本文考虑如下非线性梁方程的初边值问题

\begin{equation}\label{eq:a1} u_{tt}+\Delta^2u+ u=f(u),x\in\Omega, \end{equation}

(1.1)

\[u(x,t)=0,x\in \partial \Omega ,\]

(1.2)

\begin{equation} u(x,0)=u_0(x),u_t(x,0)=v_0(x),x\in\Omega, \end{equation}

(1.3)

其中 $\Omega\subset{\Bbb R}^n$ 为边界充分光滑的有界区域. $f(u)$ 满足以下条件

$(H_0)$ $f(u)=\mu|u|^{r-2}u$,$\mu>0$, 当 $1 \leq n \leq 4$ 时,$2<r<\infty;$ 当 $n\geq 5$ 时,$2< r<\frac{2n}{n-4}.$

此处 $u(x,t)$ 指在 $t$ 时刻 $x$ 位置梁发生的挠度. 梁是房屋、铁路、桥梁、隧道、水库、 堤坝等工程建筑中基本的至关重要的构件. 2001年,张建文等^[1]考虑纵横弯曲及粘性效应建立了一类轴向载荷和横向载荷作用下 的非线性粘弹性简支梁方程, 利用Galerkin方法,证明了解的存在唯一性,讨论了解的渐近性,并给出了有界吸收集的存在性证明, 但并未讨论解的爆破. 2004年,陈勇明和杨晗^[2]讨论方程 $u_{tt}+\Delta^2u+u=|u|^{p-1}u$ 的初值问题, 依据势井理论,通过构造不稳定集, 结合凸性分析方法证明了当初值属于不稳定集,初始能量为正且有适当上限时解发生爆破. 2008年,陈勇明和杨晗^[3]仍考虑此方程用 Galerkin 方法和稳定集思想证明了 该方程整体解的存在性和唯一性. 2013年,任永华和张建文^[4]研究了与时间相关的外力驱动的非自治强阻尼梁方程 $$ \frac{tial^2u}{tial t^2}+\Delta^2u+k\Delta^2\frac{tial u}{tial t}+f(\frac{tial u}{tial t})+g(u)=h(x,t). x\in\Omega,t\geq\tau,\tau\in{\Bbb R} $$ 在与时间有关的外力是平移紧的条件下,利用算子半群理论证明了在一定的齐次边界条 件和初值条件下系统存在连续解, 再通过先验估计,构造了渐近紧的不变吸收集,证明了系统存在一致吸引子. 2013年,廖秋明等^[5]考虑一类具有耗散项的非线性四阶波动方程 $$ u_{tt}+\Delta^2u+ u+u_t=f(u), $$ 利用位势井理论和紧致性方法,证明了当初始能量为正且有适当上界, 非线性项满足假设条件时,该问题整体弱解的存在性,在此基础上利用方程中耗散项的作用 和一个微分不等式得到解的渐近性质.

已有文献^{[2, 3]} 所采用的势井方法都是在 $E(0)<d$ ($E(0)$ 为初始能量,$d$ 为势井深度)的前提下研究的,而对临界条件 $E(0)=d$ 的情形研究甚少, 本文考虑 $E(0)=d$ 的情况,通过 构造不变集,研究解的整体存在性,进而研究解的渐近行为. 此外,与前人所采用的凸性分析方法不同, 本文运用分类讨论思想研究了解的爆破, 而此方法同样适用于 $E(0)<d$ 的情形.

首先,给出问题(1.1)-(1.3)局部弱解的存在性,具体证明过程可参见文献^[6].

引理2.1 设初值 $(u_0,v_0)\in H\equiv H_0^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$, 则问题 (1.1)-(1.3) 存在唯一的局部弱解 $(u(t),v(t))\equiv S(t)(u_0,v_0)$满足

\[\frac{\text{d}}{\text{d}t}(v(t),w)+(\Delta u(t),\Delta w)+(u,w)=(f(u),w),\forall w\in H_{0}^{2}(\Omega ),t\in (0,T),\]

(2.1)

且 $u(t)\in C([0,T];H_0^2(\Omega)),v(t)\in C^1([0,T];L^2(\Omega))$, 这里 $S(t)$ 表示由问题 $(1.1)$ 在 $H_0^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$ 生成的半群, $(\cdot,\cdot)$ 表示在 $L^2(\Omega)$ 上的内积, 并且以下能量方程成立

\begin{equation} E_0=E(t)=E(u(t),v(t))=\frac{1}{2}\|v(t)\|^2+J(u(t)), \end{equation}

(2.2)

其中

\begin{equation} J(u(t))=\frac{1}{2}a(u(t))-\frac{1}{r}b(u(t)), \end{equation}

(2.3)

这里

\begin{equation} a(u(t))=\|u\|_H^2\equiv \|u\|_2^2+\|\Delta u(t)\|_2^2, b(u(t))=\mu \|u(t)\|_r^r. \end{equation}

(2.4)

能量方程中 $E_0$ 为初始能量, $\|u\|_q$ 为 $L^q(\Omega)$ 上的范数.

下面给出一些稳定集和不稳定集的定义.

稳定集, 也称为势井

\begin{equation} W=(\{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)>0\}\cup\{0\})\cap\{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)<d\}, \end{equation}

(2.5)

不稳定集

\begin{equation} V=\{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}\cap\{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)<d\}, \end{equation}

(2.6)

其中

\begin{equation} I(u)=a(u)-b(u), \end{equation}

(2.7)

$d$ 为势井深度, 定义为

\begin{equation} d=d(\Omega)\equiv \inf\limits_{u\in N}J(u), \end{equation}

(2.8)

这里

\begin{equation} N\equiv \{0\neq u\in H_0^2(\Omega)|I(u)=0\}. \end{equation}

(2.9)

设 ${\cal E}\subset H_0^2(\Omega)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 与时间无关的解的集合, 则

\begin{equation} {\cal E}\equiv\{0\neq u_e\in H_0^2(\Omega)|\Delta^2u_e+ u_e=f(u_e)\}. \end{equation}

(2.10)

在 (2.1) 式中取 $w=u_e$ 则可得到 ${\cal E}\subset N $, 因此 ${\cal E}\subset\{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)\geq d\}$.

又定义

\begin{equation} {\cal E}^*\equiv\{u_e\in{\cal E}|J(u_e)=d\}=\{u\in N|J(u)=d\}. \end{equation}

(2.11)

注2.1 由文献 ^[7] 知, 存在 $\pm u_e\in{\cal E}$ 使得 $J(\pm u_e)=d$, 由此可得, 如果 $u_e>0$ 或 $u_e<0$, 则 ${\cal E}^*$ 中的元素是唯一的.

下面给出势井深度, 稳定集, 不稳定集的一些性质.

引理2.2 势井深度 $d$ 的等价定义为

\begin{equation} d=\frac{r-2}{2r}S^{\frac{r}{r-2}}, \end{equation}

(2.12)

其中

\begin{equation} \sqrt S=\inf\limits_{0\ne u\in H_0^2(\Omega)} \bigg(\frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}\bigg). \end{equation}

(2.13)

证 由 $J(\lambda u)=\frac{\lambda ^2}{2}a(u(t))-\frac{\lambda ^r}{r}b(u(t))$知 $$ \sup\limits_{\lambda \geq 0}J(\lambda u)=\frac{r-2}{2r} \bigg(\frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}\bigg)^{\frac{2r}{r-2}}. $$ 由 (H$_0)$ 条件及嵌入定理知 $\frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}>0$, 故可记 $\sqrt S=\inf\limits_{0\ne u\in H_0^2(\Omega)} \Big(\frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}\Big)$, 又由

\begin{equation} d=\inf\limits_{0\ne u\in H_0^2(\Omega)}\sup\limits_{\lambda \geq 0}J(\lambda u) \end{equation}

(2.14)

知原命题成立.

注2.2 由引理 $2.2$ 知, 势井深度还可以表示为

\begin{equation} d=\inf\limits_{u\in N}J(u)=\frac{r-2}{2r}\rho, \end{equation}

(2.15)

其中

\begin{equation} \rho=\inf\limits_{u\in N}a(u)=\inf\limits_{u\in N}b(u)=S^\frac{r}{r-2}. \end{equation}

(2.16)

引理2.3 $W$ 和 $V$ 有以下性质

(1) $W$ 是 $0\in H_0^2(\Omega)$ 的有界邻域;

(2) $0 \notin\overline{ \{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}},$ 特别地 $0\notin \overline{V}$;

(3) $W=\{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}^c \cap \{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)<d\},$ $V=(\{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)>0\}$ $\cup \{0\})^c \cap \{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)<d\};$

(4) ${\cal E}^*=\overline{W}\cap \overline{V}$.

证 上述结论由稳定集 $W$ 与不稳定集 $V$ 的定义可得到证明.

引理2.4 若 $u\in H_0^2(\Omega)$ 且 $I(u)>0$, 特别地, $0\ne u\in W$有

\begin{equation} J(u)>\frac{r-2}{2r}a(u)>\frac{r-2}{2r}b(u), \end{equation}

(2.17)

若 $u\in H_0^2(\Omega)$ 且 $I(u)<0$, 特别地, $u\in V$ 有

\begin{equation} d<\frac{r-2}{2r}a(u)<\frac{r-2}{2r}b(u). \end{equation}

(2.18)

证 由定义(2.3)(2.5)(2.7)可得到(2.17)式, 由(2.6)(2.7)(2.15)(2.16)式可得到(2.18)式.

为了得到解的渐近性质, 来研究下述不变集合和解的一致有界性质.

引理2.5 设 $(u,v)$ 为由引理 $2.1$ 给出的问题 (1.1)-(1.3) 的任意解, 则集合

\begin{eqnarray} S&\equiv&\{(u,v)\in H|E(u,v)<d,u\in W\},\nonumber \\ U&\equiv& \{(u,v)\in H|E(u,v)<d,u\in V\},\nonumber\\ S_{dw}&\equiv& \{(u,v)\in H|E(u,v)=d, I(u)>0 \mbox{ 或 }\, u=0\},\nonumber\\ &&\{(u,v)\in H|E(u,v)=d, I(u)<0\} \end{eqnarray}

(2.19)

以及 $$ U_{dv}\equiv \{(u,v)\in H|E(u,v)=d,I(u)<0,(u,v)\geq0\} $$ 都是不变的.

证 先证集合 $S$ 为不变集. 设 $(u_0,v_0)\in S$, 由 (2.2) 式知 $\forall t\geq 0,J(u(t))\leq E(u(t),v(t))=E_0<d.$ 如果 $S$ 不是不变集, 则存在 $t^*>0$, 使得 $u(t^*)\ne 0, I(u(t^*))=0$, 由 (2.8) 式知 $d\leq J(u(t^*))$. 而这与 $\forall t\geq 0,J(u(t))<d$相矛盾.

下证集合 $U$ 为不变集. 假设存在 $t^*>0$, 使得 $I(u(t^*))=0$, 由引理 2.2(2) 知 $u(t^*)\ne 0$, 和证明 $S$ 为不变集一样产生矛盾.

下面继续用反证法证明集合 $S_{dw}$ 为不变集. 设 $(u_0,v_0)\in S_{dw}$, 假设存在某一点 $\hat t$, 使得 $I(u(\hat t))=0$ 且 $u(\hat t)\ne 0$, 由 (2.8)式 及 $E(u(\hat t),v(\hat t))=d$ 得 $J(u(\hat t))=d$, 因此 $\|v(\hat t)\|_2=0$, 又由 (2.11) 式知 $u(\hat t)\in {\cal E}^\ast$, 而这与注 2.1 相矛盾, 故 $S_{dw}$ 为不变集. 类似的可知(2.19)式的不变性.

$\forall t>0, \frac{\rm d}{{\rm d}t}(u(t),v(t))=\|v(t)\|_2^2-I(u(t))>0$ 则 $(u(t),v(t))>(u(t_0),v(t_0))>0$, 故 $U_{dv}$是不变集.

引理2.6 设 $(u,v)$ 为由引理 $2.1$ 给出的问题(1.1)-(1.3) 的解, 若存在某一常数 $C>0,$ $ \forall t\geq 0$ 都有 $\|u(t)\|_2\leq C<\infty$ 则 $\forall t\geq 0$, 解 $(u(t),v(t))$ 在 $H$ 上是一致有界的.

证 令 $F(t)=\frac{1}{2}\|u(t)\|_2^2$, 则 $$ F''(t)=\frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2}(\|u(t)\|_2^2+\|\Delta u(t)\|_2^2)-r E(t). $$ 再令 $H(t)=F' (t)-kE_0$, 取 $k=\frac{r}{r-2}>0$ 则

\begin{eqnarray} H' (t)& \geq& \frac{r-2}{2}(\|v(t)\|_2^2+\|u(t)\|_2^2)-r E(t) \nonumber\\ & \geq&(r-2)((u(t),v(t))-kE_0)\nonumber\\ & =&(r-2)H(t), \end{eqnarray}

(2.20)

因此对于 $0\leq s\leq \tau$ 有 $$ H(\tau)\geq H(s)e^{(r-2)(\tau-s)}. $$ 由 $H(t)$ 的定义知 \begin{eqnarray*} F(t)&=&F(s)+\int_s^t(H(\tau)+kE_0){\rm d}\tau \nonumber\\ &\geq& F(s)+\int_s^t(H(s)e^{(r-2)(\tau-s)}){\rm d}\tau+kE_0(t-s) \nonumber\\ & =&F(s)+\frac{H(s)}{r-2}(e^{(r-2)(t-s)}-1)+kE_0(t-s). \end{eqnarray*} 若存在某一 $s$ 使得 $H(s)>0$, 则由上式知 $\lim\limits_{t \to \infty}F(t)=\infty$ 这与已知条件相矛盾. 故 $\forall t\geq 0$, 都有 $H(t)\leq0$, 即 \begin{equation} F' (t)\leq kE_0. \end{equation}

又由(2.20)式知 $H(t)\geq H(0)e^{(r-2)t}\geq H(0)$, 即 $F' (t)\geq F' (0)$, 结合 (2.21) 式知 $(u(t),v(t))$ 是一致有界的.

定理3.1 设 $E_0<d$, $(u(t),v(t))=S(t)(u_0,v_0)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的解, 解发生爆破的充要条件为 $u_0\in V$, 等价地 $(u_0,v_0)\in U $.

证 充分性 设 $(u_0,v_0)\in U$, 由引理 2.5 知 $\forall t\geq 0$, $(u,v)\in U$.定义

\begin{equation} F(t)=\frac{1}{2}\|u(t)\|_2^2, \end{equation}

(3.1)

由引理 2.4 的 (2.18) 式知

\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}F(t)&=&\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\nonumber\\ &=& \|v(t)\|_2^2-I(u(t))+r E(u(t),v(t))-rE_0\nonumber\\ &=& \frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2}a(u(t))-rE_0 \nonumber\\ &>&\frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+r(d-E_0). \end{eqnarray}

(3.2)

因此

\begin{equation} \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}F(t)>\frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2. \end{equation}

(3.3)

注意到以下两个条件必有一个成立

(i) 存在某一 $t_0\geq 0$, 使得 $(u(t_0),v(t_0))\geq0$;

(ii) $\forall t\geq 0, (u(t),v(t))<0$.

如果 (i) 成立, 由 (3.3) 式可知 $\forall t\geq t_0,\frac{\rm d}{{\rm d}t}F(t)>(u(t_0), v(t_0))\geq 0$. 由引理 2.3 知 $0\notin\overline{ \{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}}$, 则 $F(t)>0$. 又取 $a=\frac{r-2}{4}>0$ 则 $$ \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}F^{-a}(t)<-a(a+1)F^{-(a+2)}(t)(\|u(t)\|_2^2\|v(t)\|_2^2-(u(t),v(t))^2)\leq0, $$ 则 $F^{-a}(t)$ 是有界的、严格单调递减的、正的凸函数. 由此可推出解存在的最大时间一定是有界的.

相反, 如果 (ii) 成立, 也就是说, $\forall t\geq 0, \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t)\|_2^2=(u(t),v(t))<0.$ 则对任意的 $t\geq 0$ 都有 $\|u(t)\|_2<\|u_0\|_2$.

设 $V(t)=-(u(t),v(t))$, 则 $\forall \varepsilon >0$ 有 $$ V' (t)+\varepsilon V(t)=I(u(t))-\|v(t)\|_2^2-\varepsilon(u(t),v(t)) \leq -\frac{\|v(t)\|_2^2}{2}+\frac{\varepsilon^2\|u_0\|_2^2}{2}\leq \frac{\varepsilon^2\|u_0\|_2^2}{2}. $$ 因此 $$V(t)\leq V(0)e^{-\varepsilon t}+\frac{\varepsilon^2\|u_0\|_2^2}{2\varepsilon}(1-e^{-\varepsilon t}). $$ 则 $$ 0\leq \limsup\limits_{t\to \infty}V(t)\leq \frac{\varepsilon \|u_0\|_2^2}{2}. $$ 于是当 $\varepsilon\to 0$ 时, $(u(t),v(t))\to 0,t\to \infty.$

由情形 (ii) 知 $t\mapsto 2F(t)=\|u(t)\|_2^2$ 单调递减且对任意的 $t\geq 0$ 一致有界, 又由于 $0 \notin\overline{ \{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}}$, 故存在 $\hat{u}\ne 0$ 使得 $\lim\limits_{t\to \infty}\|u(t)\|_2=\|\hat{u}\|_2$.

由引理 2.6 知存在某一常数 $C>0$ 使得 $\forall t\geq 0, \|(u(t),v(t))\|_2\leq C$. 因此存在数列 $\{t_n\}_{n\geq 1}$ 使 得当 $t_n\to \infty $ 时, $(u(t_n),v(t_n))\to (\hat{u},\hat{v})$ 在 $H$ 中弱收敛.

由于 $H_0^2(\Omega)$ 嵌入到 $L^r(\Omega)$ 是紧的, 则有 $b(u(t_n))\to b(\hat{u})$.

进一步, 对 (3.2) 式两边积分可得 $\forall s\geq t\geq 0$ 有 $$ 0<\int_t^s\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau=(u(s),v(s))-(u(t),v(t)). $$ 由此推出, $\forall t\geq 0$ 有

\begin{equation} 0<\int_t^{t+1}\|v(\tau)\|_2^2{\rm d}\tau<\int_t^{t+1}\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau =(u(t+1),v(t+1))-(u(t),v(t)). \end{equation}

(3.4)

则

\begin{equation} \lim\limits_{t\to \infty}\int_t^{t+1}\|v(\tau)\|_2^2{\rm d}\tau= 0. \end{equation}

(3.5)

特殊地, 对任意满足 $S_n \to\infty,n\to\infty $ 的数列 $\{S_n\}_{n\geq 1}$, 取 $h_n(\tau)=\|v(S_n+\tau)\|_2^2,\tau\in [0,1]$ 有 $\lim\limits_{n\to \infty}\int_0^1 h_n(\tau){\rm d}\tau= 0$. 由 Fatou 引理知 $$ \liminf \limits_{n\to \infty}\|v(S_n+\tau)\|_2^2= \liminf \limits_{n\to \infty}h_n(\tau)=0 $$ 在 $\tau\in [0,1]$ 上几乎处处收敛. 对某一 $\tau_0\in[0,1]$, 选取数列 $\{S_n\}_{n\geq 1}$ 使得 $t_n=S_n+\tau_0$, 由弱收敛到 $\hat{v}$ 及 $L^2(\Omega)$ 范数的下半连续性知 $$ \|\hat{v}\|_2\leq \liminf \limits_{n\to \infty}\|v(t_n)\|_2=0. $$ 设 $(u(t_n),v(t_n))$ 弱收敛到的集合为 $$ W_w=\{(\hat{u},0)\in H: \mbox{ 存在 $ \{t_n\}_{n\geq 1} $ 使得 } \lim\limits_{n\to \infty}(u(t_n),v(t_n))=(\hat{u},0)\}. $$ 显然有 $W_w\subset\{(u_e,0)\in H: u_e\in {\cal E}\}$. 由 (3.4)式 可知

\begin{equation} \lim\limits_{t\to \infty}\int_t^{t+1}\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau= 0. \end{equation}

(3.6)

又由于 $$ \|v(t)\|_2^2-I(u(t))= \frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2}a(u(t))-rE_0. $$ 类似地, 重复对 (3.5) 式的讨论, 由 $H$ 范数的下半连续性可得

\begin{eqnarray*} \frac{r-2}{2}a(\hat{u})-rE_0&=&\frac{r+2}{2}\|\hat{v}\|_2^2+\frac{r-2}{2}a(\hat{u})-rE_0 \nonumber\\ &\leq& \liminf \limits_{n\to \infty}\bigg\{\frac{r+2}{2}\|v(t_n)\|_2^2 +\frac{r-2}{2}a(u(t_n))-rE_0\bigg\}\\ &=&0. \end{eqnarray*}

因此 $\frac{r-2}{2r}a(\hat{u})\leq E_0<d$, 但由于 $\hat{u}\in {\cal E} $, 这与 (2.15)-(2.16) 式相矛盾. 因此只有 (i) 成立.

必要性 若 $u_0\notin V,$ 由引理 2.3 知 $u_0\in W$, 由引理 2.5 知 $\forall t>0, (u(t),v(t))\in S$, 由能量方程和引理 2.4 中的 (2.17) 式知 $\forall t>0,(u(t),v(t))$ 在 $H$ 中有界, 而这与引理 2.1 得到的 $(u(t),v(t))$ 为整体解相矛盾.

定理3.2 设 $E_0<d$, $(u(t),v(t))=S(t)(u_0,v_0)$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的解, 存在整体解的充要条件为 $u_0\in W$, 等价地 $(u_0,v_0)\in S$. 并且在整体解存在的情况下, $\forall t>0$ 解是一致有界的, 且 $(u(t),v(t))\in S\cap \{(u(t),v(t))|E(u,v)=E_0\}$.

证 由定理 3.1, 引理 2.3, 能量方程以及引理 2.4中 (2.17) 式可得到整体解的存在性和一致有界性. 由引理 2.5 知 $S$ 是不变集证得最后的结论.

下面给出初始能量等于势井深度情形下, 解的一些性质, 这也是本文最重要的结论.

定理3.3 设 $E_0=d,I(u_0)<0, (u(t),v(t))$ 为问题 (1.1)-(1.3) 的解, 以下两种情况, 二者必居其一

(i) 若存在某一 $t_0\geq 0$, 使得 $(u(t_0),v(t_0))\geq 0$, 相当于 $(u(t_0),v(t_0))\in U_{dv}$, 则由引理 $2.1$ 所确定的解是局部的, 也就是说, 解在某一有限的时刻发生爆破;

(ii) 若 $\forall t\geq 0, (u(t),v(t))<0$ 则解是整体的且一致有界. 并且 $$ (u(t),v(t))\to \overline{S}\cap\overline{U}=\{(u_e,0)\in H|u_e\in{\cal E}^*\}, t\to \infty , $$ 在 $H$ 中强收敛, 初值 $u_0$满足 $\|u_0\|_2>\lambda_*\equiv \inf\limits_{u_e\in{\cal E}^* }\|u_e\|_2$, 这里 ${\cal E}^*$ 如 $(2.11)$式 定义, $\rho=\frac{r-2}{2r}d$, 此外 $$ \lim\limits_{t\to \infty }\|v(t)\|_2^2=0, \lim\limits_{t\to \infty }|a(u(t))-\rho|=0=\lim\limits_{t\to \infty }|b(u(t))-\rho|, $$ $$ \lim\limits_{t\to \infty }t|(u(t),v(t))|=0, \liminf\limits_{t\to \infty }t\|v(t)\|_2^2=0, $$ $$ \liminf\limits_{t\to \infty }t|a(u(t))-\rho|=0=\liminf\limits_{t\to \infty }t|b(u(t))-\rho|. $$

证 (i) 由引理 2.5 知 $\forall t\geq 0,\,(u(t),v(t))\in U_{dv}$, 和定理 3.1 充分性部分情况 (i) 的证明一样, 可以得到解发生爆破.

(ii) 和定理 3.1 充分性部分情况 (ii) 的证明一样, 可以得到解整体存在且是有界的, 而且 (3.4)-(3.6) 式成立, 则存在数列 $\{t_n\}$ 使得 $(u(t_n),v(t_n))\to (u_e,0),n\to \infty$在 $H$ 中弱收敛, $b(u(t_n))\to b(u_e),n\to \infty.$ 并且有 $a(u_e)=b(u_e)=\frac{2r}{r-2}E_0=\frac{2r}{r-2}d=\rho.$ 因此 $u_e\in {\cal E}^{*}$.

由范数的下半连续性和能量方程知

\begin{eqnarray} a(u_e)&\leq &\liminf\limits_{n\to \infty }(\|v(t_n)\|_2^2+a(u(t_n))) \nonumber\\ &\leq & \limsup\limits_{n\to \infty }(\|v(t_n)\|_2^2+a(u(t_n))) \nonumber\\ & =& \lim\limits_{n\to \infty }2\bigg(E_0+\frac{b(u(t_n))}{r}\bigg)=\rho=a(u_e). \end{eqnarray}

(3.7)

因此 $H$ 范数的收敛性为强收敛. 故 $$ \lim\limits_{t\to \infty }\|v(t)\|_2^2=0,\lim\limits_{t\to \infty }|a(u(t))-\rho|=0=\lim\limits_{t\to \infty }|b(u(t))-\rho|. $$

由于 $t\mapsto \|u(t)\|_2$ 是严格递减的, 则 $\|u_e\|_2\leq \|u_0\|_2$, 又由于 $\|u_e\|_2>\lambda_*$故有 $\|u_0\|_2>\lambda_*$.

和定理 3.1 中的情形 (ii) 一样, 以下两个式子成立 $$ \lim\limits_{t\to \infty }|(u(t),v(t))|=0 $$ 及

\begin{equation} 0<\int_t^\infty\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau=-(u(t),v(t)). \end{equation}

(3.8)

对上式在 $R^+$ 上积分得 $$ \int_0^{\infty}\int_t^\infty\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau{\rm d}t =-\int_0^{\infty}(u(t),v(t)){\rm d}t=\frac{1}{2}(\|u_0\|_2^2-\|u_e\|_2^2). $$ 由 Fubini 定理得 $$ \int_0^{\infty}\int_0^\tau\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}t{\rm d}\tau =\frac{1}{2}(\|u_0\|_2^2-\|u_e\|_2^2), $$ 即

\begin{equation} \int_0^{\infty}t\{\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\}{\rm d}t =\frac{1}{2}(\|u_0\|_2^2-\|u_e\|_2^2). \end{equation}

(3.9)

对 (3.8)式 在有限的区间 $[0,\hat{t}]$ 上积分得 $$ \int_0^{\hat{t}}\int_t^\infty\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau{\rm d}t=-\int_0^{\hat{t}}(u(t),v(t)){\rm d}t=\frac{1}{2}(\|u_0\|_2^2-\|u(\hat{t})\|_2^2). $$ 由 Fubini 定理得 $$ \int_0^{\hat{t}}t\{\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\}{\rm d}t+\hat{t} \int_{\hat{t}}^{\infty}\{\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\}{\rm d}t=\frac{1}{2}(\|u_0\|_2^2-\|u(\hat{t})\|_2^2), $$ 结合 (3.9) 式及 $\lim\limits_{\hat{t}\to \infty}\|u\|_2^2=\|u_e\|_2^2$ 知

\begin{equation} 0=\lim\limits_{\hat{t}\to \infty }\hat{t} \int_{\hat{t}}^{\infty}\{\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\}{\rm d}t=-\lim\limits_{\hat{t}\to \infty }\hat{t}(u(\hat{t}),v(\hat{t})). \end{equation}

(3.10)

$\forall t\geq 0$, 再次对 (3.8) 式积分得 \begin{eqnarray*} \int_t^{t+1}\int_{\tau}^\infty\{\|v(s)\|_2^2-I(u(s))\}{\rm d}s{\rm d}\tau =-\int_t^{t+1}(u(\tau),v(\tau)){\rm d}\tau =\frac{1}{2}(\|u(t)\|_2^2-\|u(t+1)\|_2^2). \end{eqnarray*} 由 Fubini 定理得 \begin{eqnarray*} && \int_t^{t+1}\tau \{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau \nonumber\\ & =&t \int_t^{t+1}\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau-\int_{t+1}^{\infty}\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau +\frac{1}{2}(\|u(t)\|_2^2-\|u(t+1)\|_2^2).\nonumber\\ & \leq& t \int_t^{t+1}\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau+(u(t+1),v(t+1)) +\frac{1}{2}(\|u(t)\|_2^2-\|u(t+1)\|_2^2). \end{eqnarray*} 由 (3.10)式 及 $\|u(t)\|_2^2-\|u(t+1)\|_2^2\to 0,(u(t+1),v(t+1))\to 0,t\to \infty$ 可得 $$ \lim\limits_{t\to \infty } \int_t^{t+1}\tau \{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau=0. $$ 和定理 3.1 充分性的证明过程一样, 由 Fatou 引理可得 $$ \liminf\limits_{n\to \infty } \{S_n+\tau\} \{\|v(S_n+\tau)\|_2^2-I(u(S_n+\tau))\}{\rm d}\tau=0,\,\mbox{几乎处处}\,\, \tau\in[0,1]. $$ 这里 $\{S_n\}_{n\geq1}$ 为满足 $S_n\to \infty,n\to \infty$ 的任一数列, 这也就是说 $$ \liminf\limits_{t\to \infty }t\{\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\} =0. $$ 因此 $$ \liminf\limits_{t\to \infty }t\|v(t)\|_2^2=0=\limsup\limits_{t\to \infty }t I(u(t)). $$ 又由于 $$ \|v(t)\|_2^2-I(u(t))= \frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2}a(u(t))-rE_0, $$ 则 \begin{eqnarray*} && \liminf\limits_{t\to \infty } \frac{r+2}{2}t\|v(t)\|_2^2+ \liminf\limits_{t\to \infty }t\bigg\{\frac{r-2}{2}a(u(t))-rE_0 \bigg\}\\ & \leq& \liminf\limits_{t\to \infty }t \bigg\{ \frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2}a(u(t))-rE_0\bigg\}\\ &=&\liminf\limits_{t\to \infty }t\{\|v(t)\|_2^2-I(u(t))\}=0, \end{eqnarray*} 因此 $$ \liminf\limits_{t\to \infty }t\bigg\{\frac{r-2}{2}a(u(t))-rE_0\bigg \}\leq 0, $$ 又由于 $\frac{r-2}{2r}a(u(t))>d=E_0$ , 因此 $$ \liminf\limits_{t\to \infty }t\bigg\{\frac{r-2}{2r}a(u(t))-d \bigg\}= 0. $$ 类似地有 $$ \|v(t)\|_2^2-I(u(t))= 2\bigg(\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2r}b(u(t))-E_0\bigg), $$ 又由于 $\frac{r-2}{2r}b(u(t))>d=E_0$ 可得到 $$ \liminf\limits_{t\to \infty }t\bigg\{\frac{r-2}{2r}b(u(t))-d\bigg\}= 0. $$ 再由 $\rho =\frac{2r}{r-2}d$ 可推出结论.