设$P$ 是一个群论性质. 依照文献^[6],若群 $G$ 的每一真商群具有性质 $P$, 而 $G$ 本身不具备这种性质,则称 $G$ 为外 $P$ -群. 对于这类群的研究诱因有两个: 一是对于这种``处于临界状态" 的群的研究有助于我们对于理论性质 $P$ 有更深的了解; 二 是在对于这种群的研究过程中可能会遇到一些令人感兴趣的关于模的问题. 因此对于外 $P$ -群的研究是无限群论中较有意义的工作, 文献 ^{[1,2,3,4,5,6,7,10,11]} 中已列举了若干已经研究过的外 $P$ -群,特别地文献 ^[10,11] 研究了当 $P$ 为一些特殊类型的 $FC$ -性质时的外 $P$ -群,其 中 $FC$ 是任意共轭类均是有限的群. 本文将讨论一种新的外 $P$ -群, 其中 $P$ -群为这样的群: $P$ -群 为周期的 $FC$ -群,我们称它为外周期 $FC$ -群. 借助于文献 ^[1] 的一些结果, 我们将考虑外周期 $FC$ -群.

通常研究外 $P$ -群时总是假设它具有非平凡的Fitting 子群, 因而本文研究有非平凡的Fitting 子群的外周期 $FC$ -群. 容易知道外周期 $FC$ -群不是 $FC$ -群就是外 $FC$ -群. 但是我们可以证明外周期 $FC$ -群为 $FC$ -群当且仅当它是 Abel 群, 于是它就很自然地分为两类: Abel 的和非 Abel 的. 所以, 我们将在第二节 和第三节 分别得到这两种类型的局部可解的外周期 $FC$ -群的完全结构描述.

首先给出后面要反复应用的关于外周期 $FC$ -群的几个 性质而省略它的简单证明.

引理1.1 设 $G$ 是外周期 $FC$ -群,则

(1)~ $G$ 没有非平凡的有限正规子群;

(2)~ $G$ 是次直积不可分解的,即对 $1\neq{N_i}\lhd{G},i={1,2}$, 我们有 $N_1\cap{N_2}\neq1$.

为了方便研究外周期 $FC$ -群,我们列举关于 $FC$ -群特别是周期 $FC$ -群的相关性质.

引理1.2 若群 $G$ 是有限群由 $FC$ -群的扩张, 则 $G$ 是 $FC$ -群.

引理1.3(参见文献 [8,14.5.7] 在任何群 $G$ 中, 由有限阶元素组成的有限正规子集生成一个群的有限正规子群.

引理1.4 (参见文献 [8,14.5.8] 周期群 $G$ 是 $FC$ -群当且仅当它的每一有限子集含于一个有限的正规子群内.

引理1.5 设 $G$ 是 $FC$ -群,$N\lhd{G}$,则 $G/N$ 也是 $FC$ -群.

证 设 $xN$ 是 $G/N$ 的任意元素. 由于 $G$ 是 $FC$ -群, 故 $|G:C_G(x)|<\infty$ 但是由 $|C_{G/N}(xN)|\geq{|C_G(x)N/N|}$ 可得 $|G/N:C_{G/N}(xN)|\leq{|G/N:C_G(x)N/N|}=|G:C_G(x)N| \leq{|G:C_G(x)|<\infty}$. 所以 $G/N$ 是 $FC$群.

我们将采用文献 ^[6,8,9]中的记号和术语.

在这一节的开头,我们首先考虑 Abel 的外周期 $FC$ -群,有如下命题

命题2.1 设 $G$ 是外周期 $FC$ -群,则 $G$ 为 $FC$ -群当且仅当 $G$ 是 Abel 的.

证 若 $G$ 是 Abel 的,则 $G$ 是 $FC$ -群明显成立. 因此只需证明 必要性成立. 设 $G$ 是 $FC$ -群但 $G$ 是非 Abel 的,则 $G'\neq1$. 由于 $FC$ -群的导子群是周期的, 且由引理1.3知由有限阶元素组成的有限正规子集生成有限的正规子群, 故在 $G'$ 中存在一个非平凡的元素 $a$,使得 $a$ 在 $G$ 中的正规闭 $a^G$ 是有限的. 这矛盾于引理1.1 (1),故 $G$ 是 Abel 的.

下列结果将给出 Abel 的外周期 $FC$ -群的一个特征性质.

定理2.1 设 $G$ 是 Abel 群.

(1)~ 如果 $G$ 是外周期 $FC$ -群,则 $G$ 同构于有理数加群的一个子群;

(2)~ 反之,如果 $G$ 具有~(1)所描述的结构,则 $G$ 是外周期 $FC$ -群.

证 (1)~ 由引理1.1,$G$ 是秩为1的无扭 Abel 群. 于是,它同构于有理数加群的一个子 群.

(2)~ 设 $G$ 具有(1)所描述的结构,则可将 $G$ 看作有理数加群 的一个子群. 令 $m$ 为 $G$ 中最小正整数,则由 $m$ 的极小性, $G$ 的任一整数都是 $m$ 的倍数. 记 $H=\langle m \rangle$,则商群 $G/H$ 是周期的. 又 $G/H$ 是 Abel 群, 故商群 $G/H$ 是周期 $FC$ -群.

设 $N$ 为 $G$ 的任意非平凡的子群. 由于 $G$ 的每一个整数属于 $H$,故 $N\cap{H}\neq{1}$ 从而 $|H:N\cap{H}|$ 有限. $G/H\cap{N}$ 是周期 $FC$ -群,这是因为由引理1.2 有限群关于 $FC$ -群的扩张是 $FC$ -群. 再利用引理1.5,$G/N$ 是周期 $FC$ -群. 易知 $G$ 不是周期 $FC$ -群, 所以,$G$ 是外周期 $FC$ -群.

接下来考虑非 Abel 的外周期 $FC$ -群的结构,因为周期 $FC$ -群本身就是 $FC$ -群,故它 们是外 $FC$ -群,所以文献^[1]中的关于外 $FC$ -群的结果可 以用来研究外周期 $FC$ -群. 首先我们给出如下的基本结果.

定理 3.1 设 $G$ 是外周期 $FC$ -群,则 $G$ 是非 Abel 的当且仅当 $G$ 的中心 $Z(G)=1$.

证 充分性显然成立,现利用反证法证明必要性. $G$ 是非 Abel 的但是 $Z(G)\neq1$,则由文献 [1,定理2.1], 作为具有非平凡中心的外 $FC$ -群, $G$ 是幂零群且其类为2,并且对 $G$ 的每一非中心元 $x$, 商群 $G/C_G(x)$ 是无限循环群. 由于 $Z(G)\neq{1}$ 故 $G/Z(G)$ 是周期 $FC$ -群. 但是由于 $G$ 是非 Abel 的,故 $G$ 的非中心元 $x$ 存在, 又 $C_{G}(x)\geq{Z(G)}$,故 $G/C_{G}(x)$ 作为 $G/Z(G)$ 的同态像是周期群,这与 $G/C_G(x)$ 是无限循环群矛盾. 所以 $Z(G)=1$.

从现在开始考虑具有平凡中心和非平凡的~Fitting 子群 $A$ 的外周期 $FC$ -群 $G$. 因为 $G$ 是 外 $FC$ -群,故由文献 [1,定理3.1],$A$ 是 Abel 的并且它是无扭的 或者具有素数幂指数. 注意到外周期 $FC$ -群是次直积不可分解的, 故它们可以很自然的分 为两类: 一类没有极小正规子群,另一类具有唯一的极小正规子群. 具有唯一的极小正规子群的群称为单块群. 在本节中我们将分别在非单块的情形和单块的情况下, 研究具有平凡中心和非平凡的Fitting 子群的局部可解的 外周期 $FC$ -群的结构. 为此我们需要下列重要概念: 如果一个无限模 $A$ 的所有真商模都是有限的,则称 $A$ 是外有限模.

为使用方便我们从文献 [1,\S5]引用两个重要定理.

引理 3.1 (参见文献 [1,定理 5.4,5.5])\quad 设 $G$ 是具有平凡中心和非平凡的Fitting 子群的局部可解外 $FC$ -群. 若 $G$ 非单块,则 $G$ 的每一真商群的中心具有有限指数 (即 $G$ 为 $CF$ -群).

这个引理将在下一个定理的证明中起关键作用.

定理 3.2 设 $G$ 是具有平凡中心和非平凡的 Fitting 子群 $A$ 的局部可解外周期 $FC$ -群. 如果 $G$ 是非单块的,则 $A$ 是关于非平凡有限群 $Q=:G/A$ 的特征为0 的忠实外有限模.

证 由引理 3.1,$G$ 的所有真商群都是 $CF$ -群, 易知 $G$ 本身不是 $CF$ -群,故 $G$ 是外 $CF$ -群. 根据具有平凡中心和非平凡的Fitting 子群的外 $CF$ -群的结构 (见文献 [6,定理 6.5]), $A$ 是关于非平凡的周期 $CF$ -群 $Q=:G/A$ 的忠实外有限模. 于是 $Q$ 的导子群是有限的. 如果 $Q$ 是无限的,则由文献 [6,引理(4.10) 和定理(4.11) (i)],$A$ 是关于群 $Q$ 的特征为0 的忠实单外有限模, 从而 $A$ 是 $G$ 的唯一的极小正规子群,这矛盾于已知条件, 所以 $Q$ 是有限的. 于是,由文献 [6,引理 (4.10)] $A$ 是关于非平 凡的有限群 $Q$ 的特征为0 的忠实外有限模.

注 由文献 [1,定理 5.8]在定理 3.2 中当 Fitting 子群 $A$ 是非平凡的且无扭, 可以将条件``$G$ 是局部可解的"去掉.

定理 3.3 设 $A$ 是关于非平凡的有限群 $Q$ 的特征为 0 的忠实外有限模,则能够导出已知模结构的 $A$ 关于 $Q$ 的任意扩张群都是非单块的外周期 $FC$ -群, 它具有平凡的中心且以 $A$为Fitting 子群.

证 设 $G$ 为能够导出已知模结构的 $A$ 关于 $Q$ 的任意扩张群且设 $1\neq{N}\lhd{G}$. 则由于 $A$ 是忠实模, 故 $C_{G}(A)=A$. 如果 $N\cap{A}=1$ 则 $[N,A]\leq{N\cap{A}}=1$, $N\leq{C_G(A)}=A$,矛盾. 从而 $N\cap{A}\neq{1}$. 故 $A/N\cap{A}$ 是有限的,从而由 $G/A$ 是有限的,可得 $G/N\cap{A}$ 是有限的. 因此 $G/N$ 是有限的,从而是周期 $FC$ -群. 但是由于 $A$ 是关于非平凡的有限群 $Q$ 的特征为0的外有限模, 故 $A$ 是无扭 Abel 群,从而 $G$ 不是周期 $FC$ -群, 即知 $G$ 是外周期 $FC$ -群. 易知 $Z(G)=1$,否则由定理 3.1 知 $G$ 是 Abel 的, 从而 $A$ 不是非平凡的有限群 $Q$ 忠实外有限模. 由文献 [1,定理 3.1],$G$ 的Fitting 子群是 Abel 的,从而包含 $A$. 所以它一定等于 $A$,这是因为 $C_{G}(A)=A$.

由于 $Q=G/A$ 是有限的且 $A$ 是外有限模,故作为 Abel 群是有限生成的从而是无扭的. 设 $N$ 为 $G$ 的极小正规子群, 则 $N\cap{A}\neq{1}$,从而 $N\leq{A}$, $N$ 是有限生成的无扭群. 对任意正整数 $m$,$N^m$ 是 $G$ 的非平凡的正规子群且真含于 $N$,这就矛盾于 $N$ 的极小性. 所以 $G$ 没有极小正规子群,即 $G$ 是非单块模.

众所周知,非平凡的有限群 $G$ 具有特征为0 的忠实外有限模当且仅当 $G$ 容许一个忠实的既约有理表示 (见文献 [6,引理 (4.10)]). 定理 3.2 和定理 3.3 所涉及的群恰好就 是非 Abel 的外有限群,它们被McCarthy 研究过(见文献 ^[3,4]).

最后,我们将研究具有平凡中心和非平凡的Fitting 子群的单块的局部可解外周期 $FC$ -群. 由于非 Abel 外周期

定理 3.4 (见文献 [1,定理7.3])\quad 设 $G$ 为具有平凡中心和非平凡的Fitting 子群 $A$ 的局部可解外周期 $FC$ -群. 如果 $G$ 是单块的,则下列结果成立

(1)~ $A$ 是 $G$ 的唯一极小正规子群;

(2)~ $C_{G}(A)=A$;

(3)~ $G$ 在 $A$ 上可裂且 $A$ 在 $G$ 中的所有补共轭.

由此,可以得到这类群的模结构.

定理 3.5 设 $G$ 为具有平凡中心和非平凡的 Fitting 子群 $A$ 的局部可解外周期 $FC$ -群. 如果 $G$ 是单块的, 则 $A$ 是关于无限周期 $FC$ -群 $Q=:G/A$ 的特征为 $p$ ($p$ 为素数)的忠实单外有限模.

证 由定理 3.4,$A$ 是关于周期 $FC$ -群 $Q$ 的忠实外有限模. 如果 $Q$ 是有限的,则 $A$ 是无限的且作为 Abel 群是有限生成的. 前面已提到,$A$ 是无扭的或者具有素数幂指数, 因此, $A$ 一定是无扭的,它不可能是单模. 由此可知 $Q$ 是无限周期 $FC$ -群,从而 $A$ 是无限的,故无限局部可解周期 $FC$ -群容许一 个忠实的单外有限模. 由于 $Q$ 是周期 $FC$ -群, 由文献 [1,定理8.3 (a)] $A$ 是幂指数为素数 $p$ 的 Abel 群, 即 $A$ 的特征是 $p$.

定理 3.6 设 $A$ 是关于无限周期 $FC$ -群 $Q$ 的特征为 $p$ 的忠实单外有限模,则能够导出已知模结构的 $A$ 关于 $Q$ 的任意扩张群都是单块的外周期 $FC$ -群, 它具有平凡的中心并以 $A$ 为Fitting 子群.

证 设 $G$ 为能够导出已知模结构的 $A$ 关于 $Q$ 的任意扩张群且设 $1\neq{N}\lhd{G}$,则 $N\cap{A}\neq{1}$. 因此 $A/N\cap{A}$ 是有限的, 且由于 $G/A$ 是周期 $FC$ -群,故由引理1.2 可知 $G/N\cap{A}$ 是周期 $FC$ -群. 由此可知 $G/N$,作为周期 $FC$ -群的同态像, 是周期 $FC$ -群. 如果 $G$ 是周期 $FC$ -群,则对 $A$ 的任意非平凡元素 $a$, $a$ 在 $G$ 内的正规闭 $a^G$ 是含于 $A$ 的 $G$ 的有限正规子群, 这是不可能的,因为 $A$ 是外有限 $G$ -模. 因此 $G$ 是外周期 $FC$ -群. 同时有 $Z(G)=1$ 且 $G$ 的Fitting 子群为 $A$. 最后,容易知道 $A$ 是 $G$ 的极小正规子群,从而 $G$ 是单块的.

从定理 3.5 和定理 3.6 知道,在单块的情况下,局部可解的外周期 $FC$ -群的结构与无限周期 $FC$ -群的特征值为 $p$ 的外有限模紧密相关, 因此外周期 $FC$ -群的存在性依赖这一类模的存在性, 从而我们应该讨论这一类模的构造方法. 实际上,直接利用文献 [1,定理8.3,8.4]就可以得到下列定理.

定理 3.7 设 $Q$ 为无限的局部可解周期 $FC$ -群,则 $Q$ 容许特征为 $p$ ($p$ 为素数)的忠 实单外有限模当且仅当 $Q$ 的柱脚 $S$ 是 $p'$ -群且 $S$ 包含一个子群 $J$, 使得 $S/J$ 是局部循环的且 $J_Q=1$.

群 $H$ 的柱脚是由 $H$ 的所有极小正规子群生成的子群; 如果群 $H$ 没有极小正规子群,那么 $H$ 的柱脚定义为1.