众所周知,时滞问题经常在控制系统中遇到,在过去的几十年里, 稳定性分析受到了广泛关注^{[1, 2]}. 在数学上,研究小时滞对动力 学系统的影响也是很重要的. 这个问题对于线性系统,包括有限维和 无限维的情况,都得到了很好的研究^{[3, 4, 5, 6, 7]}. 然而对于非线性系统, 问题要复杂得多,但是也有非常好的结果^{[8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]}.

在本文中,我们考虑如下一般的具有小时滞的非线性梯度系统 \begin{equation} \partial_tu+Au=f(u(t),u(t-\tau)).\label{1} \end{equation} 这里梯度系统是指对应的非时滞系统 \begin{equation} \partial_tu+Au=f(u,u) \end{equation} 是梯度系统,这里$A$是Banach空间中的扇形算子, 我们的工作空间是分数次幂空间$X^\alpha$.

一般来讲,小时滞通常不会改变平衡点的局部渐近稳定性,例如, 在文献^[11]中,Li和Kloeden指出,如果$E$是非时滞系统的局部渐近稳 定平衡点,则时滞系统在平衡点$E$的一个小邻域内有一个紧的局部渐近稳 定集. Mao在文献^[14]中也证明了具有全局Lipschitz项的时滞非线性系统, 平衡点是全局指数渐近稳定的. 而且,小时滞的梯度系统通常和无时滞的 梯度系统行为非常相似. 例如,在参考文献^[4]中,作者证明了时滞微分方 程的解和非时滞的具有相同的收敛性质. 相似的结果也可以在文献^[12] 中找到,它指出,对于耗散的时滞反应扩散方程,所有的解都趋于平衡点, 当时间趋于无穷大时. 在最近的工作中^[9],Li和Wang得到了一 个非常漂亮的结果: 如果平衡点是孤立双曲的,一般的时滞梯度系统的 每一个有界解都会精确地走向平衡点.

在这篇文章中,我们研究无限维情形下的时滞梯度系统. 在有限个和孤立平衡点的假设下,我们证明了一定存在一个足够小的时滞 使得时滞方程的任一个有界解将会最终进入并停留在某一个平衡点的邻域 里面,我们的方法主要是利用梯度系统不变集的Morse结构. 此外我们还得到一个更加有意思的结果: 在双曲平衡点的假设下, 一定存在$\varepsilon>0$ 和足够小的 $\tau>0$使得任何一个落于 某个平衡点ε -邻域内的解最终收敛于该平衡点, 当时间趋于无穷大时. 由以上两个结果,我们可以得到, 如果系统的平衡点是有限的双曲孤立平衡点,则方程(1.1)每一个有界 解将会精确地走向某个平衡点.

下面我们将给出一些基本的概念和结论,首先给出以下基本假设.

(A1)~ $A$是Banach空间$X$上的正扇形算子,并且有紧的预解式, $e^{-At}$是由$-A$生成的解析半群. 对给定的$0<\alpha<1$, 分数次幂算子$A^\alpha$是有定义的. 分数次幂空间$X^\alpha= D(A^{\alpha})$是一个自反的Banach空间,其上的范数定义为 $\|u\|_\alpha=\|A^\alpha u\|_X$. 为简单起见,我们记$X$ 上的范数为$\|\cdot\|.$

(A2)~ 对给定的$0<\alpha<1$,非线性项$f:X^{\alpha}\times X^{\alpha}\rightarrow X$具有以下性质: 对$X^{\alpha}\times X^{\alpha}$中任何有界集,存在常数$L$使得下式成立

\begin{equation} \|f(u_1,v_1)-f(u_2,v_2)\|\leq L (\|u_1-u_2\|_\alpha+\|v_1-v_2\|_\alpha)\label{2.1}. \end{equation}

(2.1)

为简单起见,我们假设$f(0,0)=0$,于是我们立刻得到以下不等式

\begin{equation} \|f(u,v)\|\leq L(\|u\|_\alpha+\|v\|_\alpha). \end{equation}

(2.2)

定义2.1 设$I$为某个区间,函数$u$称为分数次幂空间$X^\alpha$中方程(1.1)的 (古典)解只要满足: $u:I\rightarrow X^\alpha$在区间$I$上连续可微, 其导数$\partial_tu\in C(I,X)$,并且处处满足方程(1.1).

对于方程(1.1)的存在性结果,读者可参阅文献^[18]. 通过常数变易公式, 方程(1.1)的解可表示为

\begin{equation} u(t)=e^{-At}u_0+\int_0^te^{-A(t-s)}f(u(s),u(s-\tau)){\rm d}s,\,\,\,\,t\geq0\label{2.3}. \end{equation}

(2.3)

下面我们给出解析半群中极为重要的定理, 它在研究非线性发展方程的动力学行为中起着很关键的作用^[19].

定理2.1 假设$A$是Banach空间$X$上的正扇形算子,$e^{-At}$是由$-A$生成 的解析半群,则成立下面的结论

(1)~ 对任意的$\alpha\geq 0$,一定存在常数$C_\alpha>0$ 使得对 所有的$t>0$

\begin{equation} \|A^\alpha e^{-At}\|_{L(X)}\leq C_\alpha t^{-\alpha}e^{-at}\,\,\,(a>0)\label{2.4}. \end{equation}

(2.4)

(2)~ 对任意的$0<\alpha\leq1$,存在常数$C_\alpha>0$ 使得当$t\geq 0$时, 对$x\in D(A^\alpha)$有

\begin{equation} \|e^{-At}x-x\|\leq C_\alpha t^\alpha\|A^\alpha x\|\label{2.5}. \end{equation}

(2.5)

(3)~ 对任意的$\alpha\geq 0$,存在常数$C_\alpha>0$ 使得当$t>0$时, 对$x\in X$有

\begin{equation} \|(e^{-A(t+h)}-e^{-At})x\|_\alpha \leq C_{\alpha}|h|t^{-(1+\alpha)}\|x\|. \end{equation}

(2.6)

下面的引理是著名的Aubin-Lions紧性引理,我们仅给出引理的叙述, 有兴趣的读者可以参考文献^[].

引理2.1 设$X_0$,$X$,$X_1$是三个Banach空间, 满足$X_0\subseteq X \subseteq X_1$. 假设$X_0$紧嵌入到$X$, $X$连续嵌入到$X_1$,并且假定$X_0$和$X_1$是自反空间. 对$1<p,q<\infty$,记 $$W=\{u|u \in L^p([0,T;X_0),u' \in L^q([0,T];X_1)\}, $$ 则$W$紧嵌入到$L^p[0,T;X)$.

最后我们给出一些基本的概念. 如果$Au_0=f(u_0)$,i.e., $\partial_tu_0\equiv0$,则称$u_0$为发展方程(1.2)的平衡点. 设$u$是方程(1.1)有界解,其$\omega$ -极限集定义为

\begin{equation} \omega(u)=\{v|\ \hbox {存在} \ t_n\rightarrow \infty \ \hbox{使得} \ \|u(t_n)-v\|_\alpha\rightarrow 0\}. \end{equation}

(2.7)

定义2.2 ^[22] 强连续$C^r$ -半流$S(t):X\rightarrow X$ $(r\geq 1)$称为梯度系统, 如果存在一个连续的函数$V:X\rightarrow R$满足以下性质

(1)~ $V(x)$是下方有界的;

(2)~ 当$\|x\|\rightarrow \infty$时,$V(x)\rightarrow \infty$;

(3)~ 对每一个$x\in X$,$V(S(t)x)$关于时间$t$单调不增;

(4)~ 如果对$t\in R$,$S(t)x$有定义,并且$V(S(t)x)=V(x)$, 则$x$是平衡点.

上述函数通常被称为Lyapunov函数.

注2.1 若方程(1.2)的平衡点是孤立的,$u$为全有界解,则

\begin{equation} laystyle{\lim_{t\rightarrow -\infty}u(t)=E_1,\,\,\,\lim_{t\rightarrow +\infty}u(t)=E_2}. \end{equation}

(2.8)

并且$V(E_1)>V(E_2)$,方程(1.2)的全解是指定义在$(-\infty,+\infty)$上的解.

在证明主要结果之前,先给出一个引理,用于检验Aubin-Lions紧性引理成 立的条件.

引理3.1 假设(A1)和(A2)成立,$u$是方程(1.1)的解,对所有的$t\in [-\tau,+\infty)$, $\|u(t)\|_\alpha\leq M$,则对任意的$b>a\geq \tau,q>1$, 一定存在$\gamma \in (0,\alpha)$使得 $u'(t)\in L^{q}(a,b; X^{\gamma}).$

证 为简单起见，我们记$F(t)=f(u(t),u(t-\tau))$,于是常数变易公式(2.3) 便可改写为

\begin{eqnarray} u(t)=e^{-At}u_0+\int_0^te^{-A(t-s)}F(s){\rm d}s,\,\,\,\,t\geq0. \end{eqnarray}

(3.1)

首先我们证明,存在$\gamma \in (0,\alpha)$,使得对任意的 $t\in [a,b]$,$u'(t)\in X^{\gamma}$,并且成立下面的估计

\begin{equation}\|u'(t)\|_\gamma \leq C t^{\alpha-\gamma-1} \label{3.2}.\end{equation}

(3.2)

在估计$\|u'(t)\|_\gamma$之前,我们首先给出$\|u(t+h)-u(t)\|_\alpha$ 的估计. 设$0<a\leq t<t+h\leq b$,

\begin{eqnarray} {u(t+h)-u(t)}&=&{(e^{-Ah}-I)e^{-At}u_0+\int_0^t(e^{-Ah}-I)e^{-A(t-s)}F(s){\rm d}s } \nonumber\\ &&+ {\int_{t}^{t+h}e^{-A(t+h-s)}F(s){\rm d}s } \nonumber\\ &=& {I_1+I_2+I_3}. \end{eqnarray}

(3.3)

选取$\delta \in(0,1-\alpha)$,由(2.4)和(2.5)式我们分别估计上面三项

\begin{eqnarray} \label{3.3} {\|I_1\|_{\alpha}} ={\|(e^{-Ah}-I)A^{\alpha}e^{-At}u_0\|} \leq {C_0h^{\delta}\|A^{\delta+\alpha}e^{-At}u_0\|} \leq { C_1 h^{\delta},\,\,\,t \in [a,b]}, \end{eqnarray}

(3.4)

\begin{eqnarray}\label{3.4} \|I_2\|_{\alpha}&=&{\int_0^t\|(e^{-Ah}-I)A^{\alpha}e^{-A(t-s)}F(s)\|{\rm d}s} \nonumber\\ &\leq& {C_0h^{\delta}\int_0^t\|A^{\delta+\alpha}e^{-A(t-s)}F(s)\|{\rm d}s } \nonumber\\ &\leq& {C_3 h^{\delta} \int_0^t(t-s)^{-(\delta+\alpha)}{\rm d}s } \nonumber\\ &\leq& C_2 h^{\delta},\,\,\,t \in [a,b], \end{eqnarray}

(3.5)

\begin{eqnarray}\label{3.5} \|I_3\|_{\alpha} &\leq& {\int_t^{t+h}\|A^{\alpha}e^{-A(t+h-s)}F(s)\|{\rm d}s } \nonumber\\ &\leq& {C_4 \int_t^{t+h}(t+h-s)^{-\alpha}{\rm d}s }\nonumber\\ &=& C_5h^{1-\alpha} \leq C_3h^{\delta},\,\,\,\delta \in(0,1-\alpha). \end{eqnarray}

(3.6)

由上面三个不等式,我们可以得到

\begin{eqnarray} \|u(t+h)-u(t)\|_{\alpha} \leq M_1h^{\delta},\,\,\,t \in [a,b].\label{3.6} \end{eqnarray}

(3.7)

考虑到半群的基本性质,我们得到

\begin{eqnarray} u' (t)&=&{-Ae^{-At}u_0-A\int_0^te^{-A(t-s)}F(s){\rm d}s+F(t)} \nonumber\\ &=& {-Ae^{-At}u_0-A\int_0^te^{-A(t-s)}F(s){\rm d}s } +{\int_0^tAe^{-A(t-s)}F(t){\rm d}s+e^{-At}F(t)} \nonumber\\ &=& {-Ae^{-At}u_0+ e^{-At}F(t)+ \int_0^tAe^{-A(t-s)}[F(t)-F(s)]{\rm d}s} \nonumber\\ &=&I_4+I_5+I_6. \end{eqnarray}

(3.8)

选取$\gamma<\min \{\alpha,\delta\}$,由(2.4)和(2.5)式我们分别估计上面三项

\begin{equation} \|I_4\|_{\gamma}=\|A^{1+\gamma}e^{-At}u_0\|=\|A^{1+\gamma-\alpha}e^{-At}A^{\alpha}u_0\| \leq C_1' t^{-(1+\gamma-\alpha)},\label{3.9} \end{equation}

(3.9)

\begin{equation} \|I_5\|_{\gamma}=\|A^{1+\gamma}e^{-At}f(t)\|\leq C_2' t^{-\gamma},\label{3.10} \end{equation}

(3.10)

\begin{eqnarray} \|I_6\|_{\gamma}&\leq& {\int_0^t\|A^{1+\gamma}e^{-A(t-s)}\|\cdot \|F(t)-F(s)\|{\rm d}s } \nonumber\\ &\leq& C_4' {\int_0^t (t-s)^{-(1+\gamma)}\cdot \|F(t)-F(s)\|{\rm d}s}. \end{eqnarray}

(3.11)

由(2.1)和(3.7)式我们容易得到下面的估计

\begin{eqnarray} \|F(t)-F(s)\|\leq L(\|u(t)-u(s)\|_{\alpha}+\|u(t-\tau)-u(s-\tau)\|_{\alpha})\leq 2LM_1(t-s)^{\delta}. \end{eqnarray}

(3.12)

于是

\begin{eqnarray} \|I_6\|_{\gamma}\leq C_5' \int_0^t(t-s)^{\delta-\gamma-1}{\rm d}s \leq C_3' t^{\delta-\gamma}.\label{3.13} \end{eqnarray}

(3.13)

结合上面的不等式,我们便可以得到(3.2)式, 然后从$a$到$b$积分就得到了引理的证明.

定理3.1 假设(A1)和(A2)成立,方程(1.2)的有限个平衡点是孤立的, 对任意给定的$R,\varepsilon >0$,一定存在一个足够小的 $\tau >0$使得对方程(1.1)的任何满足$\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \|u(t)\|_{\alpha} \leq R$的解最终将进入并停留在某一个平衡点的 ε -邻域内.

证 为简单起见,我们只需验证满足$\|u(t)\|_{\alpha} \leq R$的解成立即可. 设$\{E_1,\cdots,E_n\}$是方程(1.2)的平衡点集，并假设按以下顺序排列

$ V(E_n)\geq V(E_{n-1})\geq \cdots \geq V(E_1)$

(3.14)

其中$V$是Lyapunov函数. 我们将分两步来完成定理的证明.

第一步,我们首先证明对任意的$\delta >0$,存在一个足够小的$\tau>0$ 使得对所有的$u\in \bar{{\cal B}}_R$

$\omega(u)\bigcap \bigg(\bigcup_{1\leq j \leq n}{\cal B}_{\delta} (E_j)\bigg)\neq \emptyset . \label{0}$

(3.15)

我们采用反证法来证(3.15)式,如若不然,对给定的$\delta$, 总能找到一个递减序列$\tau_k\rightarrow 0$,其对应的解为$u_k$,满足 $$d(E_j,\omega(u_k))\geq 2\delta. $$ 上式对所有的$1\leq j \leq n$ 和$k\in N$成立. 考虑到$ \omega(u)$的定义,对每一个$k$我们总可以选取$t_k>0$ 使得当$t\geq t_k,1\leq j \leq n$

||uk(t)-Ej||a≥δ

(3.16)

假设$\tilde{u}_k(t)=u_k(t+t_k)$ $(t\geq0$), 容易验证$\tilde{u}_k$满足下面的方程 $$\partial_t \tilde{u}_k+A \tilde{u}_k=f(\tilde{u}_k(t), \tilde{u}_k(t-\tau_k)).$$ 下面我们将利用Aubin-Lions引理来证明,对$b > a \geq \tau_k$和 $1<p<\infty$,在$L^p(a,b;X^{\alpha})$中存在一个$\{\tilde{u}_k\}_{k=1}^{\infty}$的强收敛子列. 为了得到这个结论,我们首先检验,对$1<p,q<\infty,0<\gamma<\alpha<\beta<1$

$ \{\tilde{u}_k\}_{k=1}^{\infty}\ \mbox{在 $ L^p(a,b;X^{\beta})$ 中有界}$

(3.17)

和

$ \{\partial_{t}\tilde{u}_k\}_{k=1}^{\infty}\ \mbox{在 $L^q(a,b;X^{\gamma})$中有界}. \label{02}$

(3.18)

为了得到(3.17)式,我们首先给出$\|\tilde{u}_k\|_{\beta}$的估计, 由(2.2)和(2.4)式 \begin{eqnarray*} {\|\tilde{u}_k\|_{\beta}}&\leq&{\|A^{\beta-\alpha}e^{-At}A^{\alpha}\tilde{u}_0\| +\int_{0}^{t}\|A^{\beta}e^{-A(t-s)}\|\cdot \|f[\tilde{u}_k(s),\tilde{u}_k(s-\tau_k)]\|{\rm d}s}\\ &\leq& {C_{\beta-\alpha}t^{-(\beta-\alpha)}\|\tilde{u}_0\|_{\alpha}+2LRC_\beta\int_0^t(t-s)^{-\beta}{\rm d}s}\\ &\leq& {M_1t^{-(\beta-\alpha)}+M_2t^{1-\beta}}. \end{eqnarray*} 从$a$到$b$积分便可得到(3.17)式. 通过引理3.1,我们也看到(3.18)式的正确性. 由分数次幂空间的基本性质,$X^\beta$紧嵌入到$X^\alpha$, $X^\alpha$连续嵌入到$X^\gamma$,由Aubin-Lions引理得, 在$L^p(a,b;X^{\alpha})$中,$\{\tilde{u}_k\}_{k=1}^{\infty}$存 在一个强收敛的子列,不妨仍然记为$\tilde{u}_k$,容易看出其极限 $\tilde{u}$满足方程(1.2). 考虑到(3.16)式, 我们对$\tilde{u}$有下列估计 \begin{eqnarray*} {\int_a^{b}\|\tilde{u}-E_j\|_{\alpha}^p{\rm d}t} &=& {\int_a^{b}\|\tilde{u}_k-E_j+\tilde{u}-\tilde{u}_k\|_{\alpha}^p{\rm d}t} \\ &\geq & {C_1\int_a^{b}\|\tilde{u}_k-E_j\|_{\alpha}^p{\rm d}t-C_2\int_a^{b}\|\tilde{u}_k-\tilde{u}\|_{\alpha}^p{\rm d}t}\\ &\geq & {C_1\delta^p -C_2\int_a^{b}\|\tilde{u}_k-\tilde{u}\|_{\alpha}^p {\rm d}s \geq C\delta^p,\,\,\,C>0}. \end{eqnarray*} 通过上面的不等式可以看出 $$ \lim_{t\rightarrow +\infty}\|\tilde{u}-E_j\|_{\alpha}\neq0,\,\,\,\,\,1\leq j \leq n.\label{100}$$ 然而方程(1.2)是梯度系统,一定有$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\tilde{u} =E_j$,这显然与上式构成了矛盾,从而我们得到了(3.15)式的正确性.

第二步,我们将证明,如果$\tau$足够小,则对方程(1.1)的任何一个有界解, 一定存在某个平衡点$E_j$和足够大的$T$使得当$t>T$时

$ \|u(t)-E_j\|_{\alpha}<\varepsilon\label{3.19}.$

(3.19)

我们仍然采用反证法来证明这个结论,如果上述结论不成立, 则存在一个递减的序列$\tau_k\rightarrow0$,其对应的解记为 $u_k\in \bar{{\cal B}}_R$,不满足(3.19)式. 利用$\tau_k\rightarrow0$容易得到

$ \lim_{k\rightarrow\infty} \min_{1\leq j\leq n}d(E_j,\omega(u_k))=0\label{2}.$

(3.20)

不失一般性,我们假设对所有的$k\geq1$ $$\omega(u_k)\bigcap\bigg (\bigcup_{1\leq j \leq n} {\bar{\cal B}}_{\varepsilon}(E_j)\bigg)\neq \emptyset.$$ 用$j^k$表示最小的满足下式成立的$j$ $$\omega(u_k)\bigcap {\bar{\cal B}}_{\varepsilon}(E_j)\neq \emptyset.$$ 容易看出,存在$\{k\}_{k=1}^\infty$的一个子列$\{k_i^1\}_{i=1}^\infty$ 使得对某个$j_1\in [1,n]$,有 $$j^{k_i^1}=j_1,\mbox{对所有的} \,\,k_i^1.$$ 我们将证明,如果$j_1<n$,则存在一个$\delta_1\in(0,\varepsilon) $和$k_1^*$使得

$ d(E_{j_1},\omega(u_{k_i^1}))\geq \delta_1,\mbox{对}\,\, k_i^1>k_1^*.\label{3}$

(3.21)

事实上,如若不然,一定存在$\{k_i^1\}_{i=1}^\infty$ 的一个子列, 不妨仍然记为$\{k_i^1\}_{i=1}^\infty$,满足

$\lim_{i\rightarrow\infty}d(E_{j_1},\omega(u_{k_i^1}))=0.\label{4}$

(3.22)

通过$j^k$的定义和(3.22)式,我们可以选取一个序列$t_i>0$满足

$u_{k_i^1}(t_i)\in {\cal B}_{\varepsilon}(E_{j_1}),\,\,\, \lim_{i\rightarrow \infty}\|u_{k_i^1}(t_i)-E_{j_1}\|_{\alpha}=0\label{5}$

(3.23)

和对$ t>t_i,j<j_1$,有

$\|u_{k_i^1}(t)-E_j\|_{\alpha}>\varepsilon .\label{6}$

(3.24)

定义 $$\eta_i=\sup \{t\geq t_i|u_{k_i^1}([t_i,t])\subset { \bar{\cal B}}_{\varepsilon}(E_{j_1})\}.$$ 显然$u_{k_i^1}(\eta_i)\in \partial {\cal B}_{\varepsilon}(E_{j_1})$. 设$$v_i(t)=u_{k_i^1}(t+\eta _i),\,\,\,t\in [-(\eta_i-t_i),+\infty).$$ 从(3.23),(3.24)式和$\eta_i$的定义容易看出 $$ v_i(0)\in \partial {\cal B}_{\varepsilon}(E_{j_1}),\,\,\, v_i(t)\in {\bar{\cal B}}_{\varepsilon}(E_{j_1}),\,\,\, \mbox {对}\,-(\eta_i-t_i)\leq t \leq 0.\label{7}$$ $$\|v_i(t)-E_j\|_{\alpha}>\varepsilon,\,\,\,\mbox{对}\,\,\, t>0,j<j_1.\label{8}$$ 很明显$v_i$满足方程 $$\partial_t v_i+Av_i=f(v_i(t),v_i(t-\tau_{k_i^1})).$$ 沿用前面的方法,我们能证明,在$L^p(a,b;X^{\alpha})$中, 对$b>a \geq \tau_{k_i^1},p>1$,$\{v_i\}_{i=1}^{\infty}$ 存在一个强收敛的子列,不妨仍然记为$\{v_i\}_{i=1}^{\infty}$. 令$T=\limsup(\eta_i-t_i)$,于是定义在$(-T,\infty)$上的极限函数 $v$是方程(1.2)的解. 下面我们将证明$T=+\infty$. 事实上, 如果$T<+\infty$,则$v(t)$在$t=-T$处有定义. 由(3.23)式我 们得到$v(-T)=E_{j_1}$,因此对$t\geq -T$,$v(t)\equiv E_{j_1}$.

因为$v_i\in C([-(\eta_i-t_i),+\infty);X^{\alpha})$, 当然$v_i(t)$在$t=0$处连续,也就是说$$\lim_{t\rightarrow0+} \|v_i(t)-v_i(0)\|_{\alpha}=0.$$ 由连续的定义得,选取$\varepsilon_0<\varepsilon$和$t_1>0$使得 $$\|v_i(t)-v_i(0)\|_{\alpha}<\varepsilon_0,\,\,\,\mbox{对}\,\, 0<t<t_1.$$ 于是选取$t_2\in (0,t_1)$使得$$\|v_i(t)-v_i(0)\|_{\alpha}< \varepsilon_0,\,\,\,\mbox{对}\,\,t_2<t<t_1.$$ 因此,我们得到 $$ \varepsilon_{0} > \|v_i(t)-E_{j_1}+E_{j_1}-v_i(0)\|_{\alpha} \geq \|v_i(0)-E_{j_1}\|_{\alpha}-\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}. $$ 从而$$\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}>\|v_i(0)-E_{j_1}\|_{\alpha} -\varepsilon_{0}=\varepsilon-\varepsilon_{0}>0,\,\,\, \mbox{对}\,\,t_2<t<t_1.$$ 于是 $$\int_{t_2}^{t_1}\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t> (t_1-t_2) (\varepsilon-\varepsilon_0)^p.$$ 显然$$ \lim_{i\rightarrow\infty}\int_{t_2}^{t_1}\|v_i(t) -E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t\neq0.$$ 这与在$L^p(a,b;X^{\alpha})$中,$v_i(t)$强收敛于$E_{j_1}$ 的事实相矛盾,因此$T=+\infty$.

假设$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}v(t)=E_j$, 则一定有$j\geq j_1$. 否则,如果$j<j_1$ \begin{eqnarray*} {\int_{a}^{b}\|v(t)-E_j\|_{\alpha}^{p}{\rm d}t}&=&{\int_{a}^{b}\|v(t)-v_i(t)+v_i(t)-E_j\|_{\alpha}^{p}{\rm d}t}\\ &\geq& {C_1\int_{a}^{b}\|v_i(t)-E_j\|_{\alpha}^p{\rm d}t-C_2\int_{a}^{b}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t} \\ &>& {C_1 \varepsilon^p-C_2\int_{a}^{b}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t >C\varepsilon^p,\,\,\,(C>0)}. \end{eqnarray*} 这与$v_i(t)$在$L^p(a,b;X^{\alpha})$中强收敛到$v(t)$相矛盾.

最后我们需要验证$\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}v(t)=E_{j_1}$. 对于足够小的$\varepsilon'>0$使得$-(\eta_i-t_i)<t <-(\eta_i-t_i) +\varepsilon'<0$,于是有 \begin{eqnarray*} &&{\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t} \\ &=&{\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v(t)-v_i(t)+v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t}\\ &\leq&{C_1\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t +C_2\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v_i(t)-E_{j_1}\|_{\alpha}^p{\rm d}t}\\ &\leq& {C_1\int_{-(\eta_i-t_i)}^{-(\eta_i-t_i)+\varepsilon'}\|v_i(t)-v(t)\|_{\alpha}^p{\rm d}t+C_2\varepsilon'\varepsilon}. \end{eqnarray*} 考虑到在$L^p(-(\eta_i-t_i),-(\eta_i-t_i)+\varepsilon';X^{\alpha})$ 空间中,$v_i$强收敛到$v$,于是可以得到上述结论成立. 总之,我们有 $$\lim_{t\rightarrow -\infty}v(t)=E_{j_1},\,\,\, \lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=E_{j}\,\,(j\geq j_1).$$ 根据一开始的假设(3.14),这显然与注2.1的事实想违背, 从而(3.21)式是正确的.

根据$j^{k^1_i}$的定义,我们可以得出结论 $$ d(E_j,\omega(u_{k_i^1}))\geq \delta _1,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^1>k_1^{*},\,1\leq j \leq j_1. $$ 为简单起见,不妨假设上式对所有的$k_i^1$都成立. 固定 $\delta_2'\in(0,\delta_1)$,用$j^{k_i^1}$表示最小的满足下式成立的$j$ $$\omega(u_{k_i^1})\bigcap {\bar{\cal B}}_{\delta_2'} (E_j)\neq \emptyset.$$ 容易看出,对所有的$k_i^1$,$j^{k_i^1}>j_1$成立. 类似的, 存在$\{k_i^1\}_{i=1}^{\infty}$的子列$\{k_i^2\}_{i=1}^{\infty}$ 和$j_2\in (j_1,n]$使得对所有的$k_i^2$有$j^{k_i^2}=j_2$成立. 重复前面的过程,能够证明,如果$j_2<n$,存在一个 $\delta_2\in(0,\delta_2')$和$k_2^*>k_1^*$使得 $$ d(E_{j_2},\omega(u_{k_i^2}))\geq \delta_2,\,\,\, \mbox{对}\,\,\,k_i^2>k_2^*.$$ 根据$\{k_i^2\}_{i=1}^{\infty}$ 的选取,容易看出 $$ d(E_j,\omega(u_{k_i^2}))\geq \delta _2,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^2>k_2^{*},1\leq j \leq j_2. $$ 如此反复上面的过程,我们最终会得到序列 $$ j_1<j_2<\cdots<j_m=n,\,\,\,\varepsilon>\delta_1>\delta_2> \cdots>\delta_m>0,\,\,\,k_1^*<k_2^*<\cdots<k_m^*$$ 和$\{k_i^p\}_{i=1}^\infty(1\leq p\leq m)$使得 $$ d(E_j,\omega(u_{k_i^p}))\geq \delta _p,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^p>k_p^{*},1\leq j \leq j_p.$$ 特别地,当然有 $$ d(E_j,\omega(u_{k_i^m}))\geq \delta _m,\,\,\,\mbox{对所有的} \,\,\,k_i^m>k_m^{*},1\leq j \leq j_m=n.$$ 这显然与(3.20)式相矛盾,定理证毕.

下面一个定理证明了方程(1.1)的解将会精确地走向平衡点, 只要平衡点是双曲的.

定理3.2 假设(A1)和(A2)成立,$f\in C^1$. $E$是方程(1.2)的双曲平衡点 (也就是说,$Df(E)$的特征值有非零实部). 则存在$\varepsilon>0$和 足够小的$\tau>0$使得当$t$趋于无穷大时,方程 (1.1) 的任何一个满足 $\limsup\limits_{t\rightarrow \infty} \|u(t)-E\|_{\alpha} \leq \varepsilon$的解最后会走向平衡点$E$.

证 为简单起见,我们选取$E=0$,以下只需验证存在ε和足 够小的$\tau$,使得方程(1.1)的有界解满足$\|u(t)\|_{\alpha} \leq \varepsilon$. 考虑方程(1.2)的线性化方程 $$ \partial_tv+Av-Df(0)v=\partial_tv+Lv=0, $$ 这里$L=A-Df(0)$,$Df(0)$是$f$在0点的Fr\'{e}chet导数, 则$-L$在$X$上能生成一个解析半群$e^{-Lt}$. 因为平衡点是双曲的, 因此解析半群$e^{-Lt}$在$X$上具有指数二分性. 也就是说, 存在一个有界的投影算子$P$和两个正常数$\beta_0$,$\alpha_0$ 使得对所有的$u\in X$,下列不等式成立

$ \|e^{-Lt}Pu\|_{\alpha}\leq \beta_0e^{\alpha_0 t}\|u\|,\,\,\, \mbox{对} \,\,\,t\leq 0,\label{9} $

(3.25)

$ \|e^{-Lt}Qu\|_{\alpha}\leq \beta_0t^{-\alpha}e^{-\alpha_0 t}\|u\|,\,\,\,\mbox{对} \,\,\,0<t\leq 1, \label{3.26} $

(3.26)

$ \|e^{-Lt}Qu\|_{\alpha}\leq \beta_0e^{-\alpha_0 t}\|u\|,\,\,\,\mbox{对} \,\,\,1\leq t<\infty\label{3.27}. $

(3.27)

这里$Q=I-P$. 设$f(u,u)=Df(0)u+h(u)$,则从假设(A2)中知道$h(0)=0$, $$ \|h(u)-h(v)\| \leq \ell(r)\|u-v\|_{\alpha},\,\,\,\mbox{对} \,\,\|u\|_{\alpha},\|v\|_{\alpha}\leq r. $$ 其中$\ell:R^+\rightarrow R^+$的连续函数,且$\ell(0)=0$.

我们首先证明,如果$u$是方程(1.1)在$[0,+\infty)$上的有界解,则它能够表示为

$ u(t)=e^{-L(t-\tau)}Qu(\tau)+\int_{\tau}^te^{-L(t-s)}QH(s){\rm d}s-\int_t^{+\infty}e^{-L(t-s)}PH(s){\rm d}s,\label{3.28} $

(3.28)

这里 $$ H(s)=h(u(s))+f(u(s),u(s-\tau))-f(u(s),u(s)). $$ 事实上,方程(1.1)可以改写为 \begin{eqnarray*} \partial_tu+Au-Df(0)u&=&f(u(t),u(u-\tau))-Df(0)u \\ &=&f(u(t),u(u-\tau))-f(u,u)+f(u,u)-Df(0)u. \end{eqnarray*} 根据上面的记号,我们可以把上式改写为 $$ \partial_tu+Lu=H(t). $$ 通过常数变易公式便可得到,对任何的$t,t_0\geq0$ $$ u(t)=e^{-L(t-t_0)}u(t_0)+\int_{t_0}^te^{-L(t-s)}H(s){\rm d}s\label{10} $$ 两边用投影算子$P$作用 $$ Pu(t)=e^{-L(t-t_0)}Pu(t_0)+\int_{t_0}^te^{-L(t-s)}PH(s){\rm d}s. $$ 考虑到(3.25)式,在上式中令$t_0\rightarrow +\infty$便可得到 $$ Pu(t)=-\int_{t}^{+\infty}e^{-L(t-s)}PH(s){\rm d}s. $$ 同时注意到 $$ Qu(t)=e^{-L(t-\tau)}Qu(\tau)+\int_{\tau}^te^{-L(t-s)}QH(s){\rm d}s. $$ 于是(3.28)式成立. 下面估计$\|u(t)\|_{\alpha}$,事实上

\begin{eqnarray} \|u(t)\|_{\alpha}&\leq& \|e^{-L(t-\tau)}Qu(\tau)\|_{\alpha}+{\int_{\tau}^t\|e^{-L(t-s)}QH(s)\|_{\alpha}{\rm d}s} \nonumber\\ &&+{\int_{t}^{+\infty}\|e^{-L(t-s)}PH(s)\|_{\alpha}{\rm d}s} \nonumber\\ &=&I_1+I_2+I_3. \end{eqnarray}

(3.29)

我们首先估计第二项,令$t\geq 2$,于是 \begin{eqnarray*} \int_{\tau}^t\|e^{-L(t-s)}QH(s)\|_{\alpha}{\rm d}s &=&\int_{0}^{t-\tau}\|e^{-Ls}QH(t-s)\|_{\alpha}{\rm d}s\\ &=&\int_{0}^{1}\|e^{-Ls}QH(t-s)\|_{\alpha}{\rm d}s+\int_{1}^{t-\tau}\|e^{-Ls}QH(t-s)\|_{\alpha}{\rm d}s\\ &=&I_2' +I_2''. \end{eqnarray*} 考虑到(3.26),(3.27)式和$f$的Lipschitz连续性,可以得到下面的估计

\begin{eqnarray} I_2' &\leq& \beta_0\int_0^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}\|H(t-s)\|{\rm d}s\nonumber\\ &\leq&\beta_0\int_{0}^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}\left[\ell(\varepsilon)\|u\|_{\alpha}+\|f(u(t-s),u(t-s-\tau))-f(u(t-s),u(t-s))\|\right]{\rm d}s\nonumber\\ &\leq&\beta_0\int_{0}^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}\left[\ell(\varepsilon)\|u\|_{\alpha}+L\|u(t-s-\tau)-u(t-s)\|_{\alpha}\right]{\rm d}s.\label{14} \end{eqnarray}

(3.30)

下面最重要的任务是估计$\|u(t-\tau)-u(t)\|_\alpha$,我们引入记号 $$\|u\|_\infty=\sup_{t\in [-\tau,+\infty)}\|u(t)\|_\alpha,\,\,\,F(s)=f(u(s),u(s-\tau)).$$ 于是$$ \|F(s)\|=\|f(u(s),u(s-\tau)\|\leq L (\|u(s)\|_\alpha+\|u(s-\tau)\|_\alpha)\leq 2L \|u\|_\infty. $$ 因为 \begin{eqnarray*} u(t)-u(t-\tau)&=&{(e^{-At}-e^{-A(t-\tau)})u_0}\\ &&+{\int_0^{t-\tau}(e^{-A(t-s)}-e^{-A(t-\tau-s)})F(s){\rm d}s } +{\int_{t-\tau}^te^{-A(t-s)}F(s){\rm d}s}\\ &=&I_4+I_5+I_6. \end{eqnarray*} 考虑到(2.4)和(2.6)式 \begin{eqnarray*} \|I_4\|_\alpha \leq C_\alpha \tau t^{-(1+\alpha)}\|u_0\|\leq C_\alpha \tau t^{-(1+\alpha)}\|u\|_\infty \leq C_\alpha \tau^{1-\alpha} t^{-(1+\alpha)}\|u\|_\infty, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \|I_5\|_\alpha \leq C_\alpha \tau 2L\|u\|_\infty \int_0^{t-\tau}(t-s)^{-(1+\alpha)}{\rm d}s \leq \frac{2LC_\alpha}{\alpha}\tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \|I_6\|_\alpha \leq C_\alpha 2L\|u\|_\infty \int_{t-\tau}^{t}(t-s)^{-\alpha}{\rm d}s= \frac{2LC_\alpha}{1-\alpha}\tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty. \end{eqnarray*} 设$$M={\int_{0}^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}{\rm d}s}.$$ 考虑到(3.30)式,首先 $$\beta_0\int_{0}^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}\ell(\varepsilon) \|u\|_{\alpha}{\rm d}s\leq M\beta_0 \ell(\varepsilon)\|u\|_\infty;$$ 其次 \begin{eqnarray*} &&L\beta_0C_{\alpha}\tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty\int_0^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}(t-s)^{-(1+\alpha)}{\rm d}s\\ &\leq &L\beta_0C_{\alpha}\tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty\int_0^1s^{-\alpha}e^{-\alpha_0s}(t-1)^{-(1+\alpha)}{\rm d}s\\ &\leq &ML\beta_0C_{\alpha}\tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty; \end{eqnarray*} 最后我们得到(3.30)式的估计

$I_2' \leq M\beta_0 \ell(\varepsilon)\|u\|_\infty+M_2' \tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty,\label{15}$

(3.31)

这里 $$M_2' =M_2' (L,M,\beta_0,C_{\alpha},\alpha).$$ 对于$I_2''$,我们能得到相似的估计

\begin{eqnarray} I_2''&=&{\leq\beta_0\int_{\tau}^te^{-\alpha_0(t-s)}\|H(s)\|{\rm d}s} \nonumber\\ &\leq& {\beta_0\int_{\tau}^te^{-\alpha_0(t-s)}\left[\ell(\varepsilon)\|u\|_{\alpha}+\|f(u(s),u(s-\tau))-f(u(s),u(s))\|\right]{\rm d}s } \nonumber\\ &\leq& {\beta_0\int_{\tau}^te^{-\alpha_0(t-s)}\left[\ell(\varepsilon)\|u\|_{\alpha}+L\|u(s-\tau)-u(s)\|_{\alpha}\right]{\rm d}s} \nonumber\\ &\leq&\frac{\beta_0}{\alpha_0}\ell(\varepsilon)\|u\|_\infty+M_2''\tau^{1-\alpha}\|u\|_\infty,\label{16} \end{eqnarray}

(3.32)

这里 $$M_2''=M_2''(L,M,\beta_0,C_{\alpha},\alpha).$$ 于是我们从(3.31)和(3.32)式得到对$I_2$的估计

$I_2=\int_{\tau}^t\|e^{-L(t-s)}QH(s)\|_{\alpha}{\rm d}s \leq \left[M_1\ell(\varepsilon)+M_2\tau^{1-\alpha}\right]\|u\|_\infty,\label{20} $

(3.33)

这里 $$M_1=M_1(M,\alpha_0,\beta_0),\,\,\,M_2=M_2(L,M,\beta_0, C_{\alpha},\alpha).$$ 现在我们选取一个足够小的ε,使得 $\ell(\varepsilon)\leq 1/12M_1$,并取$\tau^{1-\alpha}=1/12 M_2$, 于是通过上面的不等式得到

$I_2=\int_{\tau}^t\|e^{-L(t-s)}QH(s)\|_{\alpha}{\rm d}s \leq \frac{1}{6}\|u\|_{\infty}.\label{17} $

(3.34)

通过类似的过程,我们可以得到对$I_3$的估计

$ I_3=\int_{t}^{+\infty}\|e^{-L(t-s)}PH(s)\|_{\alpha}{\rm d}s \leq \frac{1}{6}\|u\|_\infty.\label{18} $

(3.35)

至于第一项,我们可以选取$t_1>\tau$,使得当$t\geq t_1$时,有$\beta_0e^{-\alpha_0(t-\tau)}<1/6$. 因此

$ I_1=\|e^{-L(t-\tau)}Qu(\tau)\|_{\alpha}\leq \frac{1}{6}\|u\|_\infty,\,\,\,t\geq t_1.\label{19} $

(3.36)

结合以上三式,可以得到

$ \|u(t)\|_\alpha \leq \frac{1}{2}\|u\|_\infty,\,\,\,t\geq t_1\label{250}. $

(3.37)

设$T=t_1+2\tau$,由(3.37)式递推可以得到

$\|u(t)\|_{\alpha}\leq \frac{1}{2^k}\|u\|_{\infty},\,\,\,t\geq T^k.$

(3.38)

定理证毕.

结合定理3.1和3.2,我们最终得到下面的结论.

定理3.3 假设(A1),(A2)成立,非线性项$f\in C^1$, 方程(1.2)存在有限个孤立双曲平衡点,则对任何的$R>0$, 方程(1.1)的满足$\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \|u(t)\|_{\alpha} \leq R$的解,当$t\rightarrow+\infty$时最终会走向一个平衡点, 只要时滞$\tau$足够小.

作为例子,我们考虑下面时滞的初边值问题

$ \left\{{ll}u_t-\Delta u=f(u(t),u(t-\tau)),~~ { (x,t)\in} \ \Omega \times R^+;\\ u=u_0, {(x,t)\in} \ \Omega \times [-\tau,0];\\ u=0, {(x,t)\in}\ \partial \Omega \times R^+.\right.$

(4.1)

这个问题可以转化为以下抽象的发展方程

$u_t+Au=f(u(t),u(t-\tau)), $

(4.2)

这里$A=-\Delta,D(A)=H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$. 很明显, $A$为正的扇形算子. 分数次幂算子$A^\alpha$和分数次空间 $X^\alpha=D(A^{\alpha})$都是有定义的. 而且非时滞方程

$u_t+Au=f(u,u)$

(4.3)

是个梯度系统,因为它有一个Lyapunov函数 $$ V(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nabla u|^2-\int_{\Omega}F(u),$$ 这里$F(s)= {\int_0^s f(r){\rm d}r}.$ 通过定理3.3,下面的结论自然成立.

定理4.1假设非线性项$f$满足(A2)并且是$C^1$的, 方程(4.3)的每一个平衡点是孤立的双曲平衡点,则对任何的$R>0$, 方程(4.2)的满足$\limsup\limits_{t\rightarrow +\infty} \|u(t)\|_{\alpha} \leq R$的解,当$t\rightarrow+\infty$时最终会走向一个平衡点, 只要时滞$\tau$足够小.