在统计中,很多统计量,如最小二乘估计、密度核估计、非线性回归核估计 等等,都表现为随机变量序列加权和形式,因此对 随机变量序列加权和极限性质的研究是有必要的.

最近Sung^[1]对同分布$\rho^*$ -混合随机变量序列加权和(我们称之为Sung型加权和) 获得了如下完全收敛性的结果.

定理A 令$r>1$,$1\leq p<2$,$\{X,X_{n},n\ge 1\}$ 为同分布的$\rho^*$ -混合随机变量序列满足 $EX=0$及$E|X|^{rp}<\infty$. 设常数序列$\{a_{ni},1\le i\le n,n\ge 1\}$满足

$$ \mbox{对某}\ q>rp,\ \ \sum_{i=1}^n |a_{ni}|^q=O(n). $$

(1.1)

则对任意$\varepsilon>0$有

$$ \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^ja_{ni}X_i\right|>\varepsilon n^{1/p}\right)<\infty. $$

(1.2)

反之,若对任意满足条件(1.1)的常数序列$\{a_{ni},1\le i\le n,n\ge 1\}$, (1.2)式都成立,则必有$EX=0$及$E|X|^{rp}<\infty$.

完全收敛性的概念是由Hsu和Robbins^[2]最先提出并加以研究的. 从那时开始就已吸引了众多学者的关注, 至今已取得了丰富的成果.

到目前为止,几乎没有文章继续研究Sung型加权和的完全收敛性. 本文的目的是在NOD情形下获得Sung型加权和的完全收敛性. 我们先来介绍有关概念.

定义 1.1 称随机变量序列$X_1,X_2,\cdots,X_k$是NUOD (negatively upper orthant dependent)的,如果对任意实数$ x_1,x_2,\cdots,x_k$有 $$ P(X_i>x_i,i=1,2,\cdots,k)\leq \prod^k_{i=1}P(X_i>x_i); $$ 称随机变量序列$X_1,X_2,\cdots,X_k$是NLOD (negatively lower orthant dependent)的,如果有 $$ P(X_i\leq x_i,i=1,2,\cdots,k)\leq \prod^k_{i=1}P(X_i\leq x_i). $$ 称随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_k$ 是NOD (negatively orthant dependent)的,如果它既是 NUOD的又是NLOD的. 称无穷随机变量序列$\{X_n,n\geq1\}$是 NOD的,如果它的每一个有限子列$X_1,X_2,\cdots,X_k$是NOD的.

NOD这一概念是由Joag-Dev和Proschan^[3]在1983引入的. 显然每一个独立随机变量序列是NOD的. Joag-Dev和Proschan^[3]指出著名的NA随机变量序列是NOD的, 但NUOD或NLOD不能推出NA. 他们给出了一个是NOD但不是NA的例子, 这说明NOD是严格弱于NA的. 由于NOD在金融、保险、可靠性分析、 多元统计分析和时间序列分析中有广泛的应用, 因此已越来越引起关注,如Gan和Chen^[4]研究了NOD序列Stout型加权和的完全收敛性, Wu^[5]对Stout型加权和的完全收敛性获得了更好的结果, Qiu^[6]研究了Stout型加权乘积和的完全收敛性等等. Stout型加权和可参见文献^[7]中定理4.1.3和定理4.1.4. 易知 Stout型加权和与Sung型加权和是不相互包含的. 因此对Sung型加权和极限性质的研究是有意义的.

下面来介绍本文的主要结果,必要的引理及定理的证明放到第2节.

定理 1.1 令$r>1$,$1\leq p<2$,$\{X,X_{n},n\ge 1\}$为同分布的NOD序列满足 $EX=0$及$E|X|^{rp}<\infty$. 设常数序列$\{a_{ni},1\le i\le n,n\ge 1\}$满足(1.1)式, 则对任意$\varepsilon>0$,(1.2)式成立. 反之,若对任意满足条件(1.1)的常数序列$\{a_{ni},1\le i\le n,n\ge 1\}$, (1.2)式都成立,则必有$EX=0$及$E|X|^{rp}<\infty$.

注 1.1 Sung^[1]的结果的证明工具是部分和最大值Rosenthal型矩不等式, 而对于NOD而言部分和最大值Rosenthal型矩不等式是否成立至今未知, 因此本文的证明方法将不同于Sung^[1]的方法. 事实上, 本文借鉴了Zhang和Wang^[10]的证明方法.

本文约定,$C$总代表正常数,在不同的地方可以代表不同的值.

定理的证明需要下面的引理.

引理 2.1^[8] 设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是NOD序列,$f_1,f_2,\cdots,f_n$全部是单调增 (或单调减)函数. 则$f_1(X_1),f_2(X_2),\cdots,f_n(X_n)$是 NOD的.

下面的引理就是NOD序列的Rosenthal不等式,可见文献^[9].

引理 2.2 对任意$s\geq 2$,存在正常数$C_s$使得对 任意NOD序列$\{X_n,n\geq1\}$均有 $$ E\left|\sum_{i=1}^{n}(X_i-EX_i)\right |^s \le C_s\left\{\sum_{i=1}^{n} E|X_i|^s+ \left(\sum_{i=1}^{n }E|X_i|^2\right)^{s/2}\right\},\ \ \forall\ n\geq1. $$ 由引理2.2及类似文献[7,定理2.3.1]的讨论有下面结论.

引理 2.3 对任意$s\geq 2$,存在正常数$C_s$使得对 任意NOD序列$\{X_n,n\geq1\}$均有 $$ E\max_{1\le k\le n}\left|\sum_{i=1}^k(X_i-EX_i)\right |^s \le C_s(\log n)^s\left\{\sum_{i=1}^{n} E|X_i|^s+ \left(\sum_{i=1}^{n }E|X_i|^2\right)^{s/2}\right\},\ \ \forall\ n\geq1. $$

引理 2.4 在定理1.1的条件下,若进一步假设对任意$1\le i\le n$ 及 $n\ge 1$有$|a_{ni}|\le 1$,则对任意$\varepsilon>0$,(1.2)式成立.

证 不失一般性可设对任意$1\le i\le n$ 及 $n\ge 1$有$a_{ni}\geq 0$. 由$r>1,1\leq p<2$知$0\le (1-1/p)/(r-1/p)<1$. 因此可选定正数$t$使得$(1-1/p)/(r-1/p)<t<1$.

对任意 $1\le i\le n,n\ge 1$,令 $$ X_{ni}^{(1)}=-n^{t/p}I(X_i<-n^{t/p})+X_iI(|X_i|\le n^{t/p})+n^{t/p}I(X_i>n^{t/p}), $$ $$ X_{ni}^{(2)}=\left(X_i-n^{t/p}\right)I(n^{t/p}<X_i\le n^{1/p})+n^{1/p}I(X_i>n^{1/p}), $$ $$ X_{ni}^{(3)}=\left(X_i-n^{t/p}-n^{1/p} \right)I(X_i>n^{1/p}), $$ $$ X_{ni}^{(4)}=\left(X_i+n^{t/p}\right)I( -n^{1/p}\le X_i<-n^{t/p})-n^{1/p}I(X_i<-n^{1/p}), $$ $$ X_{ni}^{(5)}=\left(X_i+n^{t/p}+n^{1/p} \right)I(X_i<-n^{1/p}). $$ 于是对任意$\varepsilon>0$有

\begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j a_{ni}X_i\right| >\varepsilon n^{1/p}\right)\\ &\le & \sum_{l=1}^5 \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n} \left|\sum_{i=1}^j a_{ni}X_{ni}^{(l)}\right|>\varepsilon n^{1/p}/5\right):=\sum_{l=1}^5 I_l. \end{eqnarray*}

因此要证(1.2)式成立,只需证$I_l<\infty$,$l=1,2,3,4,5$. 因$I_4<\infty$的证明与$I_2<\infty$类似, $I_5<\infty$的证明与$I_3<\infty$,因此只证明$I_1<\infty,I_2<\infty,I_3<\infty$.

对于$I_1$,由$EX=0$,Markov不等式,条件$0\leq a_{ni}\leq 1$及 $(1-1/p)/(r-1/p)<t<1$,当$n\rightarrow\infty$时有 \begin{eqnarray*} n^{-1/p} \max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j a_{ni} E X_{ni}^{(1)}\right| & \le &2 n^{-1/p} \sum_{i=1}^n a_{ni}E| X_{i}|I(|X_i|>n^{t/p}) \\ & \le &2 n^{-1/p} E|X|I(|X|>n^{t/p}) \sum_{i=1}^n a_{ni} \\ & \le &2 n^{1-1/p-t(rp-1)/p} E|X|^{rp} I(|X|>n^{t/p} )\to 0. \end{eqnarray*} 于是,要证$I_1<\infty$只须证 $$ I_1^*=\sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j a_{ni}\left(X_{ni}^{(1)}-EX_{ni}^{(1)}\right)\right| >\varepsilon n^{1/p}/10\right)<\infty. $$ 注意到由引理2.1知对任意$n\geq1$,$\{X_{ni}^{(1)},1\leq i\leq n\}$是NOD的, 因此由Markov不等式, 引理2.3及条件$0\leq a_{ni}\leq 1$,对任意$s\geq 2$有

\begin{eqnarray} I_1^* &\le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p} E\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j a_{ni}\left(X_{ni}^{(1)}-EX_{ni}^{(1)}\right)\right|^s \nonumber\\ & \le &C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}(\log n)^s \left\{\sum_{i=1}^n a_{ni}^s E|X_{ni}^{(1)}|^s+\left(\sum_{i=1}^n a_{ni}^2 E|X_{ni}^{(1)}|^2\right)^{s/2}\right\} \nonumber\\ & \le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-1-s/p}(\log n)^s E|X_{n1}^{(1)}|^s+C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p+s/2}(\log n)^s\left( E|X_{n1}^{(1)}|^2\right)^{s/2} \nonumber\\ &:=& CI_{11}^*+CI_{12}^*. \end{eqnarray}

(2.1)

如果$rp\ge 2$,则$(r-1)/(1/p-1/2)\ge rp$. 此时选取$s$使得$s>(r-1)/(1/p-1/2)$,于是有 $$ I_{12}^*\le \sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p+s/2}(\log n)^s\left(E|X|^2\right)^{s/2}<\infty. $$ 因$s>rp$,$0<t<1,$由$C_r$不等式,Markov不等式有

\begin{eqnarray} I_{11}^* & \le &C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-1-s/p}(\log n)^s\left\{ E|X|^sI(|X| \le n^{t/p})+n^{st/p}P(|X|>n^{t/p})\right\} \nonumber\\ & \le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1-(1-t)(s-rp)/p}(\log n)^sE|X|^{rp}<\infty. \end{eqnarray}

(2.2)

如果$rp<2,$ 则取$r=2$,此时(2.1)式中$I_{11}^*=I_{12}^*$. 因$s>rp$,$0<t<1,$ (2.2)式仍然成立. 总之$I_1<\infty.$

对于$I_2$,注意到 $$ I_2= \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\sum_{i=1}^n a_{ni}X_{ni}^{(2)}>\varepsilon n^{1/p}/5\right), $$ 以及由条件$0\leq a_{ni}\leq 1$, $0<t<1$及Markov不等式知当$n\rightarrow\infty$时 \begin{eqnarray*} 0&\le & n^{-1/p} \sum_{i=1}^n E (a_{ni} X_{ni}^{(2)} ) \\ &\le & n^{1-1/p}\left\{E XI(n^{t/p}<X\le n^{1/p})+n^{1/p} P(X>n^{1/p})\right\} \\ & \le & n^{1-1/p} E|X|I(|X|>n^{t/p}) +n P(|X|>n^{1/p})\\ & \le & n^{1-1/p-(r -1/p)t} E|X|^p I(|X|>n^{t/p} )+n^{1-r}E|X|^p I(|X|>n^{1/p} ) \to 0. \end{eqnarray*} 因此,要证明$I_2<\infty$,只需证 $$ I_2^*=\sum_{n=1}^\infty n^{rp-2}P\left(\sum_{i=1}^n a_{ni} \left(X_{ni}^{(2)}-EX_{ni}^{(2)}\right)>\varepsilon n^{1/p}/10\right)<\infty. $$ 由引理2.1知对任意$n\geq1$, $\{X_{ni},1\leq i\leq n\}$是NOD的. 于是由Markov不等式,引理2.2 及条件$0\leq a_{ni}\leq 1$,对任意$s\geq 2$有

\begin{eqnarray} I_2^* &\le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}\left\{\sum_{i=1}^n a_{ni}^s E|X_{ni}^{(2)}|^s +\left(\sum_{i=1}^n a_{ni}^2 E|X_{ni}^{(2)}|^2\right)^{s/2}\right\} \nonumber\\ & \le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-1-s/p} E|X_{n1}^{(2)}|^s +C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p+s/2}\left( E|X_{n1}^{(2)}|^2\right)^{s/2}\nonumber\\ &:=& CI_{21}^*+CI_{22}^*. \end{eqnarray}

(2.3)

当$rp\ge 2$时,取$s$满足$s>(r-1)/(1/p-1/2)$,并且此时还有$E|X|^2<\infty$. 容易知道 $$ I_{22}^*\le C\sum_{n=1}^{\infty} n^{(rp-s)/p-2+s/2}\left(E|X|^2\right)^{s/2}<\infty. $$ 因$s>rp$,由标准的计算可知

\begin{eqnarray} I_{21}^* &\le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{(rp-s)/p-1} E|X|^sI(|X|\le n^{1/p}) +C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-1}P(|X|> n^{1/p})\nonumber\\ &\le & C E|X|^{rp}<\infty. \end{eqnarray}

(2.4)

当$0<rp<2$时,取$s=2$,此时(2.3)式中$I_{21}^*=_{22}^*$. 由于$s>rp$,(2.4)式同样成立. 因此$I_2<\infty$.

对于$I_3$,易知 \begin{eqnarray*} I_3 & \le& \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\bigcup_{i=1}^n (X_{ni}^{(3)}\neq 0)\right) \le \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}\sum_{i=1}^n P(|X_i|>n^{1/p})\\ & = &\sum_{n=1}^\infty n^{r-1} P(|X|>n^{1/p})\le CE|X|^{rp}<\infty. \end{eqnarray*} 这就完成了引理的证明.

引理2.5 在定理1.1的条件下,若进一步假设对任意$1\le i\le n$ 及 $n\ge 1$有$a_{ni}=0$或$|a_{ni}|>1$,且对某$q>rp$,$\sum\limits^n_{i=1}|a_{ni}|^q\leq n$. 则对任意$\varepsilon>0$,(1.2)式成立.

证 设$t$同引理2.4. 不失一般性可设, $a_{ni}\ge 0$. 由HÖlder不等式

\begin{equation} \sum_{i=1}^n a_{ni}^\tau\le n,~~\forall~0<\tau\le q. \end{equation}

(2.5)

当$rp<2$时,由上式可不妨设$q\in(rp,2)$. 对任意 $1\le i\le n,n\ge 1$,令 $$ X_{ni}^{(1)}=-n^{t/p}I(a_{ni}X_i<-n^{t/p})+a_{ni}X_iI(|a_{ni}X_i|\le n^{t/p})+n^{t/p}I(a_{ni}X_i>n^{t/p}), $$ $$ X_{ni}^{(2)}=\left(a_{ni}X_i-n^{t/p}\right)I(n^{t/p}<a_{ni}X_i\le n^{1/p})+n^{1/p}I(a_{ni}X_i>n^{1/p}), $$ $$ X_{ni}^{(3)}=\left(a_{ni}X_i-n^{t/p}-n^{1/p} \right)I(a_{ni}X_i>n^{1/p}), $$ $$ X_{ni}^{(4)}=\left(a_{ni}X_i+n^{t/p}\right)I( -n^{1/p}\le a_{ni}X_i<-n^{t/p})-n^{1/p}I(a_{ni}X_i<-n^{1/p}), $$ $$ X_{ni}^{(5)}=\left(a_{ni}X_i+n^{t/p}+n^{1/p}\right)I(a_{ni}X_i<-n^{1/p}). $$ 于是对任意给定$\varepsilon>0$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j a_{ni}X_i\right|>\varepsilon n^{1/p}\right)\\ &\le& \sum_{l=1}^5 \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j X_{ni}^{(l)}\right|>\varepsilon n^{1/p}/5\right) :=\sum_{l=1}^5 I_l. \end{eqnarray*} 因此要证(1.2)式,只需证明$I_l<\infty$,$l=1,2,3,4,5$. 因$I_4<\infty$的证明与$I_2<\infty$类似, $I_5<\infty$的证明与$I_3<\infty$类似,故只需证明$I_1<\infty,I_2<\infty,I_3<\infty$

对$I_1$,因$EX=0,rp>p,1/2<1/p\le 1,(1-1/p)/(r-1/p)<t<1$并由(2.5)式知,当$n\rightarrow \infty$时有 \begin{eqnarray*} n^{-1/p} \max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j X_{ni}^{(1)}\right| &\le & 2 n^{-1/p} \sum_{i=1}^n E\left|a_{ni} X_{i}\right|I(|a_{ni}X_i|>n^{t/p} ) \\ & \le &2n^{-1/p-(rp -1)t/p} \sum_{i=1}^n a_{ni}^{rp} E\left| X_{i}\right|^{rp} I(|a_{ni}X_i|>n^{t/p})\\ & \le& Cn^{-1/p-(rp-1)t/p} \sum_{i=1}^n a_{ni}^p\\ &\le& C n^{1-1/p-(rp -1)t/p} \to 0. \end{eqnarray*} 因此要证$I_1<\infty$,只需证 $$ I_1^*=\sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^j \left(X_{ni}^{(1)}-EX_{ni}^{(1)}\right)\right|>\varepsilon n^{1/p}/10\right)<\infty. $$ 注意到对任意$n\geq1$,$\{X_{ni}^{(1)},1\leq i\leq n\}$是NOD的,于是由Markov不等式, 引理2.3,对任意$s\ge 2$有

\begin{eqnarray} I_1^* & \le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}(\log n)^s \sum_{i=1}^n E|X_{ni}^{(1)}|^s +C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}(\log n)^s \left(\sum_{i=1}^n E|X_{ni}^{(1)}|^2\right)^{s/2} \nonumber\\ &:=& CI_{11}^*+CI_{12}^*. \end{eqnarray}

(2.6)

当$rp\ge 2$时,取$s$使得$s>(r-1)/(1/p-1/2)$,并且此时有$E|X|^2<\infty$. 由(2.5)式 $$ I_{12}^*\le C\sum_{n=1}^{\infty} n^{(p -r) \alpha -2}(\log n)^r \left(\sum_{i=1}^n a_{ni}^2E|X|^2\right)^{r/2}\le C\sum_{n=1}^{\infty} n^{(p -r) \alpha -2+r/2}(\log n)^r <\infty. $$ 因$s>rp$,$0<t<1$,由Markov不等式及(2.5)式有

\begin{eqnarray} I_{11}^* & \le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}(\log n)^s\left\{ \sum_{i=1}^n \left( E|a_{ni}X_i|^sI(|a_{ni}X_i|\le n^{t/p})+n^{ts/p}P(|a_{ni}X_i|> n^{t/p})\right)\right\} \nonumber\\ & \le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}(\log n)^s\left\{ \sum_{i=1}^n n^{(s-rp)t/p}a_{ni}^{rp} E|X_i|^{rp} \right\} \nonumber\\ & \le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{(rp-s)(1-t)/p-1}(\log n)^sE|X|^{rp}<\infty. \end{eqnarray}

(2.7)

当$rp<2$时,取$s=2$,此时(2.6)式中$I_{11}^*=I_{12}^*$. 因$s>rp$,$0<t<1$,(2.7)式同样成立. 因此$I_1<\infty$得证.

对$I_2,$ 注意到 $$ I_2= \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\sum_{i=1}^n a_{ni}X_{ni}^{(2)}>\varepsilon n^{1/p}/5\right), $$ 以及因$0\leq (1-1/p)/(r-1/p)<t<1,r>1$,由(2.5)式当$n\to \infty$时有 \begin{eqnarray*} 0& \le& n^{-1/p} \sum_{i=1}^n E (X_{ni}^{(2)} ) \\ &\le & n^{-1/p}\sum_{i=1}^n \left\{E a_{ni}X_{i}I(n^{t/p}<a_{ni}X_i\le n^{1/p})+n^{1/p} P(a_{ni}X_i>n^{1/p})\right\} \\ & \le& \sum_{i=1}^n \left\{n^{-1/p}E a_{ni}X_{i}I(a_{ni}X_i>n^{t/p})+P(a_{ni}X_i>n^{1/p})\right\} \\ & \le & \sum_{i=1}^n \left\{ n^{-(rp-1)t/p-1/p}E |a_{ni}X_{i}|^{rp} I(|a_{ni}X_i|>n^{t/p}) +n^{-r}E |a_{ni}X_{i}|^{rp} I (|a_{ni}X_i|>n^{1/p})\right\} \\ & \le &C \sum_{i=1}^n a_{ni}^{rp} \left( n^{-(rp-1)t/p-1/p} +n^{-r} \right) \\ & \le &C n^{1-1/p-(rp-1)t/p} +Cn^{1-r} \to 0. \end{eqnarray*} 于是要证$I_2<\infty$只需要证 $$ I_2^*=\sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\sum_{i=1}^na_{ni} \left(X_{ni}^{(2)}-EX_{ni}^{(2)}\right)>\varepsilon n^{1/p}/10\right)<\infty. $$ 注意到对任意$n\geq1$,$\{X_{ni}^{(2)},1\leq i\leq n\}$是NOD的, 由Markov不等式,引理2.3,对任意$s\ge 2$有

\begin{eqnarray} I_2^* &\le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}\sum_{i=1}^n E|a_{ni}X_{ni}^{(2)}|^s +C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}\left(\sum_{i=1}^n E|a_{ni}X_{ni}^{(2)}|^2\right)^{s/2} \nonumber\\ &:=& CI_{21}^*+CI_{22}^*. \end{eqnarray}

(2.8)

当$rp\ge 2$时,取$s$使得$s>\{(r-1)/(1/p-1/2),q\}$,并且此时$EX^2<\infty$. 由Markov不等式,(2.5)式有 \begin{eqnarray*} I_{22}^*& \le & C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}\left(\sum_{i=1}^n E\left\{\left|a_{ni}X_i\right|^2I(|a_{ni}X_i|\le n^{1/p})+n^{2/p}P(|a_{ni}X_i|>n^{1/p})\right\}\right)^{s/2}\\ & \le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p} \left(\sum_{i=1}^n a_{ni}^2E|X|^2\right)^{s/2}\le C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p+s/2}<\infty. \end{eqnarray*} 由$C_r$不等式,并类似于文献^[13]中(2.21)-(2.23)式有

\begin{eqnarray} I_{21}^* & \le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}\sum_{i=1}^n E\left\{\left(a_{ni}X_i\right )^sI(n^{t/p}<a_{ni}X_i\le n^{1/p})+n^{s/p}I(a_{ni}X_i>n^{1/p})\right\} \nonumber\\ & \le& C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2-s/p}\sum_{i=1}^nE\left|a_{ni}X_i\right|^sI(|a_{ni}X_i|\le n^{1/p}) + C\sum_{n=1}^{\infty} n^{r-2}\sum_{i=1}^n P(|a_{ni}X_i|>n^{1/p}) \nonumber\\ & \le &CE|X_1|^p<\infty. \end{eqnarray}

(2.9)

当$rp<2$时,取$r=2$,此时(2.8)式中$I_{21}^*=I_{22}^*$. 类似文献[13,引理2.4]的证明, (2.9)式同样成立. 这就证明了$I_2<\infty$.

类似文献[1,引理2.4]的证明,有 \begin{eqnarray*} I_3 &\le & \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\bigcup_{i=1}^n (X_{ni}^{(3)}\neq 0)\right)\\ &\le &\sum_{n=1}^\infty n^{r-2}\sum_{i=1}^n P(|a_{ni}X_i|>n^{1/p})\le CE|X|^{rp}<\infty. \end{eqnarray*} 这就完成了引理的证明.

定理1.1的证明 先证充分性. 由条件(1.1),不妨设对某$q>rp$ $$ \sum^n_{i=1}|a_{ni}|^q\leq n. $$ 对任意$n\geq1$,$1\leq i\leq n$,如果$|a_{ni}|\leq1$,则令 $$ a_{ni}'=a_{ni},\ \ a_{ni}''=0; $$ 如果$|a_{ni}|>1$,则令 $$ a_{ni}'=0,\ \ a_{ni}''=a_{ni}. $$ 于是要证(1.2)式成立,只需要证对任意$\varepsilon>0$有

$$ \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^ja_{ni}'X_i\right|>\varepsilon n^{1/p}\right)<\infty $$

(2.10)

及

$$ \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^ja_{ni}''X_i\right|>\varepsilon n^{1/p}\right)<\infty. $$

(2.11)

由引理2.4与引理2.5知(2.10)与(2.11)式分别成立.

再证必要性. 对任意$n\geq1$,$1\leq i\leq n$,令$a_{ni}=1$. 此时(1.2)式为 $$ \sum_{n=1}^\infty n^{r-2}P\left(\max_{1\le j\le n}\left|\sum_{i=1}^jX_i\right|>\varepsilon n^{1/p}\right)<\infty. $$ 由上式类似于文献^[10]的证明知$EX=0,E|X|^{rp}<\infty$. 定理得以证明.