热核估计是当前研究的热点,在诸多领域有着广泛的应用, 如概率论、分形几何、几何学、数学物理和其他分支.文献 ^[24] 综述 了一系列热核估计的研究思想和手段. 如今,大量的相关文献从事于热核估 计在黎曼流形、有限图和分型几何等情况上的性质. 例如, 文献^{[7, 8, 13, 15, 17, 28, 32, 33]}介绍了黎曼流形上的热核估计, 文献^{[11, 28, 31]}介 绍了有非负里奇曲率张量的完备的黎曼流形上热核估计的情况,有兴趣的 读者可参考文献^{[4, 5, 18]}中有限图上的情形和文献^{[2, 3, 25]}中分形几何上 的情形.

在大部分热核双边估计中,通常的估计方法是先得到的上界估计通过其 再求得下界估计. Aronson 的研究成果$^{^[1]}$使得这种方法成为热核 估计中的标准方法. 然而在某些特定条件下,会给定下界估计来建立 上界估计,这类问题最早是由 Grigor'yan 和胡家信在文献^[20]提出的. 而本文的不同在于,在加倍测度的条件下,给出了热核下界估计的一般形式, 而非具体的表达形式. 因此,在加倍测度条件下,本文建立了一种更加一 般的热核估计上下界的关系.

本文的结构如下,第二部分介绍了热核估计的背景和本文的假定条件; 第三部分阐述了证明思想和框架,并证明了局部的 Nash 不等式, 这个结论是本文的重要结果; 第四部分结合文献^[19]中的结论给出了 本文主要定理的证明,定理 3.3和推论 4.3 是本文的核心内容; 最后一部分介绍了根据本文结论可以扩展的等价结论.

除非有特定解释,否则本文中常数$c_0$是给定的, 而小写常数$c,c_1,c_2,\cdots$是变动的. 符号``$:=$" 代表定义. 如果集合$A\subset M$,那么$A^c$记作$M\setminus A$. 令$C_0(M)$表示所有$M$上所有有紧支撑的连续函数的集合.

除非特定说明,本文里$(M,d,\mu)$记作测度度量空间, $\mu$是$M$上具有全支撑的Radon测度. 通常来说,实Banach空间 $L^p:=L^p(M,\mu)$的范数定义如下 $$\|f\|_p=\left(\int_M|f|^p {\rm d}\mu\right)^{1/p},\ 1\leq p<\infty,$$ 且$\|f\|_\infty := {\rm esup}_{x\in M}|f(x)|$, 其中esup指本性上确界,$(f,g)$表示函数$f,g \in L^2$的内积. 此外,令$B(x,r)$表示$(M,d)$上的度量球,即 $$B(x,r):=\{y\in M,d(x,y)<r\},$$ 令$V(x,r)=\mu (B(x,r))$, $\mu$有全支撑和对任意的$x\in M$和$r>0$则$V(x,r)>0$是等价的. 此外,本文假设$V(x,r)< \infty$. 若球$B(x,r)$是列紧的, 那么测度$\mu$的性质可以推得$V(x,r)$有限. 然而本文并不假设所 有的球是列紧的,而是假定球的测度是有限的, 这个假定条件是相对弱的.

以下是文章中用到的条件和记号.可参见文献[19,Proposition 5.1].

$(VD)$: (Volume growth doubling)存在常数$C_D\geq1$使得, 对所有的$x\in M$和$r>0$,有

$$\begin{equation} \label{bu2} V(x,2r)\leq C_DV(x,r). \end{equation}$$

(2.1)

已知$(VD)$可以推出: 存在$\alpha>0$使得,对所有的$x,y\in M$和 $0<r\leq R$,有

$$\begin{equation} \frac{V(x,R)}{V(y,r)}\leq C_D\left(\frac{d(x,y)+R}{r}\right)^\alpha , \end{equation}$$

(2.2)

其中$\alpha$仅依赖$C_D$.

$(RVD)$: (Reverse volume doubling property) 存在常数$\alpha'$和$c$使得,对所有的$x\in M$和$0<r\leq R$,有 $$\frac{V(x,R)}{V(x,r)}\geq c\left(\frac{R}{r}\right)^{\alpha'},$$ 若$M$是联通的且无界,那么$(VD)\Rightarrow(RVD)$.

定义在$L^2(M,\mu)$上的狄氏型记作(ε\F), ε : F×F→R是一个双线性型映射, 且F是$L^2(M,\mu)$ 上的一个稠密子空间的. 本文给出如下两种常见的狄氏型的例子.

$M$是黎曼流形, $\mu$为黎曼测度,${\cal E}$为经典的狄氏型, $$ε(f)=\int_M |\nabla f|^2 {\rm d}\mu.$$ 另外一个例子如下 $$ε(u)=\int\int_{{\Bbb R}^n\times{\Bbb R}^n} \left(u(y)-u(x)\right)^2 k(x,y){\rm d}x{\rm d}y ,$$ 其中$k(x,y)$是非负的对称核密度函数.

令$(M,d,\mu)$是度量测度空间,$L^2(M,\mu)$上的狄氏型 $({\cal E},{\cal F})$ 满足如下性质.

(1)~ 非负性: 对任意的$f\in {\cal F}$, ${\cal E}(f):={\cal E}(f,f)\geq 0$.

(2)~ 封闭性: ${\cal F}$为Hilbert空间,内积形式如下 $${\cal E}_1(f,g):={\cal E}(f,g)+(f,g).$$

(3)~ 马尔科夫性: 若$f\in {\cal F}$,那么有 $(f\wedge1)_+ \in {\cal F}$,且 ${\cal E}\left((f\wedge1)_+\right)\leq{\cal E}(f)$, 其中 $a_+:= \max\{a,0\}$.

若给定更多的条件下,狄氏型有更多的性质: (1)~ 狄氏型$({\cal E},{\cal F})$称为正则的,如果${\cal F}\cap {\cal C}_0(M)$在${\cal F}$ 和 ${\cal C}_0(M)$中皆稠密.

(2)~ 狄氏型$({\cal E},{\cal F})$称为局部的,如果对任意的有不相交 的紧支撑的$f,g\in {\cal F}$满足${\cal E}(f,g)=0$.

(3)~ 狄氏型$({\cal E},{\cal F})$称为强局部的,如果对任意的有不 相交的紧支撑的$f,g\in {\cal F}$,有${\cal E}(f,g)=0$,则$f$在 supp $g$ 的开邻域中是常数.

(4)~ 狄氏型$({\cal E},{\cal F})$称为保守的,如果对任意的$t>0$ 有$P_t\textbf{1}=1$,其中$P_t$表示热半群.

有兴趣的读者可以参考文献^[10]中给出的更多的狄氏型 的定义和性质.

令${\cal L}$为$({\cal E},{\cal F})$的生成元. ${\cal L}$为一个定义在$L^2(M,\mu)$上的非负正定的自伴算子,其定义域满足$dom({\cal L})\subset{\cal F}$,此外,对所有的$f\in dom({\cal L})$和$g\in{\cal F}$,有 $${\cal E}(f,g)=(-{\cal L}f,g).$$ 从自伴算子的泛函演算角度来说,生成子${\cal L}$定义了热半群 $\{P_t\}_{t\geq0}$,即$P_t=e^{t{\cal L}}$. 以下为热半群的一般性质:

(1)~ 压缩性: 对所有的 $f\in L^2$和$t\geq0$, $\|P_tf\|_2^2 \leq \|f\|_2^2$.

(2)~ 强连续性: 对所有的$f\in L^2$,当$t\rightarrow 0+$, $$P_tf \mathop{\longrightarrow}^{L^2} f.$$

(3)~ 对称性: 对所有的 $f,g\in L^2$,当$t\geq0$ $$(P_tf,g)=(f,P_tg).$$

(4)~ 马尔科夫性: 对任意的$t>0$,如果$f\geq0$,那么$P_tf\geq0$; 如果$f\leq1$,那么$P_tf\leq1$.

狄氏型$({\cal E},{\cal F})$的热半群表示方法如下. 对任意的$f\in L^2$, 函数 $$t\mapsto \frac{1}{t}(f-P_tf,f)$$ 是关于$t$的单调递减函数. 特别的, 上述函数在$t\rightarrow0$极限存在. 更多地,极限是有限的当且仅当 $f\in {\cal F}$,有

$$\begin{equation} \mathop{\lim}_{t\rightarrow0+}\frac{1}{t}(f-P_tf,f)={\cal E}(f). \end{equation}$$

(2.3)

令$p_t(x,y)$为一个定义在$(t,x,y)\in \Re_+\times M\times M$的函数. $p_t(x,y)$称为热核如果其满足以下条件:

(1)~ 可测性: 对任意的$t>0$,$p_t(x,y)$在$(x,y)\in M\times M$是$\mu\times\mu$ -可测的.

(2)~ 对称性: 对任意的$t>0$,$\mu$-a.e. $x,y\in M$,$p_t(x,y)=p_t(y,x)$.

(3)~ 半群性: 对所有的 $t,s>0$,$\mu$-a.e. $x,y\in M$,

$$\begin{equation} p_{t+s}(x,y)=\int_M p_t(x,z)p_s(z,y){\rm d}\mu(z). \end{equation}$$

(2.4)

(4) 马尔科夫性: 对任意的$t>0$,$\mu$-a.e. $x\in M$,$p_t(x,y)\geq 0$,且

$$\begin{equation} \int_M p_t(x,y){\rm d}\mu(y)\leq 1. \end{equation}$$

(2.5)

(5)~ 归一性: 对任意的$f\in L^2$,当$t\rightarrow0+$,

$$\begin{equation} \int_M p_t(x,y)f(y){\rm d}\mu(y) \mathop{\longrightarrow}^{L^2} f(x). \end{equation}$$

(2.6)

令$\{P_t\}_{t\geq0}$为定义在$L^2$上的热半群,其对应的狄氏型为(ε,F). 定义在$\Re_+\times M\times M$ 的函数 $p_t(x,y)$ 被称为$P_t$的可积核,若对任意的$t>0$,$f\in L^2$,$\mu$-a.e $x\in M$,$p_t(x,y)$在$(x,y)\in M\times M$上是非负可测的,且

$$\begin{equation} P_tf(x)=\int_M p_t(x,y)f(y){\rm d}\mu(y), \end{equation}$$

(2.7)

给定常数$\beta>1$,本文提出如下定义和记号:

$(S_\beta)$ : (The survival estimate) 存在$0<\varepsilon<1$和$C>0$ 使得,对所有的$t>0$和所有的球$B=B(x_0,r)$,当$r\geq Ct^{1/\beta}$,

$$\begin{equation} 1-P_t^B\textbf{1}_B(x)\leq \varepsilon,\ \mbox{\ $\mu$-a.e.}\ x\in \frac{1}{4}B. \end{equation}$$

(2.8)

$(T_\beta)$ : (The tail estimate) 存在$0<\varepsilon<\frac{1}{2}$ 和$C>0$ 使得,对所有的 $t>0$和所有的球$B=B(x_0,r)$当$r\geq Ct^{1/\beta}$,

$$\begin{equation} P_t\textbf{1}_{B^c}(x)\leq \varepsilon,\ \mbox{对}\ \mu\mbox{-a.e.\ }x\in \frac{1}{4}B. \end{equation}$$

(2.9)

$(T_{\exp})$ : (The exponential tail estimate) 热核$p_t(x,y)$存在且满足估计

$$\begin{equation}\label{patch1} \int_{B(x,r)^c}p_t(x,y){\rm d}\mu(y) \leq C \exp \left(-c\left(\frac{r}{t^{1/\beta}}\right)^{\frac{\beta}{\beta-1}}\right), \end{equation}$$

(2.10)

其中$C$,$c>0$为常数,所有的$t>0$,$r>0$和$\mu$-a.e. $x\in M$. (2.10)式与以下不等式等价(参见文献[14,备注3.3]): 对任意一个球$B=B(x_0,r)$,$t>0$,

$$\begin{equation} P_t\textbf{1}_{B^c}(x)\leq C \exp \left(-c\left(\frac{r}{t^{1/\beta}}\right)^{\frac{\beta}{\beta-1}}\right) \ \ \mbox{对 $\mu$-a.e.}\ x\in \frac{1}{4}B. \end{equation}$$

(2.11)

$(DUE_\beta)$: (On-diagonal upper bound) 热核$p_t(x,y)$存在且满足

$$\begin{equation}\label{g1} p_t(x,y)\leq\frac{C}{\sqrt{V(x,t^{1/\beta})V(y,t^{1/\beta})}}. \end{equation}$$

(2.12)

$(NLE)$: (Near-diagonal lower estimate) 热核 $p_t(x,y)$ 存在且满足,对所有的$t>0$和$\mu$-a.e.$x\in M$,

$$\begin{equation}\label{bu1} p_t(x,y)\geq \frac{c_0}{V(x,t^{1/\beta})},\ \ d(x,y)\leq \delta t^{1/\beta}. \end{equation}$$

(2.13)

本部分将给出主要的结论.

定理3.1 令$(M,d,\mu)$为测度度量空间,其中$\mu$满足$(VD)$. 令(ε,F)为定义在$L^2(M,\mu)$上的狄氏型,且满足正则性, 局部性和保守性. 如果热核满足$(NLE)$和 $(S_\beta)$, 那么$p_t(x,y)$满足$(DUE_\beta)$.

证明将分为以下四部分.

(1)~ 首先引入一个限制在球上的非负函数$\Pi_B(f)$,$\Pi_B(f)$ 将会在(3.1)式中说明. 由此,本文证明 $\Pi_B(f)$和$ε(f)$的关系,即 $$ε(f)\geq c\Pi_B(f).$$

(2)~ 然后本文给出带有狄氏型$ε(f)$项的Nash不等式. 即 $$\|f\|^{2+\frac{4}{\nu}}_2 \leq K \big[{\cal E}(f) +\nu\|f\|^2_2\big]\|f\|^{4/\nu}_1.$$ 其证明由第一步的结论得到,定理3.3给出了详细的步骤.

(3)~ 根据推论3.4,得到球上的热核估计.

(4)~ 结合文献^[19]中的结论和球上的热核估计,本文将球上的估计推广到全局估计,即本文的结论.

说明 在第一步和第二步中,条件$(NLE)$是必需的而局部性和保守性是不必需的; 第三步中,局部性是必需的; 最后一步中的 $(S_\beta)$是必需的.

令$\Pi_M(f)$为一个定义在$L^2(M)$上的非负函数,对任意的$f\in L^2(M)$,

$$\begin{equation}\label{dog1} \Pi_M(f) := \int_M\left( \frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(x)-f(y)|^2{\rm d}\mu(y)\right){\rm d}\mu(x). \end{equation}$$

(3.1)

事实上,在本文中,$\Pi_{B(x_0,R)}$是结论中出现的形式而非$\Pi_M(f)$. 即本文中需要的函数形式为: 对任意的球$B=B(x_0,R)$,

$$\begin{equation} \Pi_B(f) := \int_{B(x_0,R)}\left(\frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(x)-f(y)|^2{\rm d}\mu(y)\right){\rm d}\mu(x). \end{equation}$$

(3.2)

推论3.2 假设$\mu$为一个测度且满足$(VD)$,热核满足条件$(NLE)$. 对任意的$x_0\in M$,$R$为一给定参数,设$B:= B(x_0,R)$, 对任意的$f\in F(B)$,若 $2r\leq R$,那么

$$\begin{equation}\label{c1} ε(f)\geq \frac{c_0\delta^{\alpha+\beta}}{2C_D}\frac{1} {r^\beta}\Pi_B(f). \end{equation}$$

(3.3)

证 对任意的$f\in F(B)$,设 $$ε_t(f)=\frac{1}{t}\int_{B(x_0,R)} (f(x)-P_tf(x))f(x){\rm d}\mu(x).$$ 根据文献^[10],函数族$ε_t(f)$关于$t$递增,且当$t\downarrow0$时, $ε_t(f)\rightarrowε(f)$. 令 $$\widetilde{B}:= B(x_0,2R).$$ 若$f\in {\cal F}(B)$,那么$f\in {\cal F}( \widetilde{B})$. 令$t^{1/\beta }\leq \frac{1}{2}R=r_{0}$. 已知$B(x,r)\subset \widetilde{B}$,对$x\in B$,任意的$0<r\leq r_{0}$,

$$\begin{eqnarray} {\cal E}(f) &\geq& \frac{1}{t}\int_{B(x_0,2R)}(f(x)-P_tf(x))f(x){\rm d}\mu(x) \nonumber\\ &=&\frac{1}{2t}\left\{\int_{\widetilde{B}}\int_{\widetilde{B}}(f(x)-f(y))^2p_t(x,y){\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x)+2\int_{\widetilde{B}} f(x)^2(1-P_t1(x)){\rm d}\mu(x)\right\} \nonumber\\ & \geq& \frac{1}{2t}\int_{\widetilde{B}}\int_{\widetilde{B}} \left(f(x)-f(y)\right)^2p_t(x,y){\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x) \nonumber\\ & \geq &\frac{1}{2t}\int_{\widetilde{B}}\int_{B(x,r)} \left(f(x)-f(y)\right)^2p_t(x,y){\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x) \nonumber\\ &\geq&\frac{1}{2t}\int_B\left(\int_{B(x,r)}\left(f(x)-f(y)\right)^2p_t(x,y){\rm d}\mu(y)\right){\rm d}\mu(x), \end{eqnarray}$$

(3.4)

如图.

令$r=\delta t^{1/\beta}$,那么根据条件$(NLE)$,有 $$p_t(x,y)\geq \frac{c_0}{V(x,t^{1/\beta})},\ \ \ d(x,y)\leq \delta t^{1/\beta} ,$$ 因此, $${\cal E}(f)\geq \frac{1}{2t}\int_{B}\frac{c_0}{V(x,t^{1/\beta})}\int_{B(x,\delta t^{1/\beta})}\big(f(x)-f(y)\big)^2{\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x).$$ 上述不等式关于$r$的表达如下

$$\begin{equation}\label{a1} {\cal E}(f)\geq \frac{\delta^\beta}{2r^\beta}\int_{B}\frac{c_0}{V(x,\frac{r}{\delta})}\int_{B(x,r)}\big(f(x)-f(y)\big)^2{\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x), \end{equation}$$

(3.5)

对所有的$0<r\leq r_0=\frac{1}{2}R$.

根据$(VD)$,已知$0<\delta<1$,则 $$\frac{V(x,\frac{r}{\delta})}{V(x,r)}\leq C_D\left(\frac{\frac{r}{\delta}}{r}\right)^\alpha=\frac{C_D}{\delta^\alpha},$$ 即

$$\begin{equation}\label{b1} \frac{1}{V(x,\frac{r}{\delta})}\geq \frac{\delta^\alpha}{C_D} \frac{1}{V(x,r)}. \end{equation}$$

(3.6)

把(3.6) 式带入 (3.5)式,则 $$\begin{eqnarray*} {\cal E}(f) & \geq& \frac{\delta^\beta}{2r^\beta}\int_B\ \frac{\delta^\alpha}{C_D}\frac{c_0}{V(x,r)}\int_{B(x,r)}\big(f(x)-f(y)\big)^2{\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x)\\ & =&\frac{c_0\delta^{\alpha+\beta}}{2C_D}\frac{1}{r^\beta}\int_{B} \frac{1}{V(x,r)}\int_{B(x,r)}\big(f(x)-f(y)\big)^2 \ {\rm d}\mu(y){\rm d}\mu(x)\\ & =&\frac{c_0\delta^{\alpha+\beta}}{2C_D}\frac{1}{r^\beta}\Pi_B(f), \end{eqnarray*}$$ 即$0<2r\leq R$的情况,(3.3)式证明完毕.

下面的定理,本文给出在条件$(NLE)$和$(VD)$下,局部性的Nash不等式成立.

定理3.3 若推论3.2中所有的假设条件成立,那么对所有的$f\in F(B)$,

$$\begin{equation} \|f\|_{L^2(B)}^{2(1+\frac{\beta}{2\alpha})}\leq c\left(\frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha}} \left({\cal E}(f)+R^{-\beta} \|f\|^2_{L^2(B)}\right)\|f\|_{L^1(B)}^{\frac{\beta}{\alpha}}, \end{equation}$$

(3.7)

其中$c$是与$f$,$B$无关的常数.

证 令$B:= B(x_0,R)$,假设$f\in {\cal F}(B)$. 令 $$f_r(x)=\frac{1}{V(x,r)} \int_{B(x,r)}f(y){\rm d}\mu(y).$$ 若$0<2r\leq R$,$x\in B$, $$\frac{V(x_0,R)}{V(x,r)} \leq C_D \left(\frac{d(x,x_0)+R}{r}\right)^\alpha \leq C_D\left(\frac{2R}{r}\right)^\alpha.$$ 根据加倍测度的性质,得到

$$\begin{eqnarray}\label{a2} \|f_r\|_{L^1(B)} &=&\int_{B(x_0,R)} |f_r(x)|{\rm d}\mu(x) \leq \int_{B(x_0,R)}\frac{1}{V(x,r)} \left(\int_{B(x,r)}|f(y)|{\rm d}\mu(y)\right){\rm d}\mu(x) \nonumber\\ & \leq& \int_{B(x_0,R)}C_D\left(\frac{2R}{r}\right)^{\alpha}\frac{1}{V(x_0,R)} \left(\int_{B(x,r)}f(y){\rm d}\mu(y)\right){\rm d}\mu(x) \nonumber\\ & \leq &c C_D\left(\frac{2R}{r}\right)^{\alpha} \|f\|_{L^1(B)}. \end{eqnarray}$$

(3.8)

则

$$\begin{eqnarray}\label{b2} \|f_r\|_{L^\infty(B)} & =&\mathop{\rm essup}_{x\in B}\left|\frac{1}{V(x,r)} \int_{B(x,r)}f(y){\rm d}\mu(y)\right| \nonumber\\ & \leq& \mathop{\rm essup}_{x\in B}\frac{1}{V(x,r)}\|f\|_{L^1(B)} \nonumber\\ & \leq &C_D\left(\frac{2R}{r}\right)^\alpha\frac{1}{\mu(B)}\|f\|_{L^1(B)}. \end{eqnarray}$$

(3.9)

结合(3.8)和(3.9)式,可以得到

$$\begin{equation} \|f_r\|_{L^2(B)}^2 \leq \|f_r\|_{L^\infty(B)} \|f_r\|_{L^1(B)} \leq c\cdot C_D^2\cdot 4^\alpha \frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\|f\|_{L^1(B)}^2\cdot r^{-2\alpha}. \end{equation}$$

(3.10)

另一方面,根据Cauchy-Schwarz不等式,可以得到

$$\begin{eqnarray} \|f_r-f\|_{L^2(B)}^2 & =&\int_B \left(\frac{1}{V(x,r)}\int_{B(x,r)}(f(y)-f(x){\rm d}\mu(y)\right)^2{\rm d}\mu(x) \nonumber\\ & \leq&\int_{B}\left(\frac{1}{V(x,r)}\int_{B(x,r)}\left(f(x)-f(y)\right)^2 {\rm d}\mu(y)\right){\rm d}\mu(x) \nonumber\\ & =&\Pi_B(f). \end{eqnarray}$$

(3.11)

再根据推论3.2,对所有的$0<r\leq \frac{1}{2}R$,

$$\begin{eqnarray}\label{d2} \|f\|_{L^2(B)}^2 &\leq& 2\left(\|f_r\|^2_{L^2(B)}+\|f-f_r\|^2_{L^2(B)}\right) \nonumber\\ &\leq &c\cdot C_D^2\cdot 4^\alpha \frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\|f\|_{L^1(B)}^2\cdot r^{-2\alpha}+ \frac{4C_D}{c_0\delta^{\alpha+\beta}}{\cal E}(f)r^{\beta}. \end{eqnarray}$$

(3.12)

显然地,如果$2r>R$ (且 $R<\infty$),则有 $$\|f\|^2_{L^2(B)} \leq \left(\frac{2r}{R}\right)^{\beta}\|f\|^2_{L^2(B)},$$ 结合(3.12)式可以得出

$$\begin{equation}\label{e2} \|f\|^2_{L^2(B)} \leq c\cdot C_D^2\cdot 4^\alpha \frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\|f\|_{L^1(B)}^2\cdot r^{-2\alpha}+\left(\frac{4 C_D}{c_0\delta^{\alpha+\beta}}+2^\beta\right)\left(R^{-\beta}\|f\|^2_{L^2(B)}+{\cal E}(f)\right)r^{\beta}. \end{equation}$$

(3.13)

为了便于理解,化简为以下形式 $$\|f\|^2_{L^2(B)} \leq A r^{-2\alpha}+B r^{\beta},$$ 其中$A=c\cdot C_D^2\cdot 4^\alpha \frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)} \|f\|_{L^1(B)}^2$,$B=\left(\frac{4C_D}{c_0\delta^{\alpha +\beta}}+2^\beta\right)\left(R^{-\beta}\|f\|^2_{L^2(B)} +{\cal E}(f)\right)$ 都是常数且与$r$无关.

当$r=(\frac{2\alpha A}{\beta B})^{\frac{1}{2\alpha+\beta}}$, (3.13)式的右边取到最小值,即

$$\begin{eqnarray} \|f\|^2_{L^2(B)} &\leq& A \left(\frac{2\alpha A}{\beta B}\right)^{-\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}}+B \left(\frac{2\alpha A}{\beta B}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}} \nonumber\\ &=&\left[(\frac{2\alpha}{\beta})^{-\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}}+(\frac{2\alpha}{\beta})^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}}\right] \cdot \left(4^\alpha C_D^2 c \right)^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}} \cdot \left(2^\beta+\frac{4C_D}{c_0\delta^{\alpha+\beta}}\right)^{\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}} \nonumber\\ &&\cdot \left(\frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}} \cdot \left({\cal E}(f)+R^{-\beta}\|f\|^2\right)^{\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}}\|f\|_{L^1(B)}^{\frac{2\beta}{2\alpha+\beta}}.\label{cat1} \end{eqnarray}$$

(3.14)

$c_1$记作 $$c_1=\left[\left(\frac{2\alpha}{\beta}\right)^{-\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}}+\left(\frac{2\alpha}{\beta}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}}\right] \cdot \left(4^\alpha C_D^2 c \right)^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}} \left(2^\beta+\frac{ 4C_D}{c_0\delta^{\alpha+\beta}}\right)^{\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}},$$ 那么,

$$\begin{equation} \|f\|_{L^2(B)}^2\leq c_1\left(\frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha+\beta}}\left({\cal E}(f)+R^{-\beta}\|f\|_{L^2(B)}^2\right)^{\frac{2\alpha}{2\alpha+\beta}}\|f\|_{L^1(B)}^{\frac{2\beta}{2\alpha+\beta}}, \end{equation}$$

(3.15)

综上所述,$f \in F(B)$,Nash不等式成立, $$\|f\|_{L^2(B)}^{2(1+\frac{\beta}{2\alpha})}\leq c\left(\frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha}} \left({\cal E}(f)+R^{-\beta} \|f\|^2_{L^2(B)}\right)\|f\|_{L^1(B)}^{\frac{\beta}{\alpha}},$$ 其中$c$ 只与$C_D$,$\beta$,$\delta$,$c_0$有关.

Nash不等式的一个重要应用是可以由Nash不等式推得半群$\{P_t\}_{t\ge0}$ 的上界. 上界的具体形式如下,详细证明过程参考文献[6,定理 2.1].

推论3.4 令$\nu \in(0,\infty)$,$\epsilon \in [0,\infty)$是给定的常数. 若$f \in L^2$,

$$\begin{equation}\label{f2} \|f\|^{2+\frac{4}{\nu}}_2 \leq K \left[{\cal E}(f)+\epsilon\|f\|^2_2\right]\|f\|^{4/\nu}_1, \end{equation}$$

(3.16)

其中$K \in (0,\infty)$,那么

$$\begin{equation} \|P_t\|_{1\rightarrow 2} \leq c \left(\frac{K}{t}\right)^{\frac{\nu}{4}}e^{\epsilon t}, \end{equation}$$

(3.17)

这里$c$是仅依赖于$\nu$的常数.

在这部分中,本文给出了$p_t(x,y)$的上界估计. 首先, 我们给出将要用到的文献^[19]中的一些结论.

定理4.1[19,定理 5.8] 令(ε,F)为一个定义在$L^2(M,\mu)$上的狄氏型, 且满足正则性,局部性和保守性. 且$\rho:[0,\infty) \rightarrow[0,\infty)$ 为一个递增函数,定义另外一个函数$\Psi$如下, 当$s>0$, $$\Psi(s) := \sup_{\lambda>0}\left\{\frac{s}{\rho(1/\lambda)}-\lambda\right\}.$$ 则以下三个结论是等价的.

(1)~ 存在常数$\varepsilon \in (0,1)$,$\delta>0$使得, 对任意的半径为$r>0$的球$B$,$t>0$,若$\rho(t)\leq \delta r$,则

$$\begin{equation} 1-P_t^B\textbf{1}_B\leq \varepsilon \ \ \mbox{在} \ \frac{1}{4}B\mbox{ 上. } \end{equation}$$

(4.1)

(2)~ 存在常数$C$,$c$,$c'>0$使得,当$t>0$, 对任意的半径为$r>0$的球$B$,

$$\begin{equation} P_t\textbf{1}_{B^c}\leq C\exp\left(-c't\Psi\left(\frac{cr}{t}\right)\right) \ \ \mbox{在} \ \frac{1}{4}B\mbox{ 上. } \end{equation}$$

(4.2)

(3)~ 存在常数$\varepsilon \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$, $\delta>0$ 使得,对任意的半径为$r>0$的球$B$, $t>0$,若$\rho(t)\leq \delta r$,有

$$\begin{equation} P_t\textbf{1}_{B^c}\leq \varepsilon \ \ \mbox{在} \ \frac{1}{4}B\mbox{ 上. } \end{equation}$$

(4.3)

说明 上述定理实质上表述了如下的等价关系.

$$\begin{equation} (S_\beta) \Longleftrightarrow (T_{\exp}) \Longleftrightarrow (T_{\beta}). \end{equation}$$

(4.4)

对于$(T_\beta) \Rightarrow (S_\beta)$,(ε,F)的保守性是 必需的而局部性不需要满足; 对于 $(S_\beta)\Rightarrow(T_{\exp})$ 强局部性是必需的. 需要指出的是,局部性和保守性是强局部性的充分条件.

推论4.2[19,推论 3.8] $\{P_t\}$是 $L^1\longrightarrow L^2$压缩的热半群,其压缩比率为$\gamma$, 当且仅当$\{P_t\}$的热核$p_t$满足,当$t>0$时, $$\mathop{\rm esup}_{x,y\in M}p_t(x,y)\leq \gamma(t/2)^2.$$

推论4.3 [19,引理5.6] 假设$({\cal E},{\cal F})$是一个正则的局部性的狄氏型. 当$t>0$,在任意一个球$B\subset M$ 上,令$Q_t(B)$是一个正值函 数且满足,对某个常数$L$,

$$\begin{equation} Q_s(\lambda B)\leq LQ_t(B) \label{cat8} \end{equation}$$

(4.5)

对所有的球$B$,$\frac{t}{2}\leq s\leq t$,$1\leq \lambda \leq4$. 假设热核$p^{B}_t$定义在球$B$ 上,且有$\rho : [0,\infty) \rightarrow [0,\infty)$为单调递增函数. 若球$B$的半径满足$r\geq \rho(t)$,且满足以下两个条件

$$\begin{equation} \mathop{\rm essup}_{B}p_t^B \leq Q_t(B),\label{sea} \end{equation}$$

(4.6)

$$\begin{equation} 1-P_t^B 1_B \leq \frac{1}{2L}\ \ \mbox{in }~ \frac{1}{4}B,\label{b3} \end{equation}$$

(4.7)

那么,当$t\geq 0$,在任意半径为$r=\rho(t)$的球$B$上, 热核$p_t$存在且满足如下的上界估计, $$\mathop{\rm esup}_{B}p_t \leq 2L^2 Q_t(B).$$

推论4.4 [19,引理3.9] 若热核$p_t$存在,则任意集合$U\subset M$, $t \rightarrow \mathop{\rm esup}_{U} p_t$ 为定义在$(0,+\infty)$ 上的非增函数. 那么,当任意两个集合 $U,V\subset M$,则 $$\mathop{\rm esup}_{x\in V,y\in U}\leq \left(\mathop{\rm esup}_{V}p_t \cdot \mathop{\rm esup}_{U}p_t\right)^{\frac{1}{2}}.$$

根据以上结论,我们可以给出$(VD)+(NLE)+(S_\beta)\Longrightarrow (DUE_\beta)$的证明.

定理4.5 令$(M,d,\mu)$为一个测度度量空间,$\mu$满足$(VD)$. 令(ε,F) 为定义在$L^2(M,\mu)$上的狄氏型,且满足正则性和局部性. 假定$(NLE)$和$(S_\beta)$都满足,那么热核$p_t(,x,y)$的上界 估计为如下形式,对$\mu$-a.e $x,y\in M$,$t>0$,

$$\begin{equation}\label{a3} p_t(x,y)\leq \frac{C}{\sqrt{V(x,t^{1/\beta})V(y,t^{1/\beta})}}. \end{equation}$$

(1.8)

证 根据定理3.3,定理3.4和文献^[6] (另参考文献^[19]),可以得到半群$\{P_t\}$在球$B:= B(x_0,R)$上是$L^1\rightarrow L^2$压缩的,即

$$\begin{equation} \|P_t\|_{1\rightarrow 2}\leq e^{R^{-\beta}t}\left(\frac{c\left(\frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha}}}{\frac{2\beta}{2\alpha}t}\right)^{\frac{2\alpha}{2\beta}},\ \ \mbox{在} \ \ L^2(B)\mbox{ 上}. \end{equation}$$

(1.9)

令$\gamma(t)=e^{tR^{-\beta}}\left(\frac{c\left(\frac{R^{2\alpha}}{\mu(B)}\right)^{\frac{\beta}{2\alpha}}}{\frac{\beta}{\alpha}t}\right)^{\frac{\alpha}{\beta}}$. 根据推论4.2,有

$$\begin{equation}\label{c3} \mathop{\rm esup}_{B(x_0,R)}p_t^B(x,y) \leq \gamma(t/2)^2=\left(\frac{c2\alpha}{\beta}\right)^{\frac{2\alpha}{\beta}}\frac{1}{\mu(B)}\left(\frac{R^\beta}{t}\right)^{\frac{2\alpha}{\beta}}e^{\frac{t}{R^\beta}}. \end{equation}$$

(4.10)

即验证了满足了条件(4.5),这里

$$\begin{equation} Q_t(B)=\frac{c}{\mu(B)}\left(\frac{R^\beta}{t}\right)^{\frac{2\alpha}{\beta}}e^{\frac{t}{R^\beta}}. \end{equation}$$

(4.11)

已知$\frac{t}{2}\leq s\leq t$,$1\leq \lambda \leq4$, $$\frac{Q_s(\lambda B)}{Q_t(B)}=\frac{\mu(B)}{\mu(\lambda B)}\left(\frac{\lambda^\beta t}{s}\right)^{\frac{2\alpha}{\beta}}e^{\frac{1}{R^\beta}(\frac{s}{\lambda^\beta}-t)}\le 2^{\frac{2\alpha}{\beta}}\lambda^{2\alpha} .$$ (4.10)式可以表示为如下形式

$$\begin{equation} \mathop{\rm esup}_{B}p^B_t(x,y)\leq Q_t(B), \end{equation}$$

(4.12)

即满足条件(4.6). 对于条件(4.7),可由条件$(S_\beta)$自然得到. 令 $$\rho(t)=C_0t^{1/\beta},$$ 其中$C_0>1$ 是一个常数. 因此,结合推论4.3,可以得到

$$\begin{equation}\label{d3} \mathop{\rm esup}_{B(x_0,\rho(t))}p_t(x,y)\leq \frac{C'}{V(x_0,\rho(t))}\leq \frac{C'}{V(x_0,t^{1/\beta})}. \end{equation}$$

(4.13)

根据推论4.4和(4.13)式,当$x_0,y_0 \in M$,$t\geq 0$, 我们有

$$\begin{equation}\label{sea8} % \mathop{esup}\limits_{\substack{x\in B(x_0,\rho(t))\atop y\in B(x_0,\rho(t))}} \mathop{\rm esup}\limits_{ x\in B(x_0,\rho(t))\atop y\in B(x_0,\rho(t))} p_t(x,y) \leq \frac{C'}{\sqrt{V(x_0,t^{1/\beta})V(y_0,t^{1/\beta})}}. \end{equation}$$

(4.14)

由$(VD)$推得,当$x\in B(x_0,t^{1/\beta})$, $$V(x,t^{1/\beta})\leq cV(x_0,t^{1/\beta}).$$ 结合(4.14)式,当$\mu$-a.e. $x\in B(x_0,\rho(t))$和$y\in B(y_0,\rho(t))$

$$\begin{equation} p_t(x,y)\leq \frac{C}{\sqrt{V(x,t^{1/\beta})V(y,t^{1/\beta})}}. \end{equation}$$

(4.15)

已知 $M$ 可以被可数个半径为$\rho(t)$的球覆盖, 因此当$t>0$,$\mu$-a.e $x,y \in M$,(4.8)式成立.

众所周知,(4.8)式等价于 $(DUE_\beta)$,那么我们证明了定理3.1.

说明 在此,本文给出一个说明而非严格的证明,说明条件$(S_\beta)$的必要性,即条件$(S_\beta)$不可被由$(NLE)$和$(VD)$ 得到. 根据 $$P_t\textbf{1}_{B^c}\leq1-P_t\textbf{1}_B=1-\int_{B(x_0,R)}p_t(x,y){\rm d}\mu(y),$$ ${(T_\beta)}$成立. 如果 $x \in \frac{1}{4}B$,那么 $B(x,\frac{3}{4}R)\subset B(x_0,R)$, $$1-\int_{B(x_0,R)}p_t(x,y){\rm d}\mu(y) \leq 1-\int_{B(x,\frac{3}{4}R)}p_t(x,y){\rm d}\mu(y).$$ 令$R>Ct^{1/\beta}$,$C'=\frac{3}{4}\delta$. 那么$B(x,\delta t^{1\beta}) \subset B(x,\frac{3}{4}R)$. 因此 $$1-\int_{B(x,\frac{3}{4}R)}p_t(x,y){\rm d}\mu(y) \leq 1-\int_{B(x,\delta t^{1\beta})}p_t(x,y){\rm d}\mu(y),$$ 参见下图.

由条件$(NLE)$,可得到如下不等式 $$1-\int_{B(x,\frac{3}{4}R)}p_t(x,y){\rm d}\mu(y) \leq 1-\frac{c_0}{V(x,t^{1/\beta})}V(x,\delta t^{1/\beta}).$$ 带入条件$(VD)$,即 $$\frac{V(x,t^{1/\beta})}{V(x,\delta t^{1/\beta})}\leq C_D(\frac{1}{\delta})^{\alpha},$$ 那么,

$$\begin{equation} 1-P_t\textbf{1}_B\leq 1-\int_{B(x,\frac{3}{4}R)}p_t(x,y){\rm d}\mu(y)=\varepsilon. \end{equation}$$

(4.16)

不妨设$\delta$ 足够小,那么, $\varepsilon\leq 1-\frac{c_0\delta^\alpha}{C_D}>\frac{1}{2}$. 因此条件$\varepsilon <\frac{1}{2}$不能被保证. 根据定理4.1,$(S_\beta)$等价于$(T_\beta)$,因此条件$(S_\beta)$ 不可被忽略.

首先介绍文献^[19]给出的一些关于热核估计的等价结论.

定理5.1 [19,定理 2.1] 令$(M,d,\mu)$ 为测度度量空间,$\mu$满足$(VD)$和$(RVD)$. 令(ε,F)为定义在$L^2(M,\mu)$上的狄氏型且满足正则性,局部性和保守性. 那么有如下的等价结论

$$\begin{eqnarray} (UE_\beta) & \Leftrightarrow& (\Phi UE_\beta) \nonumber\\ & \Leftrightarrow&(FK_\beta)+(S_\beta)\Leftrightarrow(FK_\beta)+(T_\beta) \nonumber\\ & \Leftrightarrow&(DUE_\beta)+(S_\beta)\Leftrightarrow(DUE_\beta)+(T_\beta) \nonumber\\ & \Leftrightarrow&(DUE_\beta)+(T_{exp}). \end{eqnarray}$$

(5.1)

根据定理4.1,以下结论容易被验证,

$$\begin{eqnarray} \label{public2} (UE_\beta) & \Leftrightarrow& (\Phi UE_\beta) \nonumber\\ & \Leftrightarrow&(FK_\beta)+(S_\beta)\Leftrightarrow(FK_\beta)+(T_\beta) \nonumber\\ & \Leftrightarrow&(DUE_\beta)+(S_\beta)\Leftrightarrow(DUE_\beta)+(T_\beta) \nonumber\\ & \Leftrightarrow&(DUE_\beta)+(T_{exp})\Leftarrow (NLE)+(S_\beta). \end{eqnarray}$$

(5.2)

在此我们介绍一些定义和条件.

$(H)$: (Harnack inequality) 对任意的球$B(x_0,r)\subset M$,若函数$u\in F$在$B(x_0,r)$中是调和的非负的,那么存在常数$C_H>1$ 和$\delta \in (0,1)$使得 $$\mathop{\rm esup}_{B(x_0,\delta r)}u\leq C_H\mathop{\rm einf}_{B(x_0,\delta r)} u,$$ 其中$C_H$ 和$\delta$与球$B(x_0,r)$和函数$u$无关. 这个不等式被 称作Harnack不等式.

$(E_F)$: (Mean exit time) $\Omega \subset M$ 是一开集,定义函数$E^\Omega$ 为 $$E^\Omega(x):= G^\Omega\textbf{1}(x)\ \ (x\in M),$$ 其中$G^\Omega$是由$L^2(\Omega)$ 映射到$F(\Omega)$上的Green算子.

对任意的半径为$r>0$的球$B$,存在两个常数$C>1$和 $\delta_1\in(0,1)$,使得 $$\sup_{B} E^B \leq CF(r),$$ $$\mathop{\rm einf}_{\delta_1B}E^B \geq C^{-1}F(r).$$

$(G_F)$: (Green function) 存在常数$K>1$和$C>0$,对任意的球$B:= B(x_0,R)$,其Green核 $g^B$ 存在且对角连续,且满足如下不等式 $$g^B(x_0,y) \leq C\int^R_{K^{-1}d(x_0,y)}\frac{F(s){\rm d}s}{sV(x,s)},\ \ y\in B\backslash \{x_0\},$$ $$g^B(x_0,y) \geq C\int^R_{K^{-1}d(x_0,y)}\frac{F(s){\rm d}s}{sV(x,s)},\ \ y\in K^{-1}B\backslash \{x_0\}.$$

$(R_F)$: (Resistance condition) 存在常数$K,C>1$,对任意半径为$r>0$的球$B$,有 $$C^{-1}\frac{F(r)}{\mu(B)}\leq res(B,KB )\leq C\frac{F(r)}{\mu(B)},$$ 其中$K$是与$C$和球$B$无关的常数.

根据文献^[21]中关于双边热核估计的结论,本文给出了以下结论.

推论5.2 令$(M,d,\mu)$ 为测度度量空间,且所有度量球是列紧的. 假设(ε,F)为定义在$L^2(M,\mu)$上的狄氏型且满足正则性,局部性和保守性. 若(VD)和(RVD)都满足,且令$F(r)=r^{\beta}$. 则有以下等价结论

$$\begin{eqnarray} (H)+(E_F)&\Leftrightarrow &(G_F)\Leftrightarrow (H)+(R_F)\nonumber\\ &\Leftrightarrow&(NLE)+(S_\beta). \end{eqnarray}$$

(5.3)

证 根据文献[21,定理 3.12], $$\begin{eqnarray}\label{public} (H)+(E_F)&\Leftrightarrow& (G_F)\Leftrightarrow (H)+(R_F)\nonumber\\ &\Leftrightarrow&(UE)_\beta+(NLE). \end{eqnarray}$$ 另一方面,根据文献^[19]中的结论,有 $$(UE)_\beta\Rightarrow(S_\beta).$$ 因此,我们证明了 $$(H)+(E_F)\Rightarrow(NLE)+(S_\beta).$$ 已知 $$(NLE)+(S_\beta)\Rightarrow(UE)_\beta ,$$ ``$\Leftarrow$"是显然的. 再结合(5.2)和(5.4)式,则 $$\begin{eqnarray*} (NLE)+(S_\beta)& \Rightarrow& (UE)_\beta+(NLE)\\ & \Rightarrow& (H) + (E_F). \end{eqnarray*}$$ 至此,证明完毕.