首先,我们引进入众所周知的凸函数的定义.

定义1.1 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}=(-\infty,+\infty)\to{\Bbb R}$, 若对任意的$x,y\in I$和任意的$\lambda\in^{[0, 1]}$,有

设$f:[a,b]\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为$[a,b]$上的凸函数, 则Hermite-Hadamard型积分不等式为

文献^[8]中引入了$s$ -凸函数的概念.

定义1.2^[8] 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}_0=[0,+\infty)\to{\Bbb R}$,$s\in(0,1]$,若对任意的$x,y\in I$和任意的$\lambda\in^{[0, 1]}$,有

关于上述两类凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式,有如下一些结果.

定理1.1^[6] 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$在$I^\circ$内可微,$a,b\in I^\circ$,且$a<b$.

(1)~ 若$| f'|$为区间$[a,b]$上的凸函数,则

(2)~ 若$| f'| ^{p/(p-1)}$为区间$[a,b]$上的凸函数,$p>1$,则

定理1.2^[11] 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$在$I^\circ$内可微,$a,b\in I^\circ$, 且$a<b$. 若$|f'|^{q}$为区间$[a,b]$ 上的凸函数,则

定理1.3^[10] 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$,且$a<b$. 若$| f'| ^{p/(p-1)}$为区间 $[a,b]$上的凸函数,$p>1$,则

定理1.4^[14] 函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$, 且$a<b$.%,$f'\in L_1([a,b])$. 若$|f'|^q$ 为区间$[a,b]$上的凸函数,$q\ge1$,则

定理1.5^[1] 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}_0\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$满足$a<b$, $s\in(0,1]$,且$f'\in L_1([a,b])$.

(1)~ 若$|f'|^{p/(p-1)}$为$[a,b]$上的$s$ -凸函数,则

(2)~ 若$|f'|^q$为$[a,b]$上的$s$ -凸函数,$q\ge1$,则

最近几年,众多文献研究了其它类型的凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式, 如见文献^{[2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27]}.

本文将定义``$s$ -对数凸函数'',并建立$s$ -对数凸函数的若干个Hermite-Hadamard型积分不等式. 作为应用给出平均数的几个不等式.

下面,我们回忆熟知的对数凸函数的定义.

定义2.1 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}_+=(0,\infty)$,若对任意的$x,y\in I$和任意的$\lambda\in^{[0, 1]}$,有

结合定义1.2和2.1,我们引入一类新的凸函数: $s$ -对数凸函数.

定义2.2 设$s\in(0,1]$,函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}_+$,若对任意的$x,y\in I$和任意的$\lambda\in^{[0, 1]}$,有

特别,若$s=1$,则$s$ -对数凸函数就是定义2.1所定义的对数凸函数.

注2.1 设$s\in(0,1]$,函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}_+$为$I$上的$s$ -对数凸函数,则

(1)~ 函数$\ln f$为$I$上的$s$ -凸函数;

(2)~ 若$s\in(0,1)$,那么对任意的$x\in I$,有$f(x)\ge 1$.

实际上,对任意的$x,y\in I$和任意的$\lambda\in[0,1]$,有 $$\ln f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda^s\ln f(x)+(1-\lambda)^s\ln f(y)$$ 且特别取$y=x,\lambda=\frac{1}{2}$时,有$\ln f(x)\le2^{1-s}\ln f(x).$

为了建立$s$ -对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式,我们给出如下的积分等式.

引理3.1 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$,且$a<b$. 若$f'\in L_1([a,b])$,则

证 运用分部积分法以及变量替换,可得 $$\begin{eqnarray*} &&\int_0^1\biggl[(1+t)f'\biggl(\frac{1+t}{2}a+\frac{1-t}{2}b\biggr) +tf'\biggl(\frac{t}2a+\frac{2-t}{2}b\biggr)\biggr]{\rm d}t\\ &=&\frac2{b-a}\biggl[f\biggl(\frac{a+b}2\biggr)-2f(a)-\frac2{b-a}\int_{(a+b)/2}^af(x){\rm d} x\\ &&-\frac2{b-a}\int_b^{(a+b)/2}f(x){\rm d}x-f\biggl(\frac{a+b}2\biggr)\biggr] \\ &=&\frac4{b-a}\biggl[\frac1{b-a}\int_a^bf(x){\rm d}x-f(a)\biggr]. \end{eqnarray*}$$

同理,可得 $$\begin{eqnarray*} &&\int_0^1\biggl[(1-t)f'\biggl(\frac{1+t}{2}a+\frac{1-t}{2}b\biggr) +(2-t)f'\biggl(\frac{t}2a+\frac{2-t}{2}b\biggr)\biggr]{\rm d}t\\ &=&\frac4{b-a}\biggl[f(b)-\frac1{b-a}\int_a^bf(x){\rm d}x\biggr]. \end{eqnarray*}$$ 故引理3.1证毕.

推论3.1 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$,且$a<b$. 若$f'\in L_1([a,b])$,则

引理3.2^[6] 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$,且$a<b$. 若$f'\in L_1([a,b])$,则 $$\begin{equation}\label{3.4-wuhan} \frac{f(a)+f(b)}2-\frac1{b-a}\int_a^bf(x){\rm d}x=\frac{b-a}2\int_0^1(1-2t)f'(ta+(1-t)b){\rm d}t. \end{equation}$$

证 由推论3.1可证得(3.4)式.

现在建立$s$ -对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式.

定理4.1 设函数$f:I\subseteq{\Bbb R}\to{\Bbb R}$为可微函数,$a,b\in I$,且$a<b$, 且$f'\in L_1([a,b])$,$q\ge1$ 和 $s\in(0,1]$. 若$|f'|^q$为$[a,b]$上的$s$ -对数凸函数,则

证 利用引理3.1中的式(3.1),定义2.2以及Hölder积分不等式,我们有

设$%0<\xi\le 1\le \eta$,$0\le t\le1$,且$0<s\le1$. 则由文献^[2]知

若$0<s<1$,由$|f'|^q$的$s$ -对数凸性,有$|f'(a)|, |f'(b)|\ge1$,利用不等式(4.6),我们得到

若$s=1$,则不等式(4.7)和(4.8)等号成立, 从而不等式(4.9)成立. 故定理4.1证毕.

定理4.2 在定理4.1的条件下,则

证 由引理3.1中的式(3.2),定义2.2和Hölder积分不等式,我们有 $$\begin{eqnarray*} &&\biggl|f(b)-\frac1{b-a}\int_a^bf(x){\rm d}x\biggr|\\ &\le&\frac{b-a}4\biggl\{\biggl[\int_0^1(1-t){\rm d} t\biggr]^{(q-1)/q} \biggl[\int_0^1(1-t)\biggl|f'\biggl(\frac{1+t}{2}a+\frac{1-t}{2}b\biggr)\biggr|^q{\rm d}t\biggr]^{1/q}\\ &&+\biggl(\int_0^1(2-t){\rm d}t\biggr)^{(q-1)/q} \biggl[\int_0^1(2-t)\biggl|f'\biggl(\frac{t}2a+\frac{2-t}{2}b\biggr)\biggr|^q{\rm d}t\biggr]^{1/q}\biggr\}\\ &\le&\frac{b-a}4\biggl(\frac12\biggr)^{(q-1)/q} \biggl\{\biggl[\int_0^1(1-t) |f'(a)|^{q[(1+t)/2]^s}|f'(b)|^{q[(1-t)/2]^s}{\rm d}t\biggr]^{1/q} \\ && +3^{(q-1)/q} \biggl[\int_0^1(2-t)|f'(a)|^{q(t/2)^s}|f'(b)|^{q(1-t/2)^s}{\rm d}t\biggr]^{1/q}\biggr\}. \end{eqnarray*}$$

若$0<s<1$,有$|f'(a)|\ge1$,$|f'(b)|\ge1$, 从而由不等式(4.6),我们得到 $$\begin{eqnarray*} \int_0^1(1-t)|f'(a)|^{q[(1+t)/2]^s}|f'(b)|^{q[(1-t)/2]^s}{\rm d} t &\le&|f'(a)f'(b)|^{(1-s/2)q}\int_0^1(1-t)\mu^{t}{\rm d} t\\ &=&|f'(a)f'(b)|^{(1-s/2)q}F_2\bigl(\mu\bigr) \end{eqnarray*}$$ 和 $$\begin{eqnarray*} \int_0^1(2-t)|f'(a)|^{q(t/2)^s}|f'(b)|^{q(1-t/2)^s}{\rm d} t &\le&|f'(a)|^{(1-s)q}|f'(b)|^{q}\int_0^1(2-t)\mu^{t}{\rm d} t\\ &=&|f'(a)f'(b)|^{(1-s/2)q}F_1\bigl(\mu^{-1}\bigr). \end{eqnarray*}$$ 由此,我们可推得

若$s=1$,则不等式(4.11)也成立. 从而定理4.2获证. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

定理4.3 定理4.1的条件下,有

证 由推论3.1中式(3.4),定义2.2和Hölder积分不等式,我们可推得 $$\begin{eqnarray*} &&\biggl|\frac{f(a)+f(b)}{2}-\frac1{b-a}\int_a^bf(x){\rm d}x\biggr|\\ &\le&\frac{b-a}4\biggl\{\biggl(\int_0^1t{\rm d}t\biggr)^{(q-1)/q} \biggl[\int_0^1t\biggl|f'\biggl(\frac{1+t}{2}a+\frac{1-t}{2}b\biggr)\biggr|^q{\rm d}t\biggr]^{1/q}\\ &&+\biggl(\int_0^1(1-t){\rm d} t\biggr)^{(q-1)/q} \biggl[\int_0^1(1-t)\biggl|f'\biggl(\frac{t}2a+\frac{2-t}{2}b\biggr)\biggr|^q{\rm d}t\biggr]^{1/q}\biggr\}\\ &\le&\frac{b-a}4\biggl(\frac12\biggr)^{(q-1)/q} \biggl\{\biggl[\int_0^1t|f'(a)|^{q[(1+t)/2]^s}|f'(b)|^{q[(1-t)/2]^s}{\rm d} t\biggr]^{1/q} \\ &&+\biggl[\int_0^1(1-t)|f'(a)|^{q(t/2)^s}|f'(b)|^{q(1-t/2)^s}{\rm d} t\biggr]^{1/q}\biggr\}\\ &\le&\frac{b-a}4\biggl(\frac12\biggr)^{(q-1)/q}|f'(a)f'(b)|^{1-s/2} \Bigl\{\bigl[\mu F_2\bigl(\mu^{-1}\bigr)\bigr]^{1/q} +\bigl[\mu^{-1}F_2(\mu)\bigr]^{1/q}\Bigr\}. \end{eqnarray*}$$ 故定理4.3证毕.

设$a>0$,$b>0$,且$s\in{\Bbb R}$,定义 $$A(a,b)=\frac{a+b}2,H(a,b)=\frac{2ab}{a+b}, I(a,b)=\left\{\begin{array}{ll} \frac1e\biggl(\frac{b^b}{a^a}\biggr)^{1/(b-a)},~~ &a\ne b,\\ a,&a=b \end{array}\right.$$ 和 $$L_s(a,b)=\left\{\begin{array}{ll} \biggl[\frac{b^{s+1}-a^{s+1}}{(s+1)(b-a)}\biggr]^{1/s},~~& s\ne0,-1,a\ne b,\\[3mm] \frac{b-a}{\ln b-\ln a},& s=-1,a\ne b,\\[2mm] I(a,b),& s=0,a\ne b,\\ a,&a=b. \end{array}\right.$$

显然,$A$,$H$,$L=L_{-1}$,$I=L_0$和$L_s$分别是正数$a$,$b$的算术、调和、对数、 指数和广义对数平均数.

下面,我们利用上节的定理,建立与平均数有关的几个不等式.

定理5.1 设$0<a<b\le1$,$r<0$,$r\ne-1$,$s\in(0,1]$,且$q\ge1$.

(1)~ 若$r\ne-2$,则 $$\begin{eqnarray*} &&\bigl|A\bigl(a^{r+1},b^{r+1}\bigr)-[L_{r+1}(a,b)]^{r+1}\bigr| \\ &\le & \frac{b-a}4|r+1|\biggl(\frac12\biggr)^{(q-1)/q} \biggl[\frac{2}{srq(\ln a-\ln b)}\biggr]^{1/q}\\ &&\times\bigl\{a^{(1-s/2)r}b^{(1-s)r}\bigl(a^{srq/2}-[L_{srq/2-1}(a,b)]^{srq/2-1}L(a,b)\bigr)^{1/q}\\ &&+a^{(1-s)r}b^{(1-s/2)r}\bigl([L_{srq/2-1}(a,b)]^{srq/2-1}L(a,b)-b^{srq/2}\bigr)^{1/q}\bigr\}. \end{eqnarray*}$$

(2)~ 若$r=-2$,则 $$\begin{eqnarray*} 0&<&\frac1{H(a,b)}-\frac1{I(a,b)} \le\frac{b-a}4\biggl(\frac12\biggr)^{(q-1)/q} \biggl[\frac{1}{sq(\ln b-\ln a)}\biggr]^{1/q}\\ &&\times\bigl\{a^{s-2}b^{2(s-1)}\bigl(a^{-sq}-[L_{-sq-1}(a,b)]^{-sq-1}L(a,b)\bigr)^{1/q} \\ && +a^{2(s-1)}b^{2-s}\bigl([L_{-sq-1}(a,b)]^{-sq-1}L(a,b)-b^{-sq}\bigr)^{1/q}\bigr\}. \end{eqnarray*}$$

证 设$f(x)=\frac1{r+1}x^{r+1}$且$0<x\le1$. 则我们可推知函数$|f'(x)|^q$为$(0,1]$上的$s$ -对数凸函数, 且 $\mu=\left|\frac{f'(a)}{f'(b)}\right|^{sq/2}=\left(\frac{a}b\right)^{srq/2}.$ 于是,我们有 $$F_2\bigl(\mu^{-1}\bigr)=\frac{2}{srq(\ln b-\ln a)}\biggl\{\frac{2}{srq(\ln b-\ln a)}\biggl[\biggl(\frac{b}{a}\biggr)^{srq/2}-1\biggr]-1\biggr\}$$ 和 $$F_2(\mu)=\frac{2}{srq(\ln a-\ln b)}\biggl\{\frac{2}{srq(\ln a-\ln b)}\biggl[\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{srq/2}-1\biggr]-1\biggr\}.$$ 把上述等式代入定理4.3可推得结果.