设 $E$ 和 $E^*$ 为实 Banach 空间与 $E$ 的对偶空间. 用 $F(T)$ 记 $T$ 的不动点集,其中 $T$ 为非线性映射. 正规对偶映射 $J:E\rightarrow 2^{E^*}$ 定义为 $$J(x)={x^*\in E^*:\ {x,x^*}=||{x}^2||,\ ||{x^*}||=||{x}}||,\forall\ x\in E.$$ 众所周知,若 $E$ 光滑,则 $J$ 是单值的,记作 $j$. 现在回忆 Banach 空间中一些基本概念.

$E$ 称为严格凸的,若对任意 $x,y\in E$,$x\neq y$, 且 ${x}={y}=1$,则有 ${\frac{x+y}{2}}<1$. $E$ 称为一致凸的,若对任意 $\epsilon>0$,存在常数 $\delta>0$ 使得, 对于 $x,y\in E$,当 ${x}={y}=1$, ${x-y}\geq\epsilon$ 时,有 ${\frac{x+y}{2}}<1-\delta$.

$E$ 的光滑模 $\rho_E:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ 定义为 $$\rho_E(t)=\sup{\frac{1}{2}({x+y}+{x-y})-1:\,x\in S(E),\,{y}\leq t}.$$

$E$ 称为一致光滑的,若当 $t\rightarrow 0$ 时,有 $\frac{\rho_E(t)}{t}\rightarrow 0$. $E$ 称为 $q$ -一致光滑的, 若存在常数 $c>0$ 使得 $\rho_E(t)\leq ct^q$. 众所周知,若 $E$ 是 $q$ -一致光滑的,则 $q\leq 2$ 且 $E$ 是一致光滑的.

设 $C$ 和 $D$ 为 Banach 空间 $E$ 的两个非空子集使得 $C$ 是非空闭凸的且 $D\subset C$,映射 $P:C\rightarrow D$ 称为向阳的^[1],若当 $x+t(x-P(x))\in C$ 时,有 $$P(x+t(x-P(x)))=P(x),\forall \,x\in C,\,t\geq0.$$ 映射 $P:C\rightarrow D$ 称为拉回,若 $Px=x,\ \forall\ x\in D$. $P$ 称为从 $C$ 到 $D$ 上的向阳非扩张拉回,若 $P$ 是 $C$ 到 $D$ 上的拉回且是非扩张的. $C$ 中子集 $D$ 称为 $C$ 的向阳非扩张拉回,若存在一个从 $C$ 到 $D$ 上的向阳非扩张拉回映射.

命题1.1 ^[1] 设 $C$ 为 Banach 空间 $E$ 的闭凸子集, $D$ 为 $C$ 的子集. 设 $P:C\rightarrow D$ 拉回映射且 $J$ 为 $E$ 中正规对偶映射. 则下面命题等价

(a)~ $P$ 是向阳非扩张的.

(b)~ ${Px-Py}^2\leq{x-y,J(Px-Py)},\,\,\forall\,x,y\in C$.

(c)~ ${x-Px,J(y-Px)}\leq0,\,\,\forall\,x\in C,y\in D$.

命题1.2 ^[2] 若 $E$ 是严格凸的且是一致光滑的,$T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射且其不动点集为 $F(T)$,则 $F(T)$ 是 $C$ 中向阳非扩张拉回集.

映射 $T:C\rightarrow C$ 称为非扩张的,若 $${Tx-Ty}\leq{x-y},\forall\,\,x,y\in C.(1.1)$$

映射 $T:C\rightarrow C$ 称为固定非扩张的,若存在 $j(x-y)\in J(x-y)$ 使得 $${Tx-Ty}^2\leq{Tx-Ty,j(x-y)},\forall\,\,x,y\in C.(1.2)$$

注1.1 若 $E$ 为 Hilbert 空间,则 $(1.2)$ 式等价于 $${Tx-Ty}^2\leq{Tx-Ty,x-y},\forall\,\,x,y\in C.$$ 因此 Banach 空间中固定非扩张映射的定义包含 Hilbert 空间中固定非扩张映射的定义作为特殊情况.

$T$ 称为吸引非扩张的,若它是非扩张的且满足 $${Tx-p}<{x-p},\ \forall\ x\notin \mbox{F(T)},p\in\mbox{F(T)}.$$ \par $A:C\rightarrow E$ 称为增生的,若存在 $j(x-y)\in J(x-y)$ 使得 $${Ax-Ay,j(x-y)}\geq0,\forall\,\,x,y\in C.(1.3)$$ \par $A:C\rightarrow E$ 称为 $\alpha$ -逆强增生的,若存在 $j(x-y)\in J(x-y)$ 和 $\alpha>0$ 使得 $${Ax-Ay,j(x-y)}\geq \alpha{Ax-Ay}^q,\forall\,\,x,y\in C.(1.4)$$ \par $T:C\rightarrow C$ 称为 $\lambda$ -严格伪压缩的^[3], 若存在常数 $\lambda>0$ 使得对于任意 $x,y\in C$ 和 $j(x-y)\in J(x-y)$,有 $${Tx-Ty,j(x-y)}\leq{x-y}^q-\lambda{(I-T)x-(I-T)y}^q.(1.5)$$ \par 变分不等式理论已经成为研究理论和应用数学中的许多问题的一个重要工具, 已经发展了一些解决变分不等式的迭代算法,见文献^{[4, 5, 6, 7, 8, 9]}. \par 设 $C$ 为实 Hilbert 空间 $H$ 的非空闭凸子集, $A:C\rightarrow H$ 为非线性映射. 经典的变分不等式就是找 $x^*$ 满足 $${Ax^*,x-x^*}\geq0,\ \forall\ x\in C.(1.6)$$ \par 最近,Ceng^[4] 考虑了下面一般变分不等式问题: 找 $(x^*,y^*)\in C\times C$ 满足 $$\left\{ \begin{array}{l} {\lambda Ay^*+x^*-y^*,x-x^*}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ {\mu Bx^*+y^*-x^*,x-y^*}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ \end{array} \right.(1.7)$$ 其中 $\lambda>0$ 和 $\mu>0$ 为两个常数,$A,B:C\rightarrow H$ 为非线性算子. 特别地,若 $A=B,\ x^*=y^*$,则问题 $(1.7)$ 变为问题 $(1.6)$. 为了找问题 $(1.7)$ 的解集与一个非扩张映射 $T$ 的不动点集的公共元, 他们研究了下面算法 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1=u\in C,\\ y_n=P_C(x_n-\mu Bx_n),\\ x_{n+1}=\alpha_nu+\beta_nx_n+\gamma_nTP_C(y_n-\lambda Ay_n),\\ \end{array} \right.(1.8)$$ 并且证明了强收敛定理.

最近,Yao^[5]在 Banach 空间里引进下面一般变分不等式问题: 找 $(x^*,y^*)\in C\times C$ 满足 $$\left\{ \begin{array}{l} { Ay^*+x^*-y^*,j(x-x^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ {Bx^*+y^*-x^*,j(x-y^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ \end{array} \right.(1.9)$$ 其中 $C$ 为实 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集,$A,B:C\rightarrow E$ 为非线性算子. 他们在具有弱序列连续对偶映射的一致凸和 2 -一致光滑 Banach 空间里研究了下面迭代算法 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0,u\in C,\\ y_n=Q_C(x_n- Bx_n),\\ x_{n+1}=\alpha_nu+\beta_nx_n+\gamma_nQ_C(y_n- Ay_n).\\ \end{array} \right.(1.10)$$ \par 在 Banach 空间里,我们引进下面一般变分不等式问题: 设 $C$ 为 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集,${A_i}_{i=1}^M:C\rightarrow E$ 为一族映射,找 $(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_M^*)\in C\times C\cdots\times C$ 满足 $$\left\{ \begin{array}{l} {\mu_MA_Mx_M^*+x_1^*-x_M^*,j(x-x_1^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ { \mu_{M-1}A_{M-1}x_{M-1}^*+x_M^*-x_{M-1}^*,j(x-x_M^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ \vdots\\ {\mu_2A_2x_2^*+x_3^*-x_2^*,j(x-x_3^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ {\mu_1A_1x_1^*+x_2^*-x_1^*,j(x-x_2^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ \end{array} \right.(1.11)$$ 这里 $\mu_i>0,\ i\in {1,2,\cdots,M}$. 特别地,若 $M=2,A_1=B,A_2=A,\mu_2=\lambda, \mu_1=\mu,x_2^*=y^*,$ $x_1^*=x^*$,则问题 $(1.11)$ 变为下面问题: 找 $(x_1^*,x_2^*)\in C\times C$ 满足

$$\left\{ \begin{array}{l} {\lambda A y^*+x^*-y^*,j(x-x^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C,\\ {\mu B x^*+y^*-x^*,j(x-y^*)}\geq0,\,\,\forall\,x\in C.\\ \end{array} \right.(1.12)$$

另外一方面,许多学者研究过非扩张映射的粘性迭代算法, 见文献 ^{[10, 11, 12, 13, 14]}. 例如,Xu[10}$ 在一致光滑 Banach 空间里证明了下面强收敛定理.

定理1.1 设 $E$ 为一致光滑 Banach 空间,$C$ 为 $E$ 的闭子集,$T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射满足 $F(T)\neq\emptyset$,设 $f\in \Pi_C$,其中 $\Pi_C$ 为 $C$ 上所有压缩映射构成的集合. 序列 ${x_n}$ 定义为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)Tx_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(1.13)$$ 其中 ${\alpha_n}\subset(0,1)$ 满足

(H1)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(H2)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(H3)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F(T)$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F(T).$$

最近,Yotkaew 和 Saejung^[14] 证明了下面定理.

定理1.2 设 $E$ 为一致光滑 Banach 空间,设 $C$ 为 $E$ 的闭凸子集. 假设 $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射满足 $F(T)\neq\emptyset$. $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射. 序列${x_n}$ 定义为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTx_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(1.14)$$ 其中 $(0,1)$ 中序列 ${\alpha_n},{\beta_n},{\gamma_n}$ 满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 且 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F(T)}f(z)=z$.

该文首先给出吸引非扩张映射的一些性质,随后,我们在一致光滑 Banach 空间里,用这些性质研究两个非扩张映射的不动点问题的迭代算法. 作为应用,我们在 Hilbert 空间或 Banach 空间里,得 到了一些关于变分不等式问题,不动点问题和混合均衡问题的强收敛定理.

为了证明我们的主要结果,我们需要下面引理.

引理2.1 ^[15] 设 $E$ 为实光滑的,一致凸 Banach 空间且 $r>0$. 则存在严格增, 连续的凸函数 $g:[0,2r]\rightarrow {\mathbb R}$ 满足 $g(0)=0$ 和 $g({x-y})\leq{x}^2-2{x,jy}+{y}^2,\ \forall\ x,y\in B_r={x:{x}\leq r}$.

引理2.2 ^[16] 设 $q>1$,$r>0$,$E$ 为一致光滑 Banach 空间. 则存在连续的, 严格增的凸函数 $\phi:{\mathbb R}^+\rightarrow {\mathbb R}^+,\phi(0)=0$ 使得对于任意 $x,y\in B_r={z\in E:{z}\leq r}$,有 $${x+y}^q\leq{x}^q+q{y,J_q(x)}+\phi({y}).(2.1)$$

引理2.3 ^[16] 设 $E$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间,则存在最佳光滑常数 $K>0$ 满足 ${x+y}^2\leq{x}^2+2{y,jx}+2{Ky}^2,\forall\,x,y\in E.$

引理2.4 ^[17] 设 $C$ 为实一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. 映射 $A:C\rightarrow E$ 是 $\alpha$ -逆强增生的. 假设 $\phi(t)\leq 2t^2, t\in [0,\infty)$,其中 $\phi$ 是 $(2.1)$式 中定义的函数. 则 $${(I-\mu A)x-(I-\mu A)y}^2\leq{x-y}^2+2\mu(\mu-\alpha){Ax-Ay}^2,(2.2)$$ 其中 $\mu>0$. 特别地,若 $\mu\leq\alpha$,则 $I-\mu A$ 是非扩张映射.

引理2.5 ^[18] 设 $C$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. 映射 $A:C\rightarrow E$ 是 $\alpha$ -逆强增生的. 则 $${(I-\lambda A)x-(I-\lambda A)y}^2\leq{x-y}^2+2\lambda(\lambda K^2-\alpha){Ax-Ay}^2,(2.3)$$ 其中 $\lambda>0$,$K$ 是 2 -一致光滑常数,特别地,若 $0<\lambda\leq\frac{\alpha}{K^2}$,则 $I-\lambda A$ 是非扩张的.

引理2.6 ^[18] 设 $C$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上的向阳非扩张拉回映射. $A,B:C\rightarrow E$ 分别为 $\alpha$ -逆强增生的和 $\beta$ -逆强增生的. 设映射 $G_1:C\rightarrow C$ 定义为 $$G_1(x)=Q_C{Q_C(x-\mu Bx)-\lambda AQ_C(x-\mu Bx)},\,\,\forall\,x\in C.(2.4)$$ 若 $0<\lambda\leq\frac{\alpha}{K^2}$ 且 $0<\mu\leq\frac{\beta}{K^2}$,则 $G_1:C\rightarrow C$ 是非扩张的.

引理2.7 ^[18] 设 $C$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上的向阳非扩张拉回映射. $A,B:C\rightarrow E$ 为两个非线性映射. 任给 $x^*,y^*\in C$,$(x^*,y^*)$ 为问题 $(1.12)$ 的解当且仅当 $x^*=Q_C(y^*-\lambda Ay^*)$ 其中 $y^*=Q_C(x^*-\mu Bx^*)$,即 $x^*=G_1x^*$,这里 $G_1$ 的定义见引理 $2.6$.

引理2.8 ^[17] 设 $C$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上的向阳非扩张拉回映射. $A_i:C\rightarrow E$ 为 $\alpha_i$ -逆强增生的,这里 $i\in {1,2,\cdots,M}$. 假设 $\phi(t)\leq 2t^2,t\in [0,\infty)$,其中 $\phi$ 的定义见 $(2.1)$式. 映射 $G_2:C\rightarrow C$ 定义为 $$G_2(x)=Q_C(I-\mu_MA_M)Q_C(I-\mu_{M-1}A_{M-1})\cdots Q_C(I-\mu_2A_2)Q_C(I-\mu_1A_1)x,\,\forall\,x\in C.(2.5)$$ 若 $0<\mu_i\leq\alpha_i$,$i=1,2,\cdots,M$,则 $G_2:C\rightarrow C$ 是非扩张的.

引理2.9 ^[17] 设 $C$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上的向阳非扩张拉回映射. $A_i:C\rightarrow E$ 为非线性映射,其中 $i=1,2,\cdots,M$. 设 $x_i^*\in C$,$i=1,2,\cdots,M$, 则 $(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_M^*)$ 为问题 $(1.11)$ 的解当且仅当 $$x_i^*=Q_C(I-\mu_{i-1}A_{i-1})x_{i-1}^*,x_1^*=Q_C(I-\mu_MA_M)x_M^*, i=2,\cdots,M.$$ 即 $x_1^*=G_2x_1^*$,其中 $G_2$ 的定义见引理 $2.8$.

引理2.10 ^[19] 设 $E$ 是严格凸的,$T_1$ 是吸引非扩张的,$T_2$ 是非扩张的且他们有公共不动点. 则 $F(T_1T_2)=T(T_2T_1)=F(T_1)\cap F(T_2)$.

注2.1 检查文献 ^[9] 中此引理的证明,我们注意到严格凸条件可以去掉.

引理2.11 (参见文献[19,命题 2.10(i)]) 设 $D$ 为非空闭凸集,$T_1,\cdots,T_N:D\rightarrow D$ 是吸引非扩张的且 $\cap_{i=1}^NF(T_i)$ 非空. 则 $F(T_N,\cdots,T_1)=\cap_{i=1}^NF(T_i)$ 且 $T_NT_{N-1}\cdots T_1$ 是吸引非扩张的.

注2.2 当 $T_1,\cdots,T_N$ 为非自映射且满足 $R(T_i)\subseteq D(T_{i+1})$ 时, 引理 2.11 也成立,其中 $R(T_i)$ 为 $T_i$ 的值域,$D(T_{i+1})$ 为 $T_{i+1}$ 的定义域,$i=1,2,\cdots,N-1$.

引理2.12 设 $C$ 为实光滑的,一致凸 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上的向阳非扩张拉回映射. 则 $Q_C$ 是吸引非扩张的.

证 事实上,我们仅需证明 $Q_C$ 是吸引的. 对于任意 $x\notin F(Q_C)$ 和 $y\in F(Q_C)$,根据命题 $1.1$ 和引理 $2.1$,有 $$\begin{eqnarray*} {Q_Cx-y}^2&=&{Q_Cx-Q_Cy}^2\\ &\leq&{x-y,j(Q_Cx-Q_Cy)}\\ &\leq&\frac{1}{2}[{x-y}^2+{Q_Cx-Q_Cy}^2-g_{x,y}({x-Q_Cx})], \end{eqnarray*}$$ 于是 $${Q_Cx-y}^2\leq{x-y}^2-g_{x,y}({x-Q_Cx}),(2.6)$$ 这里 $g_{x,y}$ 是一个满足引理 $2.1$ 中条件的函数.由 $x\notin F(Q_C)$ 得 $$g_{x,y}({x-Q_Cx})\neq0.$$ 根据 $(2.6)$式,有 $${Q_Cx-y}<{x-y},$$ 因此 $Q_C$ 是吸引的. 证毕.

引理2.13 设 $C$ 为实 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. 映射 $A:C\rightarrow E$ 是 $\alpha$ -逆强增生的满足 $F(I-\lambda A)\neq\emptyset$. 假设 $\lambda$ 满足 $0<\lambda<\frac{\alpha}{K^2}$,则 $I-\lambda A$ 是吸引非扩张的.

证 根据引理 $2.5$,知 $I-\lambda A$ 是非扩张的. 下面证明 $I-\lambda A$ 是吸引的. 任给 $x\notin F(I-\lambda A)$ 和 $y\in F(I-\lambda A)$,有 $$x\neq x-\lambda Ax,\ y=y-\lambda Ay,$$ 即 $$Ax\neq0,\ Ay=0.(2.7)$$ 根据引理 $2.5$ 和 $(2.7)$式 得 $$\begin{eqnarray*} {(I-\lambda A)x-(I-\lambda A)y}^2&\leq&{x-y}^2+2\lambda(\lambda K^2-\alpha){Ax-Ay}^2\\ &\leq&{x-y}^2+2\lambda(\lambda K^2-\alpha){Ax}^2\\ &<&{x-y}^2, \end{eqnarray*}$$ 于是 $${(I-\lambda A)x-(I-\lambda A)y}<{x-y}.$$ 因此 $I-\lambda A$ 是吸引非扩张的. 证毕.

引理2.14 设 $C$ 为实 Banach 空间 $E$ 中非空闭凸子集. 映射 $A:C\rightarrow E$ 是 $\alpha$ -逆强增生的满足 $F(I-\lambda A)\neq\emptyset$. 设 $0<\lambda<\alpha$ 且 $\phi(t)\leq 2t^2,t\in [0,\infty)$,其中 $\phi$ 的定义见 $(2.1)$式, 则 $I-\lambda A$ 是吸引非扩张的.

证 证明与引理 $2.13$ 类似,我们略去细节.

引理2.15 设 $C$ 为实光滑的,一致凸 Banach 空间 $E$ 的非空闭凸子集. $T:C\rightarrow C$ 为固定非扩张映射满足 $F(T)\neq\emptyset$. 则 $T$ 是吸引非扩张的.

证 证明与引理 $2.12$ 类似,我们略去.

定理3.1 设 $C$ 为一致光滑 Banach 空间 $E$ 的闭凸子集,$T:C\rightarrow C$ 非扩张映射和 $S:C\rightarrow C$ 为吸引非扩张映射满足 $$F=F(T)\cap F(S)\neq\emptyset,~~ f\in \Pi_C,$$ 这里 $\Pi_C$ 表示 $C$ 上所有压缩映射之集. 序列 ${x_n}$ 定义为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)TSx_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(3.1)$$ 其中 ${\alpha_n}\subset(0,1)$ 满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

证 根据引理 $2.10$ 和注意 $2.1$,有 $F(TS)=F(T)\cap F(S)$. 因为 $T$ 是非扩张的和 $S$ 是吸引非扩张的,易知 $TS$ 是非扩张的. 因此,根据定理 1.1,有序列 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F(TS)=F(T)\cap F(S)=F$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$ 证毕.

定理3.2 设 $E$ 为一致光滑 Banach 空间,$C$ 为 $E$ 中闭凸子集. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射和 $S:C\rightarrow C$ 为吸引非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(S)\neq\emptyset$, 且 $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射. 序列 ${x_n}$ 定义为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTSx_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(3.2)$$ 其中 ${\alpha_n},{\beta_n},{\gamma_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$, $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$,其中 $Q_F$ 为 $C$ 到 $F$ 上的向阳非扩张拉回映射.

证 与定理 $3.1$ 证明 一样,有 $TS$ 是非扩张的且 $F(TS)=F(T)\cap F(S)$. 因此由定理 $1.2$ 知序列 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$. 证毕.

定理3.3 设 $C$ 为一致凸,2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 的闭凸子集. $C$ 为 $E$ 中向阳非扩张拉回. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上向阳非扩张拉回映射. 映射 $A,B:C\rightarrow E$ 分别为 $\alpha$ -逆强增生的和 $\beta$ -逆强增生的. 设 $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射且 $S:C\rightarrow C$ 为固定非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(S)\cap F(G_1)\neq\emptyset$, 其中 $G_1$ 的定义见引理 $2.6$. $f\in \Pi_C$ 且其系数 $\delta\in(0,1)$,这里 $\Pi_C$ 为 $C$ 上所有压缩映射构成之集. 序列 ${x_n}$ 定义为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ z_n=Q_C(x_n-\mu Bx_n),\\ y_n=Q_C(z_n-\lambda Az_n),\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)TSy_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(3.3)$$ 其中 $0<\lambda<\frac{\alpha}{K^2},\ 0<\mu<\frac{\beta}{K^2}$. 假定 ${\alpha_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列且满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

证 $(3.3)$ 式可重新写为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)TSG_1x_n,\ n\geq0.\\ \end{array} \right.(3.4)$$ 根据引理 $2.12$,有 $Q_C$ 是吸引非扩张的. 由引理 $2.13$ 得 $I-\mu B$ 也是吸引非扩张的. 于是根据引理 $2.11$ 和注 $2.2$ 得 $Q_C(I-\mu B)$ 是吸引非扩张的. 同样地,我们有 $Q_C(I-\lambda A)$ 是吸引非扩张的. 再次用引理 $2.11$,得 $G_1=Q_C(I-\lambda A) Q_C(I-\mu B)$ 是吸引非扩张的. 另外一方面,由引理 $2.15$ 知 $S$ 也是吸引非扩张的. 根据引理 $2.11$,有 $SG_1$ 是吸引非扩张的且 $F(SG_1)=F(S)\cap F(G_1)$. 于是由定理 $3.1$ 知结论成立.证毕.

用定理 3.2,可得到下面定理.

定理3.4 设 $E$ 为一致凸,2 -一致光滑 Banach 空间,$C$ 为 $E$ 中闭凸子集. 设 $C$ 为 $E$ 中向阳非扩张拉回集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上向阳非扩张拉回映射. 映射 $A,B:C\rightarrow E$ 分别为 $\alpha$ -逆强增生的和 $\beta$ -逆强增生的. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张的且 $S:C\rightarrow C$ 为固定非扩张的满足 $F=F(T) \cap F(S)\cap F(G_1)\neq\emptyset$,其中 $G_1$ 的定义见引理 $2.6$. $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射且其系数 $\delta\in(0,1)$. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ z_n=Q_C(x_n-\mu Bx_n),\\ y_n=Q_C(z_n-\lambda Az_n),\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTSy_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(3.5)$$ 这里 $0<\lambda<\frac{\alpha}{K^2},\ 0<\mu<\frac{\beta}{K^2}$. 假设 ${\alpha_n},{\beta_n},{\gamma_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\ \forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 且 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$,这里 $Q_F$ 为 $C$ 到 $F$ 上的向阳非扩张拉回.

注3.1 类似地,我们可以将定理 3.3 和定理3.4 中的两个逆强增生算子推广 到有限个逆强增生算子.

当定理 3.3 和定理 3.4 中 $S$ 为恒等映射时,我们得到下面推论.

推论3.1 设 $C$ 为一致凸,2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 中闭凸子集. $C$ 也是 $E$ 中向阳非扩张拉回集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上的向阳非扩张拉回映射. 映射 $A,B:C\rightarrow E$ 分别为 $\alpha$ -逆强增生的和 $\beta$ -逆强增生的. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(G_1)\neq\emptyset$,其中 $G_1$ 的定义见引理 $2.6$. $f\in \Pi_C$ 且其系数 $\delta\in(0,1)$, 这里 $\Pi_C$ 表示 $C$ 上所有压缩映射之集. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ z_n=Q_C(x_n-\mu Bx_n),\\ y_n=Q_C(z_n-\lambda Az_n),\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)Ty_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(3.6)$$ 这里 $0<\lambda<\frac{\alpha}{K^2},\ 0<\mu<\frac{\beta}{K^2}$. 假设 ${\alpha_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决下面变分不等式问题 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

推论3.2 设 $E$ 为一致凸,2 -一致光滑 Banach 空间,$C$ 为 $E$ 中闭凸子集. $C$ 也是 $E$ 中向阳非扩张拉回集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上向阳非扩张拉回映射. 映射 $A,B:C\rightarrow E$ 分别为 $\alpha$ -逆强增生的和 $\beta$ -逆强增生的. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(G_1)\neq\emptyset$,其中 $G_1$ 的定义见引理 $2.6$. $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射且其系数 $\delta\in(0,1)$. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ z_n=Q_C(x_n-\mu Bx_n),\\ y_n=Q_C(z_n-\lambda Az_n),\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTy_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(3.7)$$ 其中 $0<\lambda<\frac{\alpha}{K^2},\ 0<\mu<\frac{\beta}{K^2}$. 假设 ${\alpha_n},{\beta_n},{\gamma_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列且满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$,这里 $Q_F$ 为 $C$ 到 $F$ 上的向阳非扩张拉回映射.

定理3.5 设 $C$ 为一致凸,一致光滑 Banach 空间 $E$ 中闭凸子集. $C$ 也是 $E$ 中向阳非扩张拉回集. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上向阳非扩张拉回映射. 映射 $A_i:C\rightarrow E$ 为 $\eta_i$ -逆强生的,其中 $i\in {1,2,\cdots,M}$. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(G_2)\neq\emptyset$,这里 $G_2$ 的定义见引理 $2.8$. 假设 $\phi(t)\leq 2t^2,t\in [0,\infty)$,其中 $\phi$ 的定义见 $(2.1)$式. $f\in \Pi_C$ 且其系数 $\delta\in(0,1)$,其中 $\Pi_C$ 表示 $C$ 上所有压缩映射之集. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ z_n=Q_C(I-\mu_MA_M)\cdots Q_C(I-\mu_2A_2)Q_C(I-\mu_1A_1)x_n,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)Tz_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(3.8)$$ 这里 $0<\mu_i<\eta_i,i\in {1,2,\cdots,M}$. 假设 ${\alpha_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列且满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

证 根据引理 $2.12$,有 $Q_C$ 是吸引非扩张的. 由引理 $2.14$ 知 $I-\mu_i B$ 也是吸引非扩张的. 因此由引理 $2.11$ 和注 $2.2$ 得 $Q_C(I-\mu_i B)$ 是吸引非扩张的,这里 $i\in {1,2,\cdots,M}$. 用引理 $2.11$,我们得到 $G_2$ 是吸引非扩张的. 观察知 $(3.8)$式 可重写为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)TG_2x_n,\ n\geq0.\\ \end{array} \right.(3.9)$$ 因此,由定理 $3.1$ 知 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$ 证毕.

定理3.6 设 $C$ 为一致凸,一致光滑 Banach 空间 $E$ 的闭凸子集. $C$ 也是 $E$ 中向阳非扩张映射. $Q_C$ 为 $E$ 到 $C$ 上向阳非扩张拉回映射. 映射 $A_i:C\rightarrow E$ 为 $\eta_i$ -逆强增生的,其中 $i\in {1,2,\cdots,M}$. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(G_2)\neq\emptyset$,其中 $G_2$ 的定义见 引理 $2.8$. 假设 $\phi(t)\leq 2t^2,t\in [0,\infty)$,其中 $\phi$ 的定义见 $(2.1)$式. $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射且其系数 $\delta\in(0,1)$. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ z_n=Q_C(I-\mu_MA_M)\cdots Q_C(I-\mu_2A_2)Q_C(I-\mu_1A_1)x_n,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTz_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(3.10)$$ 这里 $0<\mu_i<\eta_i,i\in {1,2,\cdots,M}$. 假设 ${\alpha_n},{\beta_n},{\gamma_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列且满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 且 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$,这里 $Q_F$ 为 $C$ 到 $F$ 上向阳非扩张拉回映射.

证 $(3.10)$ 式重新写为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTG_2x_n,\ n\geq1.\\ \end{array} \right.(3.11)$$ 根据定理 $3.5$ 的证明,有 $G_2$ 是吸引非扩张的. 由定理 $3.2$ 知序列 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$. 证毕.

定理3.7 设 $C$ 为一致凸,一致光滑 Banach 空间 $E$,$T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射且 $S:C\rightarrow C$ 是非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(S)\neq\emptyset$,$f\in \Pi_C$,其中 $\Pi_C$ 表示 $C$ 中所有压缩映射之集. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)TSx_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(3.12)$$ 这里 ${\alpha_n}\subset(0,1)$ 满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

证 由引理 2.15 知 $S$ 是吸引非扩张的. 根据定理 $3.1$, 我们得到此定理成立.

定理3.8 设 $E$ 为一致凸,一致光滑 Banach 空间,$C$ 为 $E$ 中闭凸子集. $T:C\rightarrow C$ 为非扩张映射且 $S:C\rightarrow C$ 为固定非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(S)\neq\emptyset$, $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nTSx_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(3.13)$$ 其中 ${\alpha_n},{\beta_n},{\gamma_n}$ 是 $(0,1)$ 中序列满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 且 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$,这里 $Q_F$ 为 $C$ 到 $F$ 上向阳非扩张拉回映射.

证 由引理 2.15 知 $S$ 为吸引非扩张映射. 根据定理 $3.2$ 知所证结论成立.

(I)~ 应用到严格伪压缩映射的不动点问题.

下面引理给出了严格伪压缩映射与非扩张映射之间的关系.

引理4.1 ^[20] 设 $C$ 为 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 中非空闭凸子集,$T:C\rightarrow C$ 为 $\lambda$ -严格伪压缩映射. 令 $\alpha\in (0,1)$,定义 $T_\alpha x=(1-\alpha)x+\alpha Tx$. 则当 $\alpha\in (0,\frac{\lambda}{K^2}]$ 时,有 $T_\alpha:C\rightarrow C$ 是非扩张的且 $F(T_\alpha)=F(T)$.

定理4.1 设 $C$ 为 2 -一致光滑 Banach 空间 $E$ 中非空闭凸子集, $T:C\rightarrow C$ 为 $\lambda$ -严格伪压缩映射且 $S:C\rightarrow C$ 为吸引非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(S)\neq\emptyset$,$f\in \Pi_C$, 其中 $\Pi_C$ 为 $C$ 中所有压缩映射之集. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)T_\alpha Sx_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(4.1)$$ 其中 $T_\alpha=(1-\alpha)I+\alpha T$, $\alpha\in(0,\frac{\lambda}{K^2}]$. 假设 ${\alpha_n}\subset(0,1)$ 满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且解决了下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

证 根据引理 $4.1$,知 $T_\alpha$ 是非扩张的且 $F(T_\alpha)=F(T)$. 根据定理 $3.1$,我们得到结论成立.证毕.

定理4.2 设 $E$ 为 2 -一致光滑 Banach 空间,$C$ 为 $E$ 中闭凸子集. $T:C\rightarrow C$ 为 $\lambda$ -严格伪压缩映射且 $S:C\rightarrow C$ 为吸引非扩张映射满足 $F=F(T)\cap F(S)\neq\emptyset$, $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nT_\alpha Sx_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(4.2)$$ 其中 $T_\alpha=(1-\alpha)I+\alpha T$, $\alpha\in(0,\frac{\lambda}{K^2}]$. 假设 ${\alpha_n}, {\beta_n},{\gamma_n}$ 是 $(0,1)$ 中序列且满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$,这里 $Q_F$ 是从 $C$ 到 $F$ 上向阳非扩张拉回映射.

证 由引理 $4.1$,得 $T_\alpha$ 是非扩张的且 $F(T_\alpha)=F(T)$. 根据定理 $3.2$,知序列 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 满足 $Q_{F}f(z)=z$. 证毕.

(II)~ 应用到一般混合均衡问题.

设 $H$ 为 Hilbert 空间. 于是 $${x-y}^2={x}^2+{y}^2-2{x,y}(4.3)$$ 且 $${\lambda x+(1-\lambda)y}^2=\lambda{x}^2+(1-\lambda){y}^2-\lambda(1-\lambda){x-y}^2,\forall\ x,y\in H,\lambda\in[0,1].(4.4)$$

设 $\varphi:C\rightarrow {\mathbb R}$ 为实值函数, $A:C\rightarrow H$ 为非线性映射. 假设 $F:C\times C\rightarrow {\mathbb R}$ 为双线性函数. 一般混合均衡问题就是找 $x\in C$ (见文献 ^[21]) 使得 $$F(x,y)+\varphi(y)-\varphi(x)+{Ax,y-x}\geq0,\forall\,y\in C.(4.5)$$ 问题$(4.5)$ 的解集记为 $GMEP(F,\varphi,A)$. \par 若 $\varphi=0$,则问题 $(4.5)$ 变为被许多学者研究过的一般均衡问题 (见文献 ^{[22, 23, 24]}),即找 $x\in C$ 满足 $$F(x,y)+{Ax,y-x}\geq0,\forall\,y\in C.(4.6)$$ 问题$(4.6)$ 的解集记为 $EP(F,A)$.

若 $A=0$,则问题 $(4.5)$ 变为混合均衡问题(见文献 ^[25]),即找 $x\in C$ 满足 $$F(x,y)+\varphi(y)-\varphi(x)\geq0,\forall\,y\in C.(4.7)$$ 问题$(4.7)$ 的解集记为 $MEP(F,\varphi)$.

若 $\varphi=0,A=0$,则问题 $(4.5)$ 变为均衡问题 (见文献^{[26, 27, 28]}), 即是找 $x\in C$ 满足 $$F(x,y)\geq0,\forall\,y\in C.(4.8)$$ 问题$(4.8)$ 的解集记为 $EP(F)$.

为了解决均衡平衡问题,我们假设双线性函数 $F$ 满足下面条件

(A1)~ $F(x,x)=0,\forall\ x\in C$;

(A2)~ $F$ 是单调的,即 $$F(x,y)+F(y,x)\leq0,\forall\ x,y\in C;$$

(A3)~ $F$ 是上半连续的,即对于任意 $x,y,z\in C,$ $$\limsup\limits_{t\rightarrow0^+}F(tz+(1-t)x,y)\leq F(x,y);$$

(A4)~ 对于任意 $x\in C$,$F(x,.)$ 是凸的且弱下半连续的;

(B1)~ 对于任意 $x\in H$ 和 $r>0$,则存在有界子集 $D_x\subseteq C$ 和 $y_x\in C$ 使得对于任意 $z\in Cminus D_x$,有 $$F(z,y_x)+\varphi(y_x)-\varphi(z)+\frac{1}{r}{y_x-z,z-x}<0;$$

(B2)~ $C$ 为有界集.

引理4.2 ^[29] 假设 $F:C\times C\rightarrow {\mathbb R}$ 满足 (A1)-(A4) 条件 且 $\varphi:C\rightarrow{\mathbb R}$ 为下半连续凸函数. 设 (B1) 或 (B2) 条件成立. 令 $r>0$ 和 $x\in H$,对于任意 $z\in H$,映射 $T_r^{(F,\varphi)}:H\rightarrow C$ 定义如下 $$T_r^{(F,\varphi)}(x)={z\in C:F(z,y)+\varphi(y)-\varphi(z)+\frac{1}{r}{y-z,z-x}\geq0,\forall\,y\in C}.$$ 则有

(1)~ 对于任意 $x\in H$,$T_r^{(F,\varphi)}(x)\neq\emptyset$;

(2)~ $T_r^{(F,\varphi)}$ 是单值的;

(3)~ $T_r^{(F,\varphi)}$ 是固定非扩张的,即对于任意 $x,y\in H$,有 $${T_r^{(F,\varphi)}x-T_r^{(F,\varphi)}y}^2\leq {T_r^{(F,\varphi)}x-T_r^{(F,\varphi)}y,x-y};$$

(4)~ $F(T_r^{(F,\varphi)})=MEP(F,\varphi)$;

(5)~ $MEP(F,\varphi)$ 是闭凸集.

由引理 2.15,我们可以得到下面结果.

引理4.3 设 $C$ 为实 Hilbert 空间 $H$ 中非空闭凸子集. $T:H\rightarrow C$ 为固定非扩张映射满足 $F(T)\neq\emptyset$. 则 $T$ 为吸引非扩张的.

定理4.3 设 $C$ 实 Hilbert 空间 $H$ 中非空闭凸子集. $\Phi$ 为 $C\times C\rightarrow{\mathbb R}$ 的双线性函数满足 (A1)-(A4)条件, $\varphi$ 为 $C$ 到 ${\mathbb R}\cup{+\infty}$ 下半连续函数 且 $B$ 为 $C$ 到 $H$ 上 $\mu$ -逆强单调算子. $S$ 为 $C$ 到自身的非扩张映射满足 $F=GMEP(\Phi,\varphi,B)\cap F(S)\neq\emptyset$. $f\in \Pi_C$,其中 $\Pi_C$ 为 $C$ 上所有压缩映射之集. 假设 (B1) 或 (B2) 成立. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ \Phi(u_n,y)+\varphi(y)-\varphi(u_n)+\frac{1}{r}{y-u_n,u_n-(I-rB)x_n}\geq0,\ \forall\ y\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)Su_n,\ n\geq0,\\ \end{array} \right.(4.9)$$ 其中 $r\in(0,2\mu)$. 假设 ${\alpha_n}\subset(0,1)$ 满足下面条件

(i)~ $\alpha_n\rightarrow0$;

(ii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $\sum\limits_{n=0}^\infty{\alpha_{n+1}-\alpha_n}<\infty$ 或 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\alpha_{n+1}/ \alpha_n)=1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $Q(f)\in F$ 且假设下面变分不等式 $${(I-f)Q(f),j(Q(f)-p)}\leq0,\ f\in \Pi_C,\ p\in F.$$

证 $(4.9)$ 式重写为 $$\left\{ \begin{array}{l} x_0\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+(1-\alpha_n)ST_r^{(\Phi,\varphi)}(I-rB)x_n. \ n\geq0,\\ \end{array} \right.(4.10)$$

因为 $H$ 为 Hilbert 空间,有 2 -一致光滑常数 $K=\frac{1}{\sqrt{2}}$. 根据引理 $2.13$,得 $I-rB$ 是吸引非扩张的. 由引理 $4.2$ 和引理 $4.3$,知 $T_r^{(\Phi,\varphi)}$ 也是吸引非扩张的. 于是根据引理 $2.11$ 得 $T_r^{(\Phi,\varphi)}(I-rB)$ 是吸引非扩张的. 由定理 $3.1$ 知所证结论成立. 证毕.

定理4.4 设 $C$ 实 Hilbert 空间 $H$ 中非空闭凸子集. $\Phi$ 为 $C\times C\rightarrow{\mathbb R}$ 的双线性函数满足 (A1)-(A4) 条件, $\varphi$ 为 $C$ 到 ${\mathbb R}\cup{+\infty}$ 下半连续函数 且 $B$ 为 $C$ 到 $H$ 上 $\mu$ -逆强单调算子. $S$ 为 $C$ 到自身的非扩张映射满足 $F=GMEP(\Phi,\varphi,B)\cap F(S)\neq\emptyset$. $f:C\rightarrow C$ 为压缩映射. 序列 ${x_n}$ 定义如下 $$\left\{ \begin{array}{l} x_1\in C,\\ \Phi(u_n,y)+\varphi(y)-\varphi(u_n)+\frac{1}{r}{y-u_n,u_n-(I-rB)x_n}\geq0,\ \forall\ y\in C,\\ x_{n+1}=\alpha_nf(x_n)+\beta_nx_n+\gamma_nSu_n,\ n\geq1,\\ \end{array} \right.(4.11)$$ 其中 $r\in(0,2\mu)$. 假设 ${\alpha_n},{\beta_n}, {\gamma_n}$ 为 $(0,1)$ 中序列且满足下面条件

(i)~ $\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=1,\forall\ n\geq1$;

(ii)~ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty\alpha_n=\infty$;

(iii)~ $0<\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n\leq \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\beta_n<1$.\\ 则 ${x_n}$ 强收敛到 $z$ 且满足 $P_{F}f(z)=z$.

证 证明需要用到定理 $3.2$ 且方法与定理 $4.3$ 的证明类似,我们略去细节.