20世纪90年代,Weyl定理备受关注, 许多学者对Weyl定理进行了变形和推广,定义了Browder 定理、a-Weyl定理、a-Browder定理等,并且讨论了各种定理之间的关系. 之后有些学者用算子半Fredholm域的特征刻画了Weyl定理、 Browder定理、a-Weyl定理、a-Browder定理等的摄动(如文献^[1]), 使得Weyl型定理的研究得到了进一步的深入. 本文利用算子的拓扑一致降标域的特点, 来研究Browder定理和Weyl定理在紧摄动下的稳定性, 并且给出了Browder定理和Weyl定理的紧摄动具有稳定性的算子的特征.

在本文中,$H$表示一个无限维的复Hilbert空间, $B(H)$为$H$上的有界线性算子的全体, ${\mathcal{K}}(H)$表示$B(H)$中紧算子的全体. 对算子$T\in B(H)$, $n(T)$表示零空间$N(T)$的维数,$d(T)$表示值域$R(T)$的余维数. 称$T\in B(H)$为一个上半Fredholm算子,若$n(T)<\infty$且$R(T)$闭; 特殊地, 当$n(T)=0$且$R(T)$闭时,称算子$T$ 为下有界算子. 若$d(T)<\infty$且$R(T)$闭,则称$T\in B(H)$为一个下半Fredholm算子. 上半Fredholm算子和下半Fredholm算子统称为半Fredholm算子. 若$T\in B(H)$为半Fredholm算子,则$T$的指标$ind(T)$定义为$ind(T)=n(T)-d(T)$. 称$T$为$B(H)$上的Fredholm算子,若$R(T)$闭且$n(T)$和$d(T)$都有限. 指标为0的Fredholm算子称为Weyl算子. 算子$T$的升标$asc(T)$为满足$N(T^n)=N(T^{n+1})$的最小的非负整数, 当这样的整数不存在时,则记$asc(T)=+\infty$; 而算子$T$的降标$des(T)$为满足$R(T^n)=R(T^{n+1})$ 的最小的非负整数, 同样当这样的整数不存在时,则记$des(T)=+\infty$. 当$T$ 为有有限升标和有限降标的Fredholm算子时,称$T$为Browder算子. 若$asc(T)<\infty$和$des(T)<\infty$同时成立, 我们就说算子$T$为Drazin可逆; 若算子$T-\lambda I$不可逆但Drazin可逆, 则称$\lambda$为算子$T$的极点,用$\pi(T)$表示$T$的所有极点的全体.

以下给出本文涉及到的算子的谱集和预解集.

算子$T$的谱$\sigma(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}: T-\lambda I$不可逆$\}$,

算子$T$的半Fredholm谱$\sigma_{SF}(T)=\{\lambda\in {\Bbb C}:T-\lambda I$不为半Fredholm算子$\}$,

算子$T$的逼近点谱$\sigma_a(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:T-\lambda I$ 不为下有界算子$\}$,

算子$T$的本质谱$\sigma_{e}(T)=\{\lambda\in {\Bbb C}:T-\lambda I$ 不为Fredholm算子$\}$,

算子$T$的Weyl谱$\sigma_{w}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:T-\lambda I$ 不为Weyl算子$\}$,

算子$T$的Browder谱$\sigma_{b}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:T-\lambda I$ 不为Browder算子$\}$,

算子$T$的Drazin谱$\sigma_{D}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:T-\lambda I$ 不为Drazin可逆算子$\}$,

算子$T$的点谱$\sigma_p(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:n(T-\lambda I)>0\}$.

令$\rho(T)={\Bbb C}\backslash\sigma(T)$,$\rho_{SF}(T)={\Bbb C}\backslash\sigma_{SF}(T)$,$\rho_{a}(T)={\Bbb C}\backslash\sigma_{a}(T)$,$\rho_{e}(T)={\Bbb C}\backslash\sigma_{e}(T)$,$\rho_{w}(T)={\Bbb C}\backslash\sigma_{w}(T)$,$\rho_{b}(T)={\Bbb C}\backslash\sigma_{b}(T)$,$\rho_{D}(T)={\Bbb C}\backslash\sigma_{D}(T)$.

对$T\in B(H)$,任给$n\in{\Bbb N}$, 定义$R(T^n)$上的新范数$\|\cdot\|_n$: 对$y\in R(T^n)$, $\|y\|_n=inf\{\|x\|: y=T^nx\}$. 由 $\|\cdot\|_n$诱导的拓扑成为$R(T^n)$上的算子值域拓扑. 如果存在$d\in{\Bbb N}$, 使得$R(T)+N(T^d)=R(T)+N(T^\infty)$并且$R(T^{d+1})$按照 $R(T^d)$上的算子值域拓扑闭,称$T$对$n\geq d$有拓扑一致降标. 令 $$\rho_\tau(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}: \mbox{存在 $d\in{\Bbb N},$ 使得当$n\geq d$ 时,$ T-\lambda I$ 有拓扑一致降标}\},$$ $$\rho_{\tau_d}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}: \mbox{存在 $d\in{\Bbb N^{+}}$,使得当 $n\geq d$ 时,$T-\lambda I$ 有拓扑一致降标}\},$$ 且令$\sigma_{\tau}(T)={\Bbb C}\backslash \rho_\tau(T)$. 由文献^[2]中定理 3.2、引理4.2以及定理4.7可知$\rho_{\tau}(T)\subseteq{\Bbb C}$为开集, 因而$\sigma_{\tau}(T)\subseteq{\Bbb C}$为闭集. 容易看出 $\rho_{SF}(T)\subseteq\rho_\tau(T)$. 关于拓扑一致降标的更多的性质, 参见文献^[2].

下面我们用$\sigma_{\tau}(T)$来刻画Browder定理和Weyl定理.

定理2.1 设$T\in B(H)$, 则$T$有Browder定理当且仅当$\sigma_{D}(T)=\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$.

证 显然有$\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)\subseteq\sigma_{D}(T)$, 下证$\sigma_{D}(T)\subseteq\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$.

设$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$, 则$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$ 且$\lambda\in\rho_{w}(T)\cup\partial\sigma_{w}(T)$.

(1)~ 设$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$且$\lambda\in\rho_{w}(T)$. 因为$T$有Browder 定理,所以$T-\lambda I$为Browder算子, 因而$\lambda\notin\sigma_{D}(T)$.

(2)~ 设$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$且 $\lambda\in\partial\sigma_{w}(T)$. 对任意的$\lambda$的邻域 $B_{\delta}(\lambda)=\{\mu\in{\Bbb C}: |\mu-\lambda|<\delta\}$, 都存在$\lambda' \in B^{0}_{\delta}(\lambda)=\{\mu\in{\Bbb C}: 0<|\mu-\lambda|<\delta\}$使得$T-\lambda' I$为Weyl算子. 由$T$有Browder定理知$T-\lambda' I$为Browder算子, 于是$\lambda\in\partial\sigma(T)$. 又因为$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$, 则$T-\lambda I$为Drazin可逆(参见文献[2,推论4.9]), 因此$\lambda\notin\sigma_{D}(T)$.

综上所述: $\sigma_{D}(T)=\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$.

反之,由$\sigma_{w}(T)\subseteq\sigma_{b}(T)$我们只需要证明 $\sigma_{b}(T)\subseteq\sigma_{w}(T)$.

设$\lambda\notin\sigma_{w}(T)$,即$T-\lambda I$为Weyl算子, 则$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)=\sigma_{D}(T)$,于是$T-\lambda I$为Drazin可逆. 又由$T-\lambda I$为Weyl算子可知$T-\lambda I$为Browder算子, 即$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.

定理2.1给出了$T$有Browder定理的充要条件, 我们知道Browder定理是Weyl定理的前提,于是有

推论2.1$T$有Weyl定理当且仅当 $\sigma_{D}(T)=\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$且 $\sigma_{\tau}(T)\cap\pi_{00}(T)=\emptyset$.

证 设$T$有Weyl定理,则$T$有Browder定理, 由定理2.1知$\sigma_{D}(T)=\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$. 由于$\pi_{00}(T)\subseteq\sigma(T)\backslash\sigma_w(T) \subseteq\rho_\tau(T)$,于是$\sigma_{\tau}(T)\cap\pi_{00}(T) =\emptyset$.

反之,由定理2.1知当$\sigma_{D}(T)=\sigma_{\tau}(T)\cup int\sigma_{w}(T)$时$T$有Browder定理,即$\sigma(T)\backslash \sigma_{w}(T)\subseteq\pi_{00}(T)$,下证$\pi_{00}(T) \subseteq\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)$.

设$\lambda\in\pi_{00}(T)$,则$0 综上所述,$T$有Weyl定理.

在定理2.1和推论2.1中,若$\sigma_\tau(T)=\emptyset$, 算子$T$是否满足Browder定理或者Weyl定理? 为此,先介绍一些预备知识.

单值延拓性质最初是由Dunford$^{^[3,4]}$引入的, 该性质在局部谱理论和Fredholm理论中占据着很重要的地位. 算子$T\in B(H)$在$\lambda_0\in{\Bbb C}$有单值延拓性质, 是指对任意的$\lambda_0$的开邻域$U$,满足方程$(T-\lambda I)f(\lambda)=0$($\forall\lambda\in U$) 的唯一的解析函数$f: U\rightarrow H$为$U$上的零函数. 若任给$\lambda\in{\Bbb C}$,$T$在$\lambda$都有单值延拓性质,则称$T$有单值延拓性质. 显然, 当$T$为下有界算子时,$T$在$0$处有单值延拓性质; 并且当$int\sigma_p(T)=\emptyset$时,$T$有单值延拓性质, 其中$\sigma_p(T)$表示算子$T$的点谱. 许多重要的算子都满足单值延拓性质,例如亚正规算子和可分解算子等等. 关于单值延拓性质的更多的信息,参见文献^[]等.

算子$T$的拟幂零部分定义为 $$H_0(T)=\{x\in H: \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|T^nx\|^{\frac{1}{n}}=0\}.$$ $T\in B(H)$称为是半正则的, 若$R(T)$闭且$N(T)\subseteq\bigcap\limits_{n=1}^\infty R(T^n)$. 由拓扑一致降标的定义可知,$T\in B(H)$为半正则算子当且仅当$T\in B(H)$有$n\geq 0$的拓扑一致降标. 令$\rho_{se}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}: T-\lambda I$为半正则算子$\}$. 下面我们先了解一下拓扑一致降标和单值延拓性质之间的关系, 由文献^[2]中定理3.1以及文献^[9]中引理3.1,可以证明下列结论.

引理 2.1 设$T\in B(H)$,则

(1)~ 若$T\in B(H)$有$n\geq 0$的拓扑一致降标, 则$T$在$0$处有单值延拓性质当且仅当$T$是下有界的;

(2)~ $T$为半正则的,则$\overline{H_0(T)}=\overline{N^\infty(T)}$, 其中$N^\infty(T)=\bigcup\limits_{n=1}^\infty N(T^n)$;

(3)~ 设$\Omega$为$\rho_{se}(T)$的连通分支,$\lambda_0\in \Omega$, 则$\overline{H_0(T-\lambda I)}=\overline{H_0(T-\lambda_0I)}$, 这就表明$\overline{H_0(T-\lambda I)}$在$\Omega$上为常值.

引理 2.2 设$T\in B(H)$. 若$\Omega$为$\rho_\tau(T)$的一个连通分支,则下列之一成立

(1)~ 任给$\lambda\in \Omega$,$T$在$\lambda$有单值延拓性质;

(2)~ 任给$\lambda\in \Omega$,$T$在$\lambda$无单值延拓性质.

证设$\rho_{\tau_0}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}: T-\lambda I$有$n\geq 0$ 的拓扑一致降标$\}$, 并且设$\rho_\tau(T)=\rho_{\tau_0}(T)\cup\rho_{\tau_d}(T)$. 令$\sigma_{\tau}(T)={\Bbb C}\backslash \rho_\tau(T)$, 由文献^[2]中定理3.2、引理4.2以及定理4.7可知$\rho_{\tau_0}(T) \subseteq{\Bbb C}$为开集,$\rho_{\tau_d}(T)$为孤立集. 我们知道孤立集为至多可数集,于是$\rho_{\tau_d}(T)$ 至多可数. 首先我们证明事实(i): 设$\Omega_0$为$\rho_{\tau_0}(T)$ 的一个连通分支,则下列之一成立

(1)~ 任给$\lambda\in \Omega_{0}$,$T$在$\lambda$有单值延拓性质;

(2)~ 任给$\lambda\in \Omega_{0}$,$T$在$\lambda$无单值延拓性质.

由于$T\in B(H)$为半正则的当且仅当$T\in B(H)$ 有$n\geq 0$的拓扑一致降标,于是$\rho_{\tau_0}(T)=\rho_{se}(T)$, 则$\Omega_0$为$\rho_{se}(T)$ 的一个连通分支. 我们断言: 若存在$\lambda_0\in\Omega_0$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质, 则任给$\lambda\in\Omega_0$,$T$在$\lambda$都有单值延拓性质.

事实上,由引理2.1,我们只需要证明任给$\lambda\in\Omega_0$, 都有$N(T-\lambda I)=\{0\}$. 由于$T-\lambda_0I$有$n\geq 0$ 的拓扑一致降标, 并且$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质,于是$T-\lambda_0I$为下有界算 子(引理 2.1). 则$N((T-\lambda_0)^\infty)=\{0\}$且 $\overline{H_0(T-\lambda_0I)}=\overline{N(T-\lambda_0I)^\infty} =\{0\}$. 因此任给$\lambda\in\Omega_0$,$\overline{H_0(T-\lambda I)} =\overline{H_0(T-\lambda_0I)}=\{0\}$. 但是由于$T-\lambda I$ 为半正则的,则$\overline{H_0(T-\lambda I)} =\overline{N(T-\lambda I)^\infty}=\{0\}$. 于是$N(T-\lambda I)=\{0\}$.

这就证明了事实(i).

由于$\rho_{\tau}(T)=\rho_{\tau_0}(T)\cup\rho_{\tau_d}(T)$并且$\rho_{\tau_d}(T)$为${\Bbb C}$中的孤立集, 则存在$\rho_{\tau_0}(T)$中的连通分支$\Omega_1$使得$\Omega=\Omega_1\cup E$,其中$E\subseteq\rho_{\tau_d}(T)$至多可数. 再次,我们断言: 若存在$\lambda_0\in\Omega$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质, 则任给$\lambda\in\Omega$,$T$在$\lambda$有单值延拓性质. 下面 分两步来证明该断言:

(1)~ 存在$\lambda_0\in\Omega_1$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质.

从前面的证明我们可以看出,任给$\lambda\in\Omega_1$, $T$在$\lambda$都有单值延拓性质. 于是任给$\lambda\in\Omega_1$, $T-\lambda I$为下有界算子. 这就表明$E\subseteq \partial\sigma_a(T)$. 根据单值延拓性质的定义,任给$\lambda\in \Omega$, $T$在$\lambda$都有单值延拓性质.

(2)~ 存在$\lambda_0\in E$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质.

由于存在非负整数$d$,使得$T-\lambda_{0}I$有$n\geq d$的拓扑一致降标, 于是$\lambda_0\in \rho_a(T)\cup iso\sigma_a(T)$ (参见文献[4,定理3.2]). 但是由于$\rho_a(T)\subseteq\rho_{\tau_0}(T)$,则$\lambda_0\in iso\sigma_a(T)$. 于是存在$\epsilon>0$使得当$0<|\lambda-\lambda_0|<\epsilon$时, $T-\lambda I$为下有界算子. 因此存在$\lambda\in\Omega_1$使得$T$在$\lambda$有单值延拓性质. 由情况(1),再次我们证明了任给$\lambda\in\Omega$, $T$在$\lambda$都有单值延拓性质.

引理 2.3 设$T\in B(H)$. 若$\sigma_\tau(T)=\emptyset$, 则

(1)~ $\sigma(T)=\pi(T)$;

(2)~ 任给$K\in {\mathcal{K}}(H)$,$\sigma(T+K)=iso \sigma(T+K)$, $\rho_{SF}(T+K)=\rho_b(T+K)$.

证 (1)~ 由事实$\rho_\tau(T)={\Bbb C}$可知$\rho_\tau(T)$连通. 因为$\rho(T)\subseteq\rho_\tau(T)$且$T$在$\rho(T)$中的每一个$\lambda$处都有单值延拓性质, 由引理2.2,$T$有单值延拓性质. 根据文献^[4]中 定理3.2,${\Bbb C}=\rho_a(T)\cup iso\sigma_a(T)$. 则$\sigma_a(T)=iso\sigma_a(T)$, 这意味着$\sigma_a(T)$为${\Bbb C}$中的孤立集, 于是$\sigma_a(T)$至多可数(参见文献[10,p28]), 因此$\rho_a(T)$为连通集. 由$\rho_a(T)\subseteq\rho_{SF}(T)$知${\Bbb C}=\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_a(T)$,因而$\rho_{SF}(T)$连通. 则$\sigma(T)=\sigma_{SF}(T)\cup\sigma_0(T)$, 其中$\sigma_0(T)=\sigma(T)\backslash\sigma_b(T)$. 这样就推出 $\rho_a(T)\subseteq\rho(T)\cup[\rho_a(T)\cap\sigma(T)]=\rho(T)\cup\sigma_0(T)$. 但是由于$\rho_a(T)\cap\sigma_0(T)=\emptyset$,则$\rho_a(T)=\rho(T)$. 于是${\Bbb C}=\rho(T)\cup iso\sigma_a(T)$, 即$\sigma(T)=iso\sigma_a(T)$. 由于$\sigma_\tau(T)=\emptyset$, 由文献^[2]中定理4.9,$\sigma(T)=\pi(T)$.

(2)~ 由(1)的证明可知任给$K\in {\mathcal{K}}(H)$,${\Bbb C}=\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_a(T)=\rho_{SF}(T+K)\cup iso\sigma_a(T)$. 则$\rho_{SF}(T+K)$连通. 由于函数$\lambda\mapsto minind(T-\lambda I)$在$\rho_{SF}(T)$的每一个连通分支上除了至多可数集外是常值函数, 并且该可数集在$\rho_{SF}(T)$上没有极限点(参见文献[9,推论1.14]), 于是$\rho_{SF}(T+K)=\rho(T+K)\cup E=\rho_b(T+K)$,其中 $T-\lambda I$的极小指标$minind(T-\lambda I)$ 定义为$minind(T-\lambda I)=min\{n(T-\lambda I),d(T-\lambda I)\}$,$E\subseteq{\Bbb C}$ 为至多可数集(参见文献[9,推论1.14]). 因此${\Bbb C}=\rho(T+K)\cup E\cup iso\sigma_a(T)$,于是$\sigma(T+K)=E\cup iso\sigma_a(T)$. 这样我们就证明了$\sigma(T+K)$为孤立集, 因此$\sigma(T+K)=iso\sigma(T+K)$.

当$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$时,由引理2.3, $\sigma_D(T)=int\sigma_w(T)=\emptyset$ 且$\sigma_{\tau}(T)\cap\pi_{00}(T)=\emptyset$,于是由推论2.1可知

推论2.2若$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$, 则$T$有Weyl定理.

推论2.2给出了当$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$,则$T$有Weyl定理. 反之是否也成立? 事实上当$T$ 有Weyl定理时$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$不一定成立. 例如:$T_{1}(x_{1},x_{2},\cdots)=(0,x_{1},x_{2},\cdots)$, 容易得到$\sigma(T_{1})=\sigma_{w}(T_{1})=D$且 $\pi_{00}(T_{1})=\varnothing$, 所以有$\sigma(T_{1})\backslash\sigma_{w}(T_{1})=\pi_{00}(T_{1}) =\varnothing$, 但$\sigma_{\tau}(T_{1})=T\neq\varnothing$ (在这里D、T分别表示单位圆盘和单位圆周).

下面我们将给出算子$T$有Weyl定理与$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$ 的等价条件.

推论2.3 若$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$ 当且仅当$T$ 有Weyl定理且$[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]\cap\sigma_{D}(T) =\emptyset$.

证 $\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$,由推论2.2知$T$ 有Weyl定理且由引理2.3知$[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)] \cap\sigma_{D}(T)=\emptyset$.

反之,因为$T$有Weyl定理,所以${\Bbb C}=\rho(T)\cup[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]\cup\pi_{00}(T)$ 且 $\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)=\pi_{00}(T)\subseteq\rho_{\tau}(T)$. 又因为$[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]\cap\sigma_{D}(T)=\emptyset$, 所以$\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)\subseteq\rho_{D}(T)\subseteq\rho_{\tau}(T)$. 显然$\rho(T)\subseteq\rho_{\tau}(T)$. 综上所述${\Bbb C}=\rho_{\tau}(T)$,即$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$.

下面在推论2.1的基础上,继续用算子的拓扑一致降标的性质来描述Weyl定理.

定理2.2 设$T\in B(H)$,则下列叙述等价

(1)~ $T$满足Weyl定理;

(2)~ $\sigma_{b}(T)=[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}$;

(3)~ $\sigma_{b}(T)\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}$.

{\heiti 证}\quad $(1)\Longrightarrow(2)$. 显然$[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}\subseteq\sigma_{b}(T)$. 下证$\sigma_{b}(T)\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$ 或$n(T-\lambda I)=0\}$.

对任意的$\lambda\notin[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}$, 有$\lambda\in\rho(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$. 当$\lambda\in\rho(T)$时,显然有 $\lambda\notin\sigma_{b}(T)$. 下面不妨设$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$,分两种情况讨论:

$\langle1\rangle$~ $\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$,$\lambda\in \rho_{w}(T)\cup\partial\sigma_{w}(T)$ 且$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$.

当$\lambda\in\rho_{w}(T)$时,由$T$满足Weyl定理可知 $T-\lambda I$是Browder算子,即$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.

当$\lambda\in\partial\sigma_{w}(T)$时, 对任意的$B_{\delta}(\lambda)$,都存在$\lambda_{0}\in B_{\delta}^0(\lambda)$使得$T-\lambda_0I$是Weyl算子. 由于$T$满足Weyl 定理,则$T-\lambda_0I$是Browder算子, 于是$\lambda\in\partial\sigma(T)$. 结合$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$可知$T-\lambda I$是Drazin可逆(参见文献[2,推论4.9]),于是存在$p\in {\Bbb N}$使得$H=N[(T-\lambda I)^{p}]\oplus R[(T-\lambda I)^{p}]$. 又因为$0<n(T-\lambda I)<\infty$,所以$T-\lambda I$为Browder算子, 即$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.

$\langle2\rangle$~ $\lambda\notin acc\sigma(T)$ 且$\lambda\in\rho_{w}(T)\cup\partial\sigma_{w}(T)$且$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$.

当$\lambda\notin acc\sigma(T)$,即$\lambda\in\rho(T)\cup iso\sigma(T)$. 当$\lambda\in\rho(T)$时显然有$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.

当$\lambda\in iso\sigma(T)$时,又因为$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$,所以$\lambda\in \pi_{00}(T)$. 又因为$T$满足Weyl定理,所以$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.

$(2)\Longrightarrow(3)$. 显然成立.

$(3)\Longrightarrow(1)$. 由于$\{[\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)]\cup\pi_{00}(T)\}\cap\{[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty$ 或$n(T-\lambda I)=0\}\}=\emptyset$, 于是$\{[\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)]\cup \pi_{00}(T)\}\cap\sigma_b(T)=\emptyset$. 这样就容易证明算子$T$满足Weyl定理.

称算子$T$为isoloid的,若$iso\sigma(T)\subseteq\sigma_{p}(T)$.

推论2.4$T$为isoloid的且$T$满足Weyl 定理当且仅当$\sigma_{b}(T)=[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}$.

证 设$T$为isoloid的且$T$满足Weyl定理. 首先我们证明: $\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=0\}\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)$. 事实上当$T$为isoloid算子时有$\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=0\}\subseteq[acc\sigma(T)\cup\sigma_{w}(T)]$. 对任意的$\lambda\in\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=0\}$, 若$\lambda\notin int\sigma_{w}(T)$, 则有$\lambda\in\partial\sigma_{w}(T)$. 对$\lambda$的每一个邻域$B_{\delta}(\lambda)$,都存在$\lambda_0\in B^{0}_{\delta}(\lambda)$使得$T-\lambda_0I$是Weyl算子. 由$T$满足Weyl定理知$T-\lambda_0I$是Browder算子, 于是$\lambda\in\partial\sigma(T)$.

断言: $\lambda\in\sigma_{\tau}(T)$.

若$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$, 由$\lambda\in\partial\sigma(T)$知$T-\lambda I$ 是Drazin 可逆 (参见文献[2,推论4.9]). 但是由于$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=0\}$,则$T-\lambda I$是可逆,矛盾. 于是$\lambda\in\sigma_{\tau}(T)$.

综上所述,$\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=0\}\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)$.

因为$T$满足Weyl定理,由定理2.2知$\sigma_{b}(T)= [(\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T))\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$ 或$n(T-\lambda I)=0\}]=[(\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T))\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda \\ I)=0\}\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}]=[(\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T))\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}]$.

反之,若$\sigma_{b}(T)=[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}$,则由定理2.2知$T$有Weyl 定理. 下证$T$为isoloid算子.

任给$\lambda\in iso\sigma(T)$,若$n(T-\lambda I)=0$, 则由$\lambda\notin [\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}=\sigma_{b}(T)$知$T-\lambda I$为Browder算子. 又由于$n(T-\lambda I)=0$,则$T-\lambda I$可逆,这与$\lambda\in iso\sigma(T)$矛盾. 于是$n(T-\lambda I)>0$, 即$\lambda\in\sigma_{p}(T)$,因而$T$为isoloid的算子.

下面来研究Browder定理在紧算子下的摄动,先考虑微小摄动.

定理2.3 设$T\in B(H)$,则下列叙述等价

(1)~ 存在$\epsilon>0$使得当$K\in K(H)$且$\|K\|<\epsilon$时, $T+K$有Browder定理;

(2)~ $T$有Browder定理且$\rho_{\tau}(T)$中至多 有有限个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支.

证 $(1)\Rightarrow(2)$. 只需证$\rho_{\tau}(T)$ 中至多有有限个包含$\rho_{w}(T)$ 的连通分支. 若不然, 假设$\{\Omega_{n}\}_{n=1}^{\infty}$为$\rho_{\tau}(T)$ 中一列有界的连通分支. 显然$\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(\Omega_{n})\leq m(\widehat{\sigma(T)})<\infty$, 其中$\widehat{\sigma(T)}$表示$\sigma(T)$的闭凸包, $m(\cdot)$表示复平面上的勒贝格测度. 则对$\epsilon>0$,存在$k\in N$使得当$n>k$时有$m(\Omega_{n})<\frac{\pi\epsilon^{2}}{4}$. 因为$\rho_{\tau}(T)$中有无限个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支, 则一定存在一个$n_{0}>k$使得$\Omega_{n_{0}}$为 $\rho_{\tau}(T)$中的一个有界连通分支且$\rho_{w}(T) \cap\Omega_{n_{0}}\neq\emptyset$. 显然$\partial\Omega_{n_{0}}\subseteq\sigma_{SF}(T)$, 于是存在$K_{1}\in K(H)$满足$\parallel K_{1}\parallel<\frac{\varepsilon}{4}$且 $T+K_{1}=\left( \begin{array}{cc} N ~& C \\ 0 ~& A \\ \end{array} \right)$,其中$N$为正规算子且$\sigma(N)=\sigma_{SF}(N)=\partial\Omega_{n_{0}}$ (参见文献[11,引理4.1]). 对于算子$N$,存在紧算子$K_{2}'$使得$\| K_{2}' \|<\frac{3\varepsilon}{4}$ 且$\sigma(N+K_{2}' )=\overline{\Omega_{n_{0}}}$ (参见文献[11,引理4.3]). 对任意的$\lambda\in\Omega_{n_{0}}$, $N-\lambda I$可逆,则$N+K_{2}' -\lambda I$为Weyl算子, 即$\Omega_{n_{0}}\subseteq\sigma(N+K_{2}' )\backslash\sigma_{w}(N+K_{2}' )$. 令$K_{2}=\left( \begin{array}{cc} K_{2}' ~ & 0 \\ 0 ~& 0 \\ \end{array} \right)$且$K=K_{1}+K_{2}$,则$\parallel K\parallel\leq\varepsilon$且$K=\left( \begin{array}{cc} N+K_{2}' ~& C \\ 0~ & A \\ \end{array} \right)\in K(H)$. 因为$\rho_{w}(T)\cap\Omega_{n_{0}}\neq\emptyset$, 所以存在$\lambda' \in\Omega_{n_{0}}$使得$T-\lambda' I$为Weyl算子, 于是$T+K-\lambda' I$为Weyl算子. 由于$T+K$满足Browder定理, 则$T+K-\lambda' I$为Browder算子, 因此存在$\lambda{''}\in\Omega_{n_{0}}$使得$T+K-\lambda{''}I$ 可逆. 又因为 $$\begin{eqnarray*} T+K-\lambda {''}I&=&\left( \begin{array}{cc} N+K_{2}' -\lambda{''} I~~ & C \\ 0~~ & A-\lambda{''} I \\ \end{array} \right)\\ &=&\left( \begin{array}{cc} I ~~& 0 \\ 0~~ & A-\lambda{''} I \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I~~ & C \\ 0 ~~& I \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} N+K_{2}' -\lambda {''}I ~~& 0 \\ 0~~ & I \\ \end{array} \right), \end{eqnarray*}$$ 所以$N+K_{2}' -\lambda'' I$为下有界算子. 又由于$N+K_{2}' -\lambda'' I$ 为Weyl算子, 因而$N+K_{2}' -\lambda'' I$可逆, 这与$\sigma(N+K_{2}' )=\overline{\Omega_{n_{0}}}$ 矛盾. $(2)\Rightarrow(1)$. 设$\{\Omega_{n}\}_{n=1}^{N}$为$\rho_{\tau}(T)$中N个连通分支满足 $\rho_{w}(T)\subseteq\bigcup\limits_{n=1}^N\Omega_{n}$ 且 $\rho_{w}(T)\cap\Omega_{i}\neq\emptyset$,$i=1,2,\cdots,N$. 则对任意的$i\in\{1,\cdots,N\}$, 都存在$\lambda_{i}\in\Omega_{i}$使得$T+K-\lambda_{i}I$ 为Weyl 算子, 所以$T-\lambda_{i}I$为Weyl算子. 由$T$满足Browder定理知$T-\lambda_iI$为Browder 算子, 于是存在$\lambda_{i}' \in\Omega_{i}$使得$T-\lambda_{i}' I$可逆. 又因为$\Omega_{i}$连通, 则$T$在$\bigcup\limits_{n=1}^N\Omega_{n}$上有SVEP (引理2.2), 于是$\Omega_{i}\subseteq\rho_{a}(T)\cup iso\sigma_{a}(T)\subseteq\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_{a}(T)$. 因而对每一个$i\in\{1,2,\cdots,N\}$, 都存在$\rho_{SF}(T)$的一个分支$\Omega_{i_{0}}$使得$\Omega_{i}=\Omega_{i_{0}}\cup E_{i}$,其中$E_{i}$为至多可数集,则$\Omega_{i_{0}}$连通,$i=1,2, \cdots,N$. 又因为$\partial\Omega_{i_{0}}\subseteq\partial\Omega_{i}\subseteq\sigma_{SF}(T)$, 所以$\Omega_{i_{0}}$为$\rho_{SF}(T)$的一个连通分支,$i=1,2,\cdots, N$,进而$\Omega_{i_{0}}$ 为$\rho_{SF}(T+K)$的一个连通分支. 由于对任意的$i\in\{1,2,\cdots,N\}$,$T-\lambda_{i}' I$可逆, 则存在$\varepsilon>0$使得当$K\in K(H)$且$\parallel K\parallel<\varepsilon$时有$T+K-\lambda_{i}I$可逆,由文献^[9]中推论1.14 可知$\Omega_i\subseteq\rho(T+K)\cup E_{i}'$, 其中$E_{i}'$为至多可数集且$E_{i}'$在$\Omega_{i}$中无极限点, 则有 $\rho_{w}(T+K)\subseteq\bigcup\limits_{n=1}^N\Omega_{n}\subseteq\rho(T+K)\cup(\bigcup\limits_{i=1}^N E_{i}' )$, 于是$\sigma(T+K)\backslash\sigma_{w}(T+K)\subseteq(\bigcup\limits_{i=1}^N E_{i}' )$,从而$T+K$有Browder定理.

对于Browder定理的所有的紧摄动,有如下结论

定理2.4 对任意的$K\in K(H)$,$T+K$都满足Browder 定理当且仅当$\rho_\tau(T)$中仅有一个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支.

证 设对任意的$K\in K(H)$,$T+K$都满足Browder定理. 若``$\rho_{\tau}(T)$中仅有一个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支"不成立, 则存在$\Omega_{0}$ 为$\rho_{\tau}(T)$ 中的一个有界连通分支满足$\Omega_{0}\cap\rho_{w}(T)\neq\emptyset$. 由于$\Omega_{0}$ 连通且$\partial\Omega_{0}\subseteq\sigma_{\tau}(T)\subseteq\sigma_{SF}(T)$, 于是存在$K_{1}\in K(H)$使得 $$T+K_{1}=\left( \begin{array}{cc} N ~~& C\\ 0 ~~& A \end{array} \right) ,$$ 其中$N$为正规算子且$\sigma(N)=\sigma_{SF}(N)=\partial\Omega_{0}$ (参见文献[11,引理4.1]). 对于算子$N$存在紧算子$K_{2}'$使得$\sigma(N+K_{2}' )= \overline{\Omega_{0}}$ (参见文献[11,引理4.3]). 对任意的$\lambda\in\Omega_{0}$,由$N-\lambda I$可逆知$N+K_{2}' -\lambda I$为Weyl算子, 即$\Omega_{0}\subseteq\sigma(N+K_{2}' ) \backslash\sigma_{w}(N+K_{2}' )$. 令 $$K_{2}=\left( \begin{array}{cc} K_{2}' ~~& 0 \\ 0~~ & 0 \\ \end{array} \right)$$ 且$K=K_{1}+K_{2}$,则有 $$K=\left( \begin{array}{cc} N+K_{2}' ~~ & C \\ 0 ~~& A \\ \end{array} \right)\in K(H) .$$ 由于$\rho_{w}(T)\cap\Omega_{0}\neq\emptyset$, 则一定存在$\lambda' \in\Omega_{0}$使得$T-\lambda' I$为Weyl算子, 于是$T+K-\lambda' I$ 为Weyl算子. 因为$T+K$有Browder定理, 则$T+K-\lambda' I$为Browder算子,类似于定理2.3 的证明,得到矛盾.

反之,设$\Omega$为$\rho_{\tau}(T)$中仅包含$\rho_{w}(T)$的连通分支. 由$\rho(T)\subseteq\rho_{w}(T)\subseteq\Omega$知$T$在$\Omega$上有SVEP(引理2.2), 则$\Omega\subseteq\rho_{a}(T)\cup iso\sigma_{a}(T)\subseteq\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_{a}(T)$, 于是存在$\Omega_0\subseteq\rho_{SF}(T)$为一个分支使得$\Omega=\Omega_0\cup E$,其中$E$为至多可数集,$\Omega_{0}$连通. 可以证明$\Omega_0$ 为$\rho_{SF}(T)$的一个连通分支. 由于$\rho_w(T)\subseteq\Omega$, 则$\rho_{w}(T)\subseteq\Omega_{0}$,因而$\rho_{w}(T)$连通, 所以对任意的$K\in K(H)$ 都有$\rho_{w}(T+K)$连通. 又由于$\rho(T+K)\subseteq\rho_{w}(T+K)$, 于是$\rho_{w}(T+K)=\rho(T+K)\cup E'$ (参见文献[13,推论1.14]), 其中$E'$为至多可数集且$E'$ 在$\rho_{w}(T+K)$中无极限点. 所以$\sigma(T+K)\backslash\sigma_{w}(T+K)\subseteq E'$. 因此对任意的$K\in K(H)$,$T+K$都有Browder定理.

由引理2.3,定理2.4可知

推论2.5 $\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$, 则对任意的$K\in K(H),T+K$有Browder 定理.

事实上,$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$当且仅当$T$为代数算子, 于是对代数算子$T$,任给紧算子$K$,$T+K$都满足Browder定理.