本文中,我们考虑如下具有非线性阻尼项和源项的四阶波动方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.1} u_{tt}-\triangle{u}-\beta\triangle{u}_{t}-\delta\triangle{u}_{tt}-\gamma{\rm div}(|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u})+g(u_{t})=f(u),~~x\in\Omega,~~t>0 \end{equation}$$

(1.1)

的初边值问题,其中 $\Omega\subset{\rm R}^{n}$ 是一个具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域. $\beta$,$\gamma$ 和 $\delta$ 表示一些物理参量. 二阶项 ${\rm div}(|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u})$ 为 $k$ -拉普拉斯算子, $g(s)$,$f(s)$ 为给定的非线性函数.\par 带有四阶色散项,强耗散项,非线性阻尼项和非线性源项的非线性波动方程 $(1.1)$ 包含了许多重要的物理模型. 例如,在缺少耗散项、色散项、 $k$ -拉普拉斯算子以及非线性阻尼项 ($\beta=\gamma=\delta=0$,$g(u_{t})=0$) 的情况下,模型 (1.1) 即为经典的半线性波方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.2} u_{tt}-\triangle{u}=f(u),~~x\in\Omega,~~t>0, \end{equation}$$

(1.2)

Sattinger 在文献 ^[1] 中首次提出了势井方法,并用该方法证明了方程 (1.2) 整体弱解的存在性. 随后,Payne 和 Sattinger 在文献^[2] 详细地阐明了势井理论, 并对势井的一系列性质进行了研究,进一步证明了在一定条件限制下,方程 (1.2) 的解在有限时间内是爆破的. 此后,势井理论便成为研究非线性发展方程的一个重要方法. 近多年来,许多数学家都采用势井方法研究了各种各样非线性发展方程解的适定性问题. 例如,刘$^{^[3]}$在非线性源项$f(u)=|u|^{p-1}u$ 时,运用势井方法讨论了方程 (1.2) 的初边值问题,他通过引进了一族势井及井外集合来研究方程整体解的存在性和不存在性. 在后续的文献 ^[4] 中,刘 沿用该方法,在初始能量 $E(0)<d$ 时得到了一个整体解的存在性与不存在性的门槛结果,并且在临界初始条件 $I(u_{0})\geq0,~E(0)=d$ 或 $I(u_{0})\geq0,~J(u_{0})=d$ 的限制下证明了方程 (1.2) 整体弱解的存在性. 在临界初始条件为 $I(u_{0})<0,~E(0)=d$ 时, 2010年,徐 在文献^[5]中 证明了方程(1.2)整体解是不存在的.

在缺少耗散项,色散项,$k$ -拉普拉斯算子 ($\beta=\gamma=\delta=0$), 且取非线性阻尼项 $g(u_{t})=a|u_{t}|^{m-1}u_{t}$,非线性源项 $f(u)=b|u|^{p-1}u$ 的情况下,模型 (1.1) 成为如下的非线性双曲方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.3} u_{tt}-\triangle{u}+a|u_{t}|^{m-1}u_{t}=b|u|^{p-1}u,~~x\in\Omega,~~t>0. \end{equation}$$

(1.3)

Geogev 和 Todorova 在文献 ^[6] 中讨论了此方程的初边值问题, 他们证明了当 $a=b=1$,$1<p\leq{m}$ 时,方程的解是整体存在的; 当 $a=b=1$,$p\geq{m}>1$ 且初始能量足够大时,解在有限时间内是爆破的. Ikehata 在文献^[7] 证明了当 $b=1$,$a=\delta>0$且初始能量足够小时, 方程的解也是整体存在的. 若方程 (1.3) 中非线性项 $a|u_{t}|^{m-1}u_{t}$, $b|u|^{p-1}u$ 被替换为 $a|u_{t}|^{m-2}u_{t}$,$b|u|^{p-2}u$ 时,Messaoudi 在文献 ^[8]中 在 $p>m$ 和负初始能量的条件下, 用不同的方法也证明了方程的解在有限的时间内爆破. 在另外两篇文献 ^{[9, 10]} 中, Messaoudi 考虑了非线性项 $a|u_{t}|^{m-1}u_{t}$,$b|u|^{p-1}u$ 被替换为 $au_{t}(1+|u_{t}|^{m-2})$,$b|u|^{p-2}u$ 的情形,分别得到了方程 (1.3) 解的整体存在性和指数形式的衰减.

如果不考虑 $k$ -拉普拉斯算子和非线性弱阻尼项的影响效应 ($\gamma=0$,$g(u_{t})=0$),让$\beta=\delta=1$ 且维数 $n=1$ 时,模型 (1.1) 成为如下的四阶色散耗散波动方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.4} u_{tt}-u_{xx}-u_{xxt}-u_{xxtt}=f(u), \end{equation}$$

(1.4)

此方程是 Hayes 和 Saccomandi$^{^[11]}$在研究某种不可压缩的粘弹性固体中 均匀横向波传播时所导出的. 尚 于2000年在文献 ^[12] 中对方程 (1.4) 的初边值问题进行了研究,通过 Galerkin 方法证明了方程整体强解的存在性与唯一性, 并且在一些假设条件下,分别讨论了方程解的渐近行为和爆破现象. 在维数 $n\geq1$ 时,模型 (1.1) 变为如下高维的四阶非线性色散耗散波动方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.5} u_{tt}-\triangle{u}-\triangle{u}_{t}-\triangle{u}_{tt}=f(u),~~x\in\Omega,~~t>0. \end{equation}$$

(1.5)

在文献 ^[13]中,尚 研究了方程 (1.5) Dirichlet初边值问题整体强解的存在性、 唯一性、渐近行为,在非线性函数$f(s)$ 及初始数据满足一定条件时在有限时间内爆破解的存在性. 张 和 呼在文献 ^[14]中 给出了方程 (1.5) 整体弱解 的存在性和稳定性. 当非线性函数 $f$ 满足临界指数增长时,谢和钟^[15]在空间 $H_{0}^{1}(\Omega)\times{H}_{0}^{1}(\Omega)$ 中证明了方程整体吸引子的存在性. 在文献 ^[16] 中,徐,赵 和 沈等 运用乘子方法给出了方程解的渐进行为. 对于方程 (1.5) 初边值问题解的长时间渐近行为的更多结果, 读者可参考文献 ^{[17, 18, 19, 20]}.

如果不考虑 $k$ -拉普拉斯算子和耗散项的影响效应 ($\gamma=\beta=0$), 且阻尼项为线性阻尼,$g(u_{t})=u_{t}$,当$n=1$ 时,模型 (1.1)成为如下四阶非线性色散波方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.6} u_{tt}-u_{xx}+u_{t}-u_{xxtt}=f(u), \end{equation}$$

(1.6)

在研究杆的纵向振动时,Villiaggio 于文献 ^[21] 中提出了该方程, 其中弱阻尼项的引入是为了模拟杆与粗糙的基板或粘性的外部介质的接触作用, 方程中的四阶色散项则用于解释杆的横向惯性位移.

当 $\gamma=0$,$\beta=\delta=1$,$g(u_{t})={u}_{t}$ 和 $f(u)=|u|^{p-1}u$ 时, 模型 (1.1)成为如下的四阶耗散色散非线性波方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.7} u_{tt}-\triangle{u}-\triangle{u}_{t}-\triangle{u}_{tt}+{u}_{t}=|u|^{p-2}u,~~x\in\Omega,~~t>0. \end{equation}$$

(1.7)

2012年徐和杨在文献^[22]中讨论了此类方程的初边值问题, 他们建立了具有任意正初始能量解的有限时间爆破结果.

在文献^[23]中,Messaoudi 考虑了如下的带有非线性阻尼项和非线性源项的拟线性双曲方程

$$\begin{equation}\label{eqn1.8} u_{tt}-\triangle{u}_{t}-{\rm div}(|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u})+a|u_{t}|^{m-2}u_{t}=b|{u}|^{p-2}{u},~~x\in\Omega,~t>0 \end{equation}$$

(1.8)

的Dirichlet初边值问题,在参数 $k$,$m$ 和 $p$ 满足一定的假设条件时, 获得了整体解的精确衰减估计.

据作者所知,对带有强耗散项 $\triangle{u}_{tt}$,$k$ -拉普拉斯算子, 非线性弱阻尼项 $g(u_{t})$ 和非线性源项 $f(u)$的拟线性波动方程的初边值问题, 迄今还没有任何研究结果. 本文考虑如下具有耗散项、$k$ -拉普拉斯算子、 非线性弱阻尼和源项的四阶波动方程的初边值问题

$$\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-\triangle{u}-\triangle{u}_{t}-\triangle{u}_{tt}-{\rm div}(|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u})+a|u_{t}|^{m-2}u_{t}=b|{u}|^{p-2}{u},~~x\in\Omega,~~t>0,\\ u(x,0)=u_{0}(x),~~u_{t}(x,0)=u_{1}(x),~x\in\Omega,\\ u(x,t)\mid_{\partial\Omega}=0,~~x\in\partial\Omega,~~t>0, \end{array}\right. \end{equation}$$

(1.9)

其中 $a,b>0$,$p,m,k>2$,$\Omega$ 是 ${\rm R}^{n}~(n\geq1)$ 中的具光滑边界 $\partial\Omega$的有界区域. 首先,通过 Galerkin 逼近、势井方法和单调紧致方法的结合, 我们得到了整体弱解的存在性. 其次,在负初始能量的假设下, 证明了任何解在有限时间内是爆破的.

本文的结构如下: 第2节,我们引入了定理证明所需要的一些数学符号, 基本定义和重要引理; 第3节,得到了方程整体弱解的存在性; 在第4节中, 证明了拥有负初始能量时,方程的解在有限时间内是爆破的.

这一节,我们引入定理证明所需要的数学符号,基本定义和重要引理.

用$L^{p}(\Omega)(1\leq p<\infty)$ 表示通常的定义在$\Omega$ 上的 $p$ 次 Lebesgue 可积的可测函数全体构成的空间,其上的范数定义为 $$\|u\|_{p}=\bigg(\int_{\Omega}|u|^{p}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}}.$$ $L^{\infty}(\Omega)$ 表示定义在 $\Omega$ 上的本性有界可测函数全体构成的空间,其上范数定义为 $$\|u\|_{{\infty}}={\rm ess}\cdot\sup_{x\in\Omega}|u(x)|.$$ 在Hilbert空间 $L^{2}(\Omega)$ 中定义内积 $$(u,v)_{L^{2}}=\int_{\Omega}uv{\rm d}x,\forall u,v\in L^{2}(\Omega).$$ 用 $W^{m,p}(\Omega)$ 表示通常的Sobolev 空间,其上范数定义为 $$\|u\|_{m,p}=\bigg(\sum_{|\alpha|\leq{m}}\|D^{\alpha}u\|_{p}^{p}\bigg)^{\frac{1}{p}}.$$ 特别的 $p=2$ 时,$W^{m,p}(\Omega)$ 简记为 $H^{m}(\Omega)$, 其上的内积和范数分别为 $$(u,v)_{H^{m}}=\sum_{|\alpha|\leq{m}}(D^{\alpha}u,D^{\alpha}v)_{L^{2}} ~\mbox{和}~ \|u\|_{H^{m}}=\bigg(\sum_{|\alpha|\leq{m}}\|D^{\alpha}u\|_{2}^{2}\bigg)^{\frac{1}{2}}.$$ $$\triangle=\frac{\partial^{2}}{\partial{x}_{1}^{2}}+\cdots +\frac{\partial^{2}}{\partial{x}_{n}^{2}},~~ \nabla=\bigg(\frac{\partial}{\partial{x_{1}}},\cdots,\frac{\partial}{\partial{x_{n}}}\bigg).$$

$C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 是由在 $\Omega$ 中具有紧支集的全体 $C^{\infty}$ 函数组成的; $W_{0}^{m,p}(\Omega)$ 可以看成是 $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 在 $W^{m,p}(\Omega)$ 中的闭包; $W_{0}^{m,p}(\Omega)$ 是 Sobolev 空间 $W^{m,p}(\Omega)$ 的一个完备的子空间.

为了获得本文的主要结果,我们首先引入如下能量泛函

$$\begin{equation}\label{eqn2.1} E(t)=\frac{1}{2}\|{u}_{t}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}+\frac{1}{k}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}-\frac{b}{p}\|{u}\|_{p}^{p}. \end{equation}$$

(2.1)

简单起见,我们在 $[0,T)$ 区间上给出了问题 (1.9) 弱解的定义,其中 $T$ 可以理解为无穷大或解存在的时间区间的上限.

定义2.1 称函数 $u(x,t)$ 是初边值问题 $(1.9)$ 的一个弱解,若 $u\in{L}^{\infty}(0,T;W_{0}^{1,k}(\Omega))$, $u_{t}\in{L}^{\infty}(0,T;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{T})$ 并且满足如下的条件

(i)~ 对 $\forall$ $v\in{W}^{1,\infty}(0,T;W_{0}^{1,k}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{T})$,有

$$\begin{eqnarray}\label{eqn2.8} &&(u_{t},v)|_{0}^{t}+(\nabla{u}_{t},\nabla{v})|_{0}^{t} \nonumber\\ &=&\int_{0}^{t}\left[(u_{t},v_{t})+(\nabla{u}_{t},\nabla{v}_{t})\right]{\rm d}s+\int_{0}^{t}(b|{u}|^{p-2}{u},v){\rm d}s \nonumber\\ & &-\int_{0}^{t}\left[(\nabla{u},\nabla{v})+(\nabla{u}_{t},\nabla{v})+(|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u},\nabla{v})+(a|u_{t}|^{m-2}u_{t},v)\right]{\rm d}s. \end{eqnarray}$$

(2.2)

(ii)~ $u(x,0)=u_{0}(x)$ 在 ${W}_{0}^{1,k}(\Omega)$ 中,$u_{t}(x,0)=u_{1}$ 在 ${H}_{0}^{1}(\Omega)\cap{L}^{m}(\Omega)$ 中.

引理2.1 假设 $p,m,k>2$,$a,b>0$,若 $u(x,t)$ 是初边值问题 $(1.9)$ 的一个弱解, 则 $E(t)$ 是一个非增的函数,即

$$\begin{equation}\label{eqn2.2} E'(t)\leq{0}. \end{equation}$$

(2.3)

此外,下述的能量不等式也成立

$$\begin{equation}\label{eqn2.3} E(t)+\int_{0}^{t}\|\nabla{u}_{t}(\tau)\|_{2}^{2}{\rm d}\tau<E(0). \end{equation}$$

(2.4)

证 在 (1.9) 式两边同时乘以 $u_{t}$,并在 $\Omega$ 上积分, 通过分部积分法和类似于文献 ^[24] 的推导,我们可证明对方程的任意正则解, (2.3),(2.4) 式是成立的. 采用稠密性方法,可将以上结论推广到对任意的弱解也是成立的. 关于稠密性方法的相关理论知识,可见参考文献 ^{[25, 26]}.

接下来,我们定义如下的一些泛函和集合 $$I(t)=I(u(t))=\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-{b}\|{u}\|_{p}^{p},$$ $$J(t)=J(u(t))=\frac{1}{k}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\frac{b}{p}\|{u}\|_{p}^{p},$$ $$E(t)=E(u(t))=\frac{1}{2}\|{u}_{t}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}+J(t)$$ 和 $$W=\Bigl\{u\in{W}_{0}^{1,k}(\Omega)|I(t)>0\Bigl\}\cup\{0\}.$$

注2.1 泛函 $J(u(t))$ 和 $I(u(t))$ 在空间 $W_{0}^{1,k}(\Omega)$ 中是连续的, 关于其连续性的严格证明可以直接从它们的定义中推导得到.

引理2.2 \label{le2.2} 假设$a,b>0$,$p>k>2$,并且满足

$$\begin{equation}\label{eqn4.1} n=1,2~\mbox{时},2<p<\infty~~\mbox{和}~~n\geq3~ \mbox{时},2<p\leq\frac{2n}{n-2}, \end{equation}$$

(2.5)

$$\begin{equation}\label{eqn4.2} \alpha=bC_{*k}^{p}\left[\frac{pk}{p-k}E(0)\right]^{\frac{p-k}{k}}<1, \end{equation}$$

(2.6)

其中,$C_{*k}$ 是从空间 $W_{0}^{1,k}(\Omega)$ 嵌入到空间 $L^{p}(\Omega)$ 的 Sobolev 常数,如果 $(u_{0},u_{1})\in{W}\times{H}_{0}^{1}(\Omega)$, 则对所有的 $t\geq0$,初边值问题 $(1.9)$ 的整体弱解满足 $u(t)\in{W}$.

证 因为 $I(u_{0})>0$,由 $I(u(t))$ 的连续性,存在时间 $t_{1}$ 使得 $I(u(t))\geq0$ 对所有的 $t\in[0,t_{1}]$ 成立. 这样,我们可看到

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.3} J(t)&=&\frac{1}{k}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\frac{b}{p}\|{u}\|_{p}^{p} \nonumber\\ & =&\frac{1}{k}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}\|_{2}^{2} -\frac{1}{p}[\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}\|_{2}^{2}]+\frac{1}{p}I(u(t)) \nonumber\\ & =&\frac{p-k}{pk}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\frac{p-2}{2p}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}+\frac{1}{p}I(u(t)) \nonumber\\ & \geq&\frac{p-k}{pk}[\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}\|_{2}^{2}], \end{eqnarray}$$

(2.7)

对所有的 $t\in[0,t_{1}]$ 成立. 因此有

$$\begin{equation}\label{eqn4.4} \|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}\|_{2}^{2}\leq\frac{pk}{p-k}J(t)\leq\frac{pk}{p-k}E(t)\leq\frac{pk}{p-k}E(0), \end{equation}$$

(2.8)

对所有的 $t\in[0,t_{1}]$ 成立. 结合 Sobolev 嵌入不等式,(2.7) 式 和 (2.8) 式,我们得到

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.5} {b}\|{u}\|_{p}^{p}&\leq& {b}C_{*k}^{p}\|\nabla{u}\|_{k}^{p}={b}C_{*k}^{p}\|\nabla{u}\|_{k}^{p-k}\|\nabla{u}\|_{k}^{k} \nonumber\\ & \leq& {b}C_{*k}^{p}\left[\frac{pk}{p-k}E(0)\right]^{\frac{p-k}{k}}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}=\alpha\|\nabla{u}\|_{k}^{k}<\|\nabla{u}\|_{k}^{k}, \end{eqnarray}$$

(2.9)

对所有的 $t\in[0,t_{1}]$ 成立. 所以对 $\forall~t\in[0,t_{1}]$, 有 $\|\nabla{u}\|_{k}^{k}-{b}\|{u}\|_{p}^{p}>0$. 这样就证明了对 $\forall~t\in[0,t_{1}]$, 方程的解满足 $u(t)\in{W}$. 结合 (2.6) 式和 (2.8) 式可得到

$$\begin{equation}\label{eqn4.6} \lim_{t\longrightarrow{t_{1}}}{b}C_{*k}^{p}\left[\frac{pk}{p-k}E(t)\right]^{\frac{p-k}{k}}\leq\alpha<1, \end{equation}$$

(2.10)

接着再一次重复上面的推导,方程解的时间区间就扩展到 $t_{1}\leq{t}\leq2t_{1}$. 继续以这种方式不断地扩展时间区间,即可得到对所有的 $t\geq0$,有 $u(t)\in{W}$.

我们将文献 ^[27] 第二章中的引理 6.1 稍微改动,即得到下面的引理.

引理2.3 \label{le2.2} 假设 $m,k>2$,并假设函数 $u$ 满足 $u\in{L}^{\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,k}(\Omega))$,$u_{t}\in{L}^{\infty}(0, \infty;$ $H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$,$u(x,0)=u_{0}$, $u_{t}(x,0)=u_{1}$. 进一步假设 $$u_{tt}-\triangle{u}-\triangle{u}_{t}-\triangle{u}_{tt}=g,$$ $$g\in{L}^{2}(0,T;H^{-1}(\Omega))+{L}^{m'}(Q_{T}),$$ 则对 a.e. $t\in[0,\infty)$,接下来的不等式成立

$$\begin{eqnarray} &&\|\nabla{u}\|_{2}^{2}+\|{u}_{t}\|_{2}^{2}+\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}+2\int_{0}^{t}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}{\rm d}\tau \nonumber\\ & \geq&\|\nabla{u}_{0}\|_{2}^{2}+\|{u}_{1}\|_{2}^{2}+\|\nabla{u}_{1}\|_{2}^{2}+2\int_{0}^{t}(g,u_{t}){\rm d}\tau. \end{eqnarray}$$

(2.11)

注2.2 引理2.3的证明过程完全类似于文献 ^[27] 第二章引理 6.1的证明.

接着,令 $\{w_{j}\}$ 为空间 $W_{0}^{1,k}(\Omega)\cap{L}^{m}(\Omega)$ 中的一组基函数,通过 Galerkin 方法,我们构造初边值问题 (1.9) 的近似解 $u_{l}=u_{l}(x,t)$,它具有如下的形式

$$\begin{equation}\label{eqn2.10} u_{l}(x,t)=\sum_{j=1}^{l}d_{l}^{j}(t)w_{j}(x),~~l=1,2,\cdots. \end{equation}$$

(2.12)

根据 Galerkin 方法,上式 (2.12) 中的系数 $d_{l}^{j}(t)$ 可由如下的非线性常微分方程组的初值问题来确定

$$\begin{equation}\label{eqn2.11} \left\{\begin{array}{ll} (u_{ltt},w_{j})+(\nabla{u}_{l},\nabla{w}_{j})+(\nabla{u}_{lt},\nabla{w}_{j}) +(|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l},\nabla{w}_{j})\\ +(\nabla{u}_{ltt},\nabla{w}_{j}) +(a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt},w_{j})=(b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l},w_{j}),~~x\in\Omega,~~t>0,\\ [2mm] u_{l}(x,0)=\sum_{j=1}^{l}d_{l}^{j}(0)w_{j}(x)\longrightarrow{u}_{0}(x),~~{\rm in}~~W_{0}^{1,k}(\Omega),\\ [4mm] u_{lt}(x,0)=\sum_{j=1}^{l}d_{l}^{j}(0)'w_{j}(x)\longrightarrow{u}_{1}(x),~~{\rm in}~~H_{0}^{1}(\Omega)\cap{L}^{m}(\Omega). \end{array}\right. \end{equation}$$

(2.13)

关于非线性常微分方程组初值问题的一般结果保证了问题 (2.13) 的解在区间 $[0,t_{l}]$ 上存在. 在第3节中得到的一系列先验估计表明了问题 (2.13) 解的时间区间可以扩展到 $[0,\infty)$. 更进一步,通过先验估计,也可证明近似解 $u_{l}(x,t)$ 极限逼近值即为初边值问题 (1.9) 的整体弱解.

本节我们证明初边值问题 (1.9) 解的整体存在性.

定理3.1 假设 $a,b>0$,$m,k>2$,$p>k$ 且 $(2.5)$ 式成立. 假设 $(u_{0},u_{1})\in{W}\times{H}_{0}^{1}(\Omega)$ 并满足 $(2.6)$ 式, 则问题 $(1.9)$ 存在整体弱解 $u\in{L}^{\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,k}(\Omega))$, $u_{t}\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$, 并且对所有 $t\geq0$,有 $u\in{W}$.

证 在 (2.13) 式两边同乘以 $d_{l}^{j}(t)'$,$j=1,\cdots,l$,并对 $j$ 求和,得

$$\begin{equation}\label{eqn3.1} \frac{\rm d}{{\rm d}t}E(u_{l})+\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2}+a\|u_{lt}\|_{m}^{m}=0, \end{equation}$$

(3.1)

其中

$$\begin{eqnarray}\label{eqn3.2} E(u_{l})=\frac{1}{2}\|u_{lt}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2} +\frac{1}{k}\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2} -\frac{b}{p}\|u_{l}\|_{p}^{p} \nonumber\\ =\frac{1}{2}\|{u}_{lt}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2}+J(u_{l}). \end{eqnarray}$$

(3.2)

对 (3.1) 式关于时间 $t$ 进行积分,可推得

$\frac{1}{2}\|u_{lt}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2} +\frac{1}{k}\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2} -\frac{b}{p}\|u_{l}\|_{p}^{p}+\int_{0}^{t}\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2}{\rm d}\tau +a\int_{0}^{t}\|u_{lt}\|_{m}^{m}{\rm d}\tau \nonumber\\ =\frac{1}{2}\|u_{lt}(0)\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}(0)\|_{2}^{2} +\frac{1}{k}\|\nabla{u}_{l}(0)\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{lt}(0)\|_{2}^{2} -\frac{b}{p}\|u_{l}(0)\|_{p}^{p} \nonumber\\ =E(u_{0l}).$

(3.3)

由泛函 $E(u)$ 在空间 $W_{0}^{1,k}(\Omega)$ 中的连续性和 (2.6) 式, 对于充分大的 $l$,我们有 $$\lim\limits_{l\rightarrow\infty}{E}(u_{0l})=E(u_{0}) <\frac{p-k}{pk[bC_{*k}^{p}]^{\frac{k}{p-k}}}.$$ 又因为 $u_{0}\in{W}$, 则对充分大的 $l$,可推得 $$I(u_{0l})=\|\nabla{u}_{l}(0)\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}_{l}(0)\|_{2}^{2} -b\|u_{l}(0)\|_{p}^{p}\longrightarrow{I}(u_{0})>0.$$ 因此,不失一般性,我们假设 $I(u_{0l})>0$,即对所有的 $l$ 有 $u_{l}(0)\in{W}$. 通过与引理 2.2 证明中类似的讨论,我们可证明对所有的 $t\geq0$,有 $u_{l}(t)\in{W}$. 由此,推得

$J(u_{l})=\frac{1}{k}\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}-\frac{b}{p}\|{u}_{l}\|_{p}^{p} \nonumber\\ =\frac{1}{k}\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}-\frac{1}{p}[\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}]+\frac{1}{p}I(u_{l}(t)) \nonumber\\ =\frac{p-k}{pk}\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\frac{p-2}{2p}\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}+\frac{1}{p}I(u(t)) \nonumber\\ \geq\frac{p-k}{pk}[\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}],$

(3.4)

这样,从 (3.4) 式推出

$\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k}+\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}\leq\frac{pk}{p-k}J(u_{l})\leq\frac{pk}{p-k}E(u_{l})\leq\frac{pk}{p-k}E(u_{0l}),$

(3.5)

对所有的 $t\geq0$ 成立.

利用 Sobolev 嵌入不等式,可推得

${b}\|{u}_{l}\|_{p}^{p}\leq{b}C_{*k}^{p}\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{p}\leq{b}C_{*k}^{p}\left[\frac{pk}{p-k}E(u_{0l})\right]^{\frac{p}{k}},$

(3.6)

对所有的 $t\geq0$ 成立.

于是由 (3.3)-(3.6) 式,我们有

$a\int_{0}^{t}\|u_{lt}\|_{m}^{m}{\rm d}\tau\leq{E}(u_{0l})$

(3.7)

对所有的 $t\geq0$ 成立.

因此,我们可得到 $$\|u_{lt}\|_{H^{1}}^{2},~~\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2},~~\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k},~~\int_{0}^{t}\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2}{\rm d}\tau,~~\int_{0}^{t}\|u_{lt}\|_{m}^{m}{\rm d}\tau$$ 是有界的且都可以被一个与 $l$ 和 $t$ 无关的常数所控制. 因而推出 $u_{l}\in{L}^{\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,k}(\Omega))$, $u_{lt}\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$. 注意到 $$(a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt},u_{lt})=a\|u_{lt}\|_{m}^{m},$$ $$(b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l},u_{l})=b\|u_{l}\|_{p}^{p}$$ 和 $$(\|\nabla{u}_{l}\|^{k-2}\nabla{u}_{l},\nabla{u}_{l})=\|\nabla{u}_{l}\|_{k}^{k},$$ 所以可推出 $$a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt}\in{L^{m'}}(Q_{\infty}),$$ $$b|{u}_{l}|^{p-2}{u}\in{L}^{\infty}(0,\infty;L^{p'}(\Omega)),$$ $$\|\nabla{u}_{l}\|^{k-2}\nabla{u}_{l}\in{L}^{\infty}(0,\infty;L^{k'}(\Omega)).$$ 这样,通过以上的讨论,由致密性原理,可知存在 $\{u_{l}\}$ 的一个子序列(在这仍用 $\{u_{l}\}$ 来表示其子序列) 和函数 $u(x,t),\xi,\eta,\gamma$,使得 $$u_{l}(x,t)\longrightarrow{u}(x,t)~\mbox{在}~ {L}^{\infty} (0,\infty;{W}_{0}^{1,k}(\Omega))~ \mbox{弱}\ast\mbox{收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$u_{l}(x,t)\longrightarrow{u}(x,t)~\mbox{在}~Q_{\infty}=\Omega\times(0,\infty) \mbox{上几乎处处收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$\nabla{u}_{l}(x,t)\longrightarrow\nabla{u}(x,t)~\mbox{在}~Q_{\infty} =\Omega\times(0,\infty)\mbox{上几乎处处收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$u_{lt}(x,t)\longrightarrow{u_{t}}(x,t)~ \mbox{在}~ {L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))~ \mbox{弱}\ast\mbox{收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$u_{lt}(x,t)\longrightarrow{u_{t}}(x,t)~ \mbox{在}~ {L}^{m}(Q_{\infty})~ \mbox{弱收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt}\longrightarrow\xi~ \mbox{在} ~{L^{m'}}(Q_{\infty})~ \mbox{弱收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l}\longrightarrow\eta~ \mbox{在}~ {L}^{\infty}(0,\infty;{L}^{p'}(\Omega))~\mbox{弱}\ast\mbox{收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l}\longrightarrow\eta~ \mbox{在} ~Q_{\infty}=\Omega\times(0,\infty)\mbox{上几乎处处收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l}\longrightarrow\gamma~ \mbox{在}~ {L}^{\infty}(0,\infty;{L}^{k'}(\Omega))~\mbox{弱}\ast\mbox{收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ $$|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l}\longrightarrow\gamma~ \mbox{在} ~Q_{\infty}=\Omega\times(0,\infty)\mbox{上几乎处处收敛},~~ l\longrightarrow\infty,$$ 根据文献 ^[27] 第一章引理 1.3,推出 $$b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l}\longrightarrow{b}|{u}|^{p-2}{u}=\eta,$$ $$|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l}\longrightarrow|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u}=\gamma.$$ 考虑到基函数 $\{w_{j}\}$ 在函数空间 $W_{0}^{1,k}(\Omega)\cap{L}^{m}(\Omega)$ 的稠密性,所以我们可选择函数 $v\in{W}^{1,\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,k}(\Omega)) \cap{L}^{m}(Q_{\infty})$,它具有形式 $v(x,t)=\sum\limits_{j=1}^{\infty}k^{j}(t)w_{j}$, 其中 $k^{j}(t)$ 是给定的已知函数. 在 (2.13) 式两边乘以 $k^{j}(t)$,$j=1,2,\cdots$, 并对 $j$ 求和,我们可得

$$\begin{eqnarray}(u_{ltt},v)+(\nabla{u}_{l},\nabla{v})+(\nabla{u}_{lt},\nabla{v})+(|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l},\nabla{v}) \nonumber\\ +(\nabla{u}_{ltt},\nabla{v})+(a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt},v)=(b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l},v), \end{eqnarray}$$

(3.8)

在 (3.8) 式两边关于时间 $t$ 进行积分得

$(u_{lt},v)|_{0}^{t}+(\nabla{u}_{lt},\nabla{v})|_{0}^{t} \nonumber\\ =\int_{0}^{t}\left[(u_{lt},v_{t})+(\nabla{u}_{lt},\nabla{v}_{t})\right]{\rm d}s+\int_{0}^{t}(b|{u_{l}}|^{p-2}{u}_{l},v){\rm d}s \nonumber\\-\int_{0}^{t}\left[(\nabla{u}_{l},\nabla{v})+(\nabla{u}_{lt},\nabla{v})+(|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l},\nabla{v})+(a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt},v)\right]{\rm d}s,$

(3.9)

这样,通过以上的讨论,在 (3.9) 式中取 $l\longrightarrow\infty$,我们有

$(u_{t},v)|_{0}^{t}+(\nabla{u}_{t},\nabla{v})|_{0}^{t} \nonumber\\ =\int_{0}^{t}\left[(u_{t},v_{t})+(\nabla{u}_{t},\nabla{v}_{t})\right]{\rm d}s+\int_{0}^{t}(b|{u}|^{p-2}{u},v){\rm d}s \nonumber\\ -\int_{0}^{t}\left[(\nabla{u}_{},\nabla{v})+(\nabla{u}_{t},\nabla{v})+(|\nabla{u}|^{k-2}\nabla{u},\nabla{v})+(\xi,v)\right]{\rm d}s,$

(3.10)

对 $\forall$ $v\in{W}^{1,\infty}(0,\infty;W_{0}^{1,k}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$.

接下来,我们需要证明的是

$$\begin{equation} \xi=a|u_{t}|^{m-2}u_{t}. \end{equation}$$

(3.11)

实际上,由 (2.13) 式我们可推出 $$\begin{eqnarray*}\label{eqn3} \frac{1}{2}\|u_{lt}\|_{H^{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}(\beta_{1}(u_{lt}),u_{lt}){\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\|\nabla{u}_{lt}\|_{2}^{2}{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}(\beta_{2}(\nabla{u}),\nabla{u}_{lt}){\rm d}\tau \nonumber\\ =\frac{1}{2}\|u_{lt}(0)\|_{H^{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{l}(0)\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}(\beta_{3}(u_{l}),u_{lt}){\rm d}\tau, \end{eqnarray*}$$ 其中 $\beta_{1}(u_{lt})=a|u_{lt}|^{m-2}u_{lt}$,$\beta_{2}(\nabla{u}_{l})=|\nabla{u}_{l}|^{k-2}\nabla{u}_{l}$,$\beta_{3}(u_{l})=b|{u}_{l}|^{p-2}{u}_{l}$.

在上式中,当 $l\longrightarrow\infty$时 取极限得到

$\frac{1}{2}\|u_{t}\|_{H^{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}{\rm d}\tau+\liminf\int_{0}^{t}(\beta_{1}(u_{lt}),u_{lt}){\rm d}\tau \nonumber\\ \leq\frac{1}{2}\|u_{1}\|_{H^{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{0}\|_{2}^{2}-\int_{0}^{t}(\beta_{2}(\nabla{u}),\nabla{u}_{t}){\rm d}\tau+\int_{0}^{t}(\beta_{3}(u),u_{t}){\rm d}\tau.$

(3.12)

由 (3.12) 式和引理 2.3,其中 $g={\rm div}[\beta_{2}(\nabla{u})]+\beta_{3}(u)-\xi,$ 我们可推出 $$\begin{eqnarray*} \liminf\int_{0}^{t}(\beta_{1}(u_{lt}),u_{lt}){\rm d}\tau \nonumber\\ & \leq&\int_{0}^{t}({\rm div}[\beta_{2}(\nabla{u})]+\beta_{3}(u),u_{t}){\rm d}\tau-\int_{0}^{t}({\rm div}[\beta_{2}(\nabla{u})]+\beta_{3}(u)-\xi,u_{t}){\rm d}\tau. \end{eqnarray*}$$ 于是,对 $\forall$ $\varphi\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$,可得

$$\begin{equation} \liminf\int_{0}^{t}(\beta_{1}(u_{lt})-\beta_{1}(\varphi),u_{lt}-\varphi){\rm d}\tau\leq\int_{0}^{t}(\xi-\beta_{1}(\varphi),u_{t}-\varphi){\rm d}\tau. \end{equation}$$

(3.13)

利用函数 $\beta_{1}(u_{lt})$ 的单调性有

$$\begin{equation} \int_{0}^{t}(\beta_{1}(u_{lt})-\beta_{1}(\varphi),u_{lt}-\varphi){\rm d}\tau\geq0, \end{equation}$$

(3.14)

所以,由 (3.13) 式和 (3.14) 式,我们得

$$\begin{equation} \int_{0}^{t}(\xi-\beta_{1}(\varphi),u_{t}-\varphi){\rm d}\tau\geq0. \end{equation}$$

(3.15)

对所有的 $t\geq0$ 成立. 为了由 (3.15) 式得到 (3.11) 式, 我们利用函数 $\beta_{1}(s)$ ($s\in{\rm R}$) 的半连续性. 令 $\varphi=u_{t}-\lambda{w}_{t}$,对 $\lambda>0$ 和 $\forall~w_{t}\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$,推得 $$\lambda\int_{0}^{t}(\xi-\beta_{1}(u_{t}-\lambda{w}_{t}),w_{t}){\rm d}\tau\geq0,$$ 于是有

$$\begin{equation} \int_{0}^{t}(\xi-\beta_{1}(u_{t}-\lambda{w}_{t}),w_{t}){\rm d}\tau\geq0. \end{equation}$$

(3.16)

在 (3.16) 式中取 $\lambda\longrightarrow0$,可得

$$\begin{equation} \int_{0}^{t}(\xi-\beta_{1}(u_{t}),w_{t}){\rm d}\tau\geq0,~~\forall~w_{t}\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty}). \end{equation}$$

(3.17)

通过类似的方法,令 $\varphi=u_{t}-\lambda{w}_{t}$,对 $\lambda<0$ 和 $\forall~w_{t}\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty})$,可推出

$$\begin{equation} \int_{0}^{t}(\xi-\beta_{1}(u_{t}),w_{t}){\rm d}\tau\leq0,~~\forall~w_{t}\in{L}^{\infty}(0,\infty;H_{0}^{1}(\Omega))\cap{L}^{m}(Q_{\infty}). \end{equation}$$

(3.18)

结合 (3.17) 式和 (3.18) 式,我们得到 $$\xi=a|u_{t}|^{m-2}u_{t}~~\mbox{对}~\forall~t\geq0.$$ 最后,由引理 2.2,我们有 $u\in{W}$ 对所有的 $t\geq0$ 成立.

本节在初始能量 $E(0)<0$ 的条件下,我们证明了问题 (1.9) 在有限的时间内爆破解的存在性.

定理4.1 假设 $a,b>0$,$p,m,k>2$,$m<k<p$ 且 $(2.5)$ 式成立. 若初始能量

$E(0)=\frac{1}{2}\|u_{1}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{1}\|_{2}^{2}+\frac{1}{k}\|\nabla{u}_{0}\|_{k}^{k}+\frac{1}{2}\|\nabla{u}_{0}\|_{2}^{2}-\frac{b}{p}\|u_{0}\|_{p}^{p}<0,$

(4.1)

则问题 $(1.9)$ 的解在有限时间内爆破.

证 通过与引理 2.1 证明中类似的讨论,我们可得到 $$E'(t)+\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}=-a\|u_{t}\|_{m}^{m}\leq0,$$ 令 $H(t)=-E(t)$,则有

$$H'(t)\geq{a}\|u_{t}\|_{m}^{m},~~\forall~t>0,$$ $0<H(0)<H(t)<\frac{b}{p}\|u\|_{p}^{p},~~\forall~t>0.$

(4.2)

我们定义

$F(t)=H^{1-\sigma}(t)+\varepsilon\int_{\Omega}uu_{t}{\rm d}x+\varepsilon\int_{\Omega}\nabla{u}\nabla{u}_{t}{\rm d}x,$

(4.3)

其中,$\varepsilon$ 是充分小的正常数,$\sigma$ 需满足如下的条件

$0<\sigma\leq\min\left\{\frac{k-2}{2k},\frac{k-m}{p(m-1)},\frac{k-2}{p}\right\}.$

(4.4)

对(4.3) 式关于时间 $t$ 求导,可得

$F'(t)=(1-\sigma)H^{-\sigma}(t)H'(t)+\varepsilon\int_{\Omega}uu_{tt}{\rm d}x +\varepsilon\int_{\Omega}\nabla{u}\nabla{u}_{tt}{\rm d}x+\varepsilon\|u_{t}\|_{2}^{2}+\varepsilon\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2},$

(4.5)

由 (1.9) 式和 (4.5) 式,我们可推出

$F'(t)=(1-\sigma)H^{-\sigma}(t)H'(t)+\varepsilon\|u_{t}\|_{2}^{2}+\varepsilon\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{2}^{2} \nonumber\\ -\varepsilon\|\nabla{u}\|_{k}^{k}-\varepsilon\int_{\Omega}\nabla{u}_{t}\nabla{u}{\rm d}x-a\varepsilon\int_{\Omega}|u_{t}|^{m-2}u_{t}u{\rm d}x+b\varepsilon\|u\|_{p}^{p}.$

(4.6)

利用 Young 不等式得

$$\begin{equation}\label{eqn4.7} \int_{\Omega}\nabla{u}_{t}\nabla{u}{\rm d}x\leq\frac{1}{4\mu}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}+\mu\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} \end{equation}$$

(4.7)

和

$$\begin{equation}\label{eqn4.8} \int_{\Omega}|u_{t}|^{m-2}u_{t}u{\rm d}x\leq\frac{m}{m-1}\delta^{\frac{-m}{m-1}}\|{u}_{t}\|_{m}^{m}+\frac{1}{m}\delta^{m}\|u\|_{m}^{m}, \end{equation}$$

(4.8)

其中,$\mu,\delta$ 是与时间相关的正数,其值后面选取.由此推出

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.9} F'(t)&\geq& (1-\sigma)H^{-\sigma}(t)H'(t)+\varepsilon\|u_{t}\|_{2}^{2}+\varepsilon\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} \nonumber\\ & &-\varepsilon\frac{1}{4\mu}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon\mu\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} -a\varepsilon\frac{m}{m-1}\delta^{\frac{-m}{m-1}}\|{u}_{t}\|_{m}^{m} \nonumber\\ && -a\varepsilon\frac{1}{m}\delta^{m}\|u\|_{m}^{m} -\varepsilon\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+b\varepsilon\|u\|_{p}^{p}. \end{eqnarray}$$

(4.9)

我们选择 $\mu,\delta$ 使其满足

$$\begin{equation}\label{eqn4.10} \left\{\begin{array}{ll} \delta^{\frac{-m}{m-1}}=M_{1}H^{-\sigma}(t),\\ \mu=M_{2}H^{-\sigma}(t). \end{array}\right. \end{equation}$$

(4.10)

然后,将 (4.10) 式代入 (4.9) 式,可推出

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.11} F'(t)&\geq& (1-\sigma)H^{-\sigma}(t)H'(t)+\varepsilon\|u_{t}\|_{2}^{2}+\varepsilon\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} \nonumber\\ & &{}-\varepsilon\frac{1}{4M_{2}}H^{\sigma}(t)\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon{M_{2}}H^{-\sigma}(t)\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} \nonumber\\ & &{}-a\varepsilon\frac{m}{m-1}{M_{1}}H^{-\sigma}(t)\|{u}_{t}\|_{m}^{m}-a\varepsilon\frac{1}{m}M_{1}^{1-m}H^{\sigma(m-1)}(t)\|u\|_{m}^{m} \nonumber\\ & &{}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+b\varepsilon\|u\|_{p}^{p}. \end{eqnarray}$$

(4.11)

利用 Sobolev 嵌入不等式和 (4.2) 式,可得到估计

$$\begin{eqnarray}\label{eqn} H^{\sigma(m-1)}(t)\|u\|_{m}^{m}&\leq& {C}\left[\frac{b}{p}\|u\|_{p}^{p}\right]^{\sigma(m-1)}\left(\|u\|_{p}^{p}\right)^{\frac{m}{p}} \nonumber\\ & =&C\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma(m-1)}\left(\|u\|_{p}^{p}\right)^{\frac{m+p\sigma(m-1)}{p}} \end{eqnarray}$$

(4.12)

和

$H^{\sigma}(t)\|\nabla{u}\|_{2}^{2}\leq\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}\left(\|u\|_{p}^{p}\right)^{\sigma}\|\nabla{u}\|_{2}^{2} \nonumber\\ \leq{C}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}\left(\|\nabla{u}\|_{2}^{2}\right)^{\frac{p\sigma}{2}}\|\nabla{u}\|_{2}^{2} \nonumber\\ =C\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}\left(\|\nabla{u}\|_{2}^{2}\right)^{\frac{p\sigma}{2}+1}.$

(4.13)

利用 (4.5) 式和

$h^{r}\leq{h}+1\leq(1+\frac{1}{\beta})(h+\beta),~~\forall~h\geq0,~0<r\leq1,~\beta>0,$

(4.14)

我们可推出如下的不等式

$\left(\|u\|_{p}^{p}\right)^{\frac{m+p\sigma(m-1)}{p}} \leq {C}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}\right)^{\frac{m+p\sigma(m-1)}{k}} \nonumber\\ \leq{C}\left(1+\frac{1}{H(0)}\right)\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(0)\right) \nonumber\\ \leq{d}_{1}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right)$

(4.15)

和

$\left(\|\nabla{u}\|_{2}^{2}\right)^{\frac{p\sigma}{2}+1} \leq{C}\left(\|\nabla{u}|_{k}^{k}\right)^{\frac{p\sigma+2}{k}} \nonumber\\ \leq{C}\left(1+\frac{1}{H(0)}\right)\left(\|\nabla{u}|_{k}^{k}+H(0)\right) \nonumber\\ \leq{d}_{2}\left(\|\nabla{u}|_{k}^{k}+H(t)\right).$

(4.16)

综合以上的讨论,令 $d=\max\{d_{1},d_{2}\}$ 时,我们有

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.13} F'(t)&\geq& (1-\sigma)H^{-\sigma}(t)H'(t)+\varepsilon\|u_{t}\|_{2}^{2}+\varepsilon\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} \nonumber\\ & &-d\varepsilon\frac{1}{4M_{2}}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right) \nonumber\\ & &-ad\varepsilon\frac{1}{m}M_{1}^{1-m}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma(m-1)}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right) \nonumber\\ & &-\varepsilon\left[{M_{2}}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}+a\frac{m}{m-1}{M_{1}}\|{u}_{t}\|_{m}^{m}\right]H^{-\sigma}(t) \nonumber\\ & &-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+b\varepsilon\|u\|_{p}^{p}. \end{eqnarray}$$

(4.17)

如果 $M=M_{2}+\frac{m}{m-1}{M_{1}}$,那么利用 $H'(t)=\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}+a\|u_{t}\|_{m}^{m}$,我们推出

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.14} F'(t)&\geq&(1-\sigma-\varepsilon{M})H^{-\sigma}(t)H'(t)+\varepsilon\|u_{t}\|_{2}^{2}+\varepsilon\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2} \nonumber\\ & &{}-d\varepsilon\frac{1}{4M_{2}}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right) \nonumber\\ & &{}-ad\varepsilon\frac{1}{m}M_{1}^{1-m}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma(m-1)}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right) \nonumber\\ & &{}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+b\varepsilon\|u\|_{p}^{p}. \end{eqnarray}$$

(4.18)

因此,对任意的正常数 $\rho$,得到

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.15} F'(t)&\geq& (1-\sigma-\varepsilon{M})H^{-\sigma}(t)H'(t)+\rho{H}(t) \nonumber\\ & &{}+(\varepsilon+\frac{\rho}{2})\|u_{t}\|_{H_{1}}^{2}+b(\varepsilon-\frac{\rho}{p})\|u\|_{p}^{p} \nonumber\\ & &{}-d\varepsilon\frac{1}{4M_{2}}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right) \nonumber\\ & &{}-ad\varepsilon\frac{1}{m}M_{1}^{1-m}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma(m-1)}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right) \nonumber\\ & &{}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{2}^{2}-\varepsilon\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\frac{\rho}{2}\|\nabla{u}\|_{2}^{2}+\frac{\rho}{k}\|\nabla{u}\|_{k}^{k}. \end{eqnarray}$$

(4.19)

在 (4.19) 式中,我们取 $\rho=\varepsilon{p}$, $C_{1}=\frac{d}{4}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma}$, $C_{2}=\frac{da}{m}\left(\frac{b}{p}\right)^{\sigma(m-1)}$,可得

$F'(t)\geq(1-\sigma-\varepsilon{M})H^{-\sigma}(t)H'(t)+\rho{H}(t) \nonumber\\ {}+(\varepsilon+\frac{\rho}{2})\|u_{t}\|_{H_{1}}^{2}+\varepsilon(\frac{p}{2}-1)\|\nabla{u}\|_{2}^{2} \nonumber\\ {}+\varepsilon\left[p-\frac{C_{1}}{M_{2}}-\frac{C_{2}}{M_{1}^{m-1}}\right]H(t) \nonumber\\ {}+\varepsilon\left[\frac{p}{k}-\frac{C_{1}}{M_{2}}-\frac{C_{2}}{M_{1}^{m-1}}-1\right]\|\nabla{u}\|_{k}^{k}.$

(4.20)

注意到 $H(t)>0$,所以可以选取 $\mu,\delta$ 使得 $M_{1},M_{2}$ 取值足够大,以致于

$F'(t)\geq(1-\sigma-\varepsilon{M})H^{-\sigma}(t)H'(t) +\gamma\varepsilon[{H}(t)+\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\|u_{t}\|_{H_{1}}^{2}+\|\nabla{u}\|_{2}^{2}],$

(4.21)

其中,$\gamma$ 是一个正常数. 由于 $\varepsilon$ 的任意性, 我们选择其足够小使得 $1-\sigma-\varepsilon{M}>0$ 且

$$\begin{equation} F(0)=H^{1-\sigma}(0)+\varepsilon\int_{\Omega}u_{0}u_{1}{\rm d}x+\varepsilon\int_{\Omega}\nabla{u}_{0}\nabla{u}_{1}{\rm d}x>0. \end{equation}$$

(4.22)

由此,可推出

$$\begin{equation}\label{eqn4.18} F'(t)\geq\gamma\varepsilon[{H}(t)+\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+\|u_{t}\|_{H_{1}}^{2}+\|\nabla{u}\|_{2}^{2}], \end{equation}$$

(4.23)

%和 $$F(t)>F(0)>0.$$ 另一方面,由 $F(t)$ 的定义,我们有

$$\begin{equation}\label{eqn4.19} F^{\frac{1}{1-\sigma}}(t)\leq3^{\frac{1}{1-\sigma}}\left\{H(t)+\varepsilon^{\frac{1}{1-\sigma}}\left|\int_{\Omega}{u}u_{t}{\rm d}x\right|^{\frac{1}{1-\sigma}}+\varepsilon^{\frac{1}{1-\sigma}}\left|\int_{\Omega}\nabla{u}\nabla{u}_{t}{\rm d}x\right|^{\frac{1}{1-\sigma}}\right\}. \end{equation}$$

(4.24)

利用 Schwarz 不等式和 Sobolev 嵌入不等式,可得 $$\int_{\Omega}\mid{u}u_{t}\mid{\rm d}x\leq\|u\|_{2}\|u_{t}\|_{2}\leq{C}\|u\|_{k}\|u_{t}\|_{2},$$ $$\int_{\Omega}\mid\nabla{u}\nabla{u}_{t}\mid{\rm d}x\leq\|\nabla{u}\|_{2}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}\leq{C}\|\nabla{u}\|_{k}\|\nabla{u}_{t}\|_{2}.$$ 接着利用 Young 不等式,得到

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid{u}u_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left[(\|u\|_{k}^{k})^{\frac{q}{k(1-\sigma)}}+(\|u_{t}\|_{2}^{2})^{\frac{q'}{2(1-\sigma)}}\right], \end{equation}$$

(4.25)

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid\nabla{u}\nabla{u}_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left[(\|\nabla{u}\|_{k}^{k})^{\frac{q}{k(1-\sigma)}}+(\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2})^{\frac{q'}{2(1-\sigma)}}\right], \end{equation}$$

(4.26)

其中,$\frac{1}{q}+\frac{1}{q'}=1$. 在 (4.25) 式,(4.26) 式中取 $q'=2(1-\sigma)$~$\left(q=\frac{2(1-\sigma)}{1-2\sigma}\right)$,有

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid{u}u_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left[(\|u\|_{k}^{k})^{\frac{2}{k(1-2\sigma)}}+\|u_{t}\|_{2}^{2}\right], \end{equation}$$

(4.27)

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid\nabla{u}\nabla{u}_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left[(\|\nabla{u}\|_{k}^{k})^{\frac{2}{k(1-2\sigma)}}+\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}\right], \end{equation}$$

(4.28)

利用 Poincare 不等式,得到 $$\left(\int_{\Omega}\mid{u}u_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left[(\|\nabla{u}\|_{k}^{k})^{\frac{2}{k(1-2\sigma)}}+\|u_{t}\|_{2}^{2}\right],$$ 由 (4.5) 式和 (4.14) 式,我们有

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid\nabla{u}\mid^{k}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{k(1-2\sigma)}}\leq\left(1+\frac{1}{H(0)}\right)\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)\right), \end{equation}$$

(4.29)

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid{u}u_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)+\|u_{t}\|_{2}^{2}\right), \end{equation}$$

(4.30)

$$\begin{equation} \left(\int_{\Omega}\mid\nabla{u}\nabla{u}_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\leq{C}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)+\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}\right). \end{equation}$$

(4.31)

综合以上的讨论,我们可得到

$$\begin{eqnarray}\label{eqn4.20} F^{\frac{1}{1-\sigma}}(t)&\leq& 3^{\frac{1}{1-\sigma}}\left\{H(t)+\varepsilon^{\frac{1}{1-\sigma}}\left(\int_{\Omega}\mid{u}u_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}+\varepsilon^{\frac{1}{1-\sigma}}\left(\int_{\Omega}\mid\nabla{u}\nabla{u}_{t}\mid{\rm d}x\right)^{\frac{1}{1-\sigma}}\right\} \nonumber\\ & \leq& {C}\left(\|\nabla{u}\|_{k}^{k}+H(t)+\|u_{t}\|_{2}^{2}+\|\nabla{u}_{t}\|_{2}^{2}\right). \end{eqnarray}$$

(4.32)

因此,由 (4.23) 式和 (4.32) 式,推出

$$\begin{equation}\label{eqn4.21} F'(t)\geq\lambda{F}^{\frac{1}{1-\sigma}}(t),~~\forall~t>0, \end{equation}$$

(4.33)

其中,$\lambda=\frac{\gamma\epsilon}{C}$. 对 (4.33) 式关于时间 $t$ 进行积分得

$$\begin{equation}\label{eqn4.22} {F}^{\frac{\sigma}{1-\sigma}}(t)\geq\frac{1}{{F}^{\frac{-\sigma}{1-\sigma}}(0)-\frac{\lambda\sigma}{1-\sigma}t}, \end{equation}$$

(4.34)

由此推出,$F(t)$ 在有限的时间内爆破,并且爆破时间满足如下的估计

$$\begin{equation}\label{eqn4.23} t\leq{T}=\frac{1-\sigma}{\lambda\sigma{F}^{\frac{\sigma}{1-\sigma}}(0)}. \end{equation}$$

(4.35)

证毕.

注4.1 由爆破时间的估计式 (4.35),我们可以看出 $F(0)$ 的取值越大, 那么问题 (1.9) 的解爆破发生越快.

注4.2 文献 ^{[28, 29]} 中,在低初始能量 $(E(0)<d)$ 的情况下, 已经研究和讨论了具有强阻尼项的非线性双曲方程解的适定性. 文献 ^[5] 中,Xu 在临界的初始能量 $(E(0)=d)$ 情况下研究了半线性的双曲方程的初边值问题, 证明了方程的解在有限的时间内是爆破的. 而本文所研究的问题 (1.9), 不管是低初始能量 $(E(0)<d)$ 还是临界的初始能量 $(E(0)=d)$, 都没有类似于文献 ^{[5, 28, 29]} 中的结果. 在初始能量 $(E(0)<d)$ 或 $(E(0)=d)$ 的情况下问题 (1.9) 的适定性的研究,我们将在其他文章中讨论.