为研究二阶椭圆偏微分方程解的局部行为,Morrey 在文献^[1] 中引进了经典 Morrey 空间. 自此,众多的学者开始研究 Morrey 型空间中的算子有界性质,可参见文献^{[2, 3, 4]} 及其中的参考文献. Morrey 空间的一般定义为^[5] $$M_{p,q}({\Bbb R}^{n})=\left\{f:\|f\|_{M_{p,q}({\Bbb R}^{n})} =\sup_{B\subset {\Bbb R}^{n}}\bigg(\frac{1}{|B|^{1-\frac{p}{q}}} \int_{B}|f(x)|^{p}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}}<\infty\right\},$$ 其中 $f\in L_{loc}^{p}({\Bbb R}^{n})$,$1\leq p\leq q<\infty.$ 文中如无特殊说明,都记 $B$ 为 ${\Bbb R}^{n}$ 中一个球, $B(x_{0},r)$ 为中心在 $x_{0}\in {\Bbb R}^{n}$,半径为 $r>0$ 的球,$\lambda B=B(x_{0},\lambda r)$,$\lambda>0$. 显然, $M_{p,p}({\Bbb R}^{n})=L^{p}({\Bbb R}^{n})$ 为经典Lebesgue 空间. 在分析中,当Lebesgue 测度 ${\rm d}x$ 被测度 $w(x){\rm d}x$ 代替时, 一些积分算子的范数不等式仍然成立. 赋予测度 $w(x){\rm d}x$ 的Lebesgue 空间记为 $L^{p}(w)$,$1\leq p<\infty$. 目前研究较多的是当 $w(x)$ 属于Muckenhoupt 权类时的范数不等式^{[6, 7]}. Muckenhoupt 权类 $A_{p}$ 和 $A_{(p,q)}$ 分别由满足下面条件的局部可积函数构成 $$A_{p}:\,\,\sup_{B}\left(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x){\rm d}x\right)\left(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)^{1-p'}{\rm d}x\right)^{p-1}\leq C,1<p<\infty,$$ $$A_{(p,q)}:\,\,\sup_{B}\left(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)^{q}{\rm d}x\right)^{{1}/{q}}\left(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)^{-p'}{\rm d}x\right)^{{1}/{p'}}\leq C,1<p,q<\infty,$$ 其中 $1/p+1/p'=1$.

Komori 和 Shirai 在文献^[8]中引进一类加权 Morrey 空间并研究了调和分析中一些经典算子在该类空间中的加权有界性质. 这些算子既包括Hardy-Littlewood 极大算子 $$Mf(x)=\sup_{B\ni x}\frac{1}{|B|}\int_{B}|f(y)|{\rm d}y,\,\,x\in {\Bbb R}^{n}$$ 和Calderón-Zygmund 奇异积分算子 $$Tf(x)={\rm p.v.}\int_{{\Bbb R}^{n}}K(x-y)f(y) {\rm d}y,$$ 其中 $K$ 为Calderón-Zygmund 核,也包括分数次积分算子 $$I_{\alpha}f(x)=\int_{{\Bbb R}^{n}}\frac{f(y)}{|y-x|^{n-\alpha}}{\rm d}y,0<\alpha<n.$$ 假设 $1\leq p<\infty,$ $0<\lambda<1$,$w$ 为一权函数. 则加权 Morrey 空间 $M_{p,\lambda}(w)$ 定义为 $$M_{p,\lambda}(w)=\left\{f:\,\,\|f\|_{M_{p,\lambda}(w)} =\sup_{B}\left(\frac{1}{w(B)^{\lambda}}\int_{B}|f(x)|^{p}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{p}}<\infty\right\},$$ 其中 $w(B)=\int_{B}w(x){\rm d}x$. 显然 $M_{p,1-p/q}(1)=M_{p,q}({\Bbb R}^{n})$,$M_{p,0}(w)=L^{p}(w)$. 如果 $\lambda=1,$ 则 $M_{p,1}(w)=L^{\infty}(w)$ (参见文献^[9]). 假设 $1\leq p<\infty$,$0<\lambda<1$. 则与分数次积分算子 $I_{\alpha}$ 相应的加双权 Morrey 空间 $M_{p,\lambda}(w_{1},w_{2})$ 定义为 $$M_{p,\lambda}(w_{1},w_{2})=\left\{ f:\|f\|_{M_{p,\lambda}(w_{1},w_{2})}=\sup_{B}\left(\frac{1}{w_{2}(B)^{\lambda}}\int_{B}|f(x)|^{p}w_{1}(x){\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}<\infty\right\}.$$

Meskhi 在文献^[10] 中首次引进了有界区域上的极大 Morrey 空间的定义并得到了拟测度空间中一类积分算子的有界性质. 受文献^[8]的启发,本文改进~Meskhi 定义的空间, 得到如下定义在全空间 ${\Bbb R}^{n}$ 中的一类广义加权极大 Morrey 空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ $$\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)}=\sup_{0<\varepsilon<p-\xi}\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f;w)<\infty,\,\,1<\xi<p<\infty,0<\lambda<1,0<\theta<\infty,$$ 其中 $$\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f;w)= \varepsilon^{\theta/(p-\varepsilon)}\|f\|_{M_{p-\varepsilon, \lambda}(w)}=\sup_{B\subset {\Bbb R}^{n}} \left(\frac{\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{B} |f(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{(p-\varepsilon)}}.$$ 对于分数次情形,相应的广义加权极大 Morrey 空间定义为 $$\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w_{1},w_{2})}= \sup_{0<\varepsilon<p-\xi}\Phi^{p,\lambda}_{\theta, \varepsilon}(f;w_{1},w_{2})<\infty,$$ 其中 $$\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f;w_{1},w_{2})= \varepsilon^{\theta/(p-\varepsilon)}\|f\|_{M_{p-\varepsilon, \lambda}(w_{1},w_{2})}.$$ 如果 $\theta\equiv0,$ $M_{p),0,\lambda,\xi}(w)$ 和 $M_{p),0,\lambda,\xi}(w_{1},w_{2})$ 为经典加权 Morrey 空间. 若 $\lambda\equiv0$,$\xi=1$,则 $M_{p),\theta,0,1}(w)= M_{p),\theta,0}(w)=L_{p),\theta,1}(w)=L_{p),\theta}(w)$ 为广义加权极大Lebesgue 空间^[11]. 进一步,如果 $w(x)\equiv1$ 且 $\theta\equiv1$,则 $L_{p),1}({\Bbb R}^{n})$ 为极大Lebesgue 空间^[12]. 更多相关极大Lebesgue 空间的工作可参见文献 ^{[13, 14, 15]}.

对于算子 ${\cal T}$,Soria 和 Weiss 在文献 ^[16] 中首次引入下列条件

$$\begin{equation}\label{(1.1)} |{\cal T}f(x)|\leq C\int_{{\Bbb R}^{n}}\frac{|f(y)|}{|x-y|^{n}}{\rm d}y,\,\,\,x\notin f, \end{equation}$$

(1.1)

其中可积函数 $f$ 具有紧支集. 他们证明了如果 ${\cal T}$ 为一次线性算子且满足条件(1.1),则由 ${\cal T}$ 在 $L^{p}({\Bbb R}^{n})(1<p<\infty)$ 空间中的有界性质可得到 ${\cal T}$ 在空间 $L^{p}(w)$ 中的有界性质,其中 $w\in A_{p}$. 调和分析中许多算子满足条件(1.1),如Calderón-Zygmund 奇异积分算子,Carleson 极大算子,Fefferman 型奇异乘子, Fefferman 型奇异积分算子,Ricci-Stein 振荡积分算子等等, 具体可参见文献 [17,Remark 5] 和[18,p427]. 满足 条件(1.1) 的次线性算子在一些函数空间中的有界性质 可参考文献 ^{[19, 20, 21, 22]}.

如上所述,在 $M_{p,0}(w)=L^{p}(w)$ 的意义下,$M_{p,\lambda}(w)$ 可看做空间 $L^{p}(w)$ 的扩张. 这启发我们考虑下面的问题.

问题1.1 假设 $1<p<\infty$,$0< \lambda<1$,$w$ 为一权函数并且 ${\cal T}$ 为满足 条件$(1.1)$ 的次线性算子. 算子 ${\cal T}$ 在空间 $M_{p,\lambda}(w)$ 中的有界性质是否由其在空间 $L^{p}(w)$ 中的有界性质得到?

在更一般的条件下(下面的条件 (1.2) 和(1.3)), 我们在文献 ^[23] 中回答了问题 1.1. 令 $D_{k}=\{x\in {\Bbb R}^{n}:|x|\leq 2^{k}\}$, $A_{k}=D_{k}\backslash D_{k-1}$,其中 $k\in Z$. $\chi_{E}$ 为集合 $E$ 的特征函数. 1996 年,在文献^[24] 中作者引入了算子 ${\cal T}$ 的如下尺寸条件

$$\begin{equation}\label{(1.2)} |{\cal T}f(x)|\leq C|x|^{-n}\|f\|_{L^{1}({\Bbb R}^{n})}, \end{equation}$$

(1.2)

其中 $f\subseteq A_{k}$,$|x|\geq 2^{k+1}$,$k\in Z$.

$$\begin{equation}\label{(1.3)} |{\cal T}f(x)|\leq C2^{-kn}\|f\|_{L^{1}({\Bbb R}^{n})}, \end{equation}$$

(1.3)

其中 $f\subseteq A_{k}$,$|x|\leq 2^{k-1}$,$k\in Z$. 容易验证~Hardy-Littlewood 极大算子 $M$ 满足条件(1.2) 和 (1.3) (参见文献[24,p488]). 而且,由条件(1.1) 可得(1.2) 和(1.3)式,这是因为当 $|x|\geq 2^{k+1}$, $f\subseteq A_{k}$ 时,$|x-y|>|x|/2$. 当满足 $f\subseteq A_{k}$,$|x|\leq 2^{k-1}$ 时有 $|x-y|>|y|/2$.

另一方面,因为空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 也可以看做经典加权 Morrey 空间的推广,一个很自然的问题是

问题1.2 假设 $1<p<\infty$,$0<\theta<\infty$,$0< \lambda<1$,$w$ 为一个权函数并且次线性算子 ${\cal T}$ 满足条件 $(1.2)$ 和 $(1.3)$. 是否存在一些 $1<s,\xi<p$,由算子 ${\cal T}$ 在空间 $M_{s,\lambda}(w)$ 中的有界性质可得其在空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 中的有界性质? 受问题1.1 和问题1.2 的启发, 我们还想知道

问题1.3 在问题 $1.2$ 的条件下,是否存在一些 $1<s,\xi<p$, 使得由算子 ${\cal T}$ 在空间 $L^{s}(w)$ 中的有界性质可以推得其在空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 中的有界性质?

问题1.4 在问题 $1.2$ 的条件下,是否存在一些 $1<s,\xi<p$, 使得由算子 ${\cal T}$ 在空间 $L_{p),\theta,\xi}(w)$ 中的有界性质可以推得其在空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 中的有界性质?

问题1.2 -问题1.4 是该文的主要研究内容. 问题1.2 -问题1.4 的解决不仅可以得到一些重要算子在加权 Morrey 型空间中的有界性质, 而且对刻画这些空间也很有帮助. 本文的主要定理如下.

定理1.1 设 $r\leq s<p<\infty,0<\theta<\infty,0<\lambda<1,w\in A_{r}$ 且次线性算子 ${\cal T}$ 满足条件 $(1.2)$ 和 $(1.3)$. 如果算子 ${\cal T}$ 在空间 $M_{s,\lambda}(w)$ 中有界, 则该算子在空间 $M_{p),\theta,\lambda,r}(w)$ 中也有界.

由文献^[23]中的结论和定理1.1 立即可得如下推论.

推论1.1 设 $p,\theta,w,s,r$ 和 ${\cal T}$ 同定理 $1.1$. 如果算子 ${\cal T}$ 在空间 $L^{s}(w)$ 中有界,则该算子在空间 $M_{p),\theta,\lambda,r}(w)$ 中也有界.

定理1.2 设 $\theta,\lambda,w$,$1<\xi<p<\infty$ 和算子 ${\cal T}$ 同定理 $1.1$. 如果算子 ${\cal T}$ 在空间 $L_{p),\theta,\xi}(w)$ 中有界,则其在空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 中也有界.

在文献^[24] 中,作者还引入了分数次积分的如下尺寸条件

$$\begin{equation}\label{(1.4)} |{\cal T}_{\alpha}f(x)|\leq C|x|^{-(n-\alpha)}\|f\|_{L^{1}({\Bbb R}^{n})}, \end{equation}$$

(1.4)

当 $f\subseteq A_{k}$,$|x|\geq 2^{k+1}$,$k\in {\Bbb Z}$.

$$\begin{equation}\label{(1.5)} |{\cal T}_{\alpha}f(x)|\leq C2^{-k(n-\alpha)}\|f\|_{L^{1}({\Bbb R}^{n})}, \end{equation}$$

(1.5)

当 $f\subseteq A_{k}$,$|x|\leq 2^{k-1}$,$k\in {\Bbb Z}$. 与定理1.1 和定理1.2 类似, 我们可以得到分数次积分算子的如下结论.

定理1.3 设 $0<\alpha<n$,$0<\lambda_{i}<1,0<\theta_{i}<\infty,i=1,2,$ $r_{1}\leq s_{1}<q<\infty$,$r_{2}\leq s_{2}<p<\infty$, $1<s_{2}<{n}/{\alpha}$,${1}/{s_{1}}={1}/{s_{2}}-{\alpha}/{n}$ 且 $w\in A_{(r_{1},r_{2})}$. 假设次线性算子 ${\cal T}_{\alpha}$ 满足条件 $(1.4)$ 和 $(1.5)$. 如果算子 ${\cal T}_{\alpha}$ 映空间 $M_{s_{2},\lambda_{2}}(w^{p}, w^{q})$ 到空间 $M_{s_{1},\lambda_{1}}(w^{q})$,则该算子为空间 $M_{p),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{p},w^{q})$ 到空间 $M_{q),\theta_{1},\lambda_{1},r_{1}}(w^{q})$ 的有界算子, 其中 $s_{1}/s_{2}=\theta_{1}/\theta_{2}=\lambda_{1}/\lambda_{2} =q/p$.

推论1.2 假设 $p,q,\alpha,w,\lambda_{i}$,$s_{i}$,$r_{i}$,$\theta_{i}$, $i=1,2$,${\cal T}_{\alpha}$ 同定理 1.3. 如果算子 ${\cal T}_{\alpha}$ 映空间 $L^{s_{2}}(w^{p})$ 到空间 $L^{s_{1}}(w^{q})$,则 ${\cal T}_{\alpha}$ 为空间 $M_{p),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{p},w^{q})$ 到空间 $M_{q),\theta_{1},\lambda_{1},r_{1}}(w^{q})$ 的有界算子.

比条件 $(1.4)$ 和 $(1.5)$ 更强的一个条件是

$$\begin{equation}\label{(1.6)} |{\cal T}_{\alpha}f(x)|\leq C\int_{{\Bbb R}^{n}}\frac{|f(y)|}{|x-y|^{n-\alpha}}{\rm d}y, \,\,\,x\notin f. \end{equation}$$

(1.6)

易证分数次积分 $I_{\alpha}$ 和文献^[25]中定义的分数次 振荡积分都满足条件(1.6),但是分数次极大算子 $$M_{\alpha}f(x)=\sup_{B\ni x}\frac{1}{|B|^{1-\alpha/n}} \int_{B}|f(y)|{\rm d}y,\,\,\,\,0<\alpha<n$$ 只满足定理1.3 的条件 (参见文献[24,备注 2.1]). 相关满足条件(1.6) 的非加权情形的次线性算子在Herz 空间中的有界性质的研究, 可参见文献^{[21, 26]}.

注1.1 当 ${\Bbb R}^{n}$ 被有界开集 $\Omega$ 代替时, 定理 1.1 -定理 1.3 对 $\xi=1$ 仍然成立. 这种情形下,本文的结论和文献^[10] 中相关结论一致.

本文的结构为: 第2 部分为定理1.1 -定理1.3 的证明. 在第3 部分,我们将给出第2 部分定义的次线性算子交换子的加权有界性质的证明.

本部分思想主要受文献^[18] 和文献^[8]中研究方法的启发. 首先介绍用到的Muckenhoupt 类的一些性质.

引理2.1^[7] 设 $1\leq p<\infty$ 且 $w\in A_{p}$. 则有

(a)~ 存在常数 $C$ 满足

$$\begin{equation}\label{2.1} w(2B)\leq Cw(B). \end{equation}$$

(2.1)

(b)~ 存在常数 $C>1$ 满足

$$\begin{equation}\label{2.2} w(2B)\geq Cw(B). \end{equation}$$

(2.2)

(c)~ 存在常数 $C$ 和 $\sigma>1$ 使得下面的逆 Hólder 不等式对任意球 $B\subset {\Bbb R}^{n}$ 成立

$$\begin{equation}\label{2.3} \left(\frac{1}{|B|}\int_{B}w(x)^{\sigma}{\rm d}x \right)^{{1}/{\sigma}}\leq C\left(\frac{1}{|B|}\int_{B} w(x){\rm d}x\right). \end{equation}$$

(2.3)

(d)~ 对任意 $\lambda>1,$ 有 $$w(\lambda B)\leq C\lambda^{np}w(B).$$

(e)~ 存在常数 $C$ 和 $\delta>0$ 使得对任意可测集 $Q\subset B$

$$\begin{equation}\label{2.4} \frac{w(Q)}{w(B)}\leq C\left( \frac{|Q|}{|B|}\right)^{\delta}. \end{equation}$$

(2.4)

如果 $w$ 满足 $(2.4)$式,我们也称 $w\in A_{\infty}$.

(f)~ 对任意 $p<q<\infty$,

$$\begin{equation}\label{2.7} w\in A_{q}. \end{equation}$$

(2.5)

引理2.2 如果 $p,q>1$,$w\in A_{(p,q)}$,则有

$$\begin{equation}\label{2.8} w^{p}\in A_{p},w^{q}\in A_{q}. \end{equation}$$

(2.6)

而且,对于 $p<p_{1}$ 和 $q<q_{2}$, $w\in A_{(p_{1},q_{2})}$.

由上面的引理做准备,下面我们给出定理 $1.1$ 的证明. 根据假设条件,仅需证明 $$\sup_{0<\varepsilon\leq p-r}\left(\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f,w)\right)^{p-\varepsilon}\leq C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}.$$ 对于固定的球 $B=B(x_{0},r)$ 和 $0<\varepsilon\leq p-r$, 不失一般性可假设 $r=1$,$x_{0}=0$. 分解 $f=f\chi_{2B}+f\chi_{(2B)^{c}}=: f_{1}+f_{2}$ 可得 $$\begin{eqnarray*} &&\frac{\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}} \int_{B}|{\cal T}f(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\\ &\leq& \frac{\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{B}|{\cal T}f_{1}(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x+\frac{\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{B}|{\cal T}f_{2}(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\\ &=:& I+II. \end{eqnarray*}$$ 因为当 $0<\varepsilon\leq p-r$ 时,$w\in A_{p-\varepsilon}$, 所以由算子 ${\cal T}$ 在空间 $M_{s,\lambda}(w)$ 中的有界性质可得 $$I\leq \frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{{\Bbb R}^{n}}|f_{1}(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\leq C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}.$$ 由 $w\in A_{p-\varepsilon}$ 和条件(1.3) 可得 $II$ 的如下估计 $$\begin{eqnarray*} II&\leq& \frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda-1}}\sum_{k=1}^{\infty}2^{-kn(p-\varepsilon)}\left(\int_{A_{k}}|f(y)|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq &\frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda-1}} \sum_{k=1}^{\infty}2^{-kn(p-\varepsilon)} \left(\int_{2^{k+1}B}|f(y)|^{p-\varepsilon}w(y){\rm d}y\right)\left(\int_{2^{k+1}B}w(y)^{-(p-\varepsilon)'/(p-\varepsilon)}{\rm d}y\right)^{\frac{p-\varepsilon}{(p-\varepsilon)'}} \\ &\leq& C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{w(B)^{(1-\lambda)/(p-\varepsilon)}}{w(2^{k+1}B)^{(1-\lambda)/(p-\varepsilon)}}\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq& C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}. \end{eqnarray*}$$ 最后一个不等式中用到了(2.2)式. 定理1.1 得证.

定理 $1.2$ 的证明同定理1.1. 唯一的不同是要将算子 ${\cal T}$ 在空间 $M_{s,\lambda}(w)$ 中的有界性质用该算子在空间 $L_{p),\theta,\xi}(w)$ 中的有界性质代替,我们略去其证明. 定理 $1.3$ 的证明也与定理1.1 的证明类似. 即由定理1.1 的证明易得 $$\frac{\varepsilon^{q\theta_{2}/p}}{w^{q}(B)^{q\lambda_{2}/p}}\int_{B}|{\cal T}_{\alpha}f(x)|^{q-\varepsilon}w(x)^{q}{\rm d}x\leq C^{q-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{p},w^{q})}^{q-\varepsilon}.$$ 事实上,对于一个固定的球 $B=B(x_{0},1)$, 分解 $f=f\chi_{2B}+f\chi_{(2B)^{c}}=: f_{1}+f_{2}$ 可得 $$\begin{eqnarray*} &&\frac{\varepsilon^{q\theta_{2}/p}}{w^{q}(B)^{q\lambda_{2}/p}}\int_{B}|{\cal T}_{\alpha}f(x)|^{q-\varepsilon}w(x)^{q}{\rm d}x\\ &\leq& \frac{\varepsilon^{q\theta_{2}/p}}{w^{q}(B)^{q\lambda_{2}/p}}\int_{B}(|{\cal T}_{\alpha}f_{1}(x)|^{q-\varepsilon}+|{\cal T}_{\alpha}f_{2}(x)|^{q-\varepsilon})w^{q}(x){\rm d}x\\ &=:& J+JJ. \end{eqnarray*}$$ 由引理2.2 可得 $$J\leq C^{q-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{p},w^{q})}^{q-\varepsilon}.$$ 与定理1.1 的方法类似可得 $$\begin{eqnarray*} JJ &\leq& C^{q-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{p},w^{q})}^{q-\varepsilon}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{w^{q}(B)^{(1/(q-\varepsilon)-\lambda/(p-\varepsilon))}}{w^{q}(2^{k+1}B)^{(1/(q-\varepsilon)-\lambda/(p-\varepsilon))}}\right)^{q-\varepsilon}\\ &\leq &C^{q-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{p},w^{q})}^{q-\varepsilon}. \end{eqnarray*}$$

在下面的引理条件下,和上面类似的分析可以证明定理1.1 -定理1.3 对 $\xi=1$ 成立.

引理2.3 设 $1<p<\infty$,$0<\lambda<1$,$0<\theta<\infty$ 且 $w\in A_{p}$. 则存在常数 $C$ 使得对任意 $0<\delta<p-1$, $$\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,1}(w)}\leq C\sup_{0<\varepsilon<\delta}\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f,w).$$

证 受文献[10,p1007] 的启发,对于固定的 $0<\delta<p-1$,显然有 $$\begin{eqnarray*} \|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,1}(w)}&=&\max\left\{\sup_{0<\varepsilon\leq\delta}\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f,w),\,\,\sup_{\delta<\varepsilon<p-1}\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f,w)\right\}\\ &=: &\max \{B_{1},B_{2}\}. \end{eqnarray*}$$ 因为 $\sup\limits_{\delta<\varepsilon<p-1}\varepsilon^{1/(p-\varepsilon)}=p-1$,$1/(p-\varepsilon)>1/(p-\delta)$,由~Hólder's 不等式可得 $$\begin{eqnarray*} B_{2}&=&\sup_{\delta<\varepsilon<p-1}\varepsilon^{\theta/(p-\varepsilon)}\sup_{B\subset \Omega}\left(\frac{1}{w(B)^{\lambda}}\int_{B}|f(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{(p-\varepsilon)}}\\ &=&\sup_{\delta<\varepsilon<p-1}\varepsilon^{\theta/(p-\varepsilon)}\sup_{B\subset\Omega}w(B)^{(1-\lambda)/(p-\varepsilon)}\left(\frac{1}{w(B)}\int_{B}|f(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{(p-\varepsilon)}}\\ &\leq&(\sup_{\delta<\varepsilon<p-1}\varepsilon^{\theta/(p-\varepsilon)})\sup_{\delta<\varepsilon<p-1}\sup_{B\subset\Omega}w(B)^{(1-\lambda)/(p-\varepsilon)}\left(\frac{1}{w(B)}\int_{B}|f(x)|^{p-\delta}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{(p-\delta)}}\\ &\leq& (p-1)^{\theta}\sup_{B\subset\Omega}w(B)^{(1-\lambda)/(p-\delta)}\left(\frac{1}{w(B)}\int_{B}|f(x)|^{p-\delta}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{(p-\delta)}}\\ &\leq& (p-1)^{\theta} \delta^{-\theta/(p-\delta)}\sup_{B\subset\Omega}\left(\frac{\delta^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{B}|f(x)|^{p-\delta}w(x){\rm d}x\right)^{{1}/{(p-\delta)}}\\ &\leq& C\sup_{0<\varepsilon\leq \delta}\Phi^{p,\lambda}_{\theta,\varepsilon}(f,w). \end{eqnarray*}$$ 证毕.

设 $b$ 为定义在 ${\Bbb R}^{n}$ 上的局部可积函数,$T$ 为一积分算子. 则算子 $T$ 的交换子定义为 $$T_{b}(f)=: bTf-T(bf).$$ 称函数 $b$ 为一 $BMO$ 函数如果 $$\|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}=\sup_{B}\frac{1}{|B|}\int_{B}\left|f(y)-f_{B}\right|{\rm d}y<\infty,$$ 其中上确界取遍所有球 $B\subset {\Bbb R}^{n}$, $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y){\rm d}y.$ 对于 $1<p<\infty$,$BMO$ 函数和 $A_{p}$ 权之间有如下关系 $$BMO=\left\{\alpha \log w: w\in A_{p},\alpha\geq 0\right\}.$$

因为 $L^{\infty}\varsubsetneq BMO$,所以算子 $T_{b}$ 的某些性质要比 $T$ 差 (例如奇异性^[27]). 所以,$T_{b}$ 是否享有和 $T$ 一样的有界性质是一个很有研究意义的问题. 关于不同算子和 $BMO$ 函数生成的交换子在Lebesgue 空间中的有界性质结论有很多,如文献^{[28, 29, 30, 31, 32]}. 对于次线性算子 ${\cal T}$,其交换子 ${\cal T}_{b}$ 可定义为 $$\left|{\cal T}_{b}f(x)\right|\leq C\int_{{\Bbb R}^{n}}\frac{|b(x)-b(y)||f(y)|}{|x-y|^{n}}{\rm d}y,\,\,\,x\notin f.$$ 对分数次情形类似有 $$\left|{\cal T}_{\alpha,b}f(x)\right|\leq C\int_{{\Bbb R}^{n}}\frac{|b(x)-b(y)||f(y)|}{|x-y|^{n-\alpha}}{\rm d}y,\,\,\,0<\alpha< n,\,\,\,x\notin f.$$

本部分的主要工作是在广义加权极大 Morrey 空间中研究上述交换子的有界性质. 具体可表述为

定理3.1 设 $p,\lambda,w,\theta,r,s$ 同定理 $1.1$,$b\in BMO({\Bbb R}^{n})$,次线性算子 ${\cal T}$ 满足条件 $(1.1)$. 如果 ${\cal T}_{b}$ 在空间 $M_{s,\lambda}(w)$ 中有界,则算子 ${\cal T}_{b}$ 在空间 $M_{p),\theta,\lambda,r}(w)$ 中有界.

推论3.1 假设 $p,\lambda,w,\theta,r,s,b,r$ 和算子 ${\cal T}$ 同定理 $3.1$. 如果算子 ${\cal T}_{b}$ 在空间 $L^{s}(w)$ 中有界,则算子 ${\cal T}_{b}$ 在空间 $M_{p),\theta,\lambda,r}(w)$ 中有界.

定理3.2 假设 $p,\lambda,w,\theta,b$,$1<\xi<p<\infty$ 和算子 ${\cal T}$ 同定理 $3.1$. 如果算子 ${\cal T}_{b}$ 在空间 $L_{p),\theta,\xi}(w)$ 中有界, 则算子 ${\cal T}_{b}$ 在空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 中有界.

对于分数次情形,类似有

定理3.3 设 $p,q,\alpha,w,b,\theta_{i},\lambda_{i},s_{i},r_{i}$,$i=1,2$, 同定理1.3 且次线性算子 ${\cal T}_{\alpha}$ 满足条件 $(1.6)$. 如果 ${\cal T}_{\alpha,b}$ 为空间 $M_{s_{2},\lambda_{2}}(w^{p},w^{q})$ 到空间 $M_{s_{1},\lambda_{1}}(w^{q})$ 的有界算子, 则 ${\cal T}_{\alpha,b}$ 为空间 $M_{p),\theta_{2},\lambda_{2}, r_{2}}(w^{p},w^{q})$ 到空间 $M_{q),\theta_{1},\lambda_{1}, r_{1}}(w^{q})$ 中的有界算子.

推论3.2 设 $p,q,\alpha,w,\theta_{i},\lambda_{i},s_{i},r_{i}$,$i=1,2$, $b$ 和 ${\cal T}_{\alpha}$ 同定理 3.3. 如果 ${\cal T}_{\alpha,b}$ 为空间 $L^{s_{2}}(w^{p})$ 到空间 $L^{s_{1}}(w^{q})$ 的有界算子,则 ${\cal T}_{\alpha,b}$ 为空间 $M_{p),\theta_{1},\lambda_{1},r_{1}}(w^{p},w^{q})$ 到空间 $M_{q),\theta_{2},\lambda_{2},r_{2}}(w^{q})$ 中的有界算子.

定理3.1和定理3.3 的证明依赖于下面的关于 $BMO$ 函数的性质.

引理3.1 (参见文献[6,定理 3.8]) 假设 $1\leq p<\infty$,$b\in BMO({\Bbb R}^{n})$. 则对任意球 $B\subset {\Bbb R}^{n}$,下列性质成立

(a)~ 存在常数 $C_{1}$,$C_{2}$ 使对所有 $\alpha>0$

$$\begin{equation}\label{3.1} \left|\{x\in B:|b(x)-b_{B}|>\alpha\}\right|\leq C_{1}|B|e^{-C_{2}\alpha/\|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}}. \end{equation}$$

(3.1)

不等式 $(3.1)$ 称为~John-Nirenberg 不等式.

(b)~

$$\begin{equation}\label{3.2} |b_{2^{\lambda}B}-b_{B}|\leq2^{n}\lambda \|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}. \end{equation}$$

(3.2)

引理3.2 (参见文献[7,性质 7.1.2]或[33,定理 5])

假设 $w\in A_{\infty}$,$1<p<\infty$. 则下列条件等价

(a)~ $\|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}\sim \sup_{B}\left(\frac{1}{|B|}\int_{B}|b(x)-b_{B}|^{p}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}};$

(b)~ $\|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}\sim \sup_{B}\inf_{a\in {\Bbb R}}\frac{1}{|B|}\int_{B}|b(x)-a|{\rm d}x;$

(c)~ $\|b\|_{BMO(w)}=\sup_{B}\frac{1}{w(B)}\int_{B}|b(x)-b_{B,w}| w(x){\rm d}x,$ 其中 $BMO(w)=\{b:\|b\|_{BMO(w)}<\infty\}$, $b_{B,w}=\frac{1}{w(B)}\int_{B}b(y)w(y){\rm d}y.$

命题3.1 设 $1<p<\infty$,$b\in BMO({\Bbb R}^{n})$, $B=B(x_{0},1)$,$0<\lambda<1$,$r$ 同定理1.1. 则对任意 $0<\varepsilon<p-r$,不等式

$$\begin{equation}\label{3.3} \left(\int_{|x_{0}-y|>2}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b_{B,w}-b(y)|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\leq Cw(B)^{\lambda-1}\|f\|_{M_{p-\varepsilon,\lambda}(w)}^{p-\varepsilon} \end{equation}$$

(3.3)

对任意 $y\in (2B)^{c}$ 成立,其中 $(2B)^{c}={\Bbb R}^{n}\setminus(2B).$

证 引理3.2 的证明思想来源于文献^[23]. 由Hólder 不等式可得 $$\begin{eqnarray*} &&\left(\int_{|x_{0}-y|>2}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b_{B,w}-b(y)|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq& \left(\sum_{j=1}^{\infty}\int_{2^{j}<|x_{0}-y|<2^{j+1}}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b_{B,w}-b(y)|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq &\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}\int_{2^{j+1}B}|f(y)||b_{B,w}-b(y)|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq& C\|f\|_{M_{p-\varepsilon,\lambda}(w)}^{p-\varepsilon}\left[\sum_{j=1}^{\infty}\frac{w(2^{j+1}B)^{\frac{\lambda}{p-\varepsilon}}}{|2^{j}B|}\left(\int_{2^{j+1}B}|b_{B,w}-b(y)|^{(p-\varepsilon)'}w(y)^{1-(p-\varepsilon)'}{\rm d}y\right)^{\frac{1}{(p-\varepsilon)'}}\right]^{p-\varepsilon}. \end{eqnarray*}$$ 为简单起见,记 $A$ 为 $$\left(\int_{2^{j+1}B}|b_{B,w}-b(y)|^{p'}w(y)^{1-(p-\varepsilon)'}{\rm d}y\right)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}.$$ 易证 $$\begin{eqnarray*} A &\leq& \left(\int_{2^{j+1}B}(|b_{2^{j+1}B,w^{1-(p-\varepsilon)'}}-b(y)|+|b_{2^{j+1}B,w^{1-(p-\varepsilon)'}}-b_{B,w}|)^{(p-\varepsilon)'}w(y)^{1-(p-\varepsilon)'}{\rm d}y\right)^{\frac{1}{(p-\varepsilon)'}}\\ &\leq& \left(\int_{2^{j+1}B}|b_{2^{j+1}B,w^{1-(p-\varepsilon)'}}-b(y)|w(y)^{1-(p-\varepsilon)'}{\rm d}y\right)^{\frac{1}{(p-\varepsilon)'}}\\ && +|b_{2^{j+1}B,w^{1-(p-\varepsilon)'}}-b_{B,w}|w^{1-(p-\varepsilon)'}(2^{j+1}B)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}\\ &=: &A_{1}+A_{2}. \end{eqnarray*}$$

对于 $A_{1}$,由 $w\in A_{p}$,可得 $w^{1-p'}\in A_{p'}$. 根据引理3.1 可得

$$\begin{equation}\label{3.15} A_{1}\leq C\|b\|_{BMO(w^{1-(p-\varepsilon)'})}w^{1-(p-\varepsilon)'}(2^{j+1}B)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}\leq Cw^{1-(p-\varepsilon)'}(2^{j+1}B)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}. \end{equation}$$

(3.4)

由 $(3.2)$ 式进一步可得 $$\begin{eqnarray*} &&|b_{2^{j+1}B,w^{1-(p-\varepsilon)'}}-b_{B,w}|\\ &\leq &|b_{2^{j+1}B,w^{1-(p-\varepsilon)'}}-b_{2^{j+1}B}|+|b_{2^{j+1}B}-b_{B}|+|b_{B}-b_{B,w}|\\ &\leq& \frac{1}{w^{1-(p-\varepsilon)'}(2^{j+1}B)}\int_{2^{j+1}B}|b(y)-b_{2^{j+1}B}|w(y)^{1-(p-\varepsilon)'}{\rm d}y+2^{n}(j+1)\|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}\\ &&+\frac{1}{w(B)}\int_{B}|b(y)-b_{B}|w(y){\rm d}y\\ &=:& A_{21}+A_{22}+A_{23}. \end{eqnarray*}$$

结合 $(2.4)$ 和 $(3.1)$式,可得 $$\begin{eqnarray*} A_{23} &=& \frac{1}{w(B)}\int_{0}^{\infty}w(\{x\in B:|b(y)-b_{B}|>\alpha \}){\rm d}\alpha\\ &\leq& C\int_{0}^{\infty}e^{-C_{2}\alpha\delta/\|b\|_{BMO({\Bbb R}^{n})}}{\rm d}\alpha\\ &\leq& C \end{eqnarray*}$$ 和 $$A_{21}\leq C.$$ 所以, $$\begin{equation}\label{3.16} A_{2}\leq C(2^{n}(j+1)+2)w^{1-(p-\varepsilon)'}(2^{j+1}B)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}. \end{equation}$$ 由 $(3.4)$ 和 $(3.5)$式 可得

$$A\leq C(j+1)w^{1-(p-\varepsilon)'}(2^{j+1}B)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}.$$

(3.5)

因此,$(3.3)$ 式的证明可由 $(2.2)$ 式和下面的估计得到 $$\begin{eqnarray*} &&\left[\sum_{j=1}^{\infty}\frac{w(2^{j+1}B)^{{\lambda}/{(p-\varepsilon)}}}{|2^{j}B|}\left(\int_{2^{j+1}B}|b(y)-b_{B,w}|^{(p-\varepsilon)'}w(y)^{1-(p-\varepsilon)'}{\rm d}y\right)^{{1}/{(p-\varepsilon)'}}\right]^{(p-\varepsilon)} \\ &\leq& Cw(B)^{\lambda-1}\left[\sum_{j=1}^{\infty}\frac{w(B)^{{(1-\lambda)(j+1)}/{(p-\varepsilon)}}}{w(2^{j+1}B)^{{(1-\lambda)}/{(p-\varepsilon)}}}\right]^{(p-\varepsilon)}=Cw(B)^{\lambda-1}. \end{eqnarray*}$$ 证毕.

下面给出定理3.1 的证明. 即证存在常数 $C$ 使对任意固定的球 $B=B(x_{0},1)$,有

$$\begin{equation}\label{3.17} \sup_{0<\varepsilon\leq p-r}\left(\frac{\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{B}\left|{\cal T}_{b}f(x)\right|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\right)^{1/(p-\varepsilon)}\leq C\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}. \end{equation}$$

(3.6)

分解 $f=f\chi_{2B}+f\chi_{(2B)^{c}}=: f_{1}+f_{2}$ 得到

$$\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\int_{B} \left|{\cal T}_{b}f(x)\right|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x &\leq &\frac{C\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\left(\int_{B}|{\cal T}_{b}f_{1}(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x+\int_{B}|{\cal T}_{b}f_{2}(x)|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\right)\\ &=:& K+KK. \end{eqnarray*}$$

(3.7)

由算子 ${\cal T}_{b}$ 的有界性假设易得 $$\begin{equation}\label{3.18} K\leq C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}. \end{equation}$$

对于 $KK$,注意到对 $x\in B(x_{0},1)$,有 $|x_{0}-y|<C|x-y|$. 由 $(1.1)$ 式可得 $$\begin{eqnarray*} \left|{\cal T}_{b}f_{2}(x)\right|^{p-\varepsilon} &\leq& C^{p-\varepsilon}\left(\int_{{\Bbb R}^{n}}\frac{|f_{2}(y)||b(x)-b(y)|}{|x-y|^{n}}{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq& C^{p-\varepsilon}\left(\int_{|x_{0}-y|>2}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}\{|b(x)-b_{B,w}|+|b_{B,w}-b(y)|\}{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}. \end{eqnarray*}$$ 所以, $$\begin{eqnarray*} KK&\leq& \frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\left(\int_{|x_{0}-y|>2}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\int_{B}|b(x)-b_{B,w}|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\\ &&+\frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\left(\int_{|x_{0}-y|>2}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}|b(y)-b_{B,w}|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}w(B)\\ &=:& KK_{1}+KK_{2}. \end{eqnarray*}$$

由性质3.1 可得 $KK_{2}$ 的如下估计 $$KK_{2}\leq C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}.$$

再次应用(2.1),(2.3)式和引理3.2 可得

$$\begin{eqnarray*} KK_{1}&=&\frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\left(\sum_{j=1}^{\infty}\int_{2^{j}<|x_{0}-y|<2^{j+1}}\frac{|f(y)|}{|x_{0}-y|^{n}}{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\int_{B}|b(x)-b_{B,w}|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\\ &\leq&\frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}\int_{2^{j+1}B}|f(y)|{\rm d}y\right)^{p-\varepsilon}\int_{B}|b(x)-b_{B,w}|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\\ &\leq& \frac{C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}}{w(B)^{\lambda}}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{j}B|}\left(\frac{1}{w(2^{j+1}B)^{\lambda}}\int_{2^{j+1}B}|f(y)|^{p-\varepsilon}w(y){\rm d}y\right)^{\frac{1}{(p-\varepsilon)}}w(2^{j+1}B)^{\frac{\lambda}{(p-\varepsilon)}}\\ &&\times \left(\int_{2^{j+1}B}w(y)^{-{1}/{p-\varepsilon-1}}{\rm d}y\right)^{\frac{(p-\varepsilon-1)}{(p-\varepsilon)}}\int_{B}|b(x)-b_{B,w}|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x \\ &\leq& C^{p-\varepsilon}\varepsilon^{\theta}\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{|2^{j+1}B|^{-\frac{1}{(p-\varepsilon)}}}{|2^{j}B|}\left(\frac{1}{|2^{j+1}B|}\int_{2^{j+1}B}w(y){\rm d}y\right)^{-\frac{1}{(p-\varepsilon)}}w(2^{j+1}B)^{\frac{\lambda}{(p-\varepsilon)}}\right)^{p-\varepsilon}\\ &&\times \|f\|_{M_{p-\varepsilon,\lambda}(w)}\int_{B}|b(x)-b_{B,w}|^{p-\varepsilon}w(x){\rm d}x\\ &\leq& C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}\sum_{j=1}^{\infty}\left(\frac{w(B)^{{(1-\lambda)}/{(p-\varepsilon)}}}{w(2^{j+1}B)^{{(1-k)}/{(p-\varepsilon)}}}\right)^{p-\varepsilon}\\ &\leq& C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}. \end{eqnarray*}$$

(3.8)

所以, $$\begin{equation}\label{3.19} KK\leq C^{p-\varepsilon}\|f\|_{M_{p),\theta,\lambda,r}(w)}^{p-\varepsilon}. \end{equation}$$

由(3.7) 和(3.8) 式可得(3.6)式.证毕.

定理3.3 和定理3.2 的证明同定理3.1.

注3.1 当空间 $M_{p),\theta,\lambda,\xi}(w)$ 定义在有界开集上时, 定理 3.1 -定理 3.3 对 $\xi=1$ 也成立.