孤子在经典和量子场理论以及光学通讯技术等方面都有很多的应用. 而寻找孤子方程的孤子解有很多种技巧,如求解初值问题的反散色理论, 由 Hirota 提出的双线性方法,基于 Riemann 曲面及 $\theta$ 函数的代数几何解方法, Bäcklund 变换. 现已发现了一些有意义的精确解,如纯孤子解,Wronskian 解,极扩散解. 在孤子方程的精确解中,代数几何解是其中重要的一类, 既可作为非线性可积演化方程的精确解又可以近似更一 般的解. 基于 Lax 对的非线性化技巧和直接方法, 已经得到许多 1+1 维,2+1 维及微分差分孤子方程的代数几何解(参见文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]}).

在这篇文章中,由一个已知的 1+1 维孤子方程,我们先提出了一个 2+1 维的可积方程

\begin{equation}\label{2.1} \left\{ \begin{array}{ll} w_{t} = -\frac{1}{2}v_{xy}+v\partial_{x}^{-1}(w^2-v^2)_{y},\\[3mm] v_{t}=-\frac{1}{2}w_{xy}+w\partial_{x}^{-1}(w^2-v^2)_{y}. \end{array}\right. \end{equation}

(1.1)

在接下来的第二部分,利用 Lenard 算子对方法推导出与参考文献^[12]中等价的 1+1 维的孤子方程, 同时给出了 2+1 维可积方程 (1.1) 及其 Lax 表示. 第三部分, 从 1+1 维孤子方程的解和椭圆坐标出发,得到的 2+1 维可积方程被约化为可解的常微分方程. 在最后一部分,引入超椭圆 Riemann 曲面和 Abel-Jacobi 坐标把流进行了拉直. 再由 Riemann $\theta$ 函数得到了这个 2+1 维方程的代数几何解.

在这一部分,我们首先推导 1+1 维孤子方程族. 考虑如下的谱问题$^{^{[12, 13]}}$

\begin{equation}\label{2.2} \psi_x=U\psi= \left( \begin{array}{ccc} -\lambda~~&q+r\\ q-r~~&\lambda \end{array} \right)\psi, \lambda_t=0,\psi=(\psi_1,\psi_2)^T. \end{equation}

(2.1)

引入 Lenard 递推序列 $\{S_j\}_{j=0}^\infty$,

\begin{equation}\label{2.3} KS_{j-1}=JS_j,S_j|_{(q,r)=(0,0)}=0,S_0=(0,0,1)^T, \end{equation}

(2.2)

其中 $S_j=(S_j^{(1)},S_j^{(2)},S_j^{(3)})$ 及 $$ K= \left( \begin{array}{ccc} \partial&0&2(q+r)\\ 0&-\partial &2(q-r)\\ -(q-r)&~~q+r~~&-\partial \end{array} \right),J= \left( \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ 0&2&0\\ -(q-r)&~~q+r~~&-\partial \end{array} \right). $$ 可以看出 $S_j$ 由递推关系唯一确定. 直接计算得 $$ S_1=\left( \begin{array}{ccc} q+r\\ q-r\\ 0 \end{array}\right), S_2=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2}(q_x+r_x)\\[3mm] -\frac{1}{2}(q_x-r_x)\\[3mm] -\frac{1}{2}(q^2-r^2) \end{array}\right), S_3=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{4}(q_{xx}+r_{xx})-\frac{1}{2}(q+r)(q^2-r^2)\\[3mm] \frac{1}{4}(q_{xx}-r_{xx})-\frac{1}{2}(q-r)(q^2-r^2)\\[3mm] -\frac{1}{2}(q r_x-r q_x) \end{array}\right), $$ $$ S_4=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{8}(q_{xxx}+r_{xxx})-\frac{3}{4}(q_x+r_x)(q^2-r^2)\\[3mm] -\frac{1}{8}(q_{xxx}-r_{xxx})+\frac{3}{4}(q_x-r_x)(q^2-r^2)\\[3mm] -\frac{1}{8}(2(qq_{xx}-rr_{xx})-(q_x^2-r_x^2)-3(q^2-r^2)^2) \end{array}\right),\cdots . $$ 考虑方程 (2.1) 的辅助谱问题

\begin{equation}\label{2.7} \psi_{t_n}=V\psi= \left( \begin{array}{ccc} A~~&B\\ C~~&-A \end{array} \right)\psi=\left( \begin{array}{ccc} \sum_{j=0}^n S_j^{(3)}\lambda^{n-j}~~& \sum_{j=0}^n(S_j^{(1)}+S_j^{(2)})\lambda^{n-j}\\[4mm] \sum_{j=0}^n(S_j^{(1)}-S_j^{(2)})\lambda^{n-j}~~& -\sum_{j=0}^n S_j^{(3)}\lambda^{n-j} \end{array} \right)\psi,\end{equation}

(2.3)

由 方程(2.1) 和 (2.3) 的相容条件 $$ U_{t_n}-V_x^{(n)}+[U,V^{(n)}]=0, $$ 推出等价的孤子方程族为

\begin{equation}\label{2.8} X_n=\left(\begin{array}{ccc}q_{t_n}\\r_{t_n}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}2(S_{n+1}^{(2)}-S_{n+1}^{(1)})\\ -2(S_{n+1}^{(2)}+S_{n+1}^{(1)})\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} -2~&0\\0~&-2\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}S_{n+1}^{(1)}-S_{n+1}^{(2)}\\ S_{n+1}^{(1)}+S_{n+1}^{(2)}\end{array}\right), \end{equation}

(2.4)

其中前两个非平凡的方程是

\begin{equation}\label{2.9} \left\{ \begin{array}{ll} q_{t_2} = -r_{xx}-2r^3+2rq^2,\\ r_{t_2}=-q_{xx}-2qr^2+2q^3 \end{array}\right. \end{equation}

(2.5)

和

\begin{equation}\label{2.10} \left\{ \begin{array}{ll} q_{t_3} = \frac{1}{2}q_{xxx}-3q^2q_x+3r^2q_x,\\[3mm] r_{t_3} = \frac{1}{2}r_{xxx}+3r^2r_x-3q^2r_x. \end{array}\right. \end{equation}

(2.6)

若在 方程(2.5),(2.6) 中,令 $t_2=y$,$t_3=t$ 及 $w(x,y,t)=q(x,y,t)$,$v(x,y,t)=r(x,y,t)$, 则可以得到

\begin{equation}\label{2.11} (vw_x-wv_x)_x=\frac{1}{2}(q^2-r^2)_y \end{equation}

(2.7)

和

\begin{equation}\label{2.12} \left\{ \begin{array}{ll} w_{xx} = -v_{y}+2w(w^2-v^2),\\%=-r_{xx}+2r(q^2-r^2) v_{xx}=-w_{y}+2v(w^2-v^2).%=-q_{xx}+2r(q^2-r^2) \end{array}\right. \end{equation}

(2.8)

把方程 (2.8) 代入到 方程(2.6)中,同时利用 方程(2.7) 就可以得到 2+1 维方程 (1.1). 从而,如果 $q$ 和 $r$ 是 方程(2.5) 和 (2.6) 的相容解, 那么能推出 $w=q$ 和 $v=r$ 也是方程 (1.1) 的解.

考虑下面方程的相容条件 $$ \varphi_x=M\varphi,\varphi_t=\lambda\varphi_y+N\varphi, \lambda_t=\lambda\lambda_y, $$ 其中 $\lambda=\lambda(y,t),$

\begin{equation}\label{2.14} M=\left(\begin{array}{ccc} \lambda~~& w+v\\ w-v~~& -\lambda \end{array}\right), N=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{\partial_x^{-1}(w^2-v^2)_y}{2}~~& \frac{w_y+v_y}{2}\\ [3mm] - \frac{w_y-v_y}{2}~~& \frac{\partial_x^{-1}(w^2-v^2)_y}{2}\end{array}\right), \end{equation}

(2.9)

我们能得到方程 (1.1) 有如下非等谱的零曲率表示 $$ M_t-N_x+[M,N]-\lambda M_y=0, $$ 因此 2+1 维方程 (1.1) 在 Lax 意义下可积.

在这部分中,方程 (2.5) 和 (2.6) 被约化为可解的常微分方程. 设方程 (2.1) 和 (2.3) 有两个基本解 $\psi=(\psi_1,\psi_2)^T$ 和 $\phi=(\phi_1,\phi_2)^T$. 定义一个含三个函数 $f,g,h$ 的矩阵 $W$, $$ W=\frac{1}{2}(\phi\psi^T+\psi\phi^T)\sigma= \left(\begin{array}{ccc}f~~& \frac{g+h}{2}+\frac{g-h}{2}\\[3mm] \frac{g+h}{2}-\frac{g-h}{2}~~& -f \end{array}\right), \sigma=\left(\begin{array}{ccc}0~~& -1\\ 1~~& 0 \end{array}\right). $$ 由方程 (2.1) 和 (2.3) 可以得到

\begin{equation}\label{2.16} W_x=[U,W],W_{t_n}=[V^{(n)},W], \end{equation}

(3.1)

这意味着 det$W$ 是一个与 $x$ 和 $t_m$ 无关的常数. 方程 (3.1) 可以被写为

\begin{equation}\label{2.17} g_x=2g\lambda-(q+r)f,h_x=-2h\lambda+(q-r)f,f_x=(q+r)h-(q-r)g \end{equation}

(3.2)

和

\begin{equation}\label{2.18} g_t=2gA-2fB,h_t=2fC-2hA,f_t=hB-gC. \end{equation}

(3.3)

现假设函数 $f$,$g$ 和 $h$ 是 $\lambda$ 的有限阶多项式

\begin{equation}\label{2.19} f=\sum_{j=0}^{N+1}f_j\lambda^{N+1-j},g=\sum_{j=0}^{N+1}g_j\lambda^{N+1-j},h=\sum_{j=0}^{N+1}h_j\lambda^{N+1-j}. \end{equation}

(3.4)

把 (3.4) 式代入到 方程(3.2) 得

\begin{equation}\label{2.20} KG_{j-1}=JG_j,JG_0=0,KG_N=0,G_j=(g_j,h_j,f_j)^T. \end{equation}

(3.5)

可以看出 $JG_0=0$ 的基本解为

\begin{equation}\label{2.21} G_0=\alpha_0S_0, \end{equation}

(3.6)

其中 $\alpha_0$ 是积分常数. 因此,Ker$J=\{cS_0|\forall c\}$. 把算子 $(J^{-1}K)^{K+1}$ 作用在 (3.6)式 上, 再利用 方程(2.2) 和 (3.5) 可以得到

\begin{equation}\label{2.22} G_k=\sum_{j=0}^{k}\alpha_jS_{k-j},k=0,1,\cdots , \end{equation}

(3.7)

其中 $\alpha_0,\cdots ,\alpha_k$ 是积分常数. 把 (3.7) 式代入到 方程(3.5) 可以得到下面的定态方程

\begin{equation}\label{2.23} \alpha_0KS_N+\cdots +\alpha_NKS_0=0. \end{equation}

(3.8)

因此 (3.4) 式的表示存在.

下面,把方程 (2.5) 和 (2.6) 分解为可积的常微分方程. 不失一般性, 设 $\alpha_0=1$. 由方程 (2.2) 和 (3.7),可以推出

\begin{equation}\label{2.24} \left\{ \begin{array}{ll} g_0=0,h_0=0,f_0=1, g_1=q+r,h_1=q-r,f_1=\alpha_1,\\[2mm] g_2=\frac{1}{2}(q_x+r_x)+\alpha_1(q+r),h_2=-\frac{1}{2}(q_x-r_x)+\alpha_1(q-r),f_2=-\frac{1}{2}(q^2-r^2)+\alpha_2,\\ [3mm] g_3=\frac{1}{4}(q_{xx}+r_{xx})-\frac{1}{2}(q+r)(q^2-r^2)+\frac{\alpha_1}{2}(q_x+r_x)+\alpha_2(q+r),\\ [3mm] h_3=\frac{1}{4}(q_{xx}-r_{xx})-\frac{1}{2}(q-r)(q^2-r^2)-\frac{\alpha_1}{2}(q_x-r_x)+\alpha_2(q-r),\\ [3mm] f_3=-\frac{1}{2}(qr_x-rq_x)-\frac{\alpha_1}{2}(q^2-r^2)+\alpha_3,\cdots . \end{array}\right. \end{equation}

(3.9)

我们把 $g$ 和 $h$ 写作下面有限积的形式

\begin{equation}\label{2.25} g=(q+r)\prod_{i=1}^N(\lambda-\mu_i),h=(q-r)\prod_{i=1}^N(\lambda-\nu_i). \end{equation}

(3.10)

比较 $\lambda^{N-1}$ 和 $\lambda^{N-2}$ 的系数,得到

\begin{equation}\label{2.26} \left\{\begin{array}{ll} g_2=-(q+r)\sum_{i=1}^N\mu_i=\frac{(q_x+r_x)}{2}+\alpha_1(q+r),\\ [4mm] h_2=-(q-r)\sum_{i=1}^N\nu_i=\frac{-(q_x-r_x)}{2}+\alpha_1(q-r) \end{array}\right. \end{equation}

(3.11)

和

\begin{equation}\label{2.27} \left\{ \begin{array}{ll} g_3=(q+r)\sum_{i<j}\mu_i\mu_j=-\frac{1}{4}(q+r)_t+\frac{\alpha_1}{2}(q_x+r_x)+\alpha_2(q+r),\\ [4mm] h_3=(q-r)\sum_{i<j}\nu_i\nu_j=\frac{1}{4}(q-r)_t-\frac{\alpha_1}{2}(q_x-r_x)+\alpha_2(q-r). \end{array}\right. \end{equation}

(3.12)

与文献^[5]中类似的计算方法,我们得到

\begin{equation}\label{2.28} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_x\ln(q+r)=-2\sum_{i=1}^N\mu_i-2\alpha_1,\\[4mm] \partial_x\ln(q-r)=2\sum_{i=1}^N\nu_i+2\alpha_1, \end{array}\right. \end{equation}

(3.13)

\begin{equation}\label{2.29} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_y\ln(q+r)=-4\sum_{i<j}\mu_i\mu_j-4\alpha_1\sum_{j=1}^N\mu_j-4\alpha_1^2+4\alpha_2,\\ [4mm] \partial_y\ln(q-r)=4\sum_{i<j}\nu_i\nu_j+4\alpha_1\sum_{j=1}^N\nu_j+4\alpha_1^2-4\alpha_2 \end{array}\right. \end{equation}

(3.14)

和 \begin{equation}\label{2.30} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_t\ln(q+r)=-4\sum_{i<j<k}\mu_i\mu_j\mu_k-4\alpha_1\sum_{i<j}\mu_i\mu_j +4(\alpha_2-\alpha_1^2)\sum_{i=1}^N\mu_i-4\alpha_1^3-4\alpha_3+8\alpha_1\alpha_2,\\ [4mm] \partial_t\ln(q-r)=4\sum_{i<j<k}\nu_i\nu_j\nu_k+4\alpha_1\sum_{i<j}\nu_i\nu_j -4(\alpha_2-\alpha_1^2)\sum_{i=1}^N\mu_i+4\alpha_1^3+4\alpha_3-8\alpha_1\alpha_2. \end{array}\right. \end{equation}

(3.15)

考虑函数 $\det W$,它是关于 $\lambda$ 的 $(2N+2)$ 阶多项式并且关于$x$ 流和 $t_n$ 流 都是常数

\begin{equation}\label{2.31} -\det W=f^2+gh=\prod_{j=1}^{2N+2}(\lambda-\lambda_j)\equiv R(\lambda). \end{equation}

(3.16)

把 (3.4)式 代入到方程 (3.16),比较 $\lambda^{2N+1}$,$\lambda^{2N}$ 和$\lambda^{2N-1}$ 的系数, 并利用 (3.9)式,可以得到

\begin{equation}\label{2.32} -\sum_{j=1}^{2N+2}\lambda_j=2\alpha_1,%=2f_0f_1, \sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j=2\alpha_2+\alpha_1^2,%=2f_0f_2+f_1^2+g_1h_1, \sum_{i<j<k}\lambda_i\lambda_j\lambda_k=2\alpha_3+2\alpha_1\alpha_2.%=2(f_0f_3+f_1f_2)+4(g_0h_3+g_1h_2+g_2h_1+g_3h_0) \end{equation}

(3.17)

利用 方程(3.16),有

\begin{equation}\label{2.33} f|_{\lambda=\mu_{k}}=\sqrt{R(\mu_{k})},f|_{\lambda=\nu_{k}}=\sqrt{R(\nu_{k})}. \end{equation}

(3.18)

根据方程 (3.2) 和 (3.10),知

\begin{equation}\label{2.34} \left\{ \begin{array}{ll} g_x|_{\lambda=\mu_{k}}=-(q+r)f|_{\lambda=\mu_{k}}=(q+r)\mu_{kx}\prod_{i=1,i\neq k}^N(\mu_k-\mu_i),\\ [4mm] h_x|_{\lambda=\nu_{k}}=(q-r)f|_{\lambda=\nu_{k}}=(q-r)\nu_{kx}\prod_{i=1,i\neq k}^N(\nu_k-\nu_i). \end{array}\right. \end{equation}

(3.19)

观察 (3.18)式,得

\begin{equation}\label{2.35} \mu_{kx}=\frac{-\sqrt{R(\mu_k)}}{\prod\limits_{i=1,i\neq k}^N(\mu_k-\mu_i)}, \nu_{kx}=\frac{\sqrt{R(\nu_k)}}{\prod\limits_{i=1,i\neq k}^N(\nu_k-\nu_i)}. \end{equation}

(3.20)

类似地,利用 (2.3) $(n=2,n=3)$,(3.4),(3.10) 和 (3.18)式,可以推出

\begin{equation}\label{2.36} \left\{ \begin{array}{ll} \mu_{ky}=\frac{-2\sqrt{R(\mu_k)}}{\prod\limits_{i=1,i\neq k}^N(\mu_k-\mu_i)} \bigg (\mu_k^2-\bigg(\sum_{i=1}^N\mu_i+\alpha_1\bigg)\mu_k+\sum_{i<j}\mu_i\mu_j +\alpha_1\sum_{i=1}^N\mu_i+\alpha_1^2-\alpha_2\bigg),\\ [4mm] \nu_{ky}=\frac{2\sqrt{R(\nu_k)}}{\prod\limits_{i=1,i\neq k}^N(\nu_k-\nu_i)} \bigg (\nu_k^2-\bigg(\sum_{i=1}^N\nu_i+\alpha_1\bigg)\nu_k+\sum_{i<j}\nu_i\nu_j +\alpha_1\sum_{i=1}^N\nu_i+\alpha_1^2-\alpha_2\bigg), \end{array}\right. \end{equation}

(3.21)

\begin{eqnarray}\label{2.37} \left\{ \begin{array}{ll} \mu_{kt}=& \frac{-2\sqrt{R(\mu_k)}}{\prod\limits_{i=1,i\neq k}^N(\mu_k-\mu_i)} \bigg (\mu_k^3-\bigg(\sum_{i=1}^N\mu_i+\alpha_1\bigg)\mu_k^2 +\bigg(\sum_{i<j}\mu_i\mu_j+\alpha_1\sum_{i=1}^N\mu_i+\alpha_1^2+\alpha_2\bigg)\mu_k\\ [4mm] & -\sum_{i<j<k}\mu_i\mu_j\mu_k-\alpha_1\sum_{i<j}\mu_i\mu_j+ (\alpha_2-\alpha_1^2)\sum_{i=1}^N\mu_i-\alpha_1^3+2\alpha_1\alpha_2-\alpha_3\bigg),\\ [4mm] \nu_{kt}=& \frac{2\sqrt{R(\nu_k)}}{\prod\limits_{i=1,i\neq k}^N(\nu_k-\nu_i)} \bigg (\nu_k^3-\bigg(\sum_{i=1}^N\nu_i+\alpha_1\bigg)\nu_k^2+ \bigg(\sum_{i<j}\nu_i\nu_j+\alpha_1\sum_{i=1}^N\nu_i+\alpha_1^2-\alpha_2\bigg)\nu_k\\ [4mm] & -\sum_{i<j<k}\nu_i\nu_j\nu_k-\alpha_1\sum_{i<j}\nu_i\nu_j- (\alpha_2+\alpha_1^2)\sum_{i=1}^N\nu_i-\alpha_1^3+2\alpha_1\alpha_2-\alpha_3 \bigg) . \end{array}\right. \end{eqnarray}

(3.22)

因此,如果 $\lambda_1,\cdots,\lambda_{2N+2}$ 是 $2N + 2$ 给定的参数, 且 $\mu_k,\nu_k$ $(k=1,\cdots,N)$ 是微分方程 (3.20),(3.21) 和 (3.22) 的相容解. 那么由方程 (3.13),(3.14) 和 (3.15) 确定的相容解 $q$ 和 $r$ 就是方程 (2.5) 和 (2.6) 的相容解,因此可知 $w$ 和 $v$ 也是 2+1 维方程 (1.1) 的解.

这部分构造2 + 1 维方程 (1.1) 的代数几何解. 首先引入亏格数为 $g=N$ 的超椭圆曲线的 Riemann 曲面 $$ \Gamma: \xi^2=R(\lambda),R(\lambda)=\prod_{j=1}^{2N+2}(\lambda-\lambda_j). $$ 在 $\Gamma$ 上有两个不是分支点的无穷远点 $\infty_1$ 和 $\infty_2$. 为了在 $\Gamma$ 上计算积分,引入一组环路正交基 $a_1,\cdots ,a_N; b_1,\cdots ,b_N$, 和全纯微分 $$ \widetilde{\omega}_l=\frac{\lambda^{l-1}{\rm d}\lambda}{\sqrt{R(\lambda)}},l=1,2,\cdots ,N. $$ 然后定义可逆周期矩阵 $A$ 和 $B$ 如下 $$ A_{ij}=\int_{a_j}\widetilde{\omega}_i,B_{ij}=\int_{b_j}\widetilde{\omega}_i. $$ 利用 $A$ 和 $B$,又可以定义矩阵 $C$ 和 $\tau$, 其中 $$ C=(C_{ij})=A^{-1},\tau=(\tau_{ij})=CB=A^{-1}B, $$ 通过分析可知 $\tau$ 是对称的且有正定的虚部. 我们根据 $ \widetilde{\omega}_j$ 定义一组新的基 $ \omega_j$ $$ \omega_j=\sum_{l=1}^NC_{jl}\widetilde{\omega}_l,l=1,2,\cdots ,N. $$ 由计算可知 $$ \int_{a_k}\omega_i=\sum_{l=1}^NC_{jl}\int_{a_k}\widetilde{\omega}_l=\sum_{l=1}^NC_{jl}A_{lk}=\delta_{jk}, \int_{b_k}\omega_i=\sum_{l=1}^NC_{jl}\int_{b_k}\widetilde{\omega}_l=\sum_{l=1}^NC_{jl}B_{lk}=\tau_{jk}. $$ 下面选择一个固定的点 $p_0$,引入如下的 Abel-Jacobi 坐标

\begin{equation}\label{2.44} \rho_m=(\rho_m^{(1)},\rho_m^{(2)},\cdots,\rho_m^{(N)})^T,m=1,2, \end{equation}

(4.1)

其中每个分量可以写为

\begin{equation}\label{2.45} \rho_1^{(j)}(x,y,t)=\sum_{k=1}^N\int_{p_0}^{\mu_k(x,y,t)}\omega_j =\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N\int_{p_0}^{\mu_k(x,y,t)}C_{jl}\frac{\lambda^{l-1}{\rm d}\lambda}{\sqrt{R(\lambda)}}, \end{equation}

(4.2)

\begin{equation}\label{2.46} \rho_2^{(j)}(x,y,t)=\sum_{k=1}^N\int_{p_0}^{\nu_k(x,y,t)}\omega_j =\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N\int_{p_0}^{\nu_k(x,y,t)}C_{jl}\frac{\lambda^{l-1}{\rm d}\lambda}{\sqrt{R(\lambda)}}. \end{equation}

(4.3)

又 由恒等式 $$ \sum_{k=1}^N\frac{\mu_k^{l-1}}{\prod\limits_{i=i,i\neq k}^N(\mu_k-\mu_i)}=\delta_{lN},l=1,\cdots,N $$ 及方程 (4.2) 和 (3.20)式 中的第一个表达式得到

\begin{equation}\label{2.47} \partial_x\rho_1^{(j)}=\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^NC_{jl}\frac{ \mu_k^{l-1}\mu_{kx}}{\sqrt{R(\mu_k)}} =\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^NC_{jl}\frac{ \mu_k^{l-1}}{\prod\limits_{i\neq k}(\mu_k-\mu_j)}=-C_{jN}=\Omega_0^{(j)},j=1,\cdots,N. \end{equation}

(4.4)

类似地,根据方程 (3.20)--(3.22),(4.2) 和 (4.3) 有 $$ \partial_y\rho_1^{(j)}=-2(C_{j,N-2}-\alpha_1C_{j,N-1}+(\alpha_1^2-\alpha_2)C_{j,N})=\Omega_1^{(j)}, $$ $$ \partial_t\rho_1^{(j)}=-2(C_{j,N-3}-\alpha_1C_{j,N-2}+(\alpha_1^2-\alpha_2)C_{j,N-1}-(\alpha_1^3-2\alpha_1\alpha_2+\alpha_3)C_{j,N})=\Omega_2^{(j)}, $$ $$ \partial_x\rho_2^{(j)}=-\Omega_0^{(j)},\partial_y\rho_2^{(j)}=-\Omega_1^{(j)},\partial_t\rho_2^{(j)}=-\Omega_2^{(j)}. $$ 根据上面的结果可以求得 $$ \rho_1^{(j)}(x,y,t)=\Omega_0^{(j)}x+\Omega_1^{(j)}y+\Omega_2^{(j)}t+\gamma_0^{(j)}, \rho_2^{(j)}(x,y,t)=-\Omega_0^{(j)}x-\Omega_1^{(j)}y-\Omega_2^{(j)}t+\gamma_1^{(j)}, $$ 其中 $$ \gamma_0^{(j)}=\sum_{k=1}^N\int_{p_0}^{\mu_k(0,0,0)}\omega_j, \gamma_1^{(j)}=\sum_{k=1}^N\int_{p_0}^{\nu_k(0,0,0)}\omega_j. $$ 下面,我们在 $\Gamma$ 上定义一个 Abel 映射 $$ A(p)=\int_{p_0}^p\omega,\omega=(\omega_1,\cdots,\omega_N)^T, A(\sum n_kp_k)=\sum n_kA(p_k). $$ 并考虑两个特殊的除子 $\sum\limits_{k=1}^Np_m^{(k)}~(m=1,2)$,得

\begin{equation}\label{2.48} \begin{array}{l} A\bigg(\sum_{k=1}^Np_1^{(k)}\bigg)=\sum_{k=1}^NA(p_1^{(k)})=\sum_{k=1}^N\int_{p_0}^{\widetilde{\mu_k}}\omega=\rho_1, \\[4mm] A\bigg(\sum_{k=1}^Np_2^{(k)}\bigg)=\sum_{k=1}^NA(p_2^{(k)})=\sum_{k=1}^N\int_{p_0}^{\widetilde{\nu_k}}\omega=\rho_2, \end{array} \end{equation}

(4.5)

其中 $p_1^{(k)}=(\widetilde{\mu}_k,\xi(\widetilde{\mu}_k)), p_2^{(k)}=(\widetilde{\mu}_k,\xi(\widetilde{\mu}_k))$. $\Gamma$ 的 Riemann $\theta$ 函数定义为 $$ \theta(\zeta)=\sum_{z\in Z^N}\exp(\pi {\rm i}\langle \tau z,z\rangle+2\pi {\rm i}\langle\zeta,z\rangle),\zeta\in C^N, $$ 且 $\zeta=(\zeta_1,\cdots,\zeta_N)^T,\langle\zeta,z\rangle=\sum\limits_{j=1}^N\zeta_jz_j$. 根据 Riemann 定理,存在两个常向量 $M_1,M_2\in C^N$ 满足 $$ F_m=\theta(A(p)-\rho_m-M_m),m=1,2. $$ 对 $m=1$ 在 $\mu_1,\cdots,\mu_N$ 及对 $m=2$ 在 $\nu_1,\cdots,\nu_N$ 有零点. 为了使这个函数是单值的,把曲面 $\Gamma$ 沿 $a_k,b_k$ 隔开,以便形成一个单连通区域, 并记它的边界为 $\gamma$. 考虑积分 $$ \frac{1}{2\pi {\rm i}}\int_\gamma \lambda^k {\rm d}\ln F_m(\lambda)=I_k(\Gamma),k\geq 1, $$ 是与 $\rho_1,\rho_2$ 无关的常数且 $I=I_k(\Gamma)=\sum\limits_{j=1}^N\int_{a_j}\lambda^k\omega_j$. 根据留数定理,可得 \begin{equation}\label{2.49} I_k(\Gamma)=\sum_{l=1}^N\mu_l^k+\sum_{s=1}^2{\rm Res}_{\lambda=\infty_s}\lambda^k {\rm d}\ln F_1(\lambda), I_k(\Gamma)=\sum_{l=1}^N\nu_l^k+\sum_{s=1}^2{\rm Res}_{\lambda=\infty_s}\lambda^k {\rm d}\ln F_2(\lambda). \end{equation} 这里我们仅需计算在 (4.6) 式中当 $k=1,2,3$ 时的留数. 我们引入 $z=\lambda^{-1}$ 在无穷远处的局部坐标, 那么超椭圆曲线 $\xi^2=R(\lambda)$ 在无穷远的邻域附近可以表示为 $\overline{\xi}^2=\overline{R}(z)$ 且 $\overline{\xi}=z^{N+1},\overline{R}(z)=\prod\limits_{j=1}^{2N+2}(1-\lambda_jz), \infty_s=(z,(-1)^{s-1}\sqrt{\overline{R}(z)})|_{z=0}=(0,(-1)^{s-1}),s=1,2$. 可以得到

\begin{eqnarray}\label{2.50} A(p)_j&=&-\int_{\infty_s}^{p_0}+\int_{\infty_s}^p\omega_j=-\eta_s^{(j)}+\sum_{l=1}^NC_{jl}\int_{\infty}^p \frac{\lambda^{l-1}{\rm d}\lambda}{(-1)^{s-1}\sqrt{R(\lambda)}} \nonumber\\ &=&-\eta_s^{(j)}-(-1)^{s-1}\sum_{l=1}^NC_{jl}\int_0^z\frac{z^{N-l}{\rm d}z}{\sqrt{\overline{R}(z)}} =-\eta_s^{(j)}-(-1)^{s-1}[C_{j,N}z+o(z^2)]. \end{eqnarray}

(4.7)

又 $\theta$ 函数是偶函数,$F_m(\lambda)$ 可以写为

\begin{eqnarray}\label{2.51} F_m(z^{-1})&=&\theta(\cdots,\rho_m^{(j)}+M_m^{(j)}+\eta_s^{(j)}+(-1)^{s-1}C_{jN}z+o(z^2),\cdots) \nonumber\\ &=&\theta_s^{(m)}+z(-1)^{s-1}\sum_{j=1}^NC_{jN}D_j\theta_s^{(m)}+o(z^2), \end{eqnarray}

(4.8)

其中 $\theta_s^{(m)}=\theta(\rho_m+M_m+\eta_s)=\theta (\cdots,\rho_m^{(j)}+M_m^{(j)}+\eta_s^{(j)},\cdots)$, $D_j$ 表示 $\theta_s^{(m)}$ 的导数.通过计算可得

\begin{equation}\label{2.52} \partial_x\theta_s^{(m)}=\sum_{j=1}^N-C_{jN}D_j\theta_s^{(m)}. \end{equation}

(4.9)

根据

\begin{equation}\label{2.53} F_m(z^{-1})=\theta_s^{(m)}+z(-1)^{s}\partial_x\theta_s^{(m)}+o(z^2), \end{equation}

(4.10)

可得

\begin{equation}\label{2.54} \frac{\rm d}{{\rm d}z}\ln F_m(z^{-1})=(-1)^{s}\partial_x\ln \theta_s^{(m)}+o(z). \end{equation}

(4.11)

因此又得到

\begin{equation}\label{2.55} {\rm Res}_{\lambda=\infty_s}\lambda {\rm d}\ln F_m(\lambda) ={\rm Res}_{z=0}z^{-1}{\rm d}\ln F_m(z^{-1})=(-1)^{s}\partial_x\ln\theta_s^{(m)},s=1,2;m=1,2, \end{equation}

(4.12)

其中$\theta_s^{(1)}=\theta(\Omega_0x+\Omega_1y+\Omega_2t+\pi_s), \theta_s^{(2)}=\theta(-\Omega_0x-\Omega_1y-\Omega_2t+\eta_s),$ $\pi_s,\eta_s$ 是常数. 有

\begin{equation} \sum_{j=1}^N\mu_j=I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}}, \sum_{j=1}^N\nu_j=I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}, \end{equation}

(4.13)

\begin{equation} \sum_{j=1}^N\mu_j^2=I_2+\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}} -\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)}, \sum_{j=1}^N\nu_j^2=I_2+\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(2)}}{\theta_1^{(2)}} -\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)}, \end{equation}

(4.14)

\begin{equation} \sum_{j=1}^N\mu_j^3=I_3-\frac{1}{4}\partial_t\ln\frac{\theta_1^{(1)}}{\theta_2^{(1)}} -\frac{1}{4}\partial_y^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)} +\frac{1}{4}(\partial_x\ln\theta_1^{(1)})^3+\frac{1}{4}(\partial_x\ln\theta_2^{(1)})^3, \end{equation}

(4.15)

\begin{equation} \sum_{j=1}^N\nu_j^3=I_3-\frac{1}{4}\partial_t\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}} +\frac{1}{4}\partial_y^2\ln\theta_1^{(2)}\theta_2^{(2)} +\frac{1}{4}(\partial_x\ln\theta_1^{(2)})^3+\frac{1}{4}(\partial_x\ln\theta_2^{(2)})^3. \end{equation}

(4.16)

又

\begin{equation} \partial_x\ln(q+r)=-2\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}}\bigg)-2\alpha_1 =\Theta_1, \end{equation}

(4.17)

\begin{equation} \partial_x\ln(q-r)=2\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg)+2\alpha_1 =\Lambda_1, \end{equation}

(4.18)

\begin{eqnarray} \partial_y\ln(q+r)&=&2\bigg(I_2+\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}} -\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)} -\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg)^2\bigg) \nonumber\\ &&+2\alpha_1\bigg(-2\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}}\bigg) -2\alpha_1\bigg)+4\alpha_2 =\Theta_2, \end{eqnarray}

(4.19)

\begin{eqnarray} \partial_y\ln(q-r)&=&2\bigg(-I_2-\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(1)}} {\theta_1^{(1)}}+\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)} +\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg)^2\bigg) \nonumber\\ && +2\alpha_1\bigg(2\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg) +2\alpha_1\bigg)-4\alpha_2 =\Lambda_2, \end{eqnarray}

(4.20)

\begin{eqnarray} \partial_t\ln(q+r)&=&-\frac{2}{3}\bigg(I_1-\partial_x\ln \frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg)^3 +2\bigg(I_2+\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(1)}} {\theta_1^{(1)}}-\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)}\bigg) \nonumber\\ &&-\frac{4}{3}\bigg(I_3 -\frac{1}{4}\partial_t\ln\frac{\theta_1^{(1)}}{\theta_2^{(1)}} -\frac{1}{4}\partial_y^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)} +\frac{1}{4}\bigg(\partial_x\ln\theta_1^{(1)})^3+\frac{1}{4}(\partial_x\ln\theta_2^{(1)}\bigg)^3\bigg) \nonumber\\ && +2\alpha_1\bigg(I_2+\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(1)}} {\theta_1^{(1)}}-\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)} -\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg)^2\bigg) \nonumber\\ && +4(\alpha_2-\alpha_1^2)\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}}\bigg) -4\alpha_1^3+8\alpha_1\alpha_2-4\alpha_3=\Theta_3, \end{eqnarray}

(4.21)

\begin{eqnarray} \partial_t\ln(q-r)&=& \frac{2}{3}\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}} {\theta_2^{(2)}}\bigg)^3 -2\bigg(I_2+\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(2)}} {\theta_1^{(2)}}-\frac{1}{2}\partial_x^2 \ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)}\bigg) \nonumber\\ &&+\frac{4}{3}\bigg(I_3 -\frac{1}{4}\partial_t\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}} +\frac{1}{4}\partial_y^2\ln\theta_1^{(2)}\theta_2^{(2)} +\frac{1}{4} (\partial_x\ln\theta_1^{(2)})^3+\frac{1}{4} (\partial_x\ln\theta_2^{(2)})^3\bigg) \nonumber\\ &&+2\alpha_1\bigg(-I_2-\frac{1}{2}\partial_y\ln\frac{\theta_2^{(1)}} {\theta_1^{(1)}}+\frac{1}{2}\partial_x^2\ln\theta_1^{(1)}\theta_2^{(1)} +\bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_1^{(2)}}{\theta_2^{(2)}}\bigg)^2\bigg) \nonumber\\ && +4(-\alpha_2+\alpha_1^2) \bigg(I_1-\partial_x\ln\frac{\theta_2^{(1)}}{\theta_1^{(1)}}\bigg) +4\alpha_1^3-8\alpha_1\alpha_2+4\alpha_3=\Lambda_3. \end{eqnarray}

(4.22)

因此根据上面的方程,我们得到方程 (1.1) 的代数几何解

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} w=q =& \frac{1}{2}\bigg(c_1\exp\bigg(\int_{(0,0,0)}^{(x,y,t)}\Theta_1{\rm d}x +\Theta_2{\rm d}y+\Theta_3{\rm d}t\bigg)\\[4mm] & +c_2\exp\bigg(\int_{(0,0,0)}^{(x,y,t)}\Lambda_1{\rm d}x+\Lambda_2{\rm d}y+\Lambda_3 {\rm d}t\bigg)\bigg),\\ [4mm] v=r =& \frac{1}{2}\bigg(c_1\exp\bigg(\int_{(0,0,0)}^{(x,y,t)}\Theta_1{\rm d}x +\Theta_2{\rm d}y+\Theta_3{\rm d}t\bigg) \\[4mm] & -c_2\exp\bigg(\int_{(0,0,0)}^{(x,y,t)}\Lambda_1{\rm d}x+\Lambda_2 {\rm d}y+\Lambda_3{\rm d}t\bigg)\bigg), \end{array}\right. \end{equation}

(4.23)

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数.