该文研究如下有界区域上反应扩散方程初边值问题指数吸引子的存在性

$$\begin{equation}\label{Equ1.1} \left\{ \begin{array}{ll} u_t-\Delta u+f(u)=g,& \hbox{$x\in{\Omega}$,$t≶0$,} \\ u(x,0)=u_0(x),& \hbox{$x\in{\Omega}$,} \\ u=0,& \hbox{$(x,t)\in\partial \Omega\times{\Bbb R}^+$,} \end{array} \right. \end{equation}$$

(1.1)

其中,$\Omega\subset{\Bbb R}^3$ 是具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界开区域. 假设 $g\in L^2(\Omega)$,对 $p\geq2$,$\nu≶0$,$c_i≶0$ $(i=1,\cdots,4)$, 非线性函数 $f\in C^2({\Bbb R},{\Bbb R})$ 满足

$$\begin{equation} c_1|u|^p-c_2\leq f(u)u\leq c_3|u|^p+c_4,\;\forall u\in{\Bbb R},\label{Equ1.2} \end{equation}$$

(1.2)

$$\begin{equation} f'(u)\geq-\nu,\;\forall u\in{\Bbb R}.\label{Equ1.3} \end{equation}$$

(1.3)

指数吸引子是一个紧的,正不变的,有有限维分形维数且指数吸引每条轨道的集合. 相对全局吸引子,由于指数吸引子具有一致的轨道指数吸引速率,从而关于扰动显得更为稳定. 自从1994年Eden,Foias,Nicolaenko和Temam提出这一概念起, 不少数学工作者在指数吸引子方面做出了深入的研究^{[1, 2, 3, 4, 5]}. 当空间维数不作限制时,钟延生和钟承奎在文献^[6] 中分别用文献^[7]中提出的 $\ell$ -轨迹方法和锥挤压性质证明了在$L^2(\Omega)$和$H^1_0(\Omega)$中指数吸引子的存在性. 而且,他们引入了对Banach空间$L^r(\Omega)$ ($0<r<\infty$) 一种新的覆盖技巧, 并用这一技巧证明了当$g\in{\Bbb G}$ (${\Bbb G}$为$L^2(\Omega)$ 的一个子集) 时在$L^{2p-2}(\Omega)$ 中存在指数吸引子. 这种方法也可以用来研究随机吸引子 (参见文献 ^[8]).

该文的主要目的是对任意的$g\in L^2(\Omega)$,在空间$H^2(\Omega)$和$L^{2p-2}(\Omega)$ 中构造初边值问题(1.1)的指数吸引子. 首先,分别选取解半群$S(t)$ 在$L^2(\Omega)$ 和$H^2(\Omega)$中的有界正不变吸收集来构造$H^{2}(\Omega)$中的指数吸引子. 然后证明对某个足够大的时间$T_1$,$S(T_1)$ 在这两个吸收集之间是Lipschitz连续的. 最后由文献^[9]中提供的一种新的逼近技巧来证明对任意的$g\in L^2(\Omega)$, $S(t)$在$L^{2p-2}(\Omega)$ 中存在指数吸引子.

本文安排如下. 在第二节中,列出本文中用到的主要结果并建立了一个抽象的逼近结论. 在第三节中,对$\Omega\subset{\Bbb R}^3$证明了(1.1)生成的动力系统具有指数吸引子. 在第四节中,对任意$g\in L^2(\Omega)$证明了$L^{2p-2}(\Omega)$ 中指数吸引子的存在性.

全文中,$\|\cdot\|_X$ 记Banach空间$X$的范数,$L^2(\Omega)$空间的内积和范数分别记为 $(\cdot,\cdot)$ 和 $\|\cdot\|$,$\|u\|_r$记$u\in L^r(\Omega)$($r\geq1,r\neq2$)的范数. 记$c$为通用常数.

首先给出离散系统指数吸引子的定义.

定义2.1 设$E$是一个距离空间,$B$是$E$中的一个有界集, $S:B\rightarrow B$ 是一个映射. 定义离散半群 $\{S^n,n\in {\Bbb N}\}$ 为 $S^n:=S\circ\cdots\circ S$ ($n$ 次). 集合${\cal M}\subset B$ 称为离散动力系统 $(S^n,B)$ 的一个指数吸引子,如果满足条件

(1) 集合 ${\cal M}$ 在$E$ 中紧并且有有限分形维数;

(2) 集合 ${\cal M}$ 关于 $S$ 是正不变的,即$S({\cal M})\subset{\cal M}$;

(3) 存在正常数 $\alpha_0$ 和 $\beta_0$ 使得

$$dist_E(S^nB,{\cal M})\leq \alpha_0e^{-\beta_0n},n\geq1,$$

其中,$dist_E$ 记 $E$中两集合间的Hausdorff 半距离.

类似可定义连续系统的指数吸引子,见参考文献^[9]. 从文献^[10]中知道, 初边值问题(1.1)对$g\in H^{-1}(\Omega)$ 和 $g\in L^2(\Omega)$ 在$L^2(\Omega)$中存在算子半群$S(t)$定义如下

$$\begin{equation}\label{Equ2.1} S(t)u_0=u(t;u_0): L^2(\Omega)\times {\Bbb R}^+\rightarrow L^2(\Omega), \end{equation}$$

(2.1)

其中,$u(t;u_0)=u(t)$ 是(1.1)当初值 $u(0)=u_0\in L^2(\Omega)$ 的唯一解.

对任意的$g\in L^2(\Omega)$,要证明在空间 $L^{2p-2}(\Omega)$ 中指数吸引子的存在性, 我们首先建立如下逼近结果.

定理2.1 设$X$是Banach空间,$S_n(n\in\overline{{\Bbb N}})$是一列定义在$X$上的映射. 设${\cal B}$是$X$中的关于$S_n$ 的正不变有界吸收集. 则离散动力系统$(S_0^i,{\cal B})$在$X$中存在指数吸引子如果下面条件成立:

i) $S_0$在${\cal B}$上是Lipschitz连续的,即存在$L≶0$使得

$$\begin{eqnarray*} \|S_0x_1-S_0x_2\|_X\leq L\|x_1-x_2\|_X,\; \forall x_1,x_2\in {\cal B}; \end{eqnarray*}$$

ii) 对任意的$n\in{\Bbb N}$,离散动力系统$(S_n^i,{\cal B})$在$X$中存在指数吸引子, 并且覆盖的球的半径以$\theta^iR$ ($\theta<\frac{1}{2L}$)递减,$i\in{\Bbb N}$, 即

$$S_n^i({\cal B})\subset\bigcup\limits_{j=1}^{{\Bbb M}_i}B_X(a_n^{ij},\theta^iR), i\in{\Bbb N},$$

其中$R$是与$n$无关的正数而$B_X(a_n^{ij},\theta^iR)$ 表示$X$中以$a_n^{ij}$为中心$\theta^iR$ 为半径的球,基数${\Bbb M}_i=N_0K_0^i$, 其中$N_0$,$K_0$是与$n$无关的正数;

iii) 当$n\rightarrow\infty$时,$S_n$在${\cal B}$上按$X$中范数一致收敛到$S_0$.

注2.1 本节中令$X=L^{2p-2}(\Omega)$. $S_n(t)$是由初边值问题(1.1) 导出的半群, 其中的$g$换成了$g_n$ ($g_0\in L^2(\Omega)$,$g_n\in{\Bbb G}$,$n\in{\Bbb N}$). 集合${\Bbb G}$的定义参见文献^[6]. 从文献^[6]中知道条件i) 和ii) 成立. 因此,为了证明$S_0(t)$ 在 $X=L^{2p-2}(\Omega)$ 存在指数吸引子, 只需证明存在有界的正不变吸收集 ${\cal B}$ 并验证条件iii).

证 对任意固定的 $i\in{\Bbb N}$,考虑 $S_0^i({\cal B})$ 在 $X$ 中的有限覆盖. 由iii),我们可以选取$n$足够大,使得对任意的 $u\in{\cal B}$ 有

$$\|S_nu-S_0u\|_X\leq\theta^iR.$$

因为 ${\cal B}$ 关于 $S_n$ 是正不变的,由条件i)有

$$\begin{eqnarray*} \|S^2_nu-S^2_0u\|_X&=&\|S_n(S_nu)-S_0(S_0u)\|_X\\ &\leq&\|S_n(S_nu)-S_0(S_nu)\|_X+\|S_0(S_nu)-S_0(S_0u)\|_X\\ &\leq &\theta^iR+L\theta^iR\leq2L\theta^iR, \end{eqnarray*}$$

不失一般性,此处我们假设$L\geq1$. 重复上述不等式$i-2$次容易推知

$$\|S^i_nu-S^i_0u\|_X\leq(2L)^{i-1}\theta^iR.$$

这说明

$$dist_{sym,X}(S_n^i{\cal B},S_0^i{\cal B})\leq(2L\theta)^i(\frac{R}{2L}).$$

再应用假设ii),得到

$$S_n^i({\cal B})\subset\bigcup_{j=1}^{{\Bbb M}_i}B_X(a_n^{ij},\theta^iR).$$

因而,

$$S_0^i({\cal B})\subset\bigcup_{j=1}^{{\Bbb M}_i}B_X(a_n^{ij},\theta^iR+(2L\theta)^i(\frac{R}{2L}))\subset\bigcup_{j=1}^{{\Bbb M}_i}B_X(a_n^{ij},\theta'^iR'),$$

其中$\theta'=2L\theta$,$R'=2R$. 上式表明$(S_0^i,{\cal B})$在$X$中存在指数吸引子. 证毕.

我们知道当 $g\in L^2(\Omega)$ 时解半群 $S(t)$ 在 $L^2(\Omega)$ 和 $H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$ 存在整体吸引子. 这意味着 $S(t)$ 分别在 $L^2(\Omega)$ 和 $H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$ 中存在有界正不变吸收集 $B_2$ 和 $B_{V_2}$. 由于 $B_{V_2}$ 在 $L^2(\Omega)$ 中也是有界的并且半群 $S(t)$ 存在 $(L^2(\Omega),H^2(\Omega))$ 吸收集^[10],从而存在 $T_0$ 使得

$$\begin{equation}\label{Equ3.1} S(t)B_{V_2}\subset B_2,S(t)B_2\subset B_{V_2},\forall t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.1)

由上易知 $S(T_0)B_2$ 和 $S(T_0)B_{V_2}$ 也分别是 $S(t)$ 在 $L^2(\Omega)$ 和 $H^2(\Omega)$ 中的有界正不变吸收集,且有

$$\begin{equation}\label{Equ3.2} S(t)S(T_0)B_{V_2}\subset S(T_0)B_2,S(t)S(T_0)B_2\subset S(T_0)B_{V_2}, \forall t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.2)

下面我们在 $S(T_0)B_{V_2}$ 中在 $H^2(\Omega)$ 范数拓扑下构造 $S(t)$ 的指数吸引子. 为此,我们证明当 $t$ 足够大时 $S(t)$ 是从 $S(T_0)B_2$ 到 $S(T_0)B_{V_2}$ Lipschitz连续的.

引理3.1 假设(1.2)--(1.3)式成立并且$g\in L^2(\Omega)$,那么对任意的$t\geq T_0+2$及任意的 $x_1,x_2\in B_2$,

$$\begin{equation} \|S(t)x_1-S(t)x_2\|_{H_0^1(D)}\leq ce^{\nu(t-T_0)}\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|,\label{Equ3.3} \end{equation}$$

(3.3)

$$\begin{equation} \|u_t(t,x_1)-u_t(t,x_2)\|\leq ce^{\nu(t-T_0)}\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|,\label{Equ3.4} \end{equation}$$

(3.4)

其中,$c$是与$t$,$T_0$,$x_1$及$x_2$无关的常数,

$$u_t(s,x)=\frac{\rm d}{{\rm d}t}(S(t)x)|_{t=s}.$$

证 设$u_1(t)$和$u_2(t)$是方程(1.1)的两个解, 初值分别为$x_1$,$x_2\in B_2$. 考虑差$w(t)=u_1(t)-u_2(t)$,则$w(t)$满足

$$\begin{equation}\label{Equ3.5} w_t(t)-\Delta w(t)+l(t)w(t)=0, \end{equation}$$

(3.5)

其中,$l(t)=\int_0^1f'(su_1(t)+(1-s)u_2(t)){\rm d}s$. 由$f'(u)\geq -\nu$知$l(t)\geq -\nu$.

将(3.5)式与$w$在$L^2(\Omega)$中作内积得

$$\begin{equation}\label{Equ3.6} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|^2+2\|\nabla w\|^2\leq2\nu\|w\|^2,t≶0, \end{equation}$$

(3.6)

此即

$$\begin{equation}\label{Equ3.7} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\{e^{-2\nu t}\|w(t)\|^2\}\leq0,t≶0. \end{equation}$$

(3.7)

对$t\geq T_0$,将上式从$T_0$到$t$积分有

$$\begin{equation}\label{Equ3.8} \|w(t)\|^2\leq e^{2\nu(t-T_0)}\|w(T_0)\|^2. \end{equation}$$

(3.8)

由(3.6)和(3.8)式易知,当$t\geq T_0$时

$$\begin{equation}\label{Equ3.9} \int_t^{t+1}\|\nabla w(s)\|^2{\rm d}s\leq ce^{2\nu(t-T_0)}\|w(T_0)\|^2. \end{equation}$$

(3.9)

接着,将(3.5)式与$w_t$相乘得

$$\|w_t\|^2+\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla w\|^2+(l(t)w,w_t)=0.$$

因为$B_{V_2}$在$H^2(\Omega)$中有界,利用(3.1)式,Sobolev 嵌入$H^2(\Omega)\subset C(\Omega)$以及性质$f\in C^2({\Bbb R},{\Bbb R})$,我们得到

$$\sup_{x_1,x_2\in B_2}\sup_{t\geq T_0}\|l(t)\|_\infty\leq c.$$

因此,

$$\|w_t(t)\|^2+\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla w(t)\|^2\leq c\|w(t)\|\|w_t(t)\|,t\geq T_0.$$

应用Cauchy不等式得

$$\begin{equation}\label{Equ3.10} \|w_t\|^2+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla w\|^2\leq c\|w\|^2,t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.10)

这意味着

$$\begin{equation}\label{Equ3.11} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla w\|^2\leq c\|\nabla w\|^2,t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.11)

联合(3.9)和(3.11)式并利用一致Gronwall不等式得

$$\begin{equation}\label{Equ3.12} \|\nabla w(t)\|^2\leq ce^{2\nu(t-T_0)}\|w(T_0)\|^2,t\geq T_0+1. \end{equation}$$

(3.12)

为证明(3.4)式,将(3.5)式关于$t$求导

$$\begin{equation}\label{Equ3.13} w_{tt}(t)-\Delta w_t(t)+l'(t)w(t)+l(t)w_t(t)=0. \end{equation}$$

(3.13)

将(3.13)式与$w_t$相乘并在$\Omega$上积分有

$$\begin{equation}\label{Equ3.14} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w_t\|^2+\|\nabla w_t\|^2+(l(t)w_t,w_t)+(l'(t)w,w_t)=0. \end{equation}$$

(3.14)

由文献^[6]可知,对任意有界集$B\subset L^2(\Omega)$及任意的 $2\leq q<\infty$,

$$\begin{equation}\label{Equ3.15} \sup_{u_0\in B}\|u_t(t,u_0)\|_q\leq c,t\geq0, \end{equation}$$

(3.15)

其中$c$是只与$q$,$\lambda_1$,$g$,$|D|$,$\ell$ (见文献^[6])及$dist_{L^2(\Omega)}(B,\{0\})$有关的常数. 类似地,我们也有

$$\sup_{x_1,x_2\in B_2}\sup_{t\geq T_0}\|f''(su_1(t)+(1-s)u_2(t))\|_\infty\leq c,\forall s\in(0,1).$$

因此,

$$\begin{eqnarray}\label{Equ3.16} |l'(t)|&=&\bigg|\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^1f'(su_1(t)+(1-s)u_2(t)){\rm d}s\bigg|\nonumber\\ &=&\bigg|\int_0^1f''(su_1(t)+(1-s)u_2(t))(su_t(t,x_1)+(1-s)u_t(t,x_2)){\rm d}s\bigg|\nonumber\\ &\leq& \int_0^1|f''(su_1(t)+(1-s)u_2(t))|{\rm d}s(|u_t(t,x_1)|+|u_t(t,x_2)|)\nonumber\\ &\leq& c(|u_t(t,x_1)|+|u_t(t,x_2)|),t\geq T_0. \end{eqnarray}$$

(3.16)

联合(3.14)--(3.16)式并利用HÖlder不等式以及嵌入 关系$H_0^1(\Omega)\subset L^6(\Omega)$可得, 对任意的$t\geq T_0$,

$$\begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w_t\|^2+2\|\nabla w_t\|^2&\leq& 2\nu\|w_t\|^2+c\int_D(|u_t(t,x_1)|+|u_t(t,x_2)|)|w||w_t|{\rm d}x\\ &\leq& 2\nu\|w_t\|^2+c(\|u_t(t,x_1)\|_3+\|u_t(t,x_2)\|_3)\|w\|_6\|w_t\|\\ &\leq& 2\nu\|w_t\|^2+c\|\nabla w\|\|w_t\|, \end{eqnarray*}$$

此即

$$\begin{equation}\label{Equ3.17} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w_t\|^2\leq c\|w_t\|^2+c\|\nabla w\|^2,t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.17)

将(3.10)式在$(t,t+1)$ ($t\geq T_0+1$)上积分并利用(3.8)和(3.12)式得

$$\begin{eqnarray}\label{Equ3.18} \int_t^{t+1}\|w_t(s)\|^2{\rm d}s&\leq& \|\nabla w(t)\|^2+c\int_t^{t+1}\|w(s)\|^2{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& ce^{2\nu(t-T_0)}\|w(T_0)\|^2. \end{eqnarray}$$

(3.18)

综合(3.12),(3.17),(3.18)式并利用一致Gronwall不等式得

$$\begin{equation}\label{Equ3.19} \|w_t(t)\|^2\leq ce^{2\nu(t-T_0)}\|w(T_0)\|^2,t\geq T_0+2. \end{equation}$$

(3.19)

证毕.

引理3.2 假设(1.2)--(1.3)式成立并且$g\in L^2(\Omega)$, 则对任意的$t\geq T_0+2$有

$$\|S(t)x_1-S(t)x_2\|_{H^2(\Omega)}\leq ce^{\nu(t-T_0)}\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|,\;\forall x_1,x_2\in B_2.$$

证 用$-\Delta w$与(3.5)式相乘得

$$(w_t,-\Delta w)+\|\Delta w\|^2+(l(t)w,-\Delta w)=0,\; t≶0.$$

因此,

$$\|\Delta w\|^2\leq c\|w\|\|\Delta w\|+\|w_t\|\|\Delta w\|, t\geq T_0.$$

由Cauchy不等式

$$\begin{equation}\label{Equ3.20} \|\Delta w(t)\|^2\leq c\|w_t(t)\|^2+c\|w(t)\|^2,t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.20)

引理3.2容易由(3.8),(3.19)和(3.20)式得到. 证毕.

固定$T_1\geq\max\{T_0,2\}$,则由(3.2)式知 $S(T_1)S(T_0)B_2\subset S(T_0)B_{V_2}$, 这表明 $S(T_1)$ 将集合 $S(T_0)B_2$ 映射到$S(T_0)B_{V_2}$,而上述引理说明 $S(T_1)$ 是 $S(T_0)B_2$ 到 $S(T_0)B_{V_2}$ Lipschtz连续的. 由文献^[6]知 $S(t)$ 在 $S(T_0)B_2$ 中在 $L^2(\Omega)$ 范数拓扑下存在指数吸引子 ${\cal M}_2$. 因此,我们有

定理3.1 设(1.2)--(1.3)式成立并且$g\in L^2(\Omega)$. 令$V=S(T_1)$,则离散动力系统$(V^n$,$S(T_0)B_{V_2})$ 在$H^2(\Omega)$ 中存在指数吸引子${\cal M}_{V_2}^d$ ($=S(T_1){\cal M}_2$).

为了得到连续系统$S(t)$相应的结论,剩下的只需证明$S(t)$关于时间$t$和在$S(T_0)B_{V_2}$ 中关于初始条件的HÖlder连续性,即

引理3.3 设(1.2)--(1.3)式成立并且$g\in L^2(\Omega)$. 则由(2.1)式定义的半群 $S(t)$ 在 $H^2(\Omega)$ 范数拓扑下在$[0,T_1]\times S(T_0)B_{V_2}$ 上是HÖlder连续的, 即 $\forall x_1,x_2\in B_{V_2}$ 和 $\forall 0\leq t_1,t_2\leq T_1$ 有

$$\|S(t_1)S(T_0)x_1-S(t_2)S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}\leq c(\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}+|t_1-t_2|^{\frac{1}{2}}).$$

证 先证在$S(T_0)B_{V_2}$上关于初值的Lipschitz 连续性. 现在, 假设$u_1(t)$和$u_2(t)$是方程(1.1)的两个解,初值分别为$x_1$,$x_2\in B_{V_2}$. 因为$B_{V_2}$在$H^2(\Omega)$ 中有界并且关于$S(t)$是正不变的, 由嵌入式$H^2(\Omega)\subset C(\Omega)$及性质 $f\in C^2({\Bbb R},{\Bbb R})$ 可知对任意的$s\in(0,1)$ 有

$$\sup_{x_1,x_2\in B_{V_2}}\sup_{t\geq 0}\|l(t)\|_\infty\leq c, \sup_{x_1,x_2\in B_{V_2}}\sup_{t\geq 0}\|f''(su_1(t)+(1-s)u_2(t))\|_\infty\leq c.$$

因此,引理3.1和引理3.2的结论和证明过程在这种情况下都成立.

对任意的$t\geq T_0$,将(3.17)式在 $[T_0,t]$ 上积分得到

$$\begin{equation}\label{Equ3.21} \|w_t(t)\|^2\leq\|w_t(T_0)\|^2+c\int_{T_0}^t\|w_t(s)\|^2{\rm d}s+c\int_{T_0}^t\|\nabla w(s)\|^2{\rm d}s. \end{equation}$$

(3.21)

由(3.5)式我们有

$$w_t(T_0)=\Delta w(T_0)-l(T_0)w(T_0).$$

因此,可以对(3.21)式右边第一项估计如下

$$\|w_t(T_0)\|^2\leq\|\Delta w(T_0)\|\|w_t(T_0)\|+c\|w(T_0)\|\|w_t(T_0)\|,$$

此即

$$\begin{equation}\label{Equ3.22} \|w_t(T_0)\|^2\leq c\|\Delta w(T_0)\|^2+c\|w(T_0)\|^2\leq c\|w(T_0)\|_{H^2(\Omega)}^2. \end{equation}$$

(3.22)

为估计(3.21)式右边第二项,将(3.10)式从$T_0$到$t$积分

$$\int_{T_0}^t\|w_t(s)\|^2{\rm d}s\leq \|\nabla w(T_0)\|^2+c\int_{T_0}^t\|w(s)\|^2{\rm d}s.$$

由(3.8)式和上式得

$$\begin{eqnarray}\label{Equ3.23} \int_{T_0}^t\|w_t(s)\|^2{\rm d}s&\leq& \|\nabla w(T_0)\|^2+c\int_{T_0}^te^{2\nu(s-T_0)}\|w(T_0)\|^2{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& ce^{2\nu(t-T_0)}\|w(T_0)\|_{H^2(\Omega)}^2. \end{eqnarray}$$

(3.23)

对(3.21)式右边第三项,容易由(3.11)式知

$$\|\nabla w(t)\|^2\leq e^{c(t-T_0)}\|\nabla w(T_0)\|^2,\;\forall t\geq T_0.$$

因此,

$$\begin{equation}\label{Equ3.24} \int_{T_0}^t\|\nabla w(s)\|^2{\rm d}s\leq ce^{c(t-T_0)}\|w(T_0)\|_{H^2(\Omega)}^2. \end{equation}$$

(3.24)

将(3.22)--(3.24)式代入(3.21)式得

$$\begin{equation}\label{Equ3.25} \|w_t(t)\|^2\leq ce^{c(t-T_0)}\|w(T_0)\|_{H^2(\Omega)}^2,\forall t\geq T_0. \end{equation}$$

(3.25)

联合(3.8),(3.20)和(3.25)式知,对任意的$t\geq T_0$及任意的$x_1,x_2\in B_{V_2}$,

$$\|S(t)x_1-S(t)x_2\|_{H^2(\Omega)}\leq ce^{c(t-T_0)}\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}.$$

这表明,对任意的$t\geq0$及任意的$x_1,x_2\in B_{V_2}$,

$$\|S(t)S(T_0)x_1-S(t)S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}\leq ce^{ct}\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}.$$

如果$0\leq t\leq T_1$且$x_1,x_2\in B_{V_2}$,则由上式

$$\begin{equation}\label{Equ3.26} \|S(t)S(T_0)x_1-S(t)S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}\leq c\|S(T_0)x_1-S(T_0)x_2\|_{H^2(\Omega)}. \end{equation}$$

(3.26)

接下来证明关于时间$t$的HÖlder连续性. 对任意的$t_2\geq t_1≶0$,

$$u(t_2)-u(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}u_t(s){\rm d}s,$$

其中,$u(t)$是方程(1.1)的初值为$x\in B_{V_2}$的解. 计算上式得

$$\begin{eqnarray}\label{Equ3.27} \|u(t_1)-u(t_2)\|_{H^2(\Omega)}&=& \bigg\|\int_{t_1}^{t_2}u_t(s){\rm d}s\bigg\|_{H^2(\Omega)}\nonumber\\ &\leq&\int_{t_1}^{t_2}\|u_t(s)\|_{H^2(\Omega)}{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& |t_1-t_2|^\frac{1}{2} \bigg(\int_{t_1}^{t_2}\|u_t(s)\|^2_{H^2(\Omega)}{\rm d}s\bigg)^\frac{1}{2}. \end{eqnarray}$$

(3.27)

为了完成(3.27)式的估计,将方程(1.1)关于$t$求导并记$v(t)=u_t(t)$得

$$\begin{equation}\label{Equ3.28} \left\{ \begin{array}{ll} v_t(t)-\Delta v(t)+f'(u(t))v(t)=0,\,\,x\in \Omega,\,\,t≶0,\\ v|_{\partial \Omega}=0,\,\,v(0)=u_t(0)=\Delta u(0)-f(u(0))+g. \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.28)

用$v$与(3.28)式相乘得

$$\begin{equation}\label{Equ3.29} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|v\|^2+2\|\nabla v\|^2\leq c\|v\|^2,t≶0. \end{equation}$$

(3.29)

对任意的$t≶0$,将上式在$(t,t+1)$上积分并利用(3.15)式得

$$\begin{equation}\label{Equ3.30} \int_t^{t+1}\|\nabla v(s)\|^2{\rm d}s\leq c\|v(t)\|^2+c\int_t^{t+1}\|v(s)\|^2{\rm d}s\leq c. \end{equation}$$

(3.30)

将(3.28)式与$-\Delta v$在$L^2(\Omega)$中作内积得

$$\begin{equation}\label{Equ3.31} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla v\|^2+2\|\Delta v\|^2\leq2\int_\Omega |f'(u)||v||\Delta v|{\rm d}x,t≶0. \end{equation}$$

(3.31)

由估计式

$$\sup_{x\in B_{V_2}}\sup_{t\geq0}\|f'(u(t;x))\|_\infty\leq c,$$

有

$$\begin{equation}\label{Equ3.32} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla v\|^2+\|\Delta v\|^2\leq c\|v\|^2,t≶0. \end{equation}$$

(3.32)

联合(3.15),(3.30)和(3.32)式并用一致Gronwall 不等式得

$$\begin{equation}\label{Equ3.33} \|\nabla v(t)\|^2\leq c,t≶1. \end{equation}$$

(3.33)

对$T_0\leq t_1\leq t_2\leq T_0+T_1$,将(3.32)式在$[t_1,t_2]$上积分并利用(3.15), (3.33)式 (不失一般性,假设$T_0≶1$)

$$\begin{equation}\label{Equ3.34} \int_{t_1}^{t_2}\|\Delta v(s)\|^2{\rm d}s\leq \|\nabla v(t_1)\|^2+c\int_{t_1}^{t_2}\|v(s)\|^2{\rm d}s\leq c. \end{equation}$$

(3.34)

将(3.34)式代入(3.27)式得

$$\|S(t_1)x-S(t_2)x\|_{H^2(\Omega)}\leq c|t_1-t_2|^{\frac{1}{2}},T_0\leq t_1\leq t_2\leq T_0+T_1,\,\,x\in B_{V_2}.$$

上式等价于

$$\begin{equation}\label{Equ3.35} \|S(t_1)S(T_0)x-S(t_2)S(T_0)x\|_{H^2(\Omega)}\leq c|t_1-t_2|^{\frac{1}{2}},0\leq t_1\leq t_2\leq T_1,\,\,x\in B_{V_2}. \end{equation}$$

(3.35)

引理3.3容易由(3.26)和(3.35)式推出. 证毕.

从而,我们有

定理3.2 设(1.2)--(1.3)式成立并且$g\in L^2(\Omega)$. 则连续动力系统$(S(t),S(T_0)B_{V_2})$ 在 $H^2(\Omega)$ 范数拓扑下存在指数吸引子 ${\cal M}_{V_2}^c$.

我们知道 $L^\gamma(\Omega)$ ($\gamma≶2$)在 $L^2(\Omega)$ 中稠密, 从而对任意的$g_0\in L^2(\Omega)$,存在 $g_n\in {\Bbb G}$ (定义见文献^[6])使得 $g_n\rightarrow g_0$ 于 $L^2(\Omega)$. 考虑如下的方程

$$\begin{equation}\label{Equ4.1} u^n_t-\Delta u^n+f(u^n)=g_n,n=0,1,2,\cdots. \end{equation}$$

(4.1)

设$S_n(t)$是对应的解半群. 由文献^[10]可知$S_0(t)$在$L^{2p-2}(\Omega)$中有一 个有界的正不变吸收集 ${\cal B}_0$,且$S_n(t)$在$L^{2p-2}(\Omega)$ 中有一个一致(关于$n$)有界吸收集 ${\cal B}$ ($\supset {\cal B}_0$) (因为$\{g_n\}$在$L^2(\Omega)$中有界). 另外, 存在$T_0$足够大并且不依赖于$n$ (仔细检查文献^[10]中的吸收时刻并利用$\{g_n\}$在 $L^2(\Omega)$ 中有界这一事实, 可以发现这一点成立)使得对任意的 $n\in\overline{{\Bbb N}}$ 有 $S_n(T_0){\cal B}\subset {\cal B}$. 这表明 ${\cal B}$ 是$S_n(T_0)$ 在 $L^{2p-2}(\Omega)$ 中的有界正不变吸收集. 下面, 我们证明动力系统 $(S_0(t),{\cal B}_0)$ 在 $L^{2p-2}(\Omega)$ 范数拓扑下存在指数吸引子.

定理4.1 设(1.2)--(1.3)式成立. 则对任意的$g_0\in L^2(\Omega)$,动力系统$(S_0(t),{\cal B}_0)$在$L^{2p-2}(\Omega)$ 范数拓扑下存在指数吸引子.

证 我们证明$n\rightarrow\infty$时,$S_n(T_0)u_0\rightarrow S_0(T_0)u_0$ 在$L^{2p-2}(\Omega)$拓扑下在${\cal B}$ 中一致成立. 设$u^0=u^0(t;u_0)$ 和$u^n=u^n(t;u_0)$是方程(4.1)相应于$g_0$ 和$g_n$ 且从同一点$u_0\in {\cal B}$出发的解. 令$w=u^n-u^0$,则

$$\begin{eqnarray}\label{Equ4.2} w_t-\Delta w+f(u^n)-f(u^0)=g_n-g_0. \end{eqnarray}$$

(4.2)

将方程(4.2)与$|w|^{2p-4}w$相乘并利用(1.3)式得

$$\begin{eqnarray}\label{Equ4.3} \frac{1}{2p-2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|_{2p-2}^{2p-2}+(2p-3)\|w\|_{2p-4}^{2p-4}\|\nabla w\|^2\leq\nu\|w\|_{2p-2}^{2p-2}+(g_n-g_0,|w|^{2p-4}w). \end{eqnarray}$$

(4.3)

其次,将(4.1)式与$-\Delta u^n$相乘得

$$\begin{eqnarray}\label{Equ4.4} \|\Delta u^n(t)\|^2\leq c(\|u^n_t(t)\|^2+\|\nabla u^n(t)\|^2+\|g_n\|^2),\,\,\forall t\geq0, \end{eqnarray}$$

(4.4)

其中$c$是一个与$n$和$t$无关的常数. 另外,容易知道

$$\begin{eqnarray}\label{Equ4.5} \|\nabla u^n(t)\|^2\leq c,\,\,\forall t\geq0,\,\,\forall u_0\in{\cal B},\,\,\forall n\in\overline{{\Bbb N}}, \end{eqnarray}$$

(4.5)

其中$c$是一个与$n$和$t$无关的常数. 由(3.15)式,我们有

$$\begin{eqnarray}\label{Equ4.6} \|u^n_t(t)\|\leq c,\,\,\forall t\geq0,\,\,\forall u_0\in{\cal B},\,\,\forall n\in\overline{{\Bbb N}}. \end{eqnarray}$$

(4.6)

将(4.5)--(4.6)式代入(4.4)式得

$$\begin{eqnarray}\label{Equ4.7} \|u^n(t)\|_{H^2(D)}\leq c,\,\,\forall t\geq0,\,\,\forall u_0\in{\cal B},\,\,\forall n\in\overline{{\Bbb N}}, \end{eqnarray}$$

(4.7)

$c$是一个与$n$和$t$无关的常数. 因此,由嵌入式$H^2(\Omega)\subset C(\Omega)$得 $$|w|^{2p-3}\leq c,\,\,\forall t\geq0,\,\,\forall u_0\in{\cal B},\,\,\forall n\in\overline{{\Bbb N}},$$ 其中$c$是一个与$n$和$t$无关的常数. 从而,由(4.3)式得 $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|w\|_{2p-2}^{2p-2}-c_5\|w\|_{2p-2}^{2p-2}\leq c\|g_n-g_0\|,t\geq0,$$ 其中$c_5=\nu(2p-2)$,$c$是一个与$n$和$t$无关的常数. 在上式中应用Gronwall不等式得 $$\|w(t)\|_{2p-2}^{2p-2}\leq ce^{c_5 t}\|g_n-g_0\|,t\geq0.$$

由注2.1及上述结论知 $S_n(T_0)$ 及 ${\cal B}$ 满足定理2.1中条件, 并注意到 ${\cal B}_0\subset{\cal B}$, 我们得出离散动力系统 $(S_0^i(T_0),{\cal B}_0)$ 在 $L^{2p-2}(\Omega)$ 中存在指数吸引子. 对连续动力系统 $(S_0(t),{\cal B}_0)$ 相应的结论可以由文献[6,推论5.2]得到. 证毕.