扩散模型在金融,工程和军事等领域有着广泛的应用. 近年来, 扩散过程的统计推断已成为概率与统计学家关注的热点问题,其中, 非时齐扩散模型统计推断的研究越来越受到关注. 比如,在金融领域中, 经济条件随时间变动已是基本的事实, 因此有必要设想金融资产的瞬时期望收益和瞬时波动率不但与指 定的状态变量有关,而且也应该依赖于时间. 这意味着基础状态变量应 该是一个非时齐的扩散过程. 对于非时齐扩散模型的研究, 迄今已做了大量的工作. 例如文献 Ho和Lee[1], Hull和White[2],Black和Karasinski[3]和Fan 等[4,5] 等考虑了时变参数的连续扩散模型. 以上文献主要研究的是非时齐扩散模型的参数估计问题. 对于非时齐扩散模型的非参数估计问题, 陈萍等[6]和马雷等[7] 分别考虑了时变扩散系数的小 波估计和核估计,他们都证明了估计量的强收敛性.
本文研究如下非时齐扩散模型中时变扩散系数的局部非参数估计问题. 考虑定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机过程 {Xt,0≤t≤T},满足如下的非齐次扩散模型 dXt=μ(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dBt, X0=x0(1.1) 其中{Bt,0≤t≤T}是标准布朗运动, 二元函数μ(t,Xt)和σ(t,Xt)分别称为随机过程Xt 的漂移系数和扩散系数,初值x0∈L2,且与{Bt,0≤t≤T} 独立. 令Ft 为{Xs,0≤s≤t}生成的σ -代数, 本文中,Ci,i=1,2,3皆为不依赖与任何变量的常数. 本文将基于非时齐扩散模型的离散观测样本,利用局部近似的方法, 构造扩散系数的局部估计量,并证明估计量的强相合性和渐近正态性. 下面给出模型(1.1)需要满足的假设条件.
(A1) (线性增长条件)~ 函数μ和σ是可测函数,且满足 |μ(t,x)|+|σ(t,x)|≤C1(1+|x|),x∈R,t∈[0,T].
(A2) (Lipschitz条件)~ |μ(t,x)−μ(t,y)|+|σ(t,x)−σ(t,y)|≤C2|x−y|,x,y∈R,t∈[0,T].
(A3)~ |σ(t1,x)−σ(t2,x)|≤C3|t1−t2|,且σ(t,x)>0,x∈R,t1,t2,t∈[0,T].
假设条件(A1)和(A2)保证了扩散模型(1.1)有唯一的强解, 条件(A3)保证了我们可以对σ(t,x)关于t进行局部近似.
为便于讨论估计量的渐近性质,给出如下预备知识.
定义1.1若一个连续随机过程Xt可以分解为 Xt=LXt+At, 其中LXt是一个连续局部鞅, At是具有有限方差的连续适应过程,则称Xt是一个连续半鞅.
定义1.2若Xt是一个连续半鞅, 则存在一个关于t非减的随机过程LX(t,a),使得 LX(t,a)=limϵ→01ϵ∫t0I[a,a+ϵ](Xs)d[X]s 几乎处处成立,并称LX(t,a)为Xt在a点处的局部时, 其中[X]t表示Xt的二次互偏差过程,IA表示集合A的示性函数.
局部时LX(t,a)是一个表示过程Xt在点a的邻域内发生的次数的量. 若扩散过程Xt有极小的二阶矩σ2(Xt), 则其在点a处的局部时可以表示为 LX(t,a)=limϵ→01ϵ∫t0I[a,a+ϵ](Xs)σ2(Xs)ds.
引理1.1令Xt是一个连续半鞅, 且有二次互偏差过程[X]t,若f是一个正的二元波雷尔可测函数,则有 ∫t0f(Xs,s)d[X]s=∫+∞−∞da∫t0f(a,s)dLX(s,a), 特别地,若f是一个正的一元波雷尔可测函数,则上式可以为 ∫t0f(Xs)d[X]s=∫+∞−∞f(a)LX(t,a)da.
引理1.2若Xt满足假设条件(A1)--(A3), r和a是任意固定的实数,则当λ→∞时,有 12√λ{LX(t,r+aλ)−LX(t,r)}→d{W(LX(t,r),a),a>0,W(LX(t,r),−a),a<0, 其中符号‘‘→d"表示``依分布收敛", W(t,a)是标准Brownian Sheet,且与Xt独立.
引理1.3设{Xt,0≤t≤T}是满足假设条件(A1)--(A3)随机过程,令s(dx)=2dxS′(x)σ2(x)是过程Xt的速率测度,这里S′(x)是尺度函数的一阶导数,σ2(x) 是波动率函数. f(⋅) 和 g(⋅)是关于速率测度s(dx)可积的任意两个波雷尔可测函数,则有 P{limT→∞∫T0f(Xs)ds∫T0g(Xs)ds=∫+∞−∞f(x)s(dx)∫+∞−∞g(x)s(dx)}=1.
注引理1.1的证明参见文献[8]的第6章的 推论1.6和练习题1.15,引理1.2和引理1.3的证明分别参见文献[9]中的引理5和引理6.
令{Xti,i=0,1,2,⋯,n}是扩散模型(1.1)的等距离散观测样本, 其中ti=iT/n,i=0,1,2,⋯,n. 记Λn=T/n, 则ti=iΛn,i=0,1,2,⋯,n. 下面我们基于该离散观测样本来构造扩散系数σ2(t,x)的局部估计量, 并讨论该估计量的渐近性质.
由假设条件(A3)知,我们可以对σ(t,x)关于t进行局部近似, 即对于任意给定的时间点t∗,取γn>0, 使得当n→∞时,γn→0 且nγn→∞, 当t∈[t∗−γn,t∗+γn]时,令 σ2(t,x)=σ2(t∗,x),(2.1) 即在t∗的γn邻域内,扩散系数σ2(t,x)仅是x的函数, 而与t无关.
对于观测样本{Xti,i=0,1,2,⋯,n},令 i(t∗)0=inf{i:ti∈[t∗−γn,t∗+γn]},i(t∗)1=sup{i:ti∈[t∗−γn,t∗+γn]}. 令 nγn=[(i(t∗)1−i(t∗)0)/Λn], 其中[x]表示不大于数x的最大整数. 记 t(γn)i=ti(t∗)0+iΛn, i=0,1,2,⋯,nγn, 这样就得到了时间区间[t∗−γn,t∗+γn]上的观测值. 选取适当的εγn>0, 对每个观测值Xt(γn)i定义停时序列如下 τ(γn)i,0=inf{tl≥0:|Xtl−Xt(γn)i|≤εγn,l∈[i(t∗)0,i(t∗)1]}, τ(γn)i,j+1=inf{tl≥τ(γn)i,j+Δγn:|Xtl−Xt(γn)i|≤εγn,l∈[i(t∗)0,i(t∗)1]}, j=0,1,2,⋯,mγn(t(γn)i), 其中Δγn=(2γn)/nγn, mγn(t(γn)i)=nγn∑l=1I{|Xtl−Xt(γn)i|≤εγn}表示落在Xt(γn)i的εγn邻域内的观测值的个数. 对每一个i=0,1,2,⋯,nγn,令 ˜σ2(t∗,Xt(γn)i)=1mγn(t(γn)i)Δγnmγn(t(γn)i)−1∑j=0[Xτ(γn)i,j+Δγn−Xτ(γn)i,j]2.(2.2) 基于式(2.2)构造扩散系数的局部估计量为: 对任意给定的时间的t∗,令 ˆσ2(t∗,x)=nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)˜σ2(t∗,Xt(γn)i)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x),(2.3) 其中Kh(⋅)=K(⋅/h)/h, K(⋅)是一个非负的权重函数,称其为核函数. 假设核函数K(⋅)满足如下条件
(1)~ K(⋅)是一个连续可微的对称函数,且其导函数K′(⋅)绝对可积.
(2)~ ∫+∞−∞K(x)dx=1,∫+∞−∞K2(x)dx<∞,∫+∞−∞x2K(x)dx<∞和supx∈RK(x)<C,其中C是一个正的常数.
下面的定理2.1和定理2.2分别给出了局部估计量(2.3) 式的强相合性和渐近正态性.
定理2.1假设条件(A1)--(A3)成立, 如果有:hγn→0,使得 1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2→0, 且γn→0,使得 γ1/2nnγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2→0, 则对任意给定的时间点t∗,有 ˆσ2(t∗,x)→a.s.σ2(t∗,x), 其中符号‘‘→a.s."表示``依概率1收敛"或``几乎处处收敛".
定理2.2假设条件(A1)--(A3)成立, 如果有hγn=o(εγn)且nγnε4γn→0,则对任意给定的时间点t∗,有 ˉLX(2γn,x)√nγnεγn/(2γn){ˆσ2(t∗,x)−σ2(t∗,x)}→dN(0,2σ4(t∗,x)), 如果有hγn=o(εγn)且nγnε4γn→∞,则对任意给定的时间点t∗,有 ˉLX(2γn,x)ε−32γn{ˆσ2(t∗,x)−σ2(t∗,x)}→dN(0,16φind[∂σ(t∗,x)∂x]2), 其中ˉL(2γn,x)=1σ2(t∗,x)LX(2γn,x)=1σ2(t∗,x)limϵ→01ϵ∫2γn0I[x,x+ϵ](Xs)σ2(t∗,Xs)ds, φind=2∫∞0∫∞0ts(12I|t|≤1)(12I|s|≤1)min(t,s)dtds.
证明局部估计量的渐近性质需要用到如下引理.
引理3.1如果有hγn→0,使得 1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2→0, 则有 Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)→a.s.ˉL(2γn,x). 引理3.1的证明参见文献[9,定理1].
定理2.1的证明考虑(2.3)式,其可以表示为 ˆσ2(t∗,x)=nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)˜σ2(t∗,Xt(γn)i)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)=Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)[˜σ2(t∗,Xt(γn)i)−σ2(t∗,Xt(γn)i)]Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)+Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x). 首先证明(3.2)式为 Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)=∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)σ2(t∗,Xs)ds+Oa.s.(1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2)∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)ds+Oa.s.(1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2), 其中符号‘‘Oa.s."表示``几乎处处有界或依概率1有界". 考虑下式 Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)−∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)σ2(t∗,Xs)ds 由假设(A1)--(A3)和核函数K(⋅)的性质,对于(3.3)式, 有 |nγn−1∑i=0∫bi+1bi[Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)−Khγn(Xs−x)σ2(t∗,Xs)]ds|+|ΔγnKhγn(Xt(γn)0−x)σ2(t∗,Xt(γn)0)|+|ΔγnKhγn(Xt(γn)nγn−x)σ2(t∗,Xt(γn)nγn)|≤|nγn−1∑i=0∫bi+1bi[Khγn(Xs−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)−Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)]ds|+|nγn−1∑i=0∫bi+1bi[Khγn(Xs−x)σ2(t∗,Xs)−Khγn(Xs−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)]ds|+C1Oa.s.(Δγnhγn)≤1hγnnγn−1∑i=0∫bi+1bi|K′(˜Xis−xhγn)||Xs−Xt(γn)ihγn||σ2(t∗,Xt(γn)i)|ds+|nγn−1∑i=0∫bi+1biKhγn(Xs−x)[σ2(t∗,Xs)−σ2(t∗,Xt(γn)i)]ds|+C1Oa.s.(Δγnhγn), 其中bi=t∗−γn+iΔγn,i=0,1,2,⋯,nγn−1, C1是常数, ˜Xis是Xs和Xt(γn)i之间的一个值. 定义 κγn=max0≤i≤nγnsupbi≤s≤bi+1|Xs−Xt(γn)i|. 由文献[10]中第2章的定理9.25,得 P([lim supΔγn→0κγn(Δγnlog(1/Δγn))1/2=C2])=1, 其中C2是某个常数. 因此 κγn=Oa.s.(Δγnlog(1/Δγn))1/2, 若hγn→0, 使得 1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2→0, 则有 κγnhγn→a.s.0. 由(3.6)式,得 K′(˜Xis−xhγn)=K′(Xs−xhγn+oa.s.(1)),i=0,1,2,⋯,nγn. 由(3.4)式和(3.7)式, K′的绝对可积性以及ˉLX(t,⋅)和σ2(⋅,⋅) 的连续性, 得到 κγnhγn1hγn∫t∗+γnt∗−γn|K′(Xs−xhγn+oa.s.(1))||σ2(t∗,Xs+oa.s.(1))|ds=κγnhγn1hγn∫+∞−∞|K′(p−xhγn+oa.s.(1))||σ2(t∗,p)|ˉLX(2γn,p)dp=κγnhγn1hγn∫+∞−∞|K′(q+oa.s.(1))||σ2(t∗,qhγn+x)|ˉLX(2γn,qhγn+x)dq≤C3(κγnhγn)Oa.s.(ˉLX(2γn,x))≤C3(κγnhγn)Oa.s.(γ1/2n), 其中最后一个不等式成立是由于 ˉLX(2γn,x)=γ1/2n1σLw(1,xσγ1/2n)=Oa.s.(γ1/2n). 同理可证 |nγn−1∑i=0∫bi+1biKhγn(Xs−x)[σ2(t∗,Xs)−σ2(t∗,Xt(γn)i)]ds|≤C4κγnOa.s.(γ1/2n). 由上述可得 Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)=∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)σ2(t∗,Xs)ds+Oa.s.(γ1/2nhγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2). 由类似的方法可得 Δγnnγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)=∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)ds+Oa.s.(γ1/2nhγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2). 故对于(3.2)式,如果有γn→0,hγn→0,使得 γ1/2nnγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2→0, 则由引理1.3得 ∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)σ2(t∗,Xs)ds+Oa.s.(1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2)∫t∗+γnt∗−γnKhγn(Xs−x)ds+Oa.s.(1hγn[Δγnlog(1/Δγn)]1/2)=σ2(t∗,x)s(x)+oa.s.(1)s(x)+oa.s.(1)→a.s.σ2(t∗,x), 其中s(x)是过程的速率函数.
现在考虑(3.1)式,下面证明: 对固定的Xt(γn)i,有下式成立 ˜σ2(t∗,Xt(γn)i)=σ2(t∗,Xt(γn)i)+oa.s.(1). 由σ2(⋅,⋅)的Lipschitz性质,有 1mγn(t(γn)i)Δγnmγn(t(γn)i)−1∑j=0[Xτ(γn)i,j+Δγn−Xτ(γn)i,j]2−σ2(t∗,Xt(γn)i)=12mγn(t(γn)i)Δγnmγn(t(γn)i)−1∑j=0∫τ(γn)i,j+Δγnτ(γn)i,j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBs+12mγn(t(γn)i)Δγnmγn(t(γn)i)−1∑j=0∫τ(γn)i,j+Δγnτ(γn)i,j2(Xs−Xt(γn)i)μ(t∗,Xs)ds+C5Oa.s.(κγn), 其中 ∫τ(γn)i,j+Δγnτ(γn)i,j2(Xs−Xt(γn)i)μ(t∗,Xs)ds=oa.s.(∫τ(γn)i,j+Δγnτ(γn)i,j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBs). 定义积分为 yτ(γn)i,j+Δγn=∫τ(γn)i,j+Δγnτ(γn)i,j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBs, 上式定义的积分关于Fτ(γn)i,j+Δγn 可测, 由It\^{o}积分的性质, 得E(yτ(γn)i,j+Δγn)=0, 又由It\^{o}积分的等距性,则对所有的j≤mγn,有 θτ(γn)i,j+Δγn=Var(yτ(γn)i,j+Δγn)<∞. 因此(yτ(γn)i,j+Δγn,Fτ(γn)i,j+Δγn)是一个均值为零, 方差有限的鞅差序列,由强大数定律知, 当mγn(t(γn)i)→∞时,有 12mγn(t(γn)i)Δγnmγn(t(γn)i)−1∑j=0yτ(γn)i,j+Δγn=oa.s.(1). 故对每个0≤i≤nγn,有 ˜σ2(t∗,Xt(γn)i)→a.s.σ2(t∗,Xt(γn)i). 下面考虑收敛速度问题 12mγn(t(γn)i)Δγnmγn(t(γn)i)−1∑j=0∫τ(γn)i,j+Δγnτ(γn)i,j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBs=12εγnnγn∑j=0I{|X(γn)tj−X(γn)ti|≤εγn}∫t(γn)j+1t(γn)j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBsΔγn2εγnnγn∑j=0I{|X(γn)tj−X(γn)ti|≤εγn}. 类似于文献[6,定理2]的证明,得到 √ˉLX(2γn,Xt(γn)i)εγn12εγnnγn∑j=0I{|X(γn)tj−X(γn)ti|≤εγn}∫t(γn)j+1t(γn)j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBsΔγn2εγnnγn∑j=0I{|X(γn)tj−X(γn)ti|≤εγn}=Oa.s.(1). 故 ˜σ2(t∗,Xt(γn)i)−σ2(t∗,Xt(γn)i)=12εγnnγn∑j=0I{|X(γn)tj−X(γn)ti|≤εγn}∫t(γn)j+1t(γn)j2(Xs−Xt(γn)i)σ(t∗,Xs)dBsΔγn2εγnnγn∑j=0I{|X(γn)tj−X(γn)ti|≤εγn}+C5Oa.s.(κγn)=Oa.s.(1√ˉLX(2γn,Xt(γn)i)εγn)+C5Oa.s.(κγn). 选择适当的带宽参数εγn, 则有 Oa.s.(1√ˉLX(2γn,Xt(γn)i)εγn)=oa.s.(1). 因此,定理得证.
定理2.2的证明考虑下式 ˆσ2(t∗,x)−σ2(t∗,x)=nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)˜σ2(t∗,Xt(γn)i)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)−σ2(t∗,x)=nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)˜σ2(t∗,Xt(γn)i)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)−nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)+nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,Xt(γn)i)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)−nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x)σ2(t∗,x)nγn∑i=0Khγn(Xt(γn)i−x). 首先考虑(3.10)式,由引理1.1和核函数K(⋅)的对称性, (3.10)式的分子部分可以表示为 ∫+∞−∞K(c)∂σ2(t∗,x)∂xchγn(LX(2γn,x+chγn)−LX(2γn,x)σ2(t∗,x+chγn))dc+∫+∞−∞K(c)∂σ2(t∗,x)∂xchγn(σ2(t∗,x)−σ2(t∗,x+chγn)σ2(t∗,x+chγn)σ2(t∗,x))LX(2γn,x)dc+∫+∞−∞K(c)12∂2σ2(t∗,x)∂x2c2h2γn(LX(2γn,x+chγn)σ2(t∗,x+chγn))dc≜ 由引理1.2,A1有以下极限形式 \begin{eqnarray*} A1&=&2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma^2(t^*,x)}\int_{-\infty}^{+\infty}cK(c)\frac{1}{2\sqrt{h_{\gamma_n}}}\left[L_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n}) -L_X(2\gamma_n,x)\right]{\rm d}c \\ &=&2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma^2(t^*,x)}\int_{0}^{+\infty}cK(c)\frac{1}{2\sqrt{h_{\gamma_n}}}\left[L_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n})-L_X(2\gamma_n,x)\right]{\rm d}c \\ &&+2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma^2(t^*,x)}\int_{-\infty}^{0}cK(c)\frac{1}{2\sqrt{h_{\gamma_n}}}\left[L_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n})-L_X(2\gamma_n,x)\right]{\rm d}c \\ &\rightarrow_d&2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma^2(t^*,x)}\int_{-\infty}^{0}cK(c)W^{\otimes}(L_X(2\gamma_n,x),-c){\rm d}c \\ &&+2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma^2(t^*,x)}\int_{0}^{+\infty}cK(c)W^{\oplus}(L_X(2\gamma_n,x),c){\rm d}c \\ &=_d&2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma(t^*,x)}\sqrt{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)} \bigg(\int_{0}^{+\infty}cK(c)W^{\oplus}(1,c){\rm d}c \\ &&+\int_{-\infty}^{0}cK(c)W^{\otimes}(1,x),-c){\rm d}c \bigg), \end{eqnarray*} 其中W^{\oplus}和W^{\otimes}是相互独立的Brownian sheet (参见文献[8]中第13章定理2.3),符号``=_d"表示``依分布等价". 又知 \begin{eqnarray*} \int_{0}^{+\infty}cK(c)W^{\oplus}(1,c){\rm d}c &=_d&\int_{0}^{+\infty}cK(c)W^{\oplus}(c){\rm d}c \\ &=_d&N\left(0,\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} usK(u)K(s)\min(u,s){\rm d}u{\rm d}s\right), \end{eqnarray*} 类似地 \begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0}cK(c)W^{\otimes}(1,-c){\rm d}c &=_d&\int_{-\infty}^{0}cK(c)W^{\otimes}(-c){\rm d}c \\ &=_d&N\left(0,-\int_{-\infty}^{0}\int_{-\infty}^{0} usK(u)K(s)\max(u,s){\rm d}u{\rm d}s\right). \end{eqnarray*} 故 \begin{eqnarray*} &&2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma(t^*,x)}\sqrt{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)} \bigg(\int_{0}^{+\infty}cK(c)W^{\oplus}(1,c){\rm d}c \\ &&+ \int_{-\infty}^{0}cK(c)W^{\otimes}(1,x),-c){\rm d}c \bigg) \\ &=_d&2h_{\gamma_n}^{3/2}\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\frac{1}{\sigma(t^*,x)}\sqrt{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)}N \left(0,2\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} usK(u)K(s)\min(u,s){\rm d}u{\rm d}s\right) \\ &=_d&h_{\gamma_n}^{3/2}MN\left(0,16\varphi \left(\frac{\partial\sigma(t^*,x)}{\partial x}\right)^2\bar{L}_X(2\gamma_n,x)\right), \end{eqnarray*} 其中\varphi=2\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}usK(u)K(s) \min(u,s){\rm d}u{\rm d}s. 因此 \begin{eqnarray*} && \frac{1}{h_{\gamma_n}^{3/2}}\left(\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}K(c)\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}ch_{\gamma_n}\left(\frac{L_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n})-L_X(2\gamma_n,x)} {\sigma^2(t^*,x+ch_{\gamma_n})}\right){\rm d}c}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}\right) \\ &&\rightarrow_dMN\left(0,16\varphi\left(\frac{\partial\sigma(t^*,x)}{\partial x}\right)^2/\bar{L}_X(2\gamma_n,x)\right). \end{eqnarray*} 对于A_2,A_3,由\sigma^2(\cdot,\cdot)的Lipschitz性质,得 \frac{A_2}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}+ \frac{A_3}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}=O_{\rm a.s.}(h_{\gamma_n}^2). 故对(3.10)式,有 \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{h_{\gamma_n}^{3/2}}\left[\frac{\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)\sigma^2(t^*,X_{t_i^{(\gamma_n)}})} {\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}-\frac{\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}} -x\right)\sigma^2(t^*,x)}{\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}\right] \\ &=_d&\frac{1}{h_{\gamma_n}^{3/2}}\left(\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}K(c)\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}ch_{\gamma_n}\left(\frac{L_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n})-L_X(2\gamma_n,x)} {\sigma^2(t^*,x+ch_{\gamma_n})}\right){\rm d}c}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)} +O_{\rm a.s.}(h_{\gamma_n}^2)\right) \\ &=_d&MN\left(0,16\varphi\left(\frac{\partial\sigma(t^*,x)}{\partial x}\right)^2/\bar{L}_X(2\gamma_n,x)\right). \end{eqnarray*} 下面考虑(3.9)式, 由It\^{o}引理,(3.9)式的分子部分可以表示为 \begin{eqnarray*} &&\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)\frac{\sum\limits_{j=0}^{n_{\gamma_n}} I_{\{|X_{t_j}^{(\gamma_n)}-X_{t_i}^{(\gamma_n)}|\leq\varepsilon_{\gamma_n}\}}\frac{1}{2}\left[\int_{t_j^{(\gamma_n)}}^{t_{j+1}^{(\gamma_n)}} (\sigma^2(t^*,x)-\sigma^2(t^*,X_{t_i^{(\gamma_n)}})){\rm d}s\right]} {\sum\limits_{j=0}^{n_{\gamma_n}}I_{\{|X_{t_j}^{(\gamma_n)}-X_{t_i}^{(\gamma_n)}|\leq\varepsilon_{\gamma_n}\}}} \\ &&+\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)\frac{\sum\limits_{j=0}^{n_{\gamma_n}} I_{\{|X_{t_j}^{(\gamma_n)}-X_{t_i}^{(\gamma_n)}|\leq\varepsilon_{\gamma_n}\}}\frac{1}{2}\left[\int_{t_j^{(\gamma_n)}}^{t_{j+1}^{(\gamma_n)}} 2(X_s-X_{t_i^{(\gamma_n)}})\sigma(t^*,X_s){\rm d}B_s\right]} {\sum\limits_{j=0}^{n_{\gamma_n}}I_{\{|X_{t_j}^{(\gamma_n)}-X_{t_i}^{(\gamma_n)}|\leq\varepsilon_{\gamma_n}\}}} \\ &&+\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)\frac{\sum\limits_{j=0}^{n_{\gamma_n}} I_{\{|X_{t_j}^{(\gamma_n)}-X_{t_i}^{(\gamma_n)}|\leq\varepsilon_{\gamma_n}\}}\frac{1}{2}\left[\int_{t_j^{(\gamma_n)}}^{t_{j+1}^{(\gamma_n)}} 2(X_s-X_{t_i^{(\gamma_n)}})\mu(t^*,X_s){\rm d}s\right]} {\sum\limits_{j=0}^{n_{\gamma_n}}I_{\{|X_{t_j}^{(\gamma_n)}-X_{t_i}^{(\gamma_n)}|\leq\varepsilon_{\gamma_n}\}}} \\ &&+O_{\rm a.s.}\left(\frac{\Delta_{\gamma_n}}{\varepsilon_{\gamma_n}}\right) \\ &\triangleq & B_1+B_2+B_3+O_{\rm a.s.}\left(\frac{\Delta_{\gamma_n}}{\varepsilon_{\gamma_n}}\right). \end{eqnarray*} 类似于文献[9,定理3]的证明,我们有 若h_{\gamma_n}=o(\varepsilon_{\gamma_n}),则 \begin{eqnarray} \sqrt{\frac{\varepsilon_{\gamma_n}}{\Delta_{\gamma_n}}}\left(\frac{B_2} {\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}\right) \rightarrow_dMN\left(0,\frac{2\sigma^4(t^*,x)}{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)}\right) %(3.11)$$ \end{eqnarray} 且 \begin{eqnarray*} B_1& =_d&\int_{-\infty}^{+\infty}K(c)\frac{\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}I_{\{|a|\leq1\}}\left(\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\varepsilon_{\gamma_n}a\right)\left(\frac{L_X(2\gamma_n,x+a\varepsilon_{\gamma_n})-L_X(2\gamma_n,x)} {\sigma^2(t^*,x+a\varepsilon_{\gamma_n})}\right){\rm d}a}{\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}I_{\{|a|\leq1\}} \bar{L}_X(2\gamma_n,x+a\varepsilon_{\gamma_n}){\rm d}a} \\ &&\cdot \bar{L}_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n}){\rm d}c \\ &&+\int_{-\infty}^{+\infty}K(c)\frac{\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}I_{\{|a|\leq1\}}\left(\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}\varepsilon_{\gamma_n}a\right)\left(\frac{\sigma^2(t^*,x)-\sigma^2(t^*,x+a\varepsilon_{\gamma_n})} {\sigma^2(t^*,x+a\varepsilon_{\gamma_n})\sigma^2(t^*,x)}\right)L_X(2\gamma_n,x){\rm d}a}{\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} I_{\{|a|\leq1\}} \bar{L}_X(2\gamma_n,x+a\varepsilon_{\gamma_n}){\rm d}a} \\ &&\cdot\bar{L}_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n}){\rm d}c \\ &&+\int_{-\infty}^{+\infty}K(c)\frac{\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}I_{\{|a|\leq1\}}\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^2\sigma^2(t^*,x)}{\partial x^2}\varepsilon_{\gamma_n}^2a^2\right)\bar{L}_X(2\gamma_n,x+a\varepsilon_{\gamma_n}){\rm d}a}{\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}I_{\{|a|\leq1\}} \bar{L}_X(2\gamma_n,x+a\varepsilon_{\gamma_n}){\rm d}a} \\ &&\cdot\bar{L}_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n}){\rm d}c \\ &&-\int_{-\infty}^{+\infty}K(c)\left(\frac{\partial\sigma^2(t^*,x)}{\partial x}h_{\gamma_n}c+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\sigma^2(t^*,x)}{\partial x^2}h_{\gamma_n}^2c^2\right)\bar{L}_X(2\gamma_n,x+ch_{\gamma_n}){\rm d}c. \end{eqnarray*} 由引理1.2,得 \begin{equation} \frac{1}{\varepsilon_{\gamma_n}^{3/2}}\left(\frac{B_1} {\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}\right) \rightarrow_dMN\left(0,16\varphi^{ind}\left(\frac{\partial\sigma(t^*,x)}{\partial x}\right)^2\frac{1}{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)}\right), % (3.12)$$ \end{equation} 其中 \varphi^{ind}=2\int_0^\infty\int_0^\infty ts\left(\frac{1}{2}I_{|t|\leq 1}\right)\left(\frac{1}{2}I_{|s|\leq 1}\right)\min(t,s){\rm d}t{\rm d}s.
注意到 \frac{B_3}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}} K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}=O_{\rm a.s.}(\kappa_{\gamma_n}). 综合(3.10)式和(3.9)式的分析,得 \begin{eqnarray*} \hat{\sigma}^2(t^*,x)-\sigma^2(t^*,x) &=&\frac{A_1}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)} +\frac{A_2}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)} \\ &&+\frac{A_3}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)} +\frac{B_1}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)} \\ &&+\frac{B_2}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)} +\frac{B_3}{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}. \end{eqnarray*} 故当h_{\gamma_n}=o(\varepsilon_{\gamma_n})和 \varepsilon_{\gamma_n}^4/\Delta_{\gamma_n}\rightarrow0时, 由(3.11)式,得 \begin{eqnarray*} &&\sqrt{\frac{\varepsilon_{\gamma_n}}{\Delta_{\gamma_n}}}\left\{\frac{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}} \left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)\tilde{\sigma}^2(t^*,X_{t_i^{(\gamma_n)}})} {\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}-\sigma^2(t^*,x)\right\} \\ &=_d& \sqrt{\frac{\varepsilon_{\gamma_n}}{\Delta_{\gamma_n}}}\left\{\frac{B_2} {\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}+O_p\left(\varepsilon_{\gamma_n}^{3/2}\right)\right\} \\ &\rightarrow_d& MN\left(0,\frac{2\sigma^4(t^*,x)}{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)}\right). \end{eqnarray*} 若当h_{\gamma_n}=o(\varepsilon_{\gamma_n})和\varepsilon_{\gamma_n}^4/\Delta_{\gamma_n}\rightarrow\infty时, 由(3.12)式,得 \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{\varepsilon_{\gamma_n}^{3/2}}\left\{\frac{\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}} \left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)\tilde{\sigma}^2(t^*,X_{t_i^{(\gamma_n)}})} {\Delta_{\gamma_n}\sum\limits_{i=0}^{n_{\gamma_n}}K_{h_{\gamma_n}}\left(X_{t_i^{(\gamma_n)}}-x\right)}-\sigma^2(t^*,x)\right\} \\ &&\rightarrow_dMN\left(0,16\varphi^{ind}\left(\frac{\partial\sigma(t^*,x)}{\partial x}\right)^2\frac{1}{\bar{L}_X(2\gamma_n,x)}\right). \end{eqnarray*} 证毕.