本文主要讨论如下带无限时滞的分数阶脉冲中立型随机微积分方程温和解的适定性

$$\left\{ \begin{array}{ll} D_{t}^{\alpha}[x(t)+f(t,x_{t})]=Ax(t)+\int_{0}^{t}K(t-s)x(s){\rm d}s+g(t,x_{t}) +h(t,x_{t})\frac{{\rm d}W(t)}{{\rm d}t},~t_k\ne t\in J,\\ [2mm] \Delta x(t_k)=x(t_{k}^{+})-x(t_{k}^{-})=I_k(x_{t_k}),t=t_k, k=\{1,\cdots,m\}=:\overline{1,m},\\ x_0=\varphi\in{{\cal B}},x'(0)= 0,J:=[0,T],T>0, \end{array} \right. (1.1)$$ 其中 $D_{t}^{\alpha}$,$\alpha\in(1,2)$ 是指 Caputo 型 $\alpha$ 阶微分 $$D_{t}^{\alpha}f(t) :=\int_{0}^{t}g_{n-\alpha}(t-s)\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}s^n}f(s){\rm d}s,$$ 这里 $n$ 是大于或等于 $\alpha$ 的最小整数,$g_{\vartheta}(t) :=\frac{t^{\vartheta-1}}{\Gamma(\vartheta)},t>0,\vartheta>0$. 在方程 (1.1) 中, 状态 $x(\cdot)$ 取值于一个实可分 Hilbert 空间 ${\Bbb H}$; $A:D(A)\subset{\Bbb H}\rightarrow{\Bbb H}$ 是 $\alpha$ 预解算子 $\{R_{\alpha}(t)\}_{t\geq 0}$ 的无穷小生成元, $K(t):D(K(t))\subset{\Bbb H}\rightarrow{\Bbb H}$ 是一个有界线性算子. 对于 $t\geq 0$ 和时滞函数 $x_t:(-\infty,0]\rightarrow {\Bbb H}$, 我们有 $x_{t}(\theta)=x(t+\theta)$,且取值于相空间 ${\cal B}$ (在本文第二节中有关于该空间的详细介绍). 假设 $f,g : J\times {\cal B}\rightarrow{\Bbb H}$, $h : J\times {\cal B}\rightarrow {\mathcal L}_{2}^{0}$, $I_k:{\cal B}\rightarrow {\Bbb H}$,$k=\overline{1,m}$ 是 在后面说明的适当函数. 此外,令 $0=t_0<t_1<\cdots<t_m<t_{m+1}=T$ 为一些预先给定的点,$x(t_k^{-})$ 和 $x(t_k^{+})$ 分别表示 $x(t)$ 在 $t=t_k$ 处的左右极限,$\Delta x(t_k)=x(t_{k}^{+})-x(t_{k}^{-})$ 表示函数 $x$ 在 $t_k$ 时的跳高. 初始值 $\varphi=\{\varphi(t):t\in(-\infty,0]\}$ 是一个与布朗运动 $W$ 独立的,具有有限二阶矩, ${\mathcal F}_{0}$ -适应的 ${\cal B}$ -值随机过程.

近年来,关于预解算子的脉冲中立型偏微分方程或微积分方程的适定性研究 已成为科学家广泛关注的热门领域. 这些方程可应用于物理、化学、 生物学、医学、经济学、社会科学等领域,参考文献^{[1, 2, 3, 4]} 及其中的参考文献. 除了脉冲的影响,无穷时滞对状态方程的影响在最近几年也得到极大关注, 由于解的性质依赖于相空间 ${\cal B}$ (最早由 Hale 和 Kato^[5] 定义) 的选择. 关于带无穷时滞的泛函微分方程的基础理论,详见文献^[6]. 此外, 在理工的许多领域大家对随机泛函微积分方程结合脉冲的影响越来越感兴趣, 可以参见文献^{[7, 8]} 及其中的参考文献.

另一方面,分数阶发展方程和微积分方程 (其中对时间的整数阶导数换成了 分数阶导数) 引起了很多研究者的极大兴趣. 此类方程被应用于 粘弹性、力学、电化学、 控制理论、多孔介质理论、电磁等^{[9, 10]}. 关于上面方程的适定性已有许多作者研究 (参见文献^{[11, 12, 13, 14]} 及其中的参考文献). 之前文献的主要是对确定模型进行适定性研究,但 在自然以及人造系统中随机扰动是不可 避免的,因而我们必须将确定模型转成随机的. 关于带无限时滞的分数阶随机微分方程,我们建议读者参考文献^{[15, 16]}. 本文讨论方程 (1.1) 在 Lipschitz 和非 Lipschitz 条件下, 通过 Sadovskii 不动点定理以及 $\alpha$ -预解算子, 我们建立了方程 (1.1) 温和解的适定性. 我们的主要结果依赖于使 Hilbert 空间 ${\Bbb H}$ 上的强连续预解算子 $\{R_{\alpha}(t),t\geq0\}$. 在 Banach 空间中, $\alpha$ -预解算子一般不满足半群的性质,我们使用由 Agarwal 等人^[11] 和 De Andrade 和 Dos Santos^[13] 建立的更一般的理论得到本文章的一些结论.

本文的结构如下. 第 2 节我们回忆了一下关于 Weiner 过程、 确定微积分方程和 相空间 ${\cal B}$ 的一些概念及基本的理论. 第 3 节和第 4 节给出本文的结论及证明. 第 5 节给出一个应用的例子. 最后一节总结了全文.

在本节中,我们简要地给出一些预备知识, 详细描述可以参考文献^{[5, 11, 13, 17]}.

假设 $({\Bbb H},\|\cdot\|_{{\Bbb H}},\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 和 $({\Bbb K},\|\cdot\|_{{\Bbb K}},\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 是两个可分Hilbert空间,

$${\cal L}({\Bbb K};{\Bbb H}) =\{\mbox{ 有界线性算子从 ${\Bbb K}$ 到 ${\Bbb H}$ 赋以范数} \|\cdot\|\}.$$ 设 $(\Omega,{\cal F}$,$\{{\mathcal F}_{t}\}_{t\geq 0}$,$\mathbf{P})$ 带流概率空间,其中 $\{{\mathcal F}_{t}\}_{t\geq 0}$为由 Wiener 过程 $W=(W(t))_{t\geq 0}$ 所生成的自然$\sigma$ -代数流,其中 $W=(W(t))_{t\geq 0}$ 是一个 ${\Bbb K}$ -值柱 Wiener 过程,其协方差算子为 $Q\geq0$. 设 $\{e_k\}_{k\geq 1}$ 为 ${\Bbb K}$ 的标准正交基. 记 $$Tr(Q)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lambda_k=\lambda<\infty,$$ 则有 $Qe_k=\lambda_ke_k,k=1,2,\cdots$. 进而有 $$\langle W(t),e\rangle_{{\Bbb K}} =\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sqrt{\lambda_k}\langle e_k,e\rangle_{{\Bbb K}} \beta_k(t),~~e\in {\Bbb K},~ t\geq0,$$ 其中 $\{\beta_k\}_{k\geq 1}$ 为一列相互独立的一维布朗运动. 设 $\psi\in{\cal L}({\Bbb K};{\Bbb H})$,定义 $$\|\psi\|_{{\mathcal L}_{2}^{0}}^{2}=tr(\psi Q\psi^{\ast})= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\|\sqrt{\lambda_{n}}\psi e_{n}\|^{2}.$$ 如果$\|\psi\|_{{{\mathcal L}_{2}^{0}}}<\infty$,则称 $\psi$ 为 $Q$-Hilbert-Schmidt 算子. 以 ${\mathcal L}_{2}^{0}={\mathcal L}_{Q}( {\mathbb K};{\Bbb H})$ 表示 $Q$-Hilbert-Schmidt 算子 $\psi: {\mathbb K}\rightarrow{\Bbb H}$ 的全体所构成的集合,则再由范数 $\|\cdot\|_{{\mathcal L}_{2}^{0}}$ 诱导拓扑下作为 ${\mathcal L}({\Bbb K};{\Bbb H})$ 的子空间 ${{\mathcal L}_{2}^{0}}$ 的完备化是一个 Hilbert 空间.

接下来,我们介绍分数阶微积分方程以及 $\alpha$ -预解算子.

假设 $X,Z$ 是两个Banach空间,$A$ 和 $K(t),t\in J$ 是线性闭算子, 其定义域 ${\cal D}=D(A)$ 在 $X$ 中为稠密的. 记 $[D(A)]$ 表示 $A$被赋以图范数的定义域.

根据定理 2.1^[11],在 $X$上,我们已知道下列抽象分数阶微积分方程

$$\begin{equation} D_{t}^{\alpha}x(t)=Ax(t)+\int_{0}^{t} K(t-s)x(s){\rm d}s, x(0)=x_{0}\in X,x'(0)=0,(2.1) \end{equation}$$

有一个相关的 $\alpha$ -预解算子.

定义2.1 $\{R_{\alpha}(t)\}_{t\in J}$ 为 $X$ 上的有界线性算子称为方程 (2.1) 的 $\alpha$ -预解算子, 如果下列条件满足

(i) 函数 $R_\alpha(\cdot):J\rightarrow{\cal L}(X)$ 是强连续以及 $R_\alpha(0)x=x$ $\forall x\in X$,$\alpha\in(1,2)$;

(ii) $x\in D(A)$,$R_\alpha(\cdot)\in{C}(J;[D(A)])\cap C^{1}(J;X)$ 和

$$D_{t}^{\alpha}R_\alpha(t)x=AR_\alpha(t)x+\int_{0}^{t} K(t-s)R_\alpha(s)x{\rm d}s,$$ $$D_{t}^{\alpha}R_\alpha(t)x=R_\alpha(t)Ax+\int_{0}^{t}R_\alpha(t-s)K(s)x{\rm d}s, t\in J.$$ 对于分数阶微积分方程解的存在性我们建立一些结果如下 $$\begin{equation} D_{t}^{\alpha}x(t)=Ax(t)+\int_{0}^{t} K(t-s)x(s){\rm d}s+\kappa(t), x(0)=x_{0}\in X,\ x'(0)=0,\ \forall t\in J,(2.2) \end{equation}$$ 其中$\kappa\in {\mathcal L}^{1}(J;X)$ 和 $\alpha\in(1,2)$.

定义2.2 函数 $x:J\rightarrow X$ 称为方程(2.2) 的古典解如果 $x\in C(J;[D(A)])\cap C(J;X)$,$g_{n-\alpha}\ast x=\int_{0}^{t}g_{n-\alpha}(t-s)x{\rm d}s\in C^{1}(J;X)$,$t\in J$,$n=1,2$, 以及 $x$ 满足方程(2.2).

定义2.3 设 $\alpha\in(1,2)$,那么我们定义 $\{S_{\alpha}\}_{t\in J}$ 为

$$S_{\alpha}(t)x:=\int_{0}^{t}g_{\alpha-1}(t-s)R_{\alpha}(s){\rm d}s,\forall t\in J.$$

定理2.4 (Agarwal$^{\mbox{\footnotesize [11,定理 3.2]}}$) 设 $x\in D(A)$. 假设$\kappa\in C(J;X)$ 和 $v(\cdot)$ 是方程 (2.2) 的古典解. 那么

$$v(t)=R_{\alpha}(t)x+\int_{0}^{t} S_{\alpha}(t-s)\kappa(s){\rm d}s,\forall t\in J.$$

定义2.5 设 $\kappa\in L^{1}(J;X)$. 函数 $v\in C(J;X)$ 称为方程 (2.2) 的温和解 如果

$$v(t)=R_{\alpha}(t)x+\int_{0}^{t} S_{\alpha}(t-s)\kappa(s){\rm d}s,\forall t\in J.$$

定理2.6 (Agarwal^[11] 或 Dos Santos 等^[18]) 设 $x\in D(A)$ 和 $\kappa\in C(J;X)$. 如果 $\kappa\in {\mathcal L}^{1}(J;[D(A)])$ 或 $\kappa\in W^{1,1}(J;X)$,则方程 (2.2) 的温和解是古典解.

引理2.7 (Dos Santos 等$^{\mbox{\footnotesize [18,引理 2.12]}}$) 设 $\alpha\in (1,2)$. 如果 $R(\lambda_{0}^{\alpha},A)=(\lambda_{0}^{\alpha}-A)^{-1}$ 是紧, 其中 $\lambda_{0}^{\alpha}\in \rho (A)$,则 $R_{\alpha}(t)$ 以及 $S_{\alpha}(t)$ 是 紧 $\forall t>0$.

接下来我们考虑下列条件

(P1) 算子 $A:D(A)\subseteq X\rightarrow X$ 是一闭线性算子, 其域 $[D(A)]$ 在 $X$ 中为稠密的. 设$\alpha\in (1,2)$,对于一些 $\phi_{0}\in (0,\frac{\pi}{2}]$,$\phi<\phi_0$,存在正常数 $C_0=C_{0}(\phi)$ 使得 $\lambda\in\rho(A)$, $\forall\lambda\in\Sigma_{0,\alpha\beta}$$=\{\lambda\in\mathbb C:$$\lambda\ne 0,$$|{\arg}(\lambda)|<\alpha\beta\},$ 其中 $\beta=\phi+\frac{\pi}{2}$ 以及 $\|R(\lambda,A)\|\leq\frac{C_0}{|\lambda|}$ $\forall\lambda\in\Sigma_{0,\alpha\beta}.$

(P2) $\forall t\in J$,$K(t):D(K(t))\subseteq X\rightarrow X$ 是一闭线性算子,$D(A)\subseteq D(K(t))$ 和 $K(\cdot)x$ 是强可测在 $(0,\infty)$ 上 $\forall x\in D(A)$. $\exists k(\cdot)\in L_{loc}^{1}(\mathbb R^{+})$ 使得 $\widehat{k}(\lambda)$ 存在对于 $Re(\lambda)>0$和$\|K(t)x\|\leq k(t)\|x\|_1$ $\forall t>0$ 以及 $x\in D(A)$. 此外,价值函数算子$\widehat{K}: \Sigma_{0,\frac{\pi}{2}}\rightarrow {\mathcal L}([D(A)],X)$ 有解析推广(仍记为 $\widehat{K}$)到 $\Sigma_{0,\beta}$ 使得 $\|\widehat{K}(\lambda)x\|\leq \|\widehat{K}(\lambda)\|\|x\|_1$ $\forall x\in D(A)$ 和 $\|\widehat{K}(\lambda)\|=O(\frac{1}{|\lambda|})$, 当 $|\lambda|\rightarrow \infty.$

(P3) 存在一个子空间 $D\subseteq D(A)$在$[D(A)]$ 中为稠密的以及正常数 $C_{i},i=1,2,$ 使得 $A(D)\subseteq D(A)$,$\widehat{B}(\lambda)(D)\subseteq D(A)$, $\|A\widehat{K}(\lambda)x\|\leq C_{1}\|x\|$,$\forall x\in D$ 以及 $\forall\lambda\in\Sigma_{0,\beta}.$

在接下来的结果我们记 $(-A)^{\beta}$ 为算子 $-A$ 的幂 (参见文献^[19]). 由文献^[19],[引理 6.3]知 存在一个常数 $C$ 使得 $\|(-A)\|^{\beta}\leq C$,$\beta\in^{[0, 1]}$.

引理 2.8 (De Andrade^[13],引理 3.1) 假设条件(P1)-(P3) 成立. 设 $\alpha\in (1,2)$ 和 $\beta\in (0,1)$ 使得 $\alpha\beta\in(0,1)$,则 $\forall t>0$ 存在正常数 $C$ 使得

$$\|(-A^{\beta})R_{\alpha}(t)\|\leq Ce^{rt}t^{-\alpha\beta};$$ $$\|(-A^{\beta})S_{\alpha}(t)\|\leq Ce^{rt}t^{\alpha(1-\beta)-1}.$$

注 2.9 (De Andrade^[13],注 3.2) 如果 $\widehat{B}(\lambda)(-A)^{-\beta}y= (-A)^{-\beta}\widehat{B}(\lambda)y$,$y\in[D(A)]$. 我们可以看见对于 $\beta\in (0,1)$ 和 $x\in [D((-A)^{\beta})]$,那么

$$(-A)^{\beta}R_{\alpha}(t)x=R_{\alpha}(t)(-A)^{\beta}x, (-A)^{\beta}S_{\alpha}(t)x=S_{\alpha}(t)(-A)^{\beta}x.$$

定义 2.10 记空间 ${\mathcal M}^2$ 表示由 ${\mathcal F}_{t}$ -适应可测, ${\Bbb H}$ -值随机过程 $x=x(t)$,$t\in J$ 的全体所构成的集合.

(i) 对于$k=\overline{1,m}$,$x$ 在$t\ne t_k$ 处是连续的,$x(t_{k}^{-})=x(t_{k}^{})$ 和 $x(t_{k}^{+})$ 存在:

(ii) $\forall x\in {\mathcal M}^2$,

$$\|x\|_{{\mathcal M}^2}:=\Big(\sup_{t\in J}{\bf E}\|x(t)\|^{2}\Big)^{\frac{1}{2}}.$$ 那么,空间 ${\mathcal M}^2$ 赋以上范数构成为一个 Banach 空间 (参见文献[20,引理 2.6]).

下文中,以 ${\mathcal L}_{2}(\Omega,{\Bbb H})$表示强可测, ${\Bbb H}$ -值的平方可积随机变量的全体所构成的集合. 在范数 $\|x\|_{{\mathcal L}^{2}}=\big({\bf E}\|x\|^{2}\big)^{\frac{1}{2}}$下, ${\mathcal L}_{2}(\Omega,{\Bbb H})$ 是一 Banach 空间.

为简单起见,记 $t_0=0$,$t_{m+1}=T$. 对于 $v\in {\mathcal M}^{2}$, 记 ${\widetilde v}_{k}\in C([t_k,t_{k+1}],{\mathcal L}_{2}(\Omega,{\Bbb H}))$, $k=0,1,\cdots,m$,

$${\widetilde v}_{k}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} v(t),& t\in(t_k,t_{k+1}];\\ v(t_{k}^{+}),& t=t_k. \end{array} \right.$$

此外,对于 $B\subseteq {\mathcal M}^{2}$,记 $\widetilde{B}_{k}=\{\widetilde{v}_{k}:v\in B\},$ $k=0,1,\cdots,m$.

引理 2.11 (Yan$^{\mbox{\footnotesize ^[20],[引理 2.7]}}$) 集合$B\subseteq {\mathcal M}^{2}$在${\mathcal M}^{2}$中为相对紧的充要条件是${\widetilde B}_{k}$在$ C([t_k,t_{k+1}], {\mathcal L}^{2}(\Omega,{\Bbb H}))$,$k=0,1,\cdots,m$中为相对紧的. 在全部文中,为建立${\cal B}$ 空间的公里化体系,文中我们采用基于文献^[5]中的方法. 我们有下列定义

定义 2.12 对于由 $(-\infty,0]$ 到 ${\Bbb H}$ 的 ${\mathcal F}_0$ -可测函数 构成的相空间 ${{\cal B}}((-\infty,0],{\Bbb H})$ (简记 ${\cal B}$) 赋以半范数 $\|\cdot\|_{{\cal B}}$ 满足如下的公理

(A1) 设 $x: (-\infty,T]\rightarrow {\Bbb H}$,$T>0$,满足 $x_0\in {\cal B}$, 则对于 $t\in [0,T]$,下列结论成立

(i) $x_t\in {\cal B}$;

(ii)~ $\|x(t)\|_{{\Bbb H}}\leq L\|x_t\|_{{\cal B}}$;

(iii)~ $\|x_t\|_{{\cal B}}\leq M(t)\sup\limits_{0\leq s\leq t}\|x(s)\|_{{\Bbb H}} +N(t)\|x_0\|_{{\cal B}}$, 其中 $L>0$ 为常数; $M,N:[0,+\infty)\rightarrow[1,+\infty)$,$M(\cdot)$ 是连续的, $N(\cdot)$ 使局部有界的,并且 $M,N$ 与 $x(\cdot)$ 是独立的.

(A2) ${\cal B}$ 是完备的.

注 2.13 定义 2.12中 性质 (iii) 可以换成 [20,引理 2.8]

$$\|x_t\|_{{\cal B}}\leq M_{T}\sup_{s\in J}{\bf E}\|x(s)\|_{{\Bbb H}}+ \widetilde{M}_T{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}},$$ 其中 ${M}_T:=\sup\limits_{s\in J}M(s)$, $\widetilde{M}_T:=\sup\limits_{s\in J}N(s).$

现在,根据定义 2.5,我们给出 系统(1.1) 温和解的定义.

定义 2.14 随机过程 $x:(-\infty,T]\rightarrow{\Bbb H}$, $0< T<+\infty$ 称为系统 (1.1) 的一个温和解如果 $x_0=\varphi\in {\cal B}$, 对于$s\in[0,T)$ 函数$AS_{\alpha}(t-s)f(s,x_s)$以及 $\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,x_\xi){\rm d}\xi$ 为可积使得下列条件满足:

(i) $x(t)$ 为 ${\mathcal F}_{t}$ -可适应以及 $\{x_t:t\in J\}$为 ${\cal B}$ -值的并且 $x(\cdot)|_{(t_k,t_{k+1}]},k=\overline{1,m}$ 为连续的;

(ii) 对于任意的 $t\in J$,$x(t)$ 满足如下积分方程

$$\begin{eqnarray} x(t)&=&R_{\alpha}(t)[\varphi(0)+f(0,\varphi)]-f(t,x_{t})-\int_{0}^{t} AS_{\alpha}(t-s)f(s,x_s){\rm d}s\nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,x_\xi){\rm d}\xi{\rm d}s +\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,x_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&+\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)h(s,x_{s}){\rm d}W(s) +\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)I_k(x_{t_k});(2.3) \end{eqnarray}$$

(iii) $\Delta x|_{t=t_k}=I_k(x_{t_k})$,$k=\overline{1,m}$.

下面给出本文中将要用到的假设条件.

(H1) 下列条件满足

(i) 对于 $x\in [D((-A)^{\beta})]$,$K(\cdot)x\in C(J,{\Bbb H})$;

(ii) 存在函数 $\mu(\cdot)\in {\mathcal L}^{1}(J,\mathbb R^{+})$ 以及 $0\leq s<t\leq T$ 使得

$$\|K(s)S_{\alpha}(t)\|_{{\mathcal L}([D((-A)^{\beta})], {\Bbb H})}\leq M\mu(s)t^{\alpha\beta-1}.$$

(H2) 函数 $f(\cdot)$ 在 $(-A)^{\beta}$ 中取值的, $f:J\times {\cal B}\rightarrow[D((-A)^{\beta})]$ 为连续的并且存在正常数 $L_f$ 使得 $\forall (t_i,\nu_i)\in J\times{{\cal B}},i=1,2,$

$${\bf E}\|(-A)^{\beta}f(t_{1},\nu_{1})-(-A)^{\beta}f(t_2,\nu_2)\|^2\leq L_f(|t_1-t_2|^2+\|\nu_1-\nu_2\|_{{\cal B}}^{2}).$$

(H3) 函数 $g:J\times {\cal B}\rightarrow {\Bbb H}$ 满足如下性质

(i) 对任意的 $\nu\in{\cal B}$,函数 $g(\cdot,\nu):J\rightarrow {\Bbb H}$ 为强连续的;

(ii) 对任意的 $t\in J$,函数$g(t,\cdot):{\cal B}\rightarrow {\Bbb H}$ 为连续的;

(iii) 对任意的 $(t,\nu)\in J\times{\cal B}$,存在可积函数 $\eta_g:J\rightarrow [0,\infty)$ 以及一个非降连续函数 $\Psi_g:[0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ 使得

$${\bf E}\|g(t,\nu)\|^2\leq \eta_g(t)\Psi_g(\|\nu\|_{{\cal B}}^{2}).$$

(H4) $\forall s,t\in J,t\geq s$,$r>0$,在 ${\Bbb H}$ 上, 集 $\{g(s,\nu):s\in[0,t],\|\nu\|_{{\cal B}}^{2}\leq r\}$ 为有界的.

(H5) 函数 $h:J\times {{\cal B}}\rightarrow{\mathcal L}_{2}^{0}$ 满足如下条件

(i) 对任意的 $\nu\in{{\cal B}}$,函数 $h(\cdot,\nu):J\rightarrow {\mathcal L}_{2}^{0}$ 为强连续的;

(ii) 对几乎所有的 $t\in J$,函数 $h(t,\cdot):{{\cal B}}\rightarrow{\mathcal L}_{2}^{0}$ 为连续的;

(iii) 对任意的 $(t,\nu_i)\in J\times{{\cal B}},i=1,2,$ 存在一个正常数 $M_h$ 使得

$${\bf E}\|h(t,\nu_1)-h(t_2,\nu_2)\|_{{\mathcal L}_{2}^{0}}^{2} \leq M_h\|\nu_1-\nu_2\|_{{\cal B}}^{2}.$$

(H6) 函数 $h:J\times {{\cal B}}\rightarrow{\mathcal L}_{2}^{0}$ 满足如下条件

(i) 对任意的 $\nu\in{\cal B}$,函数 $h(\cdot,\nu):J\rightarrow {\mathcal L}_{2}^{0}$ 为强连续的;

(ii) 对几乎所有的 $t\in J$,函数 $h(t,\cdot):{{\cal B}}\rightarrow{\mathcal L}_{2}^{0}$ 为连续的;

(iii) 存在可积函数 $\zeta_h:J\rightarrow [0,\infty)$ 和一个非降连续函数 $\Psi_h:[0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ 使得对任意的 $(t,\nu)\in J\times{\cal B}$ 有

$${\bf E}\|h(t,\nu)\|_{{\mathcal L}_{2}^{0}}^{2}\leq \zeta_h(t)\Psi_h(\|\nu\|_{{\cal B}}^{2}).$$

(H7) 函数列 $I_k\in C({\cal B},{\Bbb H})$ 并且存在正常数列 $Q_k$, $k=\overline{1,m}$ 使得

$${\bf E}\|I_k(x)-I_k(y)\|^{2}\leq Q_k\|x-y\|_{{\cal B}}^{2},x,y\in{{\cal B}}, k=\overline{1,m}.$$

(H8) 函数列 $I_k:{\cal B}\rightarrow{\Bbb H}$ 为全连续的并且存在非降连续函数列 $\Omega_k:[0,\infty) \rightarrow (0,\infty),$ $k=\overline{1,m}$ 使得

$${\bf E}\|I_k(x)\|^{2}\leq \Omega_k(\|x\|_{{\cal B}}^{2}),x\in{{\cal B}}, k=\overline{1,m}.$$

注 2.15 对任意的 $t\in J$,我们可以假设存在 $M>0$ 使得 $\|R_{\alpha}(t)\|\leq M$ 以及 $\|S_{\alpha}(t)\|\leq M$.

在这部分的结尾,我们给出 Sadovskii 不动点定理.

引理 2.16 (Sadovskii^[21]) 设 $\Theta$ 为Banach空间 ${\Bbb H}$ 中的一凝聚算子, 即 $\Theta$ 是连续的,将 ${\Bbb H}$ 中的有界集映射到有界集,并且对于 ${\Bbb H}$ 中满足 $\mu(A)>0$ 的任意有界集 $A$ 有 $\mu(\Theta(A))\leq \mu(A)$. 设 $B$ 为 ${\Bbb H}$ 中的闭凸有界子集满足 $\Theta(B)\subset B$,则 $\Theta$ 在 ${\Bbb H}$ 中有不动点 (其中 $\mu(\cdot)$ 表示 Kuratowski 非紧测度).

本文的第一个主要结论是如下定理.

定理 3.1 设假设(H1)-(H5),(H7) 成立. 如果

$$\begin{eqnarray} 1&> &16M_{T}^{2}\bigg[2L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2}+\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta}} {2\alpha\beta-1}\bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg)\nonumber\\ &&+M^2\bigg(TM_g+M_hTr(Q)+2m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg) \bigg],(3.1) \end{eqnarray}$$ 则 在 $J$ 上存在系统 (1.1) 的一个温和解.

证 给空间$\Upsilon=\{u\in {\mathcal M}^2:u(0)=\varphi(0)\}$ 赋以一致收敛拓扑以及定义算子 $\Pi:\Upsilon\rightarrow\Upsilon$

$$\begin{eqnarray*} (\Pi x)(t)&=&R_{\alpha}(t)[\varphi(0)+f(0,\varphi)]-f(t,\overline{x}_{t}) -\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,\overline{x}_\xi){\rm d}\xi {\rm d}s +\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&+\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)h(s,\overline{x}_{s}){\rm d}W(s) +\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)I_k(\overline{x}_{t_k)},t\in J, \end{eqnarray*}$$ 其中 $\overline{x}$ 满足 $\overline{x}_0=\varphi$以及$\overline{x}=x|_J$. 我们很容易看见 $\Pi\Upsilon\subset \Upsilon.$

对于 $r>0$,令

$$B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon):=\{y\in\Upsilon:\mathbf{E} \|y\|^2\leq r\},$$ 其中$\overline{\varphi}(\theta)=\varphi(0)$ 在 $J$ 上.

由引理 2.8,注 2.13,假设 (H2) 以及 H\"{o}lder 不等式,我们有

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\bigg\|^{2} \\ & \leq& {\bf E}\bigg[\int_{0}^{t}\big\|(-A)^{1-\beta}S_{\alpha}(t-s) \big\| \big \|(-A)^{\beta}f(s,\overline{x}_{s})\big\|{\rm d}s\bigg]^{2}\\ &\leq &2M^{2}\int_{0}^{t}(t-s)^{2(\alpha\beta-1)}{\rm d}s\bigg(\int_{0}^{t} {\bf E}\|(-A)^{\beta}f(s,\overline{x}_{s})-(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}{\rm d}s +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}T\bigg)\\ &\leq&\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta-1}}{2\alpha\beta-1}\bigg(L_{f}\int_{0}^{t}\big(s^2 +\|\overline{x}_{s}-\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big){\rm d}s+\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}T\bigg)\\ &\leq&\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1}\Big(L_{f}\big(T^2+4M_{T}^{2}r +4\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+2\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big) +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}\Big), \end{eqnarray*}$$ 由 Bochner 定理^[22],我们推断 $AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_s)$ 为可积的在$[0,T)$ 上. 所以, $\Pi$ 是定义好在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 上.

引理 3.2 在定理 3.1 的假设下,则存在 $r>0$ 使得 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big)\subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon).$

证 若不然,则对任意的正常数 $r>0$ 以及 $t^r\in J$,存在函数 $x^{r}(t^r)\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 使得 ${\bf E}\|\Pi x^{r}(t^r)-\varphi(0)\|^2>r$. 然而,由引理 2.8, 注 2.13,注 2.15,假设 (H1)-(H5),({H7}), H\"{o}lder 不等式 以及 Burkholder-Davis-Gundy 不等式,我们有

$$\begin{eqnarray} r&<&{\bf E}\|\Pi x^{r}(t^r)-\varphi(0)\|^2\leq 8{\bf E}\|R_{\alpha}(t^r)\varphi(0)-\varphi(0)\|^2 +8{\bf E}\|R_{\alpha}(t^r)f(0,\varphi)-f(0,\varphi)\|^{2}\nonumber\\ &&+8\|(-A)^{-\beta}\|^2{\bf E}\|(-A)^{\beta}f(t^r,\overline{x^r}_{t^r}) -(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}+16M^{2} \int_{0}^{t^r}(t^r-s)^{2\alpha\beta-2}{\rm d}s\nonumber\\ &&\times\bigg(\int_{0}^{t^r}{\bf E}\|(-A)^{\beta}f(s^r, \overline{x^r}_{s^r})-(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}{\rm d}s +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}T\bigg)\nonumber\\ &&+16M^2T\int_{0}^{t^r}\bigg[\int_{0}^{s}\mu^{2}(s-\xi) (t^r-s)^{2\alpha\beta-2}{\rm d}\xi\nonumber\\ &&\times\bigg(\int_{0}^{s}{\bf E}\|(-A)^{\beta}f(\xi^r, \overline{x^r}_{\xi^r})-(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}{\rm d}\xi +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}T\bigg)\bigg]{\rm d}s\nonumber\\ &&+8M^2T\int_{0}^{t^r}{\bf E} \|g(s^r,\overline{x^r}_{s^r})\|^2{\rm d}s +8M^2Tr(Q)\int_{0}^{t^r}{\bf E} \|h(s^r,\overline{x^r}_{s^r})\|_{ {\mathcal L}_{2}^{0}}^{2}{\rm d}s\nonumber\\ &&+16M^2\sum\limits_{0<t_k<T}{\bf E}\big(\|I_k(\overline{x^r}_{t_k}) -I_{k}(0)\|^{2}+\|I_{k}(0)\|^2\big)\nonumber\\ &\leq& 16(M^2+1)\big[L^2{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2} +L_f\|(-A)^{-\beta}\|^{2}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big]\nonumber\\ &&+8\|(-A)^{-\beta}\|^2L_{f}\big(T^2+4M_{T}^{2}r +4\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2} +2\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big)\nonumber\\ &&+\frac{ 16M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1}\Big(L_{f}\big(T^2 +4M_{T}^{2}r+4\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+2\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big) +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}\Big)\nonumber\\ &&+\frac{ 16M^{2}T^{2\alpha\beta+1}}{2\alpha\beta-1} \Big(L_{f}\big(T^2+4M_{T}^{2}r+4\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+2\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big) +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}\Big)\nonumber\\ &&\times \int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi +16M^2TM_g(M_{T}^{2}r+\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}) +16M^2M_hTr(Q)\big(M_{T}^{2}r+\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big)\nonumber\\ &&+16M^{2}m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\big(2M_{T}^{2}r +2\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+\|I_{k}(0)\|^2\big).(3.2) \end{eqnarray}$$ (3.2) 式两边同除以 $r$ 并令 $r\rightarrow \infty$,则有 $$\begin{eqnarray*} 1&<& 16M_{T}^{2}\bigg[2L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg)\\ &&+M^2\bigg(TM_g+M_hTr(Q)+2m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg) \bigg], \end{eqnarray*}$$ 这和 (3.1)式相矛盾. 因此,存在正常数 $r$ 使得 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big)\subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon).$

下文中,令 $r>0$ 使得 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big)\subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon).$ 以 $r^{\star}$ 和 $r^{\star\star}$ 分别表示常数

$$r^{\star}:=2M_{T}^{2}r+2\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}; r^{\star\star}:=M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{0}^{T}\eta_g(s){\rm d}s.$$ 为了证明 $\Pi$ 是一个凝聚算子,我们将算子 $\Pi$ 分解为 $\Pi=\Pi_1+\Pi_2,$ 其中对任意的 $t\in J$,$\Pi_1,\Pi_2$ 定义在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中分别由下式所确定 $$\begin{eqnarray*} (\Pi_1 x)(t)&=&R_{\alpha}(t)[\varphi(0)+f(0,\varphi)]-f(t,\overline{x}_{t}) -\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,\overline{x}_\xi){\rm d}\xi {\rm d}s\\ &&+\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)h(s,\overline{x}_{s}){\rm d}W(s) +\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)I_k(\overline{x}_{t_k}), \end{eqnarray*}$$ $$(\Pi_2 x)(t)= \int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s.$$

引理 3.3 在定理 3.1 的假设下,则 $\Pi_1$ 是一个压缩映射.

证 设 $u,v\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$, 则由引理 2.8,注 2.13, 假设 (H1),(H2),(H5),(H7),Hølder 不等式,Burkholder-Davis-Gundy 不等式以及对任意的 $t\in J$,有

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf E}\|(\Pi_1 u)(t)-(\Pi_1 v)(t)\|^2\\ &\leq&5\|(-A)^{-\beta}\|^{2} {\bf E}\|(-A)^{\beta}f(t,\overline{u}_t)-(-A)^{\beta}f(t,\overline{v}_t)\|^2\\ &&+5{\bf E}\bigg[\int_{0}^{t}\big\|(-A)^{1-\beta}S_{\alpha}(t-s) \big\| \big\|(-A)^{\beta}f(s,\overline{u}_{s})- (-A)^{\beta}f(s,\overline{v}_{s})\big\|{\rm d}s\bigg]^{2}\\ &&+5{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s) \big[f(\xi,\overline{u}_\xi)-f(\xi,\overline{v}_\xi)\big]{\rm d}\xi{\rm d}s\bigg\|^2\\ &&+5{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)\big[h(s,\overline{u}_{s}) -h(s,\overline{v}_{s})\big]{\rm d}W(s)\bigg\|^2\\ &&+5{\bf E}\bigg\|\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k) \big[I_k(\overline{u}_{t_k})-I_k(\overline{v}_{t_k})\big]\bigg\|^2\\ &\leq&10M_{T}^{2}L_f\|(-A)^{-\beta}\|^{2}\sup_{s\in J}{\bf E}\|\overline{u}(s) -\overline{v}(s)\|^2+\frac{ 10M^{2}M_{T}^{2}L_fT^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \sup_{s\in J}{\bf E}\|\overline{u}(s)-\overline{v}(s)\|^2\\ &&+\frac{ 10M^{2}M_{T}^{2}L_fT^{2\alpha\beta+1}}{2\alpha\beta-1} \int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\sup_{s\in J}{\bf E}\|\overline{u}(s)-\overline{v}(s)\|^2\\ &&+10M^{2}M_hM_{T}^{2}Tr(Q)\sup_{s\in J}{\bf E}\|\overline{u}(s)-\overline{v}(s)\|^2 +10M^{2}M_{T}^{2}m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\sup_{s\in J}{\bf E}\|\overline{u}(s)-\overline{v}(s)\|^2. \end{eqnarray*}$$ 故有 $$\begin{eqnarray*} \|(\Pi_1 u)-(\Pi_1 v)\|_{{\mathcal M}^2}^{2} &\leq&10M_{T}^{2}\bigg[L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg)\\ &&+M^{2}M_hTr(Q)+M^{2}m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg] \|{u}-{v}\|_{{\mathcal M}^2}^{2}. \end{eqnarray*}$$ 由 (3.1)式可知 $\Pi_1$ 为一压缩映射.

引理 3.4 在定理 3.1 的假设下,则 在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中,$\Pi_2$ 是紧的.

证 证明将分为以下 3 步.

第 1 步 $\Pi_2$ 将 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中的有界集映射到其上的有界集.

对任意的 $t\in J,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$,由注 2.13 有 $\|\overline{z}_t\|_{{\cal B}}^{2}\leq r^{\star}$ 以及

$${\bf E}\|(\Pi_2 z)(t)\|^2\leq M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{0}^{T}\eta_g(s){\rm d}s=r^{\star\star},$$ 由此表明第 1 步的结论成立.

第 2 步 $\{\Pi_2 z,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 $J$ 中为等度连续的.

设 $0<\epsilon<t<T$ 和 $0<\delta<\epsilon$ 使得 $\|S_{\alpha}(s_1)-S_{\alpha}(s_2)\|^2\leq\epsilon$, 对于任意的 $s_1,s_2\in [\epsilon,T]$: $|s_1-s_2|\leq\delta$. 那么,对于 $z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 和 $0<l\leq\delta$,$t+l\in J$,我们有

$$\begin{eqnarray} &&{\bf E}\|(\Pi_2 z)(t+l)-(\Pi_2 z)(t)\|^2 \nonumber\\ &\leq&3T\Psi_g(r^{\star}) \int_{0}^{t-\epsilon}\|S_{\alpha}(t+l-s)-S_{\alpha}(t-s)\|^2\eta_g(s){\rm d}s\nonumber\\ &&+6M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{t-\epsilon}^{t}\eta_g(s){\rm d}s+3M^2T\Psi_g(r^{\star}) \int_{t}^{t+l}\eta_g(s){\rm d}s\nonumber\\ &\leq&\frac{3r^{\star\star}\epsilon}{M^2}+3M^2T\Psi_g(r^{\star}) \bigg(2\int_{t-\epsilon}^{t}\eta_g(s){\rm d}s +\int_{t}^{t+l}\eta_g(s){\rm d}s\bigg).(3.3) \end{eqnarray}$$ 故有,对于充分小的 $\epsilon$,(3.3)式的右手边趋于零. 另一方面,$S_{\alpha}(t),t>0$ (参见文献^[18]) 为紧的. 由此表明 $\{\Pi_2 z,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 $J$ 中为等度连续的.

第 3 步 $\Pi_2$ 将 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 映射到 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中的一个准紧集.

设 $z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 以及 $\epsilon$ 为一个正实数使得 $0<\epsilon<t\leq T$ 我们可知

$$(\Pi_{2} z)(t):= \int_{0}^{t-\epsilon}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s +\int_{t-\epsilon}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\in (t-\epsilon)\overline{co({\cal W})}+{\cal U}_{\epsilon},$$ 其中 ${\mathcal W}=\{S_{\alpha}(t-\tau)g(\tau,\nu): \tau\in[0,t-\epsilon],\|\nu\|_{{\cal B}}^{2}\leq r^{\star}\}$, ${co}(\cdot)$ 记为凸包以及 ${\mathcal U}_{\epsilon}=\big\{\int_{t-\epsilon}^{t}S_{\alpha} (t-s)g(s, \overline{x}_{s}){\rm d}s:z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon) \big\}.$ 由 $${\rm diam }({\mathcal U}_{\epsilon})\leq M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{t-\epsilon}^{t}\eta_g(s){\rm d}s.$$ 那么存在任意相对紧的接近集合 $\{(\Pi_2 z)(t),$ $z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$. 故有,集合 $\{(\Pi_2 z)(t),$ $z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中为准紧的.

最后,由假设在 $g$ 上,我们可以推断 $\Pi_2$ 为连续的. 故由 Arzel\'{a}-Ascoli 定理可知算子 $\Pi_2$ 为紧的. 由此 引理 2.16 可知 (1.1) 存在一个温和解. 定理 3.1 证毕.

本文的第二个主要结论是如下定理.

定理 3.5 设假设 (H1)-({H3}),({H6}), ({H7}) 成立. 如果

$$\begin{eqnarray} 1&>& 16M_{T}^{2}\bigg[2L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg) \nonumber\\ &&+M^2 \bigg(T\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty} \inf\frac{\Psi_g(\varepsilon)}{\varepsilon}\int_{0}^{T} \eta_{g}(s){\rm d}s \nonumber\\ &&+Tr(Q)\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty}\inf \frac{\Psi_h(\varepsilon)} {\varepsilon}\int_{0}^{T}\zeta_{h}(s){\rm d}s +2m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg) \bigg],(3.4) \end{eqnarray}$$ 则 在 $J$ 上存在系统 (1.1) 的一个温和解.

证 给空间 $\Upsilon=\{u\in {\mathcal M}^2:u(0)=\varphi(0)\}$ 赋以一致收敛拓扑以及定义算子 $\Pi:\Upsilon\rightarrow\Upsilon$

$$\begin{eqnarray*} (\Pi x)(t)&=&R_{\alpha}(t)[\varphi(0)+f(0,\varphi)]-f(t,\overline{x}_{t}) -\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,\overline{x}_\xi){\rm d}\xi{\rm d}s +\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&+\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)h(s,\overline{x}_{s}){\rm d}W(s) +\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)I_k(\overline{x}_{t_k)}, ~ t\in J, \end{eqnarray*}$$ 其中$\overline{x}$ 满足 $\overline{x}_0=\varphi$ 以及 $\overline{x}=x|_J$. 我们很容易看见 $\Pi\Upsilon\subset \Upsilon.$ 对于$r>0$,令 $$B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon):=\{y\in\Upsilon:\mathbf{E} \|y\|^2\leq r\},$$ 其中$\overline{\varphi}(\theta)=\varphi(0)$ 在 $J$ 上.

如定理 3.1 同样证明,我们可以推断在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中,$\Pi$ 为定义好的.

引理 3.6 在定理 3.5 的假设下,则存在 $r>0$ 使得 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big)\subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon).$

证 若不然,则对任意的正常数 $r>0$ 以及 $t^r\in J$,存在函数 $x^{r}(t^r)\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 使得 ${\bf E}\|\Pi x^{r}(t^r)-\varphi(0)\|^2>r$. 然而,由引理 2.8, 注 2.13,注 2.15,假设 ({H1})-({H3}),({H6}),({H7}), H\"{o}lder 不等式 以及 Burkholder-Davis-Gundy 不等式,我们有

$$\begin{eqnarray} r&<&{\bf E}\|\Pi x^{r}(t^r)-\varphi(0)\|^2\leq 8{\bf E}\|R_{\alpha}(t^r)\varphi(0)-\varphi(0)\|^2 +8{\bf E}\|R_{\alpha}(t^r)f(0,\varphi)-f(0,\varphi)\|^{2}\nonumber\\ &&+8\|(-A)^{-\beta}\|^2{\bf E}\|(-A)^{\beta}f(t^r,\overline{x^r}_{t^r}) -(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}+16M^{2}\int_{0}^{t^r}(t^r-s)^{2\alpha\beta-2}{\rm d}s\nonumber\\ &&\times\bigg(\int_{0}^{t^r}{\bf E}\|(-A)^{\beta}f(s^r,\overline{x^r}_{s^r}) -(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}{\rm d}s +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}T\bigg)\nonumber\\ &&+16M^2T\int_{0}^{t^r}\bigg[\int_{0}^{s}\mu^{2} (s-\xi)(t^r-s)^{2\alpha\beta-2}{\rm d}\xi\nonumber\\ &&\times\bigg(\int_{0}^{s}{\bf E}\|(-A)^{\beta}f(\xi^r, \overline{x^r}_{\xi^r})-(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}{\rm d}\xi +\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}T\bigg)\bigg]{\rm d}s\nonumber\\ &&+8M^2T\int_{0}^{t^r}{\bf E} \|g(s^r,\overline{x^r}_{s^r})\|^2{\rm d}s +8M^2Tr(Q)\int_{0}^{t^r}{\bf E} \|h(s^r,\overline{x^r}_{s^r}) \|_{{\mathcal L}_{2}^{0}}^{2}{\rm d}s\nonumber\\ &&+16M^2\sum\limits_{0<t_k<T}{\bf E}\big(\|I_k(\overline{x^r}_{t_k}) -I_{k}(0)\|^{2}+\|I_{k}(0)\|^2\big)\nonumber\\ &\leq &16(M^2+1)\big[L^2{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+L_f \|(-A)^{-\beta}\|^{2}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big]\nonumber\\ &&+8\|(-A)^{-\beta}\|^2L_{f}\big(T^2+4M_{T}^{2}r+4 \widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2} +2\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}\big)\nonumber\\ &&+\frac{ 16M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \Big(L_{f}\big(T^2+4M_{T}^{2}r+4\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+2\|\varphi \|_{{\cal B}}^{2}\big)+\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi)\|^{2}\Big)\nonumber\\ &&+\frac{ 16M^{2}T^{2\alpha\beta+1}}{2\alpha\beta-1} \Big(L_{f}\big(T^2+4M_{T}^{2}r+4\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+2\|\varphi \|_{{\cal B}}^{2}\big)+\|(-A)^{\beta}f(0,\varphi) \|^{2}\Big)\nonumber\\ && \times\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi +8M^2T\int_{0}^{T}\eta_g(s)\Psi_g(2M_{T}^{2}r +2\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}){\rm d}s+8M^2Tr(Q)\nonumber\\ &&\times\int_{0}^{T}\zeta_h(s)\Psi_h(2M_{T}^{2}r +2\widetilde{M}_{T}^{2}{\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}){\rm d}s \nonumber\\ &&+16M^{2}m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\big(2M_{T}^{2}r+2\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2}+\|I_{k}(0)\|^2\big).(3.5) \end{eqnarray}$$ (3.5) 式两边同除以 $r$ 并令 $r\rightarrow \infty$,则有 $$\begin{eqnarray*} 1&<& 16M_{T}^{2}\bigg[2L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1}\bigg[1 +T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg) \\ &&+M^2 \bigg(T\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty}\inf \frac{\Psi_g(\varepsilon)}{\varepsilon}\int_{0}^{T} \eta_{g}(s){\rm d}s+Tr(Q)\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty}\inf\frac{\Psi_h(\varepsilon)}{\varepsilon} \int_{0}^{T}\zeta_{h}(s){\rm d}s+2m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg) \bigg], \end{eqnarray*}$$ 这和 (3.4)式相矛盾. 因此,存在正常数 $r$ 使得 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big) \subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon).$

文中,令 $r>0$ 使得 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big)\subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon).$ 以 $r^{\star}$ 和 $r^{\star\star}$ 分别表示常数

$$r^{\star}:=2M_{T}^{2}r+2\widetilde{M}_{T}^{2} {\bf E}\|\varphi\|_{{\cal B}}^{2};$$ $$r^{\star\star}: = 2M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{0}^{T}\eta_g(s){\rm d}s +2M^2Tr(Q)\Psi_h(r^{\star})\int_{0}^{T}\zeta_h(s){\rm d}s.$$ 为了证明 $\Pi$ 是一个凝聚算子,我们将算子 $\Pi$ 分解为 $\Pi=\Pi_1+\Pi_2,$ 其中对任意的 $t\in J$,$\Pi_1,\Pi_2$ 定义在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中分别由下式所确定 $$\begin{eqnarray*} (\Pi_1 x)(t)&=&R_{\alpha}(t)[\varphi(0)+f(0,\varphi)] -f(t,\overline{x}_{t})-\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,\overline{x}_\xi){\rm d}\xi{\rm d}s +\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)I_k(\overline{x}_{t_k}), \end{eqnarray*}$$ $$(\Pi_2 x)(t)= \int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s +\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)h(s,\overline{x}_{s}){\rm d}W(s).$$

引理 3.7 在定理 3.5 的假设下,则 $\Pi_1$ 是一个压缩映射.

证 设 $u,v\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$,则由引理 2.8,注 2.13, 假设 ({H1}),({H2}),({H7}),H\"{o}lder 不等式,Burkholder-Davis-Gundy 不等式以及对任意的 $t\in J$,有

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf E}\|(\Pi_1 u)(t)-(\Pi_1 v)(t)\|^2\\ &\leq&4\|(-A)^{-\beta}\|^{2} {\bf E}\|(-A)^{\beta}f(t,\overline{u}_t)-(-A)^{\beta}f(t,\overline{v}_t)\|^2\\ &&+4{\bf E}\bigg[\int_{0}^{t}\big\|(-A)^{1-\beta}S_{\alpha}(t-s) \big\|\big\|(-A)^{\beta}f(s,\overline{u}_{s})- (-A)^{\beta}f(s,\overline{v}_{s})\big\|{\rm d}s\bigg]^{2}\\ &&+4{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s) \big[f(\xi,\overline{u}_\xi)-f(\xi,\overline{v}_\xi)\big] {\rm d}\xi{\rm d}s\bigg\|^2\\ &&+4{\bf E}\bigg\|\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k) \big[I_k(\overline{u}_{t_k})-I_k(\overline{v}_{t_k})\big]\bigg\|^2\\ &\leq&8M_{T}^{2}\bigg[L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg) \\ && +M^{2}m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg] \sup_{s\in J}{\bf E}\|\overline{u}(s)-\overline{v}(s)\|^2. \end{eqnarray*}$$ 故对任意的 $t\in J$,有 $$\begin{eqnarray*} &&\|(\Pi_1 u)-(\Pi_1 v)\|_{{\mathcal M}^2}^{2}\\ &\leq&8M_{T}^{2}\bigg[L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg) +M^{2}m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg] \|{u}-{v}\|_{{\mathcal M}^2}^{2}. \end{eqnarray*}$$ 由 (3.4) 式可知 $\Pi_1$ 为一压缩映射.

引理 3.8 在定理 3.5 的假设下,则 在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中, $\Pi_2$ 是紧的.

证 证明将分为以下 3 步.

第 1 步 $\Pi_2$ 将 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中的有界集映射到其上的有界集. 对任意的 $t\in J,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$,由注 2.13 有 $\|\overline{z}_t\|_{{\cal B}}^{2}\leq r^{\star}$ 以及

$${\bf E}\|(\Pi_2 z)(t)\|^2\leq 2M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{0}^{T}\eta_g(s){\rm d}s +2M^2Tr(Q)\Psi_h(r^{\star})\int_{0}^{T}\zeta_h(s){\rm d}s=r^{\star\star},$$ 由此表明第 1 步的结论成立.

第 2 步 $\{\Pi_2 z,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 $J$ 中为等度连续的. 设 $0<\epsilon<t<T$ 和 $0<\delta<\epsilon$ 使得 $\|S_{\alpha}(s_1)-S_{\alpha}(s_2)\|^2\leq\epsilon$, 对于任意的 $s_1,s_2\in [\epsilon,T]$: $|s_1-s_2|\leq\delta$. 那么,对于 $z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 和 $0<l\leq\delta$,$t+l\in J$,我们有

$$\begin{eqnarray} &&{\bf E}\|(\Pi_2 z)(t+l)-(\Pi_2 z)(t)\|^2\nonumber\\ &\leq&4T\Psi_g(r^{\star})\int_{0}^{t}\|S_{\alpha} (t+l-s)-S_{\alpha}(t-s)\|^2\eta_g(s){\rm d}s\nonumber\\ &&+4Tr(Q)\Psi_h(r^{\star})\int_{0}^{t}\|S_{\alpha}(t+l-s) -S_{\alpha}(t-s)\|^2\zeta_h(s){\rm d}s\nonumber\\ &&+4M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{t}^{t+l}\eta_g(s){\rm d}s +4M^2Tr(Q)\Psi_h(r^{\star})\int_{t}^{t+l}\zeta_h(s){\rm d}s\nonumber\\ &\leq&4T\Psi_g(r^{\star})\epsilon\int_{0}^{t}\eta_g(s){\rm d}s +4Tr(Q)\Psi_h(r^{\star})\varepsilon\int_{0}^{t}\zeta_h(s){\rm d}s\nonumber\\ &&+4M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{t}^{t+l}\eta_g(s){\rm d}s +4M^2Tr(Q)\Psi_h(r^{\star})\int_{t}^{t+l}\zeta_h(s){\rm d}s.(3.6) \end{eqnarray}$$ 故有,对于充分小的 $\epsilon$,(3.6)式的右手边趋于零. 另一方面,$S_{\alpha}(t),t>0$ (参见文献^[18]) 为紧的. 由此表明 $\{\Pi_2 z,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 $J$ 中为等度连续的.

第 3 步 $\Pi_2$ 将 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 映射到 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中的一个准紧集.

对于固定的 $t\in(0,T]$ 以及 $\epsilon\in(0,t)$,在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中,我们定义 算子 $\Pi_{2}^{\epsilon}$

$$(\Pi_{2}^{\epsilon} z)(t):= \int_{0}^{t-\epsilon}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{z}_{s}){\rm d}s +\int_{0}^{t-\epsilon}S_{\alpha}(t-s)h(s,\overline{z}_{s}){\rm d}W(s).$$ 由 $S_{\alpha}(t),t>0$ 的紧性,对任意的 $\epsilon\in(0,t)$,我们可以推断集合 $\{\Pi_{2}^{\epsilon} z,z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 ${\Bbb H}$ 中为相对紧的. 此外,对任意的 $z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$,有 $${\bf E}\|(\Pi_2 z)(t)-(\Pi_{2}^{\epsilon} z)(t)\|^2\leq 2M^2T\Psi_g(r^{\star})\int_{t-\epsilon}^{t}\eta_g(s){\rm d}s+2M^2Tr(Q)\Psi_h(r^{\star}) \int_{t-\epsilon}^{t}\zeta_h(s){\rm d}s. (3.7)$$ 故当 $\epsilon\rightarrow 0$ 时,我们有 (3.7)式 的右手边趋于零. 故有存在任意相对紧的接近集合 $\{(\Pi_2 z)(t),z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$. 由此,集合 $\{(\Pi_2 z)(t),z\in B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\}$ 在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中为准紧的. 最后,由假设在 $g$ 和 $h$ 上,可以推断 $\Pi_2$ 为连续的. 故由 Arzel\'{a}-Ascoli 定理可知算子 $\Pi_2$ 为紧的.

由引理3.8和 引理 2.16 可知方程 (1.1) 存在一个温和解. 定理 3.5 证毕.

本文的第三个主要结论是如下定理.

定理 3.9 设假设 (H1)-({H3}),(H6),(H8) 成立. 如果

$$\begin{eqnarray*} 1&>& 16M_{T}^{2}\Bigg[2L_f\bigg(\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{ 2M^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg[1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg]\bigg) \\ &&+M^2\bigg(T\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty} \inf\frac{\Psi_g(\varepsilon)}{\varepsilon} \int_{0}^{T}\eta_{g}(s){\rm d}s +Tr(Q)\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty} \inf\frac{\Psi_h(\varepsilon)}{\varepsilon}\int_{0}^{T} \zeta_{h}(s){\rm d}s\\ &&+m\sum\limits_{k=1}^{m}\lim_{\varepsilon\rightarrow \infty} \inf\frac{\Omega_k(\varepsilon)}{\varepsilon}\bigg) \Bigg], \end{eqnarray*}$$ 则 在 $J$ 上存在系统 (1.1) 的一个温和解.

证 我们定义算子 $\Pi:\Upsilon\rightarrow\Upsilon$ 如上,那么我们得到 $\Pi\big(B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)\big)\subseteq B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$. 此外,如定理 3.5 同样证明以及注意到我们可以将算子 $\Pi$ 分解为 $\Pi=\Pi_1+\Pi_2+\Pi_3,$ 其中 在 $B_r(\overline{\varphi}|_J,\Upsilon)$ 中,$\Pi_1,\Pi_2,\Pi_3$ 分别由下式所确定

$$\begin{eqnarray*} (\Pi_1 x)(t)&=&R_{\alpha}(t)[\varphi(0)+f(0,\varphi)] -f(t,\overline{x}_{t})-\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)f(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s\nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)f(\xi,\overline{x}_\xi){\rm d}\xi{\rm d}s, \end{eqnarray*}$$ $$(\Pi_2 x)(t)= \int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)g(s,\overline{x}_{s}){\rm d}s +\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)h(s,\overline{x}_{s}){\rm d}W(s),$$ $$(\Pi_3 x)(t)= \sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)I_k(\overline{x}_{t_k}) ,k=\overline{1,m},t\in J,$$

那么,我们可以易证算子 $\Pi_1$ 为压缩的而 $\Pi_2$ 为紧的. 另一方面,由引理 2.11,如文献[11,定理 3.2] 同样讨论,我们有 $\Pi_3$ 为紧的. 故由定理 2.16 可知系统 (1.1) 存在一温和解. 定理 3.9 证毕.

在本节中,我们考虑解对初始值的连续依赖性. 记 $x^{\varphi}(t)$ 表示 (1.1) 的温和解依赖于初始值 $\varphi$. 我们要如下假设

(H9) 函数$g:J\times {{\cal B}}\rightarrow {\Bbb H}$满足如下性质

(i) 对任意的$\nu\in{\cal B}$,函数$g(\cdot,\nu):J\rightarrow {\Bbb H}$为强连续的;

(ii) 对任意的$t\in J$,函数$g(t,\cdot):{{\cal B}}\rightarrow {\Bbb H}$为连续的;

(iii) 对任意的$(t,\nu_{i})\in J\times{{\cal B}},i=1,2$, 存在正常数 $M_g$ 使得

$${\bf E}\|g(t,\nu_1)-g(t_2,\nu_2)\|^{2}\leq M_g\|\nu_1-\nu_2\|_{{\cal B}}^{2}.$$

定理 4.1 设假设 ({H1}),({H3}),(H5),({H7}), (H9) 满足

$$\begin{eqnarray*} 1>\Lambda &:=& 14M_{T}^{2}\bigg[L_f\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{L_fM^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg(1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg) \\ && +M^{2}\bigg(TM_g+Tr(Q)M_h+m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg)\bigg]. \end{eqnarray*}$$ 那么,方程(1.1) 的温和解依赖于初始值 $\varphi$ (相应强拓扑在 ${\Bbb H}$ 上).

证 设 $x^{\varphi_1}(t)$ 和 $x^{\varphi_2}(t)$ 是分别由初始值 $\varphi_1$ 以及 $\varphi_2$给出的方程 (1.1) 的两个温和解. 那么,由引理 2.8,注 2.13,注 2.15,假设 (H1),(H2),(H5),(H7),(H9), H\"{o}lder 不等式以及 Burkholder-Davis-Gundy 不等式,我们有

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf E}\|x^{\varphi_1}(s)-x^{\varphi_2}(s)\|^{2}\\ &\leq& 7{\bf E}\|R_{\alpha}(s)\big[\varphi_1(0)-\varphi_2(0) +[f(0,\varphi_1)-f(0,\varphi_2)]\big]\|^{2} +7{\bf E}\|f(s,x_{s}^{\varphi_1})-f(s,x_{s}^{\varphi_2})\|^{2}\\ &&+7{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}AS_{\alpha}(t-s)[f(s,x_{s}^{\varphi_1}) -f(s,x_{s}^{\varphi_2})]{\rm d}s\bigg\|^{2}\\ &&+7{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}K(s-\xi)S_{\alpha}(t-s)[f(s,x_{s}^{\varphi_1}) -f(s,x_{s}^{\varphi_2})]{\rm d}\xi {\rm d}s\bigg\|^{2}\\ && +7{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)[g(s,x_{s}^{\varphi_1}) -g(s,x_{s}^{\varphi_2})]{\rm d}s\bigg\|^{2}\\ &&+7{\bf E}\bigg\|\int_{0}^{t}S_{\alpha}(t-s)[h(s,x_{s}^{\varphi_1}) -h(s,x_{s}^{\varphi_2})]{\rm d}W(s)\bigg\|^{2}\\ && +7{\bf E}\bigg\|\sum\limits_{0<t_k<t}S_{\alpha}(t-t_k)[I_{k}({x}_{t_k}^{\varphi_1}) -I_{k}({x}_{t_k}^{\varphi_2})]\bigg\|^{2}\\ &\leq& 14M^{2}\big[{\bf E}\|\varphi_1-\varphi_2\|_{{\cal B}}^{2} +L_f\|(-A)^{-\beta}\|^{2}\|\varphi_1-\varphi_2\|_{{\cal B}}^{2}\big]\\ &&+14M_{T}^{2}\bigg[L_f\|(-A)^{-\beta}\|^{2} +\frac{L_fM^{2}T^{2\alpha\beta}}{2\alpha\beta-1} \bigg(1+T\int_{0}^{T}\mu^{2}(\xi){\rm d}\xi\bigg)\\ && +M^{2}\bigg(TM_g+Tr(Q)M_h+m\sum\limits_{k=1}^{m}Q_k\bigg)\bigg] \sup_{s\in J}{\bf E}\|x^{\varphi_1}(s)-x^{\varphi_2}(s)\|^2. \end{eqnarray*}$$ 故有 $$\|x^{\varphi_1}(s)-x^{\varphi_2}(s)\|_{{\mathcal M}^{2}}^{2} \leq \frac{14M^{2}}{1-\Lambda}\big[{\bf E}\|\varphi_1 -\varphi_2\|_{{\cal B}}^{2}+L_f\|(-A)^{-\beta}\|^{2}\|\varphi_1 -\varphi_2\|_{{\cal B}}^{2}\big].$$ 这就得证定理 4.1 成立.

本节中,我们给出一个例子加以应用. 我们考虑下列分数阶脉冲中立型随机微积分方程

$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial^{\alpha}}{\partial t^{\alpha}}\bigg[u(t,\xi)+ \int_{-\infty}^{t}\int_{0}^{\pi}\widetilde{f}(t-s,\zeta,\xi) u(s,\zeta){\rm d}\zeta {\rm d}s\bigg]\\[3mm] =\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}u(t,\xi)+\int_{0}^{t}(t-s)^{\delta}e^{ -\lambda(t-s)}\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}u(s,\xi){\rm d}s +\int_{-\infty}^{t}\widetilde{g}(t-s)u(s,\xi){\rm d}s \\[3mm] +\int_{-\infty}^{t}\widetilde{h}(t-s)u(s,\xi){{\rm d}W(s)}, \xi\in[0,\pi],t\ne t_k,\ t\in J,\\ [3mm] \Delta u(t,\xi)=\int_{-\infty}^{t_k}\eta_{k}(t_k-s)u(s,\xi){\rm d}s, t=t_k,k=\overline{1,m},\\ u(t,0)=u(t,\pi)=0,t\in J\\ u(\theta,\xi)=\varphi(\theta,\xi), \theta\in(-\infty,0],\xi\in[0,\pi], \end{array} \right. (5.1)$$ 其中 $W(t)$ 表示定义在概率空间 $(\Omega,{\cal F},\mathbf{P})$ 取值于 ${\Bbb H}$ 空间的标准柱 Wiener 过程 以及 $\frac{\partial^{\alpha}}{\partial t^{\alpha}}=D_{t}^{\alpha},$ $\alpha\in(1,2)$,$\delta,$ $\lambda$ 是正常数的.

我们要将系统 (5.1) 写成抽象形式 (1.1). 设 ${{\Bbb H}}= {\mathcal L}^{2}([0,\pi])$ 赋以范数 $\|\cdot\|$ 以及定义算子 $A:D(A)\subseteq \mathbb H\rightarrow{\Bbb H}$: $Az=z''$ 其定义域为 $D(A)=\{z\in {{\Bbb H}}: z''\in {{\Bbb H}},z(0)=z(\pi)=0\}$. 我们已知道 $\Delta z=z''$ 生成一个解析半群 $\{T(t)\}_{t\in J}$ 在 $\mathbb H$ 上. 故有 $A$ 是扇形的 以及 (P1) 被满足.

算子 $K(t):D(A)\subset {\Bbb H}\rightarrow {\Bbb H}$ 被定义为 $K(t)(z)=t^{\delta}e^{-\lambda t}Az$,$z\in D(A).$ 那么,性质 (P2),(P3) 被满足其 ${k}(t)=t^{\delta}e^{-\lambda t}$ 和 $D=C_{0}^{\infty}([0,\pi])$ 所以,由引理 2.8,(H1) 为成立的.

设 $p\in [1,\infty),r\in[0,\infty)$,$g(\cdot)$ 是 $(-\infty,-r)$ 上的非负,局部可积的 Borel 可测函数并且存在 $(-\infty,0]$ 上的非负局部有界函数 $G$ 使得对任意的 $\varsigma\leq 0,$ $\tau \in(-\infty,-r) \backslash N_{\varsigma}$ 使得 $g(\varsigma+\tau)\leq G(\varsigma)g(\tau)$, 其中 $N_{\varsigma}\subseteq (-\infty,-r)$ 是一个 Lebesgue 测度为零的集合.

令 ${{\cal B}}= {\mathcal P}{C_r}\times {\mathcal L}^{p}(g;{\Bbb H}),$ $r\geq 0,$ $p>1,$ 为 $\varphi: [-\infty,0)\rightarrow{\Bbb H}$ 使得 $\varphi \mid_{[-r,0]}\in {\mathcal M}^{2}([-r,0];{\Bbb H})$, 以及 $g\|\varphi\|^p$ 在 $(-\infty,-r)$ 为 Lebesgue 可积的 Lebesgue 可测函数 $\varphi(\cdot)$ 的全体所构成的集合. 在 ${\mathcal P}{C_r}\times {\mathcal L}^{p}(g;{{\Bbb H}})$中,如下定义半范数

$$\|\varphi\|_{{\cal B}}:=\sup_{-r\leq\theta\leq 0}\|\varphi(\theta)\| +\bigg(\int_{-\infty}^{-r}g(\theta)\| \varphi(\theta)\|^{p}{\rm d}\theta\bigg)^{\frac{1}{p}}.$$ 上述 ${\cal B}$ 构成为一个满足公理(A1) 和(A2) 的相空间 (参见文献[6,定理 1.3.8]). 此外,本例主要考虑 $r=0$ 和 $p=2$ 的情形,此时, ${\mathcal P}{C_0}\times {\mathcal L}^{2}(g;{{\Bbb H}}),L=1; M(t)=G(-t)^{\frac{1}{2}}$ 以及 $N(t)=1+\big(\int_{-t}^{0}g(\tau){\rm d}\tau\big)^{\frac{1}{2}}$,$t\in J.$

假设函数满足如下条件

(i) 函数 $\eta_k:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$, $k=\overline{1,m}$ 为连续的对任意的 $k=\overline{1,m},$ $Q_k:=\big(\int_{-\infty}^{0}\frac{(\eta_k(s))^{2}}{g(s)}{\rm d}s\big)^{\frac{1}{2}}<\infty$;

(ii) 函数 $\widetilde{g}:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ 为连续的以及 $L_{g}:=\big(\int_{-\infty}^{0}\frac{(\widetilde{g}(s))^{2}}{g(s)}{\rm d}s \big)^{\frac{1}{2}}<\infty$;

(iii) 函数 $\widetilde{h}:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R}$ 为连续的以及 $L_{h}:=\big(\int_{-\infty}^{0}\frac{(\widetilde{h}(s))^{2}}{g(s)}{\rm d}s \big)^{\frac{1}{2}}<\infty$;

(iv) 函数 $\widetilde{f}(s,\zeta,\xi),\frac{\partial \widetilde{f}(s,\zeta,\xi)}{\partial\xi}$ 为可测的,对任意的 $(s,\zeta)$, $\widetilde{f}(s,\zeta,\pi) =\widetilde{f}(s,\zeta,0)=0$ 以及 $L_{f}: =\max\Big\{\big(\int_{0}^{\pi}\int_{-\infty}^{0}\int_{0}^{\pi}\frac{1}{g(\theta)} \frac{\partial^{i}}{\partial\xi^{i}}\widetilde{f}(s,\zeta,\xi) {\rm d}\zeta {\rm d}\theta {\rm d}\xi\big)^{\frac{1}{2}}:i=0,1\Big\}<\infty.$

令 $\phi(\theta)(x)=\phi(\theta,x)\in{\cal B}$,定义映射 $f,g:J\times{\cal B}\rightarrow{\Bbb H}$; $h:J\times{{\cal B}}\rightarrow {\mathcal L}_{2}^{0}({\Bbb H},{\Bbb H})$ 以及 $I_{k}:{\cal B}\rightarrow{\Bbb H}$ 如下

$$f(\phi)(\xi)=\int_{-\infty}^{0}\int_{0}^{\pi}\widetilde{f} (s,\zeta,\xi)\phi(s,\zeta){\rm d}\zeta {\rm d}s; g(\phi)(\xi) =\int_{-\infty}^{0}\widetilde{g}(s)\phi(s,\xi){\rm d}s,h(\phi)(\xi);$$ $$h(\phi)(\xi)=\int_{-\infty}^{0}\widetilde{h}(s)\phi(s,\xi){\rm d}s; I_{k}(\phi)(\xi)=\int_{-\infty}^{0}\eta_{k}(s)\phi(s,\xi){\rm d}s,k=\overline{1,m}.$$ 在上述定义下,我们可以推断 $f,g,h,I_{k}$,$k=\overline{1,m}$ 是有界线性算子其 $\|f\|_{{\cal L}({\cal B},{\Bbb H})}\leq L_f$; $\|g\|_{{\cal L}({\cal B},{\Bbb H})}$ $\leq L_g$; $\|h\|_{{\cal L}({\cal B},{\Bbb H})}\leq L_h$ 以及 $\|I_{k}\|_{{\cal L}({\cal B},{\Bbb H})}\leq Q_k$,$k=\overline{1,m}$. 那么,我们可以将系统 (5.1) 转化为 系统 (1.1) 的形式. 此外, 在第 3 节和 第 4 节的定理的假设下我们可知 系统 (5.1) 在 $J$ 中存在一个温和解并且此温和解依赖于初始值 $\varphi$.

本文研究了在实可分Hilbert空间中无限时滞的分数阶脉冲中立型随机微积分方程 温和解的适定性. 我们通过利用 Sadovskii 不动点定理结合 $\alpha$ -预解算子理论得到了解的适定性的充分条件. 我们也研究了解对初值的连续依赖性. 此外,举例应用了所得到的结论. 本文推广和改进了 Cui 和 Yan^[15]、De Andrade 和 Dos Santos^[13]、Sakthivel 等^[16]、Hu 和 Ren^[7] 等的相应的结果.

致谢: 本文作者对两位审稿人提出的宝贵意见表示由衷的感谢！