本文总假设 $H$ 为实 Hilbert 空间,其内积和范数分别记为 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 和 $\|\cdot\|$. 令 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集且 $R$ 为实数集. 令 $F:K \times K \rightarrow R$, $A,B: K\rightarrow R$ 和 $\varphi: K\rightarrow R$ 为非线性算子, $S_{i}:K\rightarrow K$ 为非扩张映射,其中 $i=1,2,\cdots$. $P_{K}: H\rightarrow K$ 为投影算子,$I:K\rightarrow K$ 为恒等映射. $N^{+}$ 为正整数集且 $\rho > 0$ 为一个常数.

本文主要考虑以下广义混合均衡问题(简记为 GMEP): 寻找 $\bar{x} \in K$ 使得

\begin{eqnarray} F(\bar{x},y)+\varphi(y)-\varphi(\bar{x})+\langle A\bar{x},y-\bar{x}\rangle\geq0,\forall y\in K.\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{eqnarray}

(1.1)

以下记 GMEP (1.1) 的解集为 GMEP$(F,\varphi,A)$. 关于该问题的相关研究见文献 ^{[1, 2, 3]}. GMEP (1.1) 为我们研究混合变分不等式问题、混合均衡问题、变分不等式问题及 均衡问题提供了一个统一的框架.

如果 $A=0$,则 GMEP (1.1) 即为如下混合均衡问题 (简记为 MEP): 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $F(\bar{x},y)+\varphi(y)-\varphi(\bar{x})\geq0,\forall y\in K$. 以下将该问题的解集记为 MEP$(F,\varphi)$. 关于该问题的近期研究见文献 ^[4].

如果 $F=0$,则 GMEP (1.1) 即为如下混合变分不等式问题(简记为 MVIP): 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $\langle A\bar{x},y-x\rangle+\varphi(y)-\varphi(\bar{x})\geq0,\forall y\in K$. 以下将该问题的解集记为 MVI$(\varphi,A)$.

如果 $F=0$ 且 $\varphi=0$,则 GMEP (1.1) 即为古典变分不等式问题 (简记为 VIP): 寻找 $\bar{x}$ 使得 $\langle A\bar{x},y-\bar{x}\rangle\geq0,\forall y\in K$. 该问题由 Stampacchia^[5]于 1964 年首次提出. 以下将此问题解集记为 $VI(A)$.

如果 $\varphi=0$,则 GMEP (1.1) 即为以下广义均衡问题 (简记为 GEP): 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $F(\bar{x},y)+\langle A\bar{x},y-\bar{x}\rangle\geq0,\forall y\in K$. 以下记该问题的解集为 GEP$(F,A)$.

如果 $A=0$ 且 $\varphi=0$,则 GMEP (1.1) 即为下面的均衡问题 (简记为 EP): 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $F(\bar{x},y)\geq0,\forall y\in K$. 以下记该问题的解集为 EP$(F)$. 该问题首先由 Blum 和 Oettli^[6]于 1994 年提出. 他们建立了该问题与不动点问题、变分不等式问题及互补问题之间的联系.

近几年,为求解(广义)均衡问题,已有大量算法问世,例如: Noor^[7] 利用预测校 正方法构造了求解均衡问题的迭代算法. 随后,Noor 等人又利用辅助技巧研究了求解 非凸均衡问题的迭代算法 (见文献 ^{[8, 9, 10]}). Kim、Anh 和 Hyun 等人利用临近点方法设计 了一些求解均衡问题的迭代算法 (见文献 ^{[11, 12]}). 除了单独研究均衡问题,一些学者也考虑了求解均衡问题与变分不等式问题及不动点 问题公共元的迭代算法.

为求解 $EP(F)\cap (\bigcap\limits^{N}_{i=1}F(S_{i}))\cap VI(K,T)$,Chang 等人^[14] 利用粘滞逼近构造以下迭代算法 $$\left\{\begin{array}{ll} F(u_{n},y)+\frac{1}{r_{n}}\langle y-u_{n},u_{n}-x_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K, \\[2mm] x_{n+1}=\alpha_{n}f(x_{n})+\beta_{n}x_{n}+\gamma_{n}W_{n}k_{n},\\ k_{n}=P_{K}(y_{n}-\lambda_{n}Ty_{n}),\\ y_{n}=P_{K}(u_{n}-\lambda Tu_{}). \end{array}\right.$$

为求解 $EP(F)\cap F(S)$,Tada 和 Takahashi^[13] 通过修正 Mann 迭代给出了以下迭代算法 $$\left\{\begin{array}{ll} \forall x_{0}\in K,\\[2mm] F(u_{n},y)+\frac{1}{r}\langle y-u_{n},u_{n}-x_{n}\rangle,\forall y\in K, \\[2mm] w_{n}=(1-\alpha_{n})x_{n}+\alpha_{n}Su_{n},\\ C_{n}=\{z\in H:\|w_{n}-z\|\leq\|x_{n}-z\|\},\\ Q_{n}=\{z\in C:\langle x_{n}-z,x_{0}-x_{n}\rangle\geq0\},\\ x_{n+1}=P_{C_{n}\cap Q_{n}}x_{0}. \end{array}\right.$$

更多的算法参见文献 ^{[15, 16, 17, 18, 19]} 等. 总结以上算法可以发现求解均衡问题及其相关问题的主要技巧有 投影技巧、辅助技巧和修正的不动点迭代技巧. 另一方面,为求解古典变分不等式问题,Shi^[20] 在 1991 年给出 Wiener-Hopf 方程技巧. 此后,该技巧被不断推广并用于求解多种广义变分不等式问题 (见文献 ^{[21, 22, 23, 24]}). 这些研究表明 Wiener-Hopf 技巧比投影技巧更灵活. 由此提出以下问题:

问题  能否将 Wiener-Hopf 方程技巧用于(广义)均衡问题的算法设计中?

本文将对以上问题给出肯定的答案. 为使所研究的问题更一般,以下考虑求解广义混合均衡问 题、无限个非扩张映射的不动点问题及变分不等式问题的公共元的迭代算法. 相关内容分为五节,第二节介绍一些引理; 第三节给出求解以上公共元的迭代算法并在 Hilbert 空间中分析了该算法的强收敛性; 第四节给出若干推论; 第五节将我们的算法 用于几类优化问题中.

本节介绍一些相关概念和引理. 除非特别说明,以下沿用第一节的记号.

定义 2.1  称映射 $A:K\rightarrow H$ 为

(i) $\mu$-Lipschitz 连续的,如果存在常数 $\mu\geq0$ 使得 $\|Ax-Ay\|\leq\mu\|x-y\|$,$\forall x,y\in K$;

(ii) 单调的,如果 $\langle Ax-Ay,x-y\rangle\geq 0$,$\forall x,y\in K$;

(iii) $r$ -强单调的,如果存在常数 $r>0$ 使得 $\langle Ax-Ay,x-y\rangle\geq r\|x-y\|^{2}$,$\forall x,y\in K$;

(iv) $ \delta$ -逆强单调的,如果存在常数 $\delta>0$ 使得 $\langle Ax-Ay,x-y\rangle\geq \delta\|Ax-Ay\|^{2}$,$\forall x,y\in K$;

(v) 在 $H$ 上是强正的,如果存在常数 $\bar{\gamma}$ 使得 $\langle Ax,x\rangle\geq \bar{\gamma}\|x\|^{2}$,$\forall x\in H$.

为研究广义混合均衡问题解的存在性,需要以下条件. 设函数 $\varphi:K\rightarrow R$ 是凸的和下半连续的,映射 $A:K\rightarrow H$ 是连续的和单调的,映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足

(A1) $F(x,x)=0$,$\forall x\in K$;

(A2) $F$ 是单调的,即: $F(x,y)+F(y,x)\leq 0$,$\forall x,y \in K$;

(A3) $\limsup\limits_{t\rightarrow0}F(x+t(z-x),y)\leq F(x,y)$,$\forall x,y,z \in K$;

(A4) 函数 $y\mapsto F(x,y)$ 是凸的且下半连续的.

利用文献 [2,引理 1.5],容易推出以下结果.

引理 2.1  设 $H$ 为实 Hilbert 空间,$K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集. 映射 $A:K\rightarrow H$ 连续的和单调的,$\varphi:K\rightarrow R$ 为下半连续的凸映射, 映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足条件 (A1)-(A4). 常数 $r>0$ 且 $x\in H$ 为任意给定. 则下列结论成立

(i) 存在 $u\in K$ 使得 $F(u,y)+\langle Au,y-u\rangle+\varphi(y)-\varphi(u)+ \frac{1}{r}\langle y-u,u-x\rangle\geq0,\forall y\in K$;

(ii) 定义映射 $G_{r}:K\rightarrow K$ 如下 \begin{eqnarray*} G_{r}(x)&=&\Big\{u\in K:F(u,y)+\langle Au,y-u\rangle+\varphi(y)-\varphi(u)\\ &&\ \ + \frac{1}{r}\langle y-u,u-x\rangle \geq0,\forall y\in K\Big \},~~ x\in K, \end{eqnarray*} 则 $G_{r}$ 有下列性质

(a) $G_{r}$ 是单值的;

(b) $G_{r}$ 是 firmly 非扩张的,即 $$\|G_{r}z-G_{r}y\|\leq \langle G_{r}z-G_{r}y,z-y\rangle,\forall y,z\in K; $$

(c) $F(G_{r})=GEP(F,\varphi,A)$;

(d) $GEP(F,\varphi,A)$ 为 $K$ 的闭凸子集.

为求解无限个非扩张映射的公共不动点,Shimoji 和 Takahashi^[25] 给出了以下结果.

定义2.2 ^[25]  设 $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射,$\{\lambda_{i} \}$ 为非负实数列且 $0\leq \lambda_{i}<1$,$\forall i\in N^{+}$. 对于 $n\in N^{+}$,定义映射 $W_{n}:K\rightarrow K$ 如下 \begin{eqnarray*} &\ & U_{n,n+1}=I,\\ &\ & U_{n,n}=\lambda_{n}S_{n}U_{n,n+1}+(1-\lambda_{n})I,\\ &\ & U_{n,n-1}=\lambda_{n-1}S_{n-1}U_{n,n}+(1-\lambda_{n-1})I, \\ &\ & \vdots\\ &\ & U_{n,2}=\lambda_{2}S_{2}U_{n,3}+(1-\lambda_{2})I,\\ &\ & W_{n}=U_{n,1}=\lambda_{1}S_{1}U_{n,2}+(1-\lambda_{1})I. \end{eqnarray*}

映射 $W_{n}$ 为 $K$ 到 $K$ 的非扩张映射,称为由 $S_{n},S_{n-1},\cdots,S_{1}$ 和 $\lambda_{n},\lambda_{n-1},\cdots,\lambda_{1}$ 生成的 $W$ -映射.

引理 2.2 ^[25]  设 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集且 $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i})\neq \emptyset$. $\{\lambda_{i}\}$ 为实数列且 $0\leq \lambda_{i}<b<1$,$\forall i\in N^{+}$. 则

(a) $W_{n}$ 是非扩张的且 $F(W_{n})=\bigcap\limits^{n}_{i=1}F(S_{i})$,$\forall n\geq 1$;

(b) 对 $\forall x\in K$ 和任意正整数 $k$,$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}U_{n,k}x$ 存在;

(c) 由 $Wx:\lim\limits_{n\rightarrow \infty}U_{n,1}x,\forall x\in K$ 定义的映射 $W:K\rightarrow K$ 是非扩张的且满足 $F(W)=\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i})$, 并称之为由 $S_{1},S_{2},\cdots$ 和 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots$ 生成的 $W$ -映射.

为求解变分不等式: 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $\langle Tx-s,y-x\rangle \geq0, \forall y\in K$,其中 $s\in H$. Shi^[20]建立该变分不等式与 Wiener-Hopf 方程之间的等价性.

引理 2.3 ^[20]  变分不等式 $\langle Tx-s,y-x\rangle \geq0,\forall y\in K$ 有解 $\bar{x}$ 当且仅当 Wiener-Hopf 方程 $(AP_{K}+Q_{K})z=s$ 有解 $\bar{z}$, 其中 $\bar{z}=\bar{x}+s-A\bar{x}$ 和 $\bar{x}=P_{K}\bar{z}$.

此外,利用反正法容易证明以下引理.

引理 2.4  设 $x,z\in K$,如果 $\langle y-z,z-x\rangle\geq0$, $\forall y\in K$. 则 $x=z$.

引理 2.5 ^[23]  设 $K$ 为 $H$ 的闭凸子集,给定 $x\in H$ 和 $y\in K$. 则 $y=P_{K}x$ 当且仅当下列不等式成立: $\langle x-y,y-z\rangle \geq0,\forall z\in K$.

本节我们研究求解广义混合均衡问题 (1.1)、无限个非扩张映射的不动点及变分不等式的迭代算法. 具体构造了以下求解 GMEP$(F,\varphi,A)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\cap VI(B,K)$ 的迭代算法.

算法 3.1  任意给定 $z_{1}\in K$,序列 $\{z_{n}\}$, $\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 按以下迭代算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\[2mm] F(v_{n},y)+\varphi(y)-\varphi(v_{n})+\langle A v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K,\\ [2mm] z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 其中 $r>0$,映射 $W:K \rightarrow K$ 是由 $S_{1},S_{2},\cdots$ 和 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots$ 生成的,$B$ 为下面变分不等式中的非线性算子: 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $\langle B\bar{x},y-\bar{x}\rangle\geq0,\forall y\in K$.

为分析算法 3.1 的收敛性,需要下面的引理--广义 Wiener-Hopf 方程技巧.

引理 3.1  设 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集,$\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射. $\{\lambda_{i}\}$ 为实数列且满足 $0\leq\lambda_{i}<b<1$, $\forall i\in N^{+}$. 映射 $W:K\rightarrow K$ 由 $S_{1},S_{2},\cdots$ 和 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots$ 生成. 如果 $\bar{c}\in VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$,则 $\bar{z}=\bar{c}-\rho T\bar{c}$ 是算子方程 $BWP_{K}z+\rho^{-1}Q_{K}z=0$ 的解且 $\bar{c}=WP_{K}\bar{z}$, 其中 $Q_{K}=I-WP_{K}$ 且 $\rho>0$.

证  因为 $\bar{c}\in VI(B,K)$,故 $\langle B\bar{c},y-\bar{c}\rangle\geq 0$, $\forall y\in K$,即 $\langle \bar{c}-(\bar{c}-B\bar{c}),y-\bar{c}\rangle \geq 0 $,$\forall y\in K$. 由引理 2.5 可得

\begin{equation} \bar{c}=P_{K}(\bar{c}-\rho B\bar{c}), \end{equation}

(3.1)

其中 $\rho >0$ 为一个常数. 另一方面,因为 $\bar{c}\in \bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i})$, 由引理 2.3 可得 $\bar{c}\in F(W)$,即 \begin{equation} \bar{c}= W(\bar{c}). \end{equation} 联立 (3.1) 式和 (3.2) 式可得 \begin{equation} \bar{c}=W(\bar{c})=WP_{K}(\bar{c}-\rho B\bar{c}). \end{equation} 令 $Q_{K}=I-WP_{K}$,则有 \begin{equation} Q_{K}(\bar{c}-\rho B\bar{c})=\bar{c}-\rho B\bar{c}-WP_{K}(\bar{c}-\rho B\bar{c})= -\rho B \bar{c}. \end{equation} 令 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}$ 并将 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}$ 代入 (3.3) 式, 则有 \begin{equation} \bar{c}=W(\bar{c})=WP_{K}(z). \end{equation} 将 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}$ 和 (3.5) 式代入 (3.4) 式,可得 $$ BWP_{K}\bar{z}+\rho^{-1}Q_{K}\bar{z}=0. $$ 证毕.

利用引理 3.1 可以推导关于算法 3.1 的强收敛定理. 根据算子 $A$ 和 $B$ 的不同单调性, 分别获得以下结果.

定理 3.1  设 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集. 映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足条件 (A1)-(A4). 映射 $A:K\rightarrow H$ 为连续的和单调的. 映射 $\varphi:K \rightarrow R$ 为下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 是 $\alpha$ -强单调的和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i})) \neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$,$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由算法 3.1 生成. 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

证  令 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K) \cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$. 由引理 3.1 可得

\begin{equation} \bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W) \end{equation}

(3.6)

和

\begin{equation} \bar{c}=WP_{K}\bar{z}. \end{equation}

(3.7)

现将剩下证明分为三步.

{ 第一步  估计 $\|z_{n+1}-\bar{z}\|$.

由算法 3.1 和 (3.6) 式可得

\[\|{{z}_{n+1}}-\bar{z}\|=\|{{v}_{n}}-\rho B{{v}_{n}}-(\bar{c}-\rho B\bar{c})\|\]

(3.8)

\[=\|{{v}_{n}}-\bar{c}-(\rho B{{v}_{n}}-\rho B\bar{c})\|\]

(3.9)

\[=\sqrt{\|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}-2\rho \langle {{v}_{n}}-\bar{c},B{{v}_{n}}-B\bar{c}\rangle +{{\rho }^{2}}\|B{{v}_{n}}-B\bar{c}{{\|}^{2}}}\]

(3.10)

\[\le \sqrt{\|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}-2\rho \alpha \|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}+{{\rho }^{2}}{{\beta }^{2}}\|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}}\]

(3.11)

\[\le \sqrt{1-2\rho \alpha +{{\rho }^{2}}{{\beta }^{2}}}\|{{v}_{n}}-\bar{c}\|,\]

(3.12)

在以上 (3.11) 式中,用到了 $B$ 的 $\alpha$ -强单调性和 $\beta$-Lipschitz 连续性.

{第二步  估计 $\|v_{n}-\bar{c}\|$.

因为 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)$,故

\begin{equation} F(\bar{c},y)+\varphi(y)-\varphi(\bar{c})+\langle A\bar{c},y-\bar{c}\rangle\geq0,\forall y\in K. \end{equation}

(3.13)

将 $y=v_{n}$ 代入 (3.13) 式可得

\begin{equation} F(\bar{c},v_{n})+\varphi(v_{n})-\varphi(\bar{c})+\langle A\bar{c},v_{n}-\bar{c}\rangle\geq0. \end{equation}

(3.14)

由算法 3.1 可得

\begin{equation} F(v_{n},y)+\varphi(y)-\varphi(v_{n})+\langle A v_{n},y-v_{n}\rangle +\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K. \end{equation}

(3.15)

将 $y=\bar{c}$ 代入 (3.15) 式可得

\begin{equation} F(v_{n},\bar{c})+\varphi(\bar{c})-\varphi(v_{n})+\langle A v_{n},\bar{c}-v_{n}\rangle +\frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0. \end{equation}

(3.16)

将 (3.14) 式和 (3.16) 式相加可得

\begin{equation} F(v_{n},\bar{c})+F(\bar{c},v_{n})+\langle A v_{n},\bar{c}-v_{n}\rangle +\langle A\bar{c},v_{n}-\bar{c}\rangle+\frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \end{equation}

(3.17)

上式即为

\begin{equation} F(v_{n},\bar{c})+F(\bar{c},v_{n})+\langle A v_{n}-A\bar{c}, \bar{c}-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0. \end{equation}

(3.18)

由 $F$ 的单调性可得

\begin{equation} F(v_{n},\bar{c})+F(\bar{c},v_{n})\leq0. \end{equation}

(3.19)

根据 $A$ 的单调性可知 $\langle A v_{n}-A\bar{c},v_{n}-\bar{c}\rangle\geq0$,由此可得

\begin{equation} \langle A v_{n}-A\bar{c},\bar{c}-v_{n}\rangle\leq0. \end{equation}

(3.20)

联立 (3.18)式、(3.19) 式和 (3.20) 式可得

\begin{equation} \frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \end{equation}

(3.21)

由此可得

\begin{equation} \langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-\bar{c}+\bar{c}-u_{n}\rangle\geq0. \end{equation}

(3.22)

由内积的性质可知,(3.22) 式即为

\begin{equation} \langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-\bar{c}\rangle+\langle \bar{c}-v_{n},\bar{c}-u_{n}\rangle\geq0. \end{equation}

(3.23)

利用 Cauchy- Schwartz 不等式,可将 (3.23) 式转换为下面的形式

\begin{equation} \|v_{n}-\bar{c}\|^{2}\leq\langle \bar{c}-v_{n},\bar{c}-u_{n}\rangle\leq\|v_{n}-\bar{c}\|\cdot\|u_{n}-\bar{c}\|, \end{equation}

(3.24)

即

\begin{equation} \|v_{n}-\bar{c}\|\leq\|u_{n}-\bar{c}\|. \end{equation}

(3.25)

{第三步  估计 $\|u_{n}-\bar{c}\|$.

由算法 3.1 和 (3.7) 式可得 $\|u_{n}-\bar{c}\|=\|WP_{K}z_{n}-WP_{K}\bar{c}\|$. 注意到 $W$ 和 $P_{k}$ 为非扩张的,所以

\begin{equation} \|u_{n}-\bar{c}\|=\|WP_{K}z_{n}-WP_{K}\bar{c}\|\leq\|z_{n}-\bar{z}\|. \end{equation}

(3.26)

联立 (3.12)式、(3.25) 式和 (3.26) 式可得

\[\|{{z}_{n+1}}-\bar{z}\|\le \sqrt{1-2\alpha \rho +{{\rho }^{2}}{{\beta }^{2}}}\|{{v}_{n}}-\bar{c}\|\]

(3.27)

\[\le \sqrt{1-2\alpha \rho +{{\rho }^{2}}{{\beta }^{2}}}\|{{u}_{n}}-\bar{c}\|\]

(3.28)

\[\le \sqrt{1-2\alpha \rho +{{\rho }^{2}}{{\beta }^{2}}}\|{{z}_{n}}-\bar{z}\|.\]

(3.29)

归纳可知 $\|z_{n+1}-\bar{z}\|\leq(\sqrt{1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}})^{n}\|z_{1}-\bar{z}\|$. 因为 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$,所以 $$\|z_{n+1}-\bar{z}\|\rightarrow0,\ n\rightarrow\infty. $$ 此外,根据 (3.25) 式和 (3.27)式,可以推得 $$\|u_{n+1}-\bar{c}\|\rightarrow0,n\rightarrow\infty\ \mbox{和}\ \|v_{n+1}-\bar{c}\|\rightarrow0,n\rightarrow\infty.$$ 证毕.

定理 3.2  设 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集. 映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足条件 (A1)-(A4). 映射 $A:K\rightarrow H$ 为 $\eta$ -强单调和连续的. $\varphi:K\rightarrow R$ 为下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\delta$ -逆强单调的,其中正常数 $\delta,\rho$ 满足 $0<\rho<2\delta$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$,$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由算法 3.1 生成. 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

证  令 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$, 由引理 3.1 可得

\begin{equation} \bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W) \end{equation}

(3.30)

和

\begin{equation} \bar{c}=WP_{K}\bar{z}. \end{equation}

(3.31)

第一步  估计 $\|z_{n+1}-\bar{z}\|$. 由算法 3.1 和 (3.30) 式可得

\[\|{{z}_{n+1}}-\bar{z}\|=\|{{v}_{n}}-\rho B{{v}_{n}}-(\bar{c}-\rho B\bar{c})\|\]

(3.32)

\[=\|{{v}_{n}}-\bar{c}-(\rho B{{v}_{n}}-\rho B\bar{c})\|\]

(3.33)

\[=\sqrt{\|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}-2\rho \langle {{v}_{n}}-\bar{c},B{{v}_{n}}-B\bar{c}\rangle +{{\rho }^{2}}\|B{{v}_{n}}-B\bar{c}{{\|}^{2}}}\]

(3.34)

\[\le \sqrt{\|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}-2\rho \delta \|B\bar{c}-B{{v}_{n}}{{\|}^{2}}+{{\rho }^{2}}\|B\bar{c}-B{{v}_{n}}{{\|}^{2}}}\]

(3.35)

\[\le \sqrt{\|{{v}_{n}}-\bar{c}{{\|}^{2}}+({{\rho }^{2}}-2\rho \delta )\|B\bar{c}-B{{v}_{n}}{{\|}^{2}}}\]

(3.36)

\[\le \|{{v}_{n}}-\bar{c}\|.\]

(3.37)

在以上 (3.35) 式中,用到了 $B$ 的 $\delta$ -逆强单调性. 在 (3.37) 式中, 用到了 $0<\rho<2\delta$.

第二步  估计 $\|v_{n}-\bar{c}\|$.

与定理 3.1 的证明类似,我们有

\begin{equation} F(v_{n},\bar{c})+F(\bar{c},v_{n})+\langle A v_{n}-A\bar{c},\bar{c}-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \end{equation}

(3.38)

由 $F$ 的单调性可得

\begin{equation} F(v_{n},\bar{c})+F(\bar{c},v_{n})\leq0. \end{equation}

(3.39)

联立 (3.38) 式和 (3.39) 式可得 $\langle A v_{n}-A\bar{c},\bar{c}-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,$ 由此可得

\begin{equation} \frac{1}{r}\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq-\langle A v_{n}-A\bar{c},\bar{c}-v_{n}\rangle=\langle A v_{n}-A\bar{c} v_{n}-\bar{c}\rangle. \end{equation}

(3.40)

由 $A$ 的 $\eta$ -强单调性可得

\begin{equation} \langle A v_{n}-A\bar{c},v_{n}-\bar{c}\rangle\geq\eta\|v_{n}-\bar{c}\|^{2}. \end{equation}

(3.41)

由 (3.40) 式和 (3.41) 式可得 $\langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq\eta\|v_{n}-\bar{c}\|^{2},$ 由此可得

\begin{equation} \langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-\bar{c}+\bar{c}-u_{n}\rangle\geq\eta\|v_{n}-\bar{c}\|^{2}. \end{equation}

(3.42)

根据内积的性质,(3.42) 式即为

\begin{equation} \langle \bar{c}-v_{n},v_{n}-\bar{c}\rangle+\langle \bar{c}-v_{n},\bar{c}-u_{n}\rangle\geq\eta\|v_{n}-\bar{c}\|^{2}. \end{equation}

(3.43)

利用 Cauchy-Schwartz 不等式,(3.43) 式可转化为

\begin{equation} \eta\|v_{n}-\bar{c}\|^{2}+\|v_{n}-\bar{c}\|^{2}\leq\langle \bar{c}-v_{n},\bar{c}-u_{n}\rangle\leq\|v_{n}-\bar{c}\|\cdot\|u_{n}-\bar{c}\|, \end{equation}

(3.44)

由此可得

\begin{equation} (\eta+1)\|v_{n}-\bar{c}\|\leq\|u_{n}-\bar{c}\|. \end{equation}

(3.45)

第三步  证明强收敛性.

与定理 3.1 的证明类似,容易推得 $\|u_{n}-\bar{c}\|=\|WP_{K}z_{n}-WP_{K}\bar{c}\|\leq\|z_{n}-\bar{z}\|$. 该式结合 (3.37) 式和 (3.45) 式可推得

\begin{equation} \quad\|z_{n+1}-\bar{z}\|\leq\|v_{n}-\bar{c}\|\leq(\frac{1}{1+\eta})\cdot\|u_{n}-\bar{c}\|\leq(\frac{1}{1+\eta})\cdot\|z_{n}-\bar{z}\|. \end{equation}

(3.46)

进一步可得 $\|z_{n+1}-\bar{z}\|\leq(\frac{1}{1+\eta})^{n}\cdot\|z_{1}-\bar{z}\|$. 因为 $\eta>0$,故 $0<\frac{1}{1+\eta}<1$,所以 $$\|z_{n+1}-\bar{z}\|\rightarrow 0,n\rightarrow \infty. $$ 由 (3.46) 式可得 $$\|u_{n}-\bar{c}\|\rightarrow 0,n\rightarrow \infty\ \mbox{和}\ \|v_{n}-\bar{c}\|\rightarrow 0,n\rightarrow \infty. $$ 证毕.

注 3.1  在定理 3.1 中,常数 $\alpha$、$\beta$ 和 $\rho$ 需满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. 事实上,如果取 $\alpha=\frac{1}{18}$、 $\beta=\frac{1}{3}$ 和 $\rho=\frac{1}{2}$,则容易验证上述条件成立.

注 3.2  定理 3.1 和定理 3.2 只讨论的古典变分不等式的情形. 事实上,利用算法 3.1 的构造思想和方法,可以类似地考虑广义变分不等式的情形.

通过合适的选择 $F,A,B$ 和 $\varphi$,可以推导若干关于定理 3.1 的推论. 方便起见, 下列结果中总约定 $H$ 为Hilbert 空间,$K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集. 常数 $r>0$ 且 $W:K \rightarrow K$ 按引理 2.2 中的方式定义.

若 $F=0$,则可得如下求解 $MVI(A,\varphi)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$ 的迭代算法.

推论 4.1  设映射 $A:K\rightarrow H$ 为连续的和单调的. $\varphi:K \rightarrow R$ 为下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $MVI(A,\varphi)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$,$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和以下算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\[3mm] \varphi(y)-\varphi(v_{n})+\langle A v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n}, v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K,\\[3mm] z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in MVI(A,\varphi)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

如果 $A=0$,则可得到如下求解 $MEP(F,\varphi)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$ 的算法.

推论 4.2  设映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足 (A1)-(A4). $\varphi:K \rightarrow R$ 为下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $MEP(F,\varphi)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和以下算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\[2mm] F(v_{n},y)+\varphi(y)-\varphi(v_{n})+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \forall y\in K,\\[2mm] z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in MEP(F,\varphi)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

如果 $\varphi=0$,则可得到如下求解 $GEP(F,A)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$ 的迭代算法.

推论 4.3  设映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足 (A1)-(A4). 映射 $A:K\rightarrow H$ 为连续的和单调的. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的, 其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $GEP(F,A)\cap VI(B,K) \cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、 $\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ F(v_{n},y)+\langle A v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \forall y\in K,\\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in GEP(F,A)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

如果 $F=0$ 且 $\varphi=0$,则可得到求解 $VI(A,K)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$ 的算法.

推论 4.4  设映射 $A:K\rightarrow H$ 为连续的和单调的. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和和 $\beta$-Lipschitz 连续的, 其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $VI(A,K)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ \langle A v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \forall y\in K,\\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in VI(A,K)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

如果 $A=0$ 且 $\varphi=0$,则可得到求解 $EP(F)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$ 的迭代算法.

推论 4.5  设映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足 (A1)-(A4). 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $EP(F)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ F(v_{n},y)+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K, \\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in EP(F)\cap VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

如果 $S_{i}=I$,$\forall i\in N^{+}$,则可得到求解 $GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)$ 的迭代算法. 推论 4.6  设映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足 (A1)-(A4). 映射 $A:K\rightarrow H$ 为连续的和单调的,$\varphi:K \rightarrow R$ 下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$ 且 $GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$ \left\{\begin{array}{ll} u_{n}=P_{K}z_{n},\\ F(v_{n},y)+\varphi(y)-\varphi(v_{n})+\langle A v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K,\\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

如果 $F=0$、$\varphi=0$ 且 $A=0$,则可得到求解 $VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$ 的算法.

推论 4.7  设映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$,$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ z_{n+1}=u_{n}-\rho B u_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

若只考虑一个非扩张映射,则可得到求解 $GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap F(S)$ 的迭代算法.

推论 4.8  设映射 $F:K\times K\rightarrow R$ 满足 (A1)-(A4). 映射 $A:K\rightarrow H$ 为连续的和单调的, $\varphi:K \rightarrow R$ 为下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $S$ 为一个非扩张映射且 $GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap F(S)\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$, $\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$ \left\{\begin{array}{ll} u_{n}=SP_{K}z_{n},\\ F(v_{n},y)+\varphi(y)-\varphi(v_{n})+\langle A v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K,\\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in GMEP(F,\varphi,A)\cap VI(B,K)\cap F(S)$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,S)$.

注 4.1  以上结果都是定理 3.1 的推论. 类似地,可以得到定理 3.2 若干推论.

注 4.2  作为推论 4.7 的特殊形式,可以只考虑一个非扩张映射 $S$, 这时可以得到求解 $VI(B,K)\cap F(S)$ 的迭代算法,这正是 Shi 在文献 ^[20] 中给出的算法. 类似地,可以在推论 4.7 考虑有限个非扩张映射的情形, 此时可以得到求解 $VI(B,K)\cap(\bigcap\limits^{N}_{i=1}F(S_{i}))$ 的迭代算法, 这正是 Noor 在文献 ^[23] 中给出的算法.

本节利用前两节的结果给出几类优化问题(OP)的算法.

在 2009 年,Chang 等人^[14]研究了优化问题: $\min_{x\in\Omega}h(x)$,其中 $\Omega$ 为 $H$ 的非空闭凸子集且 $h(x)$ 为下半连续的凸映射. 本节首先在此基础之上考虑如下优化问题.
OP-I

\begin{equation} \min_{x\in VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))}h(x), \end{equation}

(5.1)

记该问题的解集为 $MIN(h,B,S_{\infty})$. 特别地,如果 $h(x)=\|x\|$, 则优化问题 (5.1) 即为极小值问题 $\min\limits_{x\in VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))}\|x\|$.

显然,当 $F=0$ 且 $A=0$ 时,GMEP (1.1) 即为极小值问题: 寻找 $\bar{x}\in K$ 使得 $\varphi(y)-\varphi(\bar{x})\geq0$,$\forall y\in K$. 记该问题的解集 为 $MIN(\varphi)$. 利用定理 3.1,可以得到如下求解 OP-I 的迭代算法及其强收敛定理.

定理 5.1  设 $h:K \rightarrow R$ 下半连续的凸映射. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调和 和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $MIN(h)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))\neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ h(y)-h(v_{n})+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K, \\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n}, \end{array}\right.$$ 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in MIN(h)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$. 故 $\{u_{n}\}, \{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}\in MIN(h,B,S_{\infty})$;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

在文献 ^[26] 中,Marinoa 和 Xu 考虑了极小值问题: $\min\limits_{x\in C} \frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-h(x)$,其中 $C$ 为一个非扩张映射的不动点集且 $A$ 是强正的.

注 5.1  为求解此极小值问题,他们利用粘滞逼近方法研究了变分不等式: 寻找 $\bar{x}\in C$, 使得 $\langle(A-\gamma f)\bar{x},y-\bar{x}\rangle\geq 0$,$\forall y\in C$,其中 $f$ 为 $H$ 上的压缩映射且 $h$ 为 $\gamma f$ 的原函数,即 $h' (x)=\gamma f(x)$,$x\in H$. 易知,该变分不等式的解集为上述优化问题的可行解.

为在一定程度上推广他们的结果,现在考虑下面的优化问题.
OP-II

\begin{equation} \min_{x\in VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))} \frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-h(x), \end{equation}

(5.2)

其中 $A$ 为强正有界算子. 为研究 OP-II 的迭代算法和强收敛定理,需要以下引理.

引理 5.1^[26]  设 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集. $f$ 是系数为 $0<\alpha<1$ 的压缩映射. 映射 $A$ 为强正有界算子且系数为 $\bar{\gamma}$. 如果 $0<\gamma<\bar{\gamma}/\alpha$,则 $$\langle x-y,(A-\gamma f)x-(A-\gamma f)y\rangle\geq(\bar{\gamma}-\gamma\alpha)\|x-y\|^{2}, \forall x,y\in H.$$ 即 $A-\gamma f$ 是强单调的且系数为 $\bar{\gamma}-\gamma\alpha$.

利用引理 5.1 和定理 4.4,可以得到如下求解 OP-II 的迭代算法及强收敛定理.

定理 5.2  设映射 $A:K\rightarrow H$ 为强正有界算子且系数为 $\bar{\gamma}$. 映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调的和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中正常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射且 $VI(A-\gamma f,K)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i})) \neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$,$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下列算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ \langle(A-\gamma f)v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n},v_{n}-u_{n}\rangle\geq0, \forall y\in K,\\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n}, \end{array}\right.$$ 其中 $0<\gamma<\bar{\gamma}/\alpha$. 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in VI(A-\gamma f,K)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$. 由此可知 $\bar{c}$ 为 OP-II 的解;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

证  因为 $A$ 是强正有界算子,故由引理 5.1 可得 $A-\gamma f$ 为强单调算子. 因为 $A$ 是线性有界的且 $f$ 为压缩映射,故 $A$ 和 $f$ 是连续的, 进而 $A-\gamma f$ 是连续的. 由定理 4.4 和注 5.1 可知的 (a) 和 (b) 成立.

在文献 ^[27] 中,Yao 等人研究了极小值问题: $\min\limits_{x\in F(S)\cap GEP(F,A)} \frac{\mu}{2}\langle Tx,x\rangle+\frac{1}{2}\|x\|^{2}-h(x)$,其中 $T$ 是强正有界算子且系数为 $\bar{\gamma}$,$\mu \geq 0$ 为常数. 他们获得了如下结果.

引理 5.2^[27]  设 $K$ 为 $H$ 的非空闭凸子集,映射 $g:K\rightarrow R\cup \{\infty\}$ 为真下半连续的和可微的. 如果 $\bar{z}$ 为极小值问题 $\inf\limits_{x\in F(S)\cap GEP(F,A)}g(x)$ 的解. 则 $\langle g' (x),x-\bar{z}\rangle\geq 0$,$\forall x\in F(S)\cap \Omega$. 特别地,如果 $\bar{z}$ 是上述极小值问题的解,则 $\langle (I+\mu T-\bar{\gamma}f)\bar{z},x-\bar{z}\rangle\geq 0$, $\forall x\in F(S)\cap GEP(F,A)$.

针对上述的极小值问题,现在考虑含有无限个非扩张映射的情形.
OP-III

\begin{equation} \min_{x\in VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))}\frac{\mu}{2}\langle Tx,x\rangle+\frac{1}{2}\|x\|^{2}-h(x). \end{equation}

(5.3)

利用定理 4.4 和引理 5.2,可以得到如下求解 OP-III 的算法和强收敛定理.

定理 5.3  设映射 $T$ 为强正线性有界算子,映射 $B:K\rightarrow H$ 为 $\alpha$ -强单调的 和 $\beta$-Lipschitz 连续的,其中常数 $\alpha,\beta,\rho$ 满足 $0<1-2\alpha\rho+\rho^{2}\beta^{2}<1$. $\{S_{i}:K\rightarrow K\}$ 为无限个非扩张映射 且 $VI(I+\mu T-\bar{\gamma}f,K)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i})) \neq\emptyset$. 如果序列 $\{z_{n}\}$、$\{u_{n}\}$ 和 $\{v_{n}\}$ 由 $z_{1}\in K$ 和下面的算法生成 $$\left\{\begin{array}{ll} u_{n}=WP_{K}z_{n},\\ \langle (I+\mu T-\bar{\gamma}f)v_{n},y-v_{n}\rangle+\frac{1}{r}\langle y-v_{n}, v_{n}-u_{n}\rangle\geq0,\forall y\in K,\\ z_{n+1}=v_{n}-\rho B v_{n},n\geq1, \end{array}\right.$$ 其中 $1-\mu\alpha-\bar{\gamma}>0$. 则

(a) $\{u_{n}\},\{v_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{c}$,其中 $\bar{c}\in VI(I+\mu T-\bar{\gamma}f,K)\cap VI(B,K)\cap (\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}F(S_{i}))$. 由此可知 $\bar{c}$ 为 OP-III 的解;

(b) $\{z_{n}\}$ 强收敛于 $\bar{z}$,其中 $\bar{z}=\bar{c}-\rho B\bar{c}\in WHE(B,W)$.

证  我们断言 $T$ 是单调算子. 事实上,因为 $1-\mu\alpha-\bar{\gamma}>0$,故下列不等式成立. \begin{eqnarray*} &\ &\langle(I+\mu T-\bar{\gamma}f)x-(I+\mu T-\bar{\gamma}f)y,x-y\rangle\\ &=&\langle Ix-Iy+\mu Tx-\mu Ty+\bar{\gamma}fy-\bar{\gamma}fx,x-y\rangle\\ &=&\langle Ix-Iy,x-y\rangle+\langle \mu Tx-\mu Ty,x-y\rangle+ \langle\bar{\gamma}fy-\bar{\gamma}fx,x-y\rangle \\ &\geq&\|x-y\|^{2}+\mu\alpha\|x-y\|^{2}-\bar{\gamma}\|fy-fx\|\cdot\|x-y\|\\ &\geq&(1-\mu\alpha-\bar{\gamma})\|x-y\|^{2}\geq0. \end{eqnarray*}

又因为 $T$ 为有界线性算子且 $f$ 为压缩映射,故 $I+\mu T-\bar{\gamma}f$ 是连续的. 由定理 4.4 和引理 5.2 可知 (a) 和 (b) 成立.

注 5.2  在以上结果中,主要应用了定理 3.1 及其相关推论,例如: 推论 4.4. 类似地,可以利用定理 3.2 获得相应的结果.