本文考虑如下类型的二阶非自治Hamilton系统

$$\ddot{u}(t)-L(t)u+\bigtriangledown F(t,u(t))=0,\ \ \ \ \ \ \forall \ t\in {\mathbb R} (1.1)$$ 及其同宿解多重性的研究,其中$u=(u_1,\cdots,u_N), F\in C^1({\mathbb R}\times {\mathbb R}^N, {\mathbb R}),$以及$L\in C({\mathbb R},{\mathbb R}^{N^2})$是一个 对称的矩阵值函数. 称系统(1.1)的一个解$u(t)$是同宿于0的, 如果$u(t)\in C^2({\mathbb R},{\mathbb R}^{N}),u\neq 0,$当$|t| \rightarrow \infty$时,$u(t) \rightarrow 0$及$\dot{u}(t) \rightarrow 0$.

近期许多文献应用临界点理论和变分法对系统(1.1)的同宿 解的存在性和多重性进行了深入的研究, 参看文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]}及其中的相关引文. 这些文献中多数处理$L(t)$和$F(t,u)$或与$t$无关或关于$t$是 周期的情形(参见文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 15]}),以及是超二次的情形(参见文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15]}). 与$F(t,u)$是超二次的情形相比较, $F(t,u)$是弱二次的情形就较少有文献涉及了. 丁远亨教授在文献^[13]中曾研究过这一类型,参见文献[13,定理1.2]. 假设$L(t)$对所有$t\in {\mathbb R}$不必是正定的,并且满足下列条件:

($L_1$)~ 存在$\alpha < 2$,使得 当$|t|\rightarrow \infty$时,$l(t)|t|^{\alpha-2}\rightarrow +\infty$,其中$l(t)=\inf_{|u|=1}(L(t)u,u)$;

($L_2$)~ 对某个$a > 0$和$r > 0$,下列条件之一为真

(i)~ $L\in C^1({\mathbb R},{\mathbb R}^{N^2})$以及$|L'(t)u| \leq a |L(t)u|,\ \ \ \forall |t| \geq r$以及$u\in {\mathbb R}^N$,或

(ii)~ $L\in C^2({\mathbb R},{\mathbb R}^{N^2})$和$((L''(t)-aL(t))u,u) \leq 0,\ \ \ \forall |t| \geq r$以及$u\in {\mathbb R}^N,$\\ 其中$L'(t)=(\frac{\rm d}{{\rm d}t})L(t)$以及$L''(t)=(\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2})L(t)$.

对$F(t,u)$作如下限制条件:

($W_1$)~ $0 < \underline{b} \equiv \inf\limits_{t\in {\mathbb R}, |u|=1}F(t,u)\leq \sup\limits_{t\in {\mathbb R},|u|=1}= \overline{b} < +\infty;$

($W_2$)~ 存在$\beta$满足$1 < \beta\in (\frac{(4-\alpha)}{(3-\alpha)},2)$,使得下式成立

$$0 < (\bigtriangledown F(t,u),u)\leq \beta \ F(t,u),\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ u\in {\mathbb R}^N\setminus \{0\};$$

($W_3$)~ 存在$a_1,r_1 > 0$和$\mu$满足$1 < \mu \in (\frac{2}{(3-\alpha)},\beta]$, 使得下式成立

$$F(t,u) \geq a_1 |u|^{\mu},\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ |u|\geq r_1;$$

($W_4$)~ $F(t,0)\equiv 0$,并且有$a_2,\omega > 0$以及$\nu$满足 $\frac{1}{2} \leq \nu \in (\frac{1}{(3-\alpha)},\beta-1]$使下式成立

$$|\bigtriangledown F(t,u)| \leq a_2 |u|^{\nu},\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ |u|\leq \omega.$$ 在这些假设条件下,丁教授详细证明了问题(1.1)至少有一个非平凡同宿解,假若$F(t,u)$关于$u$还是偶函数,则进一步证明了问题(1.1)具有无穷多个同宿解.

最近,由文献^[13]所启发,借助文献^[15]和^[16]中建立的变异喷泉定理,张教授和刘教授在文献^[14]中研究问题(1.1)具有无穷多个同宿解的存在性问题. 他们假设上面条件($L_1$)和($L_2$)对某个$\alpha < 1$成立,以及下面五个条件满足:

($F_1$)~ 对所有$(t,u)\in {\mathbb R}\times {\mathbb R}^N$,有$F(t,u)\geq 0,\ F(t,0)\equiv 0$,并且存在常数$c_1$和$\mu\in (1,2)$使下式成立

$$|\bigtriangledown F(t,u)| \leq c_1 (1+|u|^{\mu-1}),\ \ \ \forall (t,u)\in {\mathbb R}\times {\mathbb R}^N;$$

($F_2$)~ 存在常数$c_2,\omega_1 > 0$和$\nu \in [\frac{1}{2}, 1)$使下式成立

$$|\bigtriangledown F(t,u)| \leq c_2 |u|^{\nu},\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ \ |u|\leq \omega_1;$$

($F_3$)~ 存在常数$c_3,\omega_2 > 0$和$\sigma \in [1, 2)$使下式成立

$$F(t,u) \geq c_3 |u|^{\sigma},\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ \ |u|\leq \omega_2;$$

($F_4$)~ 对所有$(t,u)\in {\mathbb R}\times {\mathbb R}^N$,令 $\widetilde{F}(t,u):= F(t,u)-\frac{1}{2}(\bigtriangledown F(t,u),u)\geq 0$,并且存在常数$d,R_0 > 0$ 和$\gamma \geq 1$使下式成立

$$(\bigtriangledown F(t,u),u) \geq 0,\ \ \ \widetilde{F}(t,u)\geq d |u|^{\gamma} ,\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ |u|\geq R_0;$$

($F_5$)~ $F(t,-u)= F(t,u),\ \ \ \ \ \forall (t,u)\in {\mathbb R}\times {\mathbb R}^N.$
在这样假设条件下,张教授和刘教授证明了问题(1.1)具有无穷多个同宿解.

我们注意到在条件($W_3$)和($F_4$)中的下界系数$a_1$和$d$都被要求是正常数,而这个要求在他们各自定理的证明中都起关键的作用. 本文试图将这一正常数条件推广到下确界可以是0的$t$的一个正函数的情形. 明确地说我们给出如下条件:
($F'_4$) 对所有$(t,u)\in {\mathbb R}\times {\mathbb R}^N$,令 $\widetilde{F}(t,u):= F(t,u)-\frac{1}{2}(\bigtriangledown F(t,u),u)\geq 0$,并且存在一个正函数$a(t)\in C({\mathbb R},{\mathbb R}^+)$满足$\inf a(t)=0,\sup a(t)=a < +\infty$,以及常数 $R_0 > 0$ 和 $\gamma \geq 1$ 使得下式成立

$$(\bigtriangledown F(t,u),u) \geq 0,\ \ \ \widetilde{F}(t,u)\geq a(t) |u|^{\gamma},\ \ \ \forall t\in {\mathbb R}, \ \ \ \ \ \ |u|\geq R_0.$$ 我们则有

定理1.1 假设条件($L_1$)和($L_2$)对某个$\alpha < 1$成立,并且条件$(F_1)-(F_3),(F'_4),(F_5)$ 都满足,那么 问题(1.1)具有无穷多个非平凡的同宿解.

说明1.1 假若$\inf a(t)=d > 0,$ 则这个定理就只是另一种平凡的说辞而毫无意义. 本定理中最有趣的部分就在于 我们有$\inf a(t)= 0$. 因此,本文的结果是文献^[13]和^[14]中结果的有意义的推广.

由于本文的结果主要是依据文献^[13]和^[14]中的工作, 因此我们在此引录文献^[13]和^[14]中的必要知识来支撑我们的判据. 我们首先论述所用空间的某些性质和导入问题(1.1)的变分形式. $A$表示算子$-(\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2})+L(t)$的自伴扩张,其定义域为 $D(A)\subset L^2\equiv L^2({\mathbb R},{\mathbb R}^N).$ 令$\{E(\lambda): -\infty < \lambda < +\infty \}$ 和$|A|$ 分别为$A$ 的谱预解式和绝对值,$|A|^{\frac{1}{2}}$为$|A|$的平方根, 其定义域为$D(|A|^{\frac{1}{2}})$. 设$U=I-E(0)-E(-0)$,则$U$与$A, |A|$ 和 $|A|^{\frac{1}{2}}$ 交换,并且$A=U|A|$是 $A$的极分解式. 令$E=D(|A|^{\frac{1}{2}})$,定义$E$上的内积和模为

$$\langle u,v\rangle_0=(|A|^{\frac{1}{2}}u,|A|^{\frac{1}{2}}v)_2+(u,v)_2,\ \ \ \|u\|_0^2=\langle u,u\rangle_0,$$
其中$(\cdot ,\cdot )_2$如通常一样表示$L^2$中的内积,则$E$ 成为Hilbert空间,而且可知$E$连续嵌入空间$H^1({\mathbb R}, {\mathbb R}^N)$ 以及$H^1({\mathbb R},{\mathbb R}^N)\subset C({\mathbb R},{\mathbb R}^N)$,${\mathbb R}$上的连续函 数$u$满足$|t|\rightarrow +\infty$时$u(t)\rightarrow 0$的空间 (参见文献^[17]).

由文献^[13]中引理2.2和引理2.3,我们有如下引理:

引理2.1 如果$L$对某个$\alpha < 1$满足条件$(L_1)$, 则$E$紧嵌入到$L^{p}\equiv L^{p}({\mathbb R},{\mathbb R}^N)$中, 对所有满足$1\leq p \leq +\infty$的$p$都成立.

引理2.2 假设对某个$\alpha < 1,L$满足条件$(L_1)$ 和 $(L_2)$,则$D(A)$连续嵌入到$H^{2}({\mathbb R},{\mathbb R}^N)$中, 因此,当$|t|\rightarrow\infty$时，我们有

$$|u(t)|\rightarrow 0,\ \ \ \ \ \ \ \ |\dot{u}(t)|\rightarrow 0 ,\ \ \ \ \ \ \forall u\in D(A).$$

由引理2.1,可见 $A$具有紧预解式,所以谱集$\sigma(A)$仅由特征值组成, 我们按序标记为$\eta_1\leq \eta_2\leq \cdots \rightarrow +\infty$ (按重数计列),相应的特征函数系为$\{e_n\},Ae_n=\eta_n e_n,n\in {\mathbb N}$,形成$L^2$中的一个正交基.

令

$$n^-=\sharp \{i|\eta_i < 0\},\ n^0=\sharp \{i| \eta_i=0\},\overline{n}=n^-+n^0$$
以及

$$E^-=\mbox{span} \{e_1,\cdots,e_{n^-}\},E^0=\mbox{span} \{e_{n^-+1},\cdots, e_{\overline{n}}\},E^+= \overline{\mbox{span} \{e_{\overline{n}+1}, \cdots \}},$$

其中的闭包是相对于模$\|\cdot\|_0$来取的. 则有$E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$是关于内积$\langle \cdot ,\cdot \rangle_0$的正交分解式. 我们在$E$上再引入如下内积

$$\langle u,v\rangle=(|A|^{\frac{1}{2}}u, |A|^{\frac{1}{2}}v)_2+(u^0,v^0)_2$$
以及相应的模 $$\|u\|^2=\langle u,u\rangle,$$
这里$u,v \in E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$相应地有分解式$u=u^-+ u^0 + u^+,v=v^- + v^0 + v^+$. 显然,模$\|\cdot\|$和模$\|\cdot\|_0$是等价的,并从现在起, 我们就取$(E,\|\cdot \|)$作为我们的运行空间, 而用$E^{*}$表示其对偶空间.

特别提一下,关于内积$\langle \cdot ,\cdot \rangle_0$的分解式$E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$ 关于两个内积$\langle \cdot ,\cdot \rangle,( \cdot ,\cdot )_2$也是正交分解式.

现在,我们着手建立相应的变分格式以证明定理1.1. 对所有的$u=u^- + u^0 + u^+ \in E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$,定义$E$上的泛函$\Phi$为

$$\label{eqn 2.1} \Phi (u)=\frac{1}{2}\int_{{\mathbb R}}(|\dot{u}|^2+(L(t)u, u)){\rm d}t-\Psi(u)=\frac{1}{2}\|u^+\|^2- \frac{1}{2}\|u^-\|^2-\Psi(u), (2.1)$$ 其中$\Psi(u)=\int_{{\mathbb R}}F(t,u){\rm d}t$. 注意条件$(F_1)$意味着有 $$\label{eqn 2.2} F(t,u)\leq c_1(|u|+|u|^{\mu}),\ \ \ \ \ \forall \ (t,u) \in \ {\mathbb R} \times {\mathbb R}^N (2.2)$$ 成立,这里$c_1$是条件$(F_1)$中的 常数,由此与引理2.1相结合,我们知道$\Phi$和$\Psi$两者都是良定的. 则由文献^[14]中的命题2.6,我们可得

引理2.3 设条件$(L_1)$ 和 $(L_2)$对$\alpha < 1$以及条件$(F_1)$和$(F_2)$都成立,则$\Psi \in C^1(E,{\mathbb R})$ 而且$\Psi': E \rightarrow E^{*}$是紧的,因此,$\Phi \in C^1(E, {\mathbb R})$. 另外,对所有的$u,v \in E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$ 以及相应的分解式$u=u^- + u^0 + u^+,v=v^- + v^0 + v^+$,我们有

$$\label{eqn 2.3} \Psi'(u)v= \int_{{\mathbb R}}(\bigtriangledown F(t,u),v){\rm d}t, (2.3)$$ $$\label{eqn 2.4} \Phi'(u)v = \langle u^+,v^+ \rangle -\langle u^-,v^- \rangle -\Psi'(u)v = \langle u^+,v^+ \rangle -\langle u^-,v^- \rangle -\int_{{\mathbb R}}(\bigtriangledown F(t,u),v){\rm d}t (2.4)$$ 而且$\Phi$在$E$上的临界点就是问题(1.1)的同宿解.

我们现在叙述文献^[15]中建立的喷泉定理,它将被用于证明我们的主要结论.

设$E$是具有模$\|\cdot\|$的 Banach 空间,有分解式$E = \overline{\bigoplus\limits_{j\in {\mathbb N}}X_j}$使对所有 $j \in {\mathbb N}$都有$\dim X_j < \infty$. 令$Y_k = \bigoplus\limits_{j=1}^kX_j$和$Z_k =\overline{\bigoplus\limits_{j=k}^{\infty}X_j}$. 考虑如下定义的$C^1$ -类泛函$\Phi_{\lambda} : E\rightarrow {\mathbb R}$

$$\Phi_{\lambda}(u) :=J(u)-\lambda B(u),\ \ \ \ \ \lambda \in [1,2].$$ 则我们有

定理2.4 假设如上定义的泛函$\Phi_{\lambda}$满足

$(T_1)$~ 对$\lambda \in [1,2]$, $\Phi_{\lambda}$一致地将有界集映射成有界集,而且$\Phi_{\lambda}(-u)= \Phi_{\lambda}(u)$,对所有$(\lambda,u) \in [1,2]\times E$成立.

$(T_2)$~ $B(u)\geq 0$ 且在$E$的任何有限维子空间上,$B(u)$是强迫的,即当$\|u\|\rightarrow \infty$ 时有

$$B(u)\rightarrow \infty.$$

$(T_3)$~ 有$\rho_k > r_k >0$使得

$$a_{k}(\lambda):=\inf_{u\in Z_k, \|u\|=\rho_k}\Phi_{\lambda}(u) \geq 0 > b_k(\lambda):=\max_{u\in Y_k,\|u\|=r_k}\Phi_{\lambda}(u),\ \ \ \ \forall \lambda \in [1,2]$$ 以及当$k\rightarrow \infty$ 时有 $$d_k(\lambda):=\inf_{u\in Z_k, \|u\|\leq \rho_k}\Phi_{\lambda}(u) \rightarrow 0$$ 一致地对$\lambda \in [1,2]$成立.
则存在$\lambda_n \rightarrow 1,\ u_{\lambda_n} \in Y_n$,使得当$n\rightarrow \infty$有 $$\Phi'_{\lambda_n}|_{Y_n}(u_{\lambda_n})=0,\ \Phi_{\lambda_n}(u_{\lambda_n})\rightarrow f_k \in \ [d_k(2),b_k(1)].$$ 特别地,如果对每一$k$,$\{u_{\lambda_n}\}$都有收敛子列,则$\Phi_1$有无穷多个非平凡临界点$\{u_k\} \in E\setminus \{0\}$,且当$k\rightarrow \infty$时满足$\Phi_1(u_k)\rightarrow 0^-$.

为了应用定理2.4来证明定理1.1,我们在运行空间$E= D(|A|^{\frac{1}{2}})$上对所有的$u =u^- + u^0 + u^+\in E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$和$\lambda \in [1,2]$定义泛函 $J,B$ 以及$\Phi_{\lambda}$为如下

$$J(u)=\frac{1}{2}\|u^+\|^2,\ \ \ \ \ B(u)=\frac{1}{2}\|u^-\|^2+ \int_{{\mathbb R}}F(t,u){\rm d}t,$$ $$\label{eqn 2.5} \Phi_{\lambda}(u) = J(u)-\lambda B(u) = \frac{1}{2}\|u^+\|^2 - \lambda (\frac{1}{2}\|u^-\|^2 + \int_{{\mathbb R}}F(t,u){\rm d}t). (2.5)$$ 由引理2.3,我们知道对所有$\lambda \in [1,2]$有$\Phi_{\lambda} \in C^1(E, {\mathbb R})$. 对所有$j \in {\mathbb N}$,令$X_j =$span$\{e_j\}$,其中$\{ e_n : n \in {\mathbb N}\}$是相应于算子$A$的特征值$\eta_n$的特征函数系, 注意到$\Phi_{1} = \Phi$是(2.1)式中定义的泛函$\Phi$.

另外,我们还需要下列两个引理,参见文献^[14].

引理2.5 如果条件$(L_1)$ 和 $(L_2)$ 对某个$\alpha < 1$以及条件$(F_1)$都成立,则存在一个正整数$k_0$和一个叙列 $\rho_k \rightarrow 0^+$ ($k \rightarrow \infty$)满足

$$a_k(\lambda):=\inf_{u\in Z_k, \|u\|=\rho_k}\Phi_{\lambda}(u) > 0,\ \ \ \forall k \geq k_0,$$ 并使得 $$d_k(\lambda):=\inf_{u\in Z_k,\|u\|\leq \rho_k}\Phi_{\lambda}(u) \rightarrow 0 \ \ ( k\rightarrow \infty )$$ 一致地对$\lambda \in [1,2]$成立,其中 $Z_k=\overline{\bigoplus\limits_{j=k}^{\infty}X_j}=\overline{\mbox{span}\{e_k, \cdots\}}$ 对所有 $k \in {\mathbb N}$成立.

引理2.6 假设条件$(L_1)$ 和 $(L_2)$ 对某个$\alpha < 1$以及条件$(F_1)$和$(F_3)$都成立,则对引理2.5中所得的叙列 $\rho_k \rightarrow 0^+$,对所有$k \in {\mathbb N}$存在$r_k$满足$0 < r_k < \rho_k$使得

$$b_k(\lambda):=\max_{u\in Y_k, \|u\|=r_k}\Phi_{\lambda}(u) < 0,\ \ \ \ \forall k \in {\mathbb N},$$ 这里对所有$k \in {\mathbb N}$有$Y_k=\bigoplus\limits_{j=1}^{k}X_j=\mbox{span}\{e_1,\cdots,e_k\}$.

现在我们已经作好了准备工作, 可以利用定理2.4来给出本文主要结果的证明了.

定理1.1的证明 首先, 我们证明定理2.4中条件($T_2$)是满足的. 对$u \in E$, 设$\Omega(u)=\{t\in {\mathbb R}: |u(t)| > R_0\}$. 令$X \subset E$是任何有限维子空间,$S=\{\omega \in X: |\omega|_{\infty}=2 R_0\}$. 显然由泛函$B$的定义和($F_1$)可得$B(u) \geq 0$. 对$|u| \geq R_0$和$\forall t \in {\mathbb R}$,由($F'_4$)可得

$$F(t,u)= \widetilde{F}(t,u)+\frac{1}{2}(\bigtriangledown F(t,u),u) \geq \widetilde{F}(t,u) \geq a(t) |u|^{\gamma},$$ 因此我们有 $$\begin{eqnarray*} B(u) &=& \frac{1}{2}\|u^-\|^2+ \int_{{\mathbb R}}F(t,u(t)){\rm d}t \geq \int_{{\mathbb R}} \widetilde{F}(t,u(t)){\rm d}t\\ & \geq &\int_{{\mathbb R}\setminus \Omega(u)} \widetilde{F}(t,u(t)){\rm d}t+\int_{\Omega(u)} a(t) |u(t)|^{\gamma}{\rm d}t \\ & \geq& \int_{\Omega(u)} a(t) |u(t)|^{\gamma}{\rm d}t. \end{eqnarray*}$$ 为了证明条件($T_2$)成立,我们定义泛函$\varphi: S\rightarrow {\mathbb R}$如下 $$\varphi(\omega)=\int_{\Omega(\omega)} a(t) |\omega(t)|^{\gamma}{\rm d}t.$$ 由$E \subset H^1({\mathbb R},{\mathbb R}^N) \subset C({\mathbb R},{\mathbb R}^N)$ 和$S \subset X \subset E$,由于$|\omega|_{\infty}= 2 R_0$,可知对所有$\omega \in S$都有$0 < m(\Omega(\omega)) < +\infty$,这里及以后,$m(\cdot)$总表示${\mathbb R}$中的Lebesgue测度. 因此由$a(t) \in C({\mathbb R},{\mathbb R}^+)$我们有$\varphi(\omega) > 0.$ 我们可证$\phi: S\rightarrow {\mathbb R}$ 是下半连续的,为此,设$\{\omega_k\} \subset S,\omega_0 \in S$ 且$\omega_k \rightarrow \omega_0(k\rightarrow \infty).$设 $$\Omega_k = \{t\in {\mathbb R}: |\omega_k(t)| > R_0\},\ \ k = 0,1,2,\cdots,\ \ N_k = \Omega_0 \setminus \Omega_k.$$ 我们宣称,对任给的$\epsilon > 0$,都有$K > 0$,使当$k \geq K$时,都有$m(N_k) < \epsilon.$

对此断言我们用间接法来证明,假设有某个常数$\epsilon_0 > 0$和某个叙列$k_n \rightarrow \infty(n\rightarrow \infty)$使得$m(N_{k_n}) \geq \epsilon_0.$ 令

$$\Omega_{(n)} = \{t\in {\mathbb R}: |\omega_0(t)| > R_0+ \frac{1}{n}\},$$ 则有$\Omega_{(n)} \subset \Omega_{(n+1)} \subset \Omega_{0}$对一切$n \in {\mathbb N}$成立, 而且$\Omega_{(n)}\rightarrow \Omega_{0}(n \rightarrow \infty)$, 因此存在某个$s \in {\mathbb N}$使得有$m(\Omega_{0}\setminus \Omega_{(s)}) < \frac{\epsilon_0}{2}$. 则由$\Omega_{(s)} \subset \Omega_{0}$和$\Omega_{0}\setminus \Omega_{k_n}=[(\Omega_{0}\setminus \Omega_{(s)})\setminus \Omega_{k_n}]\cup (\Omega_{(s)}\setminus \Omega_{k_n})$,我们有 $$m(\Omega_{(s)}\setminus \Omega_{k_n}) \geq m(\Omega_{0}\setminus \Omega_{k_n})-m(\Omega_{0}\setminus \Omega_{(s)}) \geq \frac{\epsilon_0}{2}.$$ 注意到对所有$p (1 \leq p \leq +\infty)$,由引理2.1有$\omega \in S \subset X$ 的$p$模都存在, 而且有限维空间$X$上任何两个模都等价,由$\omega_{k_n}\rightarrow \omega_{0}(n\rightarrow +\infty)$,对任给$\epsilon > 0$, 只要$n$足够大,就有 $$\begin{eqnarray*} \epsilon &> &\int_{{\mathbb R}}|\omega_{k_n}- \omega_{0}|{\rm d}t \geq \int_{\Omega_{(s)}\setminus \Omega_{k_n}}|\omega_{k_n}- \omega_{0}|{\rm d}t\\ & = &\int_{\Omega_{(s)}\setminus \Omega_{k_n}}(\omega_{0}- \omega_{k_n}){\rm d}t \geq \frac{1}{s}m(\Omega_{(s)}\setminus \Omega_{k_n}) \geq \frac{\epsilon_0}{2s}. \end{eqnarray*}$$ 取$\epsilon = \frac{\epsilon_0}{4s}$就给出了矛盾. 如此我们就证明了该断言. 现在我们可证$\varphi: S\rightarrow {\mathbb R}$是下半连续的了. 令$\omega_{k}\rightarrow \omega_{0} \in S$,对充分大的$k$,由($F'_4$) 及以上断言,注意到$|\omega_{k}|_{\infty}=2 R_0$,我们有 $$\begin{eqnarray*} \varphi(\omega_k)& =&\int_{\Omega_{k}} a(t)|\omega_{k}|^{\gamma}{\rm d}t \geq \int_{\Omega_{0}} a(t)|\omega_{k}|^{\gamma}{\rm d}t - \int_{N_{k}} a(t)|\omega_{k}|^{\gamma}{\rm d}t\\ & \geq &\int_{\Omega_{0}} a(t)|\omega_{k}|^{\gamma}{\rm d}t - a (2 R_0)^{\gamma} \epsilon. \end{eqnarray*}$$ 利用Fatuo引理有 $$\liminf_{k\rightarrow +\infty}\varphi(\omega_k) \geq \int_{\Omega_{0}} a(t)|\omega_{0}|^{\gamma}{\rm d}t - a (2 R_0)^{\gamma} \epsilon = \varphi(\omega_0)- a (2 R_0)^{\gamma} \epsilon.$$ 则由$\epsilon$的任意性,就可知 $$\liminf_{k\rightarrow +\infty}\varphi(\omega_k) \geq \varphi(\omega_0).$$ 所以$\varphi: S\rightarrow {\mathbb R}$是下半连续的.

由于$S$是有限维空间$X$的紧子集,我们可得, 存在某个$\omega_0 \in S$ 使得

$$\rho = \inf_{\omega\in S}\varphi(\omega) = \varphi(\omega_0) > 0.$$

对任给$|u|_{\infty} > 2 R_0$的$u \in X$,设$\omega = \frac{2 R_0}{|u|_{\infty}}u$,则有$\omega \in S,\Omega(u)= \{t\in {\mathbb R}: |u(t)| > R_0 \} \supset \Omega(\omega)= \{t\in {\mathbb R}: |\omega(t)| > R_0 \}$. 而对所有$p(1 \leq p \leq +\infty)$， 空间$X$上的模都是等价的,即存在着常数$d_1 > 0$ 使有$|u|_{\infty} \geq d_1 \|u\|,\forall u \in X$,因此我们可得

$$\begin{eqnarray*} B(u)& \geq &\int_{\Omega(u)} a(t)|u(t)|^{\gamma}{\rm d}t \geq \int_{\Omega(\omega)} a(t)|u(t)|^{\gamma}{\rm d}t\\ &= &\frac{|u|_{\infty}^{\gamma}}{(2 R_0)^{\gamma}}\int_{\Omega(\omega)} a(t)(\frac{2 R_0}{|u|_{\infty}^{\gamma}}|u(t)|)^{\gamma}{\rm d}t = \frac{|u|_{\infty}^{\gamma}}{(2 R_0)^{\gamma}}\int_{\Omega(\omega)} a(t)|\omega(t)|^{\gamma}{\rm d}t\\ & \geq &\frac{\rho}{(2 R_0)^{\gamma}}|u|_{\infty}^{\gamma} \geq \frac{d\ \rho}{(2R_0)^{\gamma}}\|u\|^{\gamma} , \end{eqnarray*}$$ 其中$d = d_1^{\gamma}.$ 这即是说,在任何有限维子空间$X\subset E$上,当$\|u\|\rightarrow +\infty$时,$B(u)\rightarrow +\infty.$

因为$E$上的模$\|\cdot\|$和$\|\cdot\|_0$是等价的,则由引理2.1, 对任何$p(1\leq p\leq +\infty)$,都有$C_p > 0$满足

$$\label{eqn 3.1} |u|_p\leq C_p\|u\|,\ \ \ \ \ \forall\ u \in E,(3.1)$$ 其中$|\cdot|_p$表示$L^p$中的通常模.

由(2.2),(2.5)和(3.1)式,对$\lambda\in[1,2], \Phi_{\lambda}$一致地映射有界集为有界集. 而(2.5)式和($F_5$)显然指明 $\Phi_{\lambda}(-u)=\Phi_{\lambda}(u)$对所有$(\lambda,u)\in [1,2]\times E$成立,因此定理2.4中的条件($T_1$)被满足. 上面的证明说明条件($T_2$)成立, 而引理2.5和引理2.6指明条件($T_3$)对所有$k \geq k_0$成立. 因此, 可用定理2.4. 即存在$\lambda_n \rightarrow 1,\ u_n = u_{\lambda_n} \in Y_n$使得

$$\Phi'_{\lambda_n}|_{Y_n}(u_{n})=0,\ \ \forall n \in {\mathbb N}$$ 以及当$n\rightarrow \infty$时有 $$\Phi_{\lambda_n}(u_{n})\rightarrow f_k \in \ [d_k(2),b_k(1)]$$ 对一切$k \geq k_0$成立. 因此存在某个$M > 0$使得$\Phi_{\lambda_n}(u_{n}) < M$对所有$n \in {\mathbb N}$成立. 为了完成本定理的证明,我们还需要证明$\{u_n\}$在$E$中是有界的,为此还是采用间接证法. 假设情况并非如此,则 $\{u_n\}$在$E$中无界,如有必要,可取子叙列,我们就假定有$\|u_n\|\rightarrow +\infty~(n\rightarrow +\infty)$. 由有限维Banach空间中模的等价性,并且注意到$Y_n$是有限维的, 则对较大的$n$,都有$|u_n|_{\infty} > 2 R_0$. 设$\omega_n = \frac{2 R_0}{|u|_{\infty}}u_n$,我们有$\omega_n \in S$,以及由上面的证明可得 $$\begin{eqnarray*} M & \geq& -\Phi_{\lambda_n}(u_{n})=\frac{1}{2}\langle \Phi'_{\lambda_n}|_{Y_n}(u_{n}),u_{n} \rangle - \Phi_{\lambda_n}(u_{n})\\ & = &\lambda_n \int_{{\mathbb R}}\widetilde{F}(t,u_n){\rm d}t \\ & \geq &\lambda_n\int_{{\mathbb R}\setminus \Omega(u_n)} \widetilde{F}(t,u_n){\rm d}t+\lambda_n\int_{\Omega(u_n)} a(t)|u_n(t)|^{\gamma} {\rm d}t\\ & \geq& \lambda_n \int_{\Omega(u_n)} a(t)|u_n(t)|^{\gamma}{\rm d}t\\ & \geq& \frac{|u_n|_{\infty}^{\gamma}}{(2 R_0)^{\gamma}}\int_{\Omega(\omega_n)} a(t)|\omega_n(t)|^{\gamma}{\rm d}t\\ & \geq &\lambda_n \frac{d\ \rho}{(2 R_0)^{\gamma}}\|u_n\|^{\gamma} \geq \frac{1}{2}\frac{d\ \rho}{(2 R_0)^{\gamma}}\|u_n\|^{\gamma} , \end{eqnarray*}$$ 这是一个矛盾,因此$\{u_n\}$在$E$中是有界的. 沿着文献^[14]中定理1.1的断言2中同样的方法, 我们可知道$\{u_n\}$在$E$中具有一个 强收敛的子列. 但为了完善本文定理的证明, 我们在此还是乐意摘录此方法的细节以有益于读者. 事实上,不失一般性, 因为有$\dim (E^-\oplus E^0) < \infty$,我们可设,当$n \rightarrow \infty$时有 $$\label{eqn 3.2} u_n^-\rightarrow u_0^-,\ u_n^0\rightarrow u_0^0,\ u_n^+\rightharpoonup u_0^+ \ \ \ \mbox{以及} \ \ \ u_n\rightharpoonup u_0 (3.2)$$ 对某个$u_0 = u_0^- +u_0^0 + u_0^+ \in E=E^-\oplus E^0\oplus E^+$ 成立. 借助Riesz表示定理,映射$\Phi'_{\lambda_n}|_{Y_n}: Y_n\rightarrow Y_n^{*},\Psi': E\rightarrow E^{*}$可分别看作 $\Phi'_{\lambda_n}|_{Y_n}: Y_n\rightarrow Y_n,\Psi': E\rightarrow E$,其中$Y_n^{*}$是$Y_n$的对偶空间. 注意到 $$0 = \Phi'_{\lambda_n}|_{Y_n}(u_{n}) = u_{n}^+- \lambda_n(u_{n}^-+P_n\Psi'(u_n)),\ \ \ \ \forall \ n \in {\mathbb N},$$ 其中对所有$n \in {\mathbb N},P_n: E\rightarrow Y_n$都是正交投影. 上式即是 $$\label{eqn 3.3} u_{n}^+= \lambda_n(u_{n}^-+P_n\Psi'(u_n)),\ \ \ \ \forall \ n \in {\mathbb N}. (3.3)$$ 由引理2.3知,$\Psi': E\rightarrow E$也是紧的,因而$P_n\Psi'$亦然. 基于$P_n\Psi'$的紧性和(3.2)式,如必要可取子列,则可得(3.3)式右端叙列在$E$中强收敛, 因此按$E$模有$u_n^+\rightarrow u_0^+$,以此结合(3.2)式,则按$E$模有$u_n\rightarrow u_0.$ 这即证明了如下断言：$\{u_n\}$在$E$中有一个强收敛的子列. 因此由定理2.4最后一段的结论可知,$\Phi = \Phi_1$具有无穷多个非平凡临界点, 所以问题(1.1)具有无穷多个非平凡同宿解. 由此即完成定理1.1的证明.

说明3.1 我们说明有函数$L$和$F$能满足定理1.1的条件. 作为例子,我们考察$N=1$的系统(1.1),令

$$L(t)=t^2-1$$ 以及 $$F(t,u)=\left\{ \begin{array}{ll} |u|^{\frac{3}{2}},\ \ \ & \mbox{对} \ |u|\leq 1, \\[2mm] \frac{3t^2}{1+t^2}|u|,\ \ & \mbox{对} \ |u|\geq 2, \end{array} \right.$$ 并对中间段 $1\leq |u| \leq2$, 我们用光滑曲面来平滑地连接分段的两曲面,以使连接起来的曲面尽可能平滑 而能保持曲面使其满足$|\bigtriangledown F(t,u)| \leq c_1 (1+|u|^{\mu-1})$. 确切地说,可有 $$F(t,u)=\left\{ \begin{array}{ll} |u|^{\frac{3}{2}},~~~~~~~\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mbox{对} \ |u|\leq 1,\\[2mm] \frac{3}{2-\sqrt{2}}|u|- \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}|u|^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2-\sqrt{2}} +\frac{3t^2}{(\sqrt{2}-1)(1+t^2)} (\frac{2}{3}|u|^{\frac{3}{2}}-|u|+\frac{1}{3}),\\[2mm] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~~\qquad \qquad \mbox{对} \ 1\leq |u|\leq 2,\\[3mm] \frac{3t^2}{1+t^2}(|u|+1-\frac{\sqrt{2}}{3})+\frac{1}{2-\sqrt{2}}, ~~ \mbox{对} \ |u|\geq 2, \end{array} \right.$$ 则$L$和$F$满足定理1.1的条件却不满足条件$(F_4)$. 我们也注意到最近文章^{[18, 19]}考虑一个 特殊函数$F(t,u)= a(t) |u|^{\gamma}$并要求$a(t)$满足 $a(t)\in L^{\frac{2}{2-\gamma}}({\mathbb R},{\mathbb R}^+)$, 这意味着$\lim\limits_{|t|\rightarrow \infty} a(t)= 0$, 因此这一条件是我们结果的一个特殊情况,即上面的例子说明并不满足 文章^{[18, 19]}中的要求,而本文的方法也不同于文章^{[18, 19]}中所用的方法, 因此本文结果是有意义的.