u_0\in X}\omega_d(L(t,u_0))\leq \exp(k(\delta )t)<1$, 设 $d_H=2+s,0<s<1,t\geq t_1(\delta)$,则$d_H=2+s$.

至此,我们得出系统(2.1)吸引子的Hausdorff维数估计.

取$\sigma=10,a=2,b=8/3,c=0.002$, 我们对系统(2.1)的动力学行为进行了数值仿真.

1) 当$r<11.685...$时,非零平衡点$S_{+},S_{-}$是稳定的,数值计算表明它们 是全局吸引子(见图 1-2).

2) 当$r\geq 11.685...$时,非零平衡点$S_{+},S_{-}$开始不稳定,此时生成 两个不稳定的极限环(图 3-4为其中一个极限环及附近解轨线图), 随着$r$的增大产生双环解轨线,并且轨线条数随$r$的增大而逐渐增多(见图 5-8), 最终$(r=17.85...)$生成了奇怪吸引子(见图 9-10),这是一种阵发性混沌.

3) 当$55.82... \leq r< 108.40...$时,系统发生了滞后现象,各种拟周期吸引子 和混沌吸引子交替出现(见图 11-24).

4) 当$67.213... \leq r< 77.279...$时,奇怪吸引子开始逐渐收缩形成极限环, 这是一个倒分叉过程,并且数值结果表明分叉点满足费根鲍姆常数(见图 11-16).

5) 当$77.28... \leq r< 108.41...$时,系统发生滞后现象,极限环、 拟周期轨道和奇怪吸引子并存(见图 17-24).

6) 当$r\geq 108.42...$时,奇怪吸引子又开始逐渐收缩形成环面, 仍然是一个倒分叉过程,并且也满足费根鲍姆常数(见图 25-28).

7) 图 29给出了系统(2.1)的$x$分歧图,图 30为对应的最大Lyapvnov指数图象, $(r=34)$. 图 31-33为系统(2.1)的庞加莱截面, 功率谱和返回映射$(r=34),$从中均显示了系统的混沌特征.

8) 当$r\geq 599.01...$时,双环面又开始逐渐演变成单环面, 此时两个定态应该是稳定的(图 34-40是一个定态的相图).

本文探讨了同轴圆柱间旋转流动Couette-Taylor流三模系统的动力学行为和数值仿真问题, 首先对此三模方程组进行了稳定性分析,然后讨论了此方程组全局吸引子的存在性,给出了其吸引子的Hausdorff维数上界的估计,数值模拟了系统分歧和混沌等的动力学行为发生的全过程. 基于分岔图与最大Lyapunov指数谱和庞加莱截面以及功率谱和返回映射等仿真结果揭示了此系统混沌行为的普适特征. Couette-Taylor流的湍流行为是由于雷诺数$r$的增大系统稳定的不动点和周期轨道持续丧失稳定性而逐渐产生的,本文的数值结果从一个侧面反映了Couette-Taylor流湍流行为的某些特征, 此三模系统通向混沌的道路与著名的Lorenz方程基本相同, 但在高雷诺数下系统的状态与Lorenz方程截然不同, Lorenz方程在高雷诺数下是稳定的周期状态,而此三模系统最终状态是稳定的定态.