本篇文章的主要目的是研究具有如下形式的重复齐次化算子 \begin{eqnarray*} L_{\varepsilon}=-{\rm div}(A(x/\varepsilon,x/\varepsilon^{2})\triangledown) =-\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{ij}(x/\varepsilon,x/\varepsilon^{2})\frac{\partial }{\partial x_{j}}),~~~~\varepsilon>0. \end{eqnarray*} 通篇文章,我们采用了求和约定. 我们假设矩阵 $A(y,z)=(a_{ij}(y,z))$ ($1\leq i,j\leq n$) 是实对称的并且满足椭圆性条件

\begin{equation}\label{1.1} \lambda | \xi| ^{2}\leq a_{ij}(y,z)\xi_{i}\xi_{j}\leq 1/\lambda | \xi| ^{2},~~~~\mbox{其中}~y,z\in R^{n},~~\xi=(\xi_{i})\in R^{n}, \end{equation}

(1.1)

这里的 $\lambda> 0$; 周期性条件

\begin{equation}\label{1.2} A(y+l,z+h)=A(y,z),~~~~~~~~\mbox{其中}~y,z\in R^{n},~~l,h\in Z^{n}. \end{equation}

(1.2)

同时,我们还提出光滑性条件

\begin{equation}\label{1.3} \| A(y,z)\| _{ C^{1,\alpha}(R^{n}\times R^{n})}\leq\Lambda,~~~\mbox{存在}~\alpha\in(0,1),~~\Lambda>0. \end{equation}

(1.3)

收敛性问题是齐次化理论当中的重要问题. 长久以来, 很多国内外学者对椭圆齐次化问题解的收敛性进行了大量的研究. 早期对其进行研究的是 Bensoussan、Lions 和 Papanicolaou^[1], 他们在所有函数都是光滑的前提条件下,得到了解在 $L^{\infty}$ 范数下的收敛性. 1987年,Avellaneda 和 Lin^[2] 用极值原理证明了解的 $L^{p}$ 收敛性. 同一年,他们^[3]还证明了当函数的正则性比 Bensoussan、 Lions 和 Papanicolaou^[1]所假设的条件差时,解的 $L^{\infty}$ 收敛率估计. 20世纪初, Griso^{[4, 5]}用周期展平的方法得到了区域内部解的收敛性估计. 2010年,Kenig、Lin 和 Shen^[6] 对具有 Dirichlet 或 Neumann 边界条件的 Lipschitz 区域进行了研究,他们得到了解在 $L^{2}$ 和 $H^{\frac{1}{2}}$ 范数下的收敛性. 最近,Kenig、Lin 和 Shen^[7] 通过算子的格林函数或纽曼函数的渐近性估计,得到了方程解的一些收敛率估计.

然而,关于重复齐次化问题解的收敛性结果并不多. 相对而言, 重复齐次化问题比齐次化问题更加难以处理,其主要原因在于: 重复齐次化问题需要同时考虑两个细胞问题,这就需要引入两个辅助函数, 这样一来就使得找到 $u_{\varepsilon}$ 和 $u_{0}$ 所共同满足的方程变的更加困难 (见 (2.14) 式). 2013年,作者^[8]证明了椭圆重复齐次化问题解在 $L^{p}$ 和 $L^{\infty}$ 范数下的收敛性. 当时,作者并未得出 $W^{1,p}_{0}$ 范数下的收敛性. 究其原因在于当我们估计解的导数的时候, 发现其边界值与 $\varepsilon$ 有关,这就产生了新的困难,所以 $W^{1,p}_{0}$ 范数下的收敛性比 $L^{p}$ 范数下的收敛性更加难以处理. 本篇文章, 我们通过引入边界纠正函数克服了此困难 (见 (2.10) 式).

本篇文章其余部分安排如下. 第二章包含了一些基本的公式和有用的命题, 它们对得到收敛性结果起了很重要的作用. 第三章,我们证明了在 Dirichlet 边界条件下,对任意的 $1<p<\infty$,解 $u_{\varepsilon}$ 在 $W^{1,p}_{0}$ 范数下收敛到其相应的齐次化问题的解 $u_{0}$. 证明所用到的主要技巧是利用算子格林函数的渐近性估计.

在这一章里,我们将给出一些基本的公式和有用的命题. 这些结果或多或少是已知的, 但为了文章的完整性,同时也为了方便读者,我们还是将其列举如下.

假设 $u_{\varepsilon}$ 是如下椭圆方程 Dirichlet 边值问题的解

\begin{equation}\label{0000} \begin{array}{rl} \displaystyle L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) =-\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{ij}(x/\varepsilon,x/\varepsilon^{2})\frac{\partial u_{\varepsilon} }{\partial x_{j}}) &=f(x),~~~~~~\Omega,\\ \displaystyle u_{\varepsilon}&=0,~~~~~~~~~\partial\Omega, \end{array} \end{equation}

(2.1)

其中 $\Omega$ 是 $R^{n}$ 中有界的 $C^{2,\beta}$ 区域 ($0<\beta<1$). 与问题 (2.1) 相对应的齐次化问题是 \begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \displaystyle L_{0}(u_{0}) =-q_{ij}\frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}&=f(x),~~~~\Omega,\\ \displaystyle u_{0}&=0,~~~~~~~\partial\Omega, \end{array} \end{eqnarray*} 这里的 $ L_{0}$ 是常系数算子,通常称其为齐次化算子. 常数矩阵 $q_{ij}$ 由下式给出

\begin{eqnarray}\label{Equ5} \displaystyle q_{ij}&=& \int\!\!\!\int_{Y\times Z} \displaystyle\bigg[a_{ij}(y,z)-a_{ik}(y,z)\frac{\partial \chi^{j}_{y}(z)}{\partial z_{k}}\nonumber\\ &&\displaystyle-a_{ik}(y,z)\frac{\partial \chi^{j}(y)}{\partial y_{k}}+a_{ik}(y,z)\frac{\partial \chi^{l}_{y}(z)}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}(y)}{\partial y_{l}}\bigg]{\rm d}y{\rm d}z, \end{eqnarray}

(2.2)

其中 $Y=Z=[0,1)^{n}\simeq R^{n}/Z^{n}$. 函数 $\chi(y)=(\chi^{j}(y))$ 和 $\chi_{y}(z)=(\chi^{j}_{y}(z))$ 的定义由以下两个细胞问题给出,

\begin{equation}\label{j1} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle-\frac{\partial}{\partial z_{i}}\bigg[a_{ik}(y,z) \frac{\partial \chi^{j}_{y}(z)}{\partial z_{k}}-a_{ij}(y,z)\bigg]=0,~~~~~~Z,\\ [3mm] \chi^{j}_{y}(z+h)=\chi^{j}_{y}(z),~~~~~~\mbox{其中}~z\in R^{n},~~h\in Z^{n},\\[3mm] \displaystyle\int_{Z}\chi^{j}_{y}(z){\rm d}z=0, \end{array} \right. \end{equation}

(2.3)

和

\begin{equation}\label{j2} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle-\frac{\partial}{\partial y_{i}} \bigg[\int _{Z}(a_{il}(y,z)-a_{ik}(y,z) \frac{\partial \chi^{l}_{y}(z)}{\partial z_{k}}){\rm d}z(\frac{\partial \chi^{j}(y)}{\partial y_{l}}-\delta^{j}_{l})\bigg] =0,~~~~~~Y,\\[3mm] \chi^{j}(y+l)=\chi^{j}(y),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mbox{其中}~y\in R^{n},~~l\in Z^{n},\\ [2mm] \displaystyle\int_{Y}\chi^{j}(y){\rm d}y=0. \end{array} \right. \end{equation}

(2.4)

这里的 $1\leq j\leq n$. 函数 $\delta^{j}_{l}$ 定义为: 如果 $l=j$ 那么 $\delta^{j}_{l}=1$; 如果 $l\neq j$ 那么 $\delta^{j}_{l}=0$.

接下来,我们假设 $G_{\varepsilon}(x,y)$ 表示算子 $L_{\varepsilon}$ 在有界区域 $\Omega$ 上的格林函数. 由文献 ^[3] 可知,如果区域 $\Omega$ 是有界的 $C^{1,\eta}$ 区域 ($0<\eta<1$),那么对任意的 $x,y\in \Omega$,我们有以下估计式成立

\begin{eqnarray}\label{Equ10} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle| G_{\varepsilon}(x,y)| \leq \frac{C}{| x-y| ^{n-2}},\\[3mm] \displaystyle| \triangledown_{x} G_{\varepsilon}(x,y)| \leq \min\bigg\{\frac{C}{| x-y| ^{n-1}},\frac{C \delta(y)}{| x-y| ^{n}}\bigg\},\\[3mm] \displaystyle| \triangledown_{y} G_{\varepsilon}(x,y)| \leq \min\bigg\{\frac{C}{| x-y| ^{n-1}},\frac{C \delta(x)}{| x-y| ^{n}}\bigg\},\\[3mm] \displaystyle| \triangledown_{x}\triangledown_{y}G_{\varepsilon}(x,y)| \leq \frac{C}{| x-y| ^{n}}, \end{array} \right. \end{eqnarray}

(2.5)

其中 $\delta(x)$ 表示 $x$ 到 $\partial\Omega$ 的距离,常数 $C$ 仅依赖于参数 $n$、$\lambda$、$\Lambda$、$\alpha$ 和区域 $\Omega$.

假设 $G_{0}(x,y)$ 表示算子 $L_{0}$ 在有界区域 $\Omega$ 上的格林函数. 由文献 ^[8] 中的定理 3.3 可知,对任意的 $x,y\in \Omega$,我们有估计

\begin{equation}\label{e11} | G_{\varepsilon}(x,y)-G_{0}(x,y)| \leq \frac{C\varepsilon}{| x-y| ^{n-1}}, \end{equation}

(2.6)

这里的常数 $C$ 仅依赖于参数 $n$、$\lambda$、$\Lambda$、$\alpha$ 和区域 $\Omega$.

2012年,Kenig、Lin 和 Shen^[6]证明了下面一个命题.

命题2.1 假设 $F_{ij}(y)\in L^{2}(Y)$,其中 $1\leq i,j\leq n$. 如果其满足 $\int_{Y}F_{ij}(y){\rm d}y=0$ 和 $\frac{\partial}{\partial y_{i}}(F_{ij}(y))=0$, 那么存在 $\Phi_{kij}\in H^{1}(Y)$,使得 $ F_{ij}=\frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}$ 并且有 $\Phi_{kij}=-\Phi_{ikj}$.

由上述命题,我们可以得到下述对本文更加有用的命题.

命题2.2 假设 $F_{ij}(y,z)\in L^{2}(Y\times Z)$,其中 $1\leq i,j\leq n$. 如果其满足 $\int\!\!\int_{Y\times Z} F_{ij}(y,z){\rm d}y{\rm d}z=0$,$ \frac{\partial}{\partial y_{i}}(\int_{Z}F_{ij}{\rm d}z)=0$ 和 $ \frac{\partial}{\partial z_{i}}(F_{ij})=0$,那么存在 $\Psi_{kij}\in H^{1}(Z)$ 和 $\Phi_{kij}\in H^{1}(Y)$,使得 $$ F_{ij}=\frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}+\frac{\partial \Psi_{kij} }{\partial z_{k}}~~~~\mbox{并且有}~~~~\Psi_{kij}=-\Psi_{ikj},~\Phi_{kij}=-\Phi_{ikj} . $$

证 由假设条件易知 $\int_{Z}(F_{ij}-\frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}){\rm d}z=0$,再由命题 2.1 可得一定存在 $\Phi_{kij}$, 满足 $\int_{Z}F_{ij}{\rm d}z=\frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}$ 和 $\Phi_{kij}=-\Phi_{ikj}$. 如果令 $ W_{ij}=F_{ij}-\frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}$,就可以得到 $\int_{Z}W_{ij}{\rm d}z=0$ 和 $\frac{\partial}{\partial z_{i}}(W_{ij})=0$. 再一次利用命题 2.1 可得,存在 $\Psi_{kij}$ 满足 $ W_{ij}=\frac{\partial \Psi_{kij} }{\partial z_{k}}$ 和 $\Psi_{kij}=-\Psi_{ikj}$. 因此我们有 $$ F_{ij}=\frac{\partial \Phi_{kij} }{\partial y_{k}}+\frac{\partial \Psi_{kij} }{\partial z_{k}}, $$ 其中 $\Phi_{kij},\Psi_{kij}$ 分别满足 $\Phi_{kij}=-\Phi_{ikj}$ 和 $\Psi_{kij}=-\Psi_{ikj}$. 命题证毕.

注2.1 如果令

\begin{eqnarray}\label{Equ14} \displaystyle B_{ij}(y,z)&=&\displaystyle q_{ij}-a_{ij}(y,z)+a_{ik}(y,z)\frac{\partial \chi^{j}_{y}(z)}{\partial z_{k}}\nonumber\\ &&\displaystyle+a_{ik}(y,z)\frac{\partial \chi^{j}(y)}{\partial y_{k}}-a_{ik}(y,z)\frac{\partial \chi^{l}_{y}(z)}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}(y)}{\partial y_{l}}. \end{eqnarray}

(2.7)

那么由 (2.3) 和 (2.4) 式,可得其满足如下性质: $ \int\!\!\int _ {Y\times Z}B_{ij}(y,z){\rm d}y{\rm d}z=0$,$\frac{\partial}{\partial y_{i}}(\int_{Z}B_{ij}{\rm d}z)=0$ 和 $\frac{\partial}{\partial z_{i}}(B_{ij})=0$. 再由命题 2.2 可知存在 $\Phi_{kij}(y)$ 和 $\Psi_{kij}(z)$,满足 $\Phi_{kij}=-\Phi_{ikj}$,$\Psi_{kij}=-\Psi_{ikj}$ 和

\begin{equation}\label{Equ12} B_{ij}(y,z)=\frac{\partial \Phi_{kij}(y)}{{\partial y_{k}}}+\frac{\partial \Psi_{kij}(z)}{\partial z_{k}}. \end{equation}

(2.8)

注2.2 由 (1.3)、(2.3) 和 (2.4) 式,可得 $\triangledown \chi(y)\in C^{1,\alpha}(Y)$ 并且 $\triangledown\chi_{y}(z)\in C^{1,\alpha}(Z)$ (参见文献 [9,定理 8.14]). 这就推出了 $\triangledown \Phi(y)\in C^{1,\alpha}(Y)$ 和 $\triangledown \Psi(z)\in C^{1,\alpha}(Z)$. 特别的,我们有

\begin{equation}\label{Equ7} \|\chi^{j}(y)\|_{W^{2,\infty}(Y)}+\|\chi^{j}_{y}(z)\|_{W^{1,\infty}(Z)}+ \|\Phi_{kij}(y)\|_{L^{\infty}(Y)}+\|\Psi_{kij}(z)\|_{L^{\infty}(Z)}\leq C, \end{equation}

(2.9)

这里的常数 $C$ 仅依赖于参数 $\Lambda$、$n$、$\alpha$、$\lambda$.

为了克服边界项所产生的困难,我们引入边界纠正函数 $\Gamma_{\varepsilon}^{j}$,其定义如下

\begin{equation}\label{000} \begin{array}{rl} \displaystyle L_{\varepsilon}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}) &=0,~~~~~~~~\Omega,\\ \displaystyle \Gamma_{\varepsilon}^{j}&=-P^{j},~~~\partial\Omega, \end{array} \end{equation}

(2.10)

这里的 $P^{j}=(0,\cdots,x_{j},\cdots,0)$.

下面一个命题提供了本文所需要的纠正函数 $\Gamma_{\varepsilon}^{j}$ 的一个性质.

命题2.3 如果函数 $\Gamma_{\varepsilon}^{j}$ 由问题 (2.10) 给出. 则对任意的 $x\in\Omega$,有下述估计

\begin{eqnarray}\label{Equ100} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle| \triangledown\Gamma_{\varepsilon}^{j}| \leq C,\\ \displaystyle| \Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j}| \leq C\varepsilon,\\[2mm] \displaystyle\bigg| \triangledown(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j} -\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y}-\varepsilon\chi^{j}+\varepsilon^{2}\chi^{l}_{y} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}})\bigg| \leq C\min\bigg\{{1,\frac{\varepsilon}{\delta(x)}}\bigg\}, \end{array} \right. \end{eqnarray}

(2.11)

这里的常数 $C$ 不依赖于 $\varepsilon$.

证 第一个估计式可以由文献 ^[3] 中的定理 2 得到. 下面来证明第二个估计式. 假设

\begin{equation}\label{e1} V_{\varepsilon}=\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j} -\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y}-\varepsilon\chi^{j}+\varepsilon^{2}\chi^{l}_{y}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}}. \end{equation}

(2.12)

鉴于 (2.7) 式和 $\frac{\partial}{\partial z_{i}}(B_{ij})=0$,可得

\begin{equation}\label{j3} \begin{array}{rl} \displaystyle L_{\varepsilon}(V_{\varepsilon}) &=\displaystyle-\varepsilon\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{ik}\chi^{l}_{y}\frac{\partial^{2}\chi^{j}}{\partial y_{l}\partial y_{k}}),~~~~~~~~~\Omega,\\ [3mm] \displaystyle V_{\varepsilon}&=\displaystyle-\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y}-\varepsilon\chi^{j}+\varepsilon^{2}\chi^{l}_{y}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}},~~~~\partial\Omega. \end{array} \end{equation}

(2.13)

令 $V_{\varepsilon}=V_{\varepsilon}^{(1)}+V_{\varepsilon}^{(2)}$,其中 $V_{\varepsilon}^{(1)}$ 和 $V_{\varepsilon}^{(2)}$ 分别满足 \begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \displaystyle L_{\varepsilon}(V_{\varepsilon}^{(1)}) &=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Omega,\\[2mm] \displaystyle V_{\varepsilon}^{(1)}&=\displaystyle-\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y}-\varepsilon\chi^{j}+\varepsilon^{2}\chi^{l}_{y}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}},~~~\partial\Omega, \end{array} \end{eqnarray*} 和 \begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \displaystyle L_{\varepsilon}(V_{\varepsilon}^{(2)}) &=\displaystyle-\varepsilon\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{ik}\chi^{l}_{y}\frac{\partial^{2}\chi^{j}}{\partial y_{l}\partial y_{k}}),~~~~~~~~\Omega,\\ [2mm] \displaystyle V_{\varepsilon}^{(2)}&=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\partial\Omega. \end{array} \end{eqnarray*} 再利用极值原理和 (2.9) 式,就可以得到 $| V_{\varepsilon}^{(1)}(x)| \leq C\varepsilon$. 接下来估计 $V_{\varepsilon}^{(2)}$. 由解的格林函数表示,可知 $$ V_{\varepsilon}^{(2)}(x)=\int_{\Omega}G_{\varepsilon}(x,y)L_{\varepsilon}V_{\varepsilon}(y){\rm d}y. $$ 由 (2.5) 和 (2.9) 式可以推得 $$ | V_{\varepsilon}^{(2)}(x)| \leq C\varepsilon\int_{\Omega}| \triangledown_{y} G_{\varepsilon}(x,y)| {\rm d}y\leq C\varepsilon, $$ 结合 $V_{\varepsilon}^{(1)}$ 和 $V_{\varepsilon}^{(2)}$ 的估计, 就得到了 $| V_{\varepsilon}| \leq C\varepsilon$. 注意到 (2.12) 和 (2.9) 式, 第二个估计式成立.

最后一个估计式可以由文献 ^[3] 中的命题 9 和 (2.13) 式得到. 命题证毕.

命题2.4 假设 $u_{\varepsilon}\in H^{1}(\Omega)$,$u_{0}\in H^{2}(\Omega)$, 并且在 $\Omega$ 上有 $L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=L_{0}(u_{0})$. 如果令 $$ \omega_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}-u_{0}+(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}, $$ 则有

\begin{eqnarray} \label{Equ13} \displaystyle L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon}) &=&\displaystyle\varepsilon\frac{\partial}{\partial x_{i}} \bigg[(\Phi_{kij}+\varepsilon \Psi_{kij}) \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}\bigg] -\frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigg[a_{ik}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j}) \frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}\bigg] \nonumber\\ &&+\displaystyle a_{ik}\bigg[\frac{\partial}{\partial x_{k}} (\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y}+\varepsilon\chi^{j}-\Gamma_{\varepsilon}^{j}-P^{j}) -\frac{\partial \chi^{l}_{y}}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}}\bigg] \frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}. \end{eqnarray}

(2.14)

证 注意到 $$ \displaystyle a_{ij}\frac{\partial\omega_{\varepsilon}}{\partial x_{j}}= \displaystyle a_{ij}\frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x_{j}}- a_{ij}\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}+a_{ik}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}+a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}, $$ 结合条件 $L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=L_{0}(u_{0})$,可得 \begin{eqnarray*} L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon})&=&\displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}} \bigg[(q_{ij}-a_{ij}) \frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg]-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigg[a_{ik} (\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}\bigg] \\ && -\frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigg[a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}} (\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg]. \end{eqnarray*} 简单计算可以得到 \begin{eqnarray*} \displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}} \bigg[a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}} (\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg] &=&\displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}} \bigg[a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}} (\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\bigg]\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}} -a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j}) \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ &=& \displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}}(a_{ik})\frac{\partial u_{0}} {\partial x_{j}}-a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j} +P^{j})\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ &=& \displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigg(a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}_{y}}{\partial z_{k}}+a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{k}} -a_{ik}\frac{\partial \chi^{l}_{y}}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}} {\partial y_{l}}\bigg)\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\\ && \displaystyle-a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j} +P^{j})\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ &=& \displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigg[(a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}_{y}} {\partial z_{k}}+a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{k}}-a_{ik} \frac{\partial \chi^{l}_{y}}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}}) \frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg]\\ && \displaystyle+\bigg(a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}_{y}}{\partial z_{k}}+a_{ik} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{k}}-a_{ik}\frac{\partial \chi^{l}_{y}} {\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}}\bigg) \frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ && \displaystyle-a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j}) \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}. \end{eqnarray*} 结合 (2.7) 和 (2.8) 式,就有 \begin{eqnarray*} \displaystyle L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon})&= &\displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}} (B_{ij}\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}})-\frac{\partial}{\partial x_{i}} \bigg[a_{ik}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial^{2}u_{0}} {\partial x_{k}\partial x_{j}}\bigg]-a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}} (\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\\ &&\displaystyle+\bigg(a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}_{y}}{\partial z_{k}} +a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{k}}-a_{ik}\frac{\partial \chi^{l}_{y}}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}}\bigg) \frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\\ &=&\displaystyle-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigg[(\varepsilon\frac{\partial \Phi_{kij}}{{\partial x_{k}}}+\varepsilon^{2}\frac{\partial \Psi_{kij}} {\partial x_{k}})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}} \bigg]-\frac{\partial} {\partial x_{i}}\bigg[a_{ik}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j}) \frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}\bigg]\\ &&\displaystyle-a_{ik}\frac{\partial}{\partial x_{k}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j}) \frac{\partial^{2} u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}+\bigg(a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}_{y}}{\partial z_{k}}+a_{ik}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{k}} -a_{ik}\frac{\partial \chi^{l}_{y}}{\partial z_{k}}\frac{\partial \chi^{j}} {\partial y_{l}}\bigg)\frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}. \end{eqnarray*} 最后利用函数 $\Phi_{kij}$ 和 $\Psi_{kij}$ 的反对称性, 我们就得到理想的式子 (2.14). 命题得证.

在本章中,我们将建立解的 $W^{1,p}_{0}$ 收敛率估计. 首先,我们打算先得到解的导数的局部 $L^{\infty}$ 估计, 然后推算出格林函数导数的渐近性估计,最后通过解的格林函数表示,得到对任意的 $1<p<\infty$,$\| u_{\varepsilon}-u_{0}+(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\| _{W^{1,p}_{0}(\Omega)}$ 的收敛率估计.

本文的其余部分,我们令 $$ D_{r}\doteq D_{r}(x_{0})=B_{r}(x_{0})\cap \Omega~~~~\mbox{和}~~~~\Upsilon_{r}\doteq\Upsilon _{r}(x_{0})=B_{r}(x_{0})\cap \partial\Omega. $$ 易知,存在 $x_{0}\in\overline{\Omega}$ 使得上式有意义. 其中 $B_{r}(x_{0})$ 是一个半径为 $r$ 球心在 $x_{0}$ 点的开球. 在本章,我们假设 $\Omega$ 是一个有界的 $C^{2,\beta}$ 区域,其中 $0<\beta<1$.

首先,我们将建立解的导数的局部 $L^{\infty}$ 估计.

引理3.1 假设 $u_{\varepsilon}\in H^{1}(D_{4r})$ 并且 $u_{0}\in C^{2,\gamma}(D_{4r})$,其中 $0<\gamma<\beta$. 如果有 $$ L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=L_{0}(u_{0}),~~~D_{4r}~~~~\mbox{和}~~~~u_{\varepsilon}=u_{0},~~~\Upsilon_{4r}, $$ 那么以下估计式成立

\begin{eqnarray} \label{3.1} \bigg\| \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x_{i}} -\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}) \cdot\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg\| _{L^{\infty}(D_{r})} &\leq& C\varepsilon r^{-1}\| \triangledown u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4r})} +C\varepsilon r^{\gamma}\| \triangledown^{2} u_{0}\| _{C^{0,\gamma}(D_{4r})} \nonumber\\ && +Cr^{-1}\| u_{\varepsilon}-u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4r})} +C\varepsilon^{1-\gamma}r^{\gamma}\| \triangledown^{2} u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4r})}, \end{eqnarray}

(3.1)

这里的常数 $C$ 仅依赖于参数 $\Lambda$、$n$、$q$、$\alpha$ 和 $\lambda$.

证 注意到,如果 $u_{\varepsilon}$ 满足方程 $L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=f$,那么就有 $L_{\varepsilon/ r}(v)=\widetilde{f}$, 这里的 $v(x)=r^{-2}u_{\varepsilon}(rx)$,$\widetilde{f}=f(rx)$. 因此通过尺度变换我们只需证明 $r=1$ 的情况. 考虑 \begin{eqnarray*} \omega_{\varepsilon}=u_{\varepsilon}-u_{0}+(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\doteq \omega_{\varepsilon}^{(1)}+\omega_{\varepsilon}^{(2)},~~~~D_{2}, \end{eqnarray*} 其中 $\omega_{\varepsilon}^{(1)}$、$\omega_{\varepsilon}^{(2)}$ 分别满足

\begin{equation}\label{12} L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon}^{(1)})=L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon}),~ ~~D_{2}~~~~\mbox{和}~~~~\omega_{\varepsilon}^{(1)}=0,~~~\partial D_{2}, \end{equation}

(3.2)

\begin{equation} L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon}^{(2)})= 0,~~~~~~~D_{2}~~~~\mbox{和}~~~~\omega_{\varepsilon}^{(2)}=\omega_{\varepsilon},~~\partial D_{2}. \end{equation}

(3.3)

注意到在 $\Upsilon_{2}$ 上有 $\omega_{\varepsilon}^{(2)}=\omega_{\varepsilon}=0$, 则由文献 ^[3] 中的引理 20 可得 \begin{eqnarray*} \displaystyle\| \triangledown\omega_{\varepsilon}^{(2)}\| _{L^{\infty}(D_{1})} &\displaystyle\leq& C\| \omega_{\varepsilon}^{(2)}\| _{L^{\infty}(D_{2})}\\ &\displaystyle\leq &C\varepsilon\| \triangledown u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{3})} +C\| \triangledown\omega^{(1)}_{\varepsilon}\| _{L^{\infty}(D_{2})}+C\| u_{\varepsilon}-u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{3})}, \end{eqnarray*} 这里我们用到了 (2.11) 式和 Poincar\'{e} 不等式.

如果令 $$ S_{i}=[(\varepsilon\Phi_{kij}+\varepsilon^{2}\Psi_{kij})- a_{ik}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})]\frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}, $$ 很容易得出估计式 $$ \displaystyle \| S\| _{L^{\infty}(D_{2})}\leq C\varepsilon\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{2})}, $$ $$ \displaystyle | S(x)-S(y)| \leq C| x-y| ^{\gamma}(\varepsilon\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{C^{0,\gamma}(D_{4})}+\varepsilon^{1-2\gamma}\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})}). $$

接下来,我们利用解的格林函数表示和命题 2.4 来估计 $\| \triangledown\omega_{\varepsilon}^{(1)}\| _{L^{\infty}(D_{2})}$. 注意到 \begin{eqnarray*} \displaystyle\omega_{\varepsilon}^{(1)}(x)&=&\displaystyle \int_{D_{2}}\widehat{G}_{\varepsilon}(x,y)L_{\varepsilon}(\omega_{\varepsilon})(y){\rm d}y\\ &=&\displaystyle -\int_{D_{2}}\frac{\partial}{\partial y_{i}}(\widehat{G}_{\varepsilon}(x,y))\cdot(S(y)-S(x)){\rm d}y\\ && +\int_{D_{2}}\widehat{G}_{\varepsilon}(x,y)a_{ik} \bigg[\frac{\partial}{\partial y_{k}}(\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y} +\varepsilon\chi^{j}-\Gamma_{\varepsilon}^{j}-P^{j})-\varepsilon^{3} \frac{\partial \chi^{l}_{y}}{\partial y_{k}}\frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}}\bigg] \frac{\partial^{2}u_{0}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}{\rm d}y, \end{eqnarray*} 其中 $\widehat{G}_{\varepsilon}(x,y)$ 表示算子 $L_{\varepsilon}$ 在 $D_{2}$ 上的格林函数.

直接计算就有 \begin{eqnarray*} &&\displaystyle| \triangledown\omega_{\varepsilon}^{(1)}(x)| \\ \displaystyle &\leq& C \int_{D_{2}}| \triangledown_{y}\triangledown_{x} \widehat{G}_{\varepsilon}(x,y)| | S(x)-S(y)|{\rm d}y\\ &&\displaystyle+C\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})} \int_{D_{2}}| \triangledown_{x} \widehat{G}_{\varepsilon}(x,y)| \bigg| \triangledown_{y}(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j} -\varepsilon^{2}\chi^{j}_{y}-\varepsilon\chi^{j}+\varepsilon^{2}\chi^{l}_{y} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{l}})\bigg| {\rm d}y\\ &&\displaystyle+ C\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})} \int_{D_{2}}| \triangledown_{x} \widehat{G}_{\varepsilon}(x,y)| | \varepsilon\chi_{y}\triangledown^{2}_{y}\chi^{j}| {\rm d}y\\ &\leq&\displaystyle C\varepsilon\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})}\int_{D_{2}\setminus B_{\varepsilon}(x)}\frac{{\rm d}y}{| x-y| ^{n}}\\ &&+\displaystyle C(\varepsilon\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{C^{0,\gamma}(D_{4})}+\varepsilon^{1-2\gamma}\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})})\int_{D_{2}\bigcap B_{\varepsilon}(x)}\frac{{\rm d}y}{| x-y| ^{n-\gamma}}\\ &&+\displaystyle C\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})} \bigg(\varepsilon \int_{D_{2}\setminus B_{\varepsilon}(x)}\frac{{\rm d}y}{| x-y| ^{n}} +\int_{D_{2}\bigcap B_{\varepsilon}(x)} \frac{{\rm d}y}{| x-y| ^{n-1}}\bigg)\\ &&+\displaystyle C\varepsilon\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})} \int_{D_{2}}\frac{{\rm d}y}{| x-y| ^{n-1}}\\ &\leq&\displaystyle C\varepsilon^{1+\gamma}\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{C^{0,\gamma}(D_{4})}+ C\varepsilon^{1-\gamma}\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4})}, \end{eqnarray*} 这里我们用到了 (2.5) 和 (2.11) 式. 引理证毕.

由上述命题,我们就得到了格林函数导数的收敛率估计.

定理3.1 假设 $G_{\varepsilon}(x,y)$ 和 $G_{0}(x,y)$ 分别表示算子 $L_{\varepsilon}$ 和 $L_{0}$ 在 $\Omega$ 上的格林函数,$\Omega$ 是一有界的 $C^{2,\beta}$ 区域,其中 $0<\beta<1$,函数 $f\in L^{2}(\Omega)$. 如果 $u_{\varepsilon}$ 满足 $$ L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=f,~~~\Omega~~~~\mbox{和}~~~~u_{\varepsilon}=0,~~~\partial\Omega. $$ 那么对任意的 $x,y\in\Omega$,有

\begin{equation}\label{3.12} \bigg| \frac{\partial}{\partial x_{i}}G_{\varepsilon}(x,y)-\frac{\partial} {\partial x_{i}}\Gamma_{\varepsilon}^{j}(x)\frac{\partial}{\partial x_{j}}G_{0}(x,y)\bigg| \leq \frac{C\varepsilon^{1-\gamma}}{| x-y| ^{n-\gamma}}, \end{equation}

(3.4)

这里 $0<\gamma<\beta$,常数 $C$ 仅依赖于参数 $n$、$\Lambda$、$\lambda$ 和 $\Omega$.

证 注意到 (2.5) 和 (2.11) 式,因此我们只需证明 $\varepsilon\leq r$ 的情形. 首先固定 $x_{0},y_{0}\in\Omega$ 并令 $r=| x_{0}-y_{0}| /10$. 不妨假设 $f\in C_{0}^{\infty}(D_{r}(y_{0}))$. 此时,如果令 $u_{\varepsilon}=G_{\varepsilon}(x_{0},y)$,$u_{0}=G_{0}(x_{0},y)$,就有 $$ L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=L_{0}(u_{0})=0,~~~~D_{4r}~~~~\mbox{和} ~~~~u_{\varepsilon}=u_{0}=0,~~~~\Upsilon_{4r}. $$

考虑到已知估计 $\| \triangledown u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4r})}\leq Cr^{1-n}$, $\| \triangledown^{2} u_{0}\| _{L^{\infty}(D_{4r})}\leq Cr^{-n}$ 和 $\| \triangledown u_{0}\| _{C^{0,\gamma}(D_{4r})}\leq Cr^{-n-\gamma}$, 再结合引理 3.1 和 (2.6) 式,我们就得到了所要的结论. 定理证毕.

最后,我们用上述定理来估计 $\| u_{\varepsilon}-u_{0}+(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\| _{W^{1,p}_{0}(\Omega)}$ 的误差.

定理3.2 假设 $u_{\varepsilon}\in W^{1,p}(\Omega)$,$f\in L^{p}(\Omega)$ 对任意的 $1<p<\infty$ 成立, $\Omega$ 是一有界的 $C^{2,\beta}$ 区域,其中 $0<\beta<1$. 如果 $u_{\varepsilon}$ 是以下 Dirichlet 问题的解 $$ L_{\varepsilon}(u_{\varepsilon})=f,~~~\Omega~~~~\mbox{和}~~~~u_{\varepsilon}=0,~~~\partial\Omega. $$ 则有估计式

\begin{equation}\label{1111} \bigg\| u_{\varepsilon}-u_{0}+(\Gamma_{\varepsilon}^{j}+P^{j})\frac{\partial u_{0}} {\partial x_{j}}\bigg\| _{W^{1,p}_{0}(\Omega)}\leq C\varepsilon^{1-\gamma}\| f\| _{L^{p}(\Omega)} \end{equation}

(3.5)

成立,这里 $0<\gamma<\beta$,常数 $C$ 仅依赖于参数 $n$、$p$、$\alpha$、$\Lambda$、$\lambda$ 和区域 $\Omega$.

证 由 Poincar\'{e} 不等式和 (2.11) 式,我们只需证明对任意的 $1<p<\infty$,都有

\begin{equation}\label{123} \bigg\| \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x_{i}} +\frac{\partial}{\partial x_{i}}\Gamma_{\varepsilon}^{j}\cdot \frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg\| _{L^{p}(\Omega)} \leq C\varepsilon^{1-\gamma}\| f\| _{L^{p}(\Omega)}. \end{equation}

(3.6)

然后再结合已知不等式 $\| \triangledown^{2}u_{0}\| _{L^{p}(\Omega)}\leq C\| f\| _{L^{p}(\Omega)}$ ($1<p<\infty$),就可以得到 (3.5) 式.

由定理 3.1 和解的格林函数表示,可得 $$ \bigg| \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x_{i}} +\frac{\partial}{\partial x_{i}}\Gamma_{\varepsilon}^{j}\cdot \frac{\partial u_{0}}{\partial x_{j}}\bigg| \displaystyle\leq C\int_{\Omega}P_{\varepsilon}(x,y)| f(y)|{\rm d}y, $$ 其中 $$ \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle P_{\varepsilon}(x,y)=| x-y| ^{1-n}, &\mbox{如果}~~y\in\Omega\cap B_{\varepsilon}(x),\\[3pt] \displaystyle P_{\varepsilon}(x,y)=\varepsilon^{1-\gamma}| x-y| ^{\gamma-n},~~ &\mbox{如果}~~y\in\Omega\backslash B_{\varepsilon}(x). \end{array} \right. $$

注意到 $$ \displaystyle\int_{\Omega} P_{\varepsilon}(x,y){\rm d}y\leq C\varepsilon^{1-\gamma}. $$ 这就证明了当 $p=1$ 或 $p=\infty$ 时,(3.6) 式成立. 最后由文献^[10] 中的 Riesz-Thorin 内插定理,就得到理想的结果. 定理得证.