考虑以下Schrödinger-Poisson系统

\begin{eqnarray}\label{1} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta u+V(x)u+K(x)\phi u=f(x,u),\ \ \ \ \ & x\in {\bf R}^3,\\ -\Delta\phi=K(x)u^2,\ \ \ \ \ \ & x\in {\bf R}^3, \end{array}\right. \end{eqnarray}

(1.1)

其中$V:{\bf R}^3\rightarrow {\bf R}$,$f\in C({\bf R}^3\times {\bf R},{\bf R})$. 该系统有着丰富的数学物理背景,例如, 在量子电动力学中用于描述带电粒子和电磁场的相互作用. 同时在半导体理论以及等离子物理中也有应用(参见文献^{[1, 2]}).

自从Benci和Fortunato的开创性文献^[1], 大量的文献研究了系统(1.1)解的存在性和多重性, 参见文献^{[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]}及其参考文献. 大部分文献 (参见文献^{[4, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 20, 23]})研究了势函数$V\equiv 1$或者$V$径向对称的情形. Ruiz在文献^[15]中通过比较参数$p$和$\lambda$的关系, 证明了系统(1.1)解的存在性、非存在性以及多解性结论,其中 $K(x)=\lambda>0$,$V\equiv 1$并且$f(x,u)=|u|^{p-1}u$ $(1<p<5)$. Azzollini等在文献^[7]中考虑了当非线性项满足Berestycki-Lions 条件时系统(1.1)非平凡解的存在性,其中$K(x)=\lambda>0$足够小. 该结论被Zhang在文献^[20]中推广到临界的情形.

当势函数$V(x)$和非线性项$f(x,t)$关于变量$x_i$ ($i=1,2,3$)是1 -周期时, Zhao和Zhao在文献^[22]中利用非线性叠加原理证明了无穷多个几何不同的解的存在性. Alves等在文献^[3]中考虑了周期和渐近周期的情形. 利用山路定理获得了系统(1.1)的一个正的基态解的存在性.

文献^{[5, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 21]}考虑了势函数$V$非径向对称的情形. 特别地,假设$V$满足

$(V_1)$ $V\in C({\bf R}^3,{\bf R})$,$\inf\limits_{x\in {\bf R}^3}V(x)>0$;

$(V_2')$ 对任意的$M>0$,meas$\left\{x\in {\bf R}^3:V(x)\leq M\right\}<+\infty$,其中meas表示Lebesgue测度.

文献^{[10, 13, 19]}获得了系统(1.1)无穷多个高能量解的存在性, 其中$f$在无穷远处是超线性的. 另一方面,文献[10, 17]考虑了次线性情形下无穷多个低能量解的存在性. 文献 ^[10]假设了Ambrosetti-Rabinowitz型条件,即

\begin{eqnarray}\label{22} \exists \ \ \mu>4 \mbox{ 使得 }\ \mu F(x,t)\leq f(x,t)t,\ \ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3,\ \ |t|\geq 1, \end{eqnarray}

(1.2)

其中$F(x,t):=\int_0^tf(x,s){\rm d}s$. 条件(1.2)的作用是用于保证 Euler泛函的(PS)序列的有界性,是临界点理论使用的关键之处. 然而, 该条件有些苛刻并排除了某些非线性项. 因此有些学者考虑了其它的增长性条件. 例如, Li 等在文献^[13]中采用单调性条件代替条件(1.2),即 $$ \mbox{${\cal F}$}(x,s)\leq \mbox{${\cal F}$}(x,t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall (s,t)\in \mbox{${\bf R}^+\times {\bf R}^+$},\ \ s\leq t,\mbox{ a.e. }\ x\in {\bf R}^3, $$ 其中$\mbox{${\cal F}$}(x,s)=\frac{1}{4}f(x,s)s-F(x,s)$. Yang和Han在文献^[19]中采用了以下条件代替(1.2)式

\begin{eqnarray}\label{31} \mbox{当$t>0$时},\ \ \frac{f(x,t)}{t^3} \mbox{ 是单调递增的;}\ \ \mbox{当$t<0$时},\ \ \frac{f(x,t)}{t^3} \mbox{ 是单调递减的.} \end{eqnarray}

(1.3)

受上述文献的启发, 本文中我们将在更一般的假设下研究问题(1.1)无穷多个解的存在性和多重性, 统一和推广相关的结论.

首先我们考虑超线性的情形. 假设

$(V_2)$ 存在$r_0>0$使得

$$ \lim_{|y|\rightarrow \infty}\mbox{meas}\left\{x\in {\bf R}^3: |x-y|\leq r_0,V(x)\leq M\right\}=0,\ \ \ \ \ \ \forall M>0; $$

$(K)$ $K\in L^2\cup L^\infty$,且$K(x)\geq 0$对所有的$x\in {\bf R}^3$成立;

$(f_1)$ $\lim\limits_{|t|\rightarrow \infty}F(x,t)/t^4=+\infty$ a.e. $x\in {\bf R}^3$,且存在$r_1>0$使得

$$ F(x,t)\geq 0,\ \ \ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3,\ \ |t|\geq r_1; $$

$(f_2)$ 存在常数$a>0$,$p\in (4,2^*)$使得

$$ |f(x,t)|\leq a(|t|+|t|^{p-1}),\ \ \ \ \ \ \ \forall (x,t)\in {\bf R}^3\times {\bf R}; $$

$(f_3)$ 存在$L>0$使得

$$ \frac{1}{4}f(x,t)t-F(x,t)\geq 0,\ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3,\ \ |t|\geq L; $$

$(f_4)$ $f(x,-t)=f(x,t)$对所有的$(x,t)\in {\bf R}^3\times {\bf R}$成立.

定理 1.1 假设条件$(V_1)$-$(V_2)$, $(K)$以及$(f_1)$-$(f_4)$成立. 则系统(1.1)存在无穷多个解 $\left\{(u_k,\phi_k)\right\}$满足: 当$k\rightarrow \infty$时,

$$ \frac{1}{2}\int_{{\bf R}^3}(|\nabla u_k|^2+V(x)u_k^2){\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_ku_k^2{\rm d}x-\int_{{\bf R}^3}F(x,u_k){\rm d}x\rightarrow +\infty. $$

注 1.1 条件$(V_1)$-$(V_2)$由Bartsch,Wang和Willem 在文献^[24]给出,用于保证工作空间的紧性. 易见条件$(V_2)$弱于条件$(V_2')$. 存在函数$V$满足条件 $(V_1)$-$(V_2)$,但不满足$(V_2')$. 例如,令

\begin{eqnarray}\label{35} V(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2n|x|-2n(n-1)+1,\ \ \ \ \ & n-1\leq |x|<(2n-1)/2,\\ -2n|x|+2n^2+1,\ \ \ \ \ & (2n-1)/2\leq |x|\leq n, \end{array}\right. \end{eqnarray}

(1.4)

其中$n\in {\Bbb N}$.

注 1.2 定理1.1统一和推广了Yang和Han在文献[19,定理1.2和定理1.4]. 与Yang和 Han的结论相比, 定理1.1作了以下三方面的推广

$\bullet$ 放宽了势函数$V$和电量函数$K$的范围;

$\bullet$ 去掉了假设: 当$t\rightarrow 0$时,$f(x,t)/t\rightarrow 0$对$x\in {\bf R}^3$一致成立;

$\bullet$ 用在无穷远处的局部条件$(f_3)$代替了整体性条件(1.3).

例 1.1 令$V(x)$由(1.4)式给出,$K\in L^2({\bf R}^3)$满足$K\geq 0$,并且
$$ f(x,t)=\left\{\begin{array}{ll}t^3(4\ln|t|+1),\ \ & |t|\geq 1,\\ -|t|t+2t,\ \ \ \ & |t|<1.\end{array}\right. $$ 简单的计算可推出
$$ F(x,t)=\left\{\begin{array}{ll}t^4\ln|t|+2/3,\ \ \ \ & |t|\geq 1,\\[2mm] -\frac{1}{3}|t|^3+t^2,\ \ \ \ & |t|<1, \end{array}\right. $$
并且
$$ \frac{1}{4}f(x,t)t-F(x,t)=\frac{1}{4}t^4-\frac{2}{3},\ \ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3,\ \ |t|\geq 1. $$
因此容易验证$V$,$K$和$f$满足定理1.1的所有条件. 但他们不满足文献^{[10, 11, 13, 17, 19]}中的结论,因为条件$(V_2')$不成立, $\lim\limits_{t\rightarrow 0}f(x,t)/t=2$关于$x$一致成立, $f(x,t)/t^3$在区间$(0,1)$是单调递减的,且对任意的$\mu>4$,$|t|\rightarrow \infty$时,

$$ f(x,t)t-\mu F(x,t)=t^4\left[(4-\mu)\ln|t|+1-\frac{2\mu}{3t^4}\right] \rightarrow -\infty. $$

以下我们考虑次线性情形. 假设

$(V_3)$ $V\in C({\bf R}^3,{\bf R})$并且$V(x)\geq 0$ 对所有的$x\in {\bf R}^3$成立.

$(V_4)$ 存在$b>0$使得meas$\left\{x\in {\bf R}^3: V(x)<b\right\}<+\infty$. $(f_5)$ 存在常数$1<\sigma_1<\sigma_2<\cdots <\sigma_m<2$和函数$h_i\in L^{2/(2-\sigma_i)}({\bf R}^3,{\bf R}^+)$满足

$$ |f(x,t)|\leq \sum_{i=1}^mh_i(x)|t|^{\sigma_i-1},\ \ \ \ \ \ \ \forall (x,t)\in {\bf R}^3\times {\bf R}. $$

$(f_6)$ 存在$x_0\in {\bf R}^3$,两个序列 $\left\{\varepsilon_n\right\}$,$\left\{M_n\right\}$以及常数 $a_1$, $\varepsilon$,$\delta>0$满足$\varepsilon_n>0$,$M_n>0$并且

\begin{eqnarray*} &&\lim_{n\rightarrow \infty}\varepsilon_n=0,\ \ \ \ \ \lim_{n\rightarrow \infty}M_n=+\infty,\nonumber\\ &&\varepsilon_n^{-2}F(x,t)\geq M_n\ \ \ \ \ \ \ \mbox{对 }\ |x-x_0|\leq \delta,\ \ |t|=\varepsilon_n \mbox{ 成立,} \\ &&t^{-2}F(x,t)\geq -a_1\ \ \ \ \ \ \ \mbox{对 }\ |x-x_0|\leq \delta ,\ \ |t|\leq \varepsilon \mbox{ 成立.}\nonumber \end{eqnarray*}

定理 1.2  假设条件$(V_3)$-$(V_4)$,$(K)$以及$(f_5)$-$(f_6)$成立. 则系统(1.1)至少有一个非平凡的解. 此外,如果条件 $(f_4)$成立, 则系统(1.1)有无穷多个非平凡的解$(u_k)$满足: 当$k\rightarrow \infty$时,$u_k\rightarrow 0$.

注 1.3 Sun在文献^[17]中证明了系统(1.1)无穷多个解的存在性. 他假设了条件$(V_1)$,$(V_2')$以及

$(C_1)$ $f(x,t)=h(x)|t|^{\sigma-2}t$,其中$h:{\bf R}^3\rightarrow {\bf R}$是一个正的连续函数满足$h\in L^{2/(2-\sigma)}$ $({\bf R}^3,{\bf R})$并且$\sigma\in (1,2)$为一个常数.

Chen和Tian在文献^[11]中推广了Sun的结论. 他们把条件 $(C_1)$减弱为$(f_5)$和

$(C_2)$ 存在开集$J\subset {\bf R}^3$以及常数$\delta>0$,$\gamma\in (1,2)$和$\eta>0$满足 $F(x,t)\geq \eta |t|^\gamma$对所有的$(x,t)\in J\times [-\delta,\delta]$成立.

利用亏格的性质他们证明了一个非平凡解或无穷多个解的存在性. 注意到条件$(C_2)$可推出: 当$t\rightarrow 0$时,
$$ F(x,t)/t^2\rightarrow +\infty\ \ \ \mbox{对$ x\in J$ 一致成立,} $$ 它强于条件$(f_6)$. 因此定理1.2统一和推广了文献[17,定理1.1]和文献[19,定理1.1和定理1.2].

例 1.2  令
$$ V(x)=\arctan|x|,\ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3, $$
并且
$$ f(x,t)= \left\{\begin{array}{ll} |x|{\rm e}^{-|x|^2}\left[\alpha |t|^{\alpha-2}t\sin^2\left(\frac{1}{|t|^\varepsilon}\right)-\varepsilon |t|^{\alpha-\varepsilon-2}t\sin\left(\frac{2}{|t|^\varepsilon}\right)\right],\ \ \ & \ \ t\neq 0,\\[2mm] 0,\ \ \ \ & \ \ t=0,\end{array}\right. $$
其中$\varepsilon>0$充分小并且$\alpha\in (1+\varepsilon,2)$. 直接计算可推出
$$ F(x,t)=\left\{ \begin{array}{ll} |x|{\rm e}^{-|x|^2}|t|^\alpha\sin^2\left(\frac{1}{|t|^\varepsilon}\right),\ \ \ \ & \ \ t\neq 0,\\[2mm] 0,\ \ \ \ & \ \ t=0. \end{array} \right. $$
因此容易推出$V$和$f$定理1.2的条件, 其中$\varepsilon_n=\left(\frac{2}{(2n+1)\pi}\right)^{1/\varepsilon}$.

记号

$\bullet$ $H^1({\bf R}^3)$是通常的Sobolev空间, 其上的范数为$\|u\|_{H^1}^2:=\int_{{\bf R}^3}(|\nabla u|^2+u^2){\rm d}x$.

$\bullet$ ${\cal D}^{1,2}({\bf R}^3)$是空间 $C_0^\infty({\bf R}^3)$关于范数 $\|u\|_{{\cal D}^{1,2}}^2:=\int_{{\bf R}^3}|\nabla u|^2{\rm d}x$的完备化得到的Hilbert空间.

$\bullet$ $L^r({\bf R}^3)$ ($1\leq r<+\infty$)表示通常的Lebesgue空间,其上的范数为 $\|u\|_r=\left(\int_{{\bf R}^3}|u|^r{\rm d}x\right)^{1/r}$.

$\bullet$ $c$,$c_i$表示不同的正常数.

令
$$ E:=\left\{u\in H^1({\bf R}^3)\left|\int_{{\bf R}^3}(|\nabla u|^2+V(x)u^2){\rm d}x<+\infty\right.\right\}. $$
则$E$是一个Hilbert空间,其上的内积和范数分别是
$$ (u,v)=\int_{{\bf R}^3}(\nabla u\cdot \nabla v+V(x)uv){\rm d}x,\ \ \ \ \ \ \ \ \|u\|=(u,u)^{1/2}. $$
在条件$(V_1)$下,空间嵌入$E\hookrightarrow L^r({\bf R}^3)$ ($2\leq r\leq 6$)是连续的,因此,对任意的$r\in [2,6]$, 存在$\tau_r>0$使得

\begin{eqnarray}\label{3} \|u\|_r\leq \tau_r\|u\|,\ \ \ \ \ \ \ \ \forall u\in E. \end{eqnarray}

(2.1)

引理2.1 (见文献^[24])  假设条件$(V_1)$和$(V_2)$成立,则空间嵌入 $E\hookrightarrow L^r({\bf R}^3)$ ($2\leq r<2^*$)是紧的.

运用文献^[25]中的Lax-Milgram定理,对任意的$u\in H^1({\bf R}^3)$,存在唯一 $\phi_u\in {\cal D}^{1,2}({\bf R}^3)$使得

\begin{eqnarray}\label{15} -\Delta \phi_u=K(x)u^2, \end{eqnarray}

(2.2)

并且$\phi_u$满足以下性质(证明请参见文献^{[2, 15, 23]}).

引理2.2 对$u\in H^1({\bf R}^3)$, 以下结论成立.

(i) 存在$C_0>0$使得$\|\phi_u\|_{{\cal D}^{1,2}}^2=\int_{{\bf R}^3}\phi_uu^2{\rm d}x \leq C_0\|u\|_{12/5}^4\leq C_0\|u\|^4$.

(ii) $\phi_u\geq 0$.

(iii) 若$u_n\rightharpoonup u$在$H^1({\bf R}^3)$中弱收敛, 则$\phi_{u_n}\rightharpoonup \phi_u$在${\cal D}^{1,2}({\bf R}^3)$中强收敛.

因此,问题(1.1)所对应的能量泛函为
\begin{eqnarray*} J(u)=\frac{1}{2}\int_{{\bf R}^3}(|\nabla u|^2+V(x)u^2){\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_u u^2{\rm d}x-\int_{{\bf R}^3}F(x,u){\rm d}x. \end{eqnarray*}
泛函$J$属于$C^1$类,并且
\begin{eqnarray}\label{19} \langle J'(u),v \rangle=\int_{{\bf R}^3}(\nabla u\cdot \nabla v+V(x)uv+K(x)\phi_uuv-f(x,u)v){\rm d}x,\ \ \ \forall u,v\in E. \end{eqnarray}
众所周知$(u,\phi_u)\in E\times {\cal D}^{1,2}({\bf R}^3)$是系统(1.1)的解 当且仅当$u\in E$是泛函$J$的临界点.

命题2.1 (见文献^[26])  令$E$为一个无限维的Banach空间且$\Phi\in C^1(E,{\bf R})$为偶泛函, 满足(PS)条件且$\Phi(0)=0$. 如果$E=Y\bigoplus Z$, 其中子空间$Y$是有限维的,并且$\Phi$满足

(i) 存在常数$\rho$,$\alpha>0$满足 $\Phi|_{\partial B_\rho\bigcap Z}\geq \alpha$;

(ii) 对任意有限维子空间 $\widetilde{E}\subset E$,存在常数$R=R(\widetilde E)>0$满足: 当$u\in \widetilde E\backslash B_R$时,$\Phi(u)\leq 0$.
则泛函$\Phi$有一列无界的临界值.

引理 2.3  假设条件$(V_1)$-$(V_2)$和$(f_1)$-$(f_3)$成立. 则泛函 $J$满足(PS)条件.

证 令$(u_n)\subset E$为$J$的(PS)序列. 我们断言$(u_n)$有界. 若不然,则存在一子序列 (仍记为$(u_n)$)满足$\|u_n\|\rightarrow \infty$ ($n\rightarrow \infty$). 令$w_n:=u_n/\|u_n\|$. 则存在一子序列满足

\begin{eqnarray*} &&w_n\rightharpoonup w\mbox{ 在 $ E$ 中弱收敛,}\ \ w_n\rightarrow w \mbox{ 在 }\ L^r({\bf R}^3)\ \ (2\leq r<2^*) \mbox{ 中强收敛,} \\ &&w_n(x)\rightarrow w(x) \mbox{ a.e. } x\in {\bf R}^3. \end{eqnarray*}

情形 1 $w=0$. 由条件$(f_2)$可得

\begin{eqnarray}\label{11} |F(x,t)|\leq \int_0^1|f(x,st)t|{\rm d}s\leq a(t^2+|t|^p),\ \ \ \ \forall (x,t)\in {\bf R}^3\times {\bf R}, \end{eqnarray}

(2.4)

从而
$$ \left|\frac{1}{4}f(x,t)t-F(x,t)\right|\leq 2a(t^2+|t|^p)\leq 2a(1+L^{p-2})t^2:=c_1t^2,\ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3,\ \ |t|\leq L, $$
结合条件$(f_3)$,我们有
$$ \frac{1}{4}f(x,t)t-F(x,t)\geq -c_1t^2,\ \ \ \ \ \forall (x,t)\in {\bf R}^3\times {\bf R}. $$
因此
\begin{eqnarray*} \frac{1}{\|u_n\|^2}\left(J(u_n)-\frac{1}{4}\langle J'(u_n),u_n\rangle\right)&=& \frac{1}{4}+\frac{1}{\|u_n\|^2}\int_{{\bf R}^3}\left(\frac{1}{4}f(x,u_n)u_n-F(x,u_n)\right){\rm d}x\\ &\geq& \frac{1}{4}-c_1\int_{{\bf R}^3}\frac{u_n^2}{\|u_n\|^2}{\rm d}x\\ &\geq& \frac{1}{4}-c_1\|w_n\|_2^2, \end{eqnarray*}
这意味着$0>1/4$,矛盾.

情形2 $w\neq 0$. 由(2.4)式可得
$$ |F(x,t)|\leq a(1+r_1^{p-2})t^2:=c_2t^2,\ \ \ \ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3,\ \ |t|\leq r_1, $$
结合此式和条件$(f_1)$可推出
$$ F(x,t)\geq -c_2t^2,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall (x,t)\in {\bf R}^3\times {\bf R}. $$
令$\Omega_n(a,b)=\left\{x\in {\bf R}^3:a\leq |u_n(x)|<b\right\}$ 对 $0\leq a<b$,我们有
$$ \int_{\Omega_n(0,r_1)}\frac{F(x,u_n)}{\|u_n\|^4}{\rm d}x\geq -\frac{c_2\int_{\Omega_n(0,r_1)}u_n^2{\rm d}x}{\|u_n\|^4}\geq -\frac{c_2\|u_n\|_2^2}{\|u_n\|^4}. $$
因此

\begin{eqnarray}\label{13} \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega_n(0,r_1)}\frac{F(x,u_n)}{\|u_n\|^4}{\rm d}x\geq 0. \end{eqnarray}

(2.5)

若$w(x)\neq 0$,则当$n\rightarrow \infty$时,$|u_n(x)|\rightarrow \infty$,因此对充分大的$n$,$\left\{x\in {\bf R}^3:w(x)\neq 0\right\}\subset \Omega_n(r_1,+\infty)$. 由条件$(f_1)$和Fatou引理可推出
\begin{eqnarray*} \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega_n(r_1,+\infty)}\frac{F(x,u_n)}{\|u_n\|^4}{\rm d}x&=& \liminf_{n\rightarrow \infty}\int_{{\bf R}^3}\frac{|F(x,u_n)|}{u_n^4}\chi_{\Omega_n(r_1,+\infty)}w_n^2{\rm d}x\\ &\geq& \int_{{\bf R}^3}\liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{|F(x,u_n)|}{u_n^4}\chi_{\Omega_n(r_1,+\infty)}w_n^2{\rm d}x\\ &=&+\infty. \end{eqnarray*}
结合(2.5)式和引理2.2 (i),我们有

\begin{eqnarray}\label{14} 0&\leq &\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{J(u_n)}{\|u_n\|^4}\nonumber\\ &\leq& \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\|u_n\|^4}\left(\frac{\|u_n\|^2}{2}+C_0\|u_n\|_{12/5}^4-\int_{{\bf R}^3}F(x,u_n){\rm d}x\right) \nonumber\\ &\leq& c-\liminf_{n\rightarrow \infty}\left(\int_{\Omega_n(0,r_1)}+\int_{\Omega_n(r_1,+\infty)}\right)\frac{F(x,u_n)}{\|u_n\|^4}{\rm d}x\nonumber\\ &=&-\infty, \end{eqnarray}

(2.6)

这是矛盾的. 故序列$(u_n)$有界的.

由于序列$(u_n)$有界,则存在一子序列(仍记为$(u_n)$)满足

\begin{equation}\label{4} \begin{array}{l} u_n\rightharpoonup u \mbox{ 在$E$中弱收敛,}\ \ u_n\rightarrow u \mbox{ 在}\ L^r({\bf R}^3)\ \ (2\leq r<2^*) \mbox{ 强收敛,}\\ u_n(x)\rightarrow u(x) \mbox{ a.e.}\ x\in {\bf R}^3. \end{array} \end{equation}

(2.7)

要证明$u_n\rightarrow u$在$E$中强收敛,只需验证 $\|u_n\|\rightarrow \|u\|$. 由(2.3)式可得

\begin{eqnarray}\label{5} o(1)&=&\langle J'(u_n),u_n-u\rangle\nonumber\\ &=&(u_n,u_n-u)+\int_{{\bf R}^3} K(x)\phi_{u_n}u_n(u_n-u){\rm d}x-\int_{{\bf R}^3}f(x,u_n)(u_n-u){\rm d}x. \end{eqnarray}

(2.8)

根据条件$(f_2)$和(2.7)式的第二个极限可推出

\begin{eqnarray}\label{17} \left|\int_{{\bf R}^3}f(x,u_n)(u_n-u){\rm d}x\right|&\leq& a\int_{{\bf R}^3}(|u_n||u_n-u|+|u_n|^{p-1}|u_n-u|){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& a(\|u_n\|_2\|u_n-u\|_2+\|u_n\|_p^{p-1}\|u_n-u\|_p)\stackrel{n}{\longrightarrow} 0. \end{eqnarray}

(2.9)

由条件$(K)$,当$K\in L^\infty$时,我们有

\begin{eqnarray}\label{16} \left|\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_{u_n}u_n(u_n-u){\rm d}x\right|\leq \|K\|_\infty\|\phi_{u_n}\|_6\|u_n\|_2\|u_n-u\|_3\stackrel{n}{\longrightarrow}0. \end{eqnarray}

(2.10)

当$K\in L^2$时,有

\begin{eqnarray}\label{18} \left|\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_{u_n}u_n(u_n-u){\rm d}x\right|\leq \|\phi_{u_n}\|_6\|u_n\|_6\|K(u_n-u)\|_{3/2}\stackrel{n}{\longrightarrow}0. \end{eqnarray}

(2.11)

结合(2.8)-(2.11)式可推出 $\|u_n\|\rightarrow \|u\|$. 因此$u_n\rightarrow u$在$E$中强收敛.

引理 2.4 假设条件$(V_1)$-$(V_2)$和$(f_1)$-$(f_2)$成立, 则对任意有限维子空间$\widetilde E\subset E$,我们有

$$ J(u)\rightarrow -\infty,\ \ \ \|u\|\rightarrow \infty,\ \ \ x\in \widetilde E. $$

证 我们采用反证法. 若存在序列$(u_n)\subset E$满足$\|u_n\|\rightarrow \infty$且$laystyle{\inf_{n}J(u_n)>-\infty}$. 令 $w_n:=u_n/\|u_n\|$. 则$\|w_n\|=1$并且存在$w\in E\backslash \left\{0\right\}$满足

$$ w_n\rightarrow w \mbox{ 在$E$强收敛,} \ \ w_n\rightarrow w \mbox{ 在}\ L^2({\bf R}^3) \mbox{ 强收敛,}\ \ w_n(x)\rightarrow w(x)\ \mbox{ a.e. }\ x\in {\bf R}^3. $$
因此,类似(2.6)式的证明我们可推出矛盾.

推论 2.1  假设条件$(V_1)$-$(V_2)$和$(f_1)$-$(f_2)$成立, 则对任意有限维子空间$\widetilde E\subset E$,存在$R=R(\widetilde E)>0$使得

$$ J(u)\leq 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall u\in \widetilde E,\ \ \|u\|\geq R. $$

令$\left\{e_i\right\}_{i=1}^\infty$为空间$E$的一组正交基. 令$X_i=\mbox{${\bf R}$}e_i$,

$$ Y_k=\bigoplus_{i=1}^kX_i,\ \ \ \ \ \ \ \ \ Z_k=\bigoplus_{i=k+1}^\infty X_i,\ \ \ \ \ \ \forall k\in {\Bbb Z}. $$

引理 2.5  假设条件$(V_1)$-$(V_2)$成立,则当$2\leq r<2^*$时,有

$$ l_k(r):=\sup_{u\in Z_k,\|u\|=1}\|u\|_r\rightarrow 0\ \ \ \ \ (k\rightarrow \infty). $$

证  由于该证明与文献[27,引理3.8]的证明类似, 我们在这里略去.

根据引理2.5,存在正整数 $k_1\geq 1$使得

\begin{eqnarray}\label{10} l_k(2)\leq (2\sqrt{2a})^{-1},\ \ \ \ \ \ \ \forall k\geq k_1. \end{eqnarray}

(2.12)

引理 2.6 假设条件$(V_1)$-$(V_2)$和$(f_2)$成立, 则存在常数$\rho$,$\alpha>0$使得$J|_{\partial B_\rho\cap Z_{k_1}}\geq \alpha$.

证  根据(2.4)式和 (2.12)式,我们有: 当$u\in Z_{k_1}$时,
$$ J(u)\geq \frac{1}{2}\|u\|^2-\int_{{\bf R}^3}F(x,u){\rm d}x\geq \left(\frac{1}{2}-al_k^2(2)\right)\|u\|^2-al_k^p(p)\|u\|^p\geq \frac{3}{8}\|u\|^2-al_k^p(p)\|u\|^p. $$
因此,令$\rho:=(8al_k^p(p))^{1/(2-p)}$,可得 $$ J(u)\geq \frac{\rho^2}{4},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall u\in Z_{k_1}, \|u\|=\rho. $$ 证毕.

定理 1.1的证明  根据引理2.3,引理2.6,推论2.1以及$f$的奇性, 泛函$J$满足命题2.1的所有假设. 故由命题2.1, 定理1.1的结论是成立的.

这节我们考虑次线性的情形. 根据条件 $(V_3)$-$(V_4)$和Poincaré不等式可推出空间嵌入 $E\hookrightarrow H^1({\bf R}^3)$是连续的. 因此在条件$(V_3)$-$(V_4)$下(2.1)式仍然成立.

引理 3.1  假设条件$(V_3)$, $(V_4)$和$(f_5)$满足并且 $u_n\rightharpoonup u$在$E$中弱收敛,则

\begin{eqnarray}\label{23} f(x,u_n)\rightarrow f(x,u)\ \ \ \ \ \mbox{在$L^2({\bf R}^3)$中强收敛.} \end{eqnarray}

(3.1)

证 由$u_n\rightharpoonup u$在$E$中弱收敛可得

\begin{eqnarray}\label{25} \|u_n\|,\|u\|\leq c_3,\ \ \ \ \ \ \forall n\in {\Bbb N}, \end{eqnarray}

(3.2)

并且

\begin{eqnarray}\label{24} u_n\rightarrow u\ \ \mbox{在 $L_{\rm loc}^2({\bf R}^3)$ 中强收敛,}\ \ \ u_n(x)\rightarrow u(x)\ \mbox{ a.e. }\ x\in {\bf R}^3. \end{eqnarray}

(3.3)

由函数$h_i$的性质可得对任意的 $\varepsilon>0$, 存在$R_\varepsilon>0$满足
$$ \left(\int_{|x|\geq R_\varepsilon}|h_i(x)|^\frac{2}{2-\sigma_i}{\rm d}x\right)^{\frac{2-\sigma_i}{2}}<\varepsilon,\ \ \ \ \ \ \ \ 1\leq i\leq m. $$
结合条件$(f_5)$,(3.2)式和Hölder不等式可推出

\begin{eqnarray}\label{26} &&\int_{|x|\geq R_\varepsilon}|f(x,u_n)-f(x,u)|^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \int_{|x|\geq R_\varepsilon}\left[\sum_{i=1}^mh_i(x)(|u_n|^{\sigma_i-1}+|u|^{\sigma_i-1})\right]^2{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& 2^m\int_{|x|\geq R_\varepsilon}\left(\sum_{i=1}^mh_i^2(x)(|u_n|^{2(\sigma_i-1)}+|u|^{2(\sigma_i-1)})\right){\rm d}x\nonumber\\ &\leq&2^m\sum_{i=1}^m\int_{|x|\geq R_\varepsilon}h_i^2(x)(|u_n|^{2(\sigma_i-1)}+|u|^{2(\sigma_i-1)}){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& 2^m\sum_{i=1}^m\left(\int_{|x|\geq R_\varepsilon}|h_i(x)|^{\frac{2}{2-\sigma_i}}{\rm d}x\right)^ {2-\sigma_i}(\|u_n\|_2^{2(\sigma_i-1)}+\|u\|_2^{2(\sigma_i-1)})\nonumber\\ &\leq&2^{m+1}\varepsilon \sum_{i=1}^m(\tau_2c_3)^{2(\sigma_i-1)}. \end{eqnarray}

(3.4)

此外,根据(3.3)式的第一极限式, 存在一子序列满足$\sum\limits_{n=1}^\infty\int_{|x|\leq R_\varepsilon}|u_n-u|^2{\rm d}x<+\infty$. 当$|x|\leq R_\varepsilon$时, 令$w(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n(x)-u(x)|^2$. 则$\int_{|x|\leq R_\varepsilon}w^2{\rm d}x<+\infty$. 由条件$(f_5)$可推出,对任意的 $n\in {\Bbb N}$和$|x|\leq R_\varepsilon$,
\begin{eqnarray*} |f(x,u_n)-f(x,u)|^2&\leq& \left(\sum_{i=1}^mh_i(x)(|u_n|^{\sigma_i-1}+|u|^{\sigma_i-1})\right)^2\\ &\leq& 2^m\sum_{i=1}^mh_i^2(x)(|u_n|^{2(\sigma_i-1)}+|u|^{2(\sigma_i-1)})\\ &\leq&2^{m+3}\sum_{i=1}^mh_i^2(x)(|u_n-u|^{2(\sigma_i-1)}+|u|^{2(\sigma_i-1)})\\ &\leq& 2^{m+3}\sum_{i=1}^m h_i^2(x)(|w|^{2(\sigma_i-1)}+|u|^{2(\sigma_i-1)}):=g(x), \end{eqnarray*}
且,由Hölder不等式,
\begin{eqnarray*} \int_{|x|\leq R_\varepsilon}g(x){\rm d}x&\leq& 2^{m+3}\sum_{i=1}^m\int_{|x|\leq R_\varepsilon}h_i^2(x)(|w|^{2(\sigma_i-1)}+|u|^{2(\sigma_i-1)}){\rm d}x\\ &\leq& 2^{m+3}\sum_{i=1}^m\|h_i\|^2_{\frac{2}{2-\sigma_i}} \left[\left(\int_{|x|\leq R_\varepsilon}w^2{\rm d}x\right)^{\sigma_i-1}+\left(\int_{|x|\leq R_\varepsilon}u^2{\rm d}x\right)^{\sigma_i-1}\right]\\ &<&+\infty. \end{eqnarray*}
因此,根据Lebesgue控制收敛定理可推出: 当$n\rightarrow \infty$时,
$$ \int_{|x|\leq R_\varepsilon}|f(x,u_n)-f(x,u)|^2{\rm d}x\rightarrow 0. $$ 结合此式与(3.4)式可得 (3.1)式成立. 证毕.

引理 3.2 假设条件$(V_3)$,$(V_4)$,$(K)$以及$(f_5)$成立. 则 $J\in C^1(E,{\bf R})$,并且
$$ \langle J'(u),v \rangle=\int_{{\bf R}^3}(\nabla u\cdot \nabla v+V(x)uv+K(x)\phi_{u}uv-f(x,u)v){\rm d}x,\ \ \ \ \ \ \ \forall u,v\in E. $$
此外,$(u,\phi)\in E\times {\cal D}^{1,2}({\bf R}^3)$ 是问题(1.1)的解当且仅当$u\in E$是泛函$J$的临界点.

证 根据引理3.2,该引理的证明是标准的, 请参见文献^[26].

我们将利用以下两个命题来证明定理1.2.

命题3 .1 (参见文献^[28])  令$E$ 为一个实Banach空间且$\Phi\in C^1(E,{\bf R})$满足(PS)条件. 如果$\Phi$下方有界,则$c^*=\inf\limits_E\Phi$为$\Phi$的一个临界值.

为了证明无穷多个非平凡解的存在性,我们使用Kajikiya 在文献^[29]中所给的对称山路引理. 令$E$为一个Banach空间并且
$$ \Gamma:=\left\{A\subset E\backslash \left\{0\right\}: A \mbox{ 是关于原点对称的闭子集}\right\}. $$
我们定义
$$ \Gamma_k:=\left\{A\in \Gamma:\gamma(A)\geq k\right\}, $$
其中$\gamma(A):=\inf\left\{m\in \mbox{${\Bbb N}$}:\exists h\in C(A,{\bf R}^m\backslash \left\{0\right\}),-h(x)=h(-x)\right\}$. 如果对任意的$m\in {\Bbb N}$这样的映射$h$不存在,则令 $\gamma (A)=+\infty$.

命题3.2 令$E$为一个无限维的Banach空间且$\Phi\in C^1(E,{\bf R})$为偶泛函,$\Phi(0)=0$且满足以下假设

(i) $\Phi$下方有界且满足(PS)条件;

(ii) 对任意的$k\in {\Bbb N}$,存在集合$A_k\in \Gamma_k$满足$\sup\limits_{u\in A_k}\Phi(u)<0$.
则以下的结论(1)或者结论(2)成立

(1) 存在序列$\left\{u_k\right\}$满足 $\Phi'(u_k)=0$,$\Phi(u_k)<0$并且$\left\{u_k\right\}$收敛到零.

(2) 存在两个序列$\left\{u_k\right\}$和 $\left\{v_k\right\}$满足$\Phi'(u_k)=0$,$\Phi(u_k)=0$,$u_k\neq 0$, $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}u_k=0$,$\Phi'(v_k)=0$,$\Phi(v_k)<0$, $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\Phi(v_k)=0$并且$\left\{v_k\right\}$收敛于一个非零的极限.

注 3.1 由命题3.2的结论可推出存在临界点序列 $\left\{u_k\right\}$满足$\Phi(u_k)\leq 0$,$u_k\neq 0$并且$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}u_k=0$.

引理 3.3 假设条件$(V_3)$,$(V_4)$,$(K)$以及$(f_5)$成立. 则泛函$J$下方有界且满足(PS)条件.

证  由条件$(f_5)$可推出 \begin{eqnarray*} J(u)&\geq&\frac{1}{2}\|u\|^2-\int_{{\bf R}^3}F(x,u){\rm d}x\\ &\geq& \frac{1}{2}\|u\|^2-\int_{{\bf R}^3}\sum_{i=1}^m\frac{1}{\sigma_i}h_i(x)|u|^{\sigma_i}{\rm d}x\\ &\geq& \frac{1}{2}\|u\|^2-\sum_{i=1}^m\frac{1}{\sigma_i}\|h_i\|_{\frac{2}{2-\sigma_i}}\|u\|_2^{\sigma_i},\ \ \ \ \ \ \ \ \forall u\in E. \end{eqnarray*} 注意到$\sigma_i\in (1,2)$,$i=1,2,\cdots,m$,以上不等式意味着: 当$\|u\|\rightarrow \infty$时, \begin{eqnarray}\label{27} J(u)\rightarrow +\infty. \end{eqnarray} 从而泛函$J$下方有界.

令$(u_n)\subset E$为泛函$J$的(PS) -序列,即, $\left\{J(u_n)\right\}$有界且当$n\rightarrow \infty$时, $J'(u_n)\rightarrow 0$. 由(3.5) 式可得序列$(u_n)$有界, 并且存在$u\in E$使得$u_n\rightharpoonup u$在$E$中弱收敛. 引理3.1意味着: 当$n\rightarrow \infty$时, \begin{eqnarray}\label{28} \int_{{\bf R}^3}|f(x,u_n)-f(x,u)|^2{\rm d}x\rightarrow 0. \end{eqnarray} 注意到对任意的$\forall x,y\geq 0$,有 $$ (xy)^{1/2}(x+y)\leq x^2+y^2. $$ 从而,由(2.2)式和Hölder不等式, \begin{eqnarray*} &&\int_{{\bf R}^3}K(x)(\phi_{u_n}u_nu+\phi_uu_n u){\rm d}x\\ &\leq& \left(\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_{u_n}u_n^2{\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_{u_n}u^2{\rm d}x\right)^{1/2}\\ &&+\left(\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_uu_n^2{\rm d}x\right)^{1/2}\left(\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_uu^2{\rm d}x\right)^{1/2}\\ &=&\left(\int_{{\bf R}^3}\nabla \phi_{u_n}\cdot \nabla \phi_u{\rm d}x\right)^{1/2}\left(\|\phi_{u_n}\|_{{\cal D}^{1,2}}+\|\phi_u\|_{{\cal D}^{1,2}}\right)\\ &\leq& \left(\int_{{\bf R}^3}|\nabla \phi_{u_n}|^2{\rm d}x\right)^{1/4}\left(\int_{{\bf R}^3}|\nabla \phi_{u}|^2{\rm d}x\right)^{1/4}\left(\|\phi_{u_n}\|_{{\cal D}^{1,2}}+\|\phi_u\|_{{\cal D}^{1,2}}\right)\\ &=&\|\phi_{u_n}\|_{{\cal D}^{1,2}}^{1/2}\|\phi_u\|_{{\cal D}^{1,2}}^{1/2} \left(\|\phi_{u_n}\|_{{\cal D}^{1,2}}+\|\phi_u\|_{{\cal D}^{1,2}}\right)\\ &\leq& \|\phi_{u_n}\|_{{\cal D}^{1,2}}^2+\|\phi_u\|_{{\cal D}^{1,2}}^2\\ &=&\int_{{\bf R}^3}K(x)(\phi_{u_n}u_n^2+\phi_uu^2){\rm d}x, \end{eqnarray*} 这意味着 $$ \int_{{\bf R}^3}K(x)(\phi_{u_n}u_n-\phi_uu)(u_n-u){\rm d}x\geq 0. $$ 结合此式与(3.6)式可得 \begin{eqnarray*} \|u_n-u\|^2&=& \langle J'(u_n)-J'(u),u_n-u\rangle-\int_{{\bf R}^3}K(x)(\phi_{u_n}u_n-\phi_uu)(u_n-u){\rm d}x\\ &&+\int_{{\bf R}^3}(f(x,u_n)-f(x,u))(u_n-u){\rm d}x\\ &\leq& \langle J'(u_n)-J'(u),u_n-u\rangle+\|f(x,u_n)-f(x,u)\|_2\|u_n-u\|_2\rightarrow 0, \end{eqnarray*} 因此$u_n\rightarrow u$ ($n\rightarrow \infty$). 故(PS)条件是成立的.

定理 1.2的证明  (存在性) 根据引理3.2,引理3.3和命题3.1可推出 $c^*=\inf\limits_E J$是泛函$J$的临界值. 则存在$u^*\in E$满足$J'(u^*)=0$并且$J(u^*)=c^*$. 我们证明$u^*\neq 0$. 不妨设$x_0=0$,令$u_0\in W_0^{1,2}(B_\delta (0))\cap E\backslash\left\{0\right\}$满足 $\|u_0\|_\infty\leq 1$且当$x\in B_{\delta/2}(0)$时,$|u_0(x)|=1$, 其中$\delta$是条件$(f_6)$中所给的常数. 因此,当$s\in (0,\varepsilon)$时,由条件$(f_6)$和引理2.2 (i),我们有 \begin{eqnarray*} J(su_0)&\leq& \frac{s^2}{2}\|u_0\|^2+\frac{s^4}{4}\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_{u_0}u_0^2{\rm d}x -\int_{{\bf R}^3}F(x,su_0){\rm d}x\\ &\leq& \frac{s^2}{2}\|u_0\|^2+\frac{s^4}{4}C_0\|u_0\|^4-\int_{B_{\delta/2}(0)}F(x,su_0){\rm d}x-\int_{B_\delta(0)\backslash B_{\delta/2}(0)}F(x,su_0){\rm d}x\\ &\leq& \frac{s^2}{2}\|u_0\|^2+\frac{s^4}{4}C_0\|u_0\|^4-\int_{B_{\delta/2}(0)}F(x,su_0){\rm d}x+a_1s^2\|u_0\|_2^2. \end{eqnarray*} 用$\varepsilon_n$代替$s$并注意到当$x\in B_{\delta/2}(0)$时, $|\varepsilon_nu_0|=\varepsilon_n$,有 $$ J(\varepsilon_n u_0)\leq \varepsilon_n^2\left[\frac{1}{2}\|u_0\|^2+\frac{\varepsilon_n^2}{4}C_0\|u_0\|^4 -M_n\mbox{vol}(B_{\delta/2}(0))+a_1\|u_0\|_2^2\right], $$ 其中vol$(B_{\delta/2}(0))$表示 $B_{\delta/2}(0)$的体积. 注意到当$n\rightarrow \infty$时,$\varepsilon_n\rightarrow 0^+$且 $M_n\rightarrow +\infty$,可选取$n_0$ 足够大使得以上不等式的右边是负的. 因此 $$ J(u^*)\leq J(\varepsilon_{n_0}u_0)<0, $$ 这意味着$u^*\neq 0$. 因此$u^*$是系统(1.1)的一个非平凡解.

(多重性) 由于引理3.2,引理3.3以及函数$f$的奇性可得泛函 $J\in C^1(E,{\bf R})$满足命题3.2的条件(i). 因此只需验证命题3.2的条件(ii)也是满足的. 我们采用Kajikiya在文献^[29]中使用的方法.

对$r>0$,令 $$ D(r)=\left\{(x_1,x_2,x_3):0\leq x_i\leq r,i=1,2,3\right\}. $$ 固定$r>0$足够小满足$D(r)\subset B_\delta(0)$,其中 $\delta$是条件$(f_6)$中所给的常数. 对任意的$k\in {\Bbb N}$. 我们将构成子集$A_k\in \Gamma_k$满足 $\sup\limits_{u\in A_k}J<0$.

令$m\in {\Bbb N}$为满足$m^3\geq k$的最小的正整数. 把$D(r)$等分成$m^3$个小的立方体,并记这些小立方体为$D_i$ $(1\leq i\leq m^3)$. 我们只用到$1\leq i\leq k$的小立方体$D_i$. 令$a=r/m$. 则小立方体$D_i$的变长为$a$. 又作小立方体$E_i\subset D_i$ $(i=1,2,\cdots,k)$满足$E_i$与$D_i$有共同的中心, $E_i$的面与$D_i$的面相互平行,且$E_i$的边长为$a/2$. 定义$\varrho\in C_0^\infty({\bf R},[0,1])$满足当$t\in [a/4,3a/4]$时, $\varrho(t)=1$,当$t\in (-\infty,0]\bigcup [a,+\infty)$时, $\varrho(t)=0$. 令 $$ \zeta(x)=\varrho(x_1)\varrho(x_2)\varrho(x_3),\ \ \ \ \ \ (x_1,x_2,x_3)\in {\bf R}^3. $$ 则supp$\zeta\subset [0,a]^3$. 对任意的$1\leq i\leq k$, 选取合适的$y_i\in {\bf R}^3$并定义 $$ \zeta_i(x)=\zeta(x-y_i),\ \ \ \ \ \ \forall x\in {\bf R}^3 $$ 满足 \begin{eqnarray}\label{29} \mbox{supp}\zeta_i\subset D_i,\ \ \ \ \ \ \ \mbox{supp}\zeta_i\bigcap\mbox{supp}\zeta_j=\emptyset \ \ (i\neq j), \end{eqnarray} 并且 $$ \zeta_i(x)=1\ \ (x\in E_i),\ \ \ \ \ \ \ 0\leq \zeta_i(x)\leq 1\ \ (x\in {\bf R}^3). $$ 令 \begin{eqnarray}\label{41} V_k=\left\{(s_1,s_2,\cdots,s_k)\in \mbox{${\bf R}^k$}:\max_{1\leq i\leq k}|s_i|=1\right\} \end{eqnarray} 并且 $$ W_k=\left\{\sum_{i=1}^ks_i\zeta_i(x):(s_1,s_2,\cdots,s_k)\in V_k\right\}. $$ 注意到$V_k$与${\bf R}^k$的单位球面奇同胚,我们有$\gamma(V_k)=k$. 此外,由于映射 $(s_1,\cdots,s_k)\longmapsto \sum\limits_{i=1}^ks_i\zeta_i(x)$是奇的、同胚的, 我们有$\gamma(W_k)=\gamma(V_k)=k$. 由于$W_k$的紧性,存在$C_k>0$使得 \begin{eqnarray}\label{42} \|u\|\leq C_k,\ \ \ \ \ \ \ \ \forall u\in W_k. \end{eqnarray} 当$0<s<\varepsilon$及$u=\sum\limits_{i=1}^ks_i\zeta_i(x)\in W_k$时, 由(3.9)和(3.7)式,我们有 \begin{eqnarray}\label{43} J(su) &\leq& \frac{s^2}{2}\|u\|^2+\frac{s^4}{4}\int_{{\bf R}^3}K(x)\phi_u u^2{\rm d}x -\int_{{\bf R}^3}F\left(x,s\sum_{i=1}^ks_i\zeta_i(x)\right){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& \frac{s^2}{2}C_k^2+\frac{s^4}{4}C_0C_k^4-\sum_{i=1}^k\int_{D_i}F(x,ss_i\zeta_i(x)){\rm d}x. \end{eqnarray} 根据(3.8)式,存在整数 $i_0\in [1,k]$满足$|s_{i_0}|=1$. 则 \begin{eqnarray}\label{45} \sum_{i=1}^k\int_{D_i}F(x,ss_i\zeta_i(x)){\rm d}x&=&\sum_{i\neq i_0}\int_{D_i}F(x,ss_i\zeta_i(x)){\rm d}x+\int_{D_{i_0}\backslash E_{i_0}}F(x,ss_{i_0}\zeta_{i_0}(x)){\rm d}x\nonumber\\ &&+\int_{E_{i_0}}F(x,ss_{i_0}\zeta_{i_0}(x)){\rm d}x. \end{eqnarray} 注意到$|s_{i_0}|=1$,$\zeta_{i_0}$限制在$E_{i_0}$上恒为1并且 $F(x,u)$为关于$u$的偶函数,我们有 \begin{eqnarray}\label{46} \int_{E_{i_0}}F(x,ss_{i_0}\zeta_{i_0}(x)){\rm d}x=\int_{E_{i_0}}F(x,s){\rm d}x. \end{eqnarray} 由条件($f_6$), \begin{eqnarray}\label{47} \sum_{i\neq i_0}\int_{D_i}F(x,ss_i\zeta_i(x)){\rm d}x+\int_{D_{i_0}\backslash E_{i_0}}F(x,ss_{i_0}\zeta_{i_0}(x)){\rm d}x\geq -a_1\mbox{vol}(D(r))s^2. \end{eqnarray} 结合(3.10)-(3.13)式,我们有 $$ J(su)\leq \frac{s^2}{2}C_k^2+\frac{s^4}{4}C_0C_k^4+a_1r^3s^2-\int_{E_{i_0}}F(x,s){\rm d}x. $$ 用$\varepsilon_n$代替$s$并根据条件$(f_6)$可推出 $$ J(\varepsilon_n u)\leq \varepsilon_n^2\left[\frac{C_k^2}{2}+\frac{\varepsilon_n^2C_0C_k^4}{4}+a_1r^3-\left(\frac{a}{2}\right)^3M_n\right]. $$ 注意到当$n\rightarrow \infty$时,$\varepsilon_n\rightarrow 0^+$ 和 $M_n\rightarrow +\infty$, 我们可选择$n_1$足够大使得以上不等式的右边是负的. 令 $$ A_k=\varepsilon_{n_1}W_k. $$ 则 $$ \gamma (A_k)=\gamma(W_k)=k\ \ \ \ \ \ \ \mbox{并且}\ \ \ \ \ \sup_{u\in A_k}J(u)<0. $$ 因此,由命题3.2, 系统(1.1)有无穷多个非平凡解$(u_k)$满足$J(u_k)\leq 0$并且$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}u_k=0$. 证毕.