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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (3): 464-477   PDF (383 KB)    
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本文作者相关文章
尹逊武
李德生
小时滞梯度系统的动力学行为
尹逊武1, 李德生2    
1. 天津工业大学理学院 天津 300387;
2. 天津大学理学院 天津 300072
摘要:该文研究下列具有小时滞的一般非线性梯度型发展方程 ∂tu+Au=f(u(t),u(t-τ)). 证明了当时间趋于无穷大时, 时滞方程的每一个有界解将收敛于某一个平衡点, 只要时滞足够小, 这意味着时滞系统的行为非常类似非时滞系统. 这里的方法主要是基于梯度系统不变集的Morse结构和发展方程的几何理论. 这个结果的证明分两步完成: 首先, 在梯度系统和有限个孤立平衡点的假设下, 证明了一定存在一个足够小的时滞使得时滞方程的任一个有界解将会最终进入并停留在某一个平衡点的邻域里面; 其次, 在双曲平衡点的假设下, 运用指数二分性和一系列的估计, 证明了一定存在ε>0 和足够小的 τ>0使得任一个落于某个平衡点ε -邻域内的解最终收敛于该平衡点, 当时间趋于无穷大时.
关键词孤立双曲平衡点     Aubin-Lions 引理     梯度系统     Morse结构     指数二分性    
Dynamical Behavior of Gradient System with Small Time Delay
Yin Xunwu1, Li Desheng2    
1. School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387;
2. School of Science, Tianjin University, Tianjin 300072
Abstract: In this article, we investigate the dynamical behavior of the following general nonlinear gradient-like evolutionary equation with small time delay ∂tu+Au=f(u(t),u(t-τ)). We prove that each bounded solution of the delayed equation will converge to some equilibrium as t→∞ provided the delay is sufficiently small. This indicates that gradient system with small time delay behaves very much like the nondelayed one. The approach here is mainly based on the Morse structure of invariant sets of gradient system and some geometric analysis of evolutionary equations. The proof of this result is completed in two steps. First, with the hypothesis of gradient system, finite and isolated equilibria, we prove that there exists a sufficiently small delay such that any bounded solution of the delayed equation will ultimately enter and stay in the neighborhood of one equilibrium. Second, with the hypothesis of hyperbolic equilibrium, we utilize exponential dichotomies and a series estimates to prove that there exists ε > 0 and τ > 0 sufficiently small such that any solution of the delayed equation lying in the ε-neighborhood of one equilibrium will converge to this equilibrium as t → ∞.
Key words: Isolated hyperbolic equilibrium     Aubin-Lions lemma     Gradient system     Morse structure     Exponential dichotomies    
1 前言

众所周知,时滞问题经常在控制系统中遇到,在过去的几十年里, 稳定性分析受到了广泛关注[1, 2]. 在数学上,研究小时滞对动力 学系统的影响也是很重要的. 这个问题对于线性系统,包括有限维和 无限维的情况,都得到了很好的研究[3, 4, 5, 6, 7]. 然而对于非线性系统, 问题要复杂得多,但是也有非常好的结果[8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17].

在本文中,我们考虑如下一般的具有小时滞的非线性梯度系统 tu+Au=f(u(t),u(tτ)). 这里梯度系统是指对应的非时滞系统 tu+Au=f(u,u) 是梯度系统,这里A是Banach空间中的扇形算子, 我们的工作空间是分数次幂空间Xα.

一般来讲,小时滞通常不会改变平衡点的局部渐近稳定性,例如, 在文献[11]中,Li和Kloeden指出,如果E是非时滞系统的局部渐近稳 定平衡点,则时滞系统在平衡点E的一个小邻域内有一个紧的局部渐近稳 定集. Mao在文献[14]中也证明了具有全局Lipschitz项的时滞非线性系统, 平衡点是全局指数渐近稳定的. 而且,小时滞的梯度系统通常和无时滞的 梯度系统行为非常相似. 例如,在参考文献[4]中,作者证明了时滞微分方 程的解和非时滞的具有相同的收敛性质. 相似的结果也可以在文献[12] 中找到,它指出,对于耗散的时滞反应扩散方程,所有的解都趋于平衡点, 当时间趋于无穷大时. 在最近的工作中[9],Li和Wang得到了一 个非常漂亮的结果: 如果平衡点是孤立双曲的,一般的时滞梯度系统的 每一个有界解都会精确地走向平衡点.

在这篇文章中,我们研究无限维情形下的时滞梯度系统. 在有限个和孤立平衡点的假设下,我们证明了一定存在一个足够小的时滞 使得时滞方程的任一个有界解将会最终进入并停留在某一个平衡点的邻域 里面,我们的方法主要是利用梯度系统不变集的Morse结构. 此外我们还得到一个更加有意思的结果: 在双曲平衡点的假设下, 一定存在ε>0 和足够小的 τ>0使得任何一个落于 某个平衡点ε -邻域内的解最终收敛于该平衡点, 当时间趋于无穷大时. 由以上两个结果,我们可以得到, 如果系统的平衡点是有限的双曲孤立平衡点,则方程(1.1)每一个有界 解将会精确地走向某个平衡点.

2 预备知识

下面我们将给出一些基本的概念和结论,首先给出以下基本假设.

(A1)~ A是Banach空间X上的正扇形算子,并且有紧的预解式, eAt是由A生成的解析半群. 对给定的0<α<1, 分数次幂算子Aα是有定义的. 分数次幂空间Xα=D(Aα)是一个自反的Banach空间,其上的范数定义为 uα=AαuX. 为简单起见,我们记X 上的范数为.

(A2)~ 对给定的0<α<1,非线性项f:Xα×XαX具有以下性质: 对Xα×Xα中任何有界集,存在常数L使得下式成立

f(u1,v1)f(u2,v2)L(u1u2α+v1v2α). (2.1)
为简单起见,我们假设f(0,0)=0,于是我们立刻得到以下不等式
f(u,v)L(uα+vα). (2.2)

定义2.1I为某个区间,函数u称为分数次幂空间Xα中方程(1.1)的 (古典)解只要满足: u:IXα在区间I上连续可微, 其导数tuC(I,X),并且处处满足方程(1.1).

对于方程(1.1)的存在性结果,读者可参阅文献[18]. 通过常数变易公式, 方程(1.1)的解可表示为

u(t)=eAtu0+t0eA(ts)f(u(s),u(sτ))ds,t0. (2.3)
下面我们给出解析半群中极为重要的定理, 它在研究非线性发展方程的动力学行为中起着很关键的作用[19].

定理2.1 假设A是Banach空间X上的正扇形算子,eAt是由A生成 的解析半群,则成立下面的结论

(1)~ 对任意的α0,一定存在常数Cα>0 使得对 所有的t>0

AαeAtL(X)Cαtαeat(a>0). (2.4)

(2)~ 对任意的0<α1,存在常数Cα>0 使得当t0时, 对xD(Aα)

eAtxxCαtαAαx. (2.5)

(3)~ 对任意的α0,存在常数Cα>0 使得当t>0时, 对xX

(eA(t+h)eAt)xαCα|h|t(1+α)x. (2.6)

下面的引理是著名的Aubin-Lions紧性引理,我们仅给出引理的叙述, 有兴趣的读者可以参考文献[].

引理2.1X0,X,X1是三个Banach空间, 满足X0XX1. 假设X0紧嵌入到X, X连续嵌入到X1,并且假定X0X1是自反空间. 对1<p,q<,记 W={u|uLp([0,T;X0),uLq([0,T];X1)},W紧嵌入到Lp[0,T;X).

最后我们给出一些基本的概念. 如果Au0=f(u0),i.e., tu00,则称u0为发展方程(1.2)的平衡点. 设u是方程(1.1)有界解,其ω -极限集定义为

ω(u)={v| 存在 tn 使得 u(tn)vα0}. (2.7)

定义2.2 [22] 强连续Cr -半流S(t):XX (r1)称为梯度系统, 如果存在一个连续的函数V:XR满足以下性质

(1)~ V(x)是下方有界的;

(2)~ 当x时,V(x);

(3)~ 对每一个xX,V(S(t)x)关于时间t单调不增;

(4)~ 如果对tR,S(t)x有定义,并且V(S(t)x)=V(x), 则x是平衡点.

上述函数通常被称为Lyapunov函数.

注2.1 若方程(1.2)的平衡点是孤立的,u为全有界解,则

laystylelimtu(t)=E1,limt+u(t)=E2. (2.8)

并且V(E1)>V(E2),方程(1.2)的全解是指定义在(,+)上的解.

3 主要结果

在证明主要结果之前,先给出一个引理,用于检验Aubin-Lions紧性引理成 立的条件.

引理3.1 假设(A1)和(A2)成立,u是方程(1.1)的解,对所有的t[τ,+), u(t)αM,则对任意的b>aτ,q>1, 一定存在γ(0,α)使得 u(t)Lq(a,b;Xγ).

为简单起见,我们记F(t)=f(u(t),u(tτ)),于是常数变易公式(2.3) 便可改写为

u(t)=eAtu0+t0eA(ts)F(s)ds,t0. (3.1)
首先我们证明,存在γ(0,α),使得对任意的 t[a,b],u(t)Xγ,并且成立下面的估计
u(t)γCtαγ1. (3.2)
在估计u(t)γ之前,我们首先给出u(t+h)u(t)α 的估计. 设0<at<t+hb,
u(t+h)u(t)=(eAhI)eAtu0+t0(eAhI)eA(ts)F(s)ds+t+hteA(t+hs)F(s)ds=I1+I2+I3. (3.3)
选取δ(0,1α),由(2.4)和(2.5)式我们分别估计上面三项
I1α=(eAhI)AαeAtu0C0hδAδ+αeAtu0C1hδ,t[a,b], (3.4)
I2α=t0(eAhI)AαeA(ts)F(s)dsC0hδt0Aδ+αeA(ts)F(s)dsC3hδt0(ts)(δ+α)dsC2hδ,t[a,b], (3.5)
I3αt+htAαeA(t+hs)F(s)dsC4t+ht(t+hs)αds=C5h1αC3hδ,δ(0,1α). (3.6)
由上面三个不等式,我们可以得到
u(t+h)u(t)αM1hδ,t[a,b]. (3.7)
考虑到半群的基本性质,我们得到
u(t)=AeAtu0At0eA(ts)F(s)ds+F(t)=AeAtu0At0eA(ts)F(s)ds+t0AeA(ts)F(t)ds+eAtF(t)=AeAtu0+eAtF(t)+t0AeA(ts)[F(t)F(s)]ds=I4+I5+I6. (3.8)
选取γ<min{α,δ},由(2.4)和(2.5)式我们分别估计上面三项
I4γ=A1+γeAtu0=A1+γαeAtAαu0C1t(1+γα), (3.9)
I5γ=A1+γeAtf(t)C2tγ, (3.10)
I6γt0A1+γeA(ts)F(t)F(s)dsC4t0(ts)(1+γ)F(t)F(s)ds. (3.11)
由(2.1)和(3.7)式我们容易得到下面的估计
F(t)F(s)L(u(t)u(s)α+u(tτ)u(sτ)α)2LM1(ts)δ. (3.12)
于是
I6γC5t0(ts)δγ1dsC3tδγ. (3.13)
结合上面的不等式,我们便可以得到(3.2)式, 然后从ab积分就得到了引理的证明.

定理3.1 假设(A1)和(A2)成立,方程(1.2)的有限个平衡点是孤立的, 对任意给定的R,ε>0,一定存在一个足够小的 τ>0使得对方程(1.1)的任何满足lim supt+u(t)αR的解最终将进入并停留在某一个平衡点的 ε -邻域内.

为简单起见,我们只需验证满足u(t)αR的解成立即可. 设{E1,,En}是方程(1.2)的平衡点集,并假设按以下顺序排列

V(En)V(En1)V(E1) (3.14)
其中V是Lyapunov函数. 我们将分两步来完成定理的证明.

第一步,我们首先证明对任意的δ>0,存在一个足够小的τ>0 使得对所有的uˉBR

ω(u)(1jnBδ(Ej)). (3.15)

我们采用反证法来证(3.15)式,如若不然,对给定的δ, 总能找到一个递减序列τk0,其对应的解为uk,满足 d(Ej,ω(uk))2δ. 上式对所有的1jnkN成立. 考虑到ω(u)的定义,对每一个k我们总可以选取tk>0 使得当ttk,1jn

||uk(t)-Ej||a≥δ (3.16)

假设˜uk(t)=uk(t+tk) (t0), 容易验证˜uk满足下面的方程 t˜uk+A˜uk=f(˜uk(t),˜uk(tτk)). 下面我们将利用Aubin-Lions引理来证明,对b>aτk1<p<,在Lp(a,b;Xα)中存在一个{˜uk}k=1的强收敛子列. 为了得到这个结论,我们首先检验,对1<p,q<,0<γ<α<β<1

{˜uk}k=1 在 Lp(a,b;Xβ) 中有界 (3.17)

{t˜uk}k=1 在 Lq(a,b;Xγ)中有界. (3.18)
为了得到(3.17)式,我们首先给出˜ukβ的估计, 由(2.2)和(2.4)式 ˜ukβAβαeAtAα˜u0+t0AβeA(ts)f[˜uk(s),˜uk(sτk)]dsCβαt(βα)˜u0α+2LRCβt0(ts)βdsM1t(βα)+M2t1β.ab积分便可得到(3.17)式. 通过引理3.1,我们也看到(3.18)式的正确性. 由分数次幂空间的基本性质,Xβ紧嵌入到Xα, Xα连续嵌入到Xγ,由Aubin-Lions引理得, 在Lp(a,b;Xα)中,{˜uk}k=1存 在一个强收敛的子列,不妨仍然记为˜uk,容易看出其极限 ˜u满足方程(1.2). 考虑到(3.16)式, 我们对˜u有下列估计 ba˜uEjpαdt=ba˜ukEj+˜u˜ukpαdtC1ba˜ukEjpαdtC2ba˜uk˜upαdtC1δpC2ba˜uk˜upαdsCδp,C>0. 通过上面的不等式可以看出 limt+˜uEjα0,1jn. 然而方程(1.2)是梯度系统,一定有limt+˜u=Ej,这显然与上式构成了矛盾,从而我们得到了(3.15)式的正确性.

第二步,我们将证明,如果τ足够小,则对方程(1.1)的任何一个有界解, 一定存在某个平衡点Ej和足够大的T使得当t>T

u(t)Ejα<ε. (3.19)
我们仍然采用反证法来证明这个结论,如果上述结论不成立, 则存在一个递减的序列τk0,其对应的解记为 ukˉBR,不满足(3.19)式. 利用τk0容易得到
limkmin1jnd(Ej,ω(uk))=0. (3.20)
不失一般性,我们假设对所有的k1 ω(uk)(1jnˉBε(Ej)).jk表示最小的满足下式成立的j ω(uk)ˉBε(Ej). 容易看出,存在{k}k=1的一个子列{k1i}i=1 使得对某个j1[1,n],有 jk1i=j1,对所有的k1i. 我们将证明,如果j1<n,则存在一个δ1(0,ε)k1使得
d(Ej1,ω(uk1i))δ1,k1i>k1. (3.21)
事实上,如若不然,一定存在{k1i}i=1 的一个子列, 不妨仍然记为{k1i}i=1,满足
limid(Ej1,ω(uk1i))=0. (3.22)
通过jk的定义和(3.22)式,我们可以选取一个序列ti>0满足
uk1i(ti)Bε(Ej1),limiuk1i(ti)Ej1α=0 (3.23)
和对t>ti,j<j1,有
uk1i(t)Ejα>ε. (3.24)
定义 ηi=sup{tti|uk1i([ti,t])ˉBε(Ej1)}. 显然uk1i(ηi)Bε(Ej1). 设vi(t)=uk1i(t+ηi),t[(ηiti),+). 从(3.23),(3.24)式和ηi的定义容易看出 vi(0)Bε(Ej1),vi(t)ˉBε(Ej1),(ηiti)t0. vi(t)Ejα>ε,t>0,j<j1. 很明显vi满足方程 tvi+Avi=f(vi(t),vi(tτk1i)). 沿用前面的方法,我们能证明,在Lp(a,b;Xα)中, 对b>aτk1i,p>1,{vi}i=1 存在一个强收敛的子列,不妨仍然记为{vi}i=1. 令T=lim sup(ηiti),于是定义在(T,)上的极限函数 v是方程(1.2)的解. 下面我们将证明T=+. 事实上, 如果T<+,则v(t)t=T处有定义. 由(3.23)式我 们得到v(T)=Ej1,因此对tT,v(t)Ej1.

因为viC([(ηiti),+);Xα), 当然vi(t)t=0处连续,也就是说limt0+vi(t)vi(0)α=0. 由连续的定义得,选取ε0<εt1>0使得 vi(t)vi(0)α<ε0,0<t<t1. 于是选取t2(0,t1)使得vi(t)vi(0)α<ε0,t2<t<t1. 因此,我们得到 ε0>vi(t)Ej1+Ej1vi(0)αvi(0)Ej1αvi(t)Ej1α. 从而vi(t)Ej1α>vi(0)Ej1αε0=εε0>0,t2<t<t1. 于是 t1t2vi(t)Ej1pαdt>(t1t2)(εε0)p. 显然limit1t2vi(t)Ej1pαdt0. 这与在Lp(a,b;Xα)中,vi(t)强收敛于Ej1 的事实相矛盾,因此T=+.

假设limt+v(t)=Ej, 则一定有jj1. 否则,如果j<j1 bav(t)Ejpαdt=bav(t)vi(t)+vi(t)EjpαdtC1bavi(t)EjpαdtC2bavi(t)v(t)pαdt>C1εpC2bavi(t)v(t)pαdt>Cεp,(C>0). 这与vi(t)Lp(a,b;Xα)中强收敛到v(t)相矛盾.

最后我们需要验证limtv(t)=Ej1. 对于足够小的ε>0使得(ηiti)<t<(ηiti)+ε<0,于是有 (ηiti)+ε(ηiti)v(t)Ej1pαdt=(ηiti)+ε(ηiti)v(t)vi(t)+vi(t)Ej1pαdtC1(ηiti)+ε(ηiti)vi(t)v(t)pαdt+C2(ηiti)+ε(ηiti)vi(t)Ej1pαdtC1(ηiti)+ε(ηiti)vi(t)v(t)pαdt+C2εε. 考虑到在Lp((ηiti),(ηiti)+ε;Xα) 空间中,vi强收敛到v,于是可以得到上述结论成立. 总之,我们有 limtv(t)=Ej1,limt+v(t)=Ej(jj1). 根据一开始的假设(3.14),这显然与注2.1的事实想违背, 从而(3.21)式是正确的.

根据jk1i的定义,我们可以得出结论 d(Ej,ω(uk1i))δ1,对所有的k1i>k1,1jj1. 为简单起见,不妨假设上式对所有的k1i都成立. 固定 δ2(0,δ1),用jk1i表示最小的满足下式成立的j ω(uk1i)ˉBδ2(Ej). 容易看出,对所有的k1i,jk1i>j1成立. 类似的, 存在{k1i}i=1的子列{k2i}i=1j2(j1,n]使得对所有的k2ijk2i=j2成立. 重复前面的过程,能够证明,如果j2<n,存在一个 δ2(0,δ2)k2>k1使得 d(Ej2,ω(uk2i))δ2,k2i>k2. 根据{k2i}i=1 的选取,容易看出 d(Ej,ω(uk2i))δ2,对所有的k2i>k2,1jj2. 如此反复上面的过程,我们最终会得到序列 j1<j2<<jm=n,ε>δ1>δ2>>δm>0,k1<k2<<km{kpi}i=1(1pm)使得 d(Ej,ω(ukpi))δp,对所有的kpi>kp,1jjp. 特别地,当然有 d(Ej,ω(ukmi))δm,对所有的kmi>km,1jjm=n. 这显然与(3.20)式相矛盾,定理证毕.

下面一个定理证明了方程(1.1)的解将会精确地走向平衡点, 只要平衡点是双曲的.

定理3.2 假设(A1)和(A2)成立,fC1. E是方程(1.2)的双曲平衡点 (也就是说,Df(E)的特征值有非零实部). 则存在ε>0和 足够小的τ>0使得当t趋于无穷大时,方程 (1.1) 的任何一个满足 lim suptu(t)Eαε的解最后会走向平衡点E.

为简单起见,我们选取E=0,以下只需验证存在ε和足 够小的τ,使得方程(1.1)的有界解满足u(t)αε. 考虑方程(1.2)的线性化方程 tv+AvDf(0)v=tv+Lv=0, 这里L=ADf(0),Df(0)f在0点的Fr\'{e}chet导数, 则LX上能生成一个解析半群eLt. 因为平衡点是双曲的, 因此解析半群eLtX上具有指数二分性. 也就是说, 存在一个有界的投影算子P和两个正常数β0,α0 使得对所有的uX,下列不等式成立

eLtPuαβ0eα0tu,t0, (3.25)
eLtQuαβ0tαeα0tu,0<t1, (3.26)
eLtQuαβ0eα0tu,1t<. (3.27)
这里Q=IP. 设f(u,u)=Df(0)u+h(u),则从假设(A2)中知道h(0)=0, h(u)h(v)(r)uvα,uα,vαr. 其中:R+R+的连续函数,且(0)=0.

我们首先证明,如果u是方程(1.1)在[0,+)上的有界解,则它能够表示为

u(t)=eL(tτ)Qu(τ)+tτeL(ts)QH(s)ds+teL(ts)PH(s)ds, (3.28)
这里 H(s)=h(u(s))+f(u(s),u(sτ))f(u(s),u(s)). 事实上,方程(1.1)可以改写为 tu+AuDf(0)u=f(u(t),u(uτ))Df(0)u=f(u(t),u(uτ))f(u,u)+f(u,u)Df(0)u. 根据上面的记号,我们可以把上式改写为 tu+Lu=H(t). 通过常数变易公式便可得到,对任何的t,t00 u(t)=eL(tt0)u(t0)+tt0eL(ts)H(s)ds 两边用投影算子P作用 Pu(t)=eL(tt0)Pu(t0)+tt0eL(ts)PH(s)ds. 考虑到(3.25)式,在上式中令t0+便可得到 Pu(t)=+teL(ts)PH(s)ds. 同时注意到 Qu(t)=eL(tτ)Qu(τ)+tτeL(ts)QH(s)ds. 于是(3.28)式成立. 下面估计u(t)α,事实上
u(t)αeL(tτ)Qu(τ)α+tτeL(ts)QH(s)αds++teL(ts)PH(s)αds=I1+I2+I3. (3.29)
我们首先估计第二项,令t2,于是 tτeL(ts)QH(s)αds=tτ0eLsQH(ts)αds=10eLsQH(ts)αds+tτ1eLsQH(ts)αds=I2+I2. 考虑到(3.26),(3.27)式和f的Lipschitz连续性,可以得到下面的估计
I2β010sαeα0sH(ts)dsβ010sαeα0s[(ε)uα+f(u(ts),u(tsτ))f(u(ts),u(ts))]dsβ010sαeα0s[(ε)uα+Lu(tsτ)u(ts)α]ds. (3.30)
下面最重要的任务是估计u(tτ)u(t)α,我们引入记号 u=supt[τ,+)u(t)α,F(s)=f(u(s),u(sτ)). 于是F(s)=f(u(s),u(sτ)L(u(s)α+u(sτ)α)2Lu. 因为 u(t)u(tτ)=(eAteA(tτ))u0+tτ0(eA(ts)eA(tτs))F(s)ds+ttτeA(ts)F(s)ds=I4+I5+I6. 考虑到(2.4)和(2.6)式 I4αCατt(1+α)u0Cατt(1+α)uCατ1αt(1+α)u, I5αCατ2Lutτ0(ts)(1+α)ds2LCαατ1αu, I6αCα2Luttτ(ts)αds=2LCα1ατ1αu.M=10sαeα0sds. 考虑到(3.30)式,首先 β010sαeα0s(ε)uαdsMβ0(ε)u; 其次 Lβ0Cατ1αu10sαeα0s(ts)(1+α)dsLβ0Cατ1αu10sαeα0s(t1)(1+α)dsMLβ0Cατ1αu; 最后我们得到(3.30)式的估计
I2Mβ0(ε)u+M2τ1αu, (3.31)
这里 M2=M2(L,M,β0,Cα,α). 对于I2,我们能得到相似的估计
I2=β0tτeα0(ts)H(s)dsβ0tτeα0(ts)[(ε)uα+f(u(s),u(sτ))f(u(s),u(s))]dsβ0tτeα0(ts)[(ε)uα+Lu(sτ)u(s)α]dsβ0α0(ε)u+M2τ1αu, (3.32)
这里 M2=M2(L,M,β0,Cα,α). 于是我们从(3.31)和(3.32)式得到对I2的估计
I2=tτeL(ts)QH(s)αds[M1(ε)+M2τ1α]u, (3.33)
这里 M1=M1(M,α0,β0),M2=M2(L,M,β0,Cα,α). 现在我们选取一个足够小的ε,使得 (ε)1/12M1,并取τ1α=1/12M2, 于是通过上面的不等式得到
I2=tτeL(ts)QH(s)αds16u. (3.34)
通过类似的过程,我们可以得到对I3的估计
I3=+teL(ts)PH(s)αds16u. (3.35)
至于第一项,我们可以选取t1>τ,使得当tt1时,有β0eα0(tτ)<1/6. 因此
I1=eL(tτ)Qu(τ)α16u,tt1. (3.36)
结合以上三式,可以得到
u(t)α12u,tt1. (3.37)
T=t1+2τ,由(3.37)式递推可以得到
u(t)α12ku,tTk. (3.38)
定理证毕.

结合定理3.1和3.2,我们最终得到下面的结论.

定理3.3 假设(A1),(A2)成立,非线性项fC1, 方程(1.2)存在有限个孤立双曲平衡点,则对任何的R>0, 方程(1.1)的满足lim supt+u(t)αR的解,当t+时最终会走向一个平衡点, 只要时滞τ足够小.

4例子

作为例子,我们考虑下面时滞的初边值问题

{llutΔu=f(u(t),u(tτ)),  (x,t) Ω×R+;u=u0,(x,t) Ω×[τ,0];u=0,(x,t) Ω×R+. (4.1)
这个问题可以转化为以下抽象的发展方程
ut+Au=f(u(t),u(tτ)), (4.2)
这里A=Δ,D(A)=H2(Ω)H10(Ω). 很明显, A为正的扇形算子. 分数次幂算子Aα和分数次空间 Xα=D(Aα)都是有定义的. 而且非时滞方程
ut+Au=f(u,u) (4.3)
是个梯度系统,因为它有一个Lyapunov函数 V(u)=12Ω|u|2ΩF(u), 这里F(s)=s0f(r)dr. 通过定理3.3,下面的结论自然成立.

定理4.1假设非线性项f满足(A2)并且是C1的, 方程(4.3)的每一个平衡点是孤立的双曲平衡点,则对任何的R>0, 方程(4.2)的满足lim supt+u(t)αR的解,当t+时最终会走向一个平衡点, 只要时滞τ足够小.

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小时滞梯度系统的动力学行为
尹逊武, 李德生