在本文,假设${\Bbb R^{+}}=[0, +\infty)$, $\Upsilon=\{ \phi: \phi :{\Bbb R^{+}} \rightarrow {\Bbb R^{+}}$满足在${\Bbb R^{+}}$的任何紧子集上是Lebesgue可积的, 可求和的且对任何$\epsilon >0,\int_{0}^{\epsilon}\phi(t){\rm d}t >0\}.$

著名的Banach收缩原理如下.

定理 1.1^[1] 设$f$是完备的度量空间$(X,d)$的自映射且满足

$$d(fx,fy)\leq c\,d(x,y),\ \forall \ x,y \in X, (1.1)$$ 其中$c \in (0,1)$是常数. 则$f$有唯一不动点$a \in X$使得对任何$x \in X$,$\lim\limits_{n \to \infty}f^{n}x=a.$

众所周知Banach收缩原理在很多方面有很多推广和应用结果, 具体可参见文献^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]}及相关论文. Rakotch^[11]于1962年通过用收缩函数$\gamma$代替(1.1)式中 的收缩常数$c$推广了Banach收缩原理并得到以下定理.

定理 1.2^[11] 设$f$是完备的度量空间$(X,d)$的自映射且满足

$$d(fx,fy)\leq \gamma(d(x,y))d(x,y),\ \forall \ x,y \in X, (1.2)$$ 其中$\gamma: {\Bbb R^{+}} \rightarrow [0,1)$是单调递减函数. 则$f$有唯一不动点$a \in X$使得对任何$x \in X$,$\lim\limits_{n \to \infty}f^{n}x=a.$

2002年, Branciari^[12]给出了Banach收缩原理的积分表现形式并得到如下定理.

定理 1.3^[12] 设$f$是完备的度量空间$(X,d)$的自映射且满足

$$\int_{0}^{d(fx,fy)}\phi(t){\rm d}t\leq c \int_{0}^{d(x,y)}\phi(t){\rm d}t,\ \forall \ x,y \in X,(1.3)$$ 其中$c \in (0,1)$且$\phi \in \Upsilon$. 则$f$有唯一不动点$a \in X$使得对任何$x \in X$,$\lim\limits_{n \to \infty}f^{n}x=a.$

最近,一些作者在对称空间和度量空间上讨论了映射(族)唯一不动点和唯 一公共不动点存在问题,可参看文献^{[13, 14, 15, 16]},所有这些结果改进和推广了 Banach收缩原理. 本文作者于2011年和2012年引进了$W$ -空间的定义并 在该空间上得到了若干的公共不动点定理,参见文献^{[17, 18, 19]}. 这些结果改进了文献^{[13, 14, 15, 16]}及相关论文中的结果.

本文的目的是通过引进两个实函数类在$W$ -空间上讨论满足两种不同的积分型条件的映射族的唯一公共不动点存在问题, 进一步推广和改进Banach收缩原理的推广结果.

定义 1.1 设$X$是非空集合. 如果一个映射$d: X \times X \to {\Bbb R}^{+}$满足$d(x,y)=0$当且仅当$x=y$, 则称$(X,d))$为$W$ -空间.

显然,如果$d$也满足$d(x,y)=d(y,x)$,$\forall \,x ,y \in X$, 则$W$ -空间$(X,d)$变成对称空间^{[13, 16]}; 进一步, 如果$d$满足三角不等式,则$(X,d)$是熟知的度量空间. 因此$W$ -空间明显弱于度量空间和对称空间.

定义 1.2 设$f$和$g$是$W$ -空间$(X,d)$的两个自映射. 称$f$和$g$是反交换的,如果$x \in X$且满足$fgx=gfx$,则$fx=gx$.

定义 1.3 称$x \in X$是$W$ -空间$(X,d)$上两个自映射$f$和$g$的交换点是指$f$和$g$满足$fgx=gfx$.

注记 1.1 文献[15, 20-21]的作者分别在对称空间和度量空间上引进过定义1.2和定义1.3的概念.

定义 1.4 $\phi \in \Phi$当且仅当$\phi: {{\Bbb R}^{+}}^{3} \to {\Bbb R}^{+}$满足对任何$a>0$和$b>0$, 由$a\leq \phi(b,b,a)$推出$a <b$.

定义 1.5 $\psi \in \Psi$当且仅当$\psi: {{\Bbb R}^{+}}^{3} \to {\Bbb R}^{+}$满足如下条件

(i) $\psi$是关于第一变量是单调递增的;

(ii) 对任何$a>0$和$b>0$,由$a\leq \psi(a,b,a)$推出$a <b;$

(iii) 对任何$a>0$,$\psi(a,a,0)<a$.

注记 1.2 满足定义1.4-1.5的例子分别在定理2.2, 定理2.4中给出.

定理 2.1 设$(X,d)$是$W$ -空间,$f,\,g : X \to X$是两个具有交换点的反交换映射. 如果对任何$x,\,y \in X$且具有$d(gx,gy) \ne 0$,

$$\int_{0}^{d(gx,gy)}\varphi(t){\rm d}t \leq \phi\bigg(\int_{0}^{d(fy,fx)}\varphi(t){\rm d}t, \int_{0}^{d(gy,fx)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gx,fy)}\varphi(t){\rm d}t \bigg),(2.1)$$ 其中$\phi \in \Phi$及$\varphi \in \Upsilon$. 则$f$和$g$有唯一公共不动点.

证 设$u$是$f$和$g$的交换点,即$u$满足$fgu=gfu$. 因为$f$和$g$具有反交换性质,于是$fu=gu$,所以$ffu=fgu=gfu=ggu$. 如果$ggu \ne gu$,则$d(gu,ggu)> 0$且$d(ggu,gu)> 0$. 于是根据(2.1)式, 我们可得到以下两个结果

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(gu,ggu)}\varphi(t){\rm d}t & \leq& \phi\bigg(\int_{0}^{d(fgu,fu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ggu,fu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gu,fgu)}\varphi(t){\rm d}t \bigg) \\ & =& \phi\bigg(\int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t, \int_{0}^{d(gu,ggu)}\varphi(t){\rm d}t \bigg). \end{eqnarray*}$$ 因此根据$\Phi$的定义, $$\int_{0}^{d(gu,ggu)}\varphi(t){\rm d}t < \int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t;$$ 以及 $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t & \leq& \phi\bigg(\int_{0}^{d(fu,fgu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gu,fgu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ggu,fu)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ & =& \phi\bigg(\int_{0}^{d(gu,ggu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gu,ggu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t \bigg). \end{eqnarray*}$$ 因此根据$\Phi$的定义, $$\int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t <\int_{0}^{d(ggu,gu)}\varphi(t){\rm d}t.$$ 但是上述两个结果是相矛盾的,因此必有$gu=ggu$. 于是$fgu=ggu=gu$, 因此$gu$是$f$和$g$公共不动点.

如果$f$和$g$有两个不同的公共不动点$w,v \in X$, 则$d(w,v)>0$且$d(v,w)>0$,因此根据(2.1)式, 我们可得到如下两个互为矛盾的结果

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t&=&\int_{0}^{d(gw,gv)}\varphi(t){\rm d}t \\ & \leq& \phi\bigg(\int_{0}^{d(fv,fw)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gv,fw)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gw,fv)}\varphi(t){\rm d}t \bigg) \\ & =& \phi\bigg(\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t, \int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t\bigg). \end{eqnarray*}$$ 因此根据$\Phi$的定义, $$\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t<\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t;$$ 类似地, $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t&=&\int_{0}^{d(gv,gw)}\varphi(t){\rm d}t \\ & \leq& \phi\bigg(\int_{0}^{d(fw,fv)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gw,fv)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gv,fw)}\varphi(t){\rm d}t) \\ & =& \phi\bigg(\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t\bigg). \end{eqnarray*}$$ 因此 $$\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t<\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t.$$ 所以断定$u$就是$f$和$g$的唯一的公共不动点.

定理 2.2 设$(X,d)$是$W$ -空间,$f,\,g : X \to X$是具有交换点的反交换映射. 如果对任何$x,\,y \in X$且具有$d(gx,gy) \ne 0$,

$$\int_{0}^{d(gx,gy)}\varphi(t){\rm d}t \leq a_1\int_{0}^{d(fy,fx)}\varphi(t){\rm d}t+ a_2\int_{0}^{d(gy,fx)}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(gx,fy))}\varphi(t){\rm d}t, (2.2)$$ 其中$a_1,a_2,a_3$是三个非负实数使得$a_1+a_2+a_3<1$且$\varphi \in \Upsilon$. 则$f$和$g$有唯一公共不动点.

证 定义$\phi: {{\Bbb R}^{+}}^{3} \to {\Bbb R}^{+}$, $\phi(u_1,u_2,u_3)=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3$. 则(2.2)式满足(2.1)式. 并当$a,b \in {\Bbb R}^{+}$,$a>0,b>0$且$a\leq \phi(b,b,a)$时$a\leq a_1b+a_2b+a_3a$,因此$a \leq \frac {a_1+a_2}{1-a_3}b<b$. 于是$\phi \in \Phi$. 所以根据定理2.1知$f$和$g$有唯一公共不动点.

例子 2.1 设$X=\{1,2,3\}$并定义$d: X \times X \to {\Bbb R^{+}}$如下

$$d(1,1)=d(2,2)=d(3,3)=0,$$ $$d(1,2)=d(2,1)=d(2,3)=1,$$ $$d(1,3)=d(3,1)=d(3,2)=8.$$ 显然,$d$不满足对称性. 而$d(1,2)+d(2,3)=2<8=d(1,3)$说明$d$不满足三角不等式. 定义两个映射 $$f: X \to X,f(1)=f(2)=1,f(3)=3; \ \ g:X \to X,g(1)=g(2)=1,g(3)=2.$$

令$a_1=a_2=a_3=\frac {1}{4}$,则$a_1+a_2+a_3<1.$ 令$\varphi(t)=\frac{1}{1+t}$,则显然$\varphi \in \Upsilon$. 因为$fg(1)=gf(1)$,$fg(2)=gf(2)$及$f(1)=g(1)=f(2)=g(2)$, 因此$f$和$g$是具有交换点$x=1$和$x=2$的反交换映射.

当$x=1,y=3$时

$$\begin{eqnarray*} &&\int_{0}^{d(g(1),g(3))}\varphi(t){\rm d}t \\ &=&\int_{0}^{d(1,2)}\varphi(t){\rm d}t=\int_{0}^{1}\varphi(t){\rm d}t=\ln{2} < \frac {1}{4}(\ln{9}+\ln{2}+\ln{9}) \\ &= & a_1\int_{0}^{d(3,1)}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(2,1)}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(1,3)}\varphi(t){\rm d}t\\ &= & a_1\int_{0}^{d(f(3),f(1))}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(g(3),f(1))}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(g(1),f(3))}\varphi(t){\rm d}t; \end{eqnarray*}$$ 当$x=2,y=3$时 $$\begin{eqnarray*} &&\int_{0}^{d(g(2),g(3))}\varphi(t){\rm d}t \\ &=&\int_{0}^{d(1,2)}\varphi(t){\rm d}t=\int_{0}^{1}\varphi(t){\rm d}t=\ln{2} < \frac{1}{4}(\ln {9}+\ln {2}+\ln {9}) \\ &= & a_1\int_{0}^{d(3,1)}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(2,1)}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(1,3)}\varphi(t){\rm d}t \\ &= & a_1\int_{0}^{d(f(3),f(2))}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(g(3),f(2))}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(g(2),f(3))}\varphi(t){\rm d}t; \end{eqnarray*}$$ 当$x=3,y=1$时 $$\begin{eqnarray*} && \int_{0}^{d(g(3),g(1))}\varphi(t){\rm d}t \\ &=&\int_{0}^{d(2,1)}\varphi(t)=\int_{0}^{1}\varphi(t)=\ln{2} < \frac{1}{4}(\ln{9}+\ln{9}+\ln{2}) \\ &= & a_1\int_{0}^{d(1,3)}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(1,3)}\varphi(t)+a_3\int_{0}^{d(2,1)}\varphi(t){\rm d}t\\ &=& a_1\int_{0}^{d(f(1),f(3))}\varphi(t){\rm d}t+a_1\int_{0}^{d(g(1),f(3))}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(g(3),f(1))}\varphi(t){\rm d}t; \end{eqnarray*}$$ 当$x=3,y=2$时 $$\begin{eqnarray*} && \int_{0}^{d(g(3),g(2))}\varphi(t){\rm d}t \\ &=&\int_{0}^{d(2,1)}\varphi(t){\rm d}t=\int_{0}^{1}\varphi(t){\rm d}t=\ln{2} < \frac{1}{4}(\ln{9}+\ln{9}+\ln{2}) \\ &= & a_1\int_{0}^{d(1,3)}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(1,3)}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(2,1)}\varphi(t){\rm d}t \\ &= & a_1 \int_{0}^{d(f(2),f(3))}\varphi(t){\rm d}t+a_2\int_{0}^{d(g(2),f(3))}\varphi(t){\rm d}t+a_3\int_{0}^{d(g(3),f(2))}\varphi(t){\rm d}t. \end{eqnarray*}$$ 于是由定理2.2知$f$和$g$有唯一公共不动点. 事实上,$x=1$是$f$和$g$唯一公共不动点.

下面,将给出第二种积分型公共不动点定理.

定理 2.3 设$(X,d)$是$W$ -空间,$f,\,g : X \to X$是具有交换点的两个映射. 如果对任何$x,\,y \in X$且具有$d(fx,gy) \ne 0$,

$$\int_{0}^{d(fx,gy)}\varphi(t){\rm d}t \leq \psi\bigg(\int_{0}^{d(fx,gx)}\varphi(t){\rm d}t, \int_{0}^{d(fy,gx)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gx,gy)}\varphi(t){\rm d}t\bigg),(2.3)$$ 其中$\psi \in \Psi$及$\varphi \in \Upsilon$. 则$f$和$g$有唯一公共不动点.

证 设$u$是$f$和$g$的交换点,即成立$fgu=gfu$. 若$fu \ne gu$,则$d(fu,gu) \ne 0$. 于是根据(2.3)式,

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t & \leq& \psi \bigg(\int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gu,gu)}\varphi(t){\rm d}t \bigg) \\ & =& \psi\bigg(\int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,0\bigg), \end{eqnarray*}$$ 所以根据定义1.5(iii), $$\int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t< \int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,$$ 这是一个矛盾的结果,于是必有$fu=gu$. 所以根据$fgu=gfu$可推出$fgu=ffu=gfu=ggu.$

若$ffu \ne fu$,则$d(fu,ffu)>0$且$d(ffu,fu)>0$. 因此根据(2.3)式, 可得到两个互为矛盾的结果

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t & =&\int_{0}^{d(fu,gfu)}\varphi(t){\rm d}t \\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(fu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ffu,gu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gu,gfu)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ & =& \psi\bigg(0,\int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t\bigg)\\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t, \int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t\bigg). \end{eqnarray*}$$ 因此根据定义1.5(ii), $$\int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t<\int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t;$$ 以及 $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t & =&\int_{0}^{d(ffu,gu)}\varphi(t){\rm d}t\\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(ffu,gfu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fu,gfu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gfu,gu)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ & =&\psi\bigg(0,\int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(ffu,fu)}(t){\rm d}t) \\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t, \int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t\bigg). \end{eqnarray*}$$ 因此根据定理1.5(ii), $$\int_{0}^{d(ffu,fu)}\varphi(t){\rm d}t<\int_{0}^{d(fu,ffu)}\varphi(t){\rm d}t.$$ 因此必有$ffu=fu$,即$fu$是$f$的不动点. 但是$gfu=ffu=fu$, 于是$fu$也是$g$的不动点,因此$fu=gu$是$f$和$g$的公共不动点.

唯一性. 如果$f$和$g$有两个不同的公共不动点$w,v \in X$, 则$d(w,v)>0$且$d(v,w)>0$,根据(2.3)式, 我们得到两个两个互为矛盾的结果

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t&=&\int_{0}^{d(fw,gv)}\varphi(t){\rm d}t \\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(fw,gw)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fv,gw)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gw,gv)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ &=& \psi\bigg(\int_{0}^{d(w,w)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t\bigg), \end{eqnarray*}$$ 因此根据定义1.5(ii), $$\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t<\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t;$$ 以及 $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t&=&\int_{0}^{d(fv,gw)}\varphi(t){\rm d}t \\ & \leq& \psi\bigg(\int_{0}^{d(fv,gv)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(fw,gv)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(gv,gw)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ & =&\psi\bigg(\int_{0}^{d(v,v)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t\bigg) \\ & \leq &\psi\bigg(\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t,\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t\bigg), \end{eqnarray*}$$ 因此根据定义1.5(ii), $$\int_{0}^{d(v,w)}\varphi(t){\rm d}t<\int_{0}^{d(w,v)}\varphi(t){\rm d}t.$$ 因此断定$fu=gu$是$f$和$g$的唯一公共不动点.

注记 2.1 注意到在定理2.3中不需要$f$和$g$的反交换性.

定理 2.4 设$(X,d)$是$W$ -空间,$f,\,g : X \to X$是具有交换点的两个映射. 如果对任何$x,\,y \in X$且具有$d(fx,gy) \ne 0$,

$$\int_{0}^{d(fx,gy)}\varphi(t){\rm d}t \leq a_1 \int_{0}^{d(fx,gx)}\varphi(t){\rm d}t +a_2 \int_{0}^{d(fy,gx)}\varphi(t){\rm d}t+a_3 \int_{0}^{d(gx,gy)}\varphi(t){\rm d}t,(2.4)$$ 其中$a_1,a_2,a_3$是三个非负实数使得$a_1+a_2+a_3<1$且$\varphi \in \Upsilon$. 则$f$和$g$有唯一公共不动点.

证 定义$\psi: {{\Bbb R}^{+}}^{3} \to {\Bbb R}^{+}$, $\psi(u_1,u_2,u_3)=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3$, 则(2.4)式变成(2.3)式且$\psi$关于第一变量是单调递增的. 如果$a,b \in {\Bbb R}^{+}$,$a>0,b>0$且满足$a\leq \psi(a,b,a)$,则$a \leq a_1a+a_2b+a_3a$,因此$a \leq \frac {a_2}{1-a_1-a_3}\,b <b$, 于是定义1.5(ii)成立. 如果$a \in {\Bbb R}^{+}$且$a>0$, 则$\psi(a,a,0)=a_1a+a_2a=(a_1+a_2)a<a$,于是定义1.5(iii)成立, 所以可知$\psi \in \Psi$. 根据定理2.3,$f$和$g$有唯一公共不动点.

注记 2.2 (2.1)-(2.4)式中的部分项可用其它项代替, 但不影响其相应定理的结果. 比如, (2.1)和(2.2)式中的项$d(gy,fx)$可用项$d(gy,gx)$代替. 在此, 我们不一一列举了.