众所周知,时滞问题经常在控制系统中遇到,在过去的几十年里, 稳定性分析受到了广泛关注[1, 2]. 在数学上,研究小时滞对动力 学系统的影响也是很重要的. 这个问题对于线性系统,包括有限维和 无限维的情况,都得到了很好的研究[3, 4, 5, 6, 7]. 然而对于非线性系统, 问题要复杂得多,但是也有非常好的结果[8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17].
在本文中,我们考虑如下一般的具有小时滞的非线性梯度系统 ∂tu+Au=f(u(t),u(t−τ)). 这里梯度系统是指对应的非时滞系统 ∂tu+Au=f(u,u) 是梯度系统,这里A是Banach空间中的扇形算子, 我们的工作空间是分数次幂空间Xα.
一般来讲,小时滞通常不会改变平衡点的局部渐近稳定性,例如, 在文献[11]中,Li和Kloeden指出,如果E是非时滞系统的局部渐近稳 定平衡点,则时滞系统在平衡点E的一个小邻域内有一个紧的局部渐近稳 定集. Mao在文献[14]中也证明了具有全局Lipschitz项的时滞非线性系统, 平衡点是全局指数渐近稳定的. 而且,小时滞的梯度系统通常和无时滞的 梯度系统行为非常相似. 例如,在参考文献[4]中,作者证明了时滞微分方 程的解和非时滞的具有相同的收敛性质. 相似的结果也可以在文献[12] 中找到,它指出,对于耗散的时滞反应扩散方程,所有的解都趋于平衡点, 当时间趋于无穷大时. 在最近的工作中[9],Li和Wang得到了一 个非常漂亮的结果: 如果平衡点是孤立双曲的,一般的时滞梯度系统的 每一个有界解都会精确地走向平衡点.
在这篇文章中,我们研究无限维情形下的时滞梯度系统. 在有限个和孤立平衡点的假设下,我们证明了一定存在一个足够小的时滞 使得时滞方程的任一个有界解将会最终进入并停留在某一个平衡点的邻域 里面,我们的方法主要是利用梯度系统不变集的Morse结构. 此外我们还得到一个更加有意思的结果: 在双曲平衡点的假设下, 一定存在ε>0 和足够小的 τ>0使得任何一个落于 某个平衡点ε -邻域内的解最终收敛于该平衡点, 当时间趋于无穷大时. 由以上两个结果,我们可以得到, 如果系统的平衡点是有限的双曲孤立平衡点,则方程(1.1)每一个有界 解将会精确地走向某个平衡点.
下面我们将给出一些基本的概念和结论,首先给出以下基本假设.
(A1)~ A是Banach空间X上的正扇形算子,并且有紧的预解式, e−At是由−A生成的解析半群. 对给定的0<α<1, 分数次幂算子Aα是有定义的. 分数次幂空间Xα=D(Aα)是一个自反的Banach空间,其上的范数定义为 ‖u‖α=‖Aαu‖X. 为简单起见,我们记X 上的范数为‖⋅‖.
(A2)~ 对给定的0<α<1,非线性项f:Xα×Xα→X具有以下性质: 对Xα×Xα中任何有界集,存在常数L使得下式成立
定义2.1 设I为某个区间,函数u称为分数次幂空间Xα中方程(1.1)的 (古典)解只要满足: u:I→Xα在区间I上连续可微, 其导数∂tu∈C(I,X),并且处处满足方程(1.1).
对于方程(1.1)的存在性结果,读者可参阅文献[18]. 通过常数变易公式, 方程(1.1)的解可表示为
定理2.1 假设A是Banach空间X上的正扇形算子,e−At是由−A生成 的解析半群,则成立下面的结论
(1)~ 对任意的α≥0,一定存在常数Cα>0 使得对 所有的t>0
(2)~ 对任意的0<α≤1,存在常数Cα>0 使得当t≥0时, 对x∈D(Aα)有
(3)~ 对任意的α≥0,存在常数Cα>0 使得当t>0时, 对x∈X有
下面的引理是著名的Aubin-Lions紧性引理,我们仅给出引理的叙述, 有兴趣的读者可以参考文献[].
引理2.1 设X0,X,X1是三个Banach空间, 满足X0⊆X⊆X1. 假设X0紧嵌入到X, X连续嵌入到X1,并且假定X0和X1是自反空间. 对1<p,q<∞,记 W={u|u∈Lp([0,T;X0),u′∈Lq([0,T];X1)}, 则W紧嵌入到Lp[0,T;X).
最后我们给出一些基本的概念. 如果Au0=f(u0),i.e., ∂tu0≡0,则称u0为发展方程(1.2)的平衡点. 设u是方程(1.1)有界解,其ω -极限集定义为
定义2.2 [22] 强连续Cr -半流S(t):X→X (r≥1)称为梯度系统, 如果存在一个连续的函数V:X→R满足以下性质
(1)~ V(x)是下方有界的;
(2)~ 当‖x‖→∞时,V(x)→∞;
(3)~ 对每一个x∈X,V(S(t)x)关于时间t单调不增;
(4)~ 如果对t∈R,S(t)x有定义,并且V(S(t)x)=V(x), 则x是平衡点.
上述函数通常被称为Lyapunov函数.
注2.1 若方程(1.2)的平衡点是孤立的,u为全有界解,则
并且V(E_1)>V(E_2),方程(1.2)的全解是指定义在(-\infty,+\infty)上的解.
在证明主要结果之前,先给出一个引理,用于检验Aubin-Lions紧性引理成 立的条件.
引理3.1 假设(A1)和(A2)成立,u是方程(1.1)的解,对所有的t\in [-\tau,+\infty), \|u(t)\|_\alpha\leq M,则对任意的b>a\geq \tau,q>1, 一定存在\gamma \in (0,\alpha)使得 u'(t)\in L^{q}(a,b; X^{\gamma}).
证 为简单起见,我们记F(t)=f(u(t),u(t-\tau)),于是常数变易公式(2.3) 便可改写为
定理3.1 假设(A1)和(A2)成立,方程(1.2)的有限个平衡点是孤立的, 对任意给定的R,\varepsilon >0,一定存在一个足够小的 \tau >0使得对方程(1.1)的任何满足\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \|u(t)\|_{\alpha} \leq R的解最终将进入并停留在某一个平衡点的 ε -邻域内.
证 为简单起见,我们只需验证满足\|u(t)\|_{\alpha} \leq R的解成立即可. 设\{E_1,\cdots,E_n\}是方程(1.2)的平衡点集,并假设按以下顺序排列
第一步,我们首先证明对任意的\delta >0,存在一个足够小的\tau>0 使得对所有的u\in \bar{{\cal B}}_R
我们采用反证法来证(3.15)式,如若不然,对给定的\delta, 总能找到一个递减序列\tau_k\rightarrow 0,其对应的解为u_k,满足 d(E_j,\omega(u_k))\geq 2\delta. 上式对所有的1\leq j \leq n 和k\in N成立. 考虑到 \omega(u)的定义,对每一个k我们总可以选取t_k>0 使得当t\geq t_k,1\leq j \leq n
假设\tilde{u}_k(t)=u_k(t+t_k) (t\geq0), 容易验证\tilde{u}_k满足下面的方程 \partial_t \tilde{u}_k+A \tilde{u}_k=f(\tilde{u}_k(t), \tilde{u}_k(t-\tau_k)). 下面我们将利用Aubin-Lions引理来证明,对b > a \geq \tau_k和 1<p<\infty,在L^p(a,b;X^{\alpha})中存在一个\{\tilde{u}_k\}_{k=1}^{\infty}的强收敛子列. 为了得到这个结论,我们首先检验,对1<p,q<\infty,0<\gamma<\alpha<\beta<1
和
第二步,我们将证明,如果\tau足够小,则对方程(1.1)的任何一个有界解, 一定存在某个平衡点E_j和足够大的T使得当t>T时
因为v_i\in C([-(\eta_i-t_i),+\infty);X^{\alpha}), 当然v_i(t)在t=0处连续,也就是说\lim_{t\rightarrow0+} \|v_i(t)-v_i(0)\|_{\alpha}=0. 由连续的定义得,选取\varepsilon_0<\varepsilon和t_1>0使得 \|v_i(t)-v_i(0)\|_{\alpha}<\varepsilon_0,\,\,\,\mbox{对}\,\, 0<t<t_1. 于是选取t_2\in (0,t_1)使得\|v_i(t)-v_i(0)\|_{\alpha}< \varepsilon_0,\,\,\,\mbox{对}\,\,t_2<t<t_1. 因此,我们得到 \varepsilon_{0} > \|v_i(t)-E_{j_1}+E_{j_1}-v_i(0)\|_{\alpha} \geq \|v_i(0)-E_{j_1}\|_{\alpha}-\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}. 从而\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}>\|v_i(0)-E_{j_1}\|_{\alpha} -\varepsilon_{0}=\varepsilon-\varepsilon_{0}>0,\,\,\, \mbox{对}\,\,t_2<t<t_1. 于是 \int_{t_2}^{t_1}\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t> (t_1-t_2) (\varepsilon-\varepsilon_0)^p. 显然 \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{t_2}^{t_1}\|v_i(t) -E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t\neq0. 这与在L^p(a,b;X^{\alpha})中,v_i(t)强收敛于E_{j_1} 的事实相矛盾,因此T=+\infty.
假设\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}v(t)=E_j, 则一定有j\geq j_1. 否则,如果j<j_1 \begin{eqnarray*} {\int_{a}^{b}\|v(t)-E_j\|_{\alpha}^{p}{\rm d}t}&=&{\int_{a}^{b}\|v(t)-v_i(t)+v_i(t)-E_j\|_{\alpha}^{p}{\rm d}t}\\ &\geq& {C_1\int_{a}^{b}\|v_i(t)-E_j\|_{\alpha}^p{\rm d}t-C_2\int_{a}^{b}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t} \\ &>& {C_1 \varepsilon^p-C_2\int_{a}^{b}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t >C\varepsilon^p,\,\,\,(C>0)}. \end{eqnarray*} 这与v_i(t)在L^p(a,b;X^{\alpha})中强收敛到v(t)相矛盾.
最后我们需要验证\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}v(t)=E_{j_1}. 对于足够小的\varepsilon'>0使得-(\eta_i-t_i)<t <-(\eta_i-t_i) +\varepsilon'<0,于是有 \begin{eqnarray*} &&{\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t} \\ &=&{\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v(t)-v_i(t)+v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t}\\ &\leq&{C_1\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t +C_2\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t}\\ &\leq& {C_1\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t+C_2\varepsilon'\varepsilon}. \end{eqnarray*} 考虑到在L^p(-(\eta_i-t_i),-(\eta_i-t_i)+\varepsilon';X^{\alpha}) 空间中,v_i强收敛到v,于是可以得到上述结论成立. 总之,我们有 \lim_{t\rightarrow -\infty}v(t)=E_{j_1},\,\,\, \lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=E_{j}\,\,(j\geq j_1). 根据一开始的假设(3.14),这显然与注2.1的事实想违背, 从而(3.21)式是正确的.
根据j^{k^1_i}的定义,我们可以得出结论 d(E_j,\omega(u_{k_i^1}))\geq \delta _1,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^1>k_1^{*},\,1\leq j \leq j_1. 为简单起见,不妨假设上式对所有的k_i^1都成立. 固定 \delta_2'\in(0,\delta_1),用j^{k_i^1}表示最小的满足下式成立的j \omega(u_{k_i^1})\bigcap {\bar{\cal B}}_{\delta_2'} (E_j)\neq \emptyset. 容易看出,对所有的k_i^1,j^{k_i^1}>j_1成立. 类似的, 存在\{k_i^1\}_{i=1}^{\infty}的子列\{k_i^2\}_{i=1}^{\infty} 和j_2\in (j_1,n]使得对所有的k_i^2有j^{k_i^2}=j_2成立. 重复前面的过程,能够证明,如果j_2<n,存在一个 \delta_2\in(0,\delta_2')和k_2^*>k_1^*使得 d(E_{j_2},\omega(u_{k_i^2}))\geq \delta_2,\,\,\, \mbox{对}\,\,\,k_i^2>k_2^*. 根据\{k_i^2\}_{i=1}^{\infty} 的选取,容易看出 d(E_j,\omega(u_{k_i^2}))\geq \delta _2,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^2>k_2^{*},1\leq j \leq j_2. 如此反复上面的过程,我们最终会得到序列 j_1<j_2<\cdots<j_m=n,\,\,\,\varepsilon>\delta_1>\delta_2> \cdots>\delta_m>0,\,\,\,k_1^*<k_2^*<\cdots<k_m^* 和\{k_i^p\}_{i=1}^\infty(1\leq p\leq m)使得 d(E_j,\omega(u_{k_i^p}))\geq \delta _p,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^p>k_p^{*},1\leq j \leq j_p. 特别地,当然有 d(E_j,\omega(u_{k_i^m}))\geq \delta _m,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^m>k_m^{*},1\leq j \leq j_m=n. 这显然与(3.20)式相矛盾,定理证毕.
下面一个定理证明了方程(1.1)的解将会精确地走向平衡点, 只要平衡点是双曲的.
定理3.2 假设(A1)和(A2)成立,f\in C^1. E是方程(1.2)的双曲平衡点 (也就是说,Df(E)的特征值有非零实部). 则存在\varepsilon>0和 足够小的\tau>0使得当t趋于无穷大时,方程 (1.1) 的任何一个满足 \limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \|u(t)-E\|_{\alpha} \leq \varepsilon的解最后会走向平衡点E.
证 为简单起见,我们选取E=0,以下只需验证存在ε和足 够小的\tau,使得方程(1.1)的有界解满足\|u(t)\|_{\alpha} \leq \varepsilon. 考虑方程(1.2)的线性化方程 \partial_tv+Av-Df(0)v=\partial_tv+Lv=0, 这里L=A-Df(0),Df(0)是f在0点的Fr\'{e}chet导数, 则-L在X上能生成一个解析半群e^{-Lt}. 因为平衡点是双曲的, 因此解析半群e^{-Lt}在X上具有指数二分性. 也就是说, 存在一个有界的投影算子P和两个正常数\beta_0,\alpha_0 使得对所有的u\in X,下列不等式成立
我们首先证明,如果u是方程(1.1)在[0,+\infty)上的有界解,则它能够表示为
结合定理3.1和3.2,我们最终得到下面的结论.
定理3.3 假设(A1),(A2)成立,非线性项f\in C^1, 方程(1.2)存在有限个孤立双曲平衡点,则对任何的R>0, 方程(1.1)的满足\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \|u(t)\|_{\alpha} \leq R的解,当t\rightarrow+\infty时最终会走向一个平衡点, 只要时滞\tau足够小.
作为例子,我们考虑下面时滞的初边值问题
定理4.1假设非线性项f满足(A2)并且是C^1的, 方程(4.3)的每一个平衡点是孤立的双曲平衡点,则对任何的R>0, 方程(4.2)的满足\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \|u(t)\|_{\alpha} \leq R的解,当t\rightarrow+\infty时最终会走向一个平衡点, 只要时滞\tau足够小.