本文考虑如下非线性梁方程的初边值问题
(H0) f(u)=μ|u|r−2u,μ>0, 当 1≤n≤4 时,2<r<∞; 当 n≥5 时,2<r<2nn−4.
此处 u(x,t) 指在 t 时刻 x 位置梁发生的挠度. 梁是房屋、铁路、桥梁、隧道、水库、 堤坝等工程建筑中基本的至关重要的构件. 2001年,张建文等[1]考虑纵横弯曲及粘性效应建立了一类轴向载荷和横向载荷作用下 的非线性粘弹性简支梁方程, 利用Galerkin方法,证明了解的存在唯一性,讨论了解的渐近性,并给出了有界吸收集的存在性证明, 但并未讨论解的爆破. 2004年,陈勇明和杨晗[2]讨论方程 utt+Δ2u+u=|u|p−1u 的初值问题, 依据势井理论,通过构造不稳定集, 结合凸性分析方法证明了当初值属于不稳定集,初始能量为正且有适当上限时解发生爆破. 2008年,陈勇明和杨晗[3]仍考虑此方程用 Galerkin 方法和稳定集思想证明了 该方程整体解的存在性和唯一性. 2013年,任永华和张建文[4]研究了与时间相关的外力驱动的非自治强阻尼梁方程 tial2utialt2+Δ2u+kΔ2tialutialt+f(tialutialt)+g(u)=h(x,t).x∈Ω,t≥τ,τ∈R 在与时间有关的外力是平移紧的条件下,利用算子半群理论证明了在一定的齐次边界条 件和初值条件下系统存在连续解, 再通过先验估计,构造了渐近紧的不变吸收集,证明了系统存在一致吸引子. 2013年,廖秋明等[5]考虑一类具有耗散项的非线性四阶波动方程 utt+Δ2u+u+ut=f(u), 利用位势井理论和紧致性方法,证明了当初始能量为正且有适当上界, 非线性项满足假设条件时,该问题整体弱解的存在性,在此基础上利用方程中耗散项的作用 和一个微分不等式得到解的渐近性质.
已有文献[2, 3] 所采用的势井方法都是在 E(0)<d (E(0) 为初始能量,d 为势井深度)的前提下研究的,而对临界条件 E(0)=d 的情形研究甚少, 本文考虑 E(0)=d 的情况,通过 构造不变集,研究解的整体存在性,进而研究解的渐近行为. 此外,与前人所采用的凸性分析方法不同, 本文运用分类讨论思想研究了解的爆破, 而此方法同样适用于 E(0)<d 的情形.
首先,给出问题(1.1)-(1.3)局部弱解的存在性,具体证明过程可参见文献[6].
引理2.1 设初值 (u0,v0)∈H≡H20(Ω)×L2(Ω), 则问题 (1.1)-(1.3) 存在唯一的局部弱解 (u(t),v(t))≡S(t)(u0,v0)满足
下面给出一些稳定集和不稳定集的定义.
稳定集, 也称为势井
设 {\cal E}\subset H_0^2(\Omega) 为问题 (1.1)-(1.3) 与时间无关的解的集合, 则
又定义
注2.1 由文献 [7] 知, 存在 \pm u_e\in{\cal E} 使得 J(\pm u_e)=d, 由此可得, 如果 u_e>0 或 u_e<0, 则 {\cal E}^* 中的元素是唯一的.
下面给出势井深度, 稳定集, 不稳定集的一些性质.
引理2.2 势井深度 d 的等价定义为
证 由 J(\lambda u)=\frac{\lambda ^2}{2}a(u(t))-\frac{\lambda ^r}{r}b(u(t))知 \sup\limits_{\lambda \geq 0}J(\lambda u)=\frac{r-2}{2r} \bigg(\frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}\bigg)^{\frac{2r}{r-2}}. 由 (H_0) 条件及嵌入定理知 \frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}>0, 故可记 \sqrt S=\inf\limits_{0\ne u\in H_0^2(\Omega)} \Big(\frac{a(u)^{\frac{1}{2}}}{b(u)^\frac{1}{r}}\Big), 又由
注2.2 由引理 2.2 知, 势井深度还可以表示为
引理2.3 W 和 V 有以下性质
(1) W 是 0\in H_0^2(\Omega) 的有界邻域;
(2) 0 \notin\overline{ \{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}}, 特别地 0\notin \overline{V};
(3) W=\{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}^c \cap \{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)<d\}, V=(\{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)>0\} \cup \{0\})^c \cap \{u\in H_0^2(\Omega)|J(u)<d\};
(4) {\cal E}^*=\overline{W}\cap \overline{V}.
证 上述结论由稳定集 W 与不稳定集 V 的定义可得到证明.
引理2.4 若 u\in H_0^2(\Omega) 且 I(u)>0, 特别地, 0\ne u\in W有
证 由定义(2.3)(2.5)(2.7)可得到(2.17)式, 由(2.6)(2.7)(2.15)(2.16)式可得到(2.18)式.
为了得到解的渐近性质, 来研究下述不变集合和解的一致有界性质.
引理2.5 设 (u,v) 为由引理 2.1 给出的问题 (1.1)-(1.3) 的任意解, 则集合
证 先证集合 S 为不变集. 设 (u_0,v_0)\in S, 由 (2.2) 式知 \forall t\geq 0,J(u(t))\leq E(u(t),v(t))=E_0<d. 如果 S 不是不变集, 则存在 t^*>0, 使得 u(t^*)\ne 0, I(u(t^*))=0, 由 (2.8) 式知 d\leq J(u(t^*)). 而这与 \forall t\geq 0,J(u(t))<d相矛盾.
下证集合 U 为不变集. 假设存在 t^*>0, 使得 I(u(t^*))=0, 由引理 2.2(2) 知 u(t^*)\ne 0, 和证明 S 为不变集一样产生矛盾.
下面继续用反证法证明集合 S_{dw} 为不变集. 设 (u_0,v_0)\in S_{dw}, 假设存在某一点 \hat t, 使得 I(u(\hat t))=0 且 u(\hat t)\ne 0, 由 (2.8)式 及 E(u(\hat t),v(\hat t))=d 得 J(u(\hat t))=d, 因此 \|v(\hat t)\|_2=0, 又由 (2.11) 式知 u(\hat t)\in {\cal E}^\ast, 而这与注 2.1 相矛盾, 故 S_{dw} 为不变集. 类似的可知(2.19)式的不变性.
\forall t>0, \frac{\rm d}{{\rm d}t}(u(t),v(t))=\|v(t)\|_2^2-I(u(t))>0 则 (u(t),v(t))>(u(t_0),v(t_0))>0, 故 U_{dv}是不变集.
引理2.6 设 (u,v) 为由引理 2.1 给出的问题(1.1)-(1.3) 的解, 若存在某一常数 C>0, \forall t\geq 0 都有 \|u(t)\|_2\leq C<\infty 则 \forall t\geq 0, 解 (u(t),v(t)) 在 H 上是一致有界的.
证 令 F(t)=\frac{1}{2}\|u(t)\|_2^2, 则 F''(t)=\frac{r+2}{2}\|v(t)\|_2^2+\frac{r-2}{2}(\|u(t)\|_2^2+\|\Delta u(t)\|_2^2)-r E(t). 再令 H(t)=F' (t)-kE_0, 取 k=\frac{r}{r-2}>0 则
又由(2.20)式知 H(t)\geq H(0)e^{(r-2)t}\geq H(0), 即 F' (t)\geq F' (0), 结合 (2.21) 式知 (u(t),v(t)) 是一致有界的.
定理3.1 设 E_0<d, (u(t),v(t))=S(t)(u_0,v_0) 为问题 (1.1)-(1.3) 的解, 解发生爆破的充要条件为 u_0\in V, 等价地 (u_0,v_0)\in U .
证 充分性 设 (u_0,v_0)\in U, 由引理 2.5 知 \forall t\geq 0, (u,v)\in U.定义
注意到以下两个条件必有一个成立
(i) 存在某一 t_0\geq 0, 使得 (u(t_0),v(t_0))\geq0;
(ii) \forall t\geq 0, (u(t),v(t))<0.
如果 (i) 成立, 由 (3.3) 式可知 \forall t\geq t_0,\frac{\rm d}{{\rm d}t}F(t)>(u(t_0), v(t_0))\geq 0. 由引理 2.3 知 0\notin\overline{ \{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}}, 则 F(t)>0. 又取 a=\frac{r-2}{4}>0 则 \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}F^{-a}(t)<-a(a+1)F^{-(a+2)}(t)(\|u(t)\|_2^2\|v(t)\|_2^2-(u(t),v(t))^2)\leq0, 则 F^{-a}(t) 是有界的、严格单调递减的、正的凸函数. 由此可推出解存在的最大时间一定是有界的.
相反, 如果 (ii) 成立, 也就是说, \forall t\geq 0, \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t)\|_2^2=(u(t),v(t))<0. 则对任意的 t\geq 0 都有 \|u(t)\|_2<\|u_0\|_2.
设 V(t)=-(u(t),v(t)), 则 \forall \varepsilon >0 有 V' (t)+\varepsilon V(t)=I(u(t))-\|v(t)\|_2^2-\varepsilon(u(t),v(t)) \leq -\frac{\|v(t)\|_2^2}{2}+\frac{\varepsilon^2\|u_0\|_2^2}{2}\leq \frac{\varepsilon^2\|u_0\|_2^2}{2}. 因此 V(t)\leq V(0)e^{-\varepsilon t}+\frac{\varepsilon^2\|u_0\|_2^2}{2\varepsilon}(1-e^{-\varepsilon t}). 则 0\leq \limsup\limits_{t\to \infty}V(t)\leq \frac{\varepsilon \|u_0\|_2^2}{2}. 于是当 \varepsilon\to 0 时, (u(t),v(t))\to 0,t\to \infty.
由情形 (ii) 知 t\mapsto 2F(t)=\|u(t)\|_2^2 单调递减且对任意的 t\geq 0 一致有界, 又由于 0 \notin\overline{ \{u\in H_0^2(\Omega)|I(u)<0\}}, 故存在 \hat{u}\ne 0 使得 \lim\limits_{t\to \infty}\|u(t)\|_2=\|\hat{u}\|_2.
由引理 2.6 知存在某一常数 C>0 使得 \forall t\geq 0, \|(u(t),v(t))\|_2\leq C. 因此存在数列 \{t_n\}_{n\geq 1} 使 得当 t_n\to \infty 时, (u(t_n),v(t_n))\to (\hat{u},\hat{v}) 在 H 中弱收敛.
由于 H_0^2(\Omega) 嵌入到 L^r(\Omega) 是紧的, 则有 b(u(t_n))\to b(\hat{u}).
进一步, 对 (3.2) 式两边积分可得 \forall s\geq t\geq 0 有 0<\int_t^s\{\|v(\tau)\|_2^2-I(u(\tau))\}{\rm d}\tau=(u(s),v(s))-(u(t),v(t)). 由此推出, \forall t\geq 0 有
必要性 若 u_0\notin V, 由引理 2.3 知 u_0\in W, 由引理 2.5 知 \forall t>0, (u(t),v(t))\in S, 由能量方程和引理 2.4 中的 (2.17) 式知 \forall t>0,(u(t),v(t)) 在 H 中有界, 而这与引理 2.1 得到的 (u(t),v(t)) 为整体解相矛盾.
定理3.2 设 E_0<d, (u(t),v(t))=S(t)(u_0,v_0) 为问题 (1.1)-(1.3) 的解, 存在整体解的充要条件为 u_0\in W, 等价地 (u_0,v_0)\in S. 并且在整体解存在的情况下, \forall t>0 解是一致有界的, 且 (u(t),v(t))\in S\cap \{(u(t),v(t))|E(u,v)=E_0\}.
证 由定理 3.1, 引理 2.3, 能量方程以及引理 2.4中 (2.17) 式可得到整体解的存在性和一致有界性. 由引理 2.5 知 S 是不变集证得最后的结论.
下面给出初始能量等于势井深度情形下, 解的一些性质, 这也是本文最重要的结论.
定理3.3 设 E_0=d,I(u_0)<0, (u(t),v(t)) 为问题 (1.1)-(1.3) 的解, 以下两种情况, 二者必居其一
(i) 若存在某一 t_0\geq 0, 使得 (u(t_0),v(t_0))\geq 0, 相当于 (u(t_0),v(t_0))\in U_{dv}, 则由引理 2.1 所确定的解是局部的, 也就是说, 解在某一有限的时刻发生爆破;
(ii) 若 \forall t\geq 0, (u(t),v(t))<0 则解是整体的且一致有界. 并且 (u(t),v(t))\to \overline{S}\cap\overline{U}=\{(u_e,0)\in H|u_e\in{\cal E}^*\}, t\to \infty , 在 H 中强收敛, 初值 u_0满足 \|u_0\|_2>\lambda_*\equiv \inf\limits_{u_e\in{\cal E}^* }\|u_e\|_2, 这里 {\cal E}^* 如 (2.11)式 定义, \rho=\frac{r-2}{2r}d, 此外 \lim\limits_{t\to \infty }\|v(t)\|_2^2=0, \lim\limits_{t\to \infty }|a(u(t))-\rho|=0=\lim\limits_{t\to \infty }|b(u(t))-\rho|, \lim\limits_{t\to \infty }t|(u(t),v(t))|=0, \liminf\limits_{t\to \infty }t\|v(t)\|_2^2=0, \liminf\limits_{t\to \infty }t|a(u(t))-\rho|=0=\liminf\limits_{t\to \infty }t|b(u(t))-\rho|.
证 (i) 由引理 2.5 知 \forall t\geq 0,\,(u(t),v(t))\in U_{dv}, 和定理 3.1 充分性部分情况 (i) 的证明一样, 可以得到解发生爆破.
(ii) 和定理 3.1 充分性部分情况 (ii) 的证明一样, 可以得到解整体存在且是有界的, 而且 (3.4)-(3.6) 式成立, 则存在数列 \{t_n\} 使得 (u(t_n),v(t_n))\to (u_e,0),n\to \infty在 H 中弱收敛, b(u(t_n))\to b(u_e),n\to \infty. 并且有 a(u_e)=b(u_e)=\frac{2r}{r-2}E_0=\frac{2r}{r-2}d=\rho. 因此 u_e\in {\cal E}^{*}.
由范数的下半连续性和能量方程知
由于 t\mapsto \|u(t)\|_2 是严格递减的, 则 \|u_e\|_2\leq \|u_0\|_2, 又由于 \|u_e\|_2>\lambda_*故有 \|u_0\|_2>\lambda_*.
和定理 3.1 中的情形 (ii) 一样, 以下两个式子成立 \lim\limits_{t\to \infty }|(u(t),v(t))|=0 及