我们考虑如下一类半线性 SchrÖdinger 方程

$$\begin{equation}\label{eq:a1} -\Delta u +V(x)u =K(x)|u|^{2^*-2} u+g(x,u),\ u\in H^1({\Bbb R}^N), \end{equation}$$

(1.1)

其中 $N\geq 4,$ $2^*=\frac{2N}{N-2}$ 为临界Sobolev指标,$g(x,u)$ 关于 $u$ 是次临界增长. 记 $G(x,u)=\int^u _0g(x,s){\rm d}s$. 我们假设

($S_1$) $V(x),K(x) \in C({\Bbb R}^N,{\Bbb R}),$ $g(x,u) \in C({\Bbb R}^N \times {\Bbb R},{\Bbb R})$ 关于 $x_j$ 是 1 - 周期,$j=1,2,\cdots,N$;

($S_2$) $0 \notin \sigma(- \Delta + V),$ $\sigma(- \Delta + V) \cap (-\infty,0) \neq \emptyset,$ 其中 $\sigma$ 表示算子在 $L^2({\Bbb R}^N)$ 空间中的谱;

($S_3$) $K(x_0):= \max\limits_ {x\in{\Bbb R}^N} K(x)$,$K(x)-K(x_0)= o(|x-x_0|^2)$ 当 $x\rightarrow x_0,$ $V(x_0) <0;$

($S_4$) 对任意 $(x,u)\in {\Bbb R}^N \times {\Bbb R},$ $|g(x,u)| \leq c_0(1+|u|^{p-1}),$ 其中 $c_0 >0,$ $p\in (2,2^*);$

($S_5$) $g(x,u)u\ge 2G(x,u)\ge 0,$ $g(x,u)=o(|u|)$ 当 $u \rightarrow 0$ 对 $x\in {\Bbb R}^N$ 一致成立 且$\inf\limits_{x\in{\Bbb R}^N}K(x)>0$;

($S_6$) 对 $\forall u\neq 0,$ $2k_0|u|^{2^*}\ge (N-2)g(x,u)u >0;$ $g(x,u)/ |u|^{2^*-1} \rightarrow 0$ 当 $u \rightarrow 0$ 对 $x\in {\Bbb R}^N$ 一致成立,其中 $k_0=\inf\limits_{x\in{\Bbb R}^N}K(x)$.

若 $K(x)=0,$ 许多学者给出了方程(1.1)非平凡解的存在性, 参见文献^{[1, 5, 6, 13, 15]}及其参考文献. 另外,一些作者研究了同样情形下方程(1.1)基态解的存在性. 如果 $V(x)$ 是周期的, 0 在算子 $A:= -\Delta +V$ 的谱间隔,近期Szulkin 和 Weth^[11] 利用将强不定问题转化为正定问题的新方法证明了基态解的存在性. 此外对于奇非线性项,他们还得到无穷多个结构不同的解. 以上这些结果推广了早期 Li,Wang 和 Zeng^[7]及 Pankov^[8]取得的结果. 最近,Yang^[16]证明了超线性椭圆问题基态解的存在性. 特别指出的是,在这些结果中,许多作者都假设 $G(x,u)/|u|^2\rightarrow \infty,$ 当 $|u|\rightarrow \infty$对 $x$一致成立, 同时要求 $u\rightarrow g(x,u)/|u|$在区间 $(-\infty,0)$ 与$(0,+\infty)$严格递增.

如果 $K(x)\not=0,$ 方程(1.1)非平凡解的存在性已经被诸多作者做了相当的研究, 参见文献^{[2, 4, 10, 14]}. Chabrowski^[2]推广了文献^[4]中的早期结果,证明了在$(S_1)$-$(S_5)$条件下, 方程 (1.1)非平凡解的存在性. 如果条件 $(S_1)$-$(S_4)$ 及 $(S_6)$ 成立,Schechter和 Zou^[10]利用弱环绕定理给出了方程(1.1)非平凡解的存在性. 关于方程(1.1)非平凡解存在性的更多结果, 读者可参见文献^{[3, 9, 15]} 和本文参考文献. 就我们所知,如果 $K(x)\not=0,$ 尚未有方程(1.1)基态解的存在性的结果.

本文主要关心方程(1.1)在 $K(x)\not=0$ 情形下基态解的存在性. 我们的主要结果如下.

定理1.1 假设条件 $(S_1)$-$(S_4)$ 成立,并且 条件$(S_5)$ 或者 $(S_6)$ 成立,则问题(1.1)至少存在一个基态解.

注1.1 若 $0<c\leq \frac{2k_0}{N-2},$ 则

$$\begin{eqnarray*} g(x,u)= \left\{\begin{array}{ll} c |u|^{2^*}u, \qquad &|u|\leq 1,\\ c |u|^{-\frac{2}{3}}u,\qquad &|u|> 1, \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$ 满足 条件$(S_4)$ 和 $(S_6)$. 但是易知 $\lim\limits_{|u|\to\infty}G(x,u)/|u|^2=0,$ 并且 $u\rightarrow g(x,u)/|u|$ 在区间 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 不是单调的.

设 $E:=H^1({\Bbb R}^N)$,$\|u\|_{1,2}=(\int_{{\Bbb R}^N} |\nabla u|^2+ |u|^2{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}$ 为 $E$ 中通常的范数. 对 $1<q<\infty$,令 $\|u\|_q=(\int_{{\Bbb R}^N} |u|^q{\rm d}x)^{\frac{1}{q}}$ 表示 $L^q({\Bbb R}^N)$ 中的范数. 令 $C$ 表示不同的正常数.

众所周知,方程(1.1)的弱解对应着 $C^1$ 泛函 $H: E\to {\Bbb R}$ 的临界点,其中

$$\begin{equation}\label{eq:a3} H(u):= \frac{1}{2} \int_ {{\Bbb R}^N} (|\nabla u|^2+V(x)u^2) {\rm d}x- \frac{1}{2^*}\int_ {{\Bbb R}^N} K(x)|u|^{2^*}{\rm d}x- \int_ {{\Bbb R}^N} G(x,u){\rm d}x. \end{equation}$$

(2.1)

令 $(E(\lambda))_{\lambda \in {\Bbb R}}$ 为算子 $-\Delta +V$ 在$L^2({\Bbb R}^N)$ 中的谱族. $E^- = E(0)L^2 \cap E,$ $E^+ =({\rm id}- E(0))L^2 \cap E,$ 则二次型 $\int_ {{\Bbb R}^N} (|\nabla u|^2+V(x)u^2) {\rm d}x$ 在 $E^+$ 上是正定的,在 $E^-$ 上是负定的. 在 $E$ 中,我们引入一个新的内积 $\langle \cdot,\cdot \rangle,$ 对应的范数 $\| \cdot\|$ 使得

$$\int_ {{\Bbb R}^N} (|\nabla u|^2+V(x)u^2) {\rm d}x =\| u^+\|^2- \| u^-\|^2,$$ 其中 $u=u^++u^-,u^{\pm} \in E^{\pm}.$ 那么 $\|u\|$ 与$\| \cdot\|_{1,2}$ 等价. 因此(2.1)式可以改写成 $$\begin{eqnarray*} H(u):= \frac{1}{2}\| u^+\|^2- \frac{1}{2} \| u^-\|^2- \frac{1}{2^*}\int_ {{\Bbb R}^N} K(x)|u|^{2^*}{\rm d}x- \int_ {{\Bbb R}^N} G(x,u){\rm d}x. \end{eqnarray*}$$ 对 $\forall\lambda\in [1,2]$,我们定义一族泛函 $$\begin{eqnarray*} H_\lambda (u):= \frac{1}{2}\| u^+\|^2- \lambda\left(\frac{1}{2} \| u^-\|^2+ \frac{1}{2^*}\int_ {{\Bbb R}^N} K(x)|u|^{2^*}{\rm d}x+ \int_ {{\Bbb R}^N} G(x,u){\rm d}x\right). \end{eqnarray*}$$ 令 $z_0 \in E^+,$ $\|z_0\|=1.$ 对 $R>0,$ 记 $$Q:=\{ u=u^- +sz_0:s\in {\Bbb R}^+,u^- \in E^-,\|u\|<R\}.$$

为证明定理1.1,我们需要以下引理.

引理2.1 假设$(S_1)$-$(S_4)$,$(S_6)$成立,则

(1) 存在 $\lambda_n \in[1,1+\delta_0],$ $\lambda_n \rightarrow1,$ 及 $u_{\lambda_n}\in E\backslash \{0\}$ 使得

$$H'_{\lambda_n} (u_{\lambda_n})=0, H_{\lambda_n} (u_{\lambda_n}) \leq \sup_{\overline{Q} }H,$$ 其中 $\delta_0$ 足够小.

(2) $\{u_{\lambda_n} \}$ 有界且非vanishing,即存在 $r,\delta >0$ 和序列 $y_n \in {\Bbb R}^N$ 使得

$$\limsup_{n\rightarrow \infty} \int_ {B_r(y_n)} (u_{\lambda_n})^2 {\rm d}x \geq \delta.$$

(3) 对 $\forall x\in {\Bbb R}^N,$ $u\neq 0,$ $\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,u)u- \widetilde{G}(x,u)>0,$ 其中 $\widetilde{g}(x,u)=K(x)|u|^{2^*-2} u +g(x,u),$ $\widetilde{G}(x,u)= \int_0^u \widetilde{g}(x,s){\rm d}s.$

(4) $\sup\limits_{\overline{Q} } H<c^*,$ 其中 $c^*:= \frac{S^{N/2} }{N\| K\|_{\infty}^{(N-2)/2}}.$

引理2.2 假设$(S_1)$-$(S_4)$,$(S_6)$成立,则 令 $\{u_{\lambda_n } \}$ 为引理 2.1 中给出的序列,则该序列也是 $H$ 的(PS) 序列,并且满足

$$\lim_{n\rightarrow \infty} H'(u_{\lambda_n })=0, \lim_{n\rightarrow \infty} H(u_{\lambda_n })\leq \sup_{\overline{Q}} H.$$

证 因为 $u_{\lambda_n }$ 有界,并且 $\widetilde{g}(x,s) \leq \epsilon |u|+C(\epsilon)|u|^{p-1} + C|u|^{2^*-1},$ 则

$$\lim_{n\rightarrow \infty} H(u_{\lambda_n }) = \lim_{n\rightarrow \infty} \left(H_{\lambda_n } (u_{\lambda_n })+(\lambda_n-1)\left(\frac{1}{2}\|u_{\lambda_n}^-\|^2+ \int_{{\Bbb R}^N }\widetilde{G}(x,u_{\lambda_n })\right) \right),$$ 从而我们得到 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} H(u_{\lambda_n }) \leq \sup\limits_{\overline{Q}} H$.

此外,注意到对 $\forall \varphi \in E,$ 有

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \langle H'(u_{\lambda_n }),\varphi\rangle = \lim_{n\rightarrow \infty} \left( \langle H'_{\lambda_n } (u_{\lambda_n }),\varphi\rangle+(\lambda_n-1)\left((u_{\lambda_n}^-, \varphi)+ \int_{{\Bbb R}^N }\widetilde{g}(x,u_{\lambda_n })\varphi \right) \right) ,$$ 并且 $\|H'(u_{\lambda_n })\|= \sup\limits_{\|\varphi\|\leq 1} \langle H' (u_{\lambda_n }), \varphi\rangle,$ 可以推出 $\|H'(u_{\lambda_n })\| \rightarrow0.$ 因此 $H'(u_{\lambda_n }) \rightarrow 0.$ 结论证毕.

现在我们证明定理1.1.

证 不失一般性,我们假设($S_1$)-($S_4$) 及 ($S_6$) 成立, 对于另外一种情形证明类似. 令 $\{u_{\lambda_n} \}$ 为引理 2.1 给出的序列,则 $u_{\lambda_n}$ 有界且非vanishing, 即存在 $r,\delta >0$ 和序列 $y_n \in {\Bbb R}^N$ 使得

$$\limsup_{n\rightarrow \infty} \int_ {B_r(y_n)} (u_{\lambda_n})^2 {\rm d}x \geq \delta.$$

假设 $y_n \in {\Bbb Z}^N,$ 如若不然选择足够大的 $r.$ 定义 $v_{\lambda_n} (\cdot)= u_{\lambda_n}(\cdot+y_n),$ 则

$$\limsup_{n\rightarrow \infty} \int_ {B_r(0)} (v_{\lambda_n})^2 {\rm d}x \geq \frac{1}{2}\delta.$$

根据引理 2.2 及 $H'$ 关于 $x$ 平移不变,可知 $H'(v_{\lambda_n}) \rightarrow 0$.

在下文中,利用结论:对任意 $x\in {\Bbb R}^N,$ $u\neq 0,$ 有 $\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,u)u- \widetilde{G}(x,u)>0.$

因为 $v_{\lambda_n}$ 有界,我们可假设 $v_{\lambda_n} \rightharpoonup v$ 于 $H^1({\Bbb R}^N).$ 如若不然,至多抽取子列 (仍记为 $v_{\lambda_n}).$ 由于$v_{\lambda_n}\rightarrow v$ 于 $L^2_{loc}({\Bbb R}^N),$ 则 $v \neq 0,$ 且$H' (v)=0,$由Fatou引理,

$$\begin{eqnarray*} H(v)=H(v)- \frac{1}{2} \langle H'(v),v\rangle&=& \int_{{\Bbb R}^N } \bigg(\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,v)v- \widetilde{G}(x,v)\bigg) {\rm d}x\\ &\leq &\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{{\Bbb R}^N }\left(\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,v_{\lambda_n})v_{\lambda_n}- \widetilde{G}(x,v_{\lambda_n})\right) {\rm d}x\\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty} \left(H(v_{\lambda_n})-\frac{1}{2} \langle H'(v_{\lambda_n}),v_{\lambda_n}\rangle\right)\\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty} H(u_{\lambda_n})\\ &\leq & \sup_{\overline{Q}} H<c^*. \end{eqnarray*}$$

记 $\widetilde{\mathfrak{K}} :=\{ u\in E: H'(u)=0\}$ 为 $H$ 的临界点集,

$$\widehat{C}:= \inf \{H(u) ,u\in \widetilde{\mathfrak{K}} \backslash \{0\}\}.$$ 由以上结果,易得 $\widetilde{\mathfrak{K}} \backslash \{0\}\neq \emptyset.$ 另一方面,由于存在 $v \in \widetilde{\mathfrak{K}} \backslash \{0\},$ $H(v)\leq \sup\limits_{\overline{Q}} H,$ 所以有 $\widehat{C} \leq \sup\limits_{\overline{Q}} H.$

对 $H$ 的任意临界点 $u\neq 0,$ 有

$$H(u)=H(u)- \frac{1}{2} \langle H'(u),u\rangle = \int_{{\Bbb R}^N } \bigg(\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,u)u- \widetilde{G}(x,u)\bigg) {\rm d}x>0.$$ 从而 $\widehat{C} \geq 0.$ 现在只需证明 $\widehat{C} >0,$ 并且存在 $u\in \widetilde{\mathfrak{K}}\backslash \{0\}$ 使得 $H(u)=\widehat{C}.$

令 $u_j \in \widetilde{\mathfrak{K}} \backslash \{0\}$ 使得 $H(u_j) \rightarrow \widehat{C}.$ 根据 $\widehat{C} \leq\sup_{\overline{Q}} H < c^*,$ 有 $(u_j)$ 有界,并且至多取子列可使得 $u_j \rightharpoonup u$于$E$. 由于 $H'_{\lambda_n}$ 弱序列连续且 $u_j \rightharpoonup u ,$ 则 $u \in \widetilde{\mathfrak{K}} .$ 再由 $u_j\neq 0$ 非vanishing,因此 $u \neq 0,$ 从而 $u \in \widetilde{\mathfrak{K}} \backslash \{0\}.$

利用 Fauto 引理可得

$$\begin{eqnarray*} \widehat{C}&=& \lim _{j \rightarrow \infty }H(u_j) = \lim _{j \rightarrow \infty }\int_{{\Bbb R}^N } \bigg (\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,u_j)u_j- \widetilde{G}(x,u_j)\bigg) {\rm d}x \nonumber\\ & \geq & \int_{{\Bbb R}^N }\bigg (\frac{1}{2}\widetilde{g}(x,u)u- \widetilde{G}(x,u)\bigg){\rm d}x =H(u)\geq \widehat{C}. \end{eqnarray*}$$ 也即 $H(u)=\widehat{C},$ 并且因为 $u \neq 0,$ 所以 $\widehat{C} >0.$