近年来,不动点迭代过程的稳定性理论得到了很好的发展,这些理论逐步渗透到应用数学的各个分支, 已经涌现了许多杰出的工作^{[4, 8, 11]}. 自从黄龙光和张宪^[5]引进锥度量空间, 从而推广了度量空间以来,学者们已经致力于此空间中稳定性理论的研究工作^[2]. 但是迄今为止,最重要的迭代过程莫过于 Picard 迭代,其稳定性起着主导性作用. 基如此, 本文着手于锥度量空间中一类压缩映射的 Picard 迭代的$T$ -稳定性,证明了两种极限的等价性, 并且给出了两个例子验证了其结论. 这些结果大大地改进和推广了文献^{[2, 4, 8, 9, 11]} 等的工作. 除此以外,还给出了关于扩张映射的 Picard 迭代的$T$ -稳定性. 据作者们所知, 这是第一次考虑锥度量空间中有关扩张映射的$T$ -稳定性. 另外,还给出了两个例子验证了其结论. 最后,通过应用这些结论,找到了一类带有边值条件的二阶微分方程的正解公式.

为方便起见,下面给出文章中所需要的一些概念和引理.

设$E$ 为实 Banach 空间,$P$ 为$E$ 的子集. 记$\theta$ 为$E$ 的零元,而 int$P$ 为$P$ 的全部内点所组成的集合. 若满足下列条件:

(i)~ $P$ 为非空闭集,且$P\neq\{\theta\}$;

(ii)~ $a,~b\in {\Bbb R},~a,b\geq 0,~x,y\in P\Rightarrow ax+by\in P$;

(iii)~ $P\cap(-P)=\{\theta\}$,
则称$P$ 为$E$ 中的锥.

基如此,定义关于$P$ 的偏序$\leq$ 为$x\leq y\Leftrightarrow y-x\in P$, $<$ 为 x< y ⇔ x ≤ y且 $x\neq y$, 而$\ll$ 为$x\ll y\Leftrightarrow y-x\in$~int$P$. 记$\|\cdot\|$ 为$E$ 的范数. 若$\forall x,y\in E$,$\theta\leq x\leq y$,总存在着一个正数$K>0$, 使得$\|x\|\leq K\|y\|$,则称$P$ 为正规锥, 而称满足此不等式的最小的正数$K$ 为$P$ 的正规常数. 众所周知,绝大多数锥都是正规锥^[6].

下文总假设$E$ 为实~Banach 空间,$P$ 为$E$ 中的体锥,即int$P\neq\emptyset$.

定义1.1^[5] 设$X$ 为非空集合. 如果映射$d:X\times X\rightarrow E$ 满足下列条件

(d1)~ $\theta (d2)~ $d(x,y)=d(y,x)$,$\forall x,y\in X$;

(d3)~ $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$,$\forall x,y,z\in X$,
那么称$d$ 为$X$ 上的锥度量,而称$(X,d)$ 为锥度量空间.

定义1.2^[10] 设$(X,d)$ 为锥度量空间,$x\in X$,$\{x_n\}\subset X$,则

(i)~ 若$\forall c\gg\theta$,总存在着某个自然数$N>0$,使得当$n>N$ 时,都有$d(x_n ,x)\ll c$,则称$\{x_n\}$ 收敛于$x$. 记为$\lim\limits_ {n\rightarrow\infty}x_n=x$~或者 $x_n \rightarrow x~(n\rightarrow\infty)$.

(ii)~ 若$\forall c\gg\theta$,总存在着某个自然数$N>0$,使得当$n,m>N$ 时,都有$d(x_n,x_m)\ll c$,则称$\{x_n\}$ 为~Cauchy 列.

(iii)~ 若对$X$ 中的任意Cauchy 列都收敛,则称$(X,d)$ 为完备的锥度量空间.

定义1.3^[2] 设$(X,d)$ 为锥度量空间,$T$ 为$X$ 的自映射. 设$x_0\in X$, $x_{n+1}=Tx_n$ 为 Picard 迭代序列,且收敛于$T$ 的一个不动点$q$. 如果对$X$ 中满足条件 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(y_{n+1},Ty_n)=\theta%\tag ;   (1.1) \end{equation} 的任一$\{y_n\}$,都有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=q$,那么称此迭代序列是$T$ -稳定的.

定义1.4 设$(X,d)$ 为锥度量空间,$T$ 为$X$ 的自映射. 设$x_0\in X$, $x_n=Tx_{n+1}$ 为 Picard 迭代序列,且收敛于$T$ 的一个不动点$q$. 如果对$X$ 中满足条件 \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(y_n,Ty_{n+1})=\theta%\tag;   (1.2) \end{equation} 的任一$\{y_n\}$,都有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=q$,那么称此迭代序列是$T$ -稳定的.

注1.5 显然地,由映射的$T$ -稳定性就可以找到该映射的不动点. 事实上,只要找到 满足 (1.1) 式或 (1.2) 式的任一$\{y_n\}$,则由映射的$T$ -稳定性, 就可以得到此映射的不动点为$q=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n$.

引理1.6^[2] 设$P$ 为正规锥,$\{a_n\}$,$\{c_n\}$ 为$P$ 中的点列,且 $$a_{n+1}\leq ha_n+c_n,$$ 其中$h\in[0,1)$ 为常数,$c_n\rightarrow\theta(n\rightarrow\infty)$,则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\theta$.

引理1.7^[6] 设$c\in$ int$P$,$\{a_n\}\subset P$ 且$a_n\rightarrow\theta(n\rightarrow\infty)$, 则存在$n_0>0$,使得当$n>n_0$ 时,都有$a_n\ll c$.

引理1.8^[12] 设$P$ 为锥,$u\in P$. 若存在$0\leq\lambda\leq1$,使得$u\leq\lambda u$,则 $u=\theta$.

首先,分别给出了锥度量空间中关于压缩映射和扩张映射 Picard 迭代序列的$T$ -稳定性. 其次,给出了几个例子验证了这些结果.

定理2.1 设$(X,d)$ 为锥度量空间,$P$ 为正规锥. 假设映射$T:X\rightarrow X$ 满足下列条件 $$ d(Tx,Ty)\leq \lambda_1d(x,y)+\lambda_2d(x,Tx)+\lambda_3d(y,Ty)+\lambda_4d(x,Ty)+\lambda_5d(y,Tx),~~\forall x,y\in X, $$ 其中$\lambda_i\geq0 ~(i=1,\cdots,5)$ 且$0\leq\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5<1$,则

(1)~ Picard 迭代是$T$ -稳定的;

(2)~ 对$X$ 中的任意序列$\{y_n\}$,当$n\rightarrow\infty$ 时, $d(y_{n+1},Ty_n)\rightarrow\theta$ 与$d(y_n,Ty_n)\rightarrow\theta$ 等价. 证 (1)~ 取$x_0 \in X$,构造 Picard 迭代序列$x_{n+1} =Tx_n =T^{n+1}x_0$. 利用文献^[14] 的推论2.1,得到$T$ 在$X$ 中有唯一的不动点$q$. 假定$\{y_n\}$ 是$X$ 中满足条件$d(y_{n+1},Ty_n)\rightarrow\theta(n\rightarrow\infty$) 的序列,则 \begin{eqnarray} d(Ty_n,q)&=&d(Ty_n,Tq)\nonumber\\&\leq& \lambda_1d(y_n,q)+\lambda_2d(y_n,Ty_n)+\lambda_3d(q,Tq)%\nonumber\\ +\lambda_4d(y_n,Tq)+ \lambda_5d(q,Ty_n)\nonumber\\ &=&\lambda_1d(y_n,q)+\lambda_2d(y_n,Ty_n)+ \lambda_4d(y_n,q)+ \lambda_5d(q,Ty_n)\nonumber\\ &\leq&(\lambda_1+\lambda_4)d(y_n,q)+ \lambda_2[d(y_n,q)+d(q,Ty_n)]+\lambda_5d(q,Ty_n)\nonumber\\ &=&(\lambda_1+\lambda_2+ \lambda_4)d(y_n,q)+ (\lambda_2+\lambda_5)d(q,Ty_n),%\tag{2.1} (2.1) \end{eqnarray} 并且 \begin{eqnarray} d(Ty_n,q)&=&d(q,Ty_n)\nonumber=d(Tq,Ty_n)\nonumber\\&\leq& \lambda_1d(q,y_n)+\lambda_2d(q,Tq)+\lambda_3d(y_n,Ty_n)%\nonumber\\ +\lambda_4d(q,Ty_n)+ \lambda_5d(y_n,Tq)\nonumber\\&=&\lambda_1d(y_n,q)+\lambda_3d(y_n,Ty_n)+ \lambda_4d(q,Ty_n)+ \lambda_5d(y_n,q)\nonumber\\&\leq&(\lambda_1+\lambda_5)d(y_n,q)+ \lambda_3[d(y_n,q)+d(q,Ty_n)]+\lambda_4d(q,Ty_n)\nonumber\\&=&(\lambda_1+\lambda_3+ \lambda_5)d(y_n,q)+ (\lambda_3+\lambda_4)d(q,Ty_n).%\tag{2.2} (2.2) \end{eqnarray} 由 (2.1) 式和 (2.2) 式相加得到 $$ 2d(Ty_n,q)\leq(2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5) d(y_n,q)+(\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5)d(q,Ty_n), $$ 从而 $$ d(Ty_n,q)\leq\frac{2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5}{ 2-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4-\lambda_5}d(y_n,q). $$ 令$h=\frac{2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5} {2-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4-\lambda_5}$,则$0\leq h<1$,并且$d(Ty_n,q)\leq hd(y_n,q)$. 再令 $a_n=d(y_n,q)$,$c_n=d(y_{n+1},Ty_n)$,则 $$ a_{n+1}=d(y_{n+1},q)\leq d(y_{n+1},Ty_n)+d(Ty_n,q)\leq c_n+ha_n. $$ 由于$c_n=d(y_{n+1},Ty_n)\rightarrow\theta~( n\rightarrow\infty)$,充分利用引理1.6,故$a_n=d(y_n,q) \rightarrow\theta~(n\rightarrow\infty)$, 于是由引理1.7,$y_n\rightarrow q~(n\rightarrow\infty)$,所以 Picard 迭代是$T$ -稳定的.

(2)~ 取$X$ 中的一序列$\{y_n\}$. 令$b_n=d(y_n,Ty_n)$. 如果$c_n\rightarrow\theta(n\rightarrow\infty)$, 那么,一方面有 \begin{eqnarray*} b_n&=&d(y_n,Ty_n)\leq d(y_n,Ty_{n-1})+d(Ty_n,Ty_{n-1})\\&\leq& d(y_n,Ty_{n-1}) +\lambda_1d(y_n,y_{n-1})+\lambda_2d(y_n,Ty_n)+\lambda_3d(y_{n-1},Ty_{n-1})\\ &&+\lambda_4d(y_n,Ty_{n-1})+\lambda_5d(y_{n-1},Ty_n)\\ &\leq& d(y_n,Ty_{n-1}) +\lambda_1[d(y_n,Ty_{n-1})+d(Ty_{n-1},y_{n-1})]\\ &&+\lambda_2d(y_n,Ty_n)+\lambda_3d(y_{n-1},Ty_{n-1}) +\lambda_4d(y_n,Ty_{n-1})\\ &&+\lambda_5[d(y_{n-1},Ty_{n-1})+d(Ty_{n-1},y_n)+d(y_n,Ty_n)]\\ &=&(\lambda_2+\lambda_5)b_n+(\lambda_1+\lambda_3+\lambda_5)b_{n-1}+(1+\lambda_1+\lambda_4+\lambda_5)c_{n-1}, \end{eqnarray*} 从而 \begin{equation} (1-\lambda_2-\lambda_5)b_n\leq(\lambda_1+\lambda_3+\lambda_5)b_{n-1}+(1+\lambda_1+\lambda_4+\lambda_5)c_{n-1}. %\tag{2.3} (2.3) \end{equation} 另一方面,有 \begin{eqnarray*} b_n&=&d(y_n,Ty_n)\leq d(y_n,Ty_{n-1})+d(Ty_{n-1},Ty_n)\\&\leq& d(y_n,Ty_{n-1}) +\lambda_1d(y_{n-1},y_n)+\lambda_2d(y_{n-1},Ty_{n-1})+\lambda_3d(y_n,Ty_n)\\ &&+\lambda_4d(y_{n-1},Ty_n)+\lambda_5d(y_n,Ty_{n-1})\\&\leq& d(y_n,Ty_{n-1}) +\lambda_1[(d(y_{n-1},Ty_{n-1})+d(Ty_{n-1},y_n)] +\lambda_2d(y_{n-1},Ty_{n-1})\\ &&+\lambda_3d(y_n,Ty_n) +\lambda_4[d(y_{n-1},Ty_{n-1})+d(Ty_{n-1},y_n)+d(y_n,Ty_n)]+\lambda_5d(y_n,Ty_{n-1})\\ & =&(\lambda_3+\lambda_4)b_n+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_4)b_{n-1}+(1+\lambda_1+\lambda_4+\lambda_5)c_{n-1}, \end{eqnarray*} 由此, \begin{equation} (1-\lambda_3-\lambda_4)b_n\leq(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_4)b_{n-1}+(1+\lambda_1+\lambda_4+\lambda_5)c_{n-1}. %\tag{2.4} (2.4) \end{equation} 由 (2.3) 式 和 (2.4) 式相加得 \begin{eqnarray*} b_n\leq\frac{2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5} {2-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4-\lambda_5}b_{n-1}+ \frac{2(1+\lambda_1+\lambda_4+\lambda_5)} {2-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4-\lambda_5}c_{n-1}. \end{eqnarray*} 注意到$0\leq\frac{2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5} {2-\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4-\lambda_5}<1$,利用引理~1.6 推出$b_n=d(y_n,Ty_n)\rightarrow\theta~(n\rightarrow\infty)$. 反过来,如果$b_n\rightarrow\theta~(n\rightarrow\infty)$,那么 \begin{eqnarray*} c_n&=&d(y_{n+1},Ty_n)\leq d(y_{n+1},Ty_{n+1})+d(Ty_{n+1},Ty_n)\\ &\leq &d(y_{n+1},Ty_{n+1})+\lambda_1d(y_{n+1},y_n)+\lambda_2d(y_{n+1},Ty_{n+1}) \\&&+\lambda_3d(y_n,Ty_n)+\lambda_4d(y_{n+1},Ty_n)+\lambda_5d(y_n,Ty_{n+1})\\ &\leq& d(y_{n+1},Ty_{n+1})+\lambda_1[d(y_{n+1},Ty_n)+d(y_n,Ty_n)]+\lambda_2d(y_{n+1},Ty_{n+1}) \\&&+\lambda_3d(y_n,Ty_n)+\lambda_4d(y_{n+1},Ty_n)+\lambda_5[d(y_n,Ty_n)+d(Ty_n,y_{n+1})+ d(y_{n+1},Ty_{n+1})]\\ &=&(1+\lambda_2+\lambda_5)b_{n+1}+(\lambda_1+\lambda_3+\lambda_5)b_n+ (\lambda_1+\lambda_4+\lambda_5)c_n. \end{eqnarray*} 于是 $$ c_n\leq\frac{1+\lambda_2+\lambda_5}{1-\lambda_1-\lambda_4-\lambda_5}b_{n+1}+ \frac{\lambda_1+\lambda_3+\lambda_5}{1-\lambda_1-\lambda_4-\lambda_5}b_n. $$ 上式不等号两边取极限,所以$c_n\rightarrow\theta(n\rightarrow\infty)$. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

例2.2 设$X=[0,1]$,$E={\Bbb R}^2$, $P=\{(x,y)\in E:x,y\geq0\}$. 定义$d:X\times X\rightarrow E$ 为 $$d(x,y)=(|x-y|,|x-y|),~~\forall x,y\in X.$$ 则$(X,d)$ 为完备的锥度量空间, $P$ 为正规锥. 定义映射$T:X\rightarrow X$ 为 $$Tx=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x,~~\forall x\in X.$$ 容易得到 $$ d(Tx,Ty)\leq\frac{1}{3}d(x,y)+\frac{1}{12}d(x,Tx)+\frac{1}{16}d(y,Ty) +\frac{1}{4}d(x,Ty)+\frac{1}{4}d(y,Tx),~~~\forall x,y\in X. $$ 于是定理~2.1 的所有条件都满足,所以$T$ 在$X$ 中有唯一的不动点$0$.

下面取$y_n(t)=\frac{t}{n}$,$t\in[0,1]$. 由于$n\rightarrow\infty$时 \begin{eqnarray*} |y_{n+1}-Ty_n|&=&\bigg|\frac{t}{n+1}-\frac{t^2}{4n^2}-\frac{t}{2n} \bigg|\\ &=&\bigg|-\frac{1}{4n^2}t^2+\frac{n-1}{2n(n+1)}t\bigg| \leq\max\limits_{0\leq t\leq1}\bigg|-\frac{1}{4n^2}t^2+\frac{n-1}{2n(n+1)}t\bigg|\\ &=&\bigg|\frac{2n^2-3n-1}{4n^2(n+1)}\bigg| \rightarrow0, \end{eqnarray*} 故$n\rightarrow\infty$时 $$ d(y_{n+1},Ty_n)=(|y_{n+1}-Ty_n|,|y_{n+1}-Ty_n|)\rightarrow\theta=(0,0). $$ 再由$y_n\rightarrow0$,即得 Picard 迭代是$T$ -稳定的.

另外,也有$d(y_n,Ty_n)\rightarrow\theta(n\rightarrow\infty)$. 因此定理~2.1 的 (2) 也是成立的.

注2.3 为了确保$T$ 有不动点,要求空间$(X,d)$ 的完备性条件必不可少. 例如,若将例2.2 中的$X=[0,1]$ 替换为$X=(0,1)$,其它条件不变,则$(X,d)$ 不是完备的锥度量空间. 尽管$T$ 还是满足压缩条件,但$T$ 在$X$ 中没有不动点,所以 Picard 迭代不是$T$ -稳定的.

注2.4 定理2.1 中锥的正规性条件不可去掉,见如下例~2.5.

例2.5 设$X=[0,1]$,$E=C_{{\Bbb R}}^1([0,1])$, 其范数定义为$\|\varphi\|=\|\varphi\|_\infty+\|\varphi'\|_\infty$. 令 $P=\{\varphi\in E:\varphi(t)\geq0,~t\in[0,1]\}$,则$P$ 是一个非正规锥^[6]. 定义映射$d:X\times X\rightarrow E$ 为$$d(x,y)=|x-y|\varphi(t),~~\forall x,y\in X,$$其中$\varphi(t)$ 为已知函数, 不妨取$\varphi(t)=e^t$,则$(X,d)$ 为完备的锥度量空间. 定义$T:X\rightarrow X$ 为$Tx=\frac{1}{2}x$, 则 $$ d(Tx,Ty)=d\bigg(\frac{1}{2}x,\frac{1}{2}y\bigg) =\frac{1}{2}|x-y|e^t=\frac{1}{2}d(x,y), $$ 于是满足定理2.1 的压缩条件. 因此$T$ 在$X$ 中有唯一的不动点$0$. 令$y_n(t)=\frac{1+\sin nt}{n+2}$. 尽管 \begin{eqnarray*} d(y_{n+1},Ty_n)&=&|y_{n+1}-Ty_n|e^t= \bigg|\frac{1+\sin (n+1)t}{n+3}- \frac{1+\sin nt}{2(n+2)}\bigg|e^t\\ &\leq&\bigg(\bigg|\frac{1+\sin (n+1)t}{n+3}\bigg|+\bigg|\frac{1+\sin nt}{2(n+2)}\bigg|\bigg)e^t\\&\leq&\bigg(\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+2} \bigg)e^t\rightarrow 0 ~~ (n\rightarrow\infty), \end{eqnarray*} 从而$d(y_{n+1},Ty_n)\rightarrow0~(n\rightarrow\infty)$, 但是由$\|y_n\|=1$ 有$y_n\nrightarrow0~(n\rightarrow\infty)$.

注2.6 定理2.1 推广了之前的一些结果. 事实上, 若取$\lambda_3=\lambda_4=\lambda_5=0$, $\lambda_1=a\geq0$,$\lambda_2=L\geq0$,使得$0\leq a+L<1$, 则定理2.1 退化为文献~^[9] 的推论~2. 而且若取$y=q$,$\lambda_3 =\lambda_4=\lambda_5=0$,$\lambda_1=b\geq0$,$\lambda_2=a\geq0$, 使得$0\leq a+b<1$,则定理~2.1 即为文献~^[2] 的定理~2.2.

定理2.7 设$(X,d)$ 为锥度量空间,$P$ 为正规锥. 假设映射$T:X\rightarrow X$ 是满射且满足下列条件 $$ d(Tx,Ty)\geq k_1d(x,y)+k_2d(x,Tx)+k_3d(y,Ty)+k_4d(x,Ty)+k_5d(y,Tx),~~\forall x,y\in X, $$ 其中$k_1+k_2+k_3>1$. 若$k_3\leq 1+k_4$ 或者$k_2\leq 1+k_5$, 则$T$ 在$X$ 中有不动点. 另外,如果$k_1+k_4+k_5>1$, 那么不动点是唯一的,并且 Picard 迭代是$T$ -稳定的.

证 仅证明$k_3\leq 1+k_4$ 的情形,而$k_2\leq 1+k_5$ 的情形可类似证明. 设$k_3\leq 1+k_4$,则由文献^[3] 的定理2.1 知$T$ 在$X$ 中有一个不动点$q$. 再设$k_1+k_4+k_5>1$, 下证此不动点是唯一的. 用反证法. 假设 $T$ 在$X$ 中有另一个不动点$p$,然后 \begin{eqnarray*} d(q,p)&=&d(Tq,Tp)\\&\geq& k_1d(q,p)+k_2d(q,Tq)+k_3d(p,Tp) +k_4d(q,Tp)+k_5d(p,Tq)\nonumber\\&=&(k_1+k_4+k_5)d(q,p), \end{eqnarray*} 由此,$$d(q,p)\leq\frac{1}{k_1+k_4+k_5}d(q,p).$$ 由于$0<\frac{1}{k_1+k_4+k_5}<1$,故由引理1.8,得到$d(q,p)=\theta$,即$q=p$.

设$\{y_n\}$ 是$X$ 中的一个序列,使得$d(y_n,Ty_{n+1})\rightarrow\theta$($n\rightarrow\infty$). 令$b_n=d(y_n,Ty_n)$,$c_n=d(y_n,Ty_{n+1})$, $h=\frac{1+k_4-k_3}{k_1+k_2+k_4}$,$k=\frac{1+k_1+k_4-k_5}{k_1+k_2+k_4}$. 由$k_1+k_2+k_3>1$ 和$k_3\leq 1+k_4$ 得到 $k_1+k_2+k_4>1-k_3+k_4\geq0$ 和$h\in[0,1)$. 利用三角不等式,有 \begin{eqnarray*} c_n+b_n&=&d(y_n,Ty_{n+1})+d(y_n,Ty_n)\geq d(Ty_{n+1},Ty_n)\\ &\geq& k_1d(y_{n+1},y_n)+k_2d(y_{n+1},Ty_{n+1})+k_3d(y_n,Ty_n)\\ &&+k_4d(y_{n+1},Ty_n) +k_5d(y_n,Ty_{n+1})\\ &\geq &k_1d(y_{n+1},y_n)+k_2d(y_{n+1},Ty_{n+1})+k_3d(y_n,Ty_n)\\ &&+k_4[d(y_{n+1},y_n)-d(y_n,Ty_n)]+k_5d(y_n,Ty_{n+1})\\&\geq& (k_1+k_4)[d(y_{n+1},Ty_{n+1})-d(y_n,Ty_{n+1})]+k_2d(y_{n+1},Ty_{n+1})\\ &&+(k_3-k_4)d(y_n,Ty_n)+k_5d(y_n,Ty_{n+1})\\&=& (k_1+k_2+k_4)b_{n+1}+(k_5-k_1-k_4)c_n+(k_3-k_4)b_n, \end{eqnarray*} 从而 $$ b_{n+1}\leq\frac{1+k_4-k_3}{k_1+k_2+k_4}b_n+\frac{1+k_1+k_4-k_5}{k_1+k_2+k_4}c_n, $$ 进而$b_{n+1}\leq hb_n+kc_n$. 由于$c_n\rightarrow\theta$ ($n\rightarrow\infty$),再由引理~1.6 得到$b_n\rightarrow\theta$ $(n\rightarrow\infty$).

又由扩张条件,有 \begin{eqnarray*} b_n+d(y_n,q)&\geq& d(Ty_n,q)=d(q,Ty_n)=d(Tq,Ty_n)\\&\geq& k_1d(q,y_n)+k_2d(q,Tq)+k_3d(y_n,Ty_n)+k_4d(q,Ty_n)+k_5d(y_n,Tq)\\& \geq &k_1d(y_n,q)+k_3d(y_n,Ty_n)+k_4[d(y_n,q)-d(y_n,Ty_n)]+k_5d(y_n,q)\\& =&(k_1+k_4+k_5)d(y_n,q)+(k_3-k_4)b_n, \end{eqnarray*} 于是 $$d(y_n,q)\leq\frac{1-k_3+k_4}{k_1+k_4+k_5-1}b_n\rightarrow\theta ~(n\rightarrow\infty).$$ 最后由引理1.7,得到$y_n\rightarrow q~(n\rightarrow\infty)$. 因此 Picard 迭代是$T$ -稳定的. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

注2.8 定理2.7 大大地推广了先前的一些结果. 事实上,它不仅补充了文献 ^[3] 的定理2.1,而且延拓了文献^[1] 的主要结果. 除此以外,定理2.7 也推广了文献~^[13] 的推论~2.3-2.6 和文献^[7] 的推论3.10.

例2.9 设$X=\{1,2,3\}$, $E={\Bbb R}^2$,$P=\{(x,y)\in E:x,y\geq 0\}$. 定义$d:X\times X\rightarrow E$ 为 \begin{eqnarray*} &d(1,1)=d(2,2)=d(3,3)=d(1,2)=d(2,1)=(0,0),\\&d(2,3)=d(3,2)=d(1,3)= d(3,1)=(7,3). \end{eqnarray*} 则$(X,d)$ 为一个完备的锥度量空间. 定义映射$T:X\rightarrow X$ 为 $$T1=2,~~T2=1,~~T3=3.$$ 容易得到 \begin{eqnarray*} d(Tx,Ty)\geq \frac{2}{7}d(x,y)+\frac{6}{7}d(x,Tx)+\frac{5}{7}d(y,Ty),~~~\forall x,y\in X. \end{eqnarray*} 于是定理2.7 的所有条件都满足,所以$T$ 在$X$ 中有一个不动点$3$.

例2.10 设$X={\Bbb R}$, $E={\Bbb R}^2$,$P=\{(x,y)\in E:x,y\geq 0\}$. 定义$d:X\times X\rightarrow E$ 为$d(x,y)=(|x-y|,|x-y|)$. 则$(X,d)$ 为一个完备的锥度量空间. 定义映射$T:X\rightarrow X$ 为$Tx=3x$. 注意到 $$d(Tx,Ty)\geq 2d(x,y),\forall x,y\in X.$$令$k_1=2$, $k_2=k_3=k_4=k_5=0$,则定理2.7 的所有条件都满足,于是$T$ 在$X$ 中有一个唯一的不动点$0$. 取$y_n=\frac{1}{n}$. 由于 \begin{eqnarray*} d(y_n,Ty_{n+1})=d\Big(\frac{1}{n},\frac{3}{n+1}\Big)=\Big(\Big|\frac{1}{n}- \frac{3}{n+1}\Big|,\Big|\frac{1}{n}- \frac{3}{n+1}\Big|\Big)\rightarrow\theta=(0,0)~~ (n\rightarrow\infty), \end{eqnarray*} 而且$y_n\rightarrow0~(n\rightarrow\infty)$,故 Picard 迭代是$T$ -稳定的. 因此定理2.7 是很有意义的.

下面应用定理2.1 解决下列带有边值的二阶微分方程问题 \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}+a_1(x) \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}+a_2(x)y=f(x),~~~x\in[0,x_0],\\ [2mm]y(0)=C_0,~y'(0)=C_1, \end{array}\right.%\tag{3.1} (3.1) \end{equation} 其中$a_1(x),a_2(x),f(x)\in C([0,x_0])$ 都为已知函数,而$C_0,~C_1$ 均为常数.

定理3.1 考虑方程组 (3.1),令$M=\max\limits_{0\leq t,x\leq x_0}|a_2(x)(t-x)-a_1(x)|$. 若$x_0M<1$,则方程 (3.1) 有一个唯一的解,其解为 $$ y=\sum_{n=0}^\infty\int_0^x(x-t)u_n(t){\rm d}t+C_1x+C_0, $$ 其中$$u_0(x)=f(x)-C_1a_1(x)-C_1xa_2(x)-C_0a_2(x),$$ $$u_n(x)=\int_0^x[a_2(x) (t-x)-a_1(x)]u_{n-1}(t){\rm d}t,~~n=1,2,\ldots.$$

证 令$u(x)=\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}$, $p(x)=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}$,则$u(x),p(x)\in C([0,x_0])$. 结合初始条件,得到 \begin{equation} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\int_0^xu(t){\rm d}t+C_1,%\tag{3.2} (3.2) \end{equation} \begin{eqnarray} y&=&\int_0^xp(s){\rm d}s+C_0=\int_0^x \bigg[\int_0^su(t){\rm d}t+C_1\bigg]{\rm d}s+C_0\nonumber\\ &=&\int_0^x\bigg[\int_0^su(t){\rm d}t\bigg]{\rm d}s+C_1x+C_0 =\int_0^x{\rm d}t\int_t^xu(t) {\rm d}s+C_1x+C_0\nonumber\\ &=&\int_0^x(x-t)u(t){\rm d}t+C_1x+C_0.%\tag{3.3} (3.3) \end{eqnarray} 将(3.2) 式和(3.3) 式代入到(3.1) 式得到(3.1) 式与下列 Volterra 型积分方程等价 $$ u(x)=\int_0^x K(x,t)u(t){\rm d}t+F(x), $$ 其中$K(x,t)=a_2(x)(t-x)-a_1(x)$,$F(x)=f(x)-C_1a_1(x)-C_1xa_2(x)-C_0a_2(x)$.

取 $X=E=C([0,x_0])$,$P=\{\varphi\in E:\varphi\geq0\}$. 作映射$d:X\times X\rightarrow E$ 为$d(u,v)=f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}|u(x)-v(x)|$,此处$f:[0,x_0]\rightarrow{\Bbb R}$,不妨取$f(x)=e^x$. 易得$(X,d)$ 为一个完备的锥度量空间.

定义映射$T:C([0,x_0])\rightarrow C([0,x_0])$ 为$$Tu(x)=\int_0^x K(x,t)u(t){\rm d}t+F(x).$$ $\forall u,v\in C([0,x_0])$,有 \begin{eqnarray*} d(Tu,Tv)&=&f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}\bigg|\int_0^x K(x,t)u(t){\rm d}t-\int_0^x K(x,t)v(t){\rm d}t\bigg|\nonumber\\ &=&f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}\bigg|\int_0^x K(x,t)[u(t)-v(t)]{\rm d}t\bigg|\nonumber\\ &\leq& x_0Mf(x)\max\limits_{0\leq t\leq x_0}|u(t)-v(t)|\nonumber\\ &=&x_0Md(u,v), \end{eqnarray*} 从而$$d(Tu,Tv)\leq \lambda_1d(u,v)+\lambda_2d(u,Tu)+\lambda_3d(v,Tv)+\lambda_4d(u,Tv)+\lambda_5d(v,Tu),$$ 这里$\lambda_1=x_0M,~\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=\lambda_5=0$.

综上所述,定理2.1 的所有条件都满足. 因此 Picard 迭代是$T$ -稳定的,并且$T$ 有一个唯一的不动点. 取$$y_n(x)=\sum_{i=0}^nu_i(x),~~~~x\in[0,x_0],$$其中 $$u_0(x)=F(x),~~~~~~~u_i(x)=\int_0^xK(x,t)u_{i-1}(t){\rm d}t,~~i=1,2,\ldots$$ 注意到 \begin{eqnarray*} d(y_{n+1},Ty_n)&=&f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}|y_{n+1}-Ty_n|\\ &=&f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}\bigg|u_0(x) +\sum_{i=1}^{n+1}u_i(x) -\int_0^x K(x,t)y_n(t){\rm d}t-F(x)\bigg|\\ &=&f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}\bigg|u_0(x) +\sum_{i=1}^{n+1}\int_0^xK(x,t)u_{i-1}(t){\rm d}t\\ && -\int_0^x K(x,t)\bigg[u_0(x)+\sum_{i=1}^nu_i(t)\bigg]{\rm d}t -F(x)\bigg|\\ &=&f(x)\max\limits_{0\leq x\leq x_0}\bigg|u_0(x)+\int_0^xK(x,t) \bigg[\sum_{i=1}^{n+1}u_{i-1}(t)-\sum_{i=1}^nu_i(t)\bigg] {\rm d}t\\ && -\int_0^x K(x,t)u_0(t){\rm d}t-F(x)\bigg|\\ &=&\theta, \end{eqnarray*} 则$d(y_{n+1},Ty_n)\rightarrow\theta~ (n\rightarrow\infty)$. 利用$T$ 的稳定性,得到$T$ 的不动点如下 \begin{eqnarray*} q=\lim_{n\rightarrow\infty}y_n(x)=u(x)=\sum_{i=0}^\infty u_i(x)=\sum_{n=0}^\infty u_n(x). \end{eqnarray*} 将$u(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty u_n(x)$ 代入到 (3.3) 式中,得到 (3.1) 式的解为 \begin{eqnarray*} y=\sum_{n=0}^\infty\int_0^x(x-t)u_n(t){\rm d}t+C_1x+C_0. \end{eqnarray*} 证毕.