本文考虑可压缩的欧拉-泊松方程组

$$ \label{eqn 1.1} \left \{ \begin{array}{lll} \rho_{t} + \mbox{div}_x (\rho {\bf{v}}) = 0,\\ \rho {\bf v}_t +(\rho {\bf{v}}\cdot\nabla_x) {\bf{v}}+\nabla_x P+\rho\nabla_x \Phi =0,\\ (\rho S)_t+\mbox{div}_x (\rho{\bf{v}} S)=0, \end{array} \right. $$

(1.1)

$$\label{eqn 1.2} \Delta_x \Phi=4\pi g\rho, $$

(1.2)

其中$t \ge 0$和$x \in {R^3}$分别为时间和空间变量, $\rho=\rho(t,x)$ ,$v=v(t,x)\in {R^3}$ ,$S=S(t,x)$, $\Phi=\Phi(t,x)$分别表示气体密度、运动速度、熵函数和自引力位势,$g$是自引力常数, $P(\rho,S)$表示气体压力,它满足状态方程

$$\label{eqn 1.3} P=\rho^{\gamma }e^{S}, $$

(1.3)

这里$\gamma>1$为绝热常数.

欧拉方程组(1.1)包括质量守恒方程、动量守恒方程及能量守恒方程, 它和泊松方程描述了具自引力势能的气态星体内部气体的运动发展 规律. 关于方程组的平衡解,无论是解的存在唯一性、多重性还是稳定性都依 赖于绝热常数$\gamma$和熵函数(参见文献^{[1, 2, 3, 4]}及其参考文献).

对于旋转气态星体,当$\gamma>\frac{4}{3}$时,若给定总质量作为约束条件, Li Yanyan^[5]研究了等熵一致旋转(即熵和角速度都为 常数)星体的内部结构. 随后,Chanillo,Sagun 和 Li Yanyan^[6]研究了文献^[5] 中所得解$\rho$的紧支集的半径. 当 $1<\gamma<2$,气体以角速度$\theta(x)$ (与时间无关)绕轴旋转时, 质量守恒和能量守恒自然满足,Luo T 和 Smoller J^[2]得到了 熵函数光滑时径向对称平衡解的存在性及其性质以及径向解的非存在性结果; 而邓引斌和谢华朝^[7],谢华朝和李素丽^[8]则研究了 熵函数不光滑即有奇异点时平衡解的存在性和多重性. 对于非旋转气态星体, 当气体处于静止状态即速度${v=0}$时,质量守恒和能量 守恒也自然满足,邓引斌 等^[9]研究了平衡解的存在性和稳定性; 而当${v\neq0}$和熵函数光滑时,邓引斌和杨彤^[10]在假 设质量守恒方程和能量守恒方程满足的前提下研究了平衡解的存在性、唯一性和多重性. 作者先后通过两个变量变换 $w=\frac{\gamma}{\gamma-1}\big(e^{\frac{S}{\gamma}}\rho\big)^{\gamma-1}$ 和 $u=e^{\frac{S}{2\gamma}}w$, 把方程组 (1.1) 和 (1.2)化为 $$ \Delta u -a(x)u +K(x)u^q -f(x)e^{-\frac{\alpha}{2}S}=0, $$ 其中 $$ a(x)=\frac{\alpha }{2}\Delta S +\frac{\alpha^2}{4}|\nabla S|^2, K(x)=K e^{\frac{2-3\gamma}{2\gamma(\gamma-1)}S}, $$ $$ \alpha =\frac{1}{\gamma},q=\frac{1}{\gamma-1},K=4 \pi g \Big(\frac{\gamma-1}{\gamma}\Big)^{\frac{1}{\gamma-1}}. $$ 然后在有界光滑区域$Ωega \subset R^3$上系统地研究了下列带参数σ的Dirichlet边值问题的解 $$ \left \{ \begin{array}{ll} -\Delta u +a(x)u =K(x)u^q -σ f(x)e^{-\frac{\alpha}{2}S},\ x\in Ωega,\\ u|_{\partial Ωega}=0. \end{array} \right. $$ 在文献^[10]中,作者假设$S(x)\in C^3(\bar Ωega)$使得$a(x)\ge 0$, 从而使得算子$-\Delta +a(x)$是个正算子. 并且可以直接应用强极值原理. 但如果熵函数不具有这么强的光滑性条件, 方程$(1.1)_2$的解还是否存在? 为此,在假设质量守恒和能量守恒满足的情况下, 方程组可写成如下形式

$$\label{eqn 1.4} \mbox{div}\Big(\frac{1}{\rho}\nabla P\Big)+\Delta \Phi -f(x)=0, $$

(1.4)

其中$ f(x)=-\mbox{div}({ v}\cdot \nabla{ v}). $ 基于变量的物理意义,我们考虑下列椭圆型方程Dirichlet边值问题

$$\label{eqn 1.5} \left \{\begin{array}{lll} \mbox{div}\Big(\frac{1}{\rho}\nabla P\Big)+\Delta \Phi -f(x)=0,\ \ x\in Ωega, \\[2mm] \rho|_{\partial Ωega}=0;\ \ \rho(x)>0,\ x\in Ωega, \end{array} \right. $$

(1.5)

这里$Ωega$是$R^3 $中的有界光滑区域.

我们引入非线性变换

$$\label{eqn 1.6} u=\frac{\gamma}{\gamma-1}e^S \rho^{\gamma-1}. $$

(1.6)

代入方程(1.5)得

$$\label{eqn 1.7} \left \{\begin{array}{lll} \mbox{div}(e^{-\alpha S}\nabla u)-\frac{1}{\gamma}(\Delta S)e^{-\alpha S} u +K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\alpha S}u^q - σ f(x)e^{-\alpha S}=0,\\[2mm] u|_{\partial Ωega}=0;\ \ u(x)>0,\ x\in Ωega, \end{array} \right. $$

(1.7)

其中$\alpha=\frac{1}{\gamma},$ $ q=\frac{1}{\gamma-1}$, $ σ f(x)=-\mbox{div}({ v}\cdot \nabla{ v})$,$σ>0$ 是参数, $$\int_Ωega |f(x)|^2 {\rm d}x=1. $$ 当$f(x)$和$\Delta S$变号时, 强极值原理不能直接应用,这给研究带来一定的困难. 但我们可看到Dirichlet边值问题(1.7)可看成是边值问题

$$\label{eqn 1.8} \left \{ \begin{array}{lll} -\mbox{div}(e^{-\alpha S}\nabla u)+\frac{1}{\gamma}(\Delta S)e^{-\alpha S} u =- f(x)e^{-\alpha S}, \ x\in Ωega,\\[2mm] u|_{\partial Ωega} =0; u(x)\ge 0,\ x\in Ωega \end{array} \right. $$

(1.8)

的一个扰动. 向建林^[11]降低熵函数的光滑性,得到了 $\frac{6}{5}<\gamma<2$时平衡解存在的一个充分条件. 本文将考虑 $1<\gamma<\frac{6}{5}$时平衡解的存在性,为此我们假设

$(H_1)$ 具Dirichlet零边值条件的算子$-\mbox{div} \big(e^{-\alpha S}\nabla \big)+\frac{1}{\gamma}(\Delta S)e^{-\alpha S}$ 的第一特征值 $\alpha_1=\alpha_1(Ωega)$大于零.

在给出结论之前对一些符号进行说明,本文中始终用$C$表示常数. 用 $H_0^1(Ω)$表示带权的Sobolev空间,其范数定义为 $$ \|u\| :=\bigg[\int_Ω e^{-\alpha S}|\nabla u|^2 {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{2}}; $$ $H^{-1}(Ω)$是$H_0^1(Ω)$的对偶空间; $L^p(Ω)$表示带权的$L^p$空间,其范数定义为 $$ \|u\|_p :=\bigg(\int_Ω e^{-\alpha S}|u|^p {\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}},\ 1\le p<+\infty. $$

定理 1.1 设$Ωega \subset R^3$是星形区域,$1<\gamma<\frac{6}{5}$, $f(x)\in C^{1}(\bar Ωega)\setminus\{0\}$. 若$S(x)\in C^3 (\bar Ωega)$满足$(H_1)$和以下条件

$$\label{eqn 1.9} x \cdot \nabla S \le 0,2e^{-\frac{S}{\gamma}}\Delta S +x \cdot \big( e^{-\frac{S}{\gamma}}\Delta S \big)\ge 0, $$

(1.9)

$$\label{eqn 1.10} \frac{6}{\gamma}-5 +\frac{2(2\gamma-1)}{\gamma^2}\min_{x\in \bar Ωega}x \cdot \nabla S =m >0. $$

(1.10)

则存在常数$σ_0>0$,使得边值问题(1.7)对任意的$σ\in(0,σ_0)$ 有解的充分必要条件是方程(1.8)可解.

注记 由文献[11,引理2.1]可知, 如果$f(x)\in C^{1}(\bar Ωega)\setminus\{0\}$在分布意义下小于等于零, $S(x)\in C^{2,\nu} (\bar Ωega)$满足$(H_1)$,则方程(1.8)可解.

本节主要证明一个类似于Pohozaev等式的恒等式,我们称之为Pohozaev型恒等式.

引理2.1 设$Ωega$是$R^3$中的有界光滑区域,$h\in C(\bar Ωega \times R, R)$. 若$u\in C^2 (\bar Ωega)$是下列边值问题的解

\begin{equation} \label{eqn 2.1} \left \{ \begin{array}{ll} -\mbox{div}(e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla u) = h(x,u(x)),x\in Ωega,\\ u|_{\partial Ωega}=0. \end{array} \right. \end{equation}

(2.1)

则对任意固定的向量$x_0 \in R^3$有恒等式

\begin{eqnarray}\label{ eqn 2.2} \int_{\partial Ωega}e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 (x-x_0)\cdot \nu {\rm d}s &= &6 \int_Ωega H(x,u){\rm d}x -\int_Ωega h(x,u)u {\rm d}x \nonumber\\ && +2\int_Ωega (x-x_0)\cdot \nabla_x H(x,u){\rm d}x \nonumber\\ && +\frac{1}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 (x-x_0)\cdot \nabla S {\rm d}x, \end{eqnarray}

(2.2)

这里 $$H(x,u)=\int_0^u h(x,z){\rm d}z, $$ $ \nu$表示$\partial Ωega$上$x$处的单位外法向量, $\nabla_x H(x,u)$表示关于变量 $x$的梯度.

证 为计算方便,不妨设$x_0=0$. 在方程(2.1)两边同乘以$x\cdot \nabla u$,再在$Ωega$上积分,得到

\begin{eqnarray} \int_Ωega h(x,u)(x\cdot \nabla u) {\rm d}x & = &\int_Ωega -\mbox{div}(e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla u)(x\cdot \nabla u) {\rm d}x \nonumber\\ & = & \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla u \cdot \nabla(x\cdot \nabla u) {\rm d}x -\int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s \nonumber\\ & =&A_1 -\int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2x\cdot \nu {\rm d}s . \end{eqnarray}

(2.3)

现在计算$A_1$如下

\begin{eqnarray} A_1 & =& \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla u \cdot \nabla(x\cdot \nabla u) {\rm d}x \nonumber\\ & = &\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\bigg[\nabla u \cdot \nabla{\Big( \sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial u}{\partial x_i}\Big)} \bigg] {\rm d}x \nonumber\\ & = &\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\sum_{j=1}^3 \bigg[\frac{\partial u}{\partial x_j} \cdot \frac{\partial}{\partial x_j}\Big( \sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial u}{\partial x_i}\Big)\bigg] {\rm d}x \nonumber\\ & =& \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\sum_{j=1}^3 \bigg[\frac{\partial u}{\partial x_j} \cdot \Big( \frac{\partial u }{\partial x_j}+ \sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \Big)\bigg] {\rm d}x \nonumber\\ & =& \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}} \bigg[|\nabla u|^2 +\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial |\nabla u|^2}{\partial x_i} \bigg] {\rm d}x \nonumber\\ & =& \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x + \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}} x\cdot \nabla \Big( \frac{|\nabla u|^2}{2} \Big){\rm d}x \nonumber\\ & =&\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x +A_2, \end{eqnarray}

(2.4)

\begin{eqnarray} A_2 & =& \int_\Omega e^{-\frac{S}{\gamma}} x\cdot \nabla \Big( \frac{|\nabla u|^2}{2} \Big){\rm d}x \nonumber\\ & =& \frac{1}{2}\int_{\partial \Omega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s -\frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2 \mbox{div} \big( e^{-\frac{S}{\gamma}} x \big){\rm d}x \nonumber\\ & =& \frac{1}{2}\int_{\partial \Omega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s +\frac{1}{2\gamma}\int_\Omega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x - \frac{3}{2}\int_\Omega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x. \end{eqnarray}

(2.5)

将(2.5)式代入(2.4)式得到

\begin{eqnarray} A_1 & = &-\frac{1}{2}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x +\frac{1}{2\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x \nonumber\\ && + \frac{1}{2}\int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}} |\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s. \end{eqnarray}

(2.6)

将此式代入(2.3)式得到

\begin{eqnarray} \int_Ωega h(x,u) (x \cdot \nabla u) {\rm d}x & = & -\frac{1}{2}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x +\frac{1}{2\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x \nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s. \end{eqnarray}

(2.7)

另一方面,因为 $$H(x,u)=\int_0^u h(x,z){\rm d}z, $$ 则由散度公式得 \begin{eqnarray*} \int_Ωega h(x,u) (x \cdot \nabla u) {\rm d}x & =&\int_Ωega x \cdot \big(H_u(x,u)\nabla u\big){\rm d}x \\ & =& \int_Ωega x \cdot \nabla H(x,u) {\rm d}x - \int_Ωega x \cdot \nabla_x H(x,u){\rm d}x \\ & =& \int_{\partial Ωega} H(x,u)x \cdot \nu {\rm d}s -3 \int_Ωega H(x,u){\rm d}x - \int_Ωega x \cdot \nabla_x H(x,u){\rm d}x. \end{eqnarray*} 由于$u|_{\partial Ωega}=0$,所以有 $$ H(x,u)|_{\partial Ωega}=0,\int_{\partial Ωega} H(x,u)x \cdot \nu {\rm d}s =0. $$ 故有

\begin{equation}\label{eqn 2.8} \int_Ωega h(x,u) (x \cdot \nabla u) {\rm d}x =-3 \int_Ωega H(x,u) {\rm d}x - \int_Ωega x \cdot \nabla_x H(x,u){\rm d}x. \end{equation}

(2.8)

结合(2.7)和(2.8)式得到

\begin{eqnarray} &&-\frac{1}{2}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x +\frac{1}{2\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x + 3 \int_Ωega H(x,u) {\rm d}x +\int_Ωega x \cdot \nabla_x H(x,u){\rm d}x \nonumber\\ &=&\frac{1}{2}\int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s. \end{eqnarray}

(2.9)

又在方程(2.1)两边同乘以$u$并在$Ωega$上积分,由散度公式得

\begin{eqnarray} \int_Ωega h(x,u)u {\rm d}x & =& \int_Ωega - u \mbox{div}\big(e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla u\big){\rm d}x \nonumber\\ & =& - \int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}u \nabla u \cdot \nu {\rm d}s + \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x \nonumber\\ & =& \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 {\rm d}x. \end{eqnarray}

(2.10)

将此结果代入(2.9)式得到

\begin{eqnarray} \int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nu {\rm d}s &=& 6 \int_Ωega H(x,u) {\rm d}x +2 \int_Ωega x \cdot \nabla_x H(x,u){\rm d}x \nonumber\\ && - \int_Ωega h(x,u)u {\rm d}x + \frac{1}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla u|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x. \end{eqnarray}

(2.11)

引理证毕.

这一节我们来证明本文的主要结论,即定理 1.1. 首先来证明下面的引理.

引理3.1 设$Ωega$为$R^3$中的星形区域,$1<\gamma<\frac{6}{5},\ f(x)\in C^1(\bar Ωega)\setminus \{0\}$. 若$S(x)\in C^3(\bar Ωega)$满足$(H_1)$和以下条件

\begin{equation} x \cdot \nabla S \le 0,2e^{-\frac{S}{\gamma}}\Delta S +x \cdot \big( e^{-\frac{S}{\gamma}}\Delta S \big)\ge 0, \end{equation}

(3.1)

\begin{equation}\label{eqn 3.2} \frac{6}{\gamma}-5 +\frac{2(2\gamma-1)}{\gamma^2}\min_{x\in \bar Ωega}x \cdot \nabla S =m >0. \end{equation}

(3.2)

则对边值问题$(1.7)$的任意解$u_σ$,有 $$ \|u_σ\| \rightarrow 0,\mbox{当}\ σ \rightarrow 0. $$

证 设$u_σ$是边值问题$(1.7)$的解,令 $u_σ =σ w_σ$, 则$w_σ$是下列边值问题的解

\begin{equation}\label{eqn 3.3} \left\{ \begin{array}{ll} -\mbox{div}(e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla w_σ) +\frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ =σ^{\frac{1}{\gamma-1}-1}K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{1}{\gamma-1}} - f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}, \ x\in Ωega,\\[2mm] w_σ|_{\partial Ωega} =0; w_σ >0\ \ \mbox{于}\ Ωega. \end{array} \right. \end{equation}

(3.3)

对问题(3.3)应用(2.11)式得到

\begin{eqnarray} \int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 x\cdot \nu {\rm d}s & =& 6 \int_Ωega H(x,w_σ) {\rm d}x +2 \int_Ωega x \cdot \nabla_x H(x,w_σ){\rm d}x \nonumber\\ &&+ \frac{1}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}} |\nabla w_σ|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x - \int_Ωega h(x,w_σ)w_σ {\rm d}x, \end{eqnarray}

(3.4)

这里 $$ h(x,w_σ)= σ^{\frac{1}{\gamma-1}-1}K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{1}{\gamma-1}} -\frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ - f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}, $$ \begin{eqnarray*} H(x,w_σ) & =&\int_0^{w_σ} h(x,z){\rm d}z \\ & =&\frac{(\gamma-1) σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}K}{\gamma} e^{-\frac{S}{\gamma-1}} e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} -\frac{\Delta S}{2\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^2 - f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ. \end{eqnarray*} 于是有 $$ h(x,w_σ)w_σ = σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}K e^{-\frac{S}{\gamma-1}} e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} -\frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^2 - f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ, $$ \begin{eqnarray*} x \cdot \nabla_x H(x,w_σ) & =&\frac{(\gamma-1) σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}K}{\gamma} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}x \cdot \nabla \big(e^{-\frac{S}{\gamma-1}} e^{-\frac{S}{\gamma}} \big) -\frac{w_σ^2}{2\gamma}\ x \cdot \nabla \big( e^{-\frac{S}{\gamma}}\Delta S \big) \\ && - x \cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}} \big)w_σ. \end{eqnarray*} 将以上结果代入(3.4)式得

\begin{eqnarray} && \int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 x\cdot \nu {\rm d}s \nonumber\\ &= & 6\Big(1-\frac{1}{\gamma}\Big)σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x -\frac{3}{\gamma} \int_Ωega \Delta S e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^2 {\rm d}x \nonumber\\ &&-6 \int_Ωega f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ {\rm d}x - σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \nonumber\\ && +\frac{1}{\gamma}\int_Ωega \Delta S e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^2 {\rm d}x + \int_Ωega f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ {\rm d}x \nonumber\\ && + 2\Big(1-\frac{1}{\gamma}\Big)σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega K w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}x \cdot \nabla \big(e^{-\frac{S}{\gamma-1}} e^{-\frac{S}{\gamma}} \big){\rm d}x - \frac{1}{\gamma}\int_Ωega w_σ^2 x \cdot \nabla \big( e^{-\frac{S}{\gamma}}\Delta S \big){\rm d}x \nonumber\\ && - 2 \int_Ωega w_σ x \cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}} \big){\rm d}x + \frac{1}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x \nonumber\\ &= & σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega \bigg[5 -\frac{6}{\gamma} - \frac{2(2\gamma-1)}{\gamma^2}x \cdot \nabla S \bigg] K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \nonumber\\ && -\frac{1}{\gamma}\int_Ωega \big[2 \Delta S e^{-\frac{S}{\gamma}} +x \cdot \nabla \big(\Delta S e^{-\frac{S}{\gamma}}\big)\big] w_σ^2 {\rm d}x \nonumber\\ && -\int_Ωega \big[5f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}+2x\cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}\big)\big] w_σ {\rm d}x + \frac{1}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x. \end{eqnarray}

(3.5)

因为$Ωega$是星形区域,所以有$x\cdot \nu \ge 0$,从而有 $$ \int_{\partial Ωega} e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 x\cdot \nu {\rm d}s \ge 0, $$ 结合(3.5)式得到

\begin{eqnarray} && σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega \bigg[ \frac{6}{\gamma}-5 +\frac{2(2\gamma-1)}{\gamma^2}x \cdot \nabla S \bigg] K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \nonumber\\ & \le & \frac{1}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}} |\nabla w_σ|^2 x\cdot \nabla S {\rm d}x -\frac{1}{\gamma}\int_Ωega \big[2 e^{-\frac{S}{\gamma}} \Delta S +x \cdot \nabla \big(e^{-\frac{S}{\gamma}} \Delta S \big)\big] w_σ^2 {\rm d}x \nonumber\\ && -\int_Ωega \big[5f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}+2x\cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}\big)\big] w_σ {\rm d}x. \end{eqnarray}

(3.6)

由于$1<\gamma<\frac{6}{5}$,所以$\frac{6}{\gamma}-5>0$. 若 $S(x)$满足(3.1)和(3.2)式,则由(3.6)式得

\begin{eqnarray} σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}\int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \le -\frac{1}{m}\int_Ωega \big[5f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}+2x\cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}\big)\big] w_σ {\rm d}x. \end{eqnarray}

(3.7)

另一方面,从(3.3)式可得

\begin{eqnarray} \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 +\frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^2 {\rm d}x = σ^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}\int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x - \int_Ωega f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ {\rm d}x. \end{eqnarray}

(3.8)

由$(H_1)$可知存在常数$\alpha_1'>0$使得

\begin{eqnarray} \alpha_1' \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 {\rm d}x \le \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 +\frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_σ^2 {\rm d}x. \end{eqnarray}

(3.9)

于是结合(3.7)与(3.8)式,并应用带权的Hölder不等式和Young不等式,得

\begin{eqnarray} \alpha_1' \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 {\rm d}x & \le& \int_Ωega \bigg[\Big(\frac{5}{m}+1 \Big)f(x) +\frac{2}{m} x\cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}\big)e^{\frac{S}{\gamma}}\bigg] e^{-\frac{S}{\gamma}} w_σ {\rm d}x \nonumber\\ & \le& \|F(x)\|_2 \|w_σ\|_2 \nonumber\\ & \le& C(Ωega)\|F(x)\|_2 \|\nabla w_σ\|_2 \nonumber\\ & \le& \frac{\alpha_1'}{2}\|\nabla w_σ\|_2^2 +\frac{C^2(Ωega)}{2\alpha_1'}\|F(x)\|_2^2, \end{eqnarray}

(3.10)

其中 $$ F(x)= \Big(\frac{5}{m}+1 \Big)f(x) +\frac{2}{m}e^{\frac{S}{\gamma}} x\cdot \nabla \big( f(x)e^{-\frac{S}{\gamma}}\big). $$ 由(3.10)式可得

$$\label{eqn 3.11} \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_σ|^2 {\rm d}x \le C \|F(x)\|_2^2\le C_1, $$

(3.11)

其中$C_1$是不依赖于$σ$的常数. 注意到$u_σ =σ w_σ$,于是由(3.11)式有 $$ \|u_σ\|^2 =σ^2 \|w_σ\|^2 \le σ^2 C_1 \rightarrow 0, \mbox{当}\ σ\rightarrow 0. $$ 故有 $$ \|u_σ\| \rightarrow 0, \mbox{当}\ σ\rightarrow 0. $$ 引理证毕.

定理1.1的证明 由文献[11,性质 2.5]可知, 存在常数$σ_*>0$使得边值问题(1.7)对任意的 $σ \in (0,σ_*)$都存在解. 下面证明必要性,为此设$u_σ$是边值问题(1.7) 的解,令$u_σ =σ w_σ$, 则$w_σ$满足(3.3)式并且由此可得到(3.11)式. 因此可选取子列 $\{w_{σ_j}\}$使得当$j\rightarrow +\infty$时$σ_j \rightarrow 0$,且有 $$ \begin{array}{ll} & w_{σ_j} \rightharpoonup w \mbox{弱收敛于}\ H_0^1(Ωega),\\ & w_{σ_j} \rightarrow w \mbox{强收敛于}\ L^p(Ωega),\ \ 1\le p < 6, \\ & w_{σ_j}\rightarrow w \mbox{a.e. 于}\ Ωega. \end{array} $$ 于是对 $\forall φ \in C_0^{\infty}(Ωega)$,有

$$\label{eqn 3.12} \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla w_{σ_j} \cdot \nabla φ {\rm d}x =\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla w \cdot \nabla φ {\rm d}x +o(1), $$

(3.12)

$$\label{eqn 3.13} \int_Ωega \frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_{σ_j} φ {\rm d}x = \int_Ωega \frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}} w φ {\rm d}x +o(1). $$

(3.13)

则由(3.8)式得 \begin{eqnarray*} && σ_j^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}} e^{-\frac{S}{\gamma}} w_{σ_j}^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \\ &\le & \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_{σ_j}|^2 +\frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}}w_{σ_j}^2 {\rm d}x + \int_Ωega |f(x)|e^{-\frac{S}{\gamma}}w_{σ_j} {\rm d}x \\ & \le & \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}|\nabla w_{σ_j}|^2 {\rm d}x +\frac{\|\Delta S\|_{L^{\infty}(Ωega)}}{\gamma}\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}w_{σ_j}^2 {\rm d}x + \|f\|_2 \|w_{σ_j}\|_2 \\ &\le & \|\nabla w_{σ_j}\|_2^2 +\frac{\|\Delta S\|_{L^{\infty}(Ωega)}}{\gamma}C(Ωega) \|\nabla w_{σ_j}\|_2^2 +\frac{1}{2} \|w_{σ_j}\|_2^2 +\frac{1}{2}\|f\|_2^2 \\ & \le & \bigg[1+\frac{C(Ωega)}{2} +\frac{C(Ωega)\|\Delta S\|_{L^{\infty}(Ωega)}}{\gamma} \bigg] \|\nabla w_{σ_j}\|_2^2 +\frac{1}{2}\|f\|_2^2. \end{eqnarray*} (3.11)式和上述不等式表明 $$ σ_j^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}} \int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_{σ_j}^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \le C. $$ 因为$1<\gamma<\frac{6}{5}$, $\frac{2-\gamma}{\gamma-1}>4>0,$ 因此有

$$\label{eqn 3.14} \int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_{σ_j}^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \le \frac{C}{σ_j^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}}. $$

(3.14)

应用带权的Hölder不等式和(3.14)式,对任意的 $φ \in C_0^{\infty}(Ωega)$,有 \begin{eqnarray*} && \int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_{σ_j}^{\frac{1}{\gamma-1}} φ {\rm d}x \\ &\le & K^{1-\frac{1}{\gamma}} \bigg[\int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_{σ_j}^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \bigg]^{\frac{1}{\gamma}}\ \bigg[\int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} φ^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}{\rm d}x \bigg]^{1-\frac{1}{\gamma}} \\ &\le & K^{1-\frac{1}{\gamma}} \|e^{-\frac{S}{\gamma-1}}\|_{L^{\infty}(Ωega)} \|φ\|_{\frac{\gamma}{\gamma-1}}\cdot \frac{C^{\frac{1}{\gamma}}}{σ_j^{\frac{2-\gamma}{(\gamma-1)\gamma}}}. \end{eqnarray*} 令 $j\rightarrow +\infty$,

$$\label{eqn 3.15} σ_j^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}}\int_Ωega K e^{-\frac{S}{\gamma-1}}e^{-\frac{S}{\gamma}} w_{σ_j}^{\frac{1}{\gamma-1}} φ {\rm d}x \le C σ_j^{\frac{2-\gamma}{\gamma-1}-\frac{2-\gamma}{(\gamma-1)\gamma}} = C σ_j^{\frac{2-\gamma}{\gamma}} \rightarrow 0. $$

(3.15)

则由(3.3),(3.12)-(3.15)式得

$$\label{eqn 3.16} \int_Ωega e^{-\frac{S}{\gamma}}\nabla w \cdot \nabla φ + \frac{\Delta S}{\gamma}e^{-\frac{S}{\gamma}} w φ {\rm d}x =-\int_Ωega f(x) φ e^{-\frac{S}{\gamma}}{\rm d}x,\ \forall φ \in C_0^{\infty}(Ωega). $$

(3.16)

这表明$w(x)\ge 0$是方程(1.8)的弱解,根据椭圆正则化理论^[12]知$w(x)\ge 0$是方程(1.8)的古典解. 定理证毕.