综上所述,$T$有Weyl定理.
在定理2.1和推论2.1中,若$\sigma_\tau(T)=\emptyset$,
算子$T$是否满足Browder定理或者Weyl定理? 为此,先介绍一些预备知识.
单值延拓性质最初是由Dunford$^{[3,4]}$引入的,
该性质在局部谱理论和Fredholm理论中占据着很重要的地位. 算子$T\in
B(H)$在$\lambda_0\in{\Bbb C}$有单值延拓性质,
是指对任意的$\lambda_0$的开邻域$U$,满足方程$(T-\lambda
I)f(\lambda)=0$ ($\forall\lambda\in U$) 的唯一的解析函数$f:
U\rightarrow H$为$U$上的零函数. 若任给$\lambda\in{\Bbb C}$,$T$
在$\lambda$都有单值延拓性质,则称$T$有单值延拓性质. 显然,
当$T$为下有界算子时,$T$ 在$0$处有单值延拓性质;
并且当$int\sigma_p(T)=\emptyset$时,$T$有单值延拓性质,
其中$\sigma_p(T)$表示算子$T$的点谱.
许多重要的算子都满足单值延拓性质,例如亚正规算子和可分解算子等等.
关于单值延拓性质的更多的信息,参见文献[]等.
算子$T$的拟幂零部分定义为
$$H_0(T)=\{x\in H:
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|T^nx\|^{\frac{1}{n}}=0\}.$$
$T\in
B(H)$称为是半正则的,
若$R(T)$闭且$N(T)\subseteq\bigcap\limits_{n=1}^\infty R(T^n)$.
由拓扑一致降标的定义可知,$T\in B(H)$为半正则算子当且仅当$T\in
B(H)$有$n\geq 0$的拓扑一致降标. 令$\rho_{se}(T)=\{\lambda\in{\Bbb
C}: T-\lambda I$为半正则算子$\}$.
下面我们先了解一下拓扑一致降标和单值延拓性质之间的关系,
由文献[2]中定理3.1以及文献[9]中引理3.1,可以证明下列结论.
引理 2.1 设$T\in B(H)$,则
(1)~ 若$T\in B(H)$有$n\geq 0$的拓扑一致降标,
则$T$在$0$处有单值延拓性质当且仅当$T$是下有界的;
(2)~ $T$为半正则的,则$\overline{H_0(T)}=\overline{N^\infty(T)}$,
其中$N^\infty(T)=\bigcup\limits_{n=1}^\infty N(T^n)$;
(3)~ 设$\Omega$为$\rho_{se}(T)$的连通分支,$\lambda_0\in \Omega$,
则$\overline{H_0(T-\lambda I)}=\overline{H_0(T-\lambda_0I)}$,
这就表明$\overline{H_0(T-\lambda I)}$在$\Omega$上为常值.
引理 2.2 设$T\in B(H)$.
若$\Omega$为$\rho_\tau(T)$的一个连通分支,则下列之一成立
(1)~ 任给$\lambda\in \Omega$,$T$在$\lambda$有单值延拓性质;
(2)~ 任给$\lambda\in \Omega$,$T$在$\lambda$无单值延拓性质.
证设$\rho_{\tau_0}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:
T-\lambda I$有$n\geq 0$ 的拓扑一致降标$\}$,
并且设$\rho_\tau(T)=\rho_{\tau_0}(T)\cup\rho_{\tau_d}(T)$.
令$\sigma_{\tau}(T)={\Bbb C}\backslash \rho_\tau(T)$,
由文献[2]中定理3.2、引理4.2以及定理4.7可知$\rho_{\tau_0}(T)
\subseteq{\Bbb C}$为开集,$\rho_{\tau_d}(T)$为孤立集.
我们知道孤立集为至多可数集,于是$\rho_{\tau_d}(T)$ 至多可数.
首先我们证明事实(i): 设$\Omega_0$为$\rho_{\tau_0}(T)$
的一个连通分支,则下列之一成立
(1)~ 任给$\lambda\in \Omega_{0}$,$T$在$\lambda$有单值延拓性质;
(2)~ 任给$\lambda\in \Omega_{0}$,$T$在$\lambda$无单值延拓性质.
由于$T\in B(H)$为半正则的当且仅当$T\in B(H)$ 有$n\geq
0$的拓扑一致降标,于是$\rho_{\tau_0}(T)=\rho_{se}(T)$,
则$\Omega_0$为$\rho_{se}(T)$
的一个连通分支. 我们断言:
若存在$\lambda_0\in\Omega_0$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质,
则任给$\lambda\in\Omega_0$,$T$在$\lambda$都有单值延拓性质.
事实上,由引理2.1,我们只需要证明任给$\lambda\in\Omega_0$,
都有$N(T-\lambda I)=\{0\}$. 由于$T-\lambda_0I$有$n\geq 0$
的拓扑一致降标,
并且$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质,于是$T-\lambda_0I$为下有界算
子(引理 2.1). 则$N((T-\lambda_0)^\infty)=\{0\}$且
$\overline{H_0(T-\lambda_0I)}=\overline{N(T-\lambda_0I)^\infty}
=\{0\}$. 因此任给$\lambda\in\Omega_0$,$\overline{H_0(T-\lambda I)}
=\overline{H_0(T-\lambda_0I)}=\{0\}$. 但是由于$T-\lambda I$
为半正则的,则$\overline{H_0(T-\lambda I)}
=\overline{N(T-\lambda I)^\infty}=\{0\}$.
于是$N(T-\lambda I)=\{0\}$.
这就证明了事实(i).
由于$\rho_{\tau}(T)=\rho_{\tau_0}(T)\cup\rho_{\tau_d}(T)$并且$\rho_{\tau_d}(T)$为${\Bbb
C}$中的孤立集,
则存在$\rho_{\tau_0}(T)$中的连通分支$\Omega_1$使得$\Omega=\Omega_1\cup
E$,其中$E\subseteq\rho_{\tau_d}(T)$至多可数. 再次,我们断言:
若存在$\lambda_0\in\Omega$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质,
则任给$\lambda\in\Omega$,$T$在$\lambda$有单值延拓性质. 下面
分两步来证明该断言:
(1)~ 存在$\lambda_0\in\Omega_1$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质.
从前面的证明我们可以看出,任给$\lambda\in\Omega_1$,
$T$在$\lambda$都有单值延拓性质. 于是任给$\lambda\in\Omega_1$,
$T-\lambda I$为下有界算子. 这就表明$E\subseteq \partial\sigma_a(T)$.
根据单值延拓性质的定义,任给$\lambda\in \Omega$,
$T$在$\lambda$都有单值延拓性质.
(2)~ 存在$\lambda_0\in E$使得$T$在$\lambda_0$有单值延拓性质.
由于存在非负整数$d$,使得$T-\lambda_{0}I$有$n\geq d$的拓扑一致降标,
于是$\lambda_0\in \rho_a(T)\cup iso\sigma_a(T)$ (参见文献[4,定理3.2]).
但是由于$\rho_a(T)\subseteq\rho_{\tau_0}(T)$,则$\lambda_0\in
iso\sigma_a(T)$.
于是存在$\epsilon>0$使得当$0<|\lambda-\lambda_0|<\epsilon$时,
$T-\lambda I$为下有界算子.
因此存在$\lambda\in\Omega_1$使得$T$在$\lambda$有单值延拓性质.
由情况(1),再次我们证明了任给$\lambda\in\Omega$,
$T$在$\lambda$都有单值延拓性质.
引理 2.3 设$T\in B(H)$. 若$\sigma_\tau(T)=\emptyset$,
则
(1)~ $\sigma(T)=\pi(T)$;
(2)~ 任给$K\in {\mathcal{K}}(H)$,$\sigma(T+K)=iso \sigma(T+K)$,
$\rho_{SF}(T+K)=\rho_b(T+K)$.
证 (1)~ 由事实$\rho_\tau(T)={\Bbb
C}$可知$\rho_\tau(T)$连通.
因为$\rho(T)\subseteq\rho_\tau(T)$且$T$在$\rho(T)$中的每一个$\lambda$处都有单值延拓性质,
由引理2.2,$T$有单值延拓性质. 根据文献[4]中 定理3.2,${\Bbb
C}=\rho_a(T)\cup iso\sigma_a(T)$. 则$\sigma_a(T)=iso\sigma_a(T)$,
这意味着$\sigma_a(T)$为${\Bbb C}$中的孤立集,
于是$\sigma_a(T)$至多可数(参见文献[10,p28]),
因此$\rho_a(T)$为连通集.
由$\rho_a(T)\subseteq\rho_{SF}(T)$知${\Bbb C}=\rho_{SF}(T)\cup
iso\sigma_a(T)$,因而$\rho_{SF}(T)$连通.
则$\sigma(T)=\sigma_{SF}(T)\cup\sigma_0(T)$,
其中$\sigma_0(T)=\sigma(T)\backslash\sigma_b(T)$. 这样就推出
$\rho_a(T)\subseteq\rho(T)\cup[\rho_a(T)\cap\sigma(T)]=\rho(T)\cup\sigma_0(T)$.
但是由于$\rho_a(T)\cap\sigma_0(T)=\emptyset$,则$\rho_a(T)=\rho(T)$.
于是${\Bbb C}=\rho(T)\cup iso\sigma_a(T)$,
即$\sigma(T)=iso\sigma_a(T)$. 由于$\sigma_\tau(T)=\emptyset$,
由文献[2]中定理4.9,$\sigma(T)=\pi(T)$.
(2)~ 由(1)的证明可知任给$K\in {\mathcal{K}}(H)$,${\Bbb
C}=\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_a(T)=\rho_{SF}(T+K)\cup
iso\sigma_a(T)$. 则$\rho_{SF}(T+K)$连通. 由于函数$\lambda\mapsto
minind(T-\lambda
I)$在$\rho_{SF}(T)$的每一个连通分支上除了至多可数集外是常值函数,
并且该可数集在$\rho_{SF}(T)$上没有极限点(参见文献[9,推论1.14]),
于是$\rho_{SF}(T+K)=\rho(T+K)\cup E=\rho_b(T+K)$,其中 $T-\lambda
I$的极小指标$minind(T-\lambda I)$ 定义为$minind(T-\lambda
I)=min\{n(T-\lambda I),d(T-\lambda I)\}$,$E\subseteq{\Bbb C}$
为至多可数集(参见文献[9,推论1.14]). 因此${\Bbb C}=\rho(T+K)\cup E\cup
iso\sigma_a(T)$,于是$\sigma(T+K)=E\cup iso\sigma_a(T)$.
这样我们就证明了$\sigma(T+K)$为孤立集,
因此$\sigma(T+K)=iso\sigma(T+K)$.
当$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$时,由引理2.3,
$\sigma_D(T)=int\sigma_w(T)=\emptyset$
且$\sigma_{\tau}(T)\cap\pi_{00}(T)=\emptyset$,于是由推论2.1可知
推论2.2若$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$,
则$T$有Weyl定理.
推论2.2给出了当$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$,则$T$有Weyl定理.
反之是否也成立? 事实上当$T$
有Weyl定理时$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$不一定成立.
例如:$T_{1}(x_{1},x_{2},\cdots)=(0,x_{1},x_{2},\cdots)$,
容易得到$\sigma(T_{1})=\sigma_{w}(T_{1})=D$且
$\pi_{00}(T_{1})=\varnothing$,
所以有$\sigma(T_{1})\backslash\sigma_{w}(T_{1})=\pi_{00}(T_{1})
=\varnothing$,
但$\sigma_{\tau}(T_{1})=T\neq\varnothing$
(在这里D、T分别表示单位圆盘和单位圆周).
下面我们将给出算子$T$有Weyl定理与$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$
的等价条件.
推论2.3 若$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$
当且仅当$T$
有Weyl定理且$[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]\cap\sigma_{D}(T)
=\emptyset$.
证 $\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$,由推论2.2知$T$
有Weyl定理且由引理2.3知$[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]
\cap\sigma_{D}(T)=\emptyset$.
反之,因为$T$有Weyl定理,所以${\Bbb
C}=\rho(T)\cup[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]\cup\pi_{00}(T)$ 且
$\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)=\pi_{00}(T)\subseteq\rho_{\tau}(T)$.
又因为$[\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)]\cap\sigma_{D}(T)=\emptyset$,
所以$\sigma(T)\backslash\pi_{00}(T)\subseteq\rho_{D}(T)\subseteq\rho_{\tau}(T)$.
显然$\rho(T)\subseteq\rho_{\tau}(T)$. 综上所述${\Bbb
C}=\rho_{\tau}(T)$,即$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$.
下面在推论2.1的基础上,继续用算子的拓扑一致降标的性质来描述Weyl定理.
定理2.2 设$T\in B(H)$,则下列叙述等价
(1)~ $T$满足Weyl定理;
(2)~ $\sigma_{b}(T)=[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}$;
(3)~ $\sigma_{b}(T)\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}$.
{\heiti 证}\quad $(1)\Longrightarrow(2)$. 显然$[\sigma_{\tau}(T)\cap
acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T):
n(T-\lambda I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}\subseteq\sigma_{b}(T)$.
下证$\sigma_{b}(T)\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$
或$n(T-\lambda I)=0\}$.
对任意的$\lambda\notin[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda
I)=\infty$或$n(T-\lambda I)=0\}$,
有$\lambda\in\rho(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: 0<n(T-\lambda
I)<\infty\}$. 当$\lambda\in\rho(T)$时,显然有
$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$. 下面不妨设$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb
C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$,分两种情况讨论:
$\langle1\rangle$~ $\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$,$\lambda\in
\rho_{w}(T)\cup\partial\sigma_{w}(T)$ 且$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb
C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$.
当$\lambda\in\rho_{w}(T)$时,由$T$满足Weyl定理可知 $T-\lambda
I$是Browder算子,即$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.
当$\lambda\in\partial\sigma_{w}(T)$时,
对任意的$B_{\delta}(\lambda)$,都存在$\lambda_{0}\in
B_{\delta}^0(\lambda)$使得$T-\lambda_0I$是Weyl算子. 由于$T$满足Weyl
定理,则$T-\lambda_0I$是Browder算子,
于是$\lambda\in\partial\sigma(T)$.
结合$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$可知$T-\lambda
I$是Drazin可逆(参见文献[2,推论4.9]),于是存在$p\in {\Bbb
N}$使得$H=N[(T-\lambda I)^{p}]\oplus R[(T-\lambda I)^{p}]$.
又因为$0<n(T-\lambda I)<\infty$,所以$T-\lambda I$为Browder算子,
即$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.
$\langle2\rangle$~ $\lambda\notin acc\sigma(T)$
且$\lambda\in\rho_{w}(T)\cup\partial\sigma_{w}(T)$且$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb
C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$.
当$\lambda\notin acc\sigma(T)$,即$\lambda\in\rho(T)\cup
iso\sigma(T)$.
当$\lambda\in\rho(T)$时显然有$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.
当$\lambda\in iso\sigma(T)$时,又因为$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb
C}: 0<n(T-\lambda I)<\infty\}$,所以$\lambda\in \pi_{00}(T)$.
又因为$T$满足Weyl定理,所以$\lambda\notin\sigma_{b}(T)$.
$(2)\Longrightarrow(3)$. 显然成立.
$(3)\Longrightarrow(1)$.
由于$\{[\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)]\cup\pi_{00}(T)\}\cap\{[\sigma_{\tau}(T)\cap
acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}:
n(T-\lambda I)=\infty$ 或$n(T-\lambda I)=0\}\}=\emptyset$,
于是$\{[\sigma(T)\backslash\sigma_{w}(T)]\cup
\pi_{00}(T)\}\cap\sigma_b(T)=\emptyset$.
这样就容易证明算子$T$满足Weyl定理.
称算子$T$为isoloid的,若$iso\sigma(T)\subseteq\sigma_{p}(T)$.
推论2.4$T$为isoloid的且$T$满足Weyl
定理当且仅当$\sigma_{b}(T)=[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}$.
证 设$T$为isoloid的且$T$满足Weyl定理. 首先我们证明:
$\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda
I)=0\}\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup
int\sigma_{w}(T)$.
事实上当$T$为isoloid算子时有$\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda
I)=0\}\subseteq[acc\sigma(T)\cup\sigma_{w}(T)]$.
对任意的$\lambda\in\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=0\}$,
若$\lambda\notin int\sigma_{w}(T)$,
则有$\lambda\in\partial\sigma_{w}(T)$.
对$\lambda$的每一个邻域$B_{\delta}(\lambda)$,都存在$\lambda_0\in
B^{0}_{\delta}(\lambda)$使得$T-\lambda_0I$是Weyl算子.
由$T$满足Weyl定理知$T-\lambda_0I$是Browder算子,
于是$\lambda\in\partial\sigma(T)$.
断言: $\lambda\in\sigma_{\tau}(T)$.
若$\lambda\notin\sigma_{\tau}(T)$,
由$\lambda\in\partial\sigma(T)$知$T-\lambda I$ 是Drazin 可逆
(参见文献[2,推论4.9]). 但是由于$\lambda\in\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda
I)=0\}$,则$T-\lambda I$是可逆,矛盾.
于是$\lambda\in\sigma_{\tau}(T)$.
综上所述,$\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda
I)=0\}\subseteq[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup
int\sigma_{w}(T)$.
因为$T$满足Weyl定理,由定理2.2知$\sigma_{b}(T)=
[(\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T))\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda I)=\infty$
或$n(T-\lambda I)=0\}]=[(\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T))\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in\sigma(T): n(T-\lambda \\
I)=0\}\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda
I)=\infty\}]=[(\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T))\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}]$.
反之,若$\sigma_{b}(T)=[\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda I)=\infty\}$,则由定理2.2知$T$有Weyl 定理. 下证$T$为isoloid算子.
任给$\lambda\in iso\sigma(T)$,若$n(T-\lambda I)=0$,
则由$\lambda\notin [\sigma_{\tau}(T)\cap acc\sigma(T)]\cup
int\sigma_{w}(T)\cup\{\lambda\in{\Bbb C}: n(T-\lambda
I)=\infty\}=\sigma_{b}(T)$知$T-\lambda I$为Browder算子.
又由于$n(T-\lambda I)=0$,则$T-\lambda I$可逆,这与$\lambda\in
iso\sigma(T)$矛盾. 于是$n(T-\lambda I)>0$,
即$\lambda\in\sigma_{p}(T)$,因而$T$为isoloid的算子.
下面来研究Browder定理在紧算子下的摄动,先考虑微小摄动.
定理2.3 设$T\in B(H)$,则下列叙述等价
(1)~ 存在$\epsilon>0$使得当$K\in K(H)$且$\|K\|<\epsilon$时,
$T+K$有Browder定理;
(2)~ $T$有Browder定理且$\rho_{\tau}(T)$中至多
有有限个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支.
证 $(1)\Rightarrow(2)$. 只需证$\rho_{\tau}(T)$
中至多有有限个包含$\rho_{w}(T)$ 的连通分支. 若不然,
假设$\{\Omega_{n}\}_{n=1}^{\infty}$为$\rho_{\tau}(T)$
中一列有界的连通分支.
显然$\sum\limits_{n=1}^{\infty}m(\Omega_{n})\leq
m(\widehat{\sigma(T)})<\infty$,
其中$\widehat{\sigma(T)}$表示$\sigma(T)$的闭凸包,
$m(\cdot)$表示复平面上的勒贝格测度. 则对$\epsilon>0$,存在$k\in
N$使得当$n>k$时有$m(\Omega_{n})<\frac{\pi\epsilon^{2}}{4}$.
因为$\rho_{\tau}(T)$中有无限个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支,
则一定存在一个$n_{0}>k$使得$\Omega_{n_{0}}$为
$\rho_{\tau}(T)$中的一个有界连通分支且$\rho_{w}(T)
\cap\Omega_{n_{0}}\neq\emptyset$.
显然$\partial\Omega_{n_{0}}\subseteq\sigma_{SF}(T)$,
于是存在$K_{1}\in K(H)$满足$\parallel
K_{1}\parallel<\frac{\varepsilon}{4}$且
$T+K_{1}=\left(
\begin{array}{cc}
N ~& C \\
0 ~& A \\
\end{array}
\right)
$,其中$N$为正规算子且$\sigma(N)=\sigma_{SF}(N)=\partial\Omega_{n_{0}}$
(参见文献[11,引理4.1]).
对于算子$N$,存在紧算子$K_{2}' $使得$\| K_{2}' \|<\frac{3\varepsilon}{4}$
且$\sigma(N+K_{2}' )=\overline{\Omega_{n_{0}}}$
(参见文献[11,引理4.3]).
对任意的$\lambda\in\Omega_{n_{0}}$,
$N-\lambda I$可逆,则$N+K_{2}' -\lambda I$为Weyl算子,
即$\Omega_{n_{0}}\subseteq\sigma(N+K_{2}' )\backslash\sigma_{w}(N+K_{2}' )$.
令$K_{2}=\left(
\begin{array}{cc}
K_{2}' ~ & 0 \\
0 ~& 0 \\
\end{array}
\right)
$且$K=K_{1}+K_{2}$,则$\parallel K\parallel\leq\varepsilon$且$K=\left(
\begin{array}{cc}
N+K_{2}' ~& C \\
0~ & A \\
\end{array}
\right)\in K(H)
$. 因为$\rho_{w}(T)\cap\Omega_{n_{0}}\neq\emptyset$,
所以存在$\lambda' \in\Omega_{n_{0}}$使得$T-\lambda' I$为Weyl算子,
于是$T+K-\lambda' I$为Weyl算子. 由于$T+K$满足Browder定理,
则$T+K-\lambda' I$为Browder算子,
因此存在$\lambda{''}\in\Omega_{n_{0}}$使得$T+K-\lambda{''}I$
可逆. 又因为
\begin{eqnarray*}
T+K-\lambda {''}I&=&\left(
\begin{array}{cc}
N+K_{2}' -\lambda{''} I~~ & C \\
0~~ & A-\lambda{''} I \\
\end{array}
\right)\\
&=&\left(
\begin{array}{cc}
I ~~& 0 \\
0~~ & A-\lambda{''} I \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
I~~ & C \\
0 ~~& I \\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{cc}
N+K_{2}' -\lambda {''}I ~~& 0 \\
0~~ & I \\
\end{array}
\right),
\end{eqnarray*}
所以$N+K_{2}' -\lambda'' I$为下有界算子.
又由于$N+K_{2}' -\lambda'' I$ 为Weyl算子,
因而$N+K_{2}' -\lambda'' I$可逆,
这与$\sigma(N+K_{2}' )=\overline{\Omega_{n_{0}}}$ 矛盾.
$(2)\Rightarrow(1)$.
设$\{\Omega_{n}\}_{n=1}^{N}$为$\rho_{\tau}(T)$中N个连通分支满足
$\rho_{w}(T)\subseteq\bigcup\limits_{n=1}^N\Omega_{n}$
且 $\rho_{w}(T)\cap\Omega_{i}\neq\emptyset$,$i=1,2,\cdots,N$.
则对任意的$i\in\{1,\cdots,N\}$,
都存在$\lambda_{i}\in\Omega_{i}$使得$T+K-\lambda_{i}I$ 为Weyl 算子,
所以$T-\lambda_{i}I$为Weyl算子.
由$T$满足Browder定理知$T-\lambda_iI$为Browder 算子,
于是存在$\lambda_{i}' \in\Omega_{i}$使得$T-\lambda_{i}' I$可逆.
又因为$\Omega_{i}$连通,
则$T$在$\bigcup\limits_{n=1}^N\Omega_{n}$上有SVEP (引理2.2),
于是$\Omega_{i}\subseteq\rho_{a}(T)\cup
iso\sigma_{a}(T)\subseteq\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_{a}(T)$.
因而对每一个$i\in\{1,2,\cdots,N\}$,
都存在$\rho_{SF}(T)$的一个分支$\Omega_{i_{0}}$使得$\Omega_{i}=\Omega_{i_{0}}\cup
E_{i}$,其中$E_{i}$为至多可数集,则$\Omega_{i_{0}}$连通,$i=1,2,
\cdots,N$.
又因为$\partial\Omega_{i_{0}}\subseteq\partial\Omega_{i}\subseteq\sigma_{SF}(T)$,
所以$\Omega_{i_{0}}$为$\rho_{SF}(T)$的一个连通分支,$i=1,2,\cdots,
N$,进而$\Omega_{i_{0}}$ 为$\rho_{SF}(T+K)$的一个连通分支.
由于对任意的$i\in\{1,2,\cdots,N\}$,$T-\lambda_{i}' I$可逆,
则存在$\varepsilon>0$使得当$K\in K(H)$且$\parallel
K\parallel<\varepsilon$时有$T+K-\lambda_{i}I$可逆,由文献[9]中推论1.14
可知$\Omega_i\subseteq\rho(T+K)\cup E_{i}' $,
其中$E_{i}' $为至多可数集且$E_{i}' $在$\Omega_{i}$中无极限点,
则有
$\rho_{w}(T+K)\subseteq\bigcup\limits_{n=1}^N\Omega_{n}\subseteq\rho(T+K)\cup(\bigcup\limits_{i=1}^N
E_{i}' )$,
于是$\sigma(T+K)\backslash\sigma_{w}(T+K)\subseteq(\bigcup\limits_{i=1}^N
E_{i}' )$,从而$T+K$有Browder定理.
对于Browder定理的所有的紧摄动,有如下结论
定理2.4 对任意的$K\in K(H)$,$T+K$都满足Browder
定理当且仅当$\rho_\tau(T)$中仅有一个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支.
证 设对任意的$K\in K(H)$,$T+K$都满足Browder定理.
若``$\rho_{\tau}(T)$中仅有一个包含$\rho_{w}(T)$的连通分支"不成立,
则存在$\Omega_{0}$ 为$\rho_{\tau}(T)$
中的一个有界连通分支满足$\Omega_{0}\cap\rho_{w}(T)\neq\emptyset$.
由于$\Omega_{0}$
连通且$\partial\Omega_{0}\subseteq\sigma_{\tau}(T)\subseteq\sigma_{SF}(T)$,
于是存在$K_{1}\in K(H)$使得
$$T+K_{1}=\left( \begin{array}{cc} N ~~& C\\
0 ~~& A \end{array} \right) ,
$$
其中$N$为正规算子且$\sigma(N)=\sigma_{SF}(N)=\partial\Omega_{0}$
(参见文献[11,引理4.1]).
对于算子$N$存在紧算子$K_{2}' $使得$\sigma(N+K_{2}' )=
\overline{\Omega_{0}}$
(参见文献[11,引理4.3]). 对任意的$\lambda\in\Omega_{0}$,由$N-\lambda
I$可逆知$N+K_{2}' -\lambda I$为Weyl算子,
即$\Omega_{0}\subseteq\sigma(N+K_{2}' )
\backslash\sigma_{w}(N+K_{2}' )$.
令
$$K_{2}=\left(
\begin{array}{cc}
K_{2}' ~~& 0 \\
0~~ & 0 \\
\end{array}
\right)
$$
且$K=K_{1}+K_{2}$,则有
$$K=\left(
\begin{array}{cc}
N+K_{2}' ~~ & C \\
0 ~~& A \\
\end{array}
\right)\in K(H)
.
$$
由于$\rho_{w}(T)\cap\Omega_{0}\neq\emptyset$,
则一定存在$\lambda' \in\Omega_{0}$使得$T-\lambda' I$为Weyl算子,
于是$T+K-\lambda' I$ 为Weyl算子. 因为$T+K$有Browder定理,
则$T+K-\lambda' I$为Browder算子,类似于定理2.3 的证明,得到矛盾.
反之,设$\Omega$为$\rho_{\tau}(T)$中仅包含$\rho_{w}(T)$的连通分支.
由$\rho(T)\subseteq\rho_{w}(T)\subseteq\Omega$知$T$在$\Omega$上有SVEP(引理2.2),
则$\Omega\subseteq\rho_{a}(T)\cup
iso\sigma_{a}(T)\subseteq\rho_{SF}(T)\cup iso\sigma_{a}(T)$,
于是存在$\Omega_0\subseteq\rho_{SF}(T)$为一个分支使得$\Omega=\Omega_0\cup
E$,其中$E$为至多可数集,$\Omega_{0}$连通. 可以证明$\Omega_0$
为$\rho_{SF}(T)$的一个连通分支. 由于$\rho_w(T)\subseteq\Omega$,
则$\rho_{w}(T)\subseteq\Omega_{0}$,因而$\rho_{w}(T)$连通,
所以对任意的$K\in K(H)$ 都有$\rho_{w}(T+K)$连通.
又由于$\rho(T+K)\subseteq\rho_{w}(T+K)$,
于是$\rho_{w}(T+K)=\rho(T+K)\cup E' $ (参见文献[13,推论1.14]),
其中$E' $为至多可数集且$E' $ 在$\rho_{w}(T+K)$中无极限点.
所以$\sigma(T+K)\backslash\sigma_{w}(T+K)\subseteq E' $.
因此对任意的$K\in K(H)$,$T+K$都有Browder定理.
由引理2.3,定理2.4可知
推论2.5 $\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$,
则对任意的$K\in
K(H),T+K$有Browder 定理.
事实上,$\sigma_{\tau}(T)=\emptyset$当且仅当$T$为代数算子,
于是对代数算子$T$,任给紧算子$K$,$T+K$都满足Browder定理.
2015, Vol. 35 
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