在图像处理、环境科学、生物医学、通信与电子工程等方面的研究中, 系统的混沌性是人们非常关注的研究方向之一. 上世纪以来,学者们研究了许多复杂的非线性动力学行为, 比如,2011年,谭枫,张瑞丰^[1]在动力系统$(X,f)$中讨论了敏感性、 $\mathcal {F}$ -敏感性和$\mathcal {F}$ -敏感对的关系, 证明了系统存在敏感对不一定意味着系统是Li-Yorke混沌的, 并给出了传递系统中敏感对存在的充分条件. 2012年,尹建东和 周作领^[2]证明了传递的非极小系统是Tankens-Ruelle混沌的. $\mbox{又如,2006年,}$ Oprocha^[3]证明了一个量子谐振子的湮没算符是分布$\varepsilon$ -混沌的 (其中$\varepsilon=\frac{1}{16}$), 并且其准测度不小于$\frac{1}{16}$. 2011年,吴新星和 朱培勇^[4]证明了这个算符能够达到最大意义上的分布混沌,并得到准测度的确切值为1. 2013年,黎日松等^[5]则考查了耦合系数为1的 一类耦合映象格子的分布$(p,q)$ -混沌性和准测度. 更多工程应用系统中的混沌研究见文献^{[6, 7, 8, 9]}以及其参考文献.

然而,大多数文献都是在自治系统$(X,f)$中研究混沌性, 而现实中很多系统不具备自治系统的优良性质,不同的扰动需要用不同的函数来描述,即 同一个系统存在一系列不同的映射对其进行作用, 这表明工程实际中许多系统都属于非自治系统. 非自治系统最初由 Kolyada和 Snoha在文献^[10]中提出, 随后他们又在^{[11, 12]}等文献中讨论了非自治系统的极小性和区间上非自治分段单调动力系统的拓扑熵. 非自治系统的概念也与一些非自治不等式相联系,此处不赘述, 有兴趣的读者可以参见文献^{[13, 14]}以及它们的参考文献等.

令$I=[0,1]$,$I$上的度量记为$\rho$. 考虑一个映射序列$f_{n}:I\rightarrow I,n\in {\Bbb N}$,将这个映射序列记为$f_{1,\infty}=(f_{1},f_{2},\cdots)$. 这个序列定义了一个非自治离散系统$(I,f_{1,\infty})$, 在这个映射序列之下,点$x\in I$的轨道为Orb$(x,f_{1,\infty})=(f^{n}_{1}(x))$,这里$f^{n}_{1}=f_{n}\circ\cdots\circ f_{1}$,$f^{0}_{1}$表示恒等映射. 如果对$\forall n\in {\Bbb N}$, 有$f_{n}=f$,则$(I,f_{1,\infty})$即为自治离散系统$(I,f)$.

这篇文章主要讨论了$f_{n, \infty}$的分布混沌性与乘积系统$f^{[m]}_{n,\infty}$ ($m$为正整数)的分布混沌性的关系(第3部分). 在下文中, 我们总是假设$f_{n}(n\in{\Bbb N})$为满射, 这个条件是处理这类系统时的常见条件,比如文献^{[12, 15, 16]}等. 应用本文的主要结果, 容易得到文献^{[3, 4, 5]}中的系统的混沌性在迭代之下是保持的.

混沌的严格数学定义最初于1975年由李天岩和 Yorke在文献^[17]中给出, 即Li-Yorke混沌.后来,为了从不同角度描述系统的复杂性和不可预测性, 各种不同的混沌定义相继提出,比如Deveney混沌^[18],本质混沌^[19], 稠混沌^[20],稠$\delta$ -混沌^[21],Li-Yorke敏感^[22]等等. Li-Yorke混沌定义的一个重要推广是分布混沌. 分布混沌的定义由 Schweizer和 Smital在文献^[23]中提出, 类似自治系统中这个分布混沌的定义, 我们在非自治情形下给出一个分布混沌的定义.

定义2.1 对$\forall n\in{\Bbb N}$,映射序列$f_{n,\infty}=(f_{n},f_{n+1}, \cdots)$称为分布混沌的,如果存在不可数子集$S\subset I$使得$\forall x,y\in S,x\neq y$,有

(i)~ $\forall t>0,F^{*}_{xy}(t, f_{n,\infty})=\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-n+1}\sum\limits^{k}_{i=n}\chi_{[0,t)}(\rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{n}(y)))=1$,

(ii)~ $\exists t>0,F_{xy}(t, f_{n,\infty})=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-n+1}\sum\limits^{k}_{i=n}\chi_{[0,t)}(\rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{n}(y)))=0$, \\ 其中$t\in{\Bbb R}$,$\chi_{[0,t)}$是集合$[0,t)$的特征函数,即 $$ \mbox{当$s\in[0,t)$时,$\chi_{[0,t)}(s)=1$; 当$s\notin[0,t)$时,$\chi_{[0,t)}(s)=0$.} $$ $F^{*}_{xy}(t,f_{n,\infty})$和$F_{xy}(t, f_{n,\infty})$分别称为$f_{n,\infty}$的上、下分布函数, 不可数子集$S$称为$f_{n,\infty}$在$I$中的分布攀援集.

现在,我们回顾一下非自治情形下Li-Yorke混沌的定义(类似文献^[24]所给定义).

定义2.2 对$\forall n\in{\Bbb N}$,映射序列$f_{n,\infty}$称为Li-Yorke混沌的, 如果存在不可数子集$S\subset I$使得$\forall x,y\in S,x\neq y$,有 $$ \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(y))>0$$ 且 $$ \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(y))=0. $$ 不可数子集$S$称为$f_{n,\infty}$在$I$中的Li-Yorke攀援集.

定理2.3 如果映射序列$f_{n,\infty}$是分布混沌的, 则$f_{n,\infty}$是Li-Yorke混沌的.

证 假设对任意不可数子集$S\subset I$,存在两个不同的点$x,y\in S$使得 $$\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(y))=\alpha>0. $$ 则 $$\exists N\in {\Bbb N},\forall k \geq N,\rho(f_{k} \circ \cdots \circ f_{n}(x),f_{k} \circ \cdots \circ f_{n}(y))\geq \frac{\alpha}{2}. $$ 因此, $$\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-n+1}\sum^{k}_{i=n}\chi_{[0,\frac{\alpha}{2})}(\rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{n}(y)))=0. $$ 这与分布混沌定义的条件(i)矛盾.

类似的,如果任意的不可数子集$S\subset I$,存在两个不同的点$x,y\in S$使得 $$\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(x),f_{k}\circ\cdots\circ f_{n}(y))=0. $$ 这将与分布混沌的条件(ii)矛盾.

故,$f_{n,\infty}$是Li-Yorke混沌的.

定理2.4 映射序列$f_{1,\infty}$是分布混沌的当且仅当对$\forall n\in {\Bbb N}$,$n\geq 2$,映射序列$f_{n,\infty}$是分布混沌的.

证 只需考虑$n=2$的情形.

(充分性)~~ 设$S\subset I$是$f_{2,\infty}$的一个分布攀援集,则,$\forall x,y\in S,x\neq y$,有

(i)~ $\forall t>0,F^{*}_{xy}(t, f_{2,\infty})=\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-1}|\{2\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(y))<t\}|=1,$

(ii)~ $\exists t_{0}>0,F_{xy}(t_{0}, f_{2,\infty})=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-1}|\{\rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(x), f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(y))<t_{0}\}|=0,$

其中,$|A|$表示集合$A$的基数.

因为$f_{1}$是满射,则对$\forall x,y\in S,x\neq y$,存在$x^{*}, y^{*}\in I,x^{*}\neq y^{*}$使得$f_{1}(x^{*})=x$,$f_{1}(y^{*})=y$.

取$S$中每个元素在$f_{1}$之下的一个逆象构成集合$T$, 则$T$是一个不可数集,并且

(a)~ 对$\forall t>0$,若$d(f_{1}(x^{*}),f_{1}(y^{*}))<t$时,令$c=1$; 若$d(f_{1}(x^{*}),f_{1}(y^{*}))\geq t$时,令$c=0$,则有 \begin{eqnarray*} F^{*}_{x^{*}y^{*}}(t,f_{1,\infty}) &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}|\{1\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{1}(x^{*}),f_{i}\circ\cdots\circ f_{1}(y^{*}))<t\}| \\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(|\{2\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{1}(x^{*}),f_{i}\circ\cdots\circ f_{1}(y^{*}))<t\}|+c) \\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}|\{2\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(y))<t\}| \\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-1}|\{2\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(y))<t\}| \\ &=&1. \end{eqnarray*}

(b)~ 对(ii)中的$t_{0}$, \begin{eqnarray*} F_{x^{*}y^{*}}(t_{0},f_{1,\infty}) &=&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}|\{1\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{1}(x^{*}),f_{i}\circ\cdots\circ f_{1}(y^{*}))<t_{0}\}| \\ &=&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(|\{2\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(y))<t_{0}\}|+c) \\ &=&\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k-1}|\{2\leq i\leq k: \rho(f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(x),f_{i}\circ\cdots\circ f_{2}(y))<t_{0}\}| \\ &=&0 \end{eqnarray*} 从而,$f_{1,\infty}$是分布混沌的.

(必要性)~~ 类似充分性的讨论,设$S\subset I$是$f_{1, \infty}$的一个分布攀援集, 则$f_{1}(S)$是$f_{2,\infty}$的一个分布攀援集.

由定理2.3和定理2.4,下面的推论成立.

推论2.5 映射序列$f_{1,\infty}$是Li-Yorke混沌的当且仅当对$\forall n\in {\Bbb N}$,$n\geq 2$,$f_{n,\infty}$是Li-Yorke混沌的.

在这一节里,我们讨论非自治乘积系统的分布混沌性.

$\forall m,n\in {\Bbb N}$,令 $$g_{1}=f_{n+m-1}\circ\cdots\circ f_{n}, g_{2}=f_{n+2m-1}\circ\cdots\circ f_{n+m},\cdots, $$ $$ g_{p}=f_{n+pm-1}\circ\cdots\circ f_{n+(p-1)m},\cdots. $$ $(I,g_{1,\infty})$称为$(I,f_{n,\infty})$的一个乘积系统. 为了更方便地看出系统$(I,g_{1,\infty})$与系统$(I,f_{n,\infty})$的关系, 乘积系统$g_{1,\infty}$也记作$f^{[m]}_{n,\infty}$. 并且记 $f^{k}_{n}=f_{n+k-1}\circ\cdots\circ f_{n}$ ($\forall n\geq1$).

定理3.1 若映射序列$f_{1,\infty}$是分布混沌的,则对$\forall m\in {\Bbb N}$,$f^{[m]}_{1,\infty}$也是分布混沌的.

证明设$S_{0}$是$f_{1,\infty}$的一个分布攀援集,对$\forall m\in {\Bbb N}$,下证$S_{0}$也是$f^{[m]}_{1,\infty}$的一个分布攀援集.

(i)~ 首先,$\forall x,y\in S_{0}: x\neq y,\forall t>0$,我们证明 $$F^{*}_{xy}(t,f^{[m]}_{1,\infty})=\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}\sum^{k}_{i=1}\chi_{[0,t)}(\rho(f^{[im]}_{1}(x), f^{[im]}_{1}(y)))=1. $$

假设存在$x_{0},y_{0}\in S_{0}: x_{0}\neq y_{0}$以及$t_{0}>0$使得 $F^{*}_{x_{0}y_{0}}(t_{0},f^{[m]}_{1,\infty})<1$,则 \begin{eqnarray*} &&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{km}\sum^{km}_{i=1}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{i}_{1}(x), f^{i}_{1}(y))) \\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{km}\sum^{m}_{j=1}\sum^{k-1}_{i=0}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{mi+j}_{1}(x), f^{mi+j}_{1}(y))) \\ &\leq&\frac{1}{m}\sum^{m}_{j=1}(\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}\sum^{k-1}_{i=0}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{mi+j}_{1}(x), f^{mi+j}_{1}(y)))) \\ &\leq&\frac{1}{m}(m-1+F^{*}_{x_{0}y_{0}}(t_{0},f^{[m]}_{1,\infty})) \\ &<&1. \end{eqnarray*}

由于$S_{0}$是$f_{1,\infty}$的分布攀援集, 则$F^{*}_{x_{0}y_{0}}(\frac{t_{0}}{2},f_{1,\infty})=1$, 由上极限的定义,存在严格递增的序列$\{n_{s}\}_{s\in {\Bbb N}}$使得 $$F^{*}_{x_{0}y_{0}}(\frac{t_{0}}{2},f_{1,\infty})=\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{n_{s}}\sum^{n_{s}}_{i=1}\chi_{[0, \frac{t_{0}}{2})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}),f^{i}_{1}(y_{0})))=1. $$ 令 $$ M_{0}=\{km: k\in {\Bbb Z}^{+}\}\cap \{n_{s}: s \in {\Bbb N}\}, $$ $$M_{1}=\{km+1: k\in {\Bbb Z}^{+}\}\cap \{n_{s}: s \in {\Bbb N}\}, $$ $$\cdots\cdots$$ $$M_{m-1}=\{km+m-1: k\in {\Bbb Z}^{+}\}\cap \{n_{s}: s\in {\Bbb N}\}, $$ 则存在$l\in \{0,1,\cdots,m-1\}$使得$M_{l}$为无限集. 记$M_{l}=\{n^{l}_{s}: s\in {\Bbb N}\}$,我们有 $$\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{n^{l}_{s}}\sum^{n^{l}_{s}}_{i=1}\chi_{[0,\frac{t_{0}}{2})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}), f^{i}_{1}(y_{0})))=1. $$ 从而 \begin{eqnarray*} 1&\geq& \limsup\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{n^{l}_{s}+m-l}\sum^{n^{l}_{s}+m-l}_{i=1}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}), f^{i}_{1}(y_{0}))) \\ &\geq&\limsup\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{n^{l}_{s}+m-l}\sum^{n^{l}_{s}}_{i=1}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}), f^{i}_{1}(y_{0}))) \\ &\geq&\limsup\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{n^{l}_{s}}{n^{l}_{s}+m-l}\frac{1}{n^{l}_{s}}\sum^{n^{l}_{s}}_{i=1}\chi_{[0,\frac{t_{0}}{2})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}), f^{i}_{1}(y_{0}))) \\ &=&1. \end{eqnarray*} 由$M_{l}$的定义,$n^{l}_{s}$是除以$m$余$l$的数,因此$m|n^{l}_{s}+m-l$,我们有 \begin{eqnarray*} &&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{km}\sum^{km}_{i=1}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}), f^{i}_{1}(y_{0}))) \\ &\geq&\limsup\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{n^{l}_{s}+m-l}\sum^{n^{l}_{s}+m-l}_{i=1}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{0}), f^{i}_{1}(y_{0}))) \\ &=&1. \end{eqnarray*} 这与$\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{km}\sum\limits^{km}_{i=1}\chi_{[0,t_{0})}(\rho(f^{i}_{1}(x), f^{i}_{1}(y)))<1$矛盾.

(ii)~ 下证存在$\delta>0$使得对$\forall x,y\in S_{0}: x\neq y$都有 $$F^{*}_{xy}(\delta,f^{[m]}_{1,\infty})=\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}\sum^{k}_{i=1}\chi_{[0,\delta)}(\rho(f^{im}_{1}(x), f^{im}_{1}(y)))=0. $$

事实上,因为$S_{0}$是$f_{1,\infty}$的分布攀援集, 则存在$\delta_{1}>0$ 使得$F_{xy}(\delta_{1}, f_{1,\infty})=0$对任意$x,y\in S_{0}: x\neq y$都成立.

假设存在$x_{\delta},y_{\delta}\in S_{0}$, 使得对$\forall\delta>0$都有$F_{x_{\delta}y_{\delta}}(\delta, f^{[m]}_{1,\infty})>0$. 特别地, 对$\delta^{*}=\frac{\delta_{1}}{2}>0$,存在 $x_{\delta^{*}},y_{\delta^{*}}\in S_{0}$使得 $F_{x_{\delta^{*}}y_{\delta^{*}}}(\delta^{*}, f^{[m]}_{1,\infty})>0$.

因为$F_{x_{\delta^{*}}y_{\delta^{*}}}(\delta_{1},f_{1,\infty})=0$, 则存在严格递增的序列$\{m_{s}\}_{s\in {\Bbb N}}$使得 $$\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{m_{s}}\sum^{m_{s}}_{i=1}\chi_{[0,\delta_{1})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{\delta^{*}}), f^{i}_{1}(y_{\delta^{*}})))=F_{x_{\delta^{*}}y_{\delta^{*}}}(\delta_{1}, f_{1,\infty})=0. $$

类似(i),可以找到$c\in\{0,1,\cdots,m-1\}$使得$m^{c}_{s}=\{km+c: k\in {\Bbb Z}^{+}\}\cap \{m_{s}: s \in {\Bbb N}\}$为无限集. 从而 \begin{eqnarray*} 0&=&\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{m^{c}_{s}}\sum^{m^{c}_{s}}_{i=1}\chi_{[0,\delta_{1})} (\rho(f^{i}_{1}(x_{\delta^{*}}), f^{i}_{1}(y_{\delta^{*}}))) \\ &=&\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{m^{c}_{s}+m-c}\sum^{m^{c}_{s}+m-c}_{i=1} \chi_{[0,\delta_{1})}(\rho(f^{i}_{1}(x_{\delta^{*}}), f^{i}_{1}(y_{\delta^{*}}))) \\ &=&\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{m^{c}_{s}+m-c}\sum^{m}_{j=1}\sum^{\frac{1}{m} (m^{c}_{s}+m-c)-1}_{i=0}\chi_{[0,\delta_{1})}(\rho(f^{im+j}_{1}(x_{\delta^{*}}), f^{im+j}_{1}(y_{\delta^{*}}))) \\ &\geq& \sum^{m}_{j=1}\liminf\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{m^{c}_{s}+m-c}\sum^{\frac{1}{m}(m^{c}_{s}+m-c)-1}_{i=0} \chi_{[0,\delta_{1})}(\rho(f^{im+j}_{1}(x_{\delta^{*}}), f^{im+j}_{1}(y_{\delta^{*}}))) \\ &\geq&\liminf\limits_{s\rightarrow \infty}\frac{1}{m}\frac{m}{m^{c}_{s}+m-c}\sum^{\frac{1}{m} (m^{c}_{s}+m-c)-1}_{i=0}\chi_{[0,\delta_{1})}(\rho(f^{(i+1)m}_{1}(x_{\delta^{*}}), f^{(i+1)m}_{1}(y_{\delta^{*}}))) \\ &\geq&\frac{1}{m}F_{x_{\delta^{*}}y_{\delta^{*}}}(\delta_{1}, f^{[m]}_{1,\infty}) \\ &\geq& \frac{1}{m}F_{x_{\delta^{*}}y_{\delta^{*}}}(\delta^{*}, f^{[m]}_{1,\infty}) \\ &>&0. \end{eqnarray*} 矛盾.

综上(i),(ii)知$f^{[m]}_{1,\infty}$是分布混沌的.

这个定理表明,$f_{1,\infty}$的分布混沌性在乘积运算下是保持的. 那么,如果$\forall m\in {\Bbb N}$ ($m\geq 2$),$f^{[m]}_{1, \infty}$是分布混沌的,是否有$f_{1,\infty}$是分布混沌的呢? 为了回答这个问题,我们先给出三个引理.

引理3.2 若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$,则$\forall m\in {\Bbb N}$,$ m\geq 2$,序列$(f^{m}_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f^{m}$.

证 当$m=2$时. 因为序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于映射$f$, 则对$\forall\varepsilon>0$,存在$N_{0}\in {\Bbb N}$使得对$\forall x\in I$和$\forall n\geq N_{0}$,都有$\rho(f_{n}(x), f(x))<\varepsilon$.

由三角不等式, $$\rho(f^{2}_{n}(x),f^{2}(x))\leq\rho(f_{n+1}(f_{n}(x)), f(f_{n}(x)))+\rho(f(f_{n}(x)),f(f(x))), $$ 又因为$f$一致连续,容易证明$(f^{2}_{n})^{\infty}_{n=1}$ 一致收敛于$f^{2}$.

假设$(f^{k}_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f^{k}$. 由于对$\forall x\in X$,都有 $$\rho(f^{k+1}_{n}(x),f^{k+1}(x))\leq\rho(f_{n+k}(f^{k}_{n}(x)), f(f^{k}_{n}(x)))+\rho(f(f^{k}_{n}(x)),f(f^{k}(x))) $$ 可以得到$(f^{k+1}_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f^{k+1}$.

由归纳法,对$\forall m\in {\Bbb N}$,序列 $(f^{m}_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f^{m}$.

注意到闭区间上映射序列一致收敛等价于等度连续(等度连续的定义见文献^[12]), 下面的引理成立.

引理3.3 若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$等度连续,则$\forall m\in {\Bbb N}$,$m \geq 2$,序列$(f^{m}_{n})^{\infty}_{n=1}$等度连续.

从而,可以得到

引理3.4 若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$等度连续(或一致收敛于$f$), 则对$\forall\varepsilon>0$和$\forall m\in {\Bbb N}$, 存在$\delta(\varepsilon)$和$N(m)\in {\Bbb N}$,使得,对$\forall x,y\in I: \rho(x,y)<\delta(\varepsilon)$和$n\geq N(m)$,都有 $\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}_{n}(y))<\varepsilon$.

证由引理3.3和下面的不等式,结论显然成立. $$\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}_{n}(y))\leq\rho(f^{m}_{n}(x), f^{m}(x))+\rho(f^{m}(x),f^{m}(y))+\rho(f^{m}(y),f^{m}_{n}(y)) . $$ 证毕.

现在我们来回答上面提出的问题.

定理3.5若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$等度连续(或一致收敛于$f$), 如果$\forall m\in {\Bbb N}$,$m \geq 2$,$f^{[m]}_{1, \infty}$是分布混沌的,那么$f_{1,\infty}$也是分布混沌的.

证 设$D_{0}$是$f^{[m]}_{1,\infty}$的一个分布攀援集,对$x,y\in D_{0}:x\neq y$,我们证明

(i)~ 若对$\forall\delta>0$有$F^{*}_{x,y}(\delta, f^{[m]}_{1,\infty})=1$,则对$\forall t>0$有$F^{*}_{x,y}(t,f_{1,\infty})=1$.

事实上,$\forall t>0$,由引理3.4,存在$\delta: 0<\delta<t$以及$N\in {\Bbb N}$,使得对$\forall x,y\in I: \rho(x,y)<\delta$和$\forall k\geq N$,有$\rho(f^{i}_{k}(x),f^{i}_{k}(y))<t$对任意$i: 1\leq i\leq m$都成立. 从而,对$\forall j\geq N: \rho(f^{jm}_{1}(x),f^{jm}_{1}(y))<\delta$和$\forall i: 1\leq i\leq m$,有 $$\rho(f^{jm+i}_{1}(x),f^{jm+i}_{1}(y))<t. $$ 则 $$\sum^{k}_{j=1}\chi_{[0,\delta)}(\rho(f^{jm}_{1}(x), f^{jm}_{1}(y)))-N\leq\frac{1}{m}\sum^{(k+1)m}_{j=1}\chi_{[0,t)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y))).$$ 因此, \begin{eqnarray*} F^{*}_{x,y}(t,f_{1,\infty})&=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}\sum^{k}_{j=1}\chi_{[0,t)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y))) \\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{(k+1)m}\sum^{(k+1)m}_{j=1}\chi_{[0,t)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y)))\\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{km}\sum^{(k+1)m}_{j=1}\chi_{[0,t)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y))) \\ &=&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(\sum^{k}_{j=1}\chi_{[0,\delta)}(\rho(f^{jm}_{1}(x), f^{jm}_{1}(y)))-N)\\ &=&1. \end{eqnarray*}

下面我们证明

(ii)~ 若存在$s>0$使得$F_{x,y}(s,f^{[m]}_{1,\infty})=0$, 则存在$\delta>0$使得$F_{x,y}(\delta,f_{1,\infty})=0$.

事实上,对上述$s>0$,存在$\delta: 0<\delta<s$以及 $N_{1}\in{\Bbb N}$,使得对$\forall x,y\in I: \rho(x,y)<\delta$和$\forall k\geq N_{1}$, 不等式$\rho(f^{i}_{k}(x),f^{i}_{k}(y))<s$对任意$i: 1\leq i\leq m$都成立. 从而,对$\forall j\geq N_{1}: \rho(f^{jm}_{1}(x),f^{jm}_{1}(y))\geq s$和$\forall i: 1\leq i\leq m$,我们有$\rho(f^{jm-i}_{1}(x),f^{jm-i}_{1}(y))\geq\delta$.

因此, $$\sum^{k}_{j=1}\chi_{[s,\infty)}(\rho(f^{jm}_{1}(x), f^{jm}_{1}(y)))-N_{1}\leq\frac{1}{m}\sum^{km}_{j=1}\chi_{[\delta,\infty)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y))). $$ 又因为 \begin{eqnarray*} &&\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(\sum^{k}_{j=1}\chi_{[s,\infty)}(\rho(f^{jm}_{1}(x), f^{jm}_{1}(y)))) \\ &=&1-\liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(\sum^{k}_{j=1}\chi_{[0,s)}(\rho(f^{jm}_{1}(x), f^{jm}_{1}(y)))) \\ &=&1-F_{x,y}(s,f^{[m]}_{1,\infty}) \\ &=&1, \end{eqnarray*} 则 $$\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(\sum^{k}_{j=1}\chi_{[\delta,\infty)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y))))=1. $$ 因此, $$F_{x,y}(\delta, f_{1,\infty})=1-\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{k}(\sum^{k}_{j=1}\chi_{[\delta,\infty)}(\rho(f^{j}_{1}(x), f^{j}_{1}(y))))=0.$$ 故$f_{1,\infty}$是分布混沌的.

由定理2.3,定理3.1,定理3.5,下面两个推论成立.

推论3.6 若映射序列$f_{1,\infty}$是Li-Yorke混沌的,则$\forall m\in {\Bbb N}$,$f^{[m]}_{1,\infty}$也是Li-Yorke混沌的.

推论3.7若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$等度连续(或一致收敛于$f$),对$\forall m\in {\Bbb N}$ ($m \geq 2$),如果$f^{[m]}_{1,\infty}$是Li-Yorke混沌的, 那么$f_{1,\infty}$也是Li-Yorke混沌的.

注1考虑$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$的情形. 2010年,Canovas^[25]在紧度量空间上证明了$f_{1,\infty}$ 的Li-Yorke混沌性不一定意味着$f$的Li-Yorke混沌性. 2012年,Dvorakova^[16]证明了$f_{1,\infty}$的分布攀援集的全 Lebesgue测度不能保证极限映射$f$的分布混沌性. 由本文第2部分的定理2.3和文献^[25]的结论,我们可以知道, $f_{1,\infty}$的分布混沌性不一定意味着$f$的分布混沌性,这与文献^[16]的结论一致. 那么,是否$f_{1,\infty}$的混沌性与极限映射$f$的混沌性没有任何关系呢？2006年, Canovas在文献^[26]中告诉我们, $f_{1,\infty}$的$\omega$ -极限集也是$f$的$\omega$ -极限集,此外,早在1996年, Kolyada^[10]就在紧度量空间上证明了若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$, 则有$h_{hop}(f_{1,\infty})\leq h_{hop}(f)$ (其中$h_{hop}(\cdot)$表示拓扑熵). 因此,一个自然的问题是, 当$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$时,除上述混沌行为之外, $f_{1,\infty}$和$f$的其他混沌性质有什么关系?

注2 在自治系统中, 关于分布混沌还定义了分布$(p,q)$ -混沌、一致分布混沌、第一型分布混沌(DC1)、 第二型分布混沌(DC2)、第三型分布混沌(DC3)等等, 这些定义都可以被推广到非自治系统中, 那么它们又有些什么性质呢？这些都是值得我们进一步研究的问题.