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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (2): 395-404   PDF (318 KB)    
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本文作者相关文章
黄华平
许绍元
徐望斌
锥度量空间中Picard迭代的T-稳定性
黄华平1, 许绍元2 , 徐望斌1    
1. 湖北师范学院数学与统计学院 湖北黄石 435002;
2. 韩山师范学院数学与统计系 广东潮州 521041
摘要:研究了锥度量空间中关于压缩映射和扩张映射的Picard 迭代的T-稳定性, 并且列举了一些例子验证了其结论. 同时通过应用这些结论, 获得了一类常见的带有边值条件的微分方程的正解公式.
关键词T-稳定性     锥度量空间     压缩映射     扩张映射     不动点    
T-Stability of Picard's Iteration in Cone Metric Spaces
Huang Huaping1, Xu Shaoyuan2 , Xu Wangbin1    
1. School of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Hubei Huangshi 435002;
2. Department of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Guangdong Chaozhou 521041
Abstract: In this paper we investigate the T-stability of fixed point Picard's iteration procedures for contractive mappings and expansive mappings, respectively. We illustrate our conclusions for some examples. Furthermore, we use our results to obtain the unique positive solution for an ordinary differential equation with boundary conditions.
Key words: T-Stability     Cone metric space     Contractive mapping     Expansive mapping     Fixed point    
1 引言

近年来,不动点迭代过程的稳定性理论得到了很好的发展,这些理论逐步渗透到应用数学的各个分支, 已经涌现了许多杰出的工作[4, 8, 11]. 自从黄龙光和张宪[5]引进锥度量空间, 从而推广了度量空间以来,学者们已经致力于此空间中稳定性理论的研究工作[2]. 但是迄今为止,最重要的迭代过程莫过于 Picard 迭代,其稳定性起着主导性作用. 基如此, 本文着手于锥度量空间中一类压缩映射的 Picard 迭代的T -稳定性,证明了两种极限的等价性, 并且给出了两个例子验证了其结论. 这些结果大大地改进和推广了文献[2, 4, 8, 9, 11] 等的工作. 除此以外,还给出了关于扩张映射的 Picard 迭代的T -稳定性. 据作者们所知, 这是第一次考虑锥度量空间中有关扩张映射的T -稳定性. 另外,还给出了两个例子验证了其结论. 最后,通过应用这些结论,找到了一类带有边值条件的二阶微分方程的正解公式.

为方便起见,下面给出文章中所需要的一些概念和引理.

E 为实 Banach 空间,PE 的子集. 记θE 的零元,而 intPP 的全部内点所组成的集合. 若满足下列条件:

(i)~ P 为非空闭集,且P{θ};

(ii)~ a, bR, a,b0, x,yPax+byP;

(iii)~ P(P)={θ},
则称PE 中的锥.

基如此,定义关于P 的偏序xyyxP, < 为 x< y ⇔ x ≤ y且 xy, 而xyyx~intP. 记E 的范数. 若x,yE,θxy,总存在着一个正数K>0, 使得xKy,则称P 为正规锥, 而称满足此不等式的最小的正数KP 的正规常数. 众所周知,绝大多数锥都是正规锥[6].

下文总假设E 为实~Banach 空间,PE 中的体锥,即intP.

定义1.1[5]X 为非空集合. 如果映射d:X×XE 满足下列条件

(d1)~ $\theta (d2)~ d(x,y)=d(y,x),x,yX;

(d3)~ d(x,y)d(x,z)+d(z,y),x,y,zX,
那么称dX 上的锥度量,而称(X,d) 为锥度量空间.

定义1.2[10](X,d) 为锥度量空间,xX,{xn}X,则

(i)~ 若cθ,总存在着某个自然数N>0,使得当n>N 时,都有d(xn,x)c,则称{xn} 收敛于x. 记为limnxn=x~或者 xnx (n).

(ii)~ 若cθ,总存在着某个自然数N>0,使得当n,m>N 时,都有d(xn,xm)c,则称{xn} 为~Cauchy 列.

(iii)~ 若对X 中的任意Cauchy 列都收敛,则称(X,d) 为完备的锥度量空间.

定义1.3[2](X,d) 为锥度量空间,TX 的自映射. 设x0X, xn+1=Txn 为 Picard 迭代序列,且收敛于T 的一个不动点q. 如果对X 中满足条件 limnd(yn+1,Tyn)=θ(1.1) 的任一{yn},都有limnyn=q,那么称此迭代序列是T -稳定的.

定义1.4(X,d) 为锥度量空间,TX 的自映射. 设x0X, xn=Txn+1 为 Picard 迭代序列,且收敛于T 的一个不动点q. 如果对X 中满足条件 limnd(yn,Tyn+1)=θ(1.2) 的任一{yn},都有limnyn=q,那么称此迭代序列是T -稳定的.

注1.5 显然地,由映射的T -稳定性就可以找到该映射的不动点. 事实上,只要找到 满足 (1.1) 式或 (1.2) 式的任一{yn},则由映射的T -稳定性, 就可以得到此映射的不动点为q=limnyn.

引理1.6[2]P 为正规锥,{an},{cn}P 中的点列,且 an+1han+cn, 其中h[0,1) 为常数,cnθ(n),则 limnan=θ.

引理1.7[6]c intP,{an}Panθ(n), 则存在n0>0,使得当n>n0 时,都有anc.

引理1.8[12]P 为锥,uP. 若存在0λ1,使得uλu,则 u=θ.

2 主要结果

首先,分别给出了锥度量空间中关于压缩映射和扩张映射 Picard 迭代序列的T -稳定性. 其次,给出了几个例子验证了这些结果.

定理2.1(X,d) 为锥度量空间,P 为正规锥. 假设映射T:XX 满足下列条件 d(Tx,Ty)λ1d(x,y)+λ2d(x,Tx)+λ3d(y,Ty)+λ4d(x,Ty)+λ5d(y,Tx),  x,yX, 其中λi0 (i=1,,5)0λ1+λ2+λ3+λ4+λ5<1,则

(1)~ Picard 迭代是T -稳定的;

(2)~ 对X 中的任意序列{yn},当n 时, d(yn+1,Tyn)θd(yn,Tyn)θ 等价. (1)~ 取x0X,构造 Picard 迭代序列xn+1=Txn=Tn+1x0. 利用文献[14] 的推论2.1,得到TX 中有唯一的不动点q. 假定{yn}X 中满足条件d(yn+1,Tyn)θ(n) 的序列,则 d(Tyn,q)=d(Tyn,Tq)λ1d(yn,q)+λ2d(yn,Tyn)+λ3d(q,Tq)+λ4d(yn,Tq)+λ5d(q,Tyn)=λ1d(yn,q)+λ2d(yn,Tyn)+λ4d(yn,q)+λ5d(q,Tyn)(λ1+λ4)d(yn,q)+λ2[d(yn,q)+d(q,Tyn)]+λ5d(q,Tyn)=(λ1+λ2+λ4)d(yn,q)+(λ2+λ5)d(q,Tyn),(2.1) 并且 d(Tyn,q)=d(q,Tyn)=d(Tq,Tyn)λ1d(q,yn)+λ2d(q,Tq)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(q,Tyn)+λ5d(yn,Tq)=λ1d(yn,q)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(q,Tyn)+λ5d(yn,q)(λ1+λ5)d(yn,q)+λ3[d(yn,q)+d(q,Tyn)]+λ4d(q,Tyn)=(λ1+λ3+λ5)d(yn,q)+(λ3+λ4)d(q,Tyn).(2.2) 由 (2.1) 式和 (2.2) 式相加得到 2d(Tyn,q)(2λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)d(yn,q)+(λ2+λ3+λ4+λ5)d(q,Tyn), 从而 d(Tyn,q)2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52λ2λ3λ4λ5d(yn,q).h=2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52λ2λ3λ4λ5,则0h<1,并且d(Tyn,q)hd(yn,q). 再令 an=d(yn,q),cn=d(yn+1,Tyn),则 an+1=d(yn+1,q)d(yn+1,Tyn)+d(Tyn,q)cn+han. 由于cn=d(yn+1,Tyn)θ (n),充分利用引理1.6,故an=d(yn,q)θ (n), 于是由引理1.7,ynq (n),所以 Picard 迭代是T -稳定的.

(2)~ 取X 中的一序列{yn}. 令bn=d(yn,Tyn). 如果cnθ(n), 那么,一方面有 bn=d(yn,Tyn)d(yn,Tyn1)+d(Tyn,Tyn1)d(yn,Tyn1)+λ1d(yn,yn1)+λ2d(yn,Tyn)+λ3d(yn1,Tyn1)+λ4d(yn,Tyn1)+λ5d(yn1,Tyn)d(yn,Tyn1)+λ1[d(yn,Tyn1)+d(Tyn1,yn1)]+λ2d(yn,Tyn)+λ3d(yn1,Tyn1)+λ4d(yn,Tyn1)+λ5[d(yn1,Tyn1)+d(Tyn1,yn)+d(yn,Tyn)]=(λ2+λ5)bn+(λ1+λ3+λ5)bn1+(1+λ1+λ4+λ5)cn1, 从而 (1λ2λ5)bn(λ1+λ3+λ5)bn1+(1+λ1+λ4+λ5)cn1.(2.3) 另一方面,有 bn=d(yn,Tyn)d(yn,Tyn1)+d(Tyn1,Tyn)d(yn,Tyn1)+λ1d(yn1,yn)+λ2d(yn1,Tyn1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(yn1,Tyn)+λ5d(yn,Tyn1)d(yn,Tyn1)+λ1[(d(yn1,Tyn1)+d(Tyn1,yn)]+λ2d(yn1,Tyn1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4[d(yn1,Tyn1)+d(Tyn1,yn)+d(yn,Tyn)]+λ5d(yn,Tyn1)=(λ3+λ4)bn+(λ1+λ2+λ4)bn1+(1+λ1+λ4+λ5)cn1, 由此, (1λ3λ4)bn(λ1+λ2+λ4)bn1+(1+λ1+λ4+λ5)cn1.(2.4) 由 (2.3) 式 和 (2.4) 式相加得 bn2λ1+λ2+λ3+λ4+λ52λ2λ3λ4λ5bn1+2(1+λ1+λ4+λ5)2λ2λ3λ4λ5cn1. 注意到02λ1+λ2+λ3+λ4+λ52λ2λ3λ4λ5<1,利用引理~1.6 推出bn=d(yn,Tyn)θ (n). 反过来,如果bnθ (n),那么 cn=d(yn+1,Tyn)d(yn+1,Tyn+1)+d(Tyn+1,Tyn)d(yn+1,Tyn+1)+λ1d(yn+1,yn)+λ2d(yn+1,Tyn+1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(yn+1,Tyn)+λ5d(yn,Tyn+1)d(yn+1,Tyn+1)+λ1[d(yn+1,Tyn)+d(yn,Tyn)]+λ2d(yn+1,Tyn+1)+λ3d(yn,Tyn)+λ4d(yn+1,Tyn)+λ5[d(yn,Tyn)+d(Tyn,yn+1)+d(yn+1,Tyn+1)]=(1+λ2+λ5)bn+1+(λ1+λ3+λ5)bn+(λ1+λ4+λ5)cn. 于是 cn1+λ2+λ51λ1λ4λ5bn+1+λ1+λ3+λ51λ1λ4λ5bn. 上式不等号两边取极限,所以cnθ(n). \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

例2.2X=[0,1],E=R2, P={(x,y)E:x,y0}. 定义d:X×XEd(x,y)=(|xy|,|xy|),  x,yX.(X,d) 为完备的锥度量空间, P 为正规锥. 定义映射T:XXTx=14x2+12x,  xX. 容易得到 d(Tx,Ty)13d(x,y)+112d(x,Tx)+116d(y,Ty)+14d(x,Ty)+14d(y,Tx),   x,yX. 于是定理~2.1 的所有条件都满足,所以TX 中有唯一的不动点0.

下面取yn(t)=tn,t[0,1]. 由于n|yn+1Tyn|=|tn+1t24n2t2n|=|14n2t2+n12n(n+1)t|max0t1|14n2t2+n12n(n+1)t|=|2n23n14n2(n+1)|0,nd(yn+1,Tyn)=(|yn+1Tyn|,|yn+1Tyn|)θ=(0,0). 再由yn0,即得 Picard 迭代是T -稳定的.

另外,也有d(yn,Tyn)θ(n). 因此定理~2.1 的 (2) 也是成立的.

注2.3 为了确保T 有不动点,要求空间(X,d) 的完备性条件必不可少. 例如,若将例2.2 中的X=[0,1] 替换为X=(0,1),其它条件不变,则(X,d) 不是完备的锥度量空间. 尽管T 还是满足压缩条件,但TX 中没有不动点,所以 Picard 迭代不是T -稳定的.

注2.4 定理2.1 中锥的正规性条件不可去掉,见如下例~2.5.

例2.5X=[0,1],E=C1R([0,1]), 其范数定义为φ=φ+φ. 令 P={φE:φ(t)0, t[0,1]},则P 是一个非正规锥[6]. 定义映射d:X×XEd(x,y)=|xy|φ(t),  x,yX,其中φ(t) 为已知函数, 不妨取φ(t)=et,则(X,d) 为完备的锥度量空间. 定义T:XXTx=12x, 则 d(Tx,Ty)=d(12x,12y)=12|xy|et=12d(x,y), 于是满足定理2.1 的压缩条件. 因此TX 中有唯一的不动点0. 令yn(t)=1+sinntn+2. 尽管 d(yn+1,Tyn)=|yn+1Tyn|et=|1+sin(n+1)tn+31+sinnt2(n+2)|et(|1+sin(n+1)tn+3|+|1+sinnt2(n+2)|)et(2n+3+1n+2)et0  (n), 从而d(yn+1,Tyn)0 (n), 但是由yn=1yn0 (n).

注2.6 定理2.1 推广了之前的一些结果. 事实上, 若取λ3=λ4=λ5=0, λ1=a0,λ2=L0,使得0a+L<1, 则定理2.1 退化为文献~[9] 的推论~2. 而且若取y=q,λ3=λ4=λ5=0,λ1=b0,λ2=a0, 使得0a+b<1,则定理~2.1 即为文献~[2] 的定理~2.2.

定理2.7(X,d) 为锥度量空间,P 为正规锥. 假设映射T:XX 是满射且满足下列条件 d(Tx,Ty)k1d(x,y)+k2d(x,Tx)+k3d(y,Ty)+k4d(x,Ty)+k5d(y,Tx),  x,yX, 其中k1+k2+k3>1. 若k31+k4 或者k21+k5, 则TX 中有不动点. 另外,如果k1+k4+k5>1, 那么不动点是唯一的,并且 Picard 迭代是T -稳定的.

仅证明k31+k4 的情形,而k21+k5 的情形可类似证明. 设k31+k4,则由文献[3] 的定理2.1 知TX 中有一个不动点q. 再设k1+k4+k5>1, 下证此不动点是唯一的. 用反证法. 假设 TX 中有另一个不动点p,然后 d(q,p)=d(Tq,Tp)k1d(q,p)+k2d(q,Tq)+k3d(p,Tp)+k4d(q,Tp)+k5d(p,Tq)=(k1+k4+k5)d(q,p), 由此,d(q,p)1k1+k4+k5d(q,p). 由于0<1k1+k4+k5<1,故由引理1.8,得到d(q,p)=θ,即q=p.

{yn}X 中的一个序列,使得d(yn,Tyn+1)θ(n). 令bn=d(yn,Tyn),cn=d(yn,Tyn+1), h=1+k4k3k1+k2+k4,k=1+k1+k4k5k1+k2+k4. 由k1+k2+k3>1k31+k4 得到 k1+k2+k4>1k3+k40h[0,1). 利用三角不等式,有 cn+bn=d(yn,Tyn+1)+d(yn,Tyn)d(Tyn+1,Tyn)k1d(yn+1,yn)+k2d(yn+1,Tyn+1)+k3d(yn,Tyn)+k4d(yn+1,Tyn)+k5d(yn,Tyn+1)k1d(yn+1,yn)+k2d(yn+1,Tyn+1)+k3d(yn,Tyn)+k4[d(yn+1,yn)d(yn,Tyn)]+k5d(yn,Tyn+1)(k1+k4)[d(yn+1,Tyn+1)d(yn,Tyn+1)]+k2d(yn+1,Tyn+1)+(k3k4)d(yn,Tyn)+k5d(yn,Tyn+1)=(k1+k2+k4)bn+1+(k5k1k4)cn+(k3k4)bn, 从而 bn+11+k4k3k1+k2+k4bn+1+k1+k4k5k1+k2+k4cn, 进而bn+1hbn+kcn. 由于cnθ (n),再由引理~1.6 得到bnθ (n).

又由扩张条件,有 bn+d(yn,q)d(Tyn,q)=d(q,Tyn)=d(Tq,Tyn)k1d(q,yn)+k2d(q,Tq)+k3d(yn,Tyn)+k4d(q,Tyn)+k5d(yn,Tq)k1d(yn,q)+k3d(yn,Tyn)+k4[d(yn,q)d(yn,Tyn)]+k5d(yn,q)=(k1+k4+k5)d(yn,q)+(k3k4)bn, 于是 d(yn,q)1k3+k4k1+k4+k51bnθ (n). 最后由引理1.7,得到ynq (n). 因此 Picard 迭代是T -稳定的. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

注2.8 定理2.7 大大地推广了先前的一些结果. 事实上,它不仅补充了文献 [3] 的定理2.1,而且延拓了文献[1] 的主要结果. 除此以外,定理2.7 也推广了文献~[13] 的推论~2.3-2.6 和文献[7] 的推论3.10.

例2.9X={1,2,3}, E=R2,P={(x,y)E:x,y0}. 定义d:X×XEd(1,1)=d(2,2)=d(3,3)=d(1,2)=d(2,1)=(0,0),d(2,3)=d(3,2)=d(1,3)=d(3,1)=(7,3).(X,d) 为一个完备的锥度量空间. 定义映射T:XXT1=2,  T2=1,  T3=3. 容易得到 d(Tx,Ty)27d(x,y)+67d(x,Tx)+57d(y,Ty),   x,yX. 于是定理2.7 的所有条件都满足,所以TX 中有一个不动点3.

例2.10X=R, E=R2,P={(x,y)E:x,y0}. 定义d:X×XEd(x,y)=(|xy|,|xy|). 则(X,d) 为一个完备的锥度量空间. 定义映射T:XXTx=3x. 注意到 d(Tx,Ty)2d(x,y),x,yX.k1=2, k2=k3=k4=k5=0,则定理2.7 的所有条件都满足,于是TX 中有一个唯一的不动点0. 取yn=1n. 由于 d(yn,Tyn+1)=d(1n,3n+1)=(|1n3n+1|,|1n3n+1|)θ=(0,0)  (n), 而且yn0 (n),故 Picard 迭代是T -稳定的. 因此定理2.7 是很有意义的.

3 应用

下面应用定理2.1 解决下列带有边值的二阶微分方程问题 {d2ydx2+a1(x)dydx+a2(x)y=f(x),   x[0,x0],[2mm]y(0)=C0, y(0)=C1,(3.1) 其中a1(x),a2(x),f(x)C([0,x0]) 都为已知函数,而C0, C1 均为常数.

定理3.1 考虑方程组 (3.1),令M=max0t,xx0|a2(x)(tx)a1(x)|. 若x0M<1,则方程 (3.1) 有一个唯一的解,其解为 y=n=0x0(xt)un(t)dt+C1x+C0, 其中u0(x)=f(x)C1a1(x)C1xa2(x)C0a2(x), un(x)=x0[a2(x)(tx)a1(x)]un1(t)dt,  n=1,2,.

u(x)=d2ydx2, p(x)=dydx,则u(x),p(x)C([0,x0]). 结合初始条件,得到 dydx=x0u(t)dt+C1,(3.2) y=x0p(s)ds+C0=x0[s0u(t)dt+C1]ds+C0=x0[s0u(t)dt]ds+C1x+C0=x0dtxtu(t)ds+C1x+C0=x0(xt)u(t)dt+C1x+C0.(3.3) 将(3.2) 式和(3.3) 式代入到(3.1) 式得到(3.1) 式与下列 Volterra 型积分方程等价 u(x)=x0K(x,t)u(t)dt+F(x), 其中K(x,t)=a2(x)(tx)a1(x),F(x)=f(x)C1a1(x)C1xa2(x)C0a2(x).

X=E=C([0,x0]),P={φE:φ0}. 作映射d:X×XEd(u,v)=f(x)max0xx0|u(x)v(x)|,此处f:[0,x0]R,不妨取f(x)=ex. 易得(X,d) 为一个完备的锥度量空间.

定义映射T:C([0,x0])C([0,x0])Tu(x)=x0K(x,t)u(t)dt+F(x). u,vC([0,x0]),有 d(Tu,Tv)=f(x)max0xx0|x0K(x,t)u(t)dtx0K(x,t)v(t)dt|=f(x)max0xx0|x0K(x,t)[u(t)v(t)]dt|x0Mf(x)max0tx0|u(t)v(t)|=x0Md(u,v), 从而d(Tu,Tv)λ1d(u,v)+λ2d(u,Tu)+λ3d(v,Tv)+λ4d(u,Tv)+λ5d(v,Tu), 这里λ1=x0M, λ2=λ3=λ4=λ5=0.

综上所述,定理2.1 的所有条件都满足. 因此 Picard 迭代是T -稳定的,并且T 有一个唯一的不动点. 取yn(x)=ni=0ui(x),    x[0,x0],其中 u0(x)=F(x),       ui(x)=x0K(x,t)ui1(t)dt,  i=1,2, 注意到 d(yn+1,Tyn)=f(x)max0xx0|yn+1Tyn|=f(x)max0xx0|u0(x)+n+1i=1ui(x)x0K(x,t)yn(t)dtF(x)|=f(x)max0xx0|u0(x)+n+1i=1x0K(x,t)ui1(t)dtx0K(x,t)[u0(x)+ni=1ui(t)]dtF(x)|=f(x)max0xx0|u0(x)+x0K(x,t)[n+1i=1ui1(t)ni=1ui(t)]dtx0K(x,t)u0(t)dtF(x)|=θ,d(yn+1,Tyn)θ (n). 利用T 的稳定性,得到T 的不动点如下 q=limnyn(x)=u(x)=i=0ui(x)=n=0un(x).u(x)=n=0un(x) 代入到 (3.3) 式中,得到 (3.1) 式的解为 y=n=0x0(xt)un(t)dt+C1x+C0. 证毕.

参考文献
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锥度量空间中Picard迭代的T-稳定性
黄华平, 许绍元 , 徐望斌