设$X$是实赋范线性空间,$K$是$X$中的非空子集. 映射$T:K\rightarrow K$ 称为非扩张的,如果对于一切的$x,y\in K$,都有$\|Tx-Ty\|\leq\|x-y\|$. 映射$T:K\rightarrow K$ 称为渐近非扩张的,如果存在序列 $\{k_n\}\subset [1,\infty)$,$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k_n=1$使得 $$\|T^{n}x-T^{n}y\|\leq k_{n}\|x-y\|, \forall x,y\in K,\,\,n\geq1.$$ 如果映射$T$的不动点集$F(T):=\{x\in K:Tx=x\}\neq \emptyset$, 并且存在序列$\{k_n\}\subset [1,\infty)$,$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k_n=1$ 使的对于一切的$x\in K$及$p\in F(T)$,有 $$\|T^{n}x-p\|\leq k_n\|x-p\|, \forall n\geq 1,$$ 则$T$称为渐近拟非扩张映射.

渐近非扩张自映射是由Goebel和Kirk^[1]引入的, 这一类映射是非扩张映射的重要推广. 他们还证明了在一致凸Banach空间中的有界闭凸子集上的每 个渐近非扩张映射都具有不动点. 并且我们知道,任一具有不动 点的渐近非扩张映射都是渐近拟非扩张映射,反之,一般不成立.

最近,在Hilbert 空间或者一致凸Banach空间中, 许多学者(见文献^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]})研究了一有限族渐近非扩张映射(非扩张映射, 渐近拟非扩张映射)合成隐迭代序列的不动点收敛问题. 设$X$ 为Hilbert空间,$K$为$X$中的一非空闭凸子集,$\{T_{1},T_{2}, \cdots,T_{N}\}:K\rightarrow K$是$N$个非扩张自映射. 2001年, Xu 和 Ori^[2] 引进了如下的隐迭代序列 $$x_n=\alpha_{n} x_{n-1}+(1-\alpha_{n})T_{n}x_n, \forall n\geq 1, (1.1)$$ 其中$T_n=T_{n\ {\rm mod}\ N}$,初始点$x_0\in K$,$\{\alpha_{n}\}$是 $(0,1)$ 中的一实数列,并且证明了迭代序列(1.1)的弱收敛定理.

2003年,Sun^[3]在Banach空间$X$的非空有界闭凸集中, 对于一有限族渐近拟非扩张自映射$\{T_{1},T_{2},\cdots,T_{N}\}$, 引进了隐迭代序列$\{x_n\}$如下 $$x_n=\alpha_{n} x_{n-1}+(1-\alpha_{n})T_{i(n)}^{k(n)}x_n, \forall n\geq 1, (1.2)$$ 其中$\{\alpha_{n}\}\subset(0,1)$,初始点$x_0\in K$, $n=(k(n)-1)N+i(n)$,$i(n)\in I=\{1,2,\cdots,N\}$, 并且证明了由(1.2)式定义的序列$\{x_n\}$强收敛到公共不动点$x^{*}\in F=\bigcap\limits_{i=1}^{N}F(T_{i})$.

2007年,Thakur^[4] 在Babach空间$X$的非空有界闭凸集中, 对于一有限族渐近拟非扩张自映射$\{T_{1},T_{2},\cdots,T_{N}\}$, 推广迭代过程(1.2)如下 $$ \left \{\begin{array}{ll} x_{n} = (1-\alpha_{n})x_{n-1}+\alpha_{n}T_{i(n)}^{k(n)}y_{n},\\ y_{n} = (1-\beta_{n})x_{n}+\beta_{n}T_{i(n)}^{k(n)}x_{n},\forall n\geq 1,\end{array}\right.(1.3) $$ 其中$\{\alpha_{n}\},\{\beta_{n}\}\subset(0,1)$,初始点$x_0\in K$, $n=(k(n)-1)N+i(n)$,$i(n)\in I=\{1,2,\cdots,N\}$, 并且证明了由(1.3)式定义的序列$\{x_n\}$强收敛到公共不动点$x^{*}\in F=\bigcap\limits_{i=1}^{N}F(T_{i})$. 而且,2008年,在一致凸Banach空间中, Gu^[5]证明了一有限族渐近拟非扩张映射关于合成隐迭代(1.3)的强收敛和弱收敛定理.

2003年,Chidume等人^[14]引进了渐近非扩张非自映射的概念, 推广了渐近非扩张自映射的概念.

定义 1.1^[14] 设$K$是实赋范线性空间$X$中的非空子集, $P$是$X$到$K$上的一非扩张保核收缩映射. 非自映射$T:K\rightarrow X$称为渐近非扩张的,如果存在序列$\{k_n\}\subset [1,\infty)$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k_n=1$,使得对于一切的$x,y\in K$,$n\geq 1$,有 $$\|T(PT)^{n-1}x-T(PT)^{n-1}y\|\leq k_n\|x-y\|.$$

设$K$是实的一致凸Banach空间$X$中的非空闭凸子集,Chidume 等人^[14]研究了下面的迭代序列 $$\left \{\begin{array}{ll} x_{1} \in K,\\ x_{n+1} = P((1-\alpha_{n})x_{n}+\alpha_{n}T(PT)^{n-1}x_{n}),\forall n\geq 1,\end{array}\right.(1.4) $$ 其中$\{\alpha_{n}\}\subset(0,1)$,$P:X\rightarrow K$是非扩张保核收缩映射, 并且证明了渐近非扩张非自映射的一些强收敛和弱收敛定理.

2006年,Wang^[15]推广了迭代序列(1.4),其定义如下 $$ \left \{\begin{array}{ll} x_{1} \in K,\\ x_{n+1} = P((1-\alpha_{n})x_{n}+\alpha_{n}T_{1}(PT_{1})^{n-1}y_{n}),\\ y_n= P((1-\beta_{n})x_{n}+\beta_{n}T_{2}(PT_{2})^{n-1}x_{n}), \forall n\geq 1,\end{array}\right.(1.5) $$ $T_{1},T_{2}:K\rightarrow X $是渐近非扩张非自映射, $\{\alpha_{n}\},\{\beta_{n}\}\subset(0,1)$, 并证明了两个渐近非扩张映射的强收敛和弱收敛定理. 2011 年, Guo和Guo^[16]证明了迭代序列(1.5)两个新的弱收敛到公共不动 点$x^{*}\in F=F(T_{1})\bigcap F(T_{2})$定理.

2007年,对于一有限族渐近非扩张非自映射,Wang^[17]引进了 如下非隐迭代序列$\{x_n\}$ $$x_n=P(\alpha_{n} x_{n-1}+(1-\alpha_{n})T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n-1}), \forall n\geq 1, (1.6)$$ 其中, $\{\alpha_{n}\}\subset(0,1)$,初始点$x_0\in K$,$n=(k(n)-1)N+i(n)$, $i(n)\in I$, 并证明了由(1.6)式定义的$\{x_n\}$强收敛和弱收敛到公共不动点$x^{*}\in F=\bigcap\limits_{i=1}^{N}F(T_{i})$.

最近,Guo 等人^[18]对迭代序列(1.5)作了如下推广 $$ \left \{\begin{array}{ll} x_{1} \in K,\\ x_{n+1} = P((1-\alpha_{n})S_{1}^{n}x_{n}+\alpha_{n}T_{1}(PT_{1})^{n-1}y_{n}),\\ y_n= P((1-\beta_{n})S_{2}^{n}x_{n}+\beta_{n}T_{2}(PT_{2})^{n-1}x_{n}),\forall n\geq 1, \end{array}\right.(1.7) $$ 其中$S_1$,$S_2:K\rightarrow K$ 是两个渐近非扩张自映射,$T_1$,$T_2:K\rightarrow X$是两个渐近非扩张非自映射,$\{\alpha_{n}\}$,$\{\beta_{n}\}\subset (0,1)$,并证明了迭代序列(1.7)强收敛和弱收敛到公共不动点$x^{*}\in F=F(S_{1})\bigcap F(S_{2}) \bigcap F(T_{1})$ $\bigcap F(T_{2})$的一些定理.

当讨论如(1.1) (1.2)或者(1.3)式这样的合成隐迭代序列的弱收敛定理时, 许多学者(见文献^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]})只证明了 在一致凸Banach空间$X$满足Opial's条件时的弱收敛定理. 那么, 对于合成隐迭代是否有类似于非隐迭代(见文献^{[16, 18]})的弱收敛定理呢? 本文给出了肯定的回答.

在本文中,对于一有限族渐近非扩张自映射和一有限族渐近非扩张非自映射, 构造了一个新的混合型合成隐迭代序列,并在一致凸Banach空间中, 证明了这一新的迭代序列的强收敛和弱收敛定理.

设$X$是实Banach空间,$K$是$X$中的非空闭凸子集, $P$是$X$到$K$上的非扩张保核收缩映射. 设$S_{i}(i\in I=\{1,2,\cdots,N\}):K\rightarrow K$是一有限族渐近非扩张自映射, $T_{i}(i\in I):K\rightarrow X$是一有限族渐近非扩张非自映射, 我们构造新的混合型合成隐迭代序列如下 $$ \left \{\begin{array}{ll} x_{n} = P((1-\alpha_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}+\alpha_{n}T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}),\\ y_n= P((1-\beta_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}+\beta_{n}T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}), \forall n\geq 1,\end{array}\right.(2.1) $$ 其中初始点$x_0\in K$,$\{\alpha_{n}\}$, $\{\beta_{n}\}$是[0,1]中的两个序列,$n=(k(n)-1)N+i(n)$,$i(n)\in I$, 正整数$k(n)\geq 1$,并且当$n\rightarrow \infty$时,$k(n)\rightarrow \infty$.

如果$\{T_i:i\in I\}$是$K$到$K$的自映射, 那么迭代序列(2.1)简化为如下迭代序列 $$ \left \{\begin{array}{ll} x_{n} = (1-\alpha_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}+\alpha_{n}T_{i(n)}^{k(n)}y_{n},\\ y_n= (1-\beta_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}+\beta_{n}T_{i(n)}^{k(n)}x_{n}, \forall n\geq 1,\end{array}\right.(2.2) $$

本文通篇使用$I$代表集合$\{1,2,\cdots,N\}$,记$\{S_i:i\in I\}$和$\{T_i:i\in I\}$ 的公共不动点集为$F=\bigcap\limits_{i=1}^{N}(F(S_{i})$ $\bigcap F(T_{i}))$.

为了方便,我们复述一些已有的概念和结果.

设$X$是实Banach空间,$X^{*}$是$X$的对偶空间,$J:X \rightarrow 2^{X^{*}}$为正规对偶映射定义如下 $$J(x)=\{f\in E^{*}:\langle x,f\rangle =\|x\|\|f\|,\|f\|=\|x\|\},\forall x\in X,$$ 其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$是$X$和$X^{*}$之间的配对, 单值正规对偶映射记为$j$.

空间$X$的子集$K$称为$X$的收缩核^[14], 如果存在连续映射$P:X\rightarrow K$ 使得对于任意的$x\in K$都有$Px=x$. 一致凸Banach空间中的每个闭凸子集都是收缩核. 映射$P:X\rightarrow K$称为收缩的,如果$P^{2}=P$. 因此,如果映射$P$是收缩映射, 则对于$P$的值域中的任一元素$y$都有$Py=y$.

称Banach空间$X$满足Opial's条件^[19], 如果对于$X$中的任一序列$\{x_n\}$,当$x_n\rightarrow x$(弱)时, 对一切$y\in X$,$y\neq x$,有$$\limsup_{n\rightarrow \infty}\|x_n-x\|<\limsup_{n\rightarrow \infty}\|x_n-y\|.$$

称Banach空间$X$具有Fr$\acute{e}$chet可微范数^[20], 如果对于一切的$x\in U=\{x\in X:\|x\|=1\}$,$$\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\|x+ty\|-\|x\|}{t}$$ 存在,且对于$y\in U$一致成立.

称Banach空间$X$具有Kadec-Klee性质^[21], 如果对于$X$的任一子列$\{x_n\}$,有$x_n\rightarrow x$(弱)且$\|x_n\|\rightarrow \|x\|$,则$x_n\rightarrow x$.

非自映射$T:K\rightarrow X$ 称为半紧的^[15], 如果对于$K$中的任一满足$\|x_n-Tx_n\|\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)$的序列$\{x_n\}$都存在子列$\{x_{n_{j}}\}\subset \{x_{n}\}$强收敛到某一点$x^{*}\in K$.

设映射$T$的定义域和值域分别为$D(T)$和$R(T)$, 称映射$T$在$p$点半闭^[17],如果对于$D(T)$中的序列$\{x_n\}$, 当$\{x_n\}$弱收敛到$x^{*}\in D(T)$,且$\{Tx_n\}$强收敛到$p$时, 则$Tx^{*}=p$.

命题 2.1 设$K$赋范线性空间空间$X$中的非空子集, $P$是$X$到$K$上的非扩张收缩映射. 设$\{S_{i}\}_{i=1}^{N}:K\rightarrow K$ 是$N$ 个渐近非扩张自映射,$\{T_{i}\}_{i=1}^{N}:K\rightarrow X$是$N$个渐近非扩张非自映射，则存在序列$\{l_n\}\subset [1,\infty)$, $l_n\rightarrow 1(n\rightarrow\infty)$ 使得 $$\|S_{i}^{n}x-S_{i}^{n}y\|\leq l_n\|x-y\|,\forall n\geq 1, x,y\in K,i\in I$$ 且 $$\|T_{i}(PT_{i})^{n-1}x-T_{i}(PT_{i})^{n-1}y\|\leq l_n\|x-y\|, \forall n\geq 1,x,y\in K,i\in I.$$

证 因为对于任意的$i=1,2,\cdots,N$,$S_{i}:K\rightarrow K$是渐近非扩张自映射,因此存在一序列$h_{n}^{(i)}\subset [1,\infty)$,$h_{n}^{(i)}\rightarrow 1(n\rightarrow \infty)$,使得 $$\|S_{i}^{n}x-S_{i}^{n}y\|\leq h_{n}^{(i)}\|x-y\|,\forall n\geq 1,i\in I.$$ 用上述类似的方法,存在一序列$k_{n}^{(i)}\subset [1,\infty)$,$k_{n}^{(i)}\rightarrow 1(n\rightarrow \infty)$,使得 $$\|T_{i}(PT_{i})^{n-1}x-T_{i}(PT_{i})^{n-1}y\|\leq k_{n}^{(i)}\|x-y\|,\forall n\geq 1,i\in I.$$ 令$l_n=\max\{h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)},\cdots,h_{n}^{(N)},k_{n}^{(1)},k_{n}^{(2)},\cdots,k_{n}^{(N)}\}$,则$\{l_n\}\subset [1,\infty)$且$l_{n}\rightarrow 1(n\rightarrow \infty)$, 使得对于一切的$x,y\in K$以及每个$i=1,2,\cdots,N$,有 $$\|S_{i}^{n}x-S_{i}^{n}y\|\leq l_n\|x-y\|,\forall n\geq 1 $$ 和 $$\|T_{i}(PT_{i})^{n-1}x-T_{i}(PT_{i})^{n-1}y\|\leq l_n\|x-y\|,\forall n\geq 1. $$ 证毕.

注 2.1 如果对于一切的$n\geq N_0$ ($N_0$为某个正整数), $\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}< 1$,则合成隐迭代序列(2.1)是有意义的. 事实上,对于任意的$x_{n-1}\in K$,定义映射$A_n,B_n: K \rightarrow K$如下 \begin{eqnarray*} \left \{\begin{array}{ll} A_nx = P((1-\alpha_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}+\alpha_{n} T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}B_nx)\\ B_nx = P((1-\beta_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x+\beta_{n} T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x). \end{array}\right. \end{eqnarray*} 对于任意的$x,y\in K$,由命题 2.1,我们得到 \begin{eqnarray*} \|A_nx-A_ny\|&\leq&\alpha_{n}\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}B_nx-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}B_ny\|\nonumber\\ &\leq&\alpha_{n}l_{k(n)}\|B_nx-B_ny\| \nonumber\\ &\leq&\alpha_{n}l_{k(n)}[(1-\beta_n)l_{k(n)}\|x-y\|+\beta_nl_{k(n)}\|x-y\|]\nonumber\\ &=&\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}\|x-y\|.\nonumber \end{eqnarray*} 因为对于一切的$n\geq N_0$,$\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}< 1$,因此$A_n$是压缩映射,由Banach压缩映照原理,存在唯一不动点$x_n\in K$使得$x_n=A_nx_n$. 因此,可知合成隐迭代(2.1) 是有意义的. 为了证明主要结果,我们需要如下一些引理.

引理 2.1^[3] 设$\{a_{n}\}$, $\{\lambda_{n}\}$,$\{\sigma_{n}\}$为三个非负实数列,满足如下不等式 $$a_{n+1}\leq(1+\lambda_{n})a_{n}+\sigma_{n}, \forall n\geq n_{_{0}}, $$ 其中$n_{0}$是某个正整数. $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}<\infty$, $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sigma_{n}<\infty$. 则$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}$存在. 特别地,如果$laystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$, 则$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$.

引理 2.2^[14] (非自映射半闭原理) 设$X$ 为实一致凸Banach空间,$K$为$X$中的一非空闭凸子集,$T:K\rightarrow X$为具有实数列$\{k_n\}\subset [1,\infty)$,$k_n\rightarrow 1(n\rightarrow \infty)$的渐近非扩张非自映射. 则$I-T$在零点半闭.

引理 2.3^[22] 设$p>1$,$R>0$为两个固定数, $X$为Banach空间. 则$X$为一致凸的当且仅当存在连续的,严格增的凸函数 $g: [0,\infty)\rightarrow[0,\infty),g(0)= 0 $使得对于一切的$x,y \in B(0,R)=\{x\in E:\|x\|\leq R\}$,λ∈[0,1],有 $$\|\lambda x+(1-\lambda)y\|^{p}\leq \lambda\|x\|^{p}+(1-\lambda)\|y\|^{p}-\omega_{p}(\lambda)g(\|x-y\|), $$ 其中$\omega_{p}(\lambda)= \lambda(1-\lambda)^{p}+\lambda^{p}(1-\lambda).$

引理 2.4^[23] 设$X$是一致凸Banach空间, $C$是$X$的一凸子集. 则存在一严格增函数$\gamma: [0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$,$\gamma(0)=0$ 使得每一个具有Lipschitz常数$L>0$的映射 $S:C\rightarrow C$,对于一切的$x,y\in C$,$0<\alpha<1$,有$$\|\alpha Sx+(1-\alpha)Sy-S[\alpha x+(1-\alpha)y]\|\leq L\gamma^{-1}(\|x-y\|-\frac{1}{L}\|Sx-Sy\|).$$

引理 2.5^[23] 设$X$是一致凸Banach空间, 其对偶空间$X^{*}$具有Kadec-Klee性质. 若$\{x_n\}$是一有界序列, 且$f_1,f_2\in W_{w}(x_{n})$使得对于一切的$\alpha\in [0,1]$ $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|\alpha x_n+(1-\alpha)f_1-f_2\|$$ 存在, 其中$W_{w}(\{x_n\})$表示序列$\{x_n\}$的一切子序列的弱收敛点集合. 则有$f_1=f_2$.

在这一部分中,我们将证明一些对本文主要结果有帮助的一些引理.

引理 3.1 设$X$ 是实的一致凸Banach空间, $K$是$X$的一非空闭凸子集,$P$是$X$到$K$上的非扩张收缩映射. 设$S_1, S_2,\cdots S_N: K\rightarrow K$是$N$ 个渐近非扩张自映射,$T_1,T_2, \cdots T_N: K\rightarrow X$是$N$个渐近非扩张非自映射,$F\neq \emptyset$. 并且$\{\alpha_{n}\}$,$\{\beta_{n}\}$是[0,1] 中的两个实数列. 设数列l_n由命题2.1定义. 如果下面条件满足

(i) $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_{n}-1)< \infty$;

(ii) $laystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}<1$.\\ 则

(1) 由(2.1)式定义的序列$\{x_n\}$有意义的.

(2) 对任意的$p\in F$, $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-p\|$存在.

证 (1) 因为$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_n-1) < \infty$,我们有$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_{n}^2-1)< \infty$,所以$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_{k(n)}^2-1)< \infty$. 又因为$ \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \alpha_{n}< 1$,则存在$n_0$ 和$\tau\in (0,1)$, 使得对于一切的$n\geq n_0$有$\alpha_{n}\leq 1-\tau, l_{k(n)}^2-1<\tau $. 因此,对于任意的$n\geq n_0$,有 $$\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}\leq 1-\tau^{2}<1$$ 由注2.1可知由(2.1)式定义的序列是有意义的.

(2) 对于任意的$p\in F$,由(2.1)式可知 \begin{eqnarray} \|y_{n}-p\|&\leq&\|(1-\beta_{n})(S_{i(n)}^{k(n)}x_n-p)+\beta_{n}(T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_n-p)\|\nonumber\\ &\leq&(1-\beta_{n})l_{k(n)}\|x_n-p\|+\beta_{n}l_{k(n)}\|x_n-p\|\nonumber\\ &=&l_{k(n)}\|x_n-p\|.(3.1) \end{eqnarray} 借助(3.1)式,有 \begin{eqnarray} \|x_{n}-p\|&\leq&\|(1-\alpha_{n})(S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-p)+\alpha_{n}(T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_n-p)\|\nonumber\\ &\leq&(1-\alpha_{n})l_{k(n)}\|x_{n-1}-p\|+\alpha_{n}l_{k(n)}\|y_n-p\|\nonumber\\ &\leq& (1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_{n-1}-p\|+\alpha_{n}l_{k(n)}^2\|x_n-p\|.(3.2) \end{eqnarray} 由结论(1),对于一切的$n\geq n_0$, 我们有$1-\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}>0$. 简化(3.2)式我们可以得到 \begin{eqnarray} \|x_{n}-p\|\leq \frac{(1-\alpha_{n})}{1-\alpha_{n}l_{k(n)}^2}l_{k(n)}^{2}\|x_{n-1}-p\| =(1+\frac{l_{k(n)}^{2}-1}{1-\alpha_{n}l_{k(n)}^2})\|x_{n-1}-p\|,\forall n\geq n_0.(3.3) \end{eqnarray} 因为对于$n\geq n_0$有$\alpha_{n}\leq 1-\tau$,所以 $$\frac{l_{k(n)}^{2}-1}{1-\alpha_{n}l_{k(n)}^2}\leq \frac{l_{k(n)}^{2}-1}{1-(1-\tau) l_{k(n)}^2} = \frac{l_{k(n)}+1}{1-(1-\tau)l_{k(n)}^2}(l_{k(n)}-1).$$ 又因为$laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}l_{k(n)}=1$, 所以有$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{l_{k(n)}+1}{1-(1-\tau)l_{k(n)}^2}=\frac{2}{\tau}$, 故存在常数$\lambda> 0$使得 $$\frac{l_{k(n)}+1}{1-(1-\tau)l_{k(n)}^2}\leq \lambda,\forall n\geq1.$$ 由条件(i),我们有 $\lambda \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_{k(n)}-1)< \infty$,所以 $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{l_{k(n)}^{2}-1}{1-\alpha_{n}l_{k(n)}^2}< \infty$. 由(3.3)式和引理 2.1,对于任意的$p\in F$, $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-p\|$存在.

引理 3.2 设$X$ 是实的一致凸Banach空间, $K$是$X$的一非空闭凸子集,$P$是$X$到$K$上的非扩张收缩映射. 设$S_1,S_2,\cdots S_N: K\rightarrow K$是$N$个渐近非扩张自映射, $T_1,T_2,\cdots T_N: K\rightarrow X$是$N$个渐近非扩张非自映射, $F\neq \emptyset$. 设$\{x_n\}$由(2.1)式定义,其中$\{\alpha_{n}\}$, $\{\beta_{n}\}$ 是[0,1]中的两个实数列. 设数列l_n由命题2.1定义. 如果下面条件满足

(i) $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_{n}-1)< \infty$;

(ii) $0<laystyle\liminf_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}\leq laystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}<1$;

(iii) $laystyle\limsup_{n\rightarrow\infty}\beta_{n}<1$;

(iv) 对于一切 $x,y\in K$及$i\in I$,$\|x-T_{i}y\|\leq\|S_{i}x-T_{i}y\| $. \\ 则

(1) $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{l}x_n\|=0$,$\forall$ $ l\in I$.

(2) $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-S_{l}x_n\|=0$,$\forall$ $l\in I$.

证 (1) 由引理 3.1可知,对于任意的$p\in F$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-p\|$存在. 由于$\{x_{n}-p\}$, $\{y_{n}-p\}$,$\{T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_n-p\}$, $\{T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_n-p\}$,$\{S_{i(n)}^{k(n)}x_n-p\}$, $\{S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-p\}$ 都有界,所以存在$R>0$,使得 $$\{x_n-p,y_n-p,S_{i(n)}^{k(n)}x_n-p, S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-p,T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_n-p,$$ $$ T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_n-p\}\subset B(0,R).$$ 设$p\in F$, 由(2.1)式以及引理 2.3,我们有 \begin{eqnarray} \|y_n-p\|^{2}&\leq&\|(1-\beta_{n})(S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-p)+ \beta_{n}(T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}-p)\|^{2}\nonumber\\ &\leq &(1-\beta_{n})\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n-p\|^2+ \beta_{n}\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}-p\|^2\nonumber\\ &&-\beta_{n}(1-\beta_{n})g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n -T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|)\nonumber\\ &\leq&(1-\beta_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_n-p\|^2+\beta_{n}l_{k(n)}^{2}\|x_n-p\|^2\nonumber\\ &\leq &l_{k(n)}^{2}\|x_n-p\|^2.(3.4) \end{eqnarray} 再由(2.1)式以及引理 2.3,我们还可以得到 \begin{eqnarray} \|x_n-p\|^{2}&\leq&\|(1-\alpha_{n})(S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-p)+ \alpha_{n}(T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}-p)\|^{2}\nonumber\\ &\leq &(1-\alpha_{n})\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-p\|^2+ \alpha_{n}\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}-p\|^2\nonumber\\ & &-\alpha_{n}(1-\alpha_{n})g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|)\nonumber\\ &\leq&(1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_{n-1}-p\|^2+\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}\|y_n-p\|^2\nonumber\\ & &-\alpha_{n}(1-\alpha_{n})g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|).(3.5) \end{eqnarray} 将(3.4)式代入到(3.5)式,可以得到 \begin{eqnarray*} \|x_n-p\|^{2} &\leq&(1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_{n-1}-p\|^2+\alpha_{n}l_{k(n)}^{4}\|x_n-p\|^2\nonumber\\ & &-\alpha_{n}(1-\alpha_{n})g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|).\nonumber \end{eqnarray*} 由条件(ii)可知,存在正整数$n_0$以及两个实数$a,b\in(0,1)$,当$n\geq n_0$时,有 $a\leq \alpha_{n}\leq b$,故对于一切的$n\geq n_{0}$, \begin{eqnarray} \|x_n-p\|^{2}&\leq&(1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_{n-1}-p\|^2+\alpha_{n}l_{k(n)}^{4}\|x_n-p\|^2\nonumber\\ & &-a(1-b)g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|).(3.6) \end{eqnarray} 由条件(i),存在一常数$L$,使得对于一切的$n\geq 1$有$l_n\leq L$. 因此,由(3.6)式,对于一切的$n\geq n_0$,我们有 \begin{eqnarray*} &&a(1-b)g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|) \\ &\leq&(1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_{n-1}-p\|^2 -\|x_n-p\|^{2} +\alpha_{n}l_{k(n)}^{4}\|x_n-p\|^2\nonumber\\ &=&(1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}(\|x_{n-1}-p\|^2 -\|x_n-p\|^{2})\nonumber\\ &&+(1-\alpha_{n})l_{k(n)}^{2}\|x_n-p\|^{2} -\|x_n-p\|^{2} +\alpha_{n}(l_{k(n)}^{4}-l_{k(n)}^{2} +l_{k(n)}^{2})\|x_n-p\|^{2}\nonumber\\ &\leq &(1-a)L^{2}(\|x_{n-1}-p\|^2 -\|x_n-p\|^{2})\nonumber\\ &&+bl_{k(n)}^{2}(l_{k(n)}^{2}-1) \|x_n-p\|^2 +(l_{k(n)}^{2}-1)\|x_n-p\|^2, \end{eqnarray*} 对于一切的$m\geq n_0$,有 \begin{eqnarray} &&a(1-b)\sum_{n=n_0}^{m}g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)} (PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|)\nonumber\\ &\leq& (1-a)L^2\sum_{n=n_{0}}^{m} (\|x_{n-1}-p\|^2 -\|x_n-p\|^{2}) +bR^2L^2\sum_{n=n_{0}}^{m} (l_{k(n)}^{2}-1) +R^{2}\sum_{n=n_{0}}^{m}(l_{k(n)}^{2}-1)\nonumber\\ &\leq&(1-a)L^2\|x_{n_0-1}-p\|^2 +R^2\sum_{n=n_{0}}^{m}(l_{k(n)}^{2}-1) +bR^2L^{2}\sum_{n=n_{0}}^{m} (l_{k(n)}^{2}-1).(3.7) \end{eqnarray} 由条件(i),有$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}(l_{k(n)}^{2}-1)< \infty$. 再借助(3.7)式,可以得到 $$\sum_{n=1}^{\infty}g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|)<\infty.$$ 因此, $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}g(\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|)=0,$$ 由$g$的性质可知 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|=0.(3.8) \end{equation} 由条件(iv),有 $$\|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\leq\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|. $$ 注意到(3.8)式,我们有 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|=0.(3.9) \end{equation} 由三角不等式 \begin{eqnarray*} &&\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-x_{n-1}\|\\ & \leq & \|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\| +\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}-x_{n-1}\|. \end{eqnarray*} 所以 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-x_{n-1}\|=0.(3.10) \end{equation} 因为$Px_{n-1}=x_{n-1}$以及 (2.1)式,有 \begin{eqnarray} \|x_n-x_{n-1}\| &\leq& \|(1-\alpha_{n})(S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-x_{n-1}) +\alpha_{n}(T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}-x_{n-1})\|\nonumber\\ &\leq& (1-\alpha_{n})\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-x_{n-1}\| +\alpha_{n}\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}-x_{n-1}\|.(3.11) \end{eqnarray} 由(3.9)-(3.11)式可知 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-x_{n-1}\|=0.(3.12) \end{equation} 注意到,对于一切的$j\in I$, $$ \|x_{n+j}-x_n\|\leq\|x_{n+j}-x_{n+(j-1)}\| +\|x_{n+(j-1)}-x_{n+(j-1)}\|+\cdots+\|x_{n+1}-x_{n}\|, $$ 并借助(3.12)式,得到 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n+j}-x_{n}\|=0, \forall j\in I.(3.13) \end{equation} 因为 \begin{eqnarray*} \|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-x_{n-1}\|&\leq&\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}\| +\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-x_{n-1}\|\nonumber\\ &\leq &l_{k(n)}\|x_n-x_{n-1}\|+\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n-1}-x_{n-1}\|,\nonumber \end{eqnarray*} 所以由(3.10) 和 (3.12)式,我们得到 $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-x_{n-1}\|=0.\nonumber $$ 再由 $$ \|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\leq\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-x_{n-1}\| +\|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\nonumber, $$ 并借助(3.9)式,得到 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|=0.(3.14) \end{equation} 由条件(iv)可知 $$\|x_{n}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\leq\|S_{i(n)}^{k(n)}x_{n}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|, $$ 再由(3.14)式,有 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|=0.(3.15) \end{equation} 下面,我们估计 \begin{eqnarray} \|y_n-x_n\|&\leq&\|(1-\beta_{n})S_{i(n)}^{k(n)}x_n+\beta_{n}T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}-x_n\|\nonumber\\ &\leq&(1-\beta_{n})\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\nonumber\\ &&+\beta_{n}\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\nonumber\\ &&+\|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\nonumber\\ &\leq&(1-\beta_{n})\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\| +\beta_{n}l_{k(n)}\|x_n-y_n\|\nonumber\\ &&+\|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|.(3.16) \end{eqnarray} 由条件(i)和(iii)可知,存在正整数$n_0$及$m_0\in (0,1)$使得对于所有的$n\geq n_0$,有$\beta_{n} l_{k(n)}\leq m_0 < 1$. 通过简化(3.16)式,我们得到 \begin{eqnarray*} (1-m_{0})\|y_n-x_n\|&\leq&(1-\beta_{n}l_{k(n)})\|y_n-x_n\|\nonumber\\ &\leq&(1-\beta_{n})\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\| \\ &&+\|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|,\nonumber \end{eqnarray*} 由(3.14)和(3.15)式,我们有 \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|y_n-x_n\|=0.(3.17) \end{eqnarray} 进一步,有 \begin{eqnarray*} \|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|&\leq&\|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\|\nonumber\\ & &+\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}-T_{i(n)} (PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|\nonumber\\ &\leq&\|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}y_{n}\| +l_{k(n)}\|x_n-y_n\|,\nonumber \end{eqnarray*} 由(3.15) 和(3.17)式,得到 \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|=0.(3.18) \end{eqnarray} 同样由(3.12)和(3.18)式,可知 $$ \|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|\leq\|x_{n-1}-x_{n}\|+\|x_{n}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|, $$ 因此 \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|=0.(3.19) \end{eqnarray} 对于任意的正整数$n>N$,$n=(k(n)-1)N+i(n)$,$i(n)\in I$. 令 $$\delta_{n}=\|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\|, $$ 则由(3.19)式, 我们得到$laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\delta_{n}=0$ 且 \begin{eqnarray} \|x_{n-1}-T_{n}x_{n}\|&\leq&\|x_{n-1}-T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}\| +\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}-T_{n}x_{n}\|\nonumber\\ &=&\delta_{n} +\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-1}x_{n}-T_{i(n)}x_{n}\|\nonumber\\ &\leq&\delta_{n}+l_{1}\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-2}x_{n}-x_{n}\|,(3.20) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-2}x_{n}-x_n\|&\leq&\|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-2}x_{n}-T_{i(n-N)}(PT_{i(n-N)}) ^{k(n)-2}x_{n-N}\|\nonumber\\ &&+\|T_{i(n-N)}(PT_{i(n-N)})^{k(n)-2}x_{n-N}-x_{(n-N)-1}\|\nonumber\\ &&+\|x_{(n-N)-1}-x_n\|.(3.21) \end{eqnarray} 对于任意的正整数$n>N$,$n=(n-N)$ (mod $N)$,另一方面,由 $n=(k(n)-1)N+i(n)$可知$n-N=((k(n)-1)-1)N+i(n)=(k(n-N)-1)N+i(n-N)$. 也就是说, $k(n-N)=k(n)-1$ 且 $i(n-N)=i(n).$ 因此,我们得到 \begin{eqnarray} \|T_{i(n)}(PT_{i(n)})^{k(n)-2}x_{n}-T_{i(n-N)}(PT_{i(n-N)})^{k(n)-2}x_{n-N}\| \leq l_{k(n)-2}\|x_{n}-x_{n-N}\|(3.22) \end{eqnarray} 且 \begin{eqnarray} &&\|T_{i(n-N)}(PT_{i(n-N)})^{k(n)-2}x_{n-N}-x_{(n-N)-1}\|\nonumber\\ &=& \|T_{i(n-N)}(PT_{i(n-N)})^{k(n-N)-1}x_{n-N}-x_{(n-N)-1}\|\nonumber\\ &=&\delta_{n-N}.(3.23) \end{eqnarray} 将(3.21),(3.22) 和 (3.23)式代入 (3.20)式,我们得到 $$ \|x_{n-1}-T_{n}x_{n}\|\leq\delta_{n}+l_{1}l_{k(n)-2}\|x_{n}-x_{n-N}\| +l_1\|x_{(n-N)-1}-x_n\|+l_{1}\delta_{n-N}.\nonumber $$ 由(3.13)以及(3.19)式,可知 \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n-1}-T_{n}x_{n}\|=0.(3.24) \end{eqnarray} 因为$\|x_{n}-T_{n}x_{n}\|\leq\|x_{n}-x_{n-1}\|+\|x_{n-1}-T_{n}x_{n}\|$, 由(3.12) 和(3.24)式,则 \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{n}x_{n}\|=0.(3.25) \end{eqnarray} 因此,对于任意的$j\in I$,由(3.13) 和(3.25)式,我们有 \begin{eqnarray*} \|x_{n}-T_{n+j}x_n\|&\leq& \|x_n-x_{n+j}\|+\|x_{n+j}-T_{n+j}x_{n+j}\|+\|T_{n+j}x_{n+j}-T_{n+j}x_n\|\nonumber\\ &\leq&(1+l_{1})\|x_n-x_{n+j}\|+\|x_{n+j}-T_{n+j}x_{n+j}\|\rightarrow 0.\nonumber \end{eqnarray*} 这表明$n\rightarrow \infty$时 $$\bigcup_{j=1}^{N}\{\|x_{n}-T_{n+j}x_n\|\}_{n=1}^{\infty}\rightarrow0. $$ 因为对每个$j\in I$,$\{\|x_{n}-T_{n+j}x_n\|\}_{n=1}^{\infty}$是 $\bigcup\limits_{j=1}^{N}\{\|x_{n}-T_{n+j}x_n\|\}_{n=1}^{\infty}$的一个子列, 所以,我们有 $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{l}x_n\|=0,\forall l\in I.$$

(2) 因为 \begin{eqnarray*} \|x_{n-1}-S_{n}x_n\|&\leq&\|x_{n-1}-S_{i(n)}^{k(n)}x_n\|+\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n-S_{n}x_n\|\nonumber\\ &=&\|x_{n-1}-S_{i(n)}^{k(n)}x_n\|+\|S_{i(n)}^{k(n)}x_n-S_{i(n)}x_n\|\nonumber\\ &\leq&\|x_{n-1}-S_{i(n)}^{k(n)}x_n\|+l_1\|S_{i(n)}^{k(n)-1}x_n-x_n\|\nonumber \end{eqnarray*} 以及 \begin{eqnarray*} \|S_{i(n)}^{k(n)-1}x_n-x_n\|&\leq&\|S_{i(n)}^{k(n)-1}x_n-S_{i(n-N)}^{k(n)-1}x_{n-N}\| +\|S_{i(n-N)}^{k(n)-1}x_{n-N}-x_{(n-N)-1}\|\nonumber\\ &&+\|x_{(n-N)-1}-x_n\|\nonumber\\ &\leq& l_{k(n)-1}\|x_n-x_{n-N}\|+\|S_{i(n-N)}^{k(n)-1}x_{n-N}-x_{(n-N)-1}\|\nonumber\\ & &+\|x_{(n-N)-1}-x_n\|,\nonumber \end{eqnarray*} 按结论(1)中同样的方法,可以得到 $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-S_{l}x_n||=0,\forall l\in I.$$ 证毕.

引理 3.3 在引理 3.1 的假设条件下,则对于一切的$p,q\in F$, $t\in [0,1]$ $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|tx_n+(1-t)p-q\|$$ 存在, 其中$\{x_n\}$ 由(2.1)式定义.

证 由引理 3.1,我们知道$\{x_{n}\}$有界. 令 $$a_{n}(t)=\|tx_{n}+(1-t)p-q\|,\forall t\in[0,1].$$ 则$laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}(0)=\|p-q\|$, 由引理3.1可知, $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}(1)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-q\|$ 存在. 以下只需证明对于所有的$t\in(0,1)$引理 3.3 成立.

对于一切的$x\in K$,定义映射$H_{n},W_{n}:K\rightarrow K$如下 \begin{eqnarray*} \left \{\begin{array}{ll} H_{n}x=P((1-\alpha_{n+1})S_{i(n+1)}^{k(n+1)}x+\alpha_{n+1}T_{i(n+1)}(PT_{i(n+1)})^{k(n+1)-1}W_{n}x)\\ W_{n}x=P((1-\beta_{n+1})S_{i(n+1)}^{k(n+1)}H_{n}x+\beta_{n+1}T_{i(n+1)}(PT_{i(n+1)})^{k(n+1)-1}H_{n}x) \end{array}\right. \end{eqnarray*} 由 (2.1)式,有 \begin{eqnarray*} &&\|H_{n}x_{n}-x_{n+1}\|\\ &\leq&\alpha_{n+1}\|T_{i(n+1)}(PT_{i(n+1)})^{k(n+1)-1}W_{n}x_{n}- T_{i(n+1)}(PT_{i(n+1)})^{k(n+1)-1}y_{n+1}\|\nonumber\\ &\leq&\alpha_{n+1}l_{k(n+1)}\|W_{n}x_{n}-y_{n+1}\|\nonumber\\ &\leq&\alpha_{n+1}l_{k(n+1)}[(1-\beta_{n+1})l_{k(n+1)}\|H_{n}x_{n}-x_{n+1}\| +\beta_{n+1}l_{k(n+1)}\|H_{n}x_{n}-x_{n+1}\|]\nonumber\\ &\leq & \alpha_{n+1}l_{k(n+1)}^{2}\|H_{n}x_{n}-x_{n+1}\|.\nonumber \end{eqnarray*} 注意到条件(i) 和 (ii),存在一个正整数$n_0$,使得当 $n\geq n_0$时,有$\alpha_{n+1}l_{k(n+1)}^{2}<1$. 这表明$H_{n}x_{n}=x_{n+1}$,而且,类似地,我们可以得到, 对于一切的$p\in F$,有$H_{n}p=p$. 对于所有的$x,y\in K$, 我们同样可知 \begin{eqnarray*} \|H_{n}x-H_{n}y\|&\leq&(1-\alpha_{n+1})l_{k(n+1)}\|x-y\|+\alpha_{n+1}l_{k(n+1)}\|W_{n}x-W_{n}y\|\nonumber\\ &\leq&(1-\alpha_{n+1})l_{k(n+1)}\|x-y\|+ \alpha_{n+1}l_{k(n+1)}((1-\beta_{n+1})l_{k(n+1)}\|H_{n}x-H_{n}y\|\nonumber\\ &&+\beta_{n+1}l_{k(n+1)}\|H_{n}x-H_{n}y\|)\nonumber\\ &\leq &(1-\alpha_{n+1})l_{k(n+1)}\|x-y\|+\alpha_{n+1}l_{k(n+1)}^{2}\|H_{n}x-H_{n}y\|.\nonumber \end{eqnarray*} 这表明 $$ \|H_{n}x-H_{n}y\|\leq(1+\eta_{n+1}(l_{k(n+1)}-1))\|x-y\|, $$ 其中$\eta_{n}=\frac{\alpha_{n}l_{k(n)}+1}{1-\alpha_{n}l_{k(n)}^{2}}$. 使用引理 3.1 中相同的方法,可知,存在常数$M$,使得当$n\geq n_0$ 时 $\eta_{n}\leq M$. 因此,我们有 \begin{eqnarray} \|H_{n}x-H_{n}y\| \leq(1+M(l_{k(n+1)}-1))\|x-y\|,\forall n\geq n_0. (3.26)\end{eqnarray} 令$\nu_{n}=M(l_{k(n)}-1)$,由$1\leq \prod\limits_{j=n+1}^{\infty}(1+\nu_{j})\leq e^{\sum\limits_{j=n+1}^{\infty}\nu_{n}}$ 以及 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\nu_{n}<\infty$可知 $ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\prod\limits_{j=n}^{\infty}(1+\nu_{j})=1$. 令 \begin{eqnarray} S_{n,m} = H_{n+m-1}H_{n+m-2}\cdots H_{n},m\geq 1. (3.27) \end{eqnarray} 由(3.26) 和 (3.27)式,对于任意的$x,y\in K $,有 $$\|S_{n,m}x-S_{n,m}y\|\leq L_{n}\|x-y\|,$$ 其中$L_{n}=\prod\limits_{j=n+1}^{n+m}(1+\nu_{j})$. 易证, 对于所有的$n>n_0$,$p\in F$,有 $S_{n,m} =x_{n+m}$,$S_{n,m}p=p$. 令 \begin{eqnarray} b_{n,m}=\|S_{n,m}(tx_{n}+(1-t)p)-(tS_{n,m}x_{n}+(1-t)S_{n,m}p)\|. (3.28) \end{eqnarray} 由 (3.28)式及引理 2.4,我们有 \begin{eqnarray*} b_{n,m}& \leq & L_{n}\gamma^{-1}(\|x_{n}-p\| -(L_{n})^{-1}\|S_{n,m}x_{n}-S_{n,m}p\|)\\ &\leq & L_{n}\gamma^{-1}(\|x_{n}-p\|-(L_{n})^{-1}\|x_{n+m}-p\|). \end{eqnarray*} 由引理 2.1 以及$laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}L_{n}=1$可知, 对于所有的 $m$,$laystyle\lim\limits_{n \rightarrow\infty}b_{n,m}=0$一致成立. 注意到,\begin{eqnarray*} a_{n+m}(t)&=&\|tx_{n+m}+(1-t)p-q\|\nonumber\\ &\leq&\|tx_{n+m}+(1-t)p-q+(S_{n,m}(tx_{n}+(1-t)p)-tS_{n,m}x_{n}-(1-t)S_{n,m}p)\|\nonumber\\ &&+\|-(S_{n,m}(tx_{n}+(1-t)p)+tS_{n,m}x_{n}+(1-t)S_{n,m}p)\|\nonumber\\ &=&\|S_{n,m}(tx_{n}+(1-t)p)-q\|+b_{n,m}\nonumber\\ &\leq& L_{n}\|tx_{n}+(1-t)p-q\|+b_{n,m}\nonumber\\ &\leq &L_{n} a_{n}(t)+b_{n,m}.\nonumber \end{eqnarray*} 所以,$laystyle\limsup_{n \rightarrow\infty}a_{n}(t)\leq\liminf _{n \rightarrow\infty}a_{n}(t)$,即,对于所有的$t\in (0,1)$, $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|tx_{n}+(1-t)p-q\|$$ 存在. 证毕.

引理 3.4 在引理 3.1 的假设条件下, 如果$X$具有Fr$\acute{e}$chet可微范数,则对于所有的$p,q\in F$,极限 $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\langle x_{n},j(p-q)\rangle$$ 存在, 其中$\{x_n\}$由 (2.1)式定义. 进一步, 如果$W_{w}(x_{n})$表示序列$\{x_n\}$的一切子序列的弱收敛点集合, 则对于所有的$p,q\in F$,$x^{*},y^{*}\in W_{w}(x_{n})$,有 $\langle x^{*}-y^{*},j(p-q) \rangle=0$.

证 按文献[16,引理 3.2]的证明方法, 用引理3.3代替文献[16,引理 3.1]即可.

首先,我们证明一些强收敛定理.

定理 4.1 在引理 3.2 的假设条件下,如果$T_{i}$ 或者 $S_{i} (i\in I)$ 中有一个为半紧的,则由(2.1)式定义的$\{x_n\}$ 强收敛到 $T_{i}$ 和 $S_{i} (i\in I)$的一个公共不动点.

证 不失一般性,不妨设$T_{1}$是半紧的. 由引理3.1可知, $\{x_{n}\}$是有界序列. 由引理3.2可知,对于任意的$i\in I$, $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-S_{i}x_{n}\| =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{i}x_{n}\|=0. $$ 因为$T_{1}$是半紧的, 且$laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{1}x_{n}\|=0$, 故存在一个子列$\{x_{n_{k}}\}\subset\{x_{n}\}$,使得当$k\rightarrow \infty$时,$x_{n_{k}}\rightarrow p\in K$. 由$T_{i}$ 和 $S_{i}$的连续性,我们得到,对于任意的$i\in I$,$\|T_{i}p-p\|=0$ 以及$\|S_{i}p-p\|=0$ . 这表明,$p\in F$,由引理 3.1知, $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-p\|$存在,所以 $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-p\|=0$. 证毕.

定理 4.2 在引理 3.2 的假设条件下,如果$T_{i}$ 或者 $S_{i} (i\in I)$ 中有一个为全连续的,则由(2.1)式定义的$\{x_n\}$ 强收敛到 $T_{i}$ 和 $S_{i} (i\in I)$的一个公共不动点.

证 不失一般性,不妨设$T_{1}$是全连续的. 由引理3.1可知, $\{x_{n}\}$是有界序列,所以存在一子列 $\{T_{1}x_{n_{k}}\}\subset \{T_{1}x_{n}\} $ 使得,当$k\rightarrow\infty$, 有$T_{1}x_{n_{k}}\rightarrow p\in K$. 此外,由引理 3.2, 对于任意的$i\in I$, $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-S_{i}x_{n}\|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-T_{i}x_{n}\|=0.\nonumber $$ 所以, \begin{eqnarray} \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|x_{n_{k}}-S_{i}x_{n_{k}}\|=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|x_{n_{k}}-T_{i}x_{n_{k}}\|=0. (4.1) \end{eqnarray} 由$\|x_{n_{k}}-p\|\leq \|x_{n_{k}}-T_{1}x_{n_{k}}\|+\|T_{1}x_{n_{k}}-p\|$ 可知$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\|x_{n_{k}}-p\|=0$. 由(4.1)式以及$T_{i}$ 和 $S_{i}$连续性,对于所有的$i\in I$, 有$\|T_{i}p-p\|=0$和$\|S_{i}p-p\|=0$,也就是$p\in F$. 而且,再由引理 3.1知,$laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-p\|$存在. 所以 $laystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-p\|=0$. 证毕. 以下给出几个弱收敛定理.

定理 4.3 在引理 3.2 的假设条件下, 如果$X$具有Fr$\acute{e}$chet 可微范数,则由(2.1)式定义的$\{x_n\}$ 弱收敛到 $T_{i}$ 和 $S_{i} (i\in I)$的一个公共不动点.

证 由引理 3.1,$\{x_{n}\}$有界. 因为$X$是自反的,则存在一子列$\{x_{n_{k}}\}\subset\{x_{n}\}$,当$k\rightarrow\infty$,有$\{x_{n_{k}}\}$ 弱收敛到$p\in K$. 由引理 3.2,可得 $$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\|x_{n_{k}}-S_{i}x_{n_{k}}\|=\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\|x_{n_{k}}-T_{i}x_{n_{k}}\|=0,\forall i\in I.$$ 再由引理 2.2 可知,$p\in F$.

下面证明$\{x_{n}\}$弱收敛到$p$. 假设存在另一子列$\{x_{n_{j}}\}\subset\{x_{n}\}$,使得 $\{x_{n_{j}}\}$ 弱收敛到$q\in K.$ 则,按上面同样的方法,我们可以证明$q\in F$. 所以$p,q\in F\bigcap W_{w}(x_{n})$. 由引理 3.4可知, $$\|p-q\|^{2}=\langle p-q,j(p-q)\rangle =0.$$ 因此,$p=q$. 故$\{x_{n}\}$ 弱收敛到$p$. 证毕.

定理 4.4 在引理 3.2 的假设条件下, 如果$X$的对偶空间$X^{*}$具有Kadec-Klee 性质, 则由(2.1)式定义的$\{x_n\}$ 弱收敛到 $T_{i}$ 和 $S_{i} (i\in I)$的一个公共不动点.

证 使用与定理 4.3相同的方法, 可以证明存在一子列$\{x_{n_{k}}\}\subset\{x_{n}\}$弱收敛到$p\in F$. 下面证明$\{x_{n}\}$弱收敛到$p$. 假设存在另一子列$\{x_{n_{j}}\}\subset\{x_{n}\}$,使得 $\{x_{n_{j}}\}$ 弱收敛到$q\in K.$ 则同样可得$q\in F$,即$p,q\in F$. 由引理 3.3,对于所有的$t\in[0,1]$, $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|tx_{n}+(1-t)q-p\|$$ 存在. 又因为$ p, q\in W_{w}(x_{n})$,由引理 2.5可知,$p=q$. 则$\{x_{n}\}$ 弱收敛到公共不动点$p$. 证毕.

定理 4.5 在引理 3.2 的假设条件下,如果$X$满足Opial's 条件, 则由(2.1)式定义的$\{x_n\}$ 弱收敛到 $T_{i}$ 和 $S_{i} (i\in I)$的一个公共不动点.

证 因为$X$是一致凸Banach空间,且由引理 3.1可知, 序列$\{x_{n}\}$是有界的, 所以存在一子列$\{x_{n_{j}}\}\subset\{x_{n}\}$弱收敛到某个$p\in K$. 由引理 3.2,对于任意的$i\in I$,有 $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_{n}-S_{i}x_{n}\|=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_{n}-T_{i}x_{n}\|=0.$$ 再由引理 2.2 可知,$p\in F$. 若存在另一子列$\{x_{n_{k}}\}\subset\{x_{n}\}$ 弱收敛到$p_{1}\in K$. 如果$p_{1}\neq p$,由Opial's条件,我们得到 \begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-p\| &=&\limsup_{j\rightarrow\infty}\|x_{n_{j}}-p\|<\limsup_{j\rightarrow\infty}\|x_{n_{j}}-p_{1}\| =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-p_{1}\| \\ &=&\limsup_{k\rightarrow\infty}\|x_{n_{k}}-p_{1}\|<\limsup_{k\rightarrow\infty}\|x_{n_{k}}-p\| =\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|x_{n}-p\|. \end{eqnarray*} 从而得出矛盾. 所以$p=p_{1}$. 因此,$\{x_{n}\}$弱收敛到$p\in F$. 证毕.

注 4.1 本文的主要结果推广和改进了参考文献 ^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]}以及^[18]中相应的结果, 统一了渐近非扩张自映射以及渐近非扩张非自映射的强收敛和弱收敛定理.

例 5.1 设$E=(-\infty,\infty)$,取通常范数$|.|$, 并取$K=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$. 定义映射$S_{1},S_{2},T_{1}, T_{2}: K\rightarrow K$ 如下 $$ S_{1}x= \left\{\begin{array}{ll} x,& x\in[-\frac{1}{2},0),\\[3mm] -x,~~& x\in[0,\frac{1}{2}], \end{array}\right. T_{1}x= \left\{\begin{array}{ll} -x,~~& x\in[-\frac{1}{2},0),\\[3mm] x^{2},~~& x\in[0,\frac{1}{2}],\end{array}\right. $$ $$ S_{2}x= \left\{\begin{array}{ll} x,& x\in[-\frac{1}{2},0),\\[3mm] -x^{2},~~& x\in[0,\frac{1}{2}], \end{array}\right. T_{2}x =\sqrt{1+x^{2}}-1,x\in[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]. $$ 首先,我们证明$S_1,S_2,T_1,T_2$都是非扩张映射. 事实上,当$x,y \in [-\frac{1}{2},0)$时,则有 $$|T_{1}x-T_{1}y|=|x-y|; $$ 当$x,y\in[0,\frac{1}{2}]$时,可知$|x+y|\leq 1$,所以有 $$|T_{1}x-T_{1}y|=|x^{2}-y^{2}|=|x+y||x-y|\leq|x-y|; $$ 当$x\in[-\frac{1}{2},0),y\in[0,\frac{1}{2}]$时,则 $$|T_{1}x-T_{1}y|=|-x-y^2|=|x+y^{2}|\leq|x-y|; $$ 当$x\in[0,\frac{1}{2}],y\in[-\frac{1}{2},0]$时,则 $$|T_{1}x-T_{1}y|=|x^{2}+y|<|x-y|; $$ 这便表明$T_{1}$ 是非扩张映射.

下面证明$T_2$是非扩张映射. 事实上,当$x,y \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$时,有 \begin{eqnarray*} |T_{2}x-T_{2}y|&=&|\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+y^{2}}| =\frac{|x^{2}-y^{2}|}{|\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}|}\nonumber\\ &\leq&|x^{2}-y^{2}|\leq|x-y|.\nonumber \end{eqnarray*} 类似地,可以证明$S_{1},S_{2}$也是非扩张映射. 因此, $S_1,S_2,T_1,T_2$都是具有$\{k_n=1\}$的渐近非扩张映射.

下面证明映射$S_{1},T_{1}$满足如下条件 $$ |x-T_{1}y|\leq|S_{1}x-T_{1}y|, \forall x,y\in K. (5.1) $$

情形 1 若 $x,y\in [-\frac{1}{2},0)$,则有 $$|x-T_{1}y|=|S_{1}x-T_{1}y|.$$

情形 2 若$x,y\in [0,\frac{1}{2}]$,则有 $$|x-T_{1}y|=|x-y^{2}|\leq|-x-y^{2}|=|S_{1}x-T_{1}y|.$$

情形3 若$x\in [-\frac{1}{2},0),y\in [0,\frac{1}{2}]$,则有 $$|x-T_{1}y|=|x-y^{2}|=|S_{1}x-T_{1}y|.$$

情形 4 若$x\in [0,\frac{1}{2}],y\in [-\frac{1}{2},0)$,则有 $$|x-T_{1}y|=|x-(-y)|=|x+y|\leq|x-y|=|-x-(-y)|=|S_{1}x-T_{1}y|.$$ 因此,(5.1)式成立. 类似地,可以证明$S_{2},T_{2}$ 同样满足 $$ |x-T_{2}y|\leq|S_{2}x-T_{2}y|, \forall x,y\in K.\nonumber $$

假设对于一切的$n\geq 1$, $$\alpha_{n}=\frac{4}{5}-\frac{1}{6n^{2}}, \beta_{2n}=\frac{1}{6n},\beta_{2n-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6n+1}.$$ 则,当$T_{1},T_{2}$是自映射时,定理 4.1 的条件都满足. 所以,由 (2.2) 式定义的序列$\{x_n\}$强收敛到 0.

为了再给出强收敛的另外一个例子,我们先证明如下命题.

命题 5.1 设$X$ 是Hilbert 空间,$C=\{x\in X:\|x\|\leq r\}$, 其中$r>0$,定义映射 $P:X\rightarrow C $如下 $$Px=\left\{\begin{array}{ll} x,& x\in C,\\ [2mm] \frac{rx}{\|x\|},& x\in X\setminus C. \end{array}\right.$$ 则 $P:X\rightarrow C $ 是非扩张映射.

证 设$x,y\in X$,记$\widetilde{x}=Px$,$\widetilde{y}=Py$, 对于所有的$z\in C$ 及 $0<t<1$,我们有 $$\|x-(tz+(1-t)\widetilde{x})\|^{2}\geq\|x-\widetilde{x}\|^{2}. (5.2)$$

事实上,如果$x\in C$,有$\widetilde{x}=x$,所以 (5.2)式成立. 如果$x\notin C$,对于任意的$z\in C$,有 \begin{eqnarray*} \|x-z\|-\|x-\widetilde{x}\| &=&\|x-z\|-\|x-\frac{rx}{\|x\|}\|\nonumber\\ &=&\|x-z\|-(1-\frac{r}{\|x\|})\|x\|\nonumber\\ &\geq&\|x\|-\|z\|-\|x\|+r\nonumber\\ &=&r-\|z\|\geq 0.\nonumber \end{eqnarray*} 显然$C$ 是凸的,所以对于任意的$z\in C$,$0<t<1$,有 $tz+(1-t)\widetilde{x}\in C$. 由上面的不等式可知, $$\|x-(tz+(1-t)\widetilde{x})\|\geq\|x-\widetilde{x}\|.$$ 这就表明(5.2)式成立. 由(5.2)式,有 $$\langle x-\widetilde{x},\widetilde{x}-z\rangle\geq-\frac{t}{2}\|z-\widetilde{x}\|^{2}.$$ 当$t\rightarrow 0^{+}$时,可以得到 $$\langle x-\widetilde{x},\widetilde{x}-z\rangle\geq0.$$ 特别地, 令$z=\widetilde{y}$,有 $$\langle x-\widetilde{x},\widetilde{x}-\widetilde{y}\rangle\geq0.$$ 进一步可以得到 $$\langle x,\widetilde{x}-\widetilde{y}\rangle\geq\langle \widetilde{x},\widetilde{x}-\widetilde{y}\rangle. (5.3)$$ 注意到 $$\|y-(tz+(1-t)\widetilde{y})\|^{2}\geq\|y-\widetilde{y}\|^{2}.$$ 按上述方法,我们得到 $$\langle y-\widetilde{y},\widetilde{y}-z\rangle\geq0.$$ 特别地, 如果$z=\widetilde{x}$,有 $$\langle y-\widetilde{y},\widetilde{y}-\widetilde{x}\rangle\geq0.$$ 因此 $$\langle -y,\widetilde{x}-\widetilde{y}\rangle\geq-\langle \widetilde{y},\widetilde{x}-\widetilde{y}\rangle. (5.4)$$ 由(5.3) 和(5.4)式,有 $$\|\widetilde{x}-\widetilde{y}\|^{2}\leq \langle x-y,\widetilde{x}-\widetilde{y}\rangle\leq \|x-y\|\|\widetilde{x}-\widetilde{}y\|.$$ 所以 $$\|Px-Py\|\leq\|x-y\|.$$

例 5.2 设$X=R^{n}$,并取通常范数$\|\cdot \|$, $C=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$. 对任意的$x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\in C$, 定义两个映射$T_{1},T_{2}:C\rightarrow X$如下 $$T_{1}x=(1-x_{1},-x_{2},\cdots,-x_{n})$$ 和 $$T_{2}x=(1-x_{1},0,\cdots,0).$$ 则 $$\|T_{1}x-T_{1}y\|=\|x-y\|,~~ \|T_{2}x-T_{2}y\|\leq\|x-y\|,~~\forall x,y \in C.$$ 所以, $T_{1},T_{2}$ 是渐近非扩张映射,其中$\{k_n=1\}$. 定义映射$P:X\rightarrow C$ 如下 $$Px=\left\{\begin{array}{ll} x,& x\in C,\\ [2mm] \frac{x}{\|x\|},& x\in X\setminus C. \end{array}\right.$$ 则由命题 5.1可知,$P$ 是非扩张保核收缩映射. 令 $$\alpha_{2n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n^{2}}, \alpha_{2n-1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{n}, \beta_{2n}=\frac{1}{3n},\beta_{2n-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}, \forall n\geq 1.$$ 容易看出,当$S_{1}$ 和 $S_{2}$ 为恒等映射时,定理 4.5条件都满足. 并且注意到在$R^{n}$中,强收敛和弱收敛是等价的. 因此, 由(2.1) 式定义的序列$\{x_{n}\}$ 强收敛到$T_{1},T_{2},S_{1}$,$S_{2}$ 的公共不动点$x=\{\frac{1}{2},0,\cdots,0\}$.