本文研究一个众所周知的反应扩散系统,即 Gierer-Meinhardt 模型. 该系统是由Gierer 和Meinhardt在研究图灵模式的时候提出来的$^{[1]}$. 已经有很多作者研究了这个系统,获得了很多有意义的结果,见文献[7,8,9,10]. 在文献[7,8]中,陈,史和魏研究了带有基因表达时滞和活化剂 生产饱和的Gierer-Meinhardt 模型的平衡点全局吸引性,并完成了该情况下的Hopf分支分析. 在文献[9]里,徐和魏研究了一维 Schnakenberg反应扩散模型的Hopf分支. 在文献[10]里, 刘等研究了反应扩散Schnakenberg模型的分支问题. 本文主要研究扩散的Gierer Meinhardt模型的Hopf分支,我们主要研究如下系统 λbel0{Us=D1ΔU+ρUU2V1+K2U2−μUU,x∈Ωega,s>0,[3mm]Vs=D2ΔV−ρVU2V1+K2U2+σV,x∈Ωega,s>0,U(x,0)=U0(x)≥0,V(x,0)=V0(x)≥0,x∈Ωega,∂νU=∂νV=0,x∈∂Ωega,s>0,(1.1) 这里,Ωega 在Rn (n≥1) 中是有光滑边界∂Ωega的一个有界连通集 (反应器); 假定反应器是闭的,且符合自反的Neumann边界条件 (这里,∂νU是u的外法向导数). U(x,s) 和 V(x,s) 表示s>0,x∈Ωega时的成形基因浓度. 参数 ρU,ρV,μU,σV,和 K 都是非负常数.也就是说,假设按着U2V 的形式,U 和 V 有有效的交流作用,当U比较大的时候,这个交流作用就会饱和, 且饱和常数K不等于零. 假定U以速率ρU增加促使V以速率 ρV被消耗. U以与U成正比的速度μU移除. 对变量V, 存在一个常数生产期σV. 对于这个系统的更多更详细的论述可参见 文献 [2] 及它的参考文献.
我们引入如下新的变量 u=KU, v=μUVσV, u0=KU0, v0=μUV0σV, t=μUs, a=ρUσVKμ2U, b=ρVK2μU, di=DiμU, 系统 (1.1) 写成如下系统 λbel1{ut−d1Δu=au2v1+u2−u,x∈Ωega,t>0,[3mm]vt−d2Δv=−bu2v1+u2+1,x∈Ωega,t>0,[2mm]∂νu=∂νv=0,x∈,∂Ω;t>0,u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0, x∈Ωega,(1.2)
本文的目的是利用半线性偏微分方程组标准的Hpof分支定理,考虑空间齐次和非齐次周期轨道对唯一正平衡点的分支的存在性. 结果表明扩散Gierer-Meinhardt模型有丰富的振动模式. 过去几年的很多研究重点在于讨论不同类型Gierer-Meinhardt模型Hpof分支, 有兴趣的读者可以阅读文献[3,4,5] 了解更多的细节.
本文由如下几个部分构成. 在第二部分,我们给出一般反应扩散 方程组的几个Hpof定理. 在第三部分,我们对反应扩散系统的Hpof分 支做了分析,并给出计算机模拟支持我们的结论.
本部分对反应扩散Gierer-Meinhardt模型 (1.1) 进行Hpof分支分析.
为了方便起见,我们复制系统 (1.2) 为如下方程 λbel2{ut−d1Δu=au2v1+u2−u,x∈,t>0,[3mm]vt−d2Δv=−bu2v1+u2+1,x∈,t>0,[2mm]∂νu=∂νv=0,x∈,t>0,u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0, x∈ega,(2.1)
显然,系统 (2.1) 有唯一正平衡解 (u,v):=(,(2+1)/a), 给定 a,:=a/b 相应的空间定义域为 Ωega=(0,ℓπ),ℓ∈R+. 系统(2.1)在平衡状态(u,v) 的线性算子为 J():=(d1∂2∂x2+1−22+1, a22+1−2(2+1), d2∂2∂x2−a2+1),(2.2) 其中 b:=a/λ. 在以下的讨论中,用 λ 作为分支参数,并假设 a>0.
根据文献 [6] 可知,J(λ) 的特征值由如下算子 Jn(λ)给出 Jn(λ)=:(−d1n2ℓ2+1−λ2λ2+1, aλ2λ2+1−2λ(λ2+1), −d2n2ℓ2−aλλ2+1),(2.3) 其特征方程为 β2−βTn(λ)+Dn(λ)=0 (n=0,1,2⋯),(2.4) 其中, λbel3{Tn(λ):=trJn=1−aλ−λ2λ2+1−(d1+d2)n2ℓ2,[3mm]Dn(λ):=detJn=d1d2n4ℓ4+(ad1λλ2+1−d2(1−λ2)λ2+1)n2ℓ2+aλλ2+1.(2.5)
下面构建Hpof分支发生的潜在临界点元素.
存在 n∈N∪{0},使得 Tn(λ)=0,Dn(λ)>0;Tj(λ)≠0,Dj(λ)≠0, j≠n;
设靠近虚轴的唯一一对复特征根为 α(λ)±iΩega(λ),它穿过虚轴的横截条件为 α′(λ)≠0.(2.63)
由式 (2.5),Tn(λ)<0 和条件 Dn(λ)>0 ,λ≥1, 其中后面这个条件意味着唯一正平衡解 (λ,(λ2+1)/aλ) 是局部渐近稳定的. 因此,任何一个潜在的分支点λ0一定位于区间 (0,1). 对于区间 (0,1)上的任何一个分支点 λ0, αpha(λ)±iΩega(λ) 一定是 Ln(λ) 的特征值,于是 αpha(λ)=A(λ)2−(d1+d2)n22ℓ2, Ωega(λ)=√Dn(λ)−αpha2(λ),(2.7) 其中,A(λ)=1−aλ−λ21+λ2. 计算表明, 对于所有的0<λ<1,下列等式总是成立的 αpha′(λ)=A′(λ)2=aλ2−4λ−a2(1+λ2)2<0.(2.8)
因此,横截条件总是成立的.
对于任意的 ℓ>0,λH0:=(−a+√a2+4)/2∈(0,1) 是Hpof分支点. 对应于空间齐次周期解的Hpof分支,这和已经研究过的常微分方程组的结论是一 样的. 显然, 对于任意的 ℓ>0,空间齐次周期解的Hpof分支唯一λ值记为λH0.
下面,当 n≥1时,寻找空间非齐次Hpof分支. 注意到 A(0)=1,A(λH0)=0,A′(λ)=aλ2−4λ−a(1+λ2)2<0, λ∈(0,λH0).(2.9) 定义 λbel4ℓn=n√d1+d2, n∈Ν. 则对ℓn<ℓ<ℓn+1,及1≤j≤n,定义 λHj 为方程 A(λ)=(d1+d2)j2ℓ2. 这些n 值满足 0<λHn<⋯<λH2<λH1<λH0.
显然,对i≠j,Tj(λHj)=0 ,且 Ti(λHj)≠0. 现在,我们仅需要证明对所有的 i∈N0, Di(λHj,±)≠0,且 Dj(λHj,±)>0.
下面,推导参数满足的使得 Di(λHj,±)>0的条件. 假设 d1≥d2,有 λbel5Di(λHj)=d1d2i4ℓ4+(ad1λHj(λHj)2+1−d2(1−(λHj)2)(λHj)2+1)i2ℓ2+aλHj(λHj)2+1≥d1d2i4ℓ4+d2(aλHj(λHj)2+1−(1−(λHj)2)(λHj)2+1)i2ℓ2+aλHj(λHj)2+1=d1d2i4ℓ4+aλHj(λHj)2+1>0.(2.10)
综上,得到本文的主要结果:
定理2.1假定常数 d1,d2,a>0 满足 d1≥d2,及ℓn 由系统 (2.9) 定义. 则对于任意的 ℓn<ℓ<ℓn+1,存在 n 个点λHj(ℓ), 1≤j≤n,满足 0<λHn<⋯<λH2<λH1<λH0. 使得系统 (1.1) 在 λ=λHj 或 λ=λH0 具有Hpof分支. 而且,
(1)~ 在 λ=λH0 产生的Hpof周期解是空间齐次的, 这个结论和相应的常微分方程系统的周期解结论一致;
(2)~ 在 λ=λHj 产生的分支周期解是空间非齐次的.
例2.2 设 Ωega=(0,ℓπ),d1=4,d2=1,a=2.25,通过计算可知,λH0=0.3802,ℓn:=n√(d1+d2)=√5n≈2.2361n, Di(λHj)>0.
(1)~ 设 ℓ=3,则 ℓ∈(ℓ1,ℓ2]≈(2.236,4.470]. 解方程 A(λ)=(d1+d2)n2/ℓ2,可知 λH1=0.1760. 于是Hpof分支点集为 λmbda1={λH1,λH0}={0.1760,0.3802}.
(2)~ 设 ℓ=5,则 ℓ∈(ℓ2,ℓ3]≈(4.470,6.7082]. 同样, 可得 λH1≈0.3057,λH2=0.0833. 则Hpof分支点集为 λmbda1={λH1,λH2λH0}={0.0833,0.3057,0.3802}.
定理3.1 当0<a<2/√3时,系统 (1.2) 在点λ=λH0的分支 是超临界的且空间齐次的分支周期解是不稳定的; 当 a>2/√3 时, 在点λ=λH0的Hpof分支是次临界的,空间齐次的分支周期解是稳定的.
证 根据文献[6,定理2.1],为了确定分支周期解的稳定性和分支方向, 需要计算 Re(c1(λH0)), 其中c1(λH0)是按文献[6]定义的. 当 λ=λH0, 为方便起见,记 λH0=λ0. 于是 q:=(a0b0)=(11aλ20[λ20−1+iΩega0(1+λ20)]),(3.1) q∗:=(a∗0b∗0)=(1+iΩega02ℓπiΩega0λ02ℓπ),(3.2) 其中,Ωega0=√aλ0(λ0)2+1.
设 ˆu=u−uλ,ˆv=v−vλ,并仍记 ˆu 和ˆv 为 u 和 v,系统 (1.2) 变为 λbel9{ut−d1uxx=a(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2−(u+λ),x∈Ω,t>0,[3mm]vt−d2vxx=−b(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2+1,x∈Ω,t>0,[2mm]∂νu=∂νv=0,x∈Ω,t>0,u(x,0)=u0(x)≥0,v(x,0)=v0(x)≥0,x∈Ωega.(3.3)
设 f(λ,u,v)=a(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2−(u+λ),[3mm]g(λ,u,v)=−b(u+λ)2(v+(λ2+1)/aλ)1+(u+λ)2+1.(3.4)
在点(λ0,0,0),函数f和g的所有偏导数为 fuu″ f'''_{uuu}(λ_0,0,0)=\frac{24(λ_0^2-1)}{(1+λ_0^2)^3},\;\;\;\;f'''_{uuv}(λ_0,0,0)=\frac{2a(1-3λ_0^2)}{(1+λ_0^2)^3}; g''_{uu}(λ_0,0,0)=\frac{-2+6λ_0^2}{λ_0^2(1+λ_0^2)^2},\;\;\;\;g''_{uv}(λ_0,0,0)=\frac{-2a}{(1+λ_0^2)^2}; g'''_{uuu}(λ_0,0,0)=\frac{24(1-λ_0^2)}{λ_0(1+λ_0^2)^3},\;\;\;\;g'''_{uuv}(λ_0,0,0)=\frac{-2a(1-3λ_0^2)}{λ_0(1+λ_0^2)^3}; f''_{vv}(λ_0,0,0)=f'''_{uvv}(λ_0,0,0)=f'''_{vvv}(λ_0,0,0)=0, g''_{vv}(λ_0,0,0)=g'''_{uvv}(λ_0,0,0)=g'''_{vvv}(λ_0,0,0)=0. 于是 c_0=\frac{-2+4{\rm i}Ωega_0}{λ_0(1+λ_0^2)}=-λ_0d_0,\;\;\;\; e_0=\frac{-2}{λ_0(1+λ_0^2)}=-λ_0f_0, g_0=\frac{1}{(1+λ_0^2)^3}\bigg[24(λ_0^2-1) +\frac{2}{λ_0^2}(1-3λ_0^2)[{\rm i}Ωega_0(1+λ_0^2) -3(1-λ_0^2)]\bigg]=-λ_0h_0. 且 Q_{qq}=\left(\begin{array}{c} c_0\\ d_0\\ \end{array}\right)=\frac{2-4{\rm i}Ωega_0}{λ_0^2(1+λ_0^2)}\left(\begin{array}{c} -λ_0\\ 1\\ \end{array}\right),\;\;\;\;Q_{q\bar{q}}=\left(\begin{array}{c} e_0\\ f_0\\ \end{array}\right)=\frac{2}{λ_0^2(1+λ_0^2)}\left(\begin{array}{c} -λ_0\\ 1 \end{array}\right), C_{qq\bar{q}}=\left(\begin{array}{c} g_0\\ h_0\\ \end{array}\right)=\frac{-1}{λ_0(1+λ_0^2)^3} \bigg[24(λ_0^2-1)+\frac{2}{λ_0^2}(1-3λ_0^2) [{\rm i}Ωega_0(1+λ_0^2)-3(1-λ_0^2)]\bigg]\left(\begin{array}{c} -λ_0\\ 1 \end{array}\right), \begin{equation} \begin{array}{l} λngle q^*,Q_{qq}\rangle=\frac{-1+2{\rm i}Ωega_0}{λ_0(1+λ_0^2)},\;\; λngle q^*,Q_{q\bar{q}}\rangle=\frac{-1}{λ_0(1+λ_0^2)},\;\; λngle \bar q^*,Q_{qq}\rangle=\frac{-1+2{\rm i}Ωega_0}{λ_0(1+λ_0^2)},\\[3mm] λngle q^*,C_{qq\bar{q}}\rangle=\frac{1}{(1+λ_0^2)^3} \bigg[12(λ_0^2-1)+\frac{1}{λ_0^2}(1-3λ_0^2) [{\rm i}Ωega_0(1+λ_0^2)-3(1-λ_0^2)]\bigg]. \end{array}(3.5) \end{equation}
因此,可以直接计算得出如下结果 \begin{equation} \begin{array}{l} H_{20}=\left(\begin{array}{c} c_0\\ d_0\\ \end{array}\right)-λngle q^*,Q_{qq}\rangle\left(\begin{array}{c} a_0\\ b_0\\ \end{array}\right)-λngle \overline{q}^*,Q_{qq}\rangle\left(\begin{array}{c} \overline{a_0}\\ \overline{b_0}\\ \end{array}\right)=0,\\ [6mm] H_{11}=\left(\begin{array}{c} e_0\\ f_0\\ \end{array}\right)-λngle q^*,Q_{q\overline{q}}\rangle\left(\begin{array}{c} a_0\\ b_0\\ \end{array}\right)-λngle \overline{q}^*,Q_{q\overline{q}}\rangle\left(\begin{array}{c} \overline{a_0}\\ \overline{b_0}\\ \end{array}\right)=0, \end{array}(3.6) \end{equation} 其中 w_{20}=w_{11}=0. 于是 \begin{equation} λngle q^*,Q_{w_{11},q}\rangle=λngle q^*,Q_{w_{20},\overline{q}}\rangle=0.(3.7) \end{equation} 从而, \begin{equation} {\rm Re}(c_1(λ_0^H)) ={\rm Re}\left\{\frac{\rm i}{2Ωega_0}λngle q^*,Q_{qq}\rangle\cdotλngle q^*,Q_{q\overline{q}}\rangle+\frac{1}{2}λngle q^*,C_{q,q,\overline{q}}\rangle\right\} =\frac{2λ_0-a}{2λ_0(1+λ_0^2)^2}.(3.8) \end{equation}
注意到 λ_0:=λ_0^H=(-a+\sqrt{a^2+4})/2, 容易得,若 0<a<2/\sqrt{3}, {\rm Re}(c_1(λ_0^H))>0, 若 a>2/\sqrt{3}, {\rm Re}(c_1(λ_0^H))<0. 由文献[6,定理2.1],即可知道结论成立, 证明完毕.
例3.2 令d_1=4,d_2=1,a=2.25>\sqrt{3}/2. 此时,λ_0^H=0.3802, 且 {\rm Re}(c_1(λ_0^H))\approx-1.4954<0, 则相应的分支周期解是稳定的. 由于 αpha'(λ_0^H)=A'(λ_0^H)/2=-1.3151<0, 我们有 \frac{1}{αpha'(λ_0^H)}{\rm Re}(c_1(λ_0^H))>0. 这样在点λ=0.3802处的分支方向是次临界的,该结果见图 1.
定理3.3 对于系统 (1.2),如果条件\frac{1}{αpha'(λ_j^H) }{\rm Re}c_1(λ_j^H)<0 (或>0),成立,则位于点λ=λ_j^H, j\neq0 的Hpof分支是超临界的(或者次临界的),并且空间非齐次分支周期 解是不稳定的.
证 当 λ=λ_j^H (j\in {\Bbb N})时,为方便起见,记 λ_j^H=λ_j. 由此我们得到 q:=\cos\frac{j}{\ell}x(a_{j},b_{j})^T =\cos\frac{j}{\ell}x\left(1, \frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}({\rm i}Ωega_0-\frac{d_2j^2}{\ell^2}-\frac{aλ_j}{1+λ_j^2})\right)^T, \begin{eqnarray*} q^*&:=&\cos\frac{j}{\ell}x\left( a^*_{j},b^*_{j}\right)^T\\ &=&\cos\frac{j}{\ell}x \left( -\frac{\rm i}{\ell\piΩega_0}({\rm i}Ωega_0+\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}), \frac{λ_j(1+λ_j^2){\rm i}}{2\ell\piΩega_0} \bigg({\rm i}Ωega_0+\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j} {1+λ_j^2}\bigg)^2\right)^T, \end{eqnarray*} 这里 Ωega_0=\left(\frac{2aλ_j}{(1+λ_j^2)^2}- \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2\right)^{1/2}.
经过计算,得 \left[2{\rm i}Ωega_0I-L_{2j}(λ_{j})\right]^{-1}=(αpha_1+αpha_2{\rm i})^{-1} \left(\begin{array}{cc} 2{\rm i}Ωega_0+\frac{4d_2{j}^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}&\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}\\ [3mm] -\frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)} & 2{\rm i}Ωega_0+\frac{4d_1{j}^2}{\ell^2}-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2} \end{array}\right), 其中 αpha_1:=-4Ωega_0^2+ \bigg(\frac{4d_1j^2}{\ell^2}-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg(\frac{4d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)+\frac{2aλ_j}{(1+λ_j^2)^2},αpha_2=\frac{6Ωega_0(d_1+d_2){j}^2}{\ell^2}; 且 \left[2{\rm i}Ωega_0I-L_{0}(λ_{j})\right]^{-1}=(αpha_3+αpha_4{\rm i})^{-1} \left(\begin{array}{cc} 2{\rm i}Ωega_0+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2} ~~&\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}\\ [3mm] -\frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)} ~~& 2{\rm i}Ωega_0-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2} \end{array}\right), 其中 αpha_3:=-4Ωega_0^2+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2},\;\;αpha_4:= -\frac{2Ωega_0(d_1+d_2){j}^2}{\ell^2}. \left[L_{2j}(λ_{j})\right]^{-1}=(αpha_5)^{-1} \left(\begin{array}{cc} -\frac{4d_2j^2}{\ell^2}-\frac{aλ_j}{1+λ_j^2} ~~&-\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}\\ [3mm] \frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)} ~~& -\frac{4d_1j^2}{\ell^2}+\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2} \end{array}\right), 且 \left[L_{0}(λ_{j})\right]^{-1}=(αpha_6)^{-1} \left(\begin{array}{cc} -\frac{aλ_j}{1+λ_j^2} ~~&-\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}\\[3mm] \frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)} ~~& \frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2} \end{array}\right), 其中 αpha_5:=\bigg(\frac{4d_1j^2}{\ell^2}-\frac{1-λ_j^2} {1+λ_j^2}\bigg)\bigg (\frac{4d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)+\frac{2aλ_j}{(1+λ_j^2)^2},αpha_6:=\frac{aλ_j}{(1+λ_j^2)}.
通过计算,可得函数f 和 g 在点(λ_j,0,0)的所有偏导数 f''_{uu}=\frac{2-6λ_j^2}{λ_j(1+λ_j^2)^2},\;\;\;\;f''_{uv}=\frac{2aλ_j}{(1+λ_j^2)^2}; f'''_{uuu}=\frac{24(λ_j^2-1)}{(1+λ_j^2)^3},\;\;\;\;f'''_{uuv}=\frac{2a(1-3λ_j^2)}{(1+λ_j^2)^3}; g''_{uu}=\frac{-2+6λ_j^2}{λ_j^2(1+λ_j^2)^2},\;\;\;\;g''_{uv}=\frac{-2a}{(1+λ_j^2)^2}; g'''_{uuu}=\frac{24(1-λ_j^2)}{λ_j(1+λ_j^2)^3},\;\;\;\;g'''_{uuv}=\frac{-2a(1-3λ_j^2)}{λ_j(1+λ_j^2)^3}; f''_{vv}=f'''_{uvv}=f'''_{vvv}=0,~~g''_{vv}=g'''_{uvv}=g'''_{vvv}=0. 故 c_j=f_{uu}+2f_{uv} \bigg({\rm i}Ωega_0-\frac{d_2j^2}{\ell^2}-\frac{aλ_j}{1+λ_j^2} \bigg)=-λ_jd_j, e_j=f_{uu}-2f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)=-λ_jf_j, g_j=f_{uuu}+2f_{uuv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg({\rm i}Ωega_0-\frac{3d_2j^2}{\ell^2}-\frac{3aλ_j} {1+λ_j^2}\bigg)=-λ_jh_j. 由文献 [6] Q_{qq}=\cos^2\frac{j}{\ell}x\left(\begin{array}{c} c_j\\ d_j \end{array}\right) ,\;\;\;\; Q_{q\bar{q}}=\cos^2\frac{j}{\ell}x\left(\begin{array}{c} e_j\\ f_j \end{array}\right) ,\;\;\;\; C_{qq\bar{q}}=\cos^3\frac{j}{\ell}x\left(\begin{array}{c} g_j\\ h_j \end{array}\right), 有 λngle q^*,Q_{qq}\rangle=λngle q^*,Q_{q\overline{q}}\rangle=λngle \overline{q}^*,Q_{qq}\rangle=λngle \overline{q}^*,\;Q_{\overline{q}\overline{q}}\rangle=0. 这样, H_{20}=Q_{qq}=\cos^2\frac{j}{\ell}x\left(\begin{array}{c} c_{j}\\ d_{j}\\ \end{array}\right)=\left(\frac{1}{2}\cos\frac{2j}{\ell}x+\frac{1}{2}\right)\left(\begin{array}{c} c_{j}\\ d_{j}\\ \end{array}\right), H_{11}=Q_{q\bar{q}}=\cos^2\frac{j}{\ell}x\left(\begin{array}{c} e_{j}\\ f_{j}\\ \end{array}\right)=\left(\frac{1}{2}\cos\frac{2j}{\ell}x+\frac{1}{2}\right)\left(\begin{array}{c} e_{j}\\ f_{j}\\ \end{array}\right), \begin{eqnarray*} w_{20}&=&[2{\rm i}Ωega_0I-L(λ_j)]^{-1}H_{20}\\ &=&\left[\frac{[2{\rm i}Ωega_0I-L_{2j}(λ_j)]^{-1}}{2}\cos\frac{2j}{\ell}x+\frac{[2{\rm i}Ωega_0I-L_{0}(λ_j)]^{-1}}{2}\right]\cdot\left(\begin{array}{c} c_j\\ d_j\\ \end{array}\right)\\ &=&\left(\begin{array}{c} \xi\\ \eta\\ \end{array}\right)\cos\frac{2jx}{\ell} +\left(\begin{array}{c} \tau\\ \chi \end{array}\right), \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} w_{11}&=&-[L(λ_j)]^{-1}H_{11}\\ &=&-\left[\frac{[L_{2j}(λ_j)]^{-1}}{2}\cos\frac{2j}{\ell}x+\frac{[L_{0}(λ_j)^{-1}]}{2}\right]\cdot\left(\begin{array}{c} e_j\\ f_j\\ \end{array}\right)\\ &=&\left(\begin{array}{c} \tilde{\xi}\\ \tilde{\eta}\\ \end{array}\right)\cos\frac{2jx}{\ell} +\left(\begin{array}{c} \tilde{\tau}\\ \tilde{\chi} \end{array}\right), \end{eqnarray*} 及 \xi=\frac{1}{2}(αpha_1+{\rm i}αpha_2)^{-1}\left[\left(2{\rm i}Ωega_0+\frac{4d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\right)c_j+\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}d_j\right], \eta=\frac{1}{2}(αpha_1+{\rm i}αpha_2)^{-1}\left[-\frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)}c_j+\left(2{\rm i}Ωega_0+\frac{4d_2j^2}{\ell^2}-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2}\right)d_j\right], \tau=\frac{1}{2}(αpha_3+{\rm i}αpha_4)^{-1}\left[\left(2{\rm i}Ωega_0+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\right)c_j+\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}d_j\right], \chi=\frac{1}{2}(αpha_3+{\rm i}αpha_4)^{-1}\left[-\frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)}c_j+\left(2{\rm i}Ωega_0-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2}\right)d_j\right], \widetilde{\xi}=\frac{1}{2αpha_5}\left[\left(\frac{4d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\right)e_j+\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}f_j\right], \widetilde{\eta}=\frac{1}{2αpha_5}\left[-\frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)}e_j+\left(\frac{4d_1j^2}{\ell^2}-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2}\right)f_j\right], \widetilde{\tau}=\frac{1}{2αpha_6}\left(\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}e_j+\frac{aλ_j^2}{1+λ_j^2}f_j\right), \widetilde{\chi}=\frac{1}{2αpha_6}\left(-\frac{2}{λ_j(1+λ_j^2)}e_j-\frac{1-λ_j^2}{1+λ_j^2}f_j\right). 则有 Q_{w_{20},\overline{q}} =\left(\begin{array}{c} f_{uu}\xi+f_{uv}\eta+f_{uv}\overline{b_j}\xi\\ g_{uu}\xi+g_{uv}\eta+g_{uv}\overline{b_j}\xi\\ \end{array}\right)\cos\frac{jx}{\ell}\cos\frac{2jx}{\ell} +\left(\begin{array}{c} f_{uu}\tau+f_{uv}\chi+f_{uv}\overline{b_j}\tau\\ g_{uu}\tau+g_{uv}\chi+g_{uv}\overline{b_j}\tau\\ \end{array}\right)\cos\frac{jx}{\ell}, Q_{w_{11},q} =\left(\begin{array}{c} f_{uu}\widetilde{\xi}+f_{uv}\widetilde{\eta}+f_{uv}b_j\widetilde{\xi}\\ g_{uu}\widetilde{\xi}+g_{uv}\widetilde{\eta}+g_{uv}b_j\widetilde{\xi}\\ \end{array}\right)\cos\frac{2jx}{\ell}\cos\frac{jx}{\ell} +\left(\begin{array}{c} f_{uu}\widetilde{\tau}+f_{uv}\widetilde{\chi}+f_{uv}b_j\widetilde{\tau}\\ g_{uu}\widetilde{\tau}+g_{uv}\widetilde{\chi}+f_{uv}b_j\widetilde{\tau}\\ \end{array}\right)\cos\frac{jx}{\ell}, 注意对任意的 j\in {\Bbb N}, \int_0^{\ell\pi}\cos^2\frac{jx}{\ell}{\rm d}x=\frac{1}{2}\ell\pi,\int_0^{\ell\pi}\cos\frac{2jx}{\ell}\cos^2\frac{jx}{\ell}{\rm d}x=\frac{1}{4}\ell\pi, \int_0^{\ell\pi}\cos^4\frac{{j}x}{\ell}{\rm d}x=\frac{3}{8}\ell\pi, 有 \begin{eqnarray*} λngle q^*,Q_{w_{20},\overline{q}}\rangle &=&\frac{\ell\pi}{4}\left\{\overline{a_j^*}(f_{uu}\xi+f_{uv}\eta+f_{uv}\xi\overline{b_j})+\overline{b_j^*}(g_{uu}\xi+g_{uv}\eta+g_{uv}\xi\overline{b_j})\right\}\\ &&+\frac{\ell\pi}{2}\left\{\overline{a_j^*}(f_{uu}\tau+f_{uv}\chi+f_{uv}\tau\overline{b_j})+\overline{b_j^*}(g_{uu}\tau+g_{uv}\chi+g_{uv}\tau\overline{b_j})\right\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} λngle q^*,Q_{w_{11},q}\rangle &=&\frac{\ell\pi}{4}\left\{\overline{a_j^*}(f_{uu}\widetilde{\xi}+f_{uv}\widetilde{\eta}+f_{uv}\widetilde{\xi}b_j) +\overline{b_j^*}(g_{uu}\widetilde{\xi}+g_{uv}\widetilde{\eta}+g_{uv}\widetilde{\xi}b_j)\right\}\\ &&+\frac{\ell\pi}{2}\left\{\overline{a_j^*}(f_{uu}\widetilde{\tau}+f_{uv}\widetilde{\chi}+f_{uv}\widetilde{\tau}b_j) +\overline{b_j^*}(g_{uu}\widetilde{\tau}+g_{uv}\widetilde{\chi}+g_{uv}\widetilde{\tau}b_j)\right\}, \end{eqnarray*} λngle q^*,C_{q,q,\overline{q}}\rangle =\frac{3\ell\pi}{4}(\overline{a_j^*}g_j +\overline{b_j^*}h_j). \begin{eqnarray*} &&{\rm Re}λngle q^*,Q_{w_{20},\bar{q}}\rangle \\ &=&\frac{1}{4}\bigg\{f _{uu}(\xi_R+2\tau_R) +f_{uv}(\eta_R+2\chi_R) -f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_R+2\tau_R) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \\ && -(\xi_I+2\tau_I)Ωega_0\bigg]\bigg\} -\frac{1}{4Ωega_0} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\\ &&\cdot\bigg\{f_{uu}(\xi_I+2\tau_I)+f_{uv}(\eta_I+2\chi_I) -f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}\bigg[(\xi_I+2\tau_I) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \\ && +(\xi_R+2\tau_R)Ωega_0\bigg]\bigg\} -\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\\ &&\cdot\bigg\{g_{uu}(\xi_R+2\tau_R)+g_{uv}(\eta_R+2\chi_R) -g_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}\bigg[(\xi_R+2\tau_R) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\\ &&- (\xi_I+2\tau_I)Ωega_0\bigg]\bigg\} +\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{8Ωega_0} \bigg[\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+ \frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2-Ωega_0^2\bigg]\\ &&\cdot\bigg\{g_{uu}(\xi_I+2\tau_I) +g_{uv}(\eta_I+2\chi_I)\\ &&-g_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_I+2\tau_I)\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+ \frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) +(\xi_R+2\tau_R)Ωega_0\bigg]\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &&{\rm Re}λngle q^*,Q_{w_{11},q}\rangle \\ &=&\frac{1}{4}\bigg[f _{uu}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau})+f_{uv}(\tilde{\eta}+2\tilde{\chi}) -f_{uv}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg(\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}+1\bigg) \bigg]\\ &&-\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4}\bigg[g _{uu}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau})+g_{uv} (\tilde{\eta}+2\tilde{\chi})\bigg] \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\\ &&+\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4}g_{uv}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) \bigg[\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2 \bigg(\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}+1 \bigg)-\frac{aλ_j} {(1+λ_j^2)^2} \bigg], \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &&{\rm Re}λngle q^*,C_{q,q,\overline{q}}\rangle\\ &=&\frac{3}{8}\bigg[f _{uuu}-6f_{uuv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg( \frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\bigg] \bigg[1+(1+λ_j^2)\bigg( \frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{2aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\bigg]\\ &&-f_{uuv}\frac{3(1+λ_j^2)}{4aλ_j^2} \bigg[\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{2aλ_j}{1+λ_j^2} -Ωega_0^2(1+λ_j^2)\bigg]. \end{eqnarray*}
对 \Gamma=\xi,\eta,\tau,\chi,定义 \Gamma_R:={\rm Re} \Gamma 和 \Gamma_I:={\rm Im} \Gamma. 进一步, \begin{eqnarray*} \xi_R&=&\frac{1}{2(αpha_1^2+αpha_2^2)} \bigg\{2\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg(αpha_2Ωega_0+\frac{2αpha_1d_2j^2}{\ell^2}\bigg) \\ && +4f_{uv}\bigg(\frac{2αpha_2d_2j^2}{\ell^2}-αpha_1Ωega_0^2 \bigg)\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \xi_I&=&\frac{1}{2(αpha_1^2+αpha_2^2)} \bigg\{2\bigg[f_{uu}+2f_{uv}\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2} +\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\bigg] \bigg(αpha_1Ωega_0-\frac{2αpha_2d_2j^2}{\ell^2}\bigg) \\ &&+4Ωega_0f_{uv}\bigg(\frac{2αpha_1d_2j^2} {\ell^2}-αpha_2Ωega_0\bigg)\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \eta_R&=&-\frac{1}{2λ_j(αpha_1^2+αpha_2^2)} \bigg\{\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg] \bigg[2αpha_2Ωega_0+αpha_1 \bigg(1+\frac{4d_2j^2}{\ell^2}\bigg)\bigg]\bigg\}\\ &&-\frac{Ωega_0f_{uv}}{λ_j(αpha_1^2+αpha_2^2)} \bigg[αpha_2\bigg(1+\frac{4d_2j^2}{\ell^2}\bigg) -2αpha_1Ωega_0\bigg], \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \eta_I&=&-\frac{1}{2λ_j(αpha_1^2+αpha_2^2)} \bigg\{\bigg[f_{uu}+2f_{uv}\bigg(\frac{d_2j^2} {\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\bigg] \bigg[2αpha_1Ωega_0-αpha_2 \bigg(1+\frac{4d_2j^2}{\ell^2}\bigg)\bigg]\bigg\}\\ &&-\frac{Ωega_0f_{uv}}{λ_j(αpha_1^2+αpha_2^2)} \bigg[αpha_1\bigg(1+\frac{4d_2j^2}{\ell^2}\bigg) -2αpha_2Ωega_0\bigg], \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \tau_R=-\frac{Ωega_0}{(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{2Ωega_0αpha_3f_{uv}-αpha_4\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \tau_I=-\frac{Ωega_0}{(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{2Ωega_0αpha_4f_{uv}-αpha_3\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \chi_R&=&-\frac{1}{2λ_j(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{(2Ωega_0αpha_4+αpha_3)\bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg] \\ &&+2Ωega_0f_{uv}(αpha_4-2Ωega_0αpha_3)\bigg\}, \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \chi_I&=&-\frac{1}{2λ_j(αpha_3^2+αpha_4^2)} \bigg\{(2Ωega_0αpha_3-αpha_4) \bigg[f_{uu}+2f_{uv} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2} \bigg)\bigg] \\ &&+2Ωega_0f_{uv}(αpha_3+2Ωega_0αpha_4)\bigg\}, \end{eqnarray*} 由此,得到 \begin{eqnarray*} &&{\rm Re}(c_1(λ_{j}))\\ &=&{\rm Re}λngle q^*,Q_{w_{11},q}\rangle +\frac{1}{2}{\rm Re}λngle q^*,Q_{w_{20},\overline{q}}\rangle+\frac{1}{2}{\rm Re}λngle q^*,C_{q,q,\overline{q}}\rangle\\ &=&\frac{1}{4}\bigg[f _{uu}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau})+f_{uv}(\tilde{\eta}+2\tilde{\chi}) -f_{uv}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg(\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}+1\bigg) \bigg]\\ &&-\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4} \bigg[g _{uu}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) +g_{uv}(\tilde{\eta}+2\tilde{\chi})\bigg] \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)\\ &&+\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{4}g_{uv}(\tilde{\xi}+2\tilde{\tau}) \bigg[\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2 \bigg(\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}+1\bigg)-\frac{aλ_j} {(1+λ_j^2)^2}\bigg]\\ &&+\frac{1}{8}\bigg\{f _{uu}(\xi_R+2\tau_R)+f_{uv}(\eta_R+2\chi_R) \\ && -f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}\ \bigg[(\xi_R+2\tau_R) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) -(\xi_I+2\tau_I)Ωega_0\bigg]\bigg\}\\ &&-\frac{1}{8Ωega_0} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg\{f_{uu}(\xi_I+2\tau_I)+f_{uv}(\eta_I+2\chi_I) \\ &&-f_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_I+2\tau_I) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) +(\xi_R+2\tau_R)Ωega_0\bigg]\bigg\}\\ &&-\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{8} \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg\{g_{uu}(\xi_R+2\tau_R)+g_{uv}(\eta_R+2\chi_R) \\ &&-g_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_R+2\tau_R) \bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)- (\xi_I+2\tau_I)Ωega_0\bigg]\bigg\} \\ &&+\frac{λ_j(1+λ_j^2)}{16Ωega_0} \bigg[\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2}+ \frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg)^2-Ωega_0^2\bigg] \bigg\{g_{uu}(\xi_I+2\tau_I) +g_{uv}(\eta_I+2\chi_I)\\ &&-g_{uv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2} \bigg[(\xi_I+2\tau_I)\bigg(\frac{d_2j^2}{\ell^2} +\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) +(\xi_R+2\tau_R)Ωega_0\bigg]\bigg\}\\ &&+\frac{3}{16}\bigg[f _{uuu}-6f_{uuv}\frac{1+λ_j^2}{aλ_j^2}\bigg( \frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\bigg[1+(1+λ_j^2)\bigg( \frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{2aλ_j}{1+λ_j^2}\bigg) \bigg]\\ &&-f_{uuv}\frac{3(1+λ_j^2)}{8aλ_j^2} \bigg[\frac{d_2j^2}{\ell^2}+\frac{2aλ_j}{1+λ_j^2} -Ωega_0^2(1+λ_j^2)\bigg], \end{eqnarray*} 于是,如果 \frac{1}{αpha'(λ_{j,\pm}^H)}{\rm Re}(c_1(λ_{j,\pm}^H))<0 (>0),分支的周期解是超临界的 (或次临界的). 证明完毕.
例3.4 令 Ωega=\left(0,5\pi\right),d_1=4,d_2=1,a=2.25.则 根据文献 [7]中的例子 λmbda_1=\{ λ_2^H,λ_1^H, λ_0^H\}=\{0.0833,\;0.3057,\;0.3802\}. {\rm Re}(c_1(λ_1^H))\approx-36.9473<0,~~ {\rm Re}(c_1(λ_2^H))\approx-263.3673<0, αpha'(λ_1^H)=A'(λ_1^H)/2\approx-1.3643<0,~~ αpha'(λ_2^H)=A'(λ_1^H)/2\approx-1.2662<0. 这样,在点λ=λ_1^H 和 λ=λ_2^H,分支方向是次临界的.