本文研究一个众所周知的反应扩散系统,即 Gierer-Meinhardt 模型. 该系统是由Gierer 和Meinhardt在研究图灵模式的时候提出来的$^{[1]}$. 已经有很多作者研究了这个系统,获得了很多有意义的结果,见文献[7,8,9,10]. 在文献[7,8]中,陈,史和魏研究了带有基因表达时滞和活化剂 生产饱和的Gierer-Meinhardt 模型的平衡点全局吸引性,并完成了该情况下的Hopf分支分析. 在文献[9]里,徐和魏研究了一维 Schnakenberg反应扩散模型的Hopf分支. 在文献[10]里, 刘等研究了反应扩散Schnakenberg模型的分支问题. 本文主要研究扩散的Gierer Meinhardt模型的Hopf分支,我们主要研究如下系统 λbel0{Us=D1ΔU+ρUU2V1+K2U2−μUU,x∈Ωega,s>0,[3mm]Vs=D2ΔV−ρVU2V1+K2U2+σV,x∈Ωega,s>0,U(x,0)=U0(x)≥0,V(x,0)=V0(x)≥0,x∈Ωega,∂νU=∂νV=0,x∈∂Ωega,s>0,(1.1) 这里,Ωega 在Rn (n≥1) 中是有光滑边界∂Ωega的一个有界连通集 (反应器); 假定反应器是闭的,且符合自反的Neumann边界条件 (这里,∂νU是u的外法向导数). U(x,s) 和 V(x,s) 表示s>0,x∈Ωega时的成形基因浓度. 参数 ρU,ρV,μU,σV,和 K 都是非负常数.也就是说,假设按着U2V 的形式,U 和 V 有有效的交流作用,当U比较大的时候,这个交流作用就会饱和, 且饱和常数K不等于零. 假定U以速率ρU增加促使V以速率 ρV被消耗. U以与U成正比的速度μU移除. 对变量V, 存在一个常数生产期σV. 对于这个系统的更多更详细的论述可参见 文献 [2] 及它的参考文献.
我们引入如下新的变量 u=KU, v=μUVσV, u0=KU0, v0=μUV0σV, t=μUs, a=ρUσVKμ2U, b=ρVK2μU, di=DiμU, 系统 (1.1) 写成如下系统 λbel1{ut−d1Δu=au2v1+u2−u,x∈Ωega,t>0,[3mm]vt−d2Δv=−bu2v1+u2+1,x∈Ωega,t>0,[2mm]∂νu=∂νv=0,x∈,∂Ω;t>0,u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0, x∈Ωega,(1.2)
本文的目的是利用半线性偏微分方程组标准的Hpof分支定理,考虑空间齐次和非齐次周期轨道对唯一正平衡点的分支的存在性. 结果表明扩散Gierer-Meinhardt模型有丰富的振动模式. 过去几年的很多研究重点在于讨论不同类型Gierer-Meinhardt模型Hpof分支, 有兴趣的读者可以阅读文献[3,4,5] 了解更多的细节.
本文由如下几个部分构成. 在第二部分,我们给出一般反应扩散 方程组的几个Hpof定理. 在第三部分,我们对反应扩散系统的Hpof分 支做了分析,并给出计算机模拟支持我们的结论.
本部分对反应扩散Gierer-Meinhardt模型 (1.1) 进行Hpof分支分析.
为了方便起见,我们复制系统 (1.2) 为如下方程 λbel2{ut−d1Δu=au2v1+u2−u,x∈,t>0,[3mm]vt−d2Δv=−bu2v1+u2+1,x∈,t>0,[2mm]∂νu=∂νv=0,x∈,t>0,u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0, x∈ega,(2.1)
显然,系统 (2.1) 有唯一正平衡解 (u,v):=(,(2+1)/a), 给定 a,:=a/b 相应的空间定义域为 Ωega=(0,ℓπ),ℓ∈R+. 系统(2.1)在平衡状态(u,v) 的线性算子为 J():=(d1∂2∂x2+1−22+1, a22+1−2(2+1), d2∂2∂x2−a2+1),(2.2) 其中 b:=a/λ. 在以下的讨论中,用 λ 作为分支参数,并假设 a>0.
根据文献 [6] 可知,J(λ) 的特征值由如下算子 Jn(λ)给出 Jn(λ)=:(−d1n2ℓ2+1−λ2λ2+1, aλ2λ2+1−2λ(λ2+1), −d2n2ℓ2−aλλ2+1),(2.3) 其特征方程为 β2−βTn(λ)+Dn(λ)=0 (n=0,1,2⋯),(2.4) 其中, λbel3{Tn(λ):=trJn=1−aλ−λ2λ2+1−(d1+d2)n2ℓ2,[3mm]Dn(λ):=detJn=d1d2n4ℓ4+(ad1λλ2+1−d2(1−λ2)λ2+1)n2ℓ2+aλλ2+1.(2.5)
下面构建Hpof分支发生的潜在临界点元素.
存在 n∈N∪{0},使得 Tn(λ)=0,Dn(λ)>0;Tj(λ)≠0,Dj(λ)≠0, j≠n;
设靠近虚轴的唯一一对复特征根为 α(λ)±iΩega(λ),它穿过虚轴的横截条件为 α′(λ)≠0.(2.63)
由式 (2.5),Tn(λ)<0 和条件 Dn(λ)>0 ,λ≥1, 其中后面这个条件意味着唯一正平衡解 (λ,(λ2+1)/aλ) 是局部渐近稳定的. 因此,任何一个潜在的分支点λ0一定位于区间 (0,1). 对于区间 (0,1)上的任何一个分支点 λ0, αpha(λ)±iΩega(λ) 一定是 Ln(λ) 的特征值,于是 αpha(λ)=A(λ)2−(d1+d2)n22ℓ2, Ωega(λ)=√Dn(λ)−αpha2(λ),(2.7) 其中,A(λ)=1−aλ−λ21+λ2. 计算表明, 对于所有的0<λ<1,下列等式总是成立的 αpha′(λ)=A′(λ)2=aλ2−4λ−a2(1+λ2)2<0.(2.8)
因此,横截条件总是成立的.
对于任意的 ℓ>0,λH0:=(−a+√a2+4)/2∈(0,1) 是Hpof分支点. 对应于空间齐次周期解的Hpof分支,这和已经研究过的常微分方程组的结论是一 样的. 显然, 对于任意的 ℓ>0,空间齐次周期解的Hpof分支唯一λ值记为λH0.
下面,当 n≥1时,寻找空间非齐次Hpof分支. 注意到 A(0)=1,A(λH0)=0,A′(λ)=aλ2−4λ−a(1+λ2)2<0, λ∈(0,λH0).(2.9) 定义 λbel4ℓn=n√d1+d2, n∈Ν. 则对ℓn<ℓ<ℓn+1,及1≤j≤n,定义 λHj 为方程 A(λ)=(d1+d2)j2ℓ2. 这些n 值满足 0<λHn<⋯<λH2<λH1<λH0.
显然,对i≠j,Tj(λHj)=0 ,且 Ti(λHj)≠0. 现在,我们仅需要证明对所有的 i∈N0, Di(λHj,±)≠0,且 Dj(λHj,±)>0.
下面,推导参数满足的使得 Di(λHj,±)>0的条件. 假设 d1≥d2,有 λbel5Di(λHj)=d1d2i4ℓ4+(ad1λHj(λHj)2+1−d2(1−(λHj)2)(λHj)2+1)i2ℓ2+aλHj(λHj)2+1≥d1d2i4ℓ4+d2(aλHj(λHj)2+1−(1−(λHj)2)(λHj)2+1)i2ℓ2+aλHj(λHj)2+1=d1d2i4ℓ4+aλHj(λHj)2+1>0.(2.10)
综上,得到本文的主要结果:
定理2.1假定常数 d1,d2,a>0 满足 d1≥d2,及ℓn 由系统 (2.9) 定义. 则对于任意的 ℓn<ℓ<ℓn+1,存在 n 个点λHj(ℓ), 1≤j≤n,满足 0<λHn<⋯<λH2<λH1<λH0. 使得系统 (1.1) 在 λ=λHj 或 λ=λH0 具有Hpof分支. 而且,
(1)~ 在 λ=λH0 产生的Hpof周期解是空间齐次的, 这个结论和相应的常微分方程系统的周期解结论一致;
(2)~ 在 λ=λHj 产生的分支周期解是空间非齐次的.
例2.2 设 Ωega=(0,ℓπ),d1=4,d2=1,a=2.25,通过计算可知,λH0=0.3802,ℓn:=n√(d1+d2)=√5n≈2.2361n, Di(λHj)>0.
(1)~ 设 ℓ=3,则 ℓ∈(ℓ1,ℓ2]≈(2.236,4.470]. 解方程 A(λ)=(d1+d2)n2/ℓ2,可知 λH1=0.1760. 于是Hpof分支点集为 λmbda1={λH1,λH0}={0.1760,0.3802}.
(2)~ 设 ℓ=5,则 ℓ∈(ℓ2,ℓ3]≈(4.470,6.7082]. 同样, 可得 λH1≈0.3057,λH2=0.0833. 则Hpof分支点集为 λmbda1={λH1,λH2λH0}={0.0833,0.3057,0.3802}.
定理3.1 当0<a<2/√3时,系统 (1.2) 在点λ=λH0的分支 是超临界的且空间齐次的分支周期解是不稳定的; 当 a>2/√3 时, 在点λ=λH0的Hpof分支是次临界的,空间齐次的分支周期解是稳定的.
证 根据文献[6,定理2.1],为了确定分支周期解的稳定性和分支方向, 需要计算 Re(c1(λH0)), 其中c1(λH0)是按文献[6]定义的. 当 λ=λH0, 为方便起见,记 λH0=λ0. 于是 q:=(a0b0)=(11aλ20[λ20−1+iΩega0(1+λ20)]),(3.1) q∗:=(a∗0b∗0)=(1+iΩega02ℓπiΩega0λ02ℓπ),(3.2) 其中,Ωega0=√aλ0(λ0)2+1.
设 ˆu=u−uλ,ˆv=v−vλ,并仍记 ˆu 和ˆv 为 u 和 v,系统 (1.2) 变为 λbel9{ut−d1uxx=a(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2−(u+λ),x∈Ω,t>0,[3mm]vt−d2vxx=−b(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2+1,x∈Ω,t>0,[2mm]∂νu=∂νv=0,x∈Ω,t>0,u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0,x∈Ωega.(3.3)
设 f(λ,u,v)=a(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2−(u+λ),[3mm]g(λ,u,v)=−b(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2+1.(3.4)
在点(λ0,0,0),函数f和g的所有偏导数为 f″uu(λ0,0,0)=2−6λ20λ0(1+λ20)2,f″uv(λ0,0,0)=2aλ0(1+λ20)2; f‴uuu(λ0,0,0)=24(λ20−1)(1+λ20)3,f‴uuv(λ0,0,0)=2a(1−3λ20)(1+λ20)3; g″uu(λ0,0,0)=−2+6λ20λ20(1+λ20)2,g″uv(λ0,0,0)=−2a(1+λ20)2; g‴uuu(λ0,0,0)=24(1−λ20)λ0(1+λ20)3,g‴uuv(λ0,0,0)=−2a(1−3λ20)λ0(1+λ20)3; f″vv(λ0,0,0)=f‴uvv(λ0,0,0)=f‴vvv(λ0,0,0)=0, g″vv(λ0,0,0)=g‴uvv(λ0,0,0)=g‴vvv(λ0,0,0)=0. 于是 c0=−2+4iΩega0λ0(1+λ20)=−λ0d0,e0=−2λ0(1+λ20)=−λ0f0, g0=1(1+λ20)3[24(λ20−1)+2λ20(1−3λ20)[iΩega0(1+λ20)−3(1−λ20)]]=−λ0h0. 且 Qqq=(c0d0)=2−4iΩega0λ20(1+λ20)(−λ01),Qqˉq=(e0f0)=2λ20(1+λ20)(−λ01), Cqqˉq=(g0h0)=−1λ0(1+λ20)3[24(λ20−1)+2λ20(1−3λ20)[iΩega0(1+λ20)−3(1−λ20)]](−λ01), λngleq∗,Qqq⟩=−1+2iΩega0λ0(1+λ20),λngleq∗,Qqˉq⟩=−1λ0(1+λ20),λngleˉq∗,Qqq⟩=−1+2iΩega0λ0(1+λ20),λngleq∗,Cqqˉq⟩=1(1+λ20)3[12(λ20−1)+1λ20(1−3λ20)[iΩega0(1+λ20)−3(1−λ20)]].(3.5)
因此,可以直接计算得出如下结果 H20=(c0d0)−λngleq∗,Qqq⟩(a0b0)−λngle¯q∗,Qqq⟩(¯a0¯b0)=0,[6mm]H11=(e0f0)−λngleq∗,Qq¯q⟩(a0b0)−λngle¯q∗,Qq¯q⟩(¯a0¯b0)=0,(3.6) 其中 w20=w11=0. 于是 λngleq∗,Qw11,q⟩=λngleq∗,Qw20,¯q⟩=0.(3.7) 从而, Re(c1(λH0))=Re{i2Ωega0λngleq∗,Qqq⟩⋅λngleq∗,Qq¯q⟩+12λngleq∗,Cq,q,¯q⟩}=2λ0−a2λ0(1+λ20)2.(3.8)
注意到 λ0:=λH0=(−a+√a2+4)/2, 容易得,若 0<a<2/√3,Re(c1(λH0))>0, 若 a>2/√3,Re(c1(λH0))<0. 由文献[6,定理2.1],即可知道结论成立, 证明完毕.
例3.2 令d1=4,d2=1,a=2.25>√3/2. 此时,λH0=0.3802, 且 Re(c1(λH0))≈−1.4954<0, 则相应的分支周期解是稳定的. 由于 αpha′(λH0)=A′(λH0)/2=−1.3151<0, 我们有 1αpha′(λH0)Re(c1(λH0))>0. 这样在点λ=0.3802处的分支方向是次临界的,该结果见图 1.
定理3.3 对于系统 (1.2),如果条件1αpha′(λHj)Rec1(λHj)<0 (或>0),成立,则位于点λ=λHj, j≠0 的Hpof分支是超临界的(或者次临界的),并且空间非齐次分支周期 解是不稳定的.
证 当 λ=λHj (j∈N)时,为方便起见,记 λHj=λj. 由此我们得到 q:=cosjℓx(aj,bj)T=cosjℓx(1,1+λ2jaλ2j(iΩega0−d2j2ℓ2−aλj1+λ2j))T, q∗:=cosjℓx(a∗j,b∗j)T=cosjℓx(−iℓπΩega0(iΩega0+d2j2ℓ2+aλj1+λ2j),λj(1+λ2j)i2ℓπΩega0(iΩega0+d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)2)T, 这里 Ωega0=(2aλj(1+λ2j)2−(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)2)1/2.
经过计算,得 [2iΩega0I−L2j(λj)]−1=(αpha1+αpha2i)−1(2iΩega0+4d2j2ℓ2+aλj1+λ2jaλ2j1+λ2j[3mm]−2λj(1+λ2j)2iΩega0+4d1j2ℓ2−1−λ2j1+λ2j), 其中 αpha1:=−4Ωega20+(4d1j2ℓ2−1−λ2j1+λ2j)(4d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)+2aλj(1+λ2j)2,αpha2=6Ωega0(d1+d2)j2ℓ2; 且 [2iΩega0I−L0(λj)]−1=(αpha3+αpha4i)−1(2iΩega0+aλj1+λ2j aλ2j1+λ2j[3mm]−2λj(1+λ2j) 2iΩega0−1−λ2j1+λ2j), 其中 αpha3:=−4Ωega20+aλj1+λ2j,αpha4:=−2Ωega0(d1+d2)j2ℓ2. [L2j(λj)]−1=(αpha5)−1(−4d2j2ℓ2−aλj1+λ2j −aλ2j1+λ2j[3mm]2λj(1+λ2j) −4d1j2ℓ2+1−λ2j1+λ2j), 且 [L0(λj)]−1=(αpha6)−1(−aλj1+λ2j −aλ2j1+λ2j2λj(1+λ2j) 1−λ2j1+λ2j), 其中 αpha5:=(4d1j2ℓ2−1−λ2j1+λ2j)(4d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)+2aλj(1+λ2j)2,αpha6:=aλj(1+λ2j).
通过计算,可得函数f 和 g 在点(λj,0,0)的所有偏导数 f″uu=2−6λ2jλj(1+λ2j)2,f″uv=2aλj(1+λ2j)2; f‴uuu=24(λ2j−1)(1+λ2j)3,f‴uuv=2a(1−3λ2j)(1+λ2j)3; g″uu=−2+6λ2jλ2j(1+λ2j)2,g″uv=−2a(1+λ2j)2; g‴uuu=24(1−λ2j)λj(1+λ2j)3,g‴uuv=−2a(1−3λ2j)λj(1+λ2j)3; f″vv=f‴uvv=f‴vvv=0, g″vv=g‴uvv=g‴vvv=0. 故 cj=fuu+2fuv(iΩega0−d2j2ℓ2−aλj1+λ2j)=−λjdj, ej=fuu−2fuv1+λ2jaλ2j(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)=−λjfj, gj=fuuu+2fuuv1+λ2jaλ2j(iΩega0−3d2j2ℓ2−3aλj1+λ2j)=−λjhj. 由文献 [6] Qqq=cos2jℓx(cjdj),Qqˉq=cos2jℓx(ejfj),Cqqˉq=cos3jℓx(gjhj), 有 λngleq∗,Qqq⟩=λngleq∗,Qq¯q⟩=λngle¯q∗,Qqq⟩=λngle¯q∗,Q¯q¯q⟩=0. 这样, H20=Qqq=cos2jℓx(cjdj)=(12cos2jℓx+12)(cjdj), H11=Qqˉq=cos2jℓx(ejfj)=(12cos2jℓx+12)(ejfj), w20=[2iΩega0I−L(λj)]−1H20=[[2iΩega0I−L2j(λj)]−12cos2jℓx+[2iΩega0I−L0(λj)]−12]⋅(cjdj)=(ξη)cos2jxℓ+(τχ), w11=−[L(λj)]−1H11=−[[L2j(λj)]−12cos2jℓx+[L0(λj)−1]2]⋅(ejfj)=(˜ξ˜η)cos2jxℓ+(˜τ˜χ), 及 ξ=12(αpha1+iαpha2)−1[(2iΩega0+4d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)cj+aλ2j1+λ2jdj], η=12(αpha1+iαpha2)−1[−2λj(1+λ2j)cj+(2iΩega0+4d2j2ℓ2−1−λ2j1+λ2j)dj], τ=12(αpha3+iαpha4)−1[(2iΩega0+aλj1+λ2j)cj+aλ2j1+λ2jdj], χ=12(αpha3+iαpha4)−1[−2λj(1+λ2j)cj+(2iΩega0−1−λ2j1+λ2j)dj], ˜ξ=12αpha5[(4d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)ej+aλ2j1+λ2jfj], ˜η=12αpha5[−2λj(1+λ2j)ej+(4d1j2ℓ2−1−λ2j1+λ2j)fj], ˜τ=12αpha6(aλj1+λ2jej+aλ2j1+λ2jfj), ˜χ=12αpha6(−2λj(1+λ2j)ej−1−λ2j1+λ2jfj). 则有 Qw20,¯q=(fuuξ+fuvη+fuv¯bjξguuξ+guvη+guv¯bjξ)cosjxℓcos2jxℓ+(fuuτ+fuvχ+fuv¯bjτguuτ+guvχ+guv¯bjτ)cosjxℓ, Qw11,q=(fuu˜ξ+fuv˜η+fuvbj˜ξguu˜ξ+guv˜η+guvbj˜ξ)cos2jxℓcosjxℓ+(fuu˜τ+fuv˜χ+fuvbj˜τguu˜τ+guv˜χ+fuvbj˜τ)cosjxℓ, 注意对任意的 j∈N, ∫ℓπ0cos2jxℓdx=12ℓπ,∫ℓπ0cos2jxℓcos2jxℓdx=14ℓπ,∫ℓπ0cos4jxℓdx=38ℓπ, 有 λngleq∗,Qw20,¯q⟩=ℓπ4{¯a∗j(fuuξ+fuvη+fuvξ¯bj)+¯b∗j(guuξ+guvη+guvξ¯bj)}+ℓπ2{¯a∗j(fuuτ+fuvχ+fuvτ¯bj)+¯b∗j(guuτ+guvχ+guvτ¯bj)}, λngleq∗,Qw11,q⟩=ℓπ4{¯a∗j(fuu˜ξ+fuv˜η+fuv˜ξbj)+¯b∗j(guu˜ξ+guv˜η+guv˜ξbj)}+ℓπ2{¯a∗j(fuu˜τ+fuv˜χ+fuv˜τbj)+¯b∗j(guu˜τ+guv˜χ+guv˜τbj)}, λngleq∗,Cq,q,¯q⟩=3ℓπ4(¯a∗jgj+¯b∗jhj). Reλngleq∗,Qw20,ˉq⟩=14{fuu(ξR+2τR)+fuv(ηR+2χR)−fuv1+λ2jaλ2j[(ξR+2τR)(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)−(ξI+2τI)Ωega0]}−14Ωega0(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)⋅{fuu(ξI+2τI)+fuv(ηI+2χI)−fuv1+λ2jaλ2j[(ξI+2τI)(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)+(ξR+2τR)Ωega0]}−λj(1+λ2j)4(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)⋅{guu(ξR+2τR)+guv(ηR+2χR)−guv1+λ2jaλ2j[(ξR+2τR)(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)−(ξI+2τI)Ωega0]}+λj(1+λ2j)8Ωega0[(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)2−Ωega20]⋅{guu(ξI+2τI)+guv(ηI+2χI)−guv1+λ2jaλ2j[(ξI+2τI)(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)+(ξR+2τR)Ωega0]}, Reλngleq∗,Qw11,q⟩=14[fuu(˜ξ+2˜τ)+fuv(˜η+2˜χ)−fuv(˜ξ+2˜τ)(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)(1+λ2jaλ2j+1)]−λj(1+λ2j)4[guu(˜ξ+2˜τ)+guv(˜η+2˜χ)](d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)+λj(1+λ2j)4guv(˜ξ+2˜τ)[(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)2(1+λ2jaλ2j+1)−aλj(1+λ2j)2], Reλngleq∗,Cq,q,¯q⟩=38[fuuu−6fuuv1+λ2jaλ2j(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)][1+(1+λ2j)(d2j2ℓ2+2aλj1+λ2j)]−fuuv3(1+λ2j)4aλ2j[d2j2ℓ2+2aλj1+λ2j−Ωega20(1+λ2j)].
对 Γ=ξ,η,τ,χ,定义 ΓR:=ReΓ 和 ΓI:=ImΓ. 进一步, ξR=12(αpha21+αpha22){2[fuu+2fuv(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)](αpha2Ωega0+2αpha1d2j2ℓ2)+4fuv(2αpha2d2j2ℓ2−αpha1Ωega20)}, ξI=12(αpha21+αpha22){2[fuu+2fuv(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)](αpha1Ωega0−2αpha2d2j2ℓ2)+4Ωega0fuv(2αpha1d2j2ℓ2−αpha2Ωega0)}, ηR=−12λj(αpha21+αpha22){[fuu+2fuv(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)][2αpha2Ωega0+αpha1(1+4d2j2ℓ2)]}−Ωega0fuvλj(αpha21+αpha22)[αpha2(1+4d2j2ℓ2)−2αpha1Ωega0], ηI=−12λj(αpha21+αpha22){[fuu+2fuv(d2j2ℓ2+aλj1+λ2j)][2αpha1Ωega0−αpha2(1+4d2j2ℓ2)]}−Ωega0fuvλj(αpha21+αpha22)[αpha1(1+4d2j2ℓ2)−2αpha2Ωega0], \begin{eqnarray*} \tau_R=-\frac{Ωega_0}{(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{2Ωega_0αpha_3f_{uv}-αpha_4\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \tau_I=-\frac{Ωega_0}{(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{2Ωega_0αpha_4f_{uv}-αpha_3\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \chi_R&=&-\frac{1}{2λ_j(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{(2Ωega_0αpha_4+αpha_3)\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg] \\ &&+2Ωega_0f_{uv}(αpha_4-2Ωega_0αpha_3)\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \chi_I&=&-\frac{1}{2λ_j(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{(2Ωega_0αpha_3-αpha_4) \bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2} \bigg)\bigg] \\ &&+2Ωega_0f_{uv}(αpha_3+2Ωega_0αpha_4)\bigg\}, \end{eqnarray*} 由此,得到 \begin{eqnarray*} &&{\rm Re}(c_1(λ_{j}))\\ &=&{\rm Re}λngle q^*,Q_{w_{11},q}\rangle +\frac{1}{2}{\rm Re}λngle q^*,Q_{w_{20},\overline{q}}\rangle+\frac{1}{2}{\rm Re}λngle q^*,C_{q,q,\overline{q}}\rangle\\ &=&\frac{1}{4}\bigg[f _{uu}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau})+f_{uv}(\tilde{\eta}+2\tilde{\chi}) -f_{uv}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg(\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}+1\bigg) \bigg]\\ &&-\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4} \bigg[g _{uu}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) +g_{uv}(\tilde{\eta}+2\tilde{\chi})\bigg] \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\\ &&+\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4}g_{uv}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) \bigg[\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2 \bigg(\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}+1\bigg)-\frac{aλ_j} {(1+λ_j^2)^2}\bigg]\\ &&+\frac{1}{8}\bigg\{f _{uu}(\xi_R+2\tau_R)+f_{uv}(\eta_R+2\chi_R) \\ && -f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}\ \bigg[(\xi_R+2\tau_R) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) -(\xi_I+2\tau_I)Ωega_0\bigg]\bigg\}\\ &&-\frac{1}{8Ωega_0} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg\{f_{uu}(\xi_I+2\tau_I)+f_{uv}(\eta_I+2\chi_I) \\ &&-f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_I+2\tau_I) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) +(\xi_R+2\tau_R)Ωega_0\bigg]\bigg\}\\ &&-\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{8} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg\{g_{uu}(\xi_R+2\tau_R)+g_{uv}(\eta_R+2\chi_R) \\ &&-g_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_R+2\tau_R) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)- (\xi_I+2\tau_I)Ωega_0\bigg]\bigg\} \\ &&+\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{16Ωega_0} \bigg[\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+ \frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2-Ωega_0^2\bigg] \bigg\{g_{uu}(\xi_I+2\tau_I) +g_{uv}(\eta_I+2\chi_I)\\ &&-g_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_I+2\tau_I)\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2} +\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) +(\xi_R+2\tau_R)Ωega_0\bigg]\bigg\}\\ &&+\frac{3}{16}\bigg[f _{uuu}-6f_{uuv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}\bigg( \frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg[1+(1+λ_j^2)\bigg( \frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{2aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\\ &&-f_{uuv}\frac{3(1+λ_j^2)}{8aλ_j^2} \bigg[\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{2aλ_j}{1+λ_j^2} -Ωega_0^2(1+λ_j^2)\bigg], \end{eqnarray*} 于是,如果 \frac{1}{αpha'(λ_{j,\pm}^H)}{\rm Re}(c_1(λ_{j,\pm}^H))<0 (>0),分支的周期解是超临界的 (或次临界的). 证明完毕.
例3.4 令 Ωega=\left(0,5\pi\right),d_1=4,d_2=1,a=2.25.则 根据文献 [7]中的例子 λmbda_1=\{ λ_2^H,λ_1^H, λ_0^H\}=\{0.0833,\;0.3057,\;0.3802\}. {\rm Re}(c_1(λ_1^H))\approx-36.9473<0,~~ {\rm Re}(c_1(λ_2^H))\approx-263.3673<0, αpha'(λ_1^H)=A'(λ_1^H)/2\approx-1.3643<0,~~ αpha'(λ_2^H)=A'(λ_1^H)/2\approx-1.2662<0. 这样,在点λ=λ_1^H 和 λ=λ_2^H,分支方向是次临界的.