捕食-食饵系统是重要的生态种群系统,吸引了许多生物数学工作者的目光, 得到大量的研究成果^{[1, 2, 3, 4, 5]}. Xu Rui^[11]等研究了下面食饵在两个斑块扩散的时滞捕食-食饵模型

$$\left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}x_1&=&\{x_1[r_1(t)-a_{11}(t)x_1(t)-a_{13}(t)y(t)]+D_1(t)(x_2(t)-x_1(t))\}{\rm d}t,\\ {\rm d}x_2&=&\{x_2[r_2(t)-a_{22}(t)x_2(t)-a_{23}(t)y(t)]+D_2(t)(x_1(t)-x_2(t))\}{\rm d}t,\\ {\rm d}y&=&y[-r_3(t)+a_{31}(t)x_1(t-\tau_1)+a_{32}(t)x_2(t-\tau_1) -a_{33}(t)y(t-\tau_2)]{\rm d}t, \end{array} \right.(1.1)$$ 得到了系统存在唯一全局稳定正周期解的充分条件. 我们注意到生物种群生存环境受到人类的活动和环境变化的影响. 环境噪音对种群生存环境的影响不可忽视, 已经引起生物学家与生物数学工作者的重视并成为一个新的研究方向. 文献^[]研究随机环境下种群生态系统得到了丰富的成果. Maja Vasilova^[12] 研究了具有时变时滞的随机Gilpin-Ayala捕食-食饵系统, 获得了系统解的长时间渐近行为、均值估计与种群的灭绝性等. Miljana Jovanovic 和 Maja Vasilova^[13] 研究了具有时变时滞的非自治的随机Gilpin-Ayala竞争系统,得到了种群灭绝、 不持续生存、平均持续生存和弱持续生存的条件. Liu M 和 Wang K^[14]讨论了具有L{\'e}vy 跳的Leslie-Gower Holling 功能反应捕食-食饵系统. Aadil Lahrouz 和 Adel Sufficient Settati^[15] 给出了具有随机扰动SIRS系统的持续生存和充要条件. 在随机种群模型中通常假设种群的出生率与死亡率是随机的,这样模型 的解不再趋近某一稳定正平衡态,而是波动在某一平均值. 因此,研究种群灭绝与持续生存成为具有随机扰动种群模型的一个核心问题. 下面假设系统(1.1)的系数$r_i(t)$受环境噪声的影响,令$r_i(t)\rightarrow r_i(t)+\sigma_i(t){\rm d}B_i(t)$. $(B_1(t),B_2(t),B_3(t))$ 是完备概率空间$(\Omega,\digamma,\{\digamma_t\}_{t\geq0},P)$上 3 维标准Brownian 运动,$\sigma_i^2(t),i=1,2,3$ 代表噪声的强度.所以相应确定系统(1.1)提出具有时滞的食饵扩散的随机自治捕食-食饵模型 $$\left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}x_1 &=&\{x_1[r_1-a_{11}x_1(t)-a_{13}y(t)]+D_1(x_2(t)-x_1(t))\}{\rm d}t+\sigma_1x_1{\rm d}B_1(t),\\ {\rm d}x_2 &=&\{x_2[r_2-a_{22}x_2(t)-a_{23}y(t)]+D_2 (x_1(t)-x_2(t))\}{\rm d}t+\sigma_2x_2{\rm d}B_2(t),\\ {\rm d}y &=& y[-r_3+a_{31}x_1(t-\tau_1)+a_{32}x_2(t-\tau_1)-a_{33}y(t-\tau_2)-ay(t)]{\rm d}t-\sigma_3y{\rm d}B_3(t),\\ \end{array} \right.(1.2)$$ 初始条件 $$x_i(\theta)=\phi_i(\theta),y(\theta)=\varphi(\theta),\phi_i, \varphi \in C([-\tau,0],R_+),R_+=\{x|x\in R,x>0\},i=1,2,$$ 其中 $\tau=\max\{\tau_1,\tau_2\},$ $x_i(t)$ 是 $t$ 时刻食饵种群 $x$ 在斑块 $i,i=1,2$ 的密度,$y(t)$ 是 $t$ 时刻捕食者种群 $y$ 在两块的总密度. 系统 (1.2)的所有参数均为正常数.

本节我们给出将要用到的一些记号、定义和引理.

为了方便给出下列记号

$$R_+^n=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)|a_i>0,i=1,2,\cdots,n \},\ \ \langle x(t) \rangle=\frac{1}{t}\int_0^tx(s){\rm d}s,$$ $$\langle x(t) \rangle_\ast=\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{1}{t}\int_0^tx(s){\rm d}s,\ \ \langle x(t) \rangle^\ast=\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{1}{t}\int_0^tx(s){\rm d}s.$$ 定义 2.1 (1) 如果种群 $x(t)$ 满足 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} x(t)=0,$ a.s.,则称种群 $x(t)$是灭绝.

(2)~ 如果种群 $x(t)$ 满足 $\langle x(t) \rangle_\ast >0,$ a.s., 则称种群 $x(t)$为平均持续生存.

引理 2.1^[16] 设 $x(t)\in C(\Omega \times [0,+\infty),R_+)$,则有

(1)~ 如果存在正的常数 $\mu,T$ 使得 $\ln x(t)\leq\lambda t-\mu \int_0^tx(s){\rm d}s-\sum\limits_{i=1}^n\beta_iB_i(t),t\geq T,$ 其中 $\beta_i,1\leq i \leq n$ 是常数,则

$$\left\{ \begin{array}{lll} \langle x(t)\rangle^*\leq \frac{\lambda}{\mu},& \lambda\geq 0,\ {\rm a.s.,}\\ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}x(t)=0,~~& \lambda<0,\ {\rm a.s..} \end{array} \right.$$

(2)~ 如果存在正的常数 $\mu,T$ 和 $\lambda\geq 0$ 使得 $\ln x(t)\geq \lambda t-\mu \int_0^tx(s){\rm d}s-\sum\limits_{i=1}^n\beta_iB_i(t),t\geq T,$ 其中 $\beta_i,1\leq i \leq n$ 是常数, 则

$$\langle x(t)\rangle_*\geq \frac{\lambda}{\mu},\ \ {\rm a.s..}$$

引理2.2^[16] 设 $x_i(t),i=1,2$ 分别是随机微分方程

$${\rm d}x_i(t)=f_i(x_i(t),t){\rm d}t+g(x_i(t),t){\rm d}B(t) (2.1)$$ 的解,其中$f_i(x_i(t),t)\in C([0,+\infty)\times R),g(x_i(t),t)\in C([0,+\infty)\times R).$ 如果满足

(1)~ 存在定义在 $[0,+\infty)$ 上的满足 $\rho(0)=0$ 以及 $\int_{0^+}^{+\infty}\rho(s){\rm d}s=\infty$的函数 $\rho(s),$ 使得

$$|g(x,t)-g(y,t)|\leq \rho(|x-y|),x,y\in R,t\geq 0;$$

(2)~ $f_1(x,t)<f_2(x,t),x\in R,t\geq 0;$

(3)~ $x_1(0)\leq x_2(0),$\\ 则以概率$1$有 $x_1(t)\leq x_2(t),t \geq 0.$

引理2.3 如果随机单种群模型 ${\rm d}y(t)=y(t)(r_1-a_{11}y(t)){\rm d}t+\sigma_1 y(t){\rm d}B_1(t)$ 满足 $r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2>0,$ 则 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\langle y(t)\rangle=\frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a_{11}}$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{\ln y(t)}{t}=0,$ a.s..

证 运用It\^{o} 公式有

$$\ln y(t)-\ln y(0)=(r_1- \frac{1}{2}\sigma_1^2)t-a_{11}\int_0^ty(s){\rm d}s +\sigma_1 B_1(t),$$ 上式两端除以 $t$得 $$t^{-1}\ln \frac{y(t)}{y(0)}=r_1- \frac{1}{2}\sigma_1^2-a_{11} \langle y(t)\rangle+t^{-1}\sigma_1 B(t).$$

由引理 2.1有$\langle y(t)\rangle^*\leq \frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a_{11}}$ 和 $\langle y(t)\rangle_*\geq \frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a_{11}}$,则有 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\langle y(t)\rangle=\frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a_{11}},$ a.s..

根据$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{B_1(t)}{t}=0,$ 有 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{\ln y(t)}{t}=0,$ a.s. 成立.

根据系统(1.1)确定具有时滞的两种群随机捕食-食饵模型

$$\left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}x=x [r-ax(t)-by(t)]{\rm d}t+\sigma_1x{\rm d}B_1(t),\\ {\rm d}y=y[-e+cx(t-\tau_1)-dy(t-\tau_2)-fy(t)]{\rm d}t-\sigma_2y{\rm d}B_2(t),\\ \end{array} \right.(2.2)$$ 初始条件 $$x(\theta)=\phi(\theta),y(\theta)=\varphi(\theta),\phi(\theta),\varphi(\theta) \in C([-\tau,0],R_+).$$

利用文献^[17]的方法证明系统(1.1)对任意给定的正初始值总是存在唯一全局正解, 首先,给出系统 (2.2)存在全局正解.

引理3.1 对于系统 (2.2)的任意初始值 $\Phi(t)=(\varphi(t),\psi(t))\in C([-\tau,0],R_+^2)$,系统 (2.2)存在唯一局部正解 $(x(t),y(t)),t\in [0,\tau_e),$ 其中 $\tau_e$ 是爆破时间.

证 在$t\geq 0,$ 对任意给定的初值 $u(0)=\ln x(0),v(0)=\ln y(0)$ 考虑方程

$$\begin{equation} \begin{array}{l} {\rm d}u(t)=(r-ae^{u(t)}-be^{v(t)}){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1(t),\\ {\rm d}v(t)=(-e+ce^{u(t-\tau_1)}-de^{v(t-\tau_2)}-fe^{v(t)}){\rm d}t-\sigma_2{\rm d}B_2(t), \end{array} \end{equation}$$

(3.1)

容易验证方程(3.1)满足线性增长条件和局部 Lipschitz 条件,所以存在唯一的局部解 $(u(t),v(t))$ 定义在 $[0,\tau_e)$ 上. 由 It\^{o} 公式知,$x(t)=e^{u(t)},$ $y(t)=e^{v(t)}$ 是方程 (2.2)满足初值 $\Phi(t)=(\varphi(t),\psi(t))\in C([-\tau,0],R_+^2)$ 的解.

定理3.1 对任意给定初始值 $(\varphi(t),\psi(t))\in C([-\tau,0],R_+^2)$,系统(2.2)具有唯一正解 $(x(t),y(t)),t\geq 0$,且此解以概率 1 停留在 $R_+^2$ 内.

证 设 $r_0$ 充分大,使得初值$(\varphi(t),\psi(t))\in C([-\tau,0],R_+^2)$ 落入区间 $[ \frac{1}{r_0},r_0]$ 内. 对每一个正整数 $r$,定义停时

$$\tau_r=\inf \bigg\{t\in [0,\tau_e): x(t)\bar{\in}(\frac{1}{r},r)\ \mbox{或}\ y(t)\bar{\in}(\frac{1}{r},r)\bigg\}.$$

显然 $\tau_r$ 随 $r\rightarrow \infty$ 单调增加的. 令 $\tau_\infty=\lim\limits_{r\rightarrow \infty}\tau_r$,则 $\tau_\infty\leq\tau_e,$ a.s. 下面证明: $\tau_\infty=\infty$ (或对所有的 $T>0$,有 $p(\tau_r\leq T)\rightarrow 0, r\rightarrow \infty)$).

定义一个 $C^2$ 函数 $V:R_+^2\rightarrow R_+$

$$V(X)=(x-1-\ln x)+(y-1-\ln y)+\frac{1}{2}a \int_{t-\tau_1}^t x^2(s){\rm d}s+\frac{1}{2}f \int_{t-\tau_2}^t y^2(s){\rm d}s.$$

利用 It\^{o} 公式沿系统(2.2)的解轨线计算 $V(X)$ 的微分

$${\rm d}V(X)=F(X(t)){\rm d}t+\sigma_1(x-1){\rm d}B_1(t)+\sigma_2(1-y){\rm d}B_2(t),$$ 其中 $$\begin{eqnarray*} F(X(t))&=&r(x-1)+ax-\frac{a}{2}x^2+e(1-y)+(-bx+b)y-\frac{1}{2}fy^2+fy\\ &&+cyx(t-\tau_1)-cx(t-\tau_1)+dy(t-\tau_2)-dyy(t-\tau_2)\\ &&-\frac{a}{2}x^2(t-\tau_1)-\frac{1}{2}fy^2(t-\tau_2)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{2}\sigma_i^2. \end{eqnarray*}$$

由$F(X(t))$的表达式知道,存在一个正常数$K$使得 $F(X(t))\leq K$,这样

$${\rm d}V(X)\leq K{\rm d}t+\sigma_1(x-1){\rm d}B_1(t)+\sigma_2(y-1){\rm d}B_2(t).$$

上式从$0$到$\tau_r\wedge T$积分且取均值可得

$$EV(x(\tau_r\wedge T))\leq V(x(0))+KT.$$

对于每一个 $\omega\in \{\tau_r\leq T\}$,有 $x(\tau_r, \omega) \bar{\in}(r^{-1},r)$ 或 $y(\tau_r,\omega) \bar{\in}(r^{-1},r)$,所以

$$V(X(\tau_r))\geq x(\tau_r)-1-\ln x(\tau_r)\geq P(\tau_r\leq T)\bigg[( \frac{1}{r}-1-\ln \frac{1}{r})\wedge (r-1-\ln r)\bigg]$$ 或者 $$V(X(\tau_r))\geq y(\tau_r)-1-\ln y(\tau_r)\geq P(\tau_r\leq T)\bigg[( \frac{1}{r}-1-\ln \frac{1}{r})\wedge (r-1-\ln r)\bigg].$$

这样有

$$\begin{eqnarray*} \infty &>& V(X(0))+KT\geq EV(X(\tau_r\wedge T))\\ &=&P(\tau_r\leq T)V(X(\tau_r))+P(\tau_r>T)V(X(T))\\ &\geq& P(\tau_r\leq T)V(X(\tau_r))\geq P(\tau_r\leq T) \bigg[( \frac{1}{r}-1-\ln \frac{1}{r})\wedge (r-1-\ln r)\bigg]. \end{eqnarray*}$$

由$\lim\limits_{r\rightarrow \infty}[( \frac{1}{r}-1-\ln \frac{1}{r})\wedge (r-1-\ln r)]= \infty,$ 有 $\lim\limits_{r\rightarrow \infty}P( \tau_r\leq T)=0$,进而 $P( \tau_{\infty} \leq T)=0.$

因为$T>0$ 是任意的,所以 $P(\tau_{\infty}=\infty)=1.$ 结论得证.

定理3.2 对任意给定初始值 $(\phi_1(t),\phi_2(t),\psi(t))\in C([-\tau,0],R_+^3)$ 系统(1.1)具有唯一正解 $(x_1(t),x_2(t),y(t)),t\geq 0$,且此解以概率 1 停留在 $R_+^3$ 内.

证 定义函数 $W(t)=\max\{x_1(t),x_2(t)\}$,为了计算 $W(t)$ 的随机微分考虑下列的情况

(1)~ 如果 $x_1(t)\geq x_2(t),$ 则有

$${\rm d}W(t)={\rm d}x_1(t)\leq x_1[r_1-a_{11}x_1(t)-a_{13}y(t)]{\rm d}t+\sigma_1x_1{\rm d}B_1(t),$$

(2)~ 如果 $x_2(t)\geq x_1(t),$ 则有

$${\rm d}W(t)={\rm d}x_2(t)\leq x_2[r_2-a_{22}x_2(t)-a_{23}y(t)]{\rm d}t+\sigma_2x_2{\rm d}B_2(t).$$

考虑比较系统

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}\Theta_1=\Theta_1 [r_1-a_{11}\Theta_1-a_{13}\Phi_1]{\rm d}t+\sigma_1\Theta_1{\rm d}B_1(t),\\ {\rm d}\Phi_1=\Phi_1[-r_3+b\Theta_1(t-\tau_1)-a_{33}\Phi_1(t-\tau_2)-a\Phi_1(t)]{\rm d}t-\sigma_3\Phi_1{\rm d}B_3(t) \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.2)

和

$$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}\Theta_2=\Theta_2 [r_2-a_{22}\Theta_2-a_{23}\Phi_2]{\rm d}t+\sigma_2\Theta_2{\rm d}B_2(t),\\ {\rm d}\Phi_2=\Phi_2[-r_3+b\Theta_2(t-\tau_1)-a_{33}\Phi_2(t-\tau_2)-a\Phi_2(t)]{\rm d}t-\sigma_3\Phi_2 {\rm d}B_3(t), \end{array} \right. \end{equation}$$

(3.3)

其中 $b=(a_{31}+a_{32}).$

根据定理3.1,系统(3.2)和(3.3)存在唯一的全局正解.

利用随机微分方程比较定理(引理2.2)有

$$x_1(t)\leq \Theta_1(t),x_2(t)\leq \Theta_1(t),y(t)\leq \Phi_1(t),\ \ t>0,\ {\rm a.s.}$$ 或者 $$x_1(t)\leq \Theta_2(t),x_2(t)\leq \Theta_2(t), y(t)\leq\Phi_2(t),\ \ t>0,\ {\rm a.s..}$$

所以,系统 (1.1) 存在唯一的全局正解,结论得证.

定理3.3 如果 $X(t)=(x_1(t),x_2(t),y(t))$是系统(1.1)满足初始值 $(\phi_1(t),\phi_2(t),\varphi(t)) \in C([-\tau,0],R_+^3)$ 的解, 则系统 (1.1) 的解满足 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\sup E(x_1(t)+x_2(t)+y(t))\leq K$,其中$K$为某一正常数.

证 定义函数 $W_1(X)=x_1(t)+x_2(t)+y(t),$ 利用 It\^{o} 公式得

$$\begin{eqnarray} {\rm d}W_1(X)&=& (r_1x_1-a_{11}x_1^2-a_{13}x_1y+D_1x_2-D_1x_1+a_{31}yx_1(t-\tau_1) \nonumber\\ && +a_{32}yx_2(t-\tau_1)+r_2x_2-a_{22}x_2^2-a_{23}yx_2+D_2x_1-D_2x_2 \nonumber\\ && -r_3y-a_{33}yy(t-\tau_2)-ay^2){\rm d}t+\sum\limits_{i=1}^2 \sigma_ix_i{\rm d}B_i(t)-\sigma_3y{\rm d}B_3(t), \end{eqnarray}$$

(3.4)

为了处理时滞,引进非负函数 $$W_2(X)= \frac{1}{2}a_{11}\int_{t-\tau_1}^te^sx_1(s){\rm d}s+ \frac{1}{2}a_{22} \int_{t-\tau_1}^te^sx_2(s){\rm d}s.$$

所以

$${\rm d}(e^tW_1(X)+W_2(X))\leq e^tH(X){\rm d}t+e^t\bigg(\sum\limits_{i=1}^2 \sigma_ix_i{\rm d}B_i(t)+\sigma_3y{\rm d}B_3(t)\bigg),$$ 其中

$$\begin{eqnarray} H(X)&= & W_1(X)+r_1x_1-\frac{a_{11}}{2}x_1^2-a_{13}x_1y+D_1x_2-D_1x_1+a_{31}yx_1(t-\tau_1) \nonumber\\ && +a_{32}yx_2(t-\tau_1)+r_2x_2-\frac{a_{22}}{2}x_2^2-a_{23}yx_2+D_2x_1-D_2x_2-r_3y \nonumber\\ &&-a_{33}yy(t-\tau_2)-ay^2-\frac{a_{11}e^{-\tau_1}}{2}x_1^2(t-\tau_1)-\frac{a_{22}e^{-\tau_2}}{2}x_2^2(t-\tau_1). \end{eqnarray}$$

(3.5)

根据表达式(3.5),一定存在正的常数$K$有 $H(X)\leq K,$ 从而有

$${\rm d}(e^tW_1(X)+W_2(X))\leq e^tK{\rm d}t+e^t \bigg(\sum\limits_{i=1}^2\sigma_ix_i{\rm d}B_i(t)+\sigma_3y{\rm d}B_3(t) \bigg),$$ 将上式从 $0$ 到 $t$ 积分并取均值,可有 $$e^tEW_1(X)\leq W_1(X(0))+W_2(X(0))+K(e^t-1),$$ 所以定理得证.

下面讨论系统(1.1)的灭绝与平均持续生存. 首先研究系统(2.2)的灭绝与平均持续生存.

定理3.4 对于系统 (2.2),下面的结论成立.

(1)~ $r-\frac{1}{2}\sigma_1^2<0$,则食饵种群 $x(t)$ 和 捕食者种群$y(t)$ 灭绝,即$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} x(t)=0,$ $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} y(t)=0,$ a.s..

(2)~ $r-\frac{1}{2}\sigma_1^2>0$ 且 $c(r-\frac{1}{2}\sigma_1^2)-a(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)<0$,则 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \langle x(t)\rangle=\frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a}$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}y(t)=0$,a.s..

(3)~ $c\delta-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)>0$,则有 $\langle x(t) \rangle_* \geq \delta$,$\langle y(t) \rangle_* \geq \lambda$, 其中 $\Delta_1\doteq\frac{c(r-\frac{1}{2}\sigma_1^2)-a(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)}{d+f}$, $\frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2-b\Delta_1}{a}\doteq \delta$, $\frac{c\delta-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)}{d+f}\doteq \lambda.$

证 (1)~ 对系统 (2.2),使用 It\^{o} 公式,得

$$\begin{eqnarray} \ln x(t)-\ln x(0)= (r-\frac{1}{2}\sigma_1^2)t-a\int_0^tx(s){\rm d}s-b\int_0^ty(s){\rm d}s+\sigma_1B_1(t), \end{eqnarray}$$

(3.6)

$$\begin{eqnarray} \ln y(t)-\ln y(0)&=& -(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)t+c\int_0^tx(s-\tau_1){\rm d}s-d\int_0^ty(s-\tau_2){\rm d}s\nonumber\\ &&-f\int_0^ty(s){\rm d}s-\sigma_2B_2(t). \end{eqnarray}$$

(3.7)

从式(3.6)知 $t^{-1}\ln \frac{x(t)}{x(0)}\leq r-\frac{1}{2}\sigma_1^2+t^{-1}B_1(t),$ 因为 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}t^{-1}B_1(t)=0,$ a.s. 和 $r-\frac{1}{2}\sigma_1^2<0,$ 所以$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x(t)=0.$ a.s..

从式(3.7)及 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} x(t)=0$ 可知存在任意小$\varepsilon>0$有

$$\ln y(t)-\ln y(0)\leq -(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2-c\varepsilon)t-\sigma_2B_2(t),$$ 对于充分小$\varepsilon$ 使得 $-(r_i+\frac{1}{2}\sigma_i^2)+c\varepsilon<0$成立,从而有 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}y(t)=0,$ a.s..

(2)~ 由系统(2.2)的第一个方程得

$${\rm d}x(t)\leq x(t)(r-ax(t)){\rm d}t+\sigma_1x(t){\rm d}B_1(t),$$ 构造比较系统 $${\rm d}z(t)= z(t)(r-az(t)){\rm d}t+\sigma_1z(t){\rm d}B_1(t).$$

根据随机微分方程的比较定理(引理2.2)和引理2.3,我们有

$$\langle x(t) \rangle^* \leq \langle z(t) \rangle^*=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\langle z(t) \rangle = \frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a} (3.8)$$ 和 $$0\leq \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t}\int_{t-\tau_1} ^tx(s){\rm d}s\leq \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t}\int_{t-\tau_1} ^tz(s){\rm d}s,$$ 根据比较系统和表达式(3.8)可得 $$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{1}{t}\int_{t-\tau_1}^t z(s){\rm d}s =\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t} \bigg(\int_0^t z(s){\rm d}s-\int_0^{t-\tau_1} z(s){\rm d}s\bigg)=0,$$ 从而有 $$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \frac{1}{t}\int_{t-\tau_1}^t x(s){\rm d}s=0,\ \ {\rm a.s..}(3.9)$$

结合(3.7),(3.9)式和表达式

$$\int_0^tx(s-\tau_1){\rm d}s=\int_{-\tau_1}^0x(s){\rm d}s+\int_0^tx(s){\rm d}s-\int_{t-\tau_1}^tx(s){\rm d}s,$$ 一定存在$T>0$,任意小$\varepsilon_1>0$,当$t>T$时有 $$t^{-1}\ln \frac{y(t)}{y(0)}\leq \bigg(-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)+c\frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a}+c\varepsilon_1\bigg) -f\langle y(t)\rangle+t^{-1}B_2(t),$$ 任意小$\varepsilon_1$使得 $-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)+c\frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a} +c\varepsilon_1<0,$ 根据引理2.1知 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}y(t)=0$,a.s..

根据(3.6)式和 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}y(t)=0$,则存在$T_1>T$ 当$t>T_1$时,对于任意小的 $\varepsilon_2>0$有

$$\ln x(t)-\ln x(0) \geq (r-\frac{1}{2}\sigma_1^2-b\varepsilon_2)t-a\int_0^tx(s){\rm d}s+\sigma_1B_1(t). (3.10)$$

根据引理2.1和$\varepsilon_2$的任意小可得

$$\langle x(t) \rangle_* \geq \frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a},(3.11)$$ 由(3.8)和(3.11)式有 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \langle x(t)\rangle=\frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a}$.

(3)~ 根据(2)的证明我们类似证明 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{1}{t}\int_{t-\tau_2}^t y(s){\rm d}s=0.$

根据定理的条件$c\delta-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)>0$知道$\delta>0$和$\Delta_1>0.$

根据(3.7)式和上式知道,存在$\overline{T}>0$ 和充分小的$\varepsilon_3>0$,当$t>\overline{T}$,有

$$t^{-1}\ln \frac{y(t)}{y(0)}\leq\bigg (-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2) +c\frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{a}\bigg)+(c+d)\varepsilon_3-(d+f) \langle y(t)\rangle -t^{-1}B_2(t).$$

由$\varepsilon_3$的任意小,根据引理2.1可有

$$\langle y(t)\rangle^*\leq \frac{c(r-\frac{1}{2}\sigma_1^2) -a(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)}{d+f}=\Delta_1,(3.12)$$ 由(3.6)、(3.12)式可知存在充分小$\varepsilon_4>0$和$\overline{T_1}>0$, 当$t>\overline{T_1}>\overline{T}$有 $$t^{-1}\ln \frac{x_1(t)}{x_1(0)}\geq (r-\frac{1}{2}\sigma_1^2) -b\Delta_1-b\varepsilon_4 -a\langle x(t)\rangle+t^{-1}\sigma_1B_1(t),$$ 根据引理2.1和$\varepsilon_4$任意性得 $$\langle x(t)\rangle_*\geq \frac{r-\frac{1}{2}\sigma_1^2-b\Delta_1}{a}=\delta. (3.13)$$

同理可得,存在$\overline{T_2}>0$ 和$\varepsilon_5>0,$当 $t>\overline{T_2}>\overline{T_1}$有

$$t^{-1} \ln \frac{y(t)}{y(0)} \geq -(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)+c\delta- (c+d)\varepsilon_5-(d+f) \langle y(t)\rangle-\frac{\sigma_2B_2(t)}{t},$$ 由$\varepsilon_5$任意性和根据引理2.1得 $$\langle y(t)\rangle_*\geq \frac{c\delta-(e+\frac{1}{2}\sigma_2^2)}{d+f}=\lambda.$$ 定理得证.

为了研究系统(1.1)的平均持续生存做如下的讨论.

对系统(1.1),我们定义函数 $V(t)=\min\{x_1(t),x_2(t)\}$考虑下列的情况

(1)~ 如果 $x_1(t)\leq x_2(t),$ 则有

$${\rm d}V(t)={\rm d}x_1(t)\geq x_1[r_1-D_1-a_{11}x_1(t)-a_{13}y(t)]dt+\sigma_1x_1(t){\rm d}B_1(t).$$

(2)~ 如果 $x_2(t)\leq x_1(t),$ 则有

$${\rm d}V(t)={\rm d}x_2(t)\geq x_2[r_2-D_2-a_{22}x_2(t)-a_{23}y(t)]{\rm d}t+\sigma_2x_2(t){\rm d}B_2(t).$$

从而得到比较系统

$$\left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}\theta_1=\theta_1 [r_1-D_1-a_{11}\theta_1-a_{13}\phi_1]{\rm d}t+\sigma_1\theta_1{\rm d}B_1(t),\\ {\rm d}\phi_1=\phi_1[-r_3+b\theta_1(t-\tau_1)-a_{33}\phi_1(t-\tau_2)-a\phi_1(t)]{\rm d}t+\sigma_3\phi_1{\rm d}B_3(t) \end{array} \right.(3.14)$$ 和 $$\left\{ \begin{array}{lll} {\rm d}\theta_2= \theta_2 [r_2-D_2-a_{22}\theta_2-a_{13}\phi_2]{\rm d}t+\sigma_2\theta_2{\rm d}B_2(t),\\ {\rm d}\phi_2=\phi_2[-r_3+b\theta_2(t-\tau_1)-a_{33}\phi_2(t-\tau_2)-a\phi_2(t)]{\rm d}t+\sigma_3\phi_2{\rm d}B_3(t),\\ \end{array} \right.(3.15)$$ 其中 $b=(a_{31}+a_{32}).$

由随机微分方程比较定理(引理2.2)知道

$$x_1(t)\geq \theta_1(t),x_2(t)\geq \theta_1(t),y(t)\geq \phi_1(t),\ \ t>0,\ {\rm a.s.}$$ 或者 $$x_1(t)\geq \theta_2(t),x_2(t)\geq \theta_2(t), y(t)\geq \phi_2(t),\ \ t>0,\ {\rm a.s..}$$

由表达式(3.2)、(3.3)、(3.14) 和 (3.15),根据随机微分方程比较定理(引理2.2) 和定理3.4,则有

定理3.5 对系统(1.1)

(1)~ 若 $r_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2<0,i=1,2$时,则 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}x_i(t)=0,$ $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}y(t)=0,i=1,2.$

(2)~ 若 $(a_{31}+a_{32})\delta_i-(r_3+\frac{1}{2}\sigma_3^2)>0,$ $i=1,2,$ 则 $\langle x_i(t)\rangle_*\geq \min\{\delta_1,\delta_2 \}$,$\langle y(t)\rangle_*\geq \min\{\lambda_1,\lambda_2\},$ 其中

$$\triangle_i=\frac{a_{ii}(r_i-D_i-\frac{1}{2}\sigma^2_i)-(a_{31}+a_{32})(r_3+\frac{1}{2}\sigma_3^2)}{a+a_{33}},$$ $$\delta_i=\frac{r_i-D_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2-a_{i3}\Delta_i}{a_{ii}}, \lambda_i=\frac{(a_{31}+a_{32})\delta_i-(r_3+\frac{1}{2}\sigma_3^2)}{a+a_{33}}, \ \ i=1,2.$$

为了验证我们分析结论的正确性,给出下列的数值例子.

从上述结论可以得到时滞对系统唯一全局正解的存在性、系统灭绝与平均持续生存是无害的. 对系统(1.1)的数值模拟,令时滞$\tau_1=\tau_2=0.$

对于系统(1.1),令$r_1=0.2,r_2=0.3,r_3=0.8,a_{11}=0.3,a_{13}=0.3,a_{22}=0.5, a_{23}=0.4,a_{31}=0.2,a_{32}=0.3,\\ a_{33}=0.2,a=0.01,D_1=D_2=0.2,\sigma_1=1.2,\sigma_2=1,\sigma_3=0.3.$ 显然有$r_i-\frac{1}{2}\sigma_i<0,i=1,2,$ 图 1 告诉我们,食饵种群与捕食者种群都灭绝.

对于系统(1.1),令$r_1=0.4,r_2=0.3,r_3=0.3,a_{11}=0.3,a_{13}=0.3, a_{22}=0.4,a_{23}=0.5,a_{31}=0.01,a_{32}=0.02,a_{33}=0.2,\\a=0.01,D_1=D_2=0.2, \sigma_1=0.3,\sigma_2=0.3,\sigma_3=0.5.$ 显然有$r_i-D_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2>0,$ $(a_{31}+a_{32})(r_i-D_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2)-a_{ii}(r_3+\frac{1}{2}\sigma_3^2<0,i=1,2,$ 所以,从图 2可以看出$x_1,x_2$是平均持续生存,捕食者$y$灭绝.

对于系统(1.1),令$r_1=1.2,r_2=1,r_3=0.1,a_{11}=0.1, a_{13}=0.3,a_{22}=0.1,a_{23}=0.5,a_{31}=0.3,a_{32}=0.4,a_{33}=0.1,\\a=0.01, D_1=D_2=0.2,\sigma_1=0.4,\sigma_2=0.5,\sigma_3=0.3.$显然满足定理3.5的条件, 所以食饵$x_1,x_2$与捕食者$y$是平均持续生存(见图 3). 三个图中震荡较大的是随机解曲线,变化较平缓的确定系统 (即无随机扰动$\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=0$)的解曲线.