从 Hopfield 在文献 ^[1] 中首次研究神经网络以来,在过去的三十年里神经网络的动力学 行为得到深入的研究,并已应用到信号和图像处理、自动化控制、故障诊断、电信、 航空航天和优化问题等领域,见文献 ^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]} 和其引用的参考文献. 特别的,作为 Hopfield 神经网络的延伸,1983 年文献 ^[10] 中提出的 Cohen-Grossberg 神经网络模型, 由于在模式识别、并行计算、联想记忆和组合优化等方面的广泛应用而得到极大的关注^{[9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]}.

由于在人工神经网络中出现混沌等一些复杂的动态行为,混沌神经网络的同步也成为了 一个重要的研究领域. 同步是指两个或两个以上的混沌或周期系统共享一定的动力学行为. 研究指出这共同行为可以通过偶联或通过外力来产生. 由于这种特性,混沌同步已成功地应 用于安全通信系统、化学和生物系统、人类的心跳监管、信息科学、图像处理、 以及谐波振荡的产生等^{[18, 19, 20, 21]}. 为了研究神经网络和非线性系统的稳定化或同步问题, 自适应反馈控制^[22],模糊控制^[23],脉冲控制^[24],间歇控制^{[25, 26]} 等许多同步方法被提出来了.

神经网络的应用中出现时滞现象是不可避免的,而时滞现象的存在可能是导致 振荡和不稳定的关键因素之一. 因此,近年来,对具有时滞的神经网络的动力学行 为研究吸引了广大学者的关注,并出现了许多很好的成果^{[14, 15, 16, 17, 26, 27, 28, 29]}. 然而, 大多数神经网络同步的研究仅限制到具有离散时滞. 由于神经网络中各种轴突大小 和长度的平行通路存在,模型中引入分布时滞是比较合理的. 于是建立 Cohen-Grossberg 神经网络时考虑离散时滞和分布时滞更合理的^{[13, 14, 30, 31, 32]}. 另一方面,正如我们所知,人工神经网络经常受到脉冲扰动,而脉冲项可能会影响 系统的动力学行为^{[33, 34, 35, 36, 37]}. 此外,这些扰动往往使稳定的系统不稳定或不稳定的系统稳定. 因此,脉冲的影响也必须考虑.

通过周期性间歇控制器,文献 ^[26] 研究了一类具有变时滞的 Cohen-Grossberg 神经网络的同步问题. 在文献 ^{[38, 39]} 中,作者研究了一类具有常数放大函数和离散时滞的 Cohen-Grossberg 神经网络的自适应同步问题. 文献^[40] 对具有随机扰动的 Cohen-Grossberg 神经网路的完全同步进行了研究. 最近,在文献 ^[13] 中, 作者讨论了具有反应扩散项和混合变时滞的 Cohen-Grossberg 神经网络的同步问题. 然而,以前的结果都集中在具有离散时滞和常数放 大函数的情况,几乎没有讨论具有广义放大函数和混合变时滞的脉冲 Cohen-Grossberg 神经网络的同步问题.

从以上讨论中得到启发,在本文中,我们讨论了一类具有离散时滞和分布时滞的脉冲 Cohen-Grossberg 神经网络的同步问题. 对所建立的 Cohen-Grossberg 神经网络进行变换, 然后运用Lyapunov稳定性理论和不等式技巧, 得到了一些简单实用的同步判断准则.

本文的其余部分是如下安排的. 在第 2 节,介绍了驱动系统和响应系. 此外,也给出了本文中需要的一些假设和定义. 第 3 节专门讨论了所建立模型的的指数同步问题. 在第 4 节,给出一个例子及其数值模拟来验证了所得结论的有效性. 最后,在第 5 节中我们给出了一些结论.

考虑下面的 Cohen-Grossberg 神经网络模型

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{x}_i(t)=\displaystyle a_i(x_i(t))\bigg[-b_i(x_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(x_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}g_j\left(x_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\\[3mm] \qquad\qquad \displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(x_j(s)){\rm d}s +I_i\bigg],t\geq 0,\ t\neq t_k,\\[3mm] \Delta x_i(t_k)= x_i(t_k^+)-x_i(t_k^-)=\gamma_{ik}(x_i(t_k^-)),\ \ k\in N^+\triangleq\{1,2,\cdots\}, \end{array}\right. %\eqno(1) \end{equation}

(1)

其中 $i \in{\cal I}\triangleq \{1,2,\cdots,n\},\ n$ 是神经网络中神经元的个数, $x_i(t)$ 表示 $t$ 时刻第 $i$ 个神经元的状态,$a_i(x_i)$ 表示第 i 个神经元的放大函数, $b_i(x_i(t))$ 表示第 $i$ 个神经元的行为函数,$f_j,\ g_j$及$h_j$ 表示神经元的激活函数,$c_{ij},\ d_{ij}$及$v_{ij}$ 表示神经元的链接权重, $I_i$ 表示外部输入,$\tau_{ij}(t)$ 和 $\sigma_{ij}(t)$ 分别表示离散时滞和分布时滞, 脉冲时刻 $t_k$ 满足 $t_{k+1}-t_{k}\geq \rho>0,\ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}t_k =\infty,$ $\gamma_{ik}(x_i(t_k))$ 表示 $t_k$ 时刻第 $i$ 个神经元的脉冲分布,$x_i(t^+_k),\ x_i(t^-_k)$ 分别表示函数 $x_i(t)$ 在 $t_k$ 时刻的右极限和左极限,并假设 $x_i(t_k)=x_i(t^-_k)$.

系统(1)的初始条件为

\begin{equation} x_i(s)=\varphi_i(s),s\in[-\overline{\tau},0],%\eqno(2) \end{equation}

(2)

其中 $\overline{\tau}=\max\{\tau,\sigma\},\ \varphi_i(s)\in C([-\overline{\tau},0],R)$, $C([-\overline{\tau},0],R)$ 表示从 $[-\overline{\tau},0]$ 到 $R$ 的所有连续函数的集合,其范数定义为 $$ \|\varphi\|_\infty=\max\limits_{i \in{\cal I}} \Big\{\sup\limits_{s\in[-\overline{\tau},0]}|\varphi_i(s)|\Big\}. $$

显然,脉冲系统(1)的解 $x(t) = (x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t))^T$ 是分段连续的向量函数, 其分量属于空间 \begin{eqnarray*} PC([-\overline{\tau},+\infty),R)&=&\{\varphi(t) :[-\overline{\tau},+\infty) \longrightarrow R t\neq t_k \mbox{上连续},\\ &&\varphi(t_k^-),{\varphi(t_k^+)\in R } \mbox{且} \varphi(t_k^-)=\varphi(t_k)\}. \end{eqnarray*}

本文中我们假设下列条件总是成立的.

(A$_1$)~ $a_i\in C(R,R^+)$ 并存在两个正整数 $\underline{a_i}$ 和 $\overline{a}_{i}$ 使得 $$\underline{a_i}\leq a_i(u)\leq \overline{a}_{i},\mbox{对所有的}\ u\in R; $$

(A$_2$)~ 对每一个 $i$,$b_i(u)$ 连续并且存在正常数 $\eta_i$ 使得 $$ \frac{b_i(u)- b_i(v)}{u-v} \geq \eta_i,\mbox{对于}\ u,v \in R,\ u \neq v; $$

(A$_3$)~ 激活函数 $f_j$、$g_j$及$h_j$ 连续并存在 Lipschitz 常数 $L^f_j$、$L^g_j$ 及 $L^h_j$ 使得 $$ |f_j(u)-f_j(v)|\leq L^f_j|u-v|,\ \ |g_j(u)-g_j(v)|\leq L^g_j|u-v|, $$ $$ |h_j(u)-h_j(v)|\leq L^h_j|u-v|,\ \forall u,v\in R; $$

(A$_4$)~ 存在正常数 $\overline{\gamma}_{ik}$ 使得 $$ |\gamma_{ik}(u)-\gamma_{ik}(v)|\leq \overline{\gamma}_{ik}|u-v|,\mbox{对所有的}\ u,v\in R,\ k\in N^+. $$

令 $R^n$ 是 $n$ 维向量空间. 对所有的 $u=(u_1,u_2,\cdots,u_n)\in R^n $,其范数定义为 $$ \|u\|_\infty=\max_{i \in{\cal I}} |u_i| . $$

系统(1)称为驱动系统,其响应系统为如下

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{y}_i(t)=\displaystyle a_i(y_i(t))\bigg[-b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(y_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}g_j\left(y_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\\ [3mm] \qquad\qquad \displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(y_j(s)){\rm d}s +I_i\bigg]+u_i(t),t\geq 0,\ t\neq t_k,\\[3mm] \Delta y_i(t_k)=\gamma_{ik}(y_i(t_k)),\ \ k\in N^+, \end{array}\right. %\eqno(3) \end{equation}

(3)

其中 $u_i(t)$ 表示控制输入,并且选择 $ u_i(t)=k_{i}(y_j(t)-x_j(t))$,常数 $k_{i}$ 表示控制强度.

系统(3)的初始条件为

\begin{equation} y_i(s)=\phi_i(s),s\in[-\overline{\tau},0]. %\eqno(4) \end{equation}

(4)

令 $e_i(t)=y_i(t)-x_i(t)$,则由系统(1)和 (3),误差系统可表为

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{e}_i(t)=\displaystyle a_i(y_i(t))\bigg[-b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(y_j(t))+\sum_{j=1}^{n}d_{ij}g_j\left(y_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\\ [3mm] \qquad\ \displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t} {h_j(y_j(s)){\rm d}s} +I_i\bigg]-a_i(x_i(t))\bigg[b_i(x_i(t)) -\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(x_j(t))\\ [3mm] \qquad\ \displaystyle -\sum_{j=1}^{n}d_{ij}g_j\left(x_j(t-\tau_{ij}(t))\right) -\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t} h_j(x_j(s)){\rm d}s -I_i\bigg]+ u_i(t),\ \ t\neq t_k,\\[3mm] e_i(t_k^+)= y_i(t_k^-)-x_i(t_k^-)+ \gamma_{ik}(y_i(t_k^-))-\gamma_{ik}(x_i(t_k^-)),\ \ k\in N^+. \end{array}\right.% \eqno(5) \end{equation}

(5)

定义 1 驱动响应系统 (1) 和 (3) 称为是全局指数同步的, 如果存在一对正数 $\delta$ 和 $M$ 使得 $$ \|y(t)-x(t)\|_\infty \leq M \|\phi-\varphi\|_\infty e^{-\delta t}, \forall \ t\geq 0, $$ 其中 $x(t)$ 和 $y(t)$ 分别为驱动响应系统 (1) 和 (3) 的满足初始条件 $\phi(s)$ 和 $\varphi(s)$ 的解,常数 $\delta$ 称为指数同步率.

我们的目的是设置适当的控制强度 $k_{i}$,使误差系统 (5) 实现指数稳定. 为了方便,我们引入如下记号 $$ \lambda_i=\underline{a_i}\left(\beta_i-\frac{k_{i}}{\overline{a_i}}\right) -\sum_{j=1}^n\overline{a}_j|c_{ij}|L^f_j, \omega_i=\sum_{j=1}^n\overline{a}_j|d_{ij}|L^g_j,\eta_i= \sum_{j=1}^{n}\overline{a}_j|v_{ij}|L^h_j \sigma . $$ 为了得到主要结果,我们还需要以下假设.

(A$_5$)~ 对任意的 $i \in{\cal I}$,$k_{i}\leq 0$ 且 $\lambda_i-\omega_i-\eta_i>0 $ .

考虑函数 $$ F_i(\varepsilon_i)=\lambda_i-\varepsilon_i-\omega_ie^{\varepsilon_i\tau} -\eta_ie^{\varepsilon_i\sigma},\varepsilon_i\geq 0 . $$ 不难看出 $F'_i(\varepsilon)<0,\ F_i(0)>0$. 因为 $F_i(\varepsilon_i)$ 连续, 并且当 $\varepsilon_i \rightarrow +\infty$时,$F_i(\varepsilon)\rightarrow -\infty $. 所以存在正数 $\varepsilon^*_i$ 使得 $F_i(\varepsilon^*_i)>0$. 令 $\varepsilon^*=\min\limits_{i \in{\cal I}}\{\varepsilon^*_i\}$, 则对$\forall \varepsilon\in (0,\varepsilon^*)$ 我们有 $$ \lambda_i-\varepsilon-\omega_ie^{\varepsilon\tau}-\eta_ie^{\varepsilon\sigma}> 0, \forall i \in{\cal I}. $$

定理 1 假设 (A$_1$)-(A$_5)$ 成立,则系统 (1) 和系统 (3) 实现全局指数同步,如果下面的条件也成立.

(A$_6)$~ $\varepsilon-{\ln \tilde{\alpha}} {\rho}>0$, 其中 $\tilde{\alpha}=\max\limits_{i\in{\cal I},\ k\in N^+} \big\{ \frac{\overline{a}_{i}} {\underline{a_i}}(1+\overline{\gamma}_{ik})\big\}.$

证 设 $x(t),\ y(t)$ 是分别为系统 (1) 和系统 (3) 的满足初始条件 $\varphi,\ \phi$ 的解,令

\begin{equation} \tilde{e}_i(t)=\mbox{sign}(y_i(t)-x_i(t))\int_{x_i(t)}^{y_i(t)}\frac{{\rm d}s}{a_i(s)}.%\eqno(6) \end{equation}

(6)

由 (A$_1$),可推出

\begin{equation} \frac{|y_i(t)-x_i(t)|}{\overline{a}_{i}}\leq \tilde{e}_i(t)\leq \frac{|y_i(t)-x_i(t)|} {\underline{a_i}}. %\eqno(7) \end{equation}

(7)

当 $t\neq t_k$ 时,我们有

$ \dot{\tilde{e}}_i(t)=\mbox{sign}\left(y_i(t)-x_i(t)\right)\left( \displaystyle\frac{\dot{y}_i(t)}{a_i(y_i(t))}-\frac{\dot{x}_i(t)}{a_i(x_i(t))}\right)\\ =\mbox{sign}(e_i(t))\bigg[-\tilde{b}_i(e_i(t)) +\displaystyle\sum_{j=1}^{n}c_{ij}\tilde{f}_j(e_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}\tilde{g}_j(e_j(t-\tau_{ij}(t)))\\ \displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}\tilde{h}_j(e_j(s)){\rm d}s +\frac {u_i(t)}{a_i(y_i(t))}\bigg], $

其中,$\tilde{b}_i(e_i(t))={b}_i(y_i(t))-b_i(x_i(t)),$ $ \tilde{f}_j(e_j(t)) =f_j(y_j(t))-f_j(x_j(t)),$ $ \tilde{g}_j(e_j(t-\tau_{ij}(t)))= g_j(y_j(t-\tau_{ij}(t))) -g_j(x_j(t-\tau_{ij}(t)))$ 和 $\tilde{h}_j(e_j(s))={h}_j(y_j(s))-h_j(x_j(s))$.

从 条件(A$_2)$,(A$_3)$ 和 (7)式,可推出

\begin{eqnarray} \dot{\tilde{e}}_i(t)&\leq& \displaystyle{-\underline{a_i}\left(\beta_i-\frac{k_{i}}{\overline{a_i}}\right)\tilde{e}_i(t) +\sum_{j=1}^{n}|c_{ij}|L^f_j\overline{a}_{j}\tilde{e}_j(t) +\sum_{j=1}^{n}|d_{ij}|L^g_j\overline{a}_{j}\tilde{e}_j(t-\tau_{ij}(t))} \nonumber\\ &&\displaystyle{+\sum_{j=1}^{n}|v_{ij}|\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}\overline{a}_{j}L^h_j \tilde{e}_j(s){\rm d}s}. \end{eqnarray}

(8)

此外 $$ \displaystyle{\tilde{e}}_i(t^+_k)\leq\left|\int_{x_i(t^+_k)}^{y_i(t^+_k)}\frac{{\rm d}s}{a_i(s)}\right|= \displaystyle\left|\int_{x_i(t_k)+\gamma_{ik}(x_i(t_k))}^{y_i(t_k)+\gamma_{ik}(y_i(t_k))} \frac{{\rm d}s}{a_i(s)}\right|. $$ 从 (A$_1)$ 和 (A$_4)$ 得

\begin{equation} \displaystyle{\tilde{e}}_i(t^+_k)\leq \frac{1}{\underline{a_i}}\big|{(y_i(t_k)-x_i(t_k))+(\gamma_{ik}(y_i(t_k)))}-\gamma_{ik}(x_i(t_k))\big| \leq \frac{\overline{a}_i}{\underline{a_i}}(1+\overline{\gamma}_{ik})\tilde{e}_i(t_k). %\eqno(9) \end{equation}

(9)

考虑 Lyapunov 函数

\begin{equation} V_i(t)=\tilde{e}_i(t)e^{\varepsilon t},i \in{\cal I}.%\eqno(10) \end{equation}

(10)

并对 $t\neq t_k$,计算 $V_i(t)$ 沿着系统 (3) 的 Dini 右上导数,由(8)式可推出

\begin{eqnarray} \displaystyle D^+{V}_i(t)&=& \varepsilon e^{\varepsilon t} \displaystyle \tilde{e}_i(t)+e^{\varepsilon t}\dot{\tilde{e}}_i(t) \nonumber\\ &\leq& \displaystyle{\left[\varepsilon-\underline{a_i}\left(\beta_i-\frac{k_{i}}{\overline{a_i}}\right)\right] e^{\varepsilon t} \tilde{e}_i(t) +\sum_{j=1}^{n}|c_{ij}|L^f_j\overline{a}_{j}e^{\varepsilon t}\tilde{e}_j(t) +\sum_{j=1}^{n}|d_{ij}|L^g_j\overline{a}_{j}e^{\varepsilon t} } \nonumber\\ &&\displaystyle{\times \tilde{e}_j(t-\tau_{ij}(t)) +\sum_{j=1}^{n}|v_{ij}|\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}\overline{a}_{j}L^h_j e^{\varepsilon t}\tilde{e}_j(s){\rm d}s} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle{ \left[\varepsilon-\underline{a_i}\left(\beta_i-\frac{k_{i}} {\overline{a_i}}\right)\right]V_i(t) +\sum_{j=1}^{n}|c_{ij}|L^f_j\overline{a}_{j}V_j(t) +\sum_{j=1}^{n}|d_{ij}|L^g_j\overline{a}_{j}e^{\varepsilon \tau }} \nonumber\\ &&\displaystyle{\times V_j(t-\tau_{ij}(t)) +\sum_{j=1}^{n}|v_{ij}|\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}\overline{a}_{j}L^h_j e^{\varepsilon \sigma } {V}_j(s){\rm d}s}. \end{eqnarray}

(11)

记 $$ U= \max\limits_{i\in{\cal I}}\sup_{s\in[-\overline{\tau},0]} \frac{|\phi_i(s)-\varphi_i(s)|}{\underline {a_i}}. $$

令 $m $ 是大于 1 的任意正数,则从(7)和(10)式可推出 $$ \displaystyle V_i(t)<mU ,t\in[-\overline{\tau},0],i \in{\cal I}. $$

现在,我们断言

\begin{equation} \displaystyle V_i(t)<\tilde{\alpha}^kmU ,t\in (t_k,t_{k+1}],i \in{\cal I}. %\eqno(12) \end{equation}

(12)

首先,我们证明 $$ V_i(t)<mU,i \in{\cal I} $$ 对任意的 $0<t\leq t_1$ 都成立. 不然,存在某些 $i\in{\cal I}$ 和 $t^* \in(0,t_1]$ 使得

\begin{equation} \displaystyle V_i(t^*)=mU,D^{+}V_i(t^*)\geq 0,V_\textit{l}(t^*)<mU \mbox{for}\ \textit{l}\in{\cal I}\setminus\{i\},%\eqno(13) \end{equation}

(13)

并对任意的 $j\in{\cal I}$,

\begin{equation} V_j(t)<mU,\forall\ t\in[-\overline{\tau},t^*].%\eqno(14) \end{equation}

(14)

从 (9)、(11)、(13) 和 (14) 式可得 \begin{eqnarray*} \displaystyle 0&\leq& D^{+}V_i(t)\big{|}_{t=t^*}\\ &\leq& \displaystyle{ \left[\varepsilon-\underline{a_i}\left(\beta_i-\frac{k_{i}} {\overline{a_i}}\right)\right]V_i(t^*) +\sum_{j=1}^{n}|c_{ij}|L^f_j\overline{a}_{j}V_j(t^*) +\sum_{j=1}^{n}|d_{ij}|L^g_j\overline{a}_{j}e^{\varepsilon \tau } V_j(t^*-\tau_{ij}(t^*))} \\ &&\displaystyle{ +\sum_{j=1}^{n}|v_{ij}|\int_{t^*-\sigma_{ij}(t^*)}^{t^*}\overline{a}_{j}L^h_je^{\varepsilon \sigma } {V}_j(s){\rm d}s}\\ &<& mU \displaystyle{ \left[\varepsilon-\underline{a_i}\left(\beta_i-\frac{k_{i}}{\overline{a_i}}\right) +\sum_{j=1}^{n}|c_{ij}|L^f_j\overline{a}_{j} +\sum_{j=1}^{n}|d_{ij}|L^g_j\overline{a}_{j}e^{\varepsilon\tau} +\sum_{j=1}^{n}|v_{ij}|L^h_j\overline{a}_{j} \sigma e^{\varepsilon\sigma}\right]}\\ &=&\displaystyle{ (\varepsilon-\lambda_i+\omega_ie^{\varepsilon\tau} +\eta_ie^{\varepsilon\sigma})mU}\\ &<& 0. \end{eqnarray*} 显然,这是矛盾的. 于是,(12) 式对任意的 $t\in[-\overline{\tau},t_1]$ 都成立. 由(9)、(10)式和 $\tilde{\alpha}$ 的定义可得 $$ V_i(t^+_1)\leq \displaystyle\frac{\overline{a}_{i}}{\underline{a_i}}(1+\overline{\gamma}_{i1})V_i(t_1)\leq \tilde{\alpha} V_i(t_1)\leq \tilde{\alpha} mU. $$ 用同样的方法,可证明 $$ \displaystyle V_i(t)=\tilde{e}_i(t)e^{\varepsilon t}<\tilde{\alpha} mU ,t\in (t_1,t_2],i \in{\cal I}. $$ 重复上述过程,当 $t\in [t_k,t_{k+1}]$ 我们得 $$ \displaystyle V_i(t)=\tilde{e}_i(t)e^{\varepsilon t}<\tilde{\alpha} ^k mU ,t\in (t_k,t_{k+1}],i \in{\cal I}. $$ 又因为 $\triangle t_k=t_{k+1}-t_{k}\geq{\rho}$ 和 $\tilde{\alpha}>1$, 所以当 $t\in(t_k,t_{k+1}]$ 时 $$ \displaystyle{\tilde{\alpha}^k=e^{k\ln \tilde{\alpha}}\leq e^{\left[1 + \frac{(t_2-t_1)+(t_3-t_2)+\cdots+(t_k-t_{k-1})}{\rho}\right]\ln \tilde{\alpha}} =e^{\left(1+\frac{t_k-t_1}{\rho}\right)\ln \tilde{\alpha}}\leq {M}'e^{\frac{t} {\rho}\ln \tilde{\alpha}}}, $$ 其中 ${M}'=e^{\left(1-\frac{t_1} {\rho} \right)\ln \tilde{\alpha}}$. 从(7)、(10)、(12)式和上述不等式,可推出

\begin{equation} |e_i(t)|=|y_i(t)-x_i(t)|\leq\overline{a}_{i}\tilde{e}_i(t)\leq m\overline{a}_i{M}'Ue^{-\left(\varepsilon-\frac{\ln \tilde{\alpha}} {\rho}\right) t},\forall t>0,\ i \in{\cal I}. %\eqno(15) \end{equation}

(15)

令 $M >1$ 使得 $$\max_{1\leq i \leq n}\{m\overline{a}_i {M}'U\}\leq M\|\phi-\varphi \|_\infty ,i \in{\cal I}. $$ 从 (15)式 可得

\begin{equation} \|e(t)\|_\infty=\max_{1\leq i \leq n}|y_i(t)-x_i(t)|\leq M\|\phi-\varphi \|_\infty\ e^{-\delta t},\forall t>0, %\eqno (16) \end{equation}

(16)

其中 $\delta=\left(\varepsilon-\frac{\ln \tilde{\alpha}} {\rho}\right)>0$. 因此,根据定义 $1$,系统 (1) 和系统 (3) 是全局指数同步的. 证毕.

如果对所有的 $i,j \in{\cal I}$,在系统(1)中分布时滞的连接 权重$v_{ij}=0$,那么系统(1)变为

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{x}_i(t)=\displaystyle a_i(x_i(t))\bigg[-b_i(x_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(x_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}g_j\left(x_j(t-\tau_{ij}(t))\right)+I_i\bigg],\ t\neq t_k,\\ [2mm] \Delta x_i(t_k)= \gamma_{ik}(x_i(t_k)),\ \ k\in N^+. \end{array}\right.% \eqno(17) \end{equation}

(17)

这时,响应系统简化为如下形式

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{y}_i(t)=\displaystyle a_i(y_i(t))\bigg[-b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(y_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}g_j\left(y_j(t-\tau_{ij}(t))\right)+I_i\bigg]\\[2mm] \qquad\qquad+u_i(t),t\neq t_k,\\[2mm] \Delta y_i(t_k)=\gamma_{ik}(y_i(t_k)),\ \ k\in N^+, \end{array}\right. %\eqno(18) \end{equation}

(18)

其中 $u_i(t)$ 是控制输入. 这时,我们记 $$ \lambda'_i=\underline{a_i} \bigg(\beta_i-\frac{k_{i}}{\overline{a}_i}\bigg) -\sum_{j=1}^n\overline{a}_j|c_{ij}|L^f_j,\omega'_i=\sum_{j=1}^n\overline{a}_j|d_{ij}|L^g_j,i \in{\cal I}. $$

此时,假设 (A$_5)$ 简化为

(A$'_5)$~ 对所有的$i \in{\cal I}$\ $ k_{i}\leq0$ 且 $\lambda'_i-\omega'_i>0$. 于是,由定理 1,我们有如下结论.

推论 1 假设 (A$_1)$-(A$_4)$ 和 (A$'_5)$ 成立, 则系统 (17) 和系统 (18) 是全局指数同步的,如果下面的假设也成立.

(A$'_6)$~ $\varepsilon'-\frac{\ln \tilde{\alpha}} {\rho}>0,$ 其中对任意的 $i \in{\cal I}$,$\varepsilon'$ 满足 $\lambda'_i-\varepsilon'-\omega'_ie^{\varepsilon'\tau}> 0$.

如果对所有的 $u\in R,\ k\in N^+$,脉冲函数 $\gamma_{ik}(u)=0$,则系统(1)简化为

\begin{eqnarray} \dot{x}_i(t)&=&\displaystyle a_i(x_i(t))\bigg[-b_i(x_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(x_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_j\left(x_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\nonumber\\ &&\displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(x_j(s)){\rm d}s +I_i(t)\bigg],t\geq 0. \end{eqnarray}

(19)

相应地,响应系统变为如下形式

\begin{eqnarray} \dot{y}_i(t)&=&\displaystyle a_i(y_i(t))\bigg[-b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(y_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_j\left(y_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\nonumber\\ &&\displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(y_j(s)){\rm d}s +I_i(t)\bigg]+u_i(t),t\geq 0. \end{eqnarray}

(20)

用同样的方法,我们可证明不等式 (16) 也是成立的. 这时 $\delta=\varepsilon'$. 于是,对系统(19)与(20)的同步性,我们有如下结果.

定理 2假设 (A$_1)$-(A$_4)$ 和 (A$'_5)$ 成立, 则系统(19)和系统(20)实现全局指数同步.%,其中指数同步率为 $\varepsilon'$.

如果对所有的 $u\in R$ 和 $i \in{\cal I}$,在系统(1)中放大函数 $a_i(u)=1$,那么系统(1)变为

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{x}_i(t)=\displaystyle -b_i(x_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(x_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_j\left(x_j(t-\tau_{ij}(t))\right) \\[4mm] \qquad\qquad \displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(x_j(s)){\rm d}s +I_i(t),t\geq 0,\ t\neq t_k,\\[3mm] x_i(t_k^+)= x_i(t_k^-)+\gamma_{ik}(x_i(t_k)),\ \ k\in N=\{1,2,\cdots\}. \end{array}\right. %\eqno(21) \end{equation}

(21)

显然,条件 (A$_1$) 是成立的. 这时,响应系统简化为如下形式

\begin{equation} \left\{\begin{array}{lllll} \dot{y}_i(t)=\displaystyle -b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(y_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_j\left(y_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\\[4mm] \qquad\qquad \displaystyle+\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(y_j(s)){\rm d}s +I_i(t)+u_i(t),t\geq 0,\ t\neq t_k,\\[3mm] y_i(t_k^+)= y_i(t_k^-)+\gamma_{ik}(y_i(t_k)),\ \ k\in N^+, \end{array}\right. %\eqno(22) \end{equation}

(22)

其中 $u_i(t)$ 是控制输入. 这时,我们记 $$ \bar{\lambda}_i=(\beta_i-k_{i})-\sum_{j=1}^n|c_{ij}|L^f_j,\bar{\omega}_i=\sum_{j=1}^n|d_{ij}|L^g_j,\bar{\eta}_i= \sum_{j=1}^{n}|v_{ij}|L^h_j \sigma,i \in{\cal I}. $$ 此时,假设 (A$_5$) 简化为

${\rm (\bar{A}_5)}$~ $ k_{i}\leq0$ 且 $\bar{\lambda}_i-\bar{\omega}_i-\bar{\eta}_i>0$, $i \in{\cal I}.$

于是,由定理 1,我们有如下结论.

推论 2假设 (A$_2)$-(A$_4)$ 和 ${\rm (\bar{A}_5)}$ 成立, 则系统(21)和系统(22)是全局指数同步的,如果下面的假设也成立.

${\rm (\bar{A}_6)}$~ $\bar{\varepsilon}-\frac{\ln \tilde{\alpha}} {\rho}>0,$ 其中对任意的 $i \in{\cal I}$,$\bar{\varepsilon}$ 满足 $\bar{\lambda}_i-\bar{\varepsilon}-\bar{\omega}_ie^{\bar{\varepsilon}\tau} -\bar{\eta}_ie^{\bar{\varepsilon}\sigma}> 0$.

特别地,如果对所有的 $u\in R$ 放大函数 $a_i(u)=1$,则系统 (19) 变为

\begin{eqnarray} \dot{x}_i(t)&=& \displaystyle -b_i(x_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(x_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_j\left(x_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\nonumber\\ &&+ \displaystyle\sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(x_j(s)){\rm d}s +I_i(t),t\geq 0. \end{eqnarray}

(23)

相应地,响应系统(18)可以简化为如下形式

\begin{eqnarray} \displaystyle\dot{y}_i(t)&=&\displaystyle-b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{n}c_{ij}f_j(y_j(t)) +\sum_{j=1}^{n}d_{ij}f_j\left(y_j(t-\tau_{ij}(t))\right)\nonumber\\ &&+ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(y_j(s)){\rm d}s +I_i+u_i(t),t\geq 0. \end{eqnarray}

(24)

同样,由定理 2 我们有如下推论.

推论 3 假设 (A$_2$)-(A$_3$) 和 ${\rm (\bar{A}_5)}$ 都成立,则系统(23)和(24)实现全局指数同步.

注 1文献 ^{[38, 39]} 仅研究了放大函数为常数的 Cohen-Grossberg 神经网络的指数同步性; 文献^{[14, 26, 40]} 研究的 Cohen-Grossberg 神经网络模型的放大函数 $ a_i(u)$ 要求满足 Lipschitz 条件. 但是,在本文中我们消除了这些限制条件, 并通过构造特殊的 Lyapunov 函数,得到了判断指数同步的一些全新条件.

注 2 显然,在定理 1 中,我们可以选择适当的控制强度 $k_{i}$ 来满足基本假设 (A$_5$). 此外,$\varepsilon$ 的值可以用 Matlab 等数学软件容易计算, 并且选择适当的脉冲宽度后假设 (A$_6$) 也是成立的. 因此,我们的理论结果是合理的, 并易于使用和验证.

在本节中,我们将给出具体例子来说明所得结论的有效性和可行性.

对 $n=2$,考虑如下 Cohen-Grossberg 神经网络模型

\begin{eqnarray} \dot{x}_i(t)&=&\displaystyle a_i(x_i(t))\bigg[-b_i(x_i(t))+\sum_{j=1}^{2}c_{ij}f_j(x_j(t)) +\sum_{j=1}^{2}d_{ij}f_j(x_j(t-\tau_{ij}(t))) \nonumber\\ &&\displaystyle+\sum_{j=1}^{2}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(x_j(s)){\rm d}s +I_i(t)\bigg],t\neq t_k,i=1,2 \end{eqnarray}

(25)

及

$ \triangle x_1(t_k)=1.9\sin(x_1(t_k)),\triangle x_2(t_k)=2.4x_2(t_k), t_k=(k-1)+0.15,\ \ k\in N^+, $ \vskip 0.2cm

其中 $f_j(u)=h_j(u)=\tanh(u),\ b_1(u)=1.2u,\ b_2(u)=1.8u,\ c_{11}=1.8,$ $ c_{12}=-0.1, $ $ c_{21}=-2,$ $ c_{22}=0.4,$ $ d_{11}=-1.7,\ d_{12}=-0.6,$ $ d_{21}=0.5,\ d_{22}=-2.5, $ $ v_{11}=-1.9,\ v_{12}=-2.1,$ $ v_{21}=1.8,$ $ v_{22}=-3.6,\ \sigma_{ij}=1\ (i,j=1,2)$ 且 $$ a_1(u)=0.9-\frac{0.1}{1+u^2},a_2(u)=1.4+\frac{0.1}{1+u^2}, \tau_{i1}(t)=\tau_{i2}(t)=\frac{e^t}{1+e^t},\ \ i=1,2.$$

系统 (25) 带脉冲和无脉冲时的数值仿真如图 1 和图 2 所示, 这说明系统 (21) 具有混沌吸引子.

显然,$0.8\leq a_1(u)\leq 0.9,\ 1.4\leq a_2(u)\leq 1.5$ 且 $$ \frac{b_1(u)-b_1(v)}{u-v}\geq 1.2, \frac{b_2(u)-b_2(v)}{u-v}\geq 1.8,\forall u,v\in R, $$ 因此,$\beta_1=1.2,\ \beta_2=1.8$.

考虑驱动系统(25)与如下响应系统的指数同步性

\begin{eqnarray} \dot{y}_i(t)&=&\displaystyle a_i(y_i(t))\bigg[-b_i(y_i(t))+\sum_{j=1}^{2}c_{ij}f_j(y_j(t)) +\sum_{j=1}^{2}d_{ij}f_j(y_j(t-\tau_{ij}(t)))\nonumber\\ &&\displaystyle+\sum_{j=1}^{2}v_{ij}\int_{t-\sigma_{ij}(t)}^{t}h_j(y_j(s)){\rm d}s +I_i(t)\bigg]+u_i(t),t\neq t_k,i=1,2 \end{eqnarray}

(26)

及 $$ \triangle y_1(t_k)=1.9\sin y_1(t_k),\triangle y_2(t_k)=2.4\,y_2(t_k),k\in N^+, $$ 其中 $a_i,\ b_i,\ c_{ij},\ d_{ij},\ v_{ij},\ f_j,\ h_j,\ \tau_{ij},\ \sigma_{ij}$ 且 $t_k$ 与系统(25)中定义的一样.

不难验证 $L^f_i=L^h_i=1\ (i=1,2)$,并且对任意的 $k\in N, \overline{\gamma}_{1k}=1.9,\ \overline{\gamma}_{2k}=2.4 $. 选择 $k_{1}= -9.2 $ 和 $k_{2}=-12.1$,并通过简单计算得,$\lambda_1=8.6122,\ \lambda_2=12.4400 ,$ $ \omega_1= 2.4300,$ $ \omega_2=4.2000,\ \eta_1=4.8600,\ \eta_2=7.0200,\ \tilde{\alpha}= 3.2625,$ $ \varepsilon_1=1.3222,\ \varepsilon_2=1.2200$ 且 $\rho=1.$ 令 $\varepsilon=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}=1.2200$, 我们得到 $\delta=\varepsilon-\log(\tilde{\alpha})/\rho=0.0375>0 $. 于是, 基本假设 (A$_1$)-(A$_6)$ 都成立. 因此,根据定理 1,系统(25)和(26)实现全局指数同步. 误差系统随着时间的变化如图 2 和图 3 所示. 系统(25)和(26)之间的同步如图 4 和 5 所示.

本文对具有混合变时滞的 Cohen-Grossberg 神经网络系统进行研究. 通过选取适当的 Lyapunov 函数,借助系统变换以及利用不等式技巧, 得到了的该网络系统的指数同步准则. 最后,通过一个数值例子来说明 本文所得结果的可行性和有效性.