设矩阵$A$,$B\in M_n({\Bbb C})$满足矩阵A是正定矩阵,矩阵B是正半定矩阵. 在文献^[1]中, 对于$0\leq v\leq1$, 分别称$A\sharp_v B= A^\frac{1}{2}(A^{-\frac{1}{2}}BA^{-\frac{1}{2}})^{1-v}A^\frac{1}{2}$, $(1-v)A+vB$, $H_v(A,B)=\frac{A\sharp_v B+A\sharp_{1-v} B}{2}$ 为矩阵A与B关于参数$v$的$v$ -权geometric平均, $v$ -权arithmetic平均,$v$ -权Heinz型平均,其中, $v$ -权Heinz型平均是介于geometric平均与arithmetic平均之间的交叉平均.

记$s_j(A)$,$j=1,2,\cdots,n$为矩阵$A\in M_n({\Bbb C})$的奇异值, 该奇异值为矩阵$|A|=(A^*A)^\frac{1}{2}$ 的特征值按照降序排列且按照重复个数重复出现.有关矩阵奇异值的更多突出的结论见文献^[2]. 在文献^{[3, 4]}中, Bhatia,Kittaneh研究了有关矩阵的arithmetic平均,geometric平均及Heinz型平均的奇异值不等式. 在文献^[5] 中,作者给出了一些新的有关矩阵奇异值的不等式,新形式中包含了arithmetic平均, geometric平均及Heinz型平均的差异. 在上述这些工作的基础上,我们可以更好地理解arithmetic平均,geometric平均及Heinz型平均之间的关系, 这也有助于我们研究有关$\tau$ -可测算子的arithmetic平均,geometric平均及Heinz型平均之间的关系.

在文献^[6]中,Kittaneh,Manasrab给出了有关矩阵的Young不等式及Heinz型不等式的改进形式,此外, 他们在后期的工作中给出了有关矩阵及Hilbert-Schmidt范数的Young不等式及Heinz型不等式的逆向不等式.

本文给出了有关$\tau$ -算子的arithmetic平均,geometric平均及Heinz型平均的奇异值不等式, 此外,我们以广义奇异值的性质为主要工具,通过借鉴Kittaneh,Manasrab的方法, 将文献^[8]中的结论推广至$\tau$ -可测算子的情形. 关于广义奇异值的定义及性质见文献^[7].

本文用${\cal M}$表示作用在Hilbert空间${\cal H}$上且赋予了一个正规忠实半有限迹$\tau$的半有限von Neumann代数. 记1为${\cal M}$中的单位算子,记${\cal P}$为${\cal M}$的投影算子格. 设$x$为作用在${\cal H}$上的定义域为$D(x)$的闭稠定线性算且满足$D(x)\subseteq {\cal H}$.记${\cal M^\prime}$为${\cal M}$的交换子, 若对于一切酉算子$u\in{\cal M}$,有$u^*xu=x$,则称$x$是附属于${\cal M}$的. 设$x$附属于${\cal M}$,若对于每个$\epsilon>0$, 存在一个投影算子$e\in {\cal M}$,使得$e({\cal H})\subseteq D(x)$且 $\tau(1-e)<\epsilon$,则称$x$ 为$\tau$ -可测算子. 我们用$L_0({\cal M},\tau)$表示由一切$\tau$ -可测算子构成的集合,简记为$L_0({\cal M})$. $L_0({\cal M})$ 中的和与积分别分别定义为代数和与代数闭包, 则集合$L_0({\cal M})$成为具有和运算与积运算的$*$ -代数. 设$x$为闭稠定线性算子,则$x$有唯一的极分解,记作$x=u|x|$,其中$u$为部分等距算子, 满足$u^*u=(\ker x)^\perp$且$uu^*=\overline{imx}$(这里$imx=x(D(x)))$. 分别称$r(x)=(\ker x)^\perp$,$l(x)=\overline{imx}$为$x$的右支撑,左支撑. 若$x$是自伴算子,记$s(x)=r(x)$,称$s(x)$为$x$的支撑.

设$0<p<\infty$,记$L_p({\cal M},\tau)$为由一切满足

$$\|x\|_p=\tau(|x|^p)^{\frac{1}{p}}<\infty$$ 的$\tau$ -可测算子构成的集合.此外,令$L^\infty({\cal M},\tau)={\cal M}$,记$\|\cdot\|_\infty(=\|\cdot\|)$为通常的算子范数.容易知道,当$1\leq p<\infty$时, $L_p({\cal M},\tau)$以范数$\|\cdot\|_p$成为一个Banach空间,且此空间具有经典 的$L_p$空间具有的一些理想的性质(参见文献^[9]).

设$x$为$\tau$ -可测算子,设$t>0$. 对$~\forall~t>0$,我们定义$x$的广义奇异值为

$$\mu_t(x)=\inf \{\|xe\|: \ e \in{\cal P},\; \tau(1-e)\leq t\}.$$ 关于广义奇异值的基本性质与具体知识参见文献^[7].

设$x$,$y\in L_0({\cal M})_+$,且$x$是可逆算子.记$x\sharp y$为算子$x$与$y$的geometric平均,定义如下

$$x\sharp y=x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^\frac{1}{2}x^\frac{1}{2}.$$

对于$0\leq v\leq1$,分别称$x\sharp_v y=x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{1-v}x^\frac{1}{2}$, $vx+(1-v)y$及$H_v(x,y)=\frac{x\sharp_v y+x\sharp_{1-v} y}{2}$ 为$x$与$y$的$v$ -权geometric平均,$v$ -权arithmetic平均及$v$ -权Heinz型平均. 容易知道,当$v=\frac{1}{2}$时,$\frac{1}{2}$ -权geometric平均即为geometric平均. 此外,若$x$与$y$是可交换的,则$x\sharp_v y=x^vy^{1-v}$. 此外,容易证明

$$\begin{equation} x(x^{-1}yx^{-1})^{1-v}x\leq vx^2+(1-v)y, \end{equation}$$

(2.1)

特别地,对于一切$0\leq v\leq1$,有

$$\begin{equation} x\sharp_v y\leq vx+(1-v)y. \end{equation}$$

(2.2)

事实上,对每个数量$a\geq0$,有$a^{1-v}\leq (1-v)a+v$,当且仅当$a=1$时等式成立. 对于每个$z\in L_0({\cal M}_+)$,记$z=\int_0^\infty \lambda dE_\lambda$为$z$的谱分解, 则有 $$\begin{eqnarray*} z^{1-v}&=&\int_0^\infty \lambda^{1-v} dE_\lambda \leq\int_0^\infty ((1-v)\lambda +v) dE_\lambda\\ &=&(1-v)\int_0^\infty \lambda dE_\lambda+v\int_0^\infty dE_\lambda\\ &\geq&(1-v)z+v\cdot1, \end{eqnarray*}$$ 当且仅当$z=1$时等式成立.取$z=x^{-1}yx^{-1}$,则有 $$x(x^{-1}yx^{-1})^{1-v}x\leq vx^2+(1-v)y.$$ 特别地,以$x$代替$x^\frac{1}{2}$,由不等式(2.1)可得 $$x\sharp_v y\leq vx+(1-v)y,$$ 当且仅当$x=y$时等式成立.此外,由不等式(2.2)可得 $$H_v(x,y)\leq \frac{1}{2}[vx+(1-v)y+(1-v)x+vy]=\frac{x+y}{2}.$$

下面给出有关$\tau$ -可测算子的arithmetic平均,geometric平均及Heinz型平均的奇异值不等式. 首先,我们将给出有关arithmetic平均,geometric平均的不等式.容易知道,若$x$, $y\in L_0({\cal M})_+$满足 $x\geq y$,则对于$0<v\leq1$,有$x^v\geq y^v$.并且,若$x$,$y$还满足$xy=yx$, 则对于$v>0$,有$x^v\geq y^v$. 首先我们给出如下结论.

命题2.1 设$x$,$y\in L_0({\cal M})_+$且满足$x\geq y$,设$v>0$.则对于一切$t>0$,有

$$\begin{equation} \frac{1}{8}\mu_t(x^{-\frac{1}{2}}(x-x\sharp_{1-2v}y)^2x^{-\frac{1}{2}})\leq \mu_t\bigg(\frac{x+x\sharp_{1-2v} y}{2}-x \sharp_{1-v} y\bigg). \end{equation}$$

(2.3)

证 不妨假设$x$是可逆的(否则,对于正实数$\epsilon$, 我们将考虑可逆正算子$x_\epsilon=x+\epsilon \cdot 1$. 若对于$\epsilon\rightarrow0$取极限,则不等式(2.3)仍然成立). 因为$x\geq y$,所以

$$x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}}\leq 1.$$ 另一方面,因为$x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}}$与1是可交换的,所以对于$v>0$,有

$$\begin{equation} (x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v\leq 1 \end{equation}$$

(2.4)

与

$$\begin{equation} (x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}\leq 1 \end{equation}$$

(2.5)

成立.此外,利用不等式

$$\begin{equation} (1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)^2\geq0 \end{equation}$$

(2.6)

计算可得

$$\begin{equation} \frac{1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}}{2}\leq 1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v. \end{equation}$$

(2.7)

因为$\frac{1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}}{2}$与$1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v$是可交换的, 所以由不等式(2.4)与(2.5)可得 $$\bigg(\frac{1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}}{2}\bigg)^2\leq (1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)^2,$$ 因此有

$$\begin{equation} x^\frac{1}{2}\bigg(\frac{1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}}{2}\bigg)^2x^\frac{1}{2} \leq x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)^2x^\frac{1}{2}. \end{equation}$$

(2.8)

由文献^[7]中的引理2.5,对于一切$t>0$有

$$\begin{equation} \mu_t\bigg(x^\frac{1}{2}\bigg(\frac{1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}}{2} \bigg)^2x^\frac{1}{2}\bigg) \leq \mu_t(x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)^2x^\frac{1}{2}). \end{equation}$$

(2.9)

记$z=x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v})$, 对$\forall~t>0$,容易知道$\mu_t(z^*z)=\mu_t(zz^*)$.所以对于一切$t>0$,有

$$\begin{eqnarray} &&\mu_t\bigg(x^\frac{1}{2}\bigg(\frac{1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}}{2} \bigg)^2x^\frac{1}{2}\bigg) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t(x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v})(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v})x^\frac{1}{2}) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t(zz^*) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t(z^*z)\nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t((1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v})x^\frac{1}{2}\cdot x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v})) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t((x^\frac{1}{2}-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v} x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{2}-x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v})) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t(x^{-\frac{1}{2}}(x-x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}x^\frac{1}{2})^2x^{-\frac{1}{2}}) \nonumber\\ &=&\frac{1}{4}\mu_t(x^{-\frac{1}{2}}(x-x\sharp_{1-2v} y)^2x^{-\frac{1}{2}}). \end{eqnarray}$$

(2.10)

此外,由

$$\begin{eqnarray} &&x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)^2x^\frac{1}{2} \nonumber\\ &=&x^\frac{1}{2}(1+(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}-2(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)x^\frac{1}{2} \nonumber\\ &=&x+x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}x^\frac{1}{2}-2x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^vx^\frac{1}{2} \nonumber\\ &=&2\bigg(\frac{x+x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{2v}x^\frac{1}{2}}{2}-x^\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^vx^\frac{1}{2}\bigg) \nonumber\\ &=&2\bigg(\frac{x+x\sharp_{1-2v} y}{2}-x\sharp_{1-v} y\bigg) \end{eqnarray}$$

(2.11)

可得,对于一切$t>0$,有

$$\begin{equation} \mu_t(x^\frac{1}{2}(1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v)^2x^\frac{1}{2})= 2\mu_t\bigg(\frac{x+x\sharp_{1-2v} y}{2}-x\sharp_{1-v} y\bigg). \end{equation}$$

(2.12)

综合(2.9),(2.10)及(2.12)式可得(2.3)式成立.

注2.1 注意到,若$x$,$y$及$z$满足命题2.1中的假设,则由(2.11)式可得

$$\begin{eqnarray*} x\sharp_{1-v} y \leq \frac{x+x\sharp_{1-2v} y}{2}, \end{eqnarray*}$$ 当且仅当$x=y$ 时等式成立.另一方面,对于$0\leq v\leq\frac{1}{2}$,由不等式(2.2)可得$x\sharp_{1-2v} y\leq (1-2v)x+2vy$. 由此可得

$$\begin{equation} x\sharp_{1-v} y \leq \frac{x+x\sharp_{1-2v} y}{2}\leq (1-v)x+vy. \end{equation}$$

(2.13)

下面的结果表明不等式(2.3)的逆向不等式成立.

命题2.2 设$x$,$y\in L_0({\cal M})_+$满足$x\geq y$,设$v>0$.则对于一切$t>0$,有

$$\begin{equation} \mu_t\bigg(\frac{y+y\sharp_{1-2v} x}{2}-y\sharp_{1-v} x\bigg)\leq \frac{1}{8}\mu_t(y^{-\frac{1}{2}}(y\sharp_{1-2v} x-y)^2y^{-\frac{1}{2}}). \end{equation}$$

(2.14)

证 与命题2.1的证明类似,我们只需证明当$y$为可逆算子的情形.因为$x\geq y$,所以

$$y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}}\geq 1.$$ 因为$y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}}$与1是可交换的,所以对于$v>0$,有 $$(y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}})^v\geq 1,$$ $$(y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}})^{2v}\geq 1.$$ 另一方面,由$((y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}})^v-1)^2\geq 0$,经过简单计算可得 $$(y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}})^v-1\leq \frac{(y^{-\frac{1}{2}}xy^{-\frac{1}{2}})^{2v}-1}{2}.$$ 应用上述不等式及命题2.1的证明方法即可得到不等式(2.14).

下面给出有关arithmetic平均及Heinz型平均的奇异值不等式.

命题2.3 设$x$,$y\in L_0({\cal M})_+$,满足$x\geq y$,设$0\leq v\leq 1$.则对于一切$t>0$,有

$$\begin{equation} \frac{1}{8}\mu_t(x^{-\frac{1}{2}}(x-H_v(x,yx^{-1}y))^2x^{-\frac{1}{2}}) \leq \mu_t\bigg(\frac{x+x\sharp_{1-2v} H_v(x,y)}{2}-x\sharp_{1-v} H_v(x,y)\bigg). \end{equation}$$

(2.15)

证 我们将应用命题2.1的证明方法仅对$x$为可逆算子的情形加以证明.令

$$z=x^{-\frac{1}{2}}(yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}}.$$ 对于$0\leq v\leq1$,由不等式(2.5)与(2.7)可得

$$\begin{equation} 0\leq \frac{1-z^v}{2}\leq 1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v. \end{equation}$$

(2.16)

对于$0\leq v\leq1$,在不等式(2.16)中以$1-v$代替$v$可得

$$\begin{equation} 0\leq \frac{1-z^{1-v}}{2}\leq 1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{1-v}. \end{equation}$$

(2.17)

不等式(2.16)与(2.17)左右两边分别相加可得

$$\begin{equation} 1-\frac{z^v+z^{1-v}}{2}\leq 2\cdot1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{1-v}. \end{equation}$$

(2.18)

取$z=x^{-\frac{1}{2}}(yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}}$,则对于$0\leq v\leq1$,不等式(2.18)即为如下不等式

$$\begin{equation} 1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}}\leq 2\cdot1-2x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,y)x^{-\frac{1}{2}}. \end{equation}$$

(2.19)

记$Y=x^{-\frac{1}{2}}y^\frac{1}{2}$,则 $$\begin{eqnarray*} 1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}} &=&\frac{(x^{-\frac{1}{2}}(yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}})^v+(x^{-\frac{1}{2}}(yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}})^{1-v}}{2}\\ &=&1-\frac{(YY^*)^{2v}+(YY^*)^{2(1-v)}}{2} \end{eqnarray*}$$ 与 $$\begin{eqnarray*} 2\cdot1-2x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,y)x^{-\frac{1}{2}} &=&2\cdot1-(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^v+(x^{-\frac{1}{2}}yx^{-\frac{1}{2}})^{1-v}\\ &=&2\cdot1-((YY^*)^v+(YY^*)^{1-v}) \end{eqnarray*}$$ 都成立.且容易知道$1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}}$与$2\cdot1-2x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,y)x^{-\frac{1}{2}}$ 是可交换的.综上所述,由不等式(2.19)可得

$$\begin{equation} (1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}})^2\leq 4(1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,y)x^{-\frac{1}{2}})^2, ~~0\leq v\leq1. \end{equation}$$

(2.20)

类似于命题2.1的证明,对于一切$t>0$,由不等式(2.20)可得 $$\begin{eqnarray*} &&\mu_t(x^{-\frac{1}{2}}(x-H_v(x,yx^{-1}y))^2x^{-\frac{1}{2}})\\ &=&\mu_t(x^{-\frac{1}{2}}(x^\frac{1}{2} (1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}})x^\frac{1}{2})^2x^{-\frac{1}{2}})\\ &=&\mu_t(x^\frac{1}{2} (1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,yx^{-1}y)x^{-\frac{1}{2}})^2 x^\frac{1}{2})\\ &\leq& \mu_t(4x^\frac{1}{2} (1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,y)x^{-\frac{1}{2}})^2 x^\frac{1}{2})\\ &=&4\mu_t(x^\frac{1}{2} (1-x^{-\frac{1}{2}}H_v(x,y)x^{-\frac{1}{2}})^2 x^\frac{1}{2})\\ &=&8\mu_t\bigg(\frac{x+x\sharp_{1-2v} H_v(x,y)}{2}- x\sharp_{1-v} H_v(x,y)\bigg). \end{eqnarray*}$$ 证毕.

通过一个与命题2.4相类似的讨论,我们可以知道下面的结论成立.

命题2.4 设$x$,$y\in L_0({\cal M})_+$,满足$x\geq y$,设$0\leq v\leq 1$.则对于一切$t>0$,有

$$\mu_t\bigg(\frac{y+y\sharp_{1-2v} H_v(x,y)}{2}-y\sharp_{1-v} H_v(x,y)\bigg) \leq \frac{1}{8}\mu_t(y^{-\frac{1}{2}}(y-H_v(y,xy^{-1}x))^2y^{-\frac{1}{2}}).$$

引理3.1 设$x$,$y\in L_2({\cal M})$为正算子,设$z\in{\cal M}$.则对于$0\leq v\leq1$,有

$$\|vxz+(1-v)zy\|_2\leq R_0(\|xz\|_2^\frac{1}{2}-\|zy\|_2^\frac{1}{2})^2+ \|xz\|_2^v\cdot\|zy\|_2^{1-v},$$ $$\|vxz+(1-v)zy\|_2^2\leq R_0^2\|xz-zy\|_2^2+ (\|xz\|_2^v\cdot\|zy\|_2^{1-v})^2,$$ 其中,$R_0=\max\{v,1-v\}$.

证 令$a=\|xz\|_2$,$b=\|yz\|_2$.直接应用文献[8,定理2.1]可得上述两个不等式成立.

注3.1 由引理3.1可得

$$\|xz+zy\|_2\leq 2R_0(\|xz\|_2^\frac{1}{2}-\|zy\|_2^\frac{1}{2})^2+ \|xz\|_2^v\cdot\|zy\|_2^{1-v}+\|xz\|_2^{1-v}\cdot\|zy\|_2^v.$$ 因此, $$\frac{\|xz+zy\|_2}{2}\leq R_0(\|xz\|_2^\frac{1}{2}-\|zy\|_2^\frac{1}{2})^2+H_v(\|xz\|_2,\|zy\|_2).$$ 此外,我们还有 $$\|xz+zy\|_2^2\leq 2R_0 \|xz-zy\|_2^2+(\|xz\|_2^v\cdot\|zy\|_2^{1-v}+\|xz\|_2^{1-v}\cdot\|zy\|_2^v)^2.$$

接下来我们针对文献^[8]中证明的数量不等式,给出关于$\tau$ -可测算子的情形. 首先给出如下引理.

引理3.2 设$x\in L_0({\cal M})_+$,设$0\leq v\leq1$.则

$$\begin{equation} r_0(1-x^\frac{1}{2})^2+x^{1-v}\leq v\cdot 1+(1-v)x\leq R_0(1-x^\frac{1}{2})^2+x^{1-v}, \end{equation}$$

(3.1)

其中,$r_0=\min \{v,1-v\}$,$R_0=\max\{v,1-v\}$.

证 记$x$的谱分解为$x=\int_0^\infty \lambda dE_\lambda$.由文献[6,定理2.1]可得

$$\begin{eqnarray*} v\cdot 1+(1-v)x&=&v\cdot\int_0^\infty dE_\lambda+(1-v)\int_0^\infty \lambda dE_\lambda\\ &=&\int_0^\infty (v\cdot 1+(1-v)\cdot \lambda)dE_\lambda\\ &\geq& \int_0^\infty (\lambda^{1-v}+r_0(1-\lambda^\frac{1}{2})^2)dE_\lambda\\ &=&\int_0^\infty \lambda^{1-v}dE_\lambda+r_0\int_0^\infty (1-\lambda^\frac{1}{2})^2 dE_\lambda\\ &=&\bigg(\int_0^\infty \lambda dE_\lambda\bigg)^{1-v}+r_0 \bigg(\int_0^\infty dE_\lambda-\bigg(\int_0^\infty \lambda dE_\lambda\bigg)^\frac{1}{2}\bigg)^2\\ &=&x^{1-v}+r_0(1-x^\frac{1}{2})^2, \end{eqnarray*}$$ 其中,$r_0=\min\{v,1-v\}$. 另一方面,由文献[8,定理2.1]可得 $$\begin{eqnarray*} v\cdot1+(1-v)x&=&\int_0^\infty(v\cdot1+(1-v)\lambda)dE_\lambda\\ &\leq& \int_0^\infty (R_0(1-\lambda^\frac{1}{2})^2+\lambda^{1-v})dE_\lambda\\ &=&R_0\int_0^\infty (1-\lambda^\frac{1}{2})^2dE_\lambda+\int_0^\infty \lambda^{1-v}dE_\lambda\\ &=&R_0\bigg(\int_0^\infty dE_\lambda - \bigg(\int_0^\infty \lambda dE_\lambda\bigg)^\frac{1}{2}\bigg)^2+ \bigg(\int_0^\infty \lambda dE_\lambda\bigg)^{1-v}\\ &=&R_0(1-x^\frac{1}{2})^2+x^{1-v}, \end{eqnarray*}$$ 其中,$R_0=\max\{v,1-v\}$.

下面给出不等式(2.1)的改进形式及其逆向不等式.

定理3.1 设$y$,$z\in L_0({\cal M})$,满足$y$为正算子且$z$为可逆算子.若$x=z^*z$且$0\leq v\leq1$,则

$$\begin{eqnarray} &&r_0[x+y-2z^*(z^{*-1}yz^{-1})^\frac{1}{2}z]+z^*(z^{*-1}yz^{-1})^{1-v}z \nonumber\\ &\leq & vx+(1-v)y \nonumber\\ &\leq& R_0[x+y-2z^*(z^{*-1}yz^{-1})^\frac{1}{2}z]+z^*(z^{*-1}yz^{-1})^{1-v}z, \end{eqnarray}$$

(3.2)

其中,$r_0=\min\{v,1-v\}$,$R_0=\max\{v,1-v\}$.

证 在引理3.2中取$x=z^{*-1}yz^{-1}$,可得

$$\begin{eqnarray*} &&r_0[1+z^{*-1}yz^{-1}-2(z^{*-1}yz^{-1})^\frac{1}{2}]+(z^{*-1}yz^{-1})^{1-v}\\ &\leq& v\cdot 1+(1-v)\cdot(z^{*-1}yz^{-1})\\ &\leq &R_0[1+z^{*-1}yz^{-1}-2(z^{*-1}yz^{-1})^\frac{1}{2}]+(z^{*-1}yz^{-1})^{1-v}. \end{eqnarray*}$$ 不等式两边分别左乘$z^*$,右乘$z$,则有 $$\begin{eqnarray*} &&r_0[z^*z+y-2z^*(z^{*-1}yz^{-1})^\frac{1}{2}z]+z^*(z^{*-1}yz^{-1})^{1-v}z\\ &\leq &v\cdot z^*z+(1-v)\cdot y\\ &\leq &R_0[z^*z+y-2z^*(z^{*-1}yz^{-1})^\frac{1}{2}z]+z^*(z^{*-1}yz^{-1})^{1-v}z. \end{eqnarray*}$$ 记$x=z^*z$,则可以得到(3.2)式成立.

下面我们给出文献[8,不等式(3.3)]对应于$\tau$ -可测算子的情形. 此结果包含了有关$\tau$ -可测算子的Young不等式的改进形式及Young不等式的逆向不等式的改进形式.

推论3.1 设$x$,$y\in L_0({\cal M})_+$,设$0\leq v\leq1$.则

$$\begin{equation} r_0(x+y-2x\sharp y)+x\sharp_v y \leq vx+(1-v)y \leq R_0(x+y-2x\sharp y)+x\sharp_v y, \end{equation}$$

(3.3)

其中,$r_0=\min\{v,1-v\}$,$R_0=\max\{v,1-v\}$.

证 不失一般性,假设$x$是可逆算子(对于一般情形,对$\forall~ \epsilon>0$, 我们考虑可逆正算子$x_\epsilon =x+\epsilon \cdot1$, 对于$\epsilon\rightarrow0$取极限即可得结果成立). 在定理3.1中令$z=x^\frac{1}{2}$即可证明结论成立.

文章最后我们给出有关范数$\|\cdot\|_2$的逆向的Heinz型不等式.为此, 为了后面应用方便,在此先陈述我们之前的工作^[10]中的一个结论.

引理3.3 设$x$,$y\in L_2({\cal M})$为正算子,设$z\in{\cal M}$.则函数

$$f(t)=\|x^vzy^{1-v}+x^{1-v}zy^v\|_2$$ 为[0,1]上的凸函数.

定理3.2 设$x$,$y\in L_2({\cal M})$为正算子,设$z\in{\cal M}$.则对于$0\leq v\leq1$,有

$$\|xz+zy\|_2^2\leq 2R_0\|xz-zy\|_2^2+\|x^vzy^{1-v}+x^{1-v}zy^v\|_2^2,$$ 其中,$R_0=\max\{v,1-v\}$.

证 设$\varphi(v)=\|x^vzy^{1-v}+x^{1-v}zy^v\|_2^2$,则由引理3.3可知$\varphi$为[0,1]上的连续凸函数. 令$f(v)=\|xz+zy\|_2^2-\|x^vzy^{1-v}+x^{1-v}zy^v\|_2^2$,容易知道,$f(v)$为[0,1]上的连续凹函数,所以 $f(v)\leq f(\frac{1}{2})$.因此有

$$\begin{eqnarray*} &&\|xz+zy\|_2^2-\|x^vzy^{1-v}+x^{1-v}zy^v\|_2^2-2R_0\|xz-zy\|_2^2\\ &\leq& \|xz+zy\|_2^2-4\|x^\frac{1}{2}zy^\frac{1}{2}\|_2^2-2R_0\|xz-zy\|_2^2\\ &=&\|xz\|_2^2+\|zy\|_2^2+2\langle xz,zy\rangle -4\langle xz,zy\rangle -2R_0\|xz-zy\|_2^2\\ &=&(1-2R_0)\|xz-zy\|_2^2\leq0, \end{eqnarray*}$$ 其中,$R_0=\max\{v,1-v\}$.