近年来,不动点迭代过程的稳定性理论得到了很好的发展,这些理论逐步渗透到应用数学的各个分支, 已经涌现了许多杰出的工作[4, 8, 11]. 自从黄龙光和张宪[5]引进锥度量空间, 从而推广了度量空间以来,学者们已经致力于此空间中稳定性理论的研究工作[2]. 但是迄今为止,最重要的迭代过程莫过于 Picard 迭代,其稳定性起着主导性作用. 基如此, 本文着手于锥度量空间中一类压缩映射的 Picard 迭代的T -稳定性,证明了两种极限的等价性, 并且给出了两个例子验证了其结论. 这些结果大大地改进和推广了文献[2, 4, 8, 9, 11] 等的工作. 除此以外,还给出了关于扩张映射的 Picard 迭代的T -稳定性. 据作者们所知, 这是第一次考虑锥度量空间中有关扩张映射的T -稳定性. 另外,还给出了两个例子验证了其结论. 最后,通过应用这些结论,找到了一类带有边值条件的二阶微分方程的正解公式.
为方便起见,下面给出文章中所需要的一些概念和引理.
设E 为实 Banach 空间,P 为E 的子集. 记θ 为E 的零元,而 intP 为P 的全部内点所组成的集合. 若满足下列条件:
(i)~ P 为非空闭集,且P≠{θ};
(ii)~ a, b∈R, a,b≥0, x,y∈P⇒ax+by∈P;
(iii)~ P∩(−P)={θ}, 则称P 为E 中的锥.
基如此,定义关于P 的偏序≤ 为x≤y⇔y−x∈P, < 为 x< y ⇔ x ≤ y且 x≠y, 而≪ 为x≪y⇔y−x∈~intP. 记‖⋅‖ 为E 的范数. 若∀x,y∈E,θ≤x≤y,总存在着一个正数K>0, 使得‖x‖≤K‖y‖,则称P 为正规锥, 而称满足此不等式的最小的正数K 为P 的正规常数. 众所周知,绝大多数锥都是正规锥[6].
下文总假设E 为实~Banach 空间,P 为E 中的体锥,即intP≠∅.
定义1.1[5] 设X 为非空集合. 如果映射d:X×X→E 满足下列条件
(d1)~ $\theta (d2)~ d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X;
(d3)~ d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),∀x,y,z∈X, 那么称d 为X 上的锥度量,而称(X,d) 为锥度量空间.
定义1.2[10] 设(X,d) 为锥度量空间,x∈X,{xn}⊂X,则
(i)~ 若∀c≫θ,总存在着某个自然数N>0,使得当n>N 时,都有d(xn,x)≪c,则称{xn} 收敛于x. 记为limn→∞xn=x~或者 xn→x (n→∞).
(ii)~ 若∀c≫θ,总存在着某个自然数N>0,使得当n,m>N 时,都有d(xn,xm)≪c,则称{xn} 为~Cauchy 列.
(iii)~ 若对X 中的任意Cauchy 列都收敛,则称(X,d) 为完备的锥度量空间.
定义1.3[2] 设(X,d) 为锥度量空间,T 为X 的自映射. 设x0∈X, xn+1=Txn 为 Picard 迭代序列,且收敛于T 的一个不动点q. 如果对X 中满足条件 limn→∞d(yn+1,Tyn)=θ(1.1) 的任一{yn},都有limn→∞yn=q,那么称此迭代序列是T -稳定的.
定义1.4 设(X,d) 为锥度量空间,T 为X 的自映射. 设x0∈X, xn=Txn+1 为 Picard 迭代序列,且收敛于T 的一个不动点q. 如果对X 中满足条件 limn→∞d(yn,Tyn+1)=θ(1.2) 的任一{yn},都有limn→∞yn=q,那么称此迭代序列是T -稳定的.
注1.5 显然地,由映射的T -稳定性就可以找到该映射的不动点. 事实上,只要找到 满足 (1.1) 式或 (1.2) 式的任一{yn},则由映射的T -稳定性, 就可以得到此映射的不动点为q=limn→∞yn.
引理1.6[2] 设P 为正规锥,{an},{cn} 为P 中的点列,且 an+1≤han+cn, 其中h∈[0,1) 为常数,cn→θ(n→∞),则 limn→∞an=θ.
引理1.7[6] 设c∈ intP,{an}⊂P 且an→θ(n→∞), 则存在n0>0,使得当n>n0 时,都有an≪c.
引理1.8[12] 设P 为锥,u∈P. 若存在0≤λ≤1,使得u≤λu,则 u=θ.
首先,分别给出了锥度量空间中关于压缩映射和扩张映射 Picard 迭代序列的T -稳定性. 其次,给出了几个例子验证了这些结果.
定理2.1 设(X,d) 为锥度量空间,P 为正规锥. 假设映射T:X→X 满足下列条件 d(Tx,Ty)≤λ1d(x,y)+λ2d(x,Tx)+λ3d(y,Ty)+λ4d(x,Ty)+λ5d(y,Tx), ∀x,y∈X, 其中λi≥0 (i=1,⋯,5) 且0≤λ1+λ2+λ3+λ4+λ5<1,则
(1)~ Picard 迭代是T -稳定的;
(2)~ 对X 中的任意序列{yn},当n→∞ 时, d(yn+1,Tyn)→θ 与d(yn,Tyn)→θ 等价. 证 (1)~ 取x0∈X,构造 Picard 迭代序列xn+1=Txn=Tn+1x0. 利用文献[14] 的推论2.1,得到T 在X 中有唯一的不动点q. 假定{yn} 是X 中满足条件d(yn+1,Tyn)→θ(n→∞) 的序列,则 d(Tyn,q)=d(Tyn,Tq)≤λ1d(yn,q)+λ2d(yn,Tyn)+λ3d(q,Tq)+λ4d(yn,Tq)+λ5d(q,Tyn)=λ1d(yn,q)+λ2d(yn,Tyn)+λ4d(yn,q)+λ5d(q,Tyn)≤(λ1+λ4)d(yn,q)+λ2[d(yn,q)+d(q,Tyn)]+λ5d(q,Tyn)=(λ1+λ2+λ4)d(yn,q)+(λ2+λ5)d(q,Tyn),(2.1) 并且 d(Tyn,q)=d(q,Tyn)=d(Tq,Tyn)≤λ1d(q,yn)+λ2d(q,Tq)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(q,Tyn)+λ5d(yn,Tq)=λ1d(yn,q)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(q,Tyn)+λ5d(yn,q)≤(λ1+λ5)d(yn,q)+λ3[d(yn,q)+d(q,Tyn)]+λ4d(q,Tyn)=(λ1+λ3+λ5)d(yn,q)+(λ3+λ4)d(q,Tyn).(2.2) 由 (2.1) 式和 (2.2) 式相加得到 2d(Tyn,q)≤(2λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)d(yn,q)+(λ2+λ3+λ4+λ5)d(q,Tyn), 从而 d(Tyn,q)≤2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52−λ2−λ3−λ4−λ5d(yn,q). 令h=2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52−λ2−λ3−λ4−λ5,则0≤h<1,并且d(Tyn,q)≤hd(yn,q). 再令 an=d(yn,q),cn=d(yn+1,Tyn),则 an+1=d(yn+1,q)≤d(yn+1,Tyn)+d(Tyn,q)≤cn+han. 由于cn=d(yn+1,Tyn)→θ (n→∞),充分利用引理1.6,故an=d(yn,q)→θ (n→∞), 于是由引理1.7,yn→q (n→∞),所以 Picard 迭代是T -稳定的.
(2)~ 取X 中的一序列{yn}. 令bn=d(yn,Tyn). 如果cn→θ(n→∞), 那么,一方面有 bn=d(yn,Tyn)≤d(yn,Tyn−1)+d(Tyn,Tyn−1)≤d(yn,Tyn−1)+λ1d(yn,yn−1)+λ2d(yn,Tyn)+λ3d(yn−1,Tyn−1)+λ4d(yn,Tyn−1)+λ5d(yn−1,Tyn)≤d(yn,Tyn−1)+λ1[d(yn,Tyn−1)+d(Tyn−1,yn−1)]+λ2d(yn,Tyn)+λ3d(yn−1,Tyn−1)+λ4d(yn,Tyn−1)+λ5[d(yn−1,Tyn−1)+d(Tyn−1,yn)+d(yn,Tyn)]=(λ2+λ5)bn+(λ1+λ3+λ5)bn−1+(1+λ1+λ4+λ5)cn−1, 从而 (1−λ2−λ5)bn≤(λ1+λ3+λ5)bn−1+(1+λ1+λ4+λ5)cn−1.(2.3) 另一方面,有 bn=d(yn,Tyn)≤d(yn,Tyn−1)+d(Tyn−1,Tyn)≤d(yn,Tyn−1)+λ1d(yn−1,yn)+λ2d(yn−1,Tyn−1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(yn−1,Tyn)+λ5d(yn,Tyn−1)≤d(yn,Tyn−1)+λ1[(d(yn−1,Tyn−1)+d(Tyn−1,yn)]+λ2d(yn−1,Tyn−1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4[d(yn−1,Tyn−1)+d(Tyn−1,yn)+d(yn,Tyn)]+λ5d(yn,Tyn−1)=(λ3+λ4)bn+(λ1+λ2+λ4)bn−1+(1+λ1+λ4+λ5)cn−1, 由此, (1−λ3−λ4)bn≤(λ1+λ2+λ4)bn−1+(1+λ1+λ4+λ5)cn−1.(2.4) 由 (2.3) 式 和 (2.4) 式相加得 bn≤2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52−λ2−λ3−λ4−λ5bn−1+2(1+λ1+λ4+λ5)2−λ2−λ3−λ4−λ5cn−1. 注意到0≤2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52−λ2−λ3−λ4−λ5<1,利用引理~1.6 推出bn=d(yn,Tyn)→θ (n→∞). 反过来,如果bn→θ (n→∞),那么 cn=d(yn+1,Tyn)≤d(yn+1,Tyn+1)+d(Tyn+1,Tyn)≤d(yn+1,Tyn+1)+λ1d(yn+1,yn)+λ2d(yn+1,Tyn+1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(yn+1,Tyn)+λ5d(yn,Tyn+1)≤d(yn+1,Tyn+1)+λ1[d(yn+1,Tyn)+d(yn,Tyn)]+λ2d(yn+1,Tyn+1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(yn+1,Tyn)+λ5[d(yn,Tyn)+d(Tyn,yn+1)+d(yn+1,Tyn+1)]=(1+λ2+λ5)bn+1+(λ1+λ3+λ5)bn+(λ1+λ4+λ5)cn. 于是 cn≤1+λ2+λ51−λ1−λ4−λ5bn+1+λ1+λ3+λ51−λ1−λ4−λ5bn. 上式不等号两边取极限,所以cn→θ(n→∞). \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}
例2.2 设X=[0,1],E=R2, P={(x,y)∈E:x,y≥0}. 定义d:X×X→E 为 d(x,y)=(|x−y|,|x−y|), ∀x,y∈X. 则(X,d) 为完备的锥度量空间, P 为正规锥. 定义映射T:X→X 为 Tx=14x2+12x, ∀x∈X. 容易得到 d(Tx,Ty)≤13d(x,y)+112d(x,Tx)+116d(y,Ty)+14d(x,Ty)+14d(y,Tx), ∀x,y∈X. 于是定理~2.1 的所有条件都满足,所以T 在X 中有唯一的不动点0.
下面取yn(t)=tn,t∈[0,1]. 由于n→∞时 |yn+1−Tyn|=|tn+1−t24n2−t2n|=|−14n2t2+n−12n(n+1)t|≤max0≤t≤1|−14n2t2+n−12n(n+1)t|=|2n2−3n−14n2(n+1)|→0, 故n→∞时 d(yn+1,Tyn)=(|yn+1−Tyn|,|yn+1−Tyn|)→θ=(0,0). 再由yn→0,即得 Picard 迭代是T -稳定的.
另外,也有d(yn,Tyn)→θ(n→∞). 因此定理~2.1 的 (2) 也是成立的.
注2.3 为了确保T 有不动点,要求空间(X,d) 的完备性条件必不可少. 例如,若将例2.2 中的X=[0,1] 替换为X=(0,1),其它条件不变,则(X,d) 不是完备的锥度量空间. 尽管T 还是满足压缩条件,但T 在X 中没有不动点,所以 Picard 迭代不是T -稳定的.
注2.4 定理2.1 中锥的正规性条件不可去掉,见如下例~2.5.
例2.5 设X=[0,1],E=C1R([0,1]), 其范数定义为‖φ‖=‖φ‖∞+‖φ′‖∞. 令 P={φ∈E:φ(t)≥0, t∈[0,1]},则P 是一个非正规锥[6]. 定义映射d:X×X→E 为d(x,y)=|x−y|φ(t), ∀x,y∈X,其中φ(t) 为已知函数, 不妨取φ(t)=et,则(X,d) 为完备的锥度量空间. 定义T:X→X 为Tx=12x, 则 d(Tx,Ty)=d(12x,12y)=12|x−y|et=12d(x,y), 于是满足定理2.1 的压缩条件. 因此T 在X 中有唯一的不动点0. 令yn(t)=1+sinntn+2. 尽管 d(yn+1,Tyn)=|yn+1−Tyn|et=|1+sin(n+1)tn+3−1+sinnt2(n+2)|et≤(|1+sin(n+1)tn+3|+|1+sinnt2(n+2)|)et≤(2n+3+1n+2)et→0 (n→∞), 从而d(yn+1,Tyn)→0 (n→∞), 但是由‖yn‖=1 有yn↛0 (n→∞).
注2.6 定理2.1 推广了之前的一些结果. 事实上, 若取λ3=λ4=λ5=0, λ1=a≥0,λ2=L≥0,使得0≤a+L<1, 则定理2.1 退化为文献~[9] 的推论~2. 而且若取y=q,λ3=λ4=λ5=0,λ1=b≥0,λ2=a≥0, 使得0≤a+b<1,则定理~2.1 即为文献~[2] 的定理~2.2.
定理2.7 设(X,d) 为锥度量空间,P 为正规锥. 假设映射T:X→X 是满射且满足下列条件 d(Tx,Ty)≥k1d(x,y)+k2d(x,Tx)+k3d(y,Ty)+k4d(x,Ty)+k5d(y,Tx), ∀x,y∈X, 其中k1+k2+k3>1. 若k3≤1+k4 或者k2≤1+k5, 则T 在X 中有不动点. 另外,如果k1+k4+k5>1, 那么不动点是唯一的,并且 Picard 迭代是T -稳定的.
证 仅证明k3≤1+k4 的情形,而k2≤1+k5 的情形可类似证明. 设k3≤1+k4,则由文献[3] 的定理2.1 知T 在X 中有一个不动点q. 再设k1+k4+k5>1, 下证此不动点是唯一的. 用反证法. 假设 T 在X 中有另一个不动点p,然后 d(q,p)=d(Tq,Tp)≥k1d(q,p)+k2d(q,Tq)+k3d(p,Tp)+k4d(q,Tp)+k5d(p,Tq)=(k1+k4+k5)d(q,p), 由此,d(q,p)≤1k1+k4+k5d(q,p). 由于0<1k1+k4+k5<1,故由引理1.8,得到d(q,p)=θ,即q=p.
设{yn} 是X 中的一个序列,使得d(yn,Tyn+1)→θ(n→∞). 令bn=d(yn,Tyn),cn=d(yn,Tyn+1), h=1+k4−k3k1+k2+k4,k=1+k1+k4−k5k1+k2+k4. 由k1+k2+k3>1 和k3≤1+k4 得到 k1+k2+k4>1−k3+k4≥0 和h∈[0,1). 利用三角不等式,有 cn+bn=d(yn,Tyn+1)+d(yn,Tyn)≥d(Tyn+1,Tyn)≥k1d(yn+1,yn)+k2d(yn+1,Tyn+1)+k3d(yn,Tyn)+k4d(yn+1,Tyn)+k5d(yn,Tyn+1)≥k1d(yn+1,yn)+k2d(yn+1,Tyn+1)+k3d(yn,Tyn)+k4[d(yn+1,yn)−d(yn,Tyn)]+k5d(yn,Tyn+1)≥(k1+k4)[d(yn+1,Tyn+1)−d(yn,Tyn+1)]+k2d(yn+1,Tyn+1)+(k3−k4)d(yn,Tyn)+k5d(yn,Tyn+1)=(k1+k2+k4)bn+1+(k5−k1−k4)cn+(k3−k4)bn, 从而 bn+1≤1+k4−k3k1+k2+k4bn+1+k1+k4−k5k1+k2+k4cn, 进而bn+1≤hbn+kcn. 由于cn→θ (n→∞),再由引理~1.6 得到bn→θ (n→∞).
又由扩张条件,有 bn+d(yn,q)≥d(Tyn,q)=d(q,Tyn)=d(Tq,Tyn)≥k1d(q,yn)+k2d(q,Tq)+k3d(yn,Tyn)+k4d(q,Tyn)+k5d(yn,Tq)≥k1d(yn,q)+k3d(yn,Tyn)+k4[d(yn,q)−d(yn,Tyn)]+k5d(yn,q)=(k1+k4+k5)d(yn,q)+(k3−k4)bn, 于是 d(yn,q)≤1−k3+k4k1+k4+k5−1bn→θ (n→∞). 最后由引理1.7,得到yn→q (n→∞). 因此 Picard 迭代是T -稳定的. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}
注2.8 定理2.7 大大地推广了先前的一些结果. 事实上,它不仅补充了文献 [3] 的定理2.1,而且延拓了文献[1] 的主要结果. 除此以外,定理2.7 也推广了文献~[13] 的推论~2.3-2.6 和文献[7] 的推论3.10.
例2.9 设X={1,2,3}, E=R2,P={(x,y)∈E:x,y≥0}. 定义d:X×X→E 为 d(1,1)=d(2,2)=d(3,3)=d(1,2)=d(2,1)=(0,0),d(2,3)=d(3,2)=d(1,3)=d(3,1)=(7,3). 则(X,d) 为一个完备的锥度量空间. 定义映射T:X→X 为 T1=2, T2=1, T3=3. 容易得到 d(Tx,Ty)≥27d(x,y)+67d(x,Tx)+57d(y,Ty), ∀x,y∈X. 于是定理2.7 的所有条件都满足,所以T 在X 中有一个不动点3.
例2.10 设X=R, E=R2,P={(x,y)∈E:x,y≥0}. 定义d:X×X→E 为d(x,y)=(|x−y|,|x−y|). 则(X,d) 为一个完备的锥度量空间. 定义映射T:X→X 为Tx=3x. 注意到 d(Tx,Ty)≥2d(x,y),∀x,y∈X.令k1=2, k2=k3=k4=k5=0,则定理2.7 的所有条件都满足,于是T 在X 中有一个唯一的不动点0. 取yn=1n. 由于 d(yn,Tyn+1)=d(1n,3n+1)=(|1n−3n+1|,|1n−3n+1|)→θ=(0,0) (n→∞), 而且yn→0 (n→∞),故 Picard 迭代是T -稳定的. 因此定理2.7 是很有意义的.
下面应用定理2.1 解决下列带有边值的二阶微分方程问题 {d2ydx2+a1(x)dydx+a2(x)y=f(x), x∈[0,x0],[2mm]y(0)=C0, y′(0)=C1,(3.1) 其中a1(x),a2(x),f(x)∈C([0,x0]) 都为已知函数,而C0, C1 均为常数.
定理3.1 考虑方程组 (3.1),令M=max0≤t,x≤x0|a2(x)(t−x)−a1(x)|. 若x0M<1,则方程 (3.1) 有一个唯一的解,其解为 y=∞∑n=0∫x0(x−t)un(t)dt+C1x+C0, 其中u0(x)=f(x)−C1a1(x)−C1xa2(x)−C0a2(x), un(x)=∫x0[a2(x)(t−x)−a1(x)]un−1(t)dt, n=1,2,….
证 令u(x)=d2ydx2, p(x)=dydx,则u(x),p(x)∈C([0,x0]). 结合初始条件,得到 dydx=∫x0u(t)dt+C1,(3.2) y=∫x0p(s)ds+C0=∫x0[∫s0u(t)dt+C1]ds+C0=∫x0[∫s0u(t)dt]ds+C1x+C0=∫x0dt∫xtu(t)ds+C1x+C0=∫x0(x−t)u(t)dt+C1x+C0.(3.3) 将(3.2) 式和(3.3) 式代入到(3.1) 式得到(3.1) 式与下列 Volterra 型积分方程等价 u(x)=∫x0K(x,t)u(t)dt+F(x), 其中K(x,t)=a2(x)(t−x)−a1(x),F(x)=f(x)−C1a1(x)−C1xa2(x)−C0a2(x).
取 X=E=C([0,x0]),P={φ∈E:φ≥0}. 作映射d:X×X→E 为d(u,v)=f(x)max0≤x≤x0|u(x)−v(x)|,此处f:[0,x0]→R,不妨取f(x)=ex. 易得(X,d) 为一个完备的锥度量空间.
定义映射T:C([0,x0])→C([0,x0]) 为Tu(x)=∫x0K(x,t)u(t)dt+F(x). ∀u,v∈C([0,x0]),有 d(Tu,Tv)=f(x)max0≤x≤x0|∫x0K(x,t)u(t)dt−∫x0K(x,t)v(t)dt|=f(x)max0≤x≤x0|∫x0K(x,t)[u(t)−v(t)]dt|≤x0Mf(x)max0≤t≤x0|u(t)−v(t)|=x0Md(u,v), 从而d(Tu,Tv)≤λ1d(u,v)+λ2d(u,Tu)+λ3d(v,Tv)+λ4d(u,Tv)+λ5d(v,Tu), 这里λ1=x0M, λ2=λ3=λ4=λ5=0.
综上所述,定理2.1 的所有条件都满足. 因此 Picard 迭代是T -稳定的,并且T 有一个唯一的不动点. 取yn(x)=n∑i=0ui(x), x∈[0,x0],其中 u0(x)=F(x), ui(x)=∫x0K(x,t)ui−1(t)dt, i=1,2,… 注意到 d(yn+1,Tyn)=f(x)max0≤x≤x0|yn+1−Tyn|=f(x)max0≤x≤x0|u0(x)+n+1∑i=1ui(x)−∫x0K(x,t)yn(t)dt−F(x)|=f(x)max0≤x≤x0|u0(x)+n+1∑i=1∫x0K(x,t)ui−1(t)dt−∫x0K(x,t)[u0(x)+n∑i=1ui(t)]dt−F(x)|=f(x)max0≤x≤x0|u0(x)+∫x0K(x,t)[n+1∑i=1ui−1(t)−n∑i=1ui(t)]dt−∫x0K(x,t)u0(t)dt−F(x)|=θ, 则d(yn+1,Tyn)→θ (n→∞). 利用T 的稳定性,得到T 的不动点如下 q=limn→∞yn(x)=u(x)=∞∑i=0ui(x)=∞∑n=0un(x). 将u(x)=∞∑n=0un(x) 代入到 (3.3) 式中,得到 (3.1) 式的解为 y=∞∑n=0∫x0(x−t)un(t)dt+C1x+C0. 证毕.