\qquad 随着现代科学技术的发展,医疗水平的提高以及人类文明的不断进步, 人类已经能够有效地预防和控制诸如天花、麻风、霍乱等曾经肆虐全球的传染性疾病, 但是一些新的、不断变异的传染病病毒却悄悄向人类袭来. 这些疾病的蔓延严重影响了人类的生活和工作. 20世纪80年代一种更为险恶的艾滋病毒正跨越国界在全球蔓延; 特别是2003年春SARS[1]病毒突袭人类,给人们的生命财产带来极大的危害. 因此,人们越来越重视对传染病的传播机理,预报和控制的研究.
为了研究如SARS 这种具有潜伏期的传染病问题,人们常用SEI模型[2, 3, 4, 5]来描述, 即根据疾病传播过程不同的状态,把所要研究的群体分成三种类别: S类,表示未被感染但有可能被感染的一类人,即易感者(Suscepible); E类,表示已被感染且具有传染力但未出现病症的一类人,即病毒携带者(Exposed)或带菌者; I 类,表示已被感染成病人具有传染力的一类人,即染病者(Infectious). 这样总人口数N=S+E+I. 如果潜伏者(E)和染病者(I)一样具有传染性, 正如2003年出现的SARS病毒,则相应的微分系统是 {dSdt=A−λ1SNE−λ2SNI−dS,[3mm]dEdt=λ1SNE+λ2SNI−γE−(d+α1)E,[3mm]dIdt=γE−kI−(d+α2)I,
对于模型(1.1),文献[4, 5]的作者证明了当基本再生数小于等于1时, 问题的无病平衡点是全局渐近稳定的,当基本再生数大于1时, 染病平衡点则是全局渐近稳定的. 在模型(1.1)的基础上,结合传染病动力学一些特征, 如种群在其所处环境中分布的不均匀性,种群内部流动的不均性等,该模型可扩展为 {u1t−d1Δu1=A−u1(λ1u2u1+u2+u3+λ2u3u1+u2+u3+d),x∈Ω, t>0,[3mm]u2t−d2Δu2=λ1u1u2u1+u2+u3+λ2u1u3u1+u2+u3−(γ+d+α1)u2,x∈Ω, t>0,[3mm]u3t−d3Δu3=γu2−(k+d+α2)u3,x∈Ω, t>0,[2mm]∂u1∂η=∂u2∂η=∂u3∂η=0,x∈∂Ω, t>0,[2mm]ui(x,0)=ui,0(i=1,2,3),x∈¯Ω,
对固定区域Ω构建的模型(1.2),我们知道不管初始时刻传染源被限制在Ω 内多小的区域内,问题的解总是正的, 这表明疾病都会立即传播到整个固定的区域. 显然这样的过程不能用来描述传染病传播的实际情况, 而自由边界却能很好地解决这个问题, 它能清晰地描述所研究问题的边界随着时间的推移而变化, 而不是从疾病开始爆发就立即能传播到整个区域. 最初的自由边界问题是Josef Stefan在研究极地海洋中冰的溶解问题时所建立的数学模型[6]. 这类问题在许多领域的研究中都会碰到,如图像处理[7], 化学中热裂解碳的蒸汽渗透[8],医学中的肿瘤治愈[9]等. 由于研究问题的边界是随时间而不断变化的,因此数学上求解自由边界问题, 移动边界的刻画就显得尤为重要, 它将作为解的一部分随解一起给出. 近几年自由边界开始被用来描述动物种群的扩张[10]. 动物种群的扩张现象是Skellam[11]在1953年发现的, 他首先结合野外获取的数据,计算出麝鼠活动区域的面积,进而求平方根, 即给出扩张半径,将这些数据按照年份划分, 结果发现采集的数据点落在同一条直线上,故他认为麝鼠的扩张符合线性增长. 由于扩张的存在, 我们在其它动物种群也会发现类似的现象. 由此可见这种扩张是普遍存在的, 基于这种有趣的现象, 为了能进一步解释这种扩张,许多科学工作者致力于模拟种群扩张, 尽管这种数学模拟是比较困难的,但还是取得了很多成果(参见文献[12, 13, 14, 15, 16]).
本文尝试着引入自由边界来描述传染病的蔓延. 为了方便, 只考虑λ2=0的情形,即忽略与染病者的接触,并且假设区域是球对称的. 令 r=|x|, x∈Rn,
本文我们将分别考虑在固定区域Ω和移动区域上引入扩散项的SEI模型 并研究相应问题解的渐近性态. 第2节将给出系统(1.2) 解的基本性质,讨论偏微分方程组解的局部稳定性和全局稳定性; 第3节考虑自由边界问题(1.3)的适定性,最后第4节着重研究自由边界的性质, 给出疾病蔓延或消退的条件.
由于系统(1.2)初始条件ui,0>0且其三个方程右端的反应函数在R3+中充分光滑, 根据标准的偏微分方程理论, 问题(1.2)存在唯一全局解(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t)),(x,t)∈¯Ω×(0,∞). 下面首先给出问题解的正性和一致有界性.
定理2.1 设(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))∈[C(¯Ω×[0,∞))⋂C2,1(Ω×(0,∞))]3是问题(1.2)的解, 则 0<ui(x,t)≤Mi (i=1,2,3),
证 由比较原理和强极值原理得解的正性. 下面只验证上界. 注意到u1满足 {u1t−d1Δu1≤A−du1,x∈Ω, t>0,∂u1∂η=0,x∈∂Ω, t>0,[2mm]u1(x,0)=u1,0>0,x∈Ω.
同理,既然 u2t−d2Δu2≤λ1u1+λ2u1−δu2≤(λ1+λ2)M1−δu2, 由比较原理知u2(x,t)≤max{‖u2,0(x)‖L∞(Ω),λ1+λ2δM1}:=M2. 注意到u3t−d3Δu3≤γM2−ωu3,故u3(x,t)≤max{‖u3,0(x)‖L∞(Ω),γωM2}:=M3.
现在讨论系统(1.2)平衡解的局部稳定性和全局稳定性. 显然方程组(1.2)总有一个无病平衡点P0(Ad,0,0),此时系统没有带菌者和染病者. 进一步地, 若 R0:=λ1ω+λ2γωδ>1,
考虑染病平衡点P∗的性质,利用文献[20]中有关空间分解的方法,令0=μ1<μ2<μ3<⋯是具有齐次Neumann边界条件的算子−Δ在Ω上的特征值, 且E(μi)是μi在C1(Ω)上的特征空间. 令 X={U=(u1,u2,u3)∈[C1(¯Ω)]3|∂U∂η=0,x∈∂Ω},
下面将方程组进行线性化: 先取U∗=(u∗1,u∗2,u∗3),令U=U∗+V, 代入系统(1.2)可得Vt=LV:=DΔV+FU(u∗)U, 其中D=diag(d1,d2,d3),FU(U∗)是矩阵{aij}: a11=−N∗−u∗1N∗2(λ1u∗2+λ2u∗3)−d,a12=−u∗1[λ1N∗−(λ1u∗2+λ∗3)]N∗2,
下面考虑无病平衡点P0=(A/d,0,0)的性质,我们要证明当R0>1时,P0是不稳定的. 事实上,这里 L=D△+FU(P0)=D△+{aij},其中 a11=−d,a12=−λ1,a13=−λ2,a21=0,a22=λ1−δ,a23=λ2,a31=0,a32=γ,a33=−ω.
类似地,我们可以证明当R0<1时,P0是局部渐近稳定的.
定理2.2 当R0>1时,系统(1.2)的染病平衡点P∗是局部渐近稳定的,而无病平衡点P0是不稳定的. 相反,当R0<1时,无病平衡点P0是局部渐近稳定的,此时不存在染病平衡点.
下面我们用构造Lyapunov函数的方法,证明无病平衡点P0是全局渐近稳定的.
定理2.3 当R0<1时,系统(1.2)的无病平衡点P0是全局渐近稳定的.
证 取Lyapunov函数为 V(t)=∫Ω[12k1(u1−u∗1)2+u2+k2u3]dx,
下面我们应用压缩映像原理证明问题(1.3)解的局部存在性及唯一性.
定理3.1 对于满足(1.4)式的初值 (u1,0,u2,0,u3,0)及任意β∈(0,1),存在T>0使得问题(1.3)存在唯一解 (u1,u2,u3;h)∈C1+β,(1+β)/2(D∞T)×[C1+β,(1+β)/2(DT)]2×C1+β/2([0,T]),
证 类似于文献[22, 23],我们首先把自由边界拉直, 将自由边界问题转化为固定区域上的偏微分方程组. 利用压缩映像原理可以证明局部解的存在性和唯一性. 该证明与文献[23]中定理2.1 相似,这里从略.
为了将定理3.1得到的局部解推广到对所有的t>0都成立,我们需要进行下面的估计.
引理3.2 设(u1,u2,u3;h)是问题(1.3)在[0,T0]的一个解,其中T0∈(0,+∞), 则存在不依赖于T0的常数C1,C2和C3使得 0<u1(r,t)≤C1,0≤r<+∞, t∈(0,T0],
证 首先在[0,+∞)×[0,T0]内只要有解存在,则显然有u1≥0,u2≥0和u3≥0. 再对方程(1.3) 应用强极值原理得到 u1(r,t)>0, 0≤r<+∞, t∈(0,T0],u2(r,t)>0, u3(r,t)>0, 0≤r<h(t), t∈(0,T0].
下面的引理说明问题(1.3)的自由边界是严格单调增的.
引理3.3 设(u1,u2,u3;h)是问题(1.3)在[0,T0]的一个解, 则存在不依赖于T0的正常数C4使得 0<h′(t)≤C4, t∈(0,T0].
证 对问题(1.3)中关于u2 的方程应用Hopf引理可导出 (u2)r(h(t),t)<0,0<t≤T0.
下面证明对所有的t∈(0,T0]都存在不依赖于T0的常数C4, 使h′(t)≤C4, t∈(0,T0]. 类似文献[17],定义 Γ=ΓM:={(r,t):h(t)−M−1<r<h(t), 0<t≤T0},
接下来,我们给出问题(1.3)解的全局存在性.
引理3.4 对于所有的t∈(0,∞),问题(1.3)的解存在且唯一.
证 设[0,Tmax)是解存在的最大时间范围, 下面将证明Tmax=∞. 反证,假设Tmax为一有限数,则根据引理3.1和引理3.2, 当t∈[0,Tmax),r∈[0,h(t))时,存在不依赖于Tmax的常数 C1,C2,C3和C4,使得下式均成立 0<u1(r,t)≤C1,(r,t)∈[0,+∞)×[0,Tmax),
本节考虑自由边界的解的性质,以此说明疾病的传播何时消退或者蔓延,并给出具体的判断标准. 下面分两种情型进行讨论: (I)R0<1,(II)R0>1.
由上节引理3.2,我们得到r=h(t)是单调递增的,因此存在h∞∈(0,+∞]使得 limt→∞h(t)=h∞. 如果h∞<∞且limt→∞‖u2(⋅,t)‖C2[0,h(t)]=limt→∞‖u3(⋅,t)‖C2[0,h(t)]=0,则称疾病消退,这表明疾病扩展的范围有限且带菌者和染病者消失; 反之,则称疾病蔓延. 下面的定理表明在情型(I)下,疾病将消退.
定理4.1 如果R0(:=λ1δ)<1,则limt→∞‖u2(⋅,t)‖C2[0,h(t)]=0,且有h∞<∞,进而有limt→∞‖u3(⋅,t)‖C2[0,h(t)]=0及u1(r,t)在[0,∞)的 任何有界子集上一致地收敛到Ad.
证 注意到u2满足问题 {u2t−d2Δu2≤(λ1−δ)U2,0<r<h(t),t>0,u2r(0,t)=u2(r,t)=0,r=h(t),t>0,u2(r,0)≥0,0≤r≤h0,
下面说明h∞<∞. 事实上,直接计算可以推得 ddt∫h(t)0rn−1u2(r,t)dr=∫h(t)0rn−1u2t(r,t)dr+h′(t)rn−1u2(h(t),t)=∫h(t)0rn−1d2Δu2dr+∫h(t)0rn−1[λ1u2u1N−δu2]dr=∫h(t)0d2(rn−1u2r(r,t))rdr+∫h(t)0rn−1[λ1u2u1N−δu2]dr=−d2μhn−1h′(t)+∫h(t)0rn−1[λ1u2u1N−δu2]dr.
在此基础上,不难证明limt→∞‖u3(⋅,t)‖C2[0,h(t)]=0, 而u1(r,t)在[0,∞)的任何有界子集上一致地收敛到Ad.
现考虑情形(II). 为了后面对u1,u2,u3以及自由边界r=h(t)进行估计, 下面给出比较引理,其证明类似于文献[22,引理3.5].
引理4.2 若T∈(0,+∞),¯h∈C1([0,T]),¯u1∈C([0,∞)×(−∞,T])∩C2,1((0,∞)×(−∞,T]), ¯u2,¯u3∈C([0,¯h(t)]×[0,T])∩C2,1((0,¯h(t))×(0,T]),且 {¯u1t−d1Δ¯u1≥A−d¯u1,0<r,0<t≤T,[2mm]¯u2t−d2Δ¯u2≥λ1¯u1¯u2¯u1+¯u2−δ¯u2,0<r<¯h(t),0<t≤T,[2mm]¯u3t−d3Δ¯u3≥γ¯u2−ω¯u3,0<r<¯h(t), 0<t≤T,¯u1r(0,t)=¯u2r(0,t)=¯u3r(0,t)=0,0<t≤T,¯u2(r,t)=¯u3(r,t)=0,r≥¯h(t), 0≤t≤T,¯h′(t)≥−μ¯u2r(¯h(t),t), ¯h(0):=¯h0≥h0,0<t≤T,¯u1(r,0)≥u1,0(r),0≤r,¯u2(r,0)≥u2,0(r),¯u3(r,0)≥u3,0(r),0≤r≤h0,
接下来首先给出当h0 和μ足够小时,疾病消退的充分条件.
定理4.3 若R0(:=λ1δ)>1,当h0≤min{√d216(λ1−δ),√d316γ} 且μ≤d8M时,则有h∞<∞,其中d=min{d2,d3},M=43max{‖u2,0‖L∞,‖u3,0‖L∞}.
证 首先我们构造问题(1.3)的上解, ¯u1(r,t)=M1:=max{‖u1,0‖L∞,Ad},
下面选择合适的M和τ使得(¯u1,¯u2,¯u3;θ(t))是 问题(1.3)的上解. 注意到¯u1是常数,显然满足 ¯u1t−d1Δ¯u1≥A−d¯u1.
引理4.4 若h∞<∞,则有 limt→+∞‖u2(⋅,t)‖C([0,h(t)])=limt→+∞‖u3(⋅,t)‖C([0,h(t)])=0,
证(反证法) 假设δ0:=lim supt→+∞‖u2(⋅,t)‖C([0,h(t)])>0. 那么存在序列(rk,tk)∈[0,h(t))×(0,∞),使得k→∞,tk→∞,且对所有的k∈N, u2(rk,tk)≥δ0/2. 由于0≤rk<h(t)<h∞<∞, 于是存在序列{rk}的子列使得该子列收敛到r0∈[0,h∞). 不失一般性,我们仍记为原序列,即rk→r0∈[0,h∞), k→∞. 定义uki(r,t)=ui(r,t+tk)(i=1,2,3), r∈(0,h(t+tk)),t∈(−tk,∞). 由抛物方程的正则性可知, 序列{(uk1,uk2,uk3)}有一个子序列 {(uki1,uki2,uki3)}使当i→∞时, (uki1,uki2,uki3)→(˜u1,˜u2,˜u3),其中 (˜u1,˜u2,˜u3) 满足方程 {˜u1t−d1Δ˜u1=A−˜u1(λ1˜u−2˜N+d),0<r<h∞,t∈(−∞,+∞),[3mm]˜u2t−d2Δ˜u2=λ1˜u1˜u−2˜N−δ˜u2,0<r<h∞,t∈(−∞,+∞),[2mm]˜u3t−d3Δ˜u3=γ˜u2−ω˜u3,0<r<h∞,t∈(−∞,+∞),
另一方面,h(t)是单调递增且有界的. 进而,对任意0<β<1, 存在一个依赖于β,h0,‖u2,0‖C2[0,h0] 以及h∞ 的正常数˜C使得 ‖u2‖C(1+β)/2,1+β([0,h(t))×[0,∞))+‖h‖C1+β/2([0,∞))≤˜C.
最后讨论情型(II). 我们的结果表明当h0适当大时,疾病总会蔓延.
定理4.5 考虑R0(:=λ1δ)>1. 若h0>h∗,则h∞=∞,其中λ(h∗)=δ(R0−1)2d2, 而λ(h∗) 是问题 {−Δw=λw,0<r<h∗,wr(0)=0,w(h∗)=0
证 (反证法) 假设h∞<+∞. 由引理4.2,有 limt→+∞‖u2(⋅,t)‖C([0,h(t)])=limt→+∞‖u3(⋅,t)‖C([0,h(t)])=0
注意到 {u2t−d2Δu2≥δ2(R0−1)u2,0<r<h0,t>t∗,[2mm]u2r(0,t)=0,u2(h0,t)≥0, t>t∗,u2(r,t∗)>0,0≤r<h0,