\qquad 随着现代科学技术的发展,医疗水平的提高以及人类文明的不断进步, 人类已经能够有效地预防和控制诸如天花、麻风、霍乱等曾经肆虐全球的传染性疾病, 但是一些新的、不断变异的传染病病毒却悄悄向人类袭来. 这些疾病的蔓延严重影响了人类的生活和工作. 20世纪80年代一种更为险恶的艾滋病毒正跨越国界在全球蔓延; 特别是2003年春SARS^[1]病毒突袭人类,给人们的生命财产带来极大的危害. 因此,人们越来越重视对传染病的传播机理,预报和控制的研究.

为了研究如SARS 这种具有潜伏期的传染病问题,人们常用SEI模型^{[2, 3, 4, 5]}来描述, 即根据疾病传播过程不同的状态,把所要研究的群体分成三种类别: S类,表示未被感染但有可能被感染的一类人,即易感者(Suscepible); E类,表示已被感染且具有传染力但未出现病症的一类人,即病毒携带者(Exposed)或带菌者; I 类,表示已被感染成病人具有传染力的一类人,即染病者(Infectious). 这样总人口数$N=S+E+I$. 如果潜伏者$(E)$和染病者$(I)$一样具有传染性, 正如2003年出现的SARS病毒,则相应的微分系统是 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac {{\rm d}S}{{\rm d}t}=A-\lambda_1\frac SN E-\lambda_2\frac SN I -dS,\\ [3mm] \frac {{\rm d}E}{{\rm d}t}=\lambda_1\frac SN E+\lambda_2\frac SN I -\gamma E-(d+\alpha_1)E,\\ [3mm] \frac {{\rm d}I}{{\rm d}t}=\gamma E-kI-(d+\alpha_2) I, \end{array} \right. \label{a0} \end{eqnarray} 其中正常数$d$表示自然死亡率; 非负常数$\alpha_1,\alpha_2$分别表示潜伏者和染病者的因病死亡率; $A$是易感染者的常数输出率; $\lambda_1,\lambda_2$ 分别是潜伏者和染病者的有效接触率; 参数$\gamma$简称为转移率, $1/\gamma$为平均潜伏期; 常数$k$表示隔离率.

对于模型(1.1),文献^{[4, 5]}的作者证明了当基本再生数小于等于1时, 问题的无病平衡点是全局渐近稳定的,当基本再生数大于1时, 染病平衡点则是全局渐近稳定的. 在模型(1.1)的基础上,结合传染病动力学一些特征, 如种群在其所处环境中分布的不均匀性,种群内部流动的不均性等,该模型可扩展为 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} u_{1t}-d_1\Delta u_1=A-u_1 \bigg(\frac{\lambda_1 u_2}{u_1+u_2+u_3}+\frac {\lambda_2u_3}{u_1+u_2+u_3}+d\bigg),&x\in\Omega,\ t>0,\\ [3mm] u_{2t}-d_2\Delta u_2=\frac{\lambda_1 u_1u_2}{u_1+u_2+u_3}+\frac {\lambda_2u_1u_3}{u_1+u_2+u_3}-(\gamma+d+\alpha_1)u_2,&x\in\Omega,\ t>0,\\ [3mm] u_{3t}-d_3\Delta u_3=\gamma u_2-(k+d+\alpha_2)u_3,&x\in\Omega,\ t>0,\\ [2mm] \frac {\partial u_1}{\partial \eta}=\frac {\partial u_2}{\partial \eta}=\frac {\partial u_3}{\partial \eta}=0,&x\in \partial \Omega,\ t>0,\\ [2mm] u_i(x,0)=u_{i,0}\,(i=1,2,3),&x\in \overline \Omega, \end{array} \right. \label{a1} \end{eqnarray} 其中$\Omega$是${\mathbb R}^n$中的有界固定区域,$u_1(x,t)$表示易感者在$t$时刻的空间分布密度, $u_2(x,t)$表示病毒潜伏者在$t$时刻的空间分布密度, $u_3(x,t)$表示染病者的分布密度; 扩散的引入允许了所有人口的迁移, 正常数$d_1,d_2,d_3$分别表示易感者,潜伏者,染病者的空间扩散率. 边界$\partial \Omega$光滑,$\eta$是边界上的单位外法向量; 这里引入的齐次Neumann边界条件说明上述系统是封闭的,即在边界上没有人口移动. 初始函数$u_{i,0}$在$\overline \Omega$ 上是非负有界的连续函数, 根据生物意义,我们假定在$\overline \Omega$上$u_{i,0}(x)>0$.

对固定区域$\Omega$构建的模型(1.2),我们知道不管初始时刻传染源被限制在$\Omega$ 内多小的区域内,问题的解总是正的, 这表明疾病都会立即传播到整个固定的区域. 显然这样的过程不能用来描述传染病传播的实际情况, 而自由边界却能很好地解决这个问题, 它能清晰地描述所研究问题的边界随着时间的推移而变化, 而不是从疾病开始爆发就立即能传播到整个区域. 最初的自由边界问题是Josef Stefan在研究极地海洋中冰的溶解问题时所建立的数学模型^[6]. 这类问题在许多领域的研究中都会碰到,如图像处理^[7], 化学中热裂解碳的蒸汽渗透^[8],医学中的肿瘤治愈^[9]等. 由于研究问题的边界是随时间而不断变化的,因此数学上求解自由边界问题, 移动边界的刻画就显得尤为重要, 它将作为解的一部分随解一起给出. 近几年自由边界开始被用来描述动物种群的扩张^[10]. 动物种群的扩张现象是Skellam^[11]在1953年发现的, 他首先结合野外获取的数据,计算出麝鼠活动区域的面积,进而求平方根, 即给出扩张半径,将这些数据按照年份划分, 结果发现采集的数据点落在同一条直线上,故他认为麝鼠的扩张符合线性增长. 由于扩张的存在, 我们在其它动物种群也会发现类似的现象. 由此可见这种扩张是普遍存在的, 基于这种有趣的现象, 为了能进一步解释这种扩张,许多科学工作者致力于模拟种群扩张, 尽管这种数学模拟是比较困难的,但还是取得了很多成果(参见文献^{[12, 13, 14, 15, 16]}).

本文尝试着引入自由边界来描述传染病的蔓延. 为了方便, 只考虑$\lambda_2=0$的情形,即忽略与染病者的接触,并且假设区域是球对称的. 令 $$r=|x|,\ \ x\in {\mathbb R}^n, $$ 考虑下面问题的正解$(u_1(r,t),u_2(r,t), u_3(r,t);h(t))$的性质,记 $$N(r,t)=u_1+u_2+u_3, $$ 建立如下自由边界问题 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} u_{1t}-d_1\Delta u_1=A-u_1(r,t) \bigg(\frac{\lambda_1 u_2(r,t)}{N(r,t)}+d\bigg),0<r,\,\ t>0,\\ [3mm] u_{2t}-d_2\Delta u_2=\frac{\lambda_1 u_1(r,t)u_2(r,t)}{N(r,t)}-\delta u_2(r,t),0<r<h(t),\ t>0,\\ [2mm] u_{3t}-d_3\Delta u_3=\gamma u_2(r,t)-\omega u_3(r,t),0<r<h(t),\ t>0,\\ u_{1r}(0,t)=u_{2r}(0,t)=u_{3r}(0,t)=0,t>0,\\ u_2(r,t)=u_3(r,t)=0,h(t)\leq r,\,t\geq 0,\\ h'(t)=-\mu u_{2r}(h(t),t),\ h(0)=h_0>0,t>0,\\ u_i(r,0)=u_{i,0}\,(i=1,2,3),r\geq 0, \end{array} \right. \label{a2} \end{eqnarray} 其中$u_{it}=\frac{\partial u_i}{\partial t}$, $\Delta u_i=(u_i)_{rr}+\frac {n-1}r(u_i)_r\ (i=1,2,3)$, $\delta=\gamma+d+\alpha_1$,$\omega=k+d+\alpha_2$. $r=h(t)$是需要确定的移动边界,$h_0,\mu$均为正常数, 初始函数$u_{i,0}\geq 0\ (i=1,2,3)$ 且满足 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} u_{1,0}\in C^2([0,+\infty))\bigcap L^\infty([0,+\infty)),\,u_{2,0},u_{3,0}\in C^2[0,h_0],\\ u_{2,0}(r)=u_{3,0}(r)=0,\,r\in [h_0,+\infty),\,u_{2,0}(r)>0,\,r\in [0,h_0). \end{array} \right. \label{a3} \end{eqnarray} 生态学上,该模型表示初期染病者和带菌者只在$[0,h_0)$上, 这些人口仅能从初始区域的边界$r=h(t)$向外迁移, 而在自由边界$r=h(t)$之外只存在易感者,没有带菌者和染病者. $h'(t)=-\mu u_{2r}(h(t),t)$是为研究种群扩散而构造的Stefan条件^{[17, 18]}. 这儿该条件表明穿过自由边界的感染者人口数量与相应的边界移动的距离成正比, 其中正常数$\mu$ 表示病毒在新区域的传播能力.

本文我们将分别考虑在固定区域$\Omega$和移动区域上引入扩散项的SEI模型 并研究相应问题解的渐近性态. 第2节将给出系统(1.2) 解的基本性质,讨论偏微分方程组解的局部稳定性和全局稳定性; 第3节考虑自由边界问题(1.3)的适定性,最后第4节着重研究自由边界的性质, 给出疾病蔓延或消退的条件.

由于系统(1.2)初始条件$u_{i,0}>0$且其三个方程右端的反应函数在${\mathbb R}^3_+$中充分光滑, 根据标准的偏微分方程理论, 问题(1.2)存在唯一全局解$(u_1(x,t),u_2(x,t),u_3(x,t))$,$(x,t)\in \overline \Omega \times (0,\infty)$. 下面首先给出问题解的正性和一致有界性.

定理2.1 设$(u_1(x,t),u_2(x,t),u_3(x,t))\in [C(\overline \Omega \times [0,\infty))\bigcap C^{2,1}(\Omega \times (0,\infty))]^3$是问题$(1.2)$的解, 则 $$0<u_i(x,t)\leq M_i\ (i=1,2,3), $$ 其中 $$M_1=\max\bigg\{\| u_{1,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)},\,\frac Ad\bigg\},\ \ M_2=\max\bigg\{\| u_{2,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)},\,\frac {\lambda_1+\lambda_2}{\delta} M_1\bigg\},$$ $$M_3=\max\bigg\{\| u_{3,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)},\,\frac {\gamma}{\omega}M_2\bigg\}.$$

证 由比较原理和强极值原理得解的正性. 下面只验证上界. 注意到$u_1$满足 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} u_{1t}-d_1\Delta u_1\leq A-d u_1,&x\in\Omega,\ t>0,\\[2mm] \frac {\partial u_1}{\partial \eta}=0,&x\in \partial \Omega,\ t>0,\\ [2mm] u_1(x,0)=u_{1,0}>0,&x\in \Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray*} 令$V_1(t)$是问题 $$V'(t)=A-dV_1,\ t>0,V_1(0)=\| u_{1,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)}$$ 的解,显然有 $$V_1(t)\leq \max \bigg\{\| u_{1,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)},\,\frac Ad\bigg\}:=M_1, $$ 又由标准的抛物比较原理得 $$u_1(x,t)\leq V_1(t)\leq M_1. $$

同理,既然 $u_{2t}-d_2\Delta u_2\leq \lambda_1 u_1+\lambda_2u_1-\delta u_2\leq (\lambda_1+\lambda_2)M_1-\delta u_2, $ 由比较原理知$u_2(x,t)\leq \max\{\| u_{2,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)},\,\frac {\lambda_1+\lambda_2}{\delta} M_1\}:=M_2$. 注意到$u_{3t}-d_3\Delta u_3\leq \gamma M_2-\omega u_3$,故$u_3(x,t)\leq \max\{\| u_{3,0}(x)\| _{L^\infty(\Omega)},\,\frac {\gamma}{\omega}M_2\}:=M_3$.

现在讨论系统(1.2)平衡解的局部稳定性和全局稳定性. 显然方程组(1.2)总有一个无病平衡点$P_0(\frac Ad,0,0)$,此时系统没有带菌者和染病者. 进一步地, 若 $$R_0:=\frac {\lambda_1\omega+\lambda_2\gamma}{\omega \delta}>1,$$ 系统(1.2)还有一个染病平衡点$P*=(u^*_1,u^*_2,u^*_3)$,其中 $$u^*_1=\frac {N^*A[(\delta-d)\omega-\gamma d]}{(\lambda_1\omega+\lambda_2\gamma)(A-dN^*)+dN^*[(\delta-d)\Omega-\gamma d]}, u^*_2=\frac {\omega(A-dN^*)}{(\delta-d)\Omega-\gamma d},$$ $$u^*_3=\frac {\gamma (A-dN^*)}{(\delta-d)\Omega-\gamma d},N^*=u^*_1+u^*_2+u^*_3.$$ 传染病学上,$R_0$被称为基本再生数,通常指一个病人在平均患病期内所传染的人数. 如果把$R_0$拆成两项$R_0=\frac{\lambda_1}{\delta}+\frac{\lambda_2\gamma}{\omega \delta}$, 只考虑对染病者进行隔离,即$k$充分大,从而使$\omega$充分大,所以$\frac{\lambda_2\gamma}{\omega \delta}$ 就充分小了,因此可以忽略第二项, 这样$R_0$取决于第一项$\frac{\lambda_1}{\delta}$. 这表示当有效接触率$\lambda_1$大或平均潜伏期$\frac 1\gamma$较长时(即$\gamma$很小, 从而$\delta$小),系统(1.2)存在一个染病平衡点$P^*=(u^*_1,u^*_2,u^*_3)$.

考虑染病平衡点$P^*$的性质,利用文献^[20]中有关空间分解的方法,令$0=\mu_1<\mu_2<\mu_3<\cdots$是具有齐次Neumann边界条件的算子$-\Delta$在$\Omega$上的特征值, 且$E(\mu_i)$是$\mu_i$在$C^1(\Omega)$上的特征空间. 令 $$X=\bigg\{U=(u_1,u_2,u_3)\in [C^1(\overline \Omega)]^3|\frac{\partial U}{\partial \eta}=0, x\in \partial \Omega\bigg\}, $$ $\{\phi_{ij},j=1,1,\cdots,\dim E(\mu_i)\}$是$E(\mu_i)$的基本正交基, $X_{ij}=\{c\cdot \phi_{ij}|c\in {\mathbb R}^3\}.$ $ X_i=\bigoplus\limits^{\dim E(\mu_i)}_{j=1} X_{ij},$ $X=\bigoplus\limits^\infty_{i=1} X_i. $

下面将方程组进行线性化: 先取$U^*=(u^*_1,u^*_2,u^*_3)$,令$U=U^*+V$, 代入系统(1.2)可得$V_t=LV:=D\Delta V+F_U(u^*)U$, 其中$D={\rm diag}(d_1,d_2,d_3)$,$F_U(U^*)$是矩阵$\{a_{ij}\}$: $$ a_{11}= -\frac{N^*-u^*_1}{N^{*^2}}(\lambda_1u^*_2+\lambda_2u^*_3)-d,\,\, a_{12}=-\frac{u^*_1[\lambda_1N^*-(\lambda_1u^*_2+\lambda_3^*)]}{N^{*^2}}, $$ $$ a_{13}=-\frac{u^*_1[\lambda_2N^*-(\lambda_1 u^*_2+\lambda_2 u^*_3)]}{N^{*^2}}, a_{21}=\frac{N^*-u^*_1}{N^{*^2}}(\lambda_1u^*_2+\lambda^*_2u^*_3), $$ $$ a_{22}=\frac{u^*_1[\lambda_1N^*-(\lambda_1u^*_2+\lambda_2u^*_3)]} {N^{*^2}}-\delta, a_{23}=\frac{u^*_1[\lambda_2N^*-(\lambda_1u^*_2+\lambda_2u^*_3)]}{N^{*^2}}, $$ $$ a_{31}=0,a_{32}=\gamma,a_{33}=-\omega. $$ 对每个$i\geq 1$,$X_i$是算子$L$的不变子空间,则算子作用在$X_i$ 上为 $V_t=LV=-\mu_i DV+F_U(U^*)V$. 这样$\varphi _i(\lambda):=|\lambda I+\mu _iD-F_U(U^*)|=\lambda^3+A_i\lambda^2+B_i\lambda+C_i=0$为其对应的特征方程,其中 $$ A_i=(d_1+d_2+d_3)\mu _i -(a_{11}+a_{22}+a_{33}), $$ \begin{eqnarray*} B_i&=&(d_1d_2+d_2d_3+d_3d_1)\mu ^2_i -[(a_{22}+a_{33})d_1+(a_{11}+a_{33})d_2+(a_{11}+a_{22})d_3]\mu _i\\ &&+ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{11}a_{33}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} C_i&=&d_1d_2d_3\mu ^3_i-(a_{11}d_2d_3+a_{22}d_1d_3+a_{33}d_1d_2)\mu ^2_i\\ &&+[(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})d_3 +(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})d_1+a_{11}a_{33}d_2]\mu_i\\ &&-a_{33}(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})+a_{32}(a_{23}a_{11}-a_{21}a_{13}). \end{eqnarray*} 首先,注意到$a_{11}<0$,$a_{21}>0$,且$a_{33}<0$. 进一步地,由于 $$u^*_1=\frac {\delta u^*_2N^* }{\lambda_1u^*_2+\lambda_2u^*_3}, u^*_2=\frac{\omega}{\gamma}u^*_3,$$ 由此我们可以得到 $$ a_{22}=\frac {u^*_1[\lambda_1N^*-(\lambda_1u^*_2+\lambda_2u^*_3)]}{N^{*^2}}-\delta \leq -\frac {\lambda_2\delta\gamma}{\lambda_1\omega+\lambda_2\gamma}<0, $$ $$ a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=(-a_{21}-d)(-a_{12}-\delta)-a_{21}a_{12}=-da_{22}+\delta a_{21}>0, $$ $$ a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23}=(\omega+\gamma) \delta \frac {u^*_2}{N^*}>0, $$ $$ (-a_{33})(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})+a_{32}(a_{23}a_{11}-a_{21}a_{13}) =\omega \delta a_{21}+d(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})>0, $$ 这样就使得对任意的$i\geq 1$,有$A_i>0$,$B_i>0$和$C_i>0$. 另一方面, $$ H_i:=A_iB_i-C_i=k_1\mu ^3_i+k_2\mu ^2_i+k_3\mu _i+k_4,$$其中$k_1>0$,$k_2>0$且$k_3>0$, 这儿我们省略了详细的计算. 进一步,我们还有 \begin{eqnarray*} k_4 &=&-(a_{11}+a_{22}+a_{33})(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{33}- a_{23}a_{32}+a_{33}a_{11})\\ & &-[(-a_{33})(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})+a_{32}(a_{23}a_{11}-a_{21}a_{13})]\\ &=& \bigg(\omega +d+\frac {\lambda_2\delta \gamma}{\lambda_1\omega+\lambda_2\gamma} +\frac {\lambda_1 u^*_2+\lambda_2 u^*_3}{N^*}\bigg) \bigg[-da_{22}+\delta a_{21}+\delta (\omega+\gamma)\frac {u^*_2}{N^*} \\ & &+\omega d+\omega\frac {N^*-u^*_1}{N^{*^2}}(\lambda_1u^*_2+\lambda_2u^*_3)\bigg] -\omega \delta a_{21}-d\delta (\omega+\gamma)\frac {u^*_2} { N^*}>0. \end{eqnarray*} 因此对$i\geq 1$,$H_i>0$. 根据Routh-Hurwitz准则,特征方程$ \varphi _i(\lambda)=0 $的三个根$\lambda_{i,1},\,\lambda_{i,2},\,\lambda _{i,3}$都具有负实部. 利用方程根的连续性不难证明, 所有特征根的实部都小于一个负数,即存在$\varepsilon>0$使得

下面考虑无病平衡点$P_0=(A/d,0,0)$的性质,我们要证明当$R_0>1$时,$P_0$是不稳定的. 事实上,这里 $L=D\triangle +F_U(P_0)=D\triangle +\{a_{ij}\}$,其中 \begin{eqnarray*} \begin{array}{lll} a_{11}=-d,&a_{12}=-\lambda_1,&a_{13}=-\lambda_2,\\ a_{21}=0,&a_{22}=\lambda_1-\delta,&a_{23}=\lambda_2,\\ a_{31}=0,&a_{32}=\gamma,&a_{33}=-\omega. \end{array} \end{eqnarray*} 线性化模型(1.2)得$V_t=L V$. 取$i=1$,这样$\mu _i=0$,对应的特征方程为 $$\varphi _1(\lambda) := |\lambda I-F_U(P_0)|=\lambda^3+A_1\lambda^2+B_1\lambda+C_1=0,$$ 其中 $$ C_1=d[(\delta -\lambda_1)\omega-\lambda_2\gamma]=d\omega \delta (1-R_0)<0. $$ 当$\lambda \to +\infty$时, $\varphi _1(\lambda)\to +\infty$,而$\varphi _1(0)=C_1<0$,故由介值定理特征方程 $\varphi _1(\lambda)=0$至少存在一个正根,于是算子$L$的谱至少包含一个实部大于$0$的特征值, 再依据文献^[20]的定理5.1.3得,当$R_0>1$时,$P_0$是不稳定的.

类似地,我们可以证明当$R_0<1$时,$P_0$是局部渐近稳定的.

定理2.2 当$R_0>1$时,系统$(1.2)$的染病平衡点$P^*$是局部渐近稳定的,而无病平衡点$P_0$是不稳定的. 相反,当$R_0<1$时,无病平衡点$P_0$是局部渐近稳定的,此时不存在染病平衡点.

下面我们用构造Lyapunov函数的方法,证明无病平衡点$P_0$是全局渐近稳定的.

定理2.3 当$R_0<1$时,系统$(1.2)$的无病平衡点$P_0$是全局渐近稳定的.

证 取Lyapunov函数为 $$V(t)=\int_\Omega \bigg[\frac 12k_1(u_1-u^*_1)^2+u_2+k_2u_3\bigg]{\rm d}x,$$ 其中$k_1,k_2$待定,注意到 $$V(t)\geq \min\bigg\{\frac 12k_1,1,k_2\bigg\}\int_\Omega [(u_1-u^*_1)^2+u_2+u_3]{\rm d}x\geq 0,$$ 当且仅当$(u_1,u_2,u_3)$取$(\frac Ad,0,0)$时,$V(t)$取得最小值$0$. 沿着系统的轨线求导得 \begin{eqnarray*} \frac {{\rm d}V}{{\rm d}t}&=&\int_\Omega k_1(u_{1}-u^*_1)u_{1t}+u_{2t}+k_2u_{3t}]{\rm d}x\\ &=&\int_\Omega k_1(u_{1}-u^*_1)d_1\Delta u_{1}+d_2\Delta u_{2}+k_2d_3\Delta u_{3}]{\rm d}x\\ & &+\int_\Omega \{k_1(u_{1}-u^*_1)(A-du_1)+(k_2\gamma-\delta)u_2-k_2\omega u_3\}{\rm d}x\\ & &+\int_\Omega \frac {\lambda_1u_1u_2+\lambda_2u_1u_3}N[1-k_1(u_1-u^*_1)]{\rm d}x\\ &:=& E+F, \end{eqnarray*} 其中 $$ E=\int_\Omega k_1(u_{1}-u^*_1)d_1\Delta u_{1}+d_2\Delta u_{2}+k_2d_3\Delta u_{3}]{\rm d}x=-k_1d_1\int_\Omega |\nabla u_{1}|^2{\rm d}x, $$ \begin{eqnarray*} F&=&\int_\Omega \{k_1(u_{1}-u^*_1)(A-du_1)+(k_2\gamma-\delta)u_2-k_2\omega u_3\}{\rm d}x\\ & &+\int_\Omega \frac {\lambda_1u_1u_2+\lambda_2u_1u_3}N[1-k_1(u_1-u^*_1)]{\rm d}x\\ &=&\int_\Omega \bigg\{-d k_1(u_{1}-u^*_1)^2+(k_2\gamma-\delta)u_2-k_2\omega u_3 +\frac {\lambda_1u_1u_2+\lambda_2u_1u_3}N[1-k_1(u_1-u^*_1)]\bigg\}{\rm d}x. \end{eqnarray*} 首先$E\leq 0$,要使$\frac {{\rm d}V}{{\rm d}t}\leq 0$,只要$F\leq 0$, 即选取适当的$k_1$和$k_2$使得 $$k_2\gamma -\delta +\bigg(1+k_1\frac Ad\bigg)\lambda_1<0, -k_2\omega +\bigg(1+k_1\frac Ad\bigg)\lambda_2<0,$$ 于是取$k_1$和$k_2$使得 $$0<k_1<\frac {d(1-R_0)}{AR_0},\frac {\lambda_2}\omega<k_2<\frac{\delta-\lambda_1}\gamma,$$ 由此得到$\frac {{\rm d}V}{{\rm d}t}=E+F\leq 0$,由文献^[21]中的引理2.5.3得到 $$\lim\limits_{t\to \infty}\int_\Omega (u_1-u^*_1)^2{\rm d}x=\lim\limits_{t\to \infty}\int_\Omega u_2^2{\rm d}x=\lim\limits_{t\to \infty}\int_\Omega u_3^2{\rm d}x=0,$$ 再利用一致估计及紧性可得无病平衡点$P_0$是全局渐近稳定的,详见文献^[20].

下面我们应用压缩映像原理证明问题(1.3)解的局部存在性及唯一性.

定理3.1 对于满足$(1.4)$式的初值 $(u_{1,0},u_{2,0},u_{3,0})$及任意$\beta\in(0,1)$,存在$T>0$使得问题$(1.3)$存在唯一解 $$(u_{1},u_{2},u_{3};h)\in C^{1+\beta,(1+\beta)/2}(D^\infty_T)\times [C^{1+\beta, (1+\beta)/2}(D_T)]^2\times C^{1+\beta/2}([0,T]),$$ 此外, $$\| u_{1}\| _{ C^{1+\beta,(1+\beta)/2}(D^\infty_T)}+\| u_{2}\| _{ C^{1+\beta, (1+\beta)/2}(D_T)}+\| u_{3}\| _{ C^{1+\beta,(1+\beta)/2}(D_T)}+\| h\| _{ C^{(1+\beta)/2}([0,T]}\leq C,$$ 这里$D^\infty_T=\{(r,t)\in {\mathbb R}^2:\ r\in [0,+\infty),t\in [0,T])\}$, $D_T=\{(r,t)\in {\mathbb R}^2:\ r\in [0,h(t)),t\in [0,T])\}$, $C$和$T$仅依赖于$h_0,\gamma$,$\| u_{1,0}\| _{C^2([0,\infty))}$, $\| u_{1,0}\| _{L^\infty([0,+\infty))}$, $\| u_{2,0}\| _{C^2([0,h_0])}$和$\| u_{3,0}\| _{C^2([0,h_0])}$.

证 类似于文献^{[22, 23]},我们首先把自由边界拉直, 将自由边界问题转化为固定区域上的偏微分方程组. 利用压缩映像原理可以证明局部解的存在性和唯一性. 该证明与文献^[23]中定理2.1 相似,这里从略.

为了将定理3.1得到的局部解推广到对所有的$t>0$都成立,我们需要进行下面的估计.

引理3.2 设$(u_{1},u_{2},u_{3};h)$是问题$(1.3)$在$[0,T_0]$的一个解,其中$T_0\in (0,+\infty)$, 则存在不依赖于$T_0$的常数$C_1$,$C_2$和$C_3$使得 $$0<u_1(r,t)\leq C_1,0\leq r<+\infty,\ t\in (0,T_0],$$ $$0<u_2(r,t)\leq C_2,\ 0<u_3(r,t)\leq C_3,0\leq r<h(t),\ t\in (0,T_0].$$

证 首先在$[0,+\infty)\times [0,T_0]$内只要有解存在,则显然有$u_1\geq 0$,$u_2\geq 0$和$u_3\geq 0$. 再对方程(1.3) 应用强极值原理得到 $$u_1(r,t)>0,\ 0\leq r<+\infty,\ t\in (0,T_0],u_2(r,t)>0,\ u_3(r,t)>0,\ 0\leq r<h(t),\ t\in (0,T_0].$$ 由问题(1.3)中的第一个方程可知$u_1(r,t)$满足 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} u_{1t}-d_1\Delta u_1=A-u_1(r,t) \bigg(\frac{\lambda_1 u_2(r,t)}{N(r,t)}+d\bigg),0<r,\,\ t>0,\\ [2mm] u_1(r,0)=u_{1,0}\geq 0,r\geq 0, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 利用Phragman-Lindel$\ddot{o}$f原则,我们有这样的估计 $$u_1(r,t)\leq \max\bigg\{\| u_{1,0}(r)\| _{L\infty (0,\infty)},\,\frac Ad\bigg\}:=C_1,0\leq r<+\infty,\ t\in (0,T_0].$$ 同理可得 $$u_2(r,t)\leq \max\bigg\{\| u_{2,0}(r)\| _{L\infty (0,h_0)},\,\frac {\lambda_1}\delta C_1\bigg\}:=C_2,0\leq r\leq h(t),\ t\in (0,T_0],$$ $$u_3(r,t)\leq \max\bigg\{\| u_{3,0}(r)\| _{L\infty (0,h_0)},\,\frac {\gamma}\omega C_2\bigg\}:=C_3,0\leq r\leq h(t),\ t\in (0,T_0].$$ 证毕.

下面的引理说明问题(1.3)的自由边界是严格单调增的.

引理3.3 设$(u_{1},u_{2},u_{3};h)$是问题$(1.3)$在$[0,T_0]$的一个解, 则存在不依赖于$T_0$的正常数$C_4$使得 $$0<h'(t)\leq C_4,\ t\in (0,T_0].$$

证 对问题(1.3)中关于$u_2$ 的方程应用Hopf引理可导出 $$(u_2)_r(h(t),t)<0,0<t\leq T_0.$$ 因此,由Stefan条件得$h'(t)>0,\ t\in (0,T_0].$

下面证明对所有的$t\in (0,T_0]$都存在不依赖于$T_0$的常数$C_4$, 使$h'(t)\leq C_4,\ t\in (0,T_0]$. 类似文献^[17],定义 $$\Gamma =\Gamma_M:=\{(r,t):h(t)-M^{-1}<r<h(t),\ 0<t\leq T_0\},$$ 同时构造一个辅助函数 $$w (r,t):=C_2[2M(h(t)-r)-M^2(h(t)-r)^2],$$ 选取 $$M:=\max\bigg\{\sqrt{\frac{\lambda_1}{2d_2}},\ \frac{4\| u_{2,0}\| _{C^1([0,h_0])}}{3C_2}\bigg\}, $$ 通过计算容易验证$w$是$u_2$在$\Gamma$中的上解,即$w(r,t)\geq u_2(r,t),(r,t)\in \Gamma$, 进而可以得到 $$(u_2)_r(h(t),t)\geq w_r(h(t),t)=-2MC_2,$$ $$h'(t)=-\mu (u_2)_r(h(t),t)\leq 2\mu MC_2.$$ 证毕.

接下来,我们给出问题(1.3)解的全局存在性.

引理3.4 对于所有的$t\in (0,\infty)$,问题$(1.3)$的解存在且唯一.

证 设$[0,T_{\max})$是解存在的最大时间范围, 下面将证明$T_{\max}=\infty$. 反证,假设$T_{\max}$为一有限数,则根据引理3.1和引理3.2, 当$t\in [0,T_{\max}),r\in [0,h(t))$时,存在不依赖于$T_{\max}$的常数 $C_1,C_2,C_3$和$C_4$,使得下式均成立 $$0<u_1(r,t)\leq C_1,(r,t)\in [0,+\infty)\times [0,T_{\max}),$$ $$0<u_2(r,t)\leq C_2,\ 0<u_3(r,t)\leq C_3,\ (r,t)\in [0,h(t)]\times [0,T_{\max}),$$ $$h_0\leq h(t)\leq h_0+C_4t,\,0\leq h'(T)\leq C_4,t\in [0,T_{\max}).$$ 现在我们固定一点$\delta_0\in (0,T_{\max})$,且令$M>T_{\max}$, 由标准抛物型偏微分方程理论,我们可以找到一个依赖于$\delta_0,M,C_1,C_2,C_3$和$C_4$ 的正常数$C_5$,使得当$t\in [\delta_0,T_{\max})$时 $$\| u_{1}(\cdot,t)\| _{ C^{1+\beta}[0,+\infty)},\| u_{2}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]},\| u_{3}(\cdot,t)\| _{C^{2}[0,h(t)]}\leq C_5.$$ 由定理3.1的证明可知,存在一个仅依赖于$C_1,C_2,C_3,c_4$和$C_5$的$\tau$, 使得问题(1.3)在初始时刻$T_{\max}-\frac \tau 2$ 的解可以唯一地延拓到 时刻$T_{\max}+\frac \tau 2$,这和我们假设$T_{\max}$是最大存在时间矛盾.

本节考虑自由边界的解的性质,以此说明疾病的传播何时消退或者蔓延,并给出具体的判断标准. 下面分两种情型进行讨论: $(I)\,R_0<1$,$(II)\,R_0>1$.

由上节引理3.2,我们得到$r=h(t)$是单调递增的,因此存在$h_\infty\in (0,+\infty]$使得 $\lim\limits_{t\to \infty} h(t)=h_\infty$. 如果$h_\infty<\infty$且$\lim\limits_{t\to \infty}\| u_{2}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]}=\lim\limits_{t\to \infty}\| u_{3}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]}=0$,则称疾病消退,这表明疾病扩展的范围有限且带菌者和染病者消失; 反之,则称疾病蔓延. 下面的定理表明在情型$(I)$下,疾病将消退.

定理4.1 如果$R_0(:=\frac{\lambda_1}\delta)<1$,则$\lim\limits_{t\to \infty}\| u_{2}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]}=0$,且有$h_\infty<\infty$,进而有$\lim\limits_{t\to \infty}\| u_{3}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]}=0$及$u_1(r,t)$在$[0,\infty)$的 任何有界子集上一致地收敛到$\frac Ad$.

证 注意到$u_2$满足问题 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} u_{2t}-d_{2}\Delta u_2\leq(\lambda_1-\delta)U_2,\; &0<r<h(t),\; t>0,\\ u_{2r}(0,t)=u_2(r,t)=0,\; &r=h(t),\; t>0,\\ u_2(r,0)\geq 0,\; &0\leq r\leq h_0, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 考虑定理条件$R_0<1$,故$\lambda_1-\delta<0$,于是当$t\to\infty$时, 有$\| u_{2}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]}\to 0$.

下面说明$h_\infty<\infty$. 事实上,直接计算可以推得 \begin{eqnarray*} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d} t}\int_{0}^{h(t)} r^{n-1}u_2(r, t)\textrm{d}r &=&\int_{0}^{h(t)}r^{n-1}u_{2t}(r,t)\textrm{d}r+h'(t)r^{n-1}u_2(h(t),t)\\ &=&\int_{0}^{h(t)}r^{n-1}d_{2}\Delta u_2\textrm{d}r+\int_{0}^{h(t)}r^{n-1} \bigg[\lambda_1 u_2\frac{u_1}{N}-\delta u_2\bigg] \textrm{d}r\\ &=&\int_{0}^{h(t)}d_{2}(r^{n-1}u_{2r}(r,t))_{r}\textrm{d}r+\int_{0}^{h(t)}r^{n-1} \bigg[\lambda_1 u_2\frac{u_1}{N}-\delta u_2\bigg]\textrm{d}r\\ &=&-\frac{d_{2}}{\mu}h^{n-1}h'(t)+\int_{0}^{h(t)}r^{n-1} \bigg[\lambda_1 u_2\frac{u_1}{N}-\delta u_2\bigg]\textrm{d}r. \end{eqnarray*} 从$T_0$到$t(>T_0)$积分推得 \begin{eqnarray*} \int_{0}^{h(t)}r^{n-1}u_2(r,t)\textrm{d}r&=&\int^{h(T_{0})}_{0} r^{n-1}u_2(r,T_{0})\textrm{d}r +\frac {d_{2}}{n \mu}h^{n}(T_{0})-\frac {d_{2}}{n\mu}h^{n}(t)\\ &&+\int_{T_0}^t\int_0^{h(s)}r^{n-1} \bigg[\lambda_1 u_2\frac{u_1}{N}-\delta u_2\bigg]\textrm{d}r\textrm{d}s,\ t\geq T_{0}. \end{eqnarray*} 因为此时$R_0(:=\frac{\lambda_1}\delta)<1$,所以我们有 $$\lambda_1 u_2\frac{u_1}{N}-\delta u_2<0,$$ $$\int_{0}^{h(t)}r^{n-1}u-2(r,t)\textrm{d}r\leq \int ^{h(T_{0})} _{0}r^{n-1}u_2(r,T_{0})\textrm{d}r +\frac{d_{2}}{n\mu}h^{n} (T_{0})-\frac {d_{2}}{n\mu}h^{n}(t),\ t\geq T_{0},$$ 这样我们就证明了$h_\infty<\infty$.

在此基础上,不难证明$\lim\limits_{t\to \infty}\| u_{3}(\cdot,t)\| _{ C^{2}[0,h(t)]}=0$, 而$u_1(r,t)$在$[0,\infty)$的任何有界子集上一致地收敛到$\frac Ad$.

现考虑情形$(II)$. 为了后面对$u_1,u_2,u_3$以及自由边界$r=h(t)$进行估计, 下面给出比较引理,其证明类似于文献[22,引理3.5].

引理4.2 若$T\in (0,+\infty)$,$\overline{h}\in C^{1}([0,T])$,$\overline{u}_1\in C([0,\infty)\times (-\infty,T]) \cap C^{2,1}((0,\infty)\times (-\infty,T])$, $\overline{u}_2,\overline u_3\in C([0,\overline{h}(t)]\times [0,T])\cap C^{2,1}((0, \overline h(t))\times (0,T])$,且 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} \overline {u}_{1t}-d_{1}\Delta\overline {u}_1\geq A-d \overline u_1,\; 0<r,\; 0<t\leq T,\\ [2mm] \overline {u}_{2t}-d_{2}\Delta\overline {u}_2\geq \lambda_1 \frac{\overline u_1 \overline u_2}{\overline u_1 +\overline u_2} -\delta \overline u_2,\; 0<r<\overline {h}(t),\; 0<t\leq T,\\ [2mm] \overline {u}_{3t}-d_{3}\Delta\overline {u}_3\geq \gamma\overline u_2-\omega\overline u_3,\; 0<r<\overline {h}(t),\ 0<t\leq T,\\ \overline u_{1r}(0,t)=\overline u_{2r}(0,t)=\overline u_{3r}(0,t)=0,0<t\leq T,\\ \overline u_2(r,t)=\overline u_3(r,t)=0,\; r\geq\overline {h}(t),\ 0\leq t\leq T,\\ \overline h'(t)\geq -\mu\overline {u}_{2r}(\overline h(t),t),\ \overline{h}(0):=\overline {h}_0\geq h_{0},\; 0<t\leq T,\\ \overline {u}_1(r,0)\geq u_{1,0}(r),0\leq r,\\ \overline{u}_2(r,0)\geq u_{2,0}(r),\; \overline{u}_3(r,0)\geq u_{3,0}(r),0\leq r\leq h_{0}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 则自由边界问题$(1.3)$的解$(u_1,u_2,u_3;h)$满足 $$u_1(r,t)\leq\overline u_1(r,t),\ h(t)\leq\overline {h}(t),\ (r,t)\in (0,\infty)\times\in(0,T];$$ $$u_2(r,t)\leq\overline u_2(r,t),\ u_3(r,t)\leq\overline u_3(r,t),\ (r,t)\in (0,h(t))\times(0,T].$$

接下来首先给出当$h_0$ 和$\mu$足够小时,疾病消退的充分条件.

定理4.3 若$R_0(:=\frac{\lambda_1}\delta)>1$,当$h_0\leq \min\{\sqrt{\frac{d_2}{16(\lambda_1-\delta)}},\,\sqrt{\frac{d_3}{16\gamma}}\}$ 且$\mu\leq \frac d{8M}$时,则有$h_\infty<\infty$,其中$d=\min \{d_2,\,d_3\}$,$M=\frac 43\max\{\| u_{2,0}\| _{L^\infty},\,\| u_{3,0}\| _{L^\infty}\}$.

证 首先我们构造问题$(1.3)$的上解, $$ \overline u_1(r,t)=M_{1}:=\max\bigg\{\|u_{1,0}\|_{L^\infty},\frac{A}{d}\bigg\}, $$ $$ \overline u_2=\overline u_3=\left\{ \begin{array}{lll} M e^{-\tau t}V(r/\theta(t)),\; 0\leq r\leq \theta(t),\\ 0,\; r> \theta(t), \end{array} \right. $$ $$ \theta (t)=2h_{0}(2- e^{-\tau t}),t\geq 0, $$ $$ V(y)=1-y^{2},0\leq y\leq 1, $$ 其中$M$和$\tau$ 是待定的正常数.

下面选择合适的$M$和$\tau$使得$(\overline u_1,\overline u_2,\overline u_3; \theta(t))$是 问题$(1.3)$的上解. 注意到$\overline u_1$是常数,显然满足 $$\overline {u}_{1t}- d_{1}\Delta\overline u_1\geq A-d \overline u_1. $$ 又直接计算得 \begin{eqnarray*} & &\overline u_{2t}-d_{2}\Delta\overline u_2- \lambda_1 \frac{\overline u_1\overline u_2}{\overline u_1+\overline u_2}+\delta \overline u_2 \\ &=&M e^{-\tau t}\bigg[-\tau V-r\theta '\theta^{-2}V'-d_{2} \theta^{-2}V''-d_{2}\frac{n-1}{r}\theta^{-1}V'- \bigg(\lambda_1\frac{\overline u_1}{\overline u_1+\overline u_2}-\delta \bigg)V \bigg]\\ &\geq& M e^{-\tau t}\bigg[\frac {d_{2}}{8h_{0}^{2}}-\tau-(\lambda_1-\delta)\bigg], \end{eqnarray*} $$ \overline u_{3t}-d_{3}\Delta \overline u_3-\gamma \overline u_2+\omega \overline u_3\geq M e^{-\tau t}\bigg[\frac {d_{3}}{8h_{0}^{2}}-\tau-\gamma\bigg]. $$ 另外我们有$\theta'(t)=2h_{0} \tau e^{-\tau t}$和$-\mu\overline u_{2r}(\theta(t),t)=2M\mu\theta^{-1}(t)e^{-\tau t},$ 而当$r\in [0,h_{0}]$ 时,我们有 $$\overline {u}_1(r,0)\geq u_{1,0}(r),\ \overline u_2(r, 0)=\overline u_3(r,0)=M\bigg(1-\frac{r^{2}}{4h_{0}^{2}}\bigg)\geq\frac{3}{4}M.$$ 如果我们选择 $M=\frac{4}{3}\max\{\|u_{2,0}\|_{L^\infty},\ \|u_{3,0}\|_{L^\infty} \}$, $\tau=\frac{d}{16h^2_0}$,并且假设 $$\mu\leq \frac{d}{8M},\ h_{0}\leq\min \bigg\{\sqrt{\frac{d_2}{16(\lambda_1-\delta)}},\ \sqrt{\frac{d_3}{16\gamma}}\bigg\}, \ d=\min\{d_2,d_3\},$$ 于是又有 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} \overline {u}_{1t}-d_{1}\Delta\overline {u}_1\geq A-d \overline u_1,\; 0<r,\; 0<t,\\ [2mm] \overline {u}_{2t}-d_{2}\Delta\overline {u}_2\geq \lambda_1 \frac{\overline u_1 \overline u_2}{\overline u_1 +\overline u_2} -\delta \overline u_2,\; 0<r<\theta(t),\; 0<t,\\[2mm] \overline {u}_{3t}-d_{3}\Delta\overline {u}_3\geq \gamma\overline u_2-\omega\overline u_3,\; 0<r<\theta(t),\ 0<t,\\ \overline u_{1r}(0,t)=\overline u_{2r}(0,t)=\overline u_{3r}(0,t)=0,0<t,\\ \overline u_2(r,t)=\overline u_3(r,t)=0,\; r\geq\theta(t),\ 0\leq t,\\ \theta'(t)\geq -\mu\overline {u}_{2r}(\theta(t),t),\ \theta(0)=2 {h}_0> h_{0},\; 0<t,\\ \overline {u}_1(r,0)\geq u_{1,0}(r),0\leq r,\\ \overline{u}_2(r,0)\geq u_{2,0}(r),\; \overline{u}_3(r,0)\geq u_{3,0}(r),0\leq r\leq h_{0}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 因此应用引理4.1得到,当$t>0$时,$h(t)\leq \theta (t)$, 从而有$h_\infty\leq \lim\limits_{t\to \infty} \theta(t)=4h_0<\infty$.

引理4.4 若$h_{\infty}<\infty$,则有 $$\lim\limits_{t\to+\infty}\|u_2(\cdot,t)\|_ {C([0,h(t)])}=\lim\limits_{t\to+\infty}\|u_3(\cdot,t)\|_{C([0,h(t)])}=0, $$ 并且$u_1(r,t)$ 在$[0,\infty)$ 的任何有界子集上一致地收敛到$\frac{A}{d}$.

证(反证法) 假设$\delta_0:=\limsup\limits_{t\to +\infty}\|u_2(\cdot,t)\|_{C([0,h(t)])}>0.$ 那么存在序列$(r_{k},t_{k} )\in[0,h(t))\times(0, \infty)$,使得$k\to \infty$,$t_{k}\to \infty$,且对所有的$k\in{\mathbb N}$, $u_2(r_{k},t_{k})\geq \delta_0 /2$. 由于$0\leq r_{k}<h(t)<h_{\infty}<\infty$, 于是存在序列$\{r_{k}\}$的子列使得该子列收敛到$r_{0}\in [0,h_{\infty})$. 不失一般性,我们仍记为原序列,即$r_{k}\to r_{0}\in [0,h_{\infty})$, $k\to \infty$. 定义$u^{k}_i(r,t)=u_i(r,t+t_k)\,(i=1,2,3),$ $r\in (0,h(t+t_k))$,$t\in(-t_{k},\infty)$. 由抛物方程的正则性可知, 序列$\{(u^k_1,u^k_2,u^k_3)\}$有一个子序列 $\{(u^{k_i}_1,u^{k_i}_2,u^{k_i}_3)\}$使当$i\to\infty$时, $(u^{k_i}_1,u^{k_i}_2,u^{k_i}_3)\to (\tilde u_1,\tilde u_2,\tilde u_3)$,其中 $(\tilde u_1,\tilde u_2,\tilde u_3)$ 满足方程 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} \tilde {u}_{1t}-d_{1}\Delta \tilde {u}_1= A-\tilde u_1 \bigg(\frac {\lambda_1\tilde u-2}{\tilde N}+d\bigg),\; 0<r<h_{\infty},\; t\in(-\infty,+\infty),\\ [3mm] \tilde {u}_{2t}-d_{2}\Delta \tilde {u}_2= \frac {\lambda_1\tilde u_1\tilde u-2}{\tilde N}-\delta \tilde u_2,\; 0<r<h_{\infty},\; t\in(-\infty,+\infty),\\ [2mm] \tilde {u}_{3t}-d_{3}\Delta \tilde {u}_3=\gamma\tilde u_2-\omega\tilde u_3,\; 0<r<h_{\infty},\; t\in(-\infty,+\infty), \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中$\tilde {N}=\tilde {u}_1+\tilde u_2+\tilde u_3$. 注意到 $\tilde u_2(r_{0},0 )\geq \delta_0 /2$,因此在$[0,h_{\infty})\times(-\infty,\infty)$上有 $\tilde u_2>0$. 由Hopf引理得,$\tilde u_{2r}(h_{\infty},0 )\leq -\varepsilon_{0}<0.$

另一方面,$h(t)$是单调递增且有界的. 进而,对任意$0<\beta <1$, 存在一个依赖于$\beta$,$h_{0}$,$\|u_{2,0}\|$$C^{2}$$[0,h_{0}]$ 以及$h_{\infty}$ 的正常数$\tilde C$使得 \begin{eqnarray*} \|u_2\|_{C^{(1+\beta)/2,1+\beta}([0,h(t))\times [0,\infty))} +\|h\|_{C^{1+\beta/2}([0,\infty))}\leq \tilde C. \end{eqnarray*} 于是便得$h'(t)\to 0,t\to \infty$,再由自由边界条件知, 当$k\to \infty$时,有 $$u_{2r}(h(t_{k}),t_{k}+0)=(u^{k})_{2r}(h(t_{k}),0)\to \tilde u_{2r}(h_{\infty},0). $$ 于是推出$\tilde u_{2r}(h_{\infty},0)=0$,这与我们之前得到的$\tilde u_{2r}(h_{\infty},0 )\leq -\varepsilon_{0}<0$相矛盾. 故假设不成立,$\lim\limits_{t\to+\infty}\|u_2(\cdot,t)\|_ {C([0,h(t)])}=0$. 由此知,$\lim\limits_{t\to+\infty}\|u_3(\cdot,t)\|_{C([0,h(t)])}=0$ 并且$u_1(r,t)$ 在$[0,\infty)$ 的任何有界子集上一致地收敛到$\frac{A}{d}$.

最后讨论情型$(II)$. 我们的结果表明当$h_0$适当大时,疾病总会蔓延.

定理4.5 考虑$R_0(:=\frac{\lambda_1}\delta)>1$. 若$h_{0}>h^{*}$,则$h_{\infty}=\infty$,其中$\lambda(h^{*})=\frac {\delta (R_0-1)}{2d_2}$, 而$\lambda(h^{*})$ 是问题 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta w=\lambda w,\; 0<r<h^*,\\ w_r(0)=0,\; w(h^*)= 0\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} 的第一特征值.

证 (反证法) 假设$h_{\infty}<+\infty$. 由引理4.2,有 $$\lim\limits_{t\to+\infty}\|u_2(\cdot,t)\|_ {C([0,h(t)])}=\lim\limits_{t\to+\infty}\|u_3(\cdot,t)\|_{C([0,h(t)])}=0$$ 并且$u_1(r,t)$ 在$[0,\infty)$ 的任何有界子集上一致地收敛到$\frac{A}{d}$. 因此我们可以推出, 当$r\in [0,h(t))$时,$\lim\limits_{t\to+\infty}(\frac {\lambda_1u_1}{N}-\delta)=\lambda_1-\delta=\delta (R_0-1)$一致成立, 故存在$t^*>0$使得当$0<r<h(t)$,$t>t^*$时, $\frac {\lambda_1u_1}{N}=\lambda_1-\delta>\frac {\delta}2 (R_0-1)$.

注意到 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} u_{2t}-d_{2}\Delta u_2\geq \frac {\delta}2 (R_0-1)u_2,\; 0<r<h_{0},\,t>t^*,\\ [2mm] u_{2r}(0,t)=0,\; u_2(h_{0},t)\geq 0,\ t>t^{*},\\ u_2(r,t^{*})>0,0\leq r<h_{0}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 而当$h_{0}>h^{*}$时,问题 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{lll} \underline{u}_{2t}-d_{2}\Delta \underline{u}_2=\frac {\delta}2 (R_0-1)\underline{u}_2,\; 0<r<h_0,\,t>t^*,\\[2mm] \underline{u}_{2r}(0,t)=0,\; \underline{u}_2(h_0,t)=0,\ t>t^{*},\\ \underline{u}_2(r,t^{*})=u_2(r,t^{*}),0\leq r<h_{0} \end{array} \right. \end{eqnarray*} 的解是无界的,于是由比较原理得$\lim\limits_{t\to +\infty}\|u_2(\cdot,t)\|_{C([0,h(t)])}=+\infty$. 这就和 $$\lim\limits_{t\to +\infty}\|u_2(\cdot,t)\|_{C([0,h(t)])}=0$$ 矛盾. 故$h_\infty=\infty$.