分形几何中,分形维数是描述分形集合的一个重要的基本工具,一般我们可以借助全空间上支撑的测度的 下局部维数及上局部维数来估计集合的Hausdorff维数及填充维数^{[2, 3]}. 熵作为讨论系统的一个重要工具 一般不容易计算,在动力系统中我们亦可做类似地研究^{[4, 6]}. 文献^[5]中作者借助非紧系统上测度的下 局部熵估计了系统的Bowen熵,这一结果将经典的拓扑熵的结论推广到了非紧系统中. 本文将在 文献^[5]的基础上,进一步利用非紧系统上测度的上局部熵估计非紧系统的另一种熵.

设$f$为度量空间$(X,d)$上的连续映射,对任意正整数$n\geq1,$ 任意$x,y\in X,x\neq y,$ 定义

$$\begin{equation}\label{1} d_{n}(x,y)=\max_{0\leq i\leq n-1}d(f^{i}(x),f^{i}(y)), \end{equation}$$

(1)

其中$f^{i}$表示$f$的$i$次复合. 易见$d_{n}$是$X$上的一个度量. 给定$r>0, x\in X,$ 称$B_{n}(x,r)=\{y\in X: d_{n}(x,y)\leq r\}$为以$x$为中心的$(n,r)$-球. 设$E\subset X,s\geq0,r>0,N\geq1,$ 定义 $${\mathbf H}^{s}_{N}(E,r)=\inf\bigg\{ \sum_{i\geq 1}e^{-sn_{i}}: \{B_{n_{i}}(x_{i},r)\}_{i\geq1} \mbox{ 为$E$ 的$(N,r)$ -覆盖 } \bigg\},$$ 其中,如果至多可数球族$\{B_{n_{i}}(x_{i},r)\}_{i\geq1}$满足 $E\subset\bigcup\limits_{i\geq1}B_{n_{i}}(x_{i},r)$且对任意$i\geq1,n_{i}\geq N$, 则称此球族为集合$E$的$(N,r)$ -覆盖. 显然,随着$N$增大,集合$E$的$(N,r)$ -覆盖类 减少,故极限 $${\mathbf H}^{s}(E,r)=\lim_{N\rightarrow\infty}{\mathbf H}^{s}_{N}(E,r)$$ 存在. 可证明${\mathbf H}^{s}(E,r)$定义了$X$子集族上的一个外测度,且可以给出下面定义^{[1, 5]}.

定义1.1 设集合$E\subset X,r>0,$ 定义 $$h(E,r)=\sup\{s: {\mathbf H}^{s}(E,r)>0\}=\inf\{s:{\mathbf H}^{s}(E,r)=0\},$$ 称$h(E)=\lim\limits_{r\rightarrow0}h(E,r)$为$E$(关于$f$)的Bowen熵.

设$E\subset X,s\geq0,r>0,N\geq1,$ 定义 $${\mathbf P}^{s}_{N}(E,r)=\sup\bigg\{ \sum_{i\geq 1}e^{-sn_{i}}: \{B_{n_{i}}(x_{i},r)\}_{i\geq1} \mbox{ 为$E$ 的$(N,r)$ -填充 } \bigg\},$$ 其中,如果至多可数球族$\{B_{n_{i}}(x_{i},r)\}_{i\geq1}$满足 $B_{n_{i}}(x_{i},r)\bigcap B_{n_{j}}(x_{j},r)=\emptyset,i\neq j$ 且对任意$i\geq1,x_{i}\in E,n_{i}\geq N$, 则称此球族为集合$E$的$(N,r)$ -填充. 显然,随着$N$增大,集合$E$的$(N,r)$ -填充类 增加,故极限 $${\mathbf P}^{s}_{0}(E,r)=\lim_{N\rightarrow\infty}{\mathbf P}^{s}_{N}(E,r)$$ 存在, 但是${\mathbf P}^{s}_{0}$不是外测度,于是定义 $${\mathbf P}^{s}(E,r)=\inf\bigg\{\sum_{i\geq1} {\mathbf P}^{s}_{0}(E_{i},r): E=\bigcup_{i\geq1} E_{i}\bigg\}.$$ 同前,${\mathbf P}^{s}(E,r)$定义了$X$子集族上的一个外测度,且可以给出下面定义.

定义1.2 设集合$E\subset X,r>0,$ 定义 $$H(E,r)=\sup\{s: {\mathbf P}^{s}(E,r)>0\}=\inf\{s:{\mathbf P}^{s}(E,r)=0\},$$ 称$H(E)=\lim\limits_{r\rightarrow0}H(E,r)$为$E$(关于$f$)的类Bowen熵.

由定义1.1及定义1.2可见,Bowen熵和类Bowen熵的定义形式分别类似于Hausdorff维数和填充维数, 且类Bowen熵 有类似于填充维数的诸多性质. 特别,如果$E_1 \subset E_2$, 则$H(E_1 )\leq H(E_2 )$(单调性); $H(\bigcup\limits_{n\geq1}E_{n})=\sup\{H(E_{n}): n\geq1\}$(可数稳定性). 而且当$X$紧时, 如上定义的$X$的Bowen熵和类Bowen熵 均等于$X$的拓扑熵.

定义1.3 设$\mu$为$X$上的Borel概率测度,称 $$h_{\mu}(x)=\lim_{r\rightarrow0} \liminf_{n\rightarrow\infty} \frac{-\log \mu(B_{n}(x,r))}{n}$$ 为$\mu$在$x\in X$处的下局部熵.

下面定理利用$X$上测度的下局部熵估计了$X$子集的Bowen熵.

定理1.1^[5] 设$\mu$为$X$上的Borel概率测度,$E$为$X$的Borel子集,$0<s<\infty$,则有

(1)~ 若对任意$x\in X,h_{\mu}(x)\leq s$,则$h(E)\leq s$;

(2)~ 若对任意$x\in X,h_{\mu}(x)\geq s$ 且$\mu(E)>0$,则$h(E)\geq s$.

下面先类似测度的下局部熵定义测度的上局部熵.

定义1.4 设$\mu$为$X$上的Borel概率测度,称 $$H_{\mu}(x)=\lim_{r\rightarrow0}\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{-\log \mu(B_{n}(x,r))}{n}$$ 为$\mu$在$x\in X$处的上局部熵.

本文主要利用$X$上测度的上局部熵估计$X$子集的类Bowen熵.

定理1.2 设$\mu$为$X$上的Borel概率测度,$E$为$X$的Borel子集,$0<s<\infty$,则有

(1)~ 若对任意$x\in X,H_{\mu}(x)\leq s$,则$H(E)\leq s$;

(2)~ 若对任意$x\in X,H_{\mu}(x)\geq s$ 且$\mu(E)>0, \mu$在$X$上关于$d_n$加倍,其中$n\geq1$,则$H(E)\geq s$.

称测度$\mu$在$(X,d)$上加倍,如果存在常数$c>0,$ 使得对任意$x\in X,r>0$有 $0<\mu (B(x,r))\leq c\mu (B(x,2r))<\infty.$

引理2.1^[5] 设$E\subset X,r>0$,记${\mathbf B}(r)=\{B_{n}(x,r): x\in E, n=1,2,\cdots\}$. 则对任意集族${\mathbf F}\subseteq{\mathbf B}(r)$, 存在一个不交的子族${\mathbf G}\subset{\mathbf F}$, 使得 $$\bigcup_{B_{n}(x,r)\in{\mathbf F}}B_{n}(x,r)\subset\bigcup_{B_{m}(y,r)\in{\mathbf G}}B_{m}(y,3r).$$ 而且,${\mathbf F}$中的每个球$B_{n}(x,r)$都与${\mathbf G}$中的某个球$B_{m}(y,r)$相交.

下面用引理2.1证明本文的一个主要引理.

引理2.2 设$\mu$为$X$上的Borel概率测度且关于度量$d_n ,n\geq1$加倍(其中$d_n$由(1)式定义), 对$E\subset X,r>0,$ 记${\mathbf B}(r)=\{B_{n}(x,r): x\in E,n=1,2,\cdots\}$为$E$的一个闭的Vitali覆盖族. 则存在一个至多可数的不交子族${\mathbf G}\subset{\mathbf B}(r)$使得 $$\mu\bigg(E\setminus \bigcup_{{\mathbf G}}B_{m}(y,r)\bigg)=0.$$

证 由引理2.1,存在一个不交的集族${\mathbf G}\subset{\mathbf B}(r)$满足 $$E\subset\bigcup_{B_{n}(x,r)\in{\mathbf B}(r)}B_{n}(x,r)\subset\bigcup_{B_{m}(y,r)\in{\mathbf G}}B_{m}(y,3r).$$

由于$\sum_{{\mathbf G}}\mu(B_{m}(y,r))\leq\mu(X)=1$且$\mu(B_{m}(y,r))>0,$ 故${\mathbf G}$为至多可数族,记${\mathbf G}=\{B_{m_i }(y_i ,r)\}_{i\geq1}$. 由$\mu$关于$d_n$加倍有 $$\sum_{i\geq1}\mu\bigg(B_{m_i }(y_i ,3r)\bigg)\leq c\sum_{i\geq1}\mu\bigg(B_{m_i }(y_i ,r)\bigg)\leq c,$$ 其中$c$为正常数,从而得$\sum\limits_{i>N}\mu(B_{m_i }(y_i ,3r))\rightarrow0,N\rightarrow\infty$. 进而为证结论式,下面只需证明对充分大的$N$,有

$$\begin{equation}\label{2} E\setminus\bigcup_{i=1}^{N}B_{m_i }(y_i ,r)\subset\bigcup_{i>N}B_{m_i }(y_i ,3r). \end{equation}$$

(2)

固定$N,$ 取$a\in E\setminus\bigcup\limits_{i=1}^{N}B_{m_i }(y_i ,r)$. 一方面,因为${\mathbf B}(r)$为一个闭的Vitali覆盖族, 故存在一个充分小的球$B_{n}(a,r)\in{\mathbf B}(r)$满足 $$B_{n}(a,r)\bigcap B_{m_i }(y_i ,r)=\emptyset,\mbox{任意} ~1\leq i\leq N.$$ 另一方面,由引理2.1,对$B_{n}(a,r)\in{\mathbf B}(r)$,存在$B_{m_i }(y_i ,r)\in {\mathbf G}$与$B_{n}(a,r)$ 相交且$B_{n}(a,r)\subset B_{m_i }(y_i ,3r)$. 所以$i>N$且$B_{n}(a,r)\subset\bigcup\limits_{i>N}B_{m_i }(y_i ,3r).$ 即(2)式得证. 定理1.2的证明 (1)~ 任取$\epsilon>0$. 对任意$k\geq1$,记 $$E_{k}=\bigg\{x\in E: \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{-\log\mu(B_{n}(x,r))}{n}<s+\epsilon,r\in(0,\frac{1}{k})\bigg\}.$$ 因为对任意$x\in E,H_{\mu}(x,r)\leq s$,故序列$\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty}$递增到集$E$. 对任意$N\geq1$,记 $$E_{k,N}=\bigg\{x\in E_{k}: \frac{-\log\mu(B_{n}(x,r))}{n}<s+\epsilon,r\in(0,\frac{1}{k}),n\geq N\bigg\}.$$ 则对任意$k\geq1$,序列$\{E_{k,N}\}_{N=1}^{\infty}$递增到集$E_{k}$.

固定$k$,取$r\in(0,1/k ),N$充分大. 设${\mathbf F}=\{B_{n_{i}}(x_{i},r)\}_{i=1}^{\infty}$为$E_{k,N}$的一个$(N,r)$ -填充, 则对任意$x\in E_{k,N}$,由$E_{k,N}$的定义,对任意$r\in(0,1/k )$,任意$n_{i}\geq N$有 $$\mu(B_{n_{i}}(x_{i},r))\geq e^{-(s+\epsilon)n_{i}}.$$ 结合$(N,r)$ -填充的定义得 $$\sum_{i\geq1}e^{-(s+\epsilon)n_{i}}\leq\sum_{i\geq1}\mu(B_{n_{i}}(x_{i},r))=\mu(\bigcup_{i\geq1}B_{n_{i}}(x_{i},r))\leq\mu(X)=1.$$ 从而当$N$充分大时${\mathbf P}_{N}^{s+\epsilon}(E_{k,N},r)\leq1$. 于是 $${\mathbf P}_{0}^{s+\epsilon}(E_{k},r)=\lim_{N\rightarrow\infty}{\mathbf P}_{N}^{s+\epsilon}(E_{k,N},r)\leq1,$$ 进而得${\mathbf P}^{s+\epsilon}(E_{k},r)\leq1.$ 故由定义1.2有$H(E_{k},r)\leq s+\epsilon,0<r<\frac{1}{k}.$ 令$r\rightarrow0$得$H(E_{k})\leq s+\epsilon$. 结合类Bowen熵的可数稳定性得 $$H(E)=H(\bigcup_{k\geq1}E_{k})=\sup_{k\geq1}\{H(E_{k})\}\leq s+\epsilon.$$ 由$\epsilon$的任意性得$H(E)\leq s.$

(2)~ 任取$\epsilon>0$. 对任意$k\geq1$,记 $$E_{k}=\bigg\{x\in E: \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{-\log\mu(B_{n}(x,r))}{n}>s-\epsilon,r\in(0,\frac{1}{k})\bigg\}.$$ 因为对任意$x\in E,H_{\mu}(x,r)\geq s$,故序列$\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty}$递增到集$E$. 结合测度的连续性可得 $$\lim_{k\rightarrow\infty}\mu(E_{k})=\mu(E)>0.$$ 从而存在$k_0$,使得$\mu(E_{k_0 })>\frac{1}{2}\mu(E)>0$.

对任意$x\in E_{k_0 }$,由$E_{k_0 }$定义,存在严格递增序列$\{n_{j}(x)\}_{j\geq1}$满足对任意$r\in(0,\frac{1}{k_{0}})$,任意$n_{j}(x)\geq1$,

$$\begin{equation}\label{3} \mu(B_{n_{j}(x)}(x,r))\leq e^{-(s-\epsilon)n_{j}(x)}. \end{equation}$$

(3)

对任意$N\geq1$,记 $${\mathbf F}= \bigg\{B_{n_{j}(x)}(x,r): x\in E_{k_{0}},0<r<\frac{1}{k_0 },n_{j}(x)\geq N\bigg\}.$$ 一方面,可见${\mathbf F}$为$E_{k_{0}}$的一个闭$(N,r)$-Vitali覆盖族, 从而由引理2.2,存在一个至多可数的不交集族 ${\mathbf G}=\{B_{n_{i}}(x_{i},r)\}_{i\geq1}\}\subset{\mathbf F}$使得

$$\begin{equation}\label{4} \mu\bigg(E_{k_{0}}\setminus\bigcup_{i\geq1}B_{n_{i}}(x_{i},r)\bigg)=0. \end{equation}$$

(4)

另一方面,${\mathbf G}$为$E_{k_{0}}$的一个$(N,r)$ -填充,从而结合(3)(4)式得 $$\begin{eqnarray*} {\mathbf P}_{N}^{s-\epsilon}(E_{k_{0}},r)&\geq&\sum_{i\geq1}e^{-(s-\epsilon)n_{i}}\geq\sum_{i\geq1}\mu(B_{n_{i}}(x,r))\\ &=&\mu\bigg(\bigcup_{i\geq1}B_{n_{i}}(x,r)\bigg)\geq\mu(E_{k_{0}})>\frac{1}{2}\mu(E)>0. \end{eqnarray*}$$ 令$N\rightarrow\infty$得${\mathbf P}_{0}^{s-\epsilon}(E_{k_{0}},r)\geq\mu(E_{k_{0}})>0.$

设$E_{k_{0}}=\bigcup\limits_{i\geq1}E_{k_{0},i}$,因为$\mu(E_{k_{0}})>0$,故至少存在一个$i_0$,使得 $\mu(E_{k_{0},i_{0}})>0$. 对$E_{k_{0},i_{0}}$,类似于$E_{k_{0}}$的讨论得到 ${\mathbf P}_{0}^{s-\epsilon}(E_{k_{0},i_{0}},r)\geq\mu(E_{k_{0},i_{0}})>0.$ 所以有 $$\begin{eqnarray*} {\mathbf P}^{s-\epsilon}(E_{k_{0}},r)&=&\inf\bigg\{\sum_{i\geq1}{\mathbf P}_{0}^{s-\epsilon}(E_{k_{0},i},r): E_{k_{0}}=\bigcup_{i\geq1}E_{k_{0},i}\bigg\} \\ &\geq&{\mathbf P}_{0}^{s-\epsilon}(E_{k_{0},i_{0}},r)\geq\mu(E_{k_{0},i_{0}})>0. \end{eqnarray*}$$ 故由定义1.2有$H(E_{k_{0}},r)\geq s-\epsilon,0<r<\frac{1}{k_0 }.$ 结合类Bowen熵的单调性得 $$H(E,r)\geq H(E_{k_{0}},r)\geq s-\epsilon.$$ 令$r\rightarrow0$得$H(E)\leq s-\epsilon$,由$\epsilon$的任意性得$H(E)\geq s.$