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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (2): 312-323   PDF (337 KB)    
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赵金虎
刘白羽
徐尔
一类完全非线性椭圆型方程组解的对称性
赵金虎 , 刘白羽, 徐尔    
北京科技大学数理学院 北京 100083
摘要:通过结合移动平面法及其角点区域的Hopf引理得到了有界区域上一类完全非线性椭圆型方程组解的对称性和单调性.
关键词移动平面法     完全非线性方程组     对称性    
The Symmetry of Solutions to a Fully Nonlinear Elliptic Equations
Zhao Jinhu, Liu Baiyu, Xu Er    
School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083
Abstract: In this paper, we obtain a symmetry and monotonicity result for solutions of a fully nonlinear elliptic system in bounded domain. Our method employs the moving plane method with Hopf's lemma at a corner.
Key words: Moving Plane Method     Fully Nonlinear Equations     Symmetry    
1 引言

20世纪50年代,Alexandrov创立了移动平面法并用其研究了 常平均曲率曲面嵌入问题的唯一性[1]. 其后,经过Serrin[2],Gidas,Ni 和Nirenberg[3],Caffarelli,Gidas和 Spruck[4],Li[5],Chen和 Li[6,7],Damascelli,Pacella和Ramaswamy[8] 等学者的进一步发展和完善, 移动平面法已成为研究非线性椭圆方程解的对称性,单调性, 非存在性以及先验估计的有力工具.

Monge-Ampere方程是典型的完全非线性方程,利用移动平面方法 Delanoe[9]证明了单位球上的一类 Monge-Ampere方程凸解的径向对称性. 对于一般的完全非线性椭圆方程Dirichlet边值问题 {F(x,u,u11,,uNN)=0,  xS=(1,1)×Ω,u=0,xS,(1.1) 其中ΩRN1中的单位球. Li[10]证明了: 若uC2,α(¯S)是问题(1.1)的正解,且(i) Fx1{p12,,p1N} 方向上是对称的; (ii) Fx1方向上的左半区域是递增的, 即Fx1(x1,y,u, u11,,uNN)0,1<x1<0. 那么ux1方向上是对称的,并且只有一个极大值. 其后,Li[11] 将该结果推广到无界区域上.

对于半线性椭圆方程组,前人也做了大量的工作,如文献[]. 其中,Busca和Sirakov[12]研究了半线性椭圆方程组 {Δu+g(u,v)=0,  xRN,Δv+f(u,v)=0,xRN,(1.2) 具有衰减性质正解的对称性. 假设(u,v)是方程组(1.2)的正解,当|x|时, u(x)0,v(x)0. 若f,g满足

(i)~ f,gC1([0,)×[0,  ),R), (u,v)[0,)×[0,);

(ii)~ gv(u,v)0,fu(u,v)0;

(iii)~ gu(0,0)<0, fv(0,0)<0; (iv)~ detA>0, A=(gugvfugv)(0,0). \\ 那么存在两点x0,x1RN,使得u(x)=u(|xx0|), v(x)=v(|xx1|),并且对于r1=|xx0|r2=|xx1|,分别有dudr1<0dvdr2<0成立.

本文通过结合上面介绍的完全非线性椭圆方程与半线性椭圆方程组解的对称性研究办法, 考虑如下完全非线性椭圆方程组解的对称性 {F(x,u,u11,,uNN)+g(u,v)=0,  xS=(1,1)×Ω,G(x,v,v11,,vNN)+f(u,v)=0,xS=(1,1)×Ω,u(x)=0,v(x)=0,xS,(1.3) 其中,ΩRN1中的单位球, FG满足一致椭圆型条件.

定义1.1 (一致椭圆型条件[18]) 设偏微分算子 L=Ni,j=1aij(x)Dij+Ni=1bi(x)Di+c(x),aij=aji, 其中,aij(x),bi(x),c(x)为定义在开集ΩRN上的函数. 若存在的正数θ,使得Ni,j=1aij(x)ξiξjθ|ξ|2, xΩ, ξRN, 则称L是一致椭圆型算子.

对于方程组(1.3)中的F满足一致椭圆型条件是指存在正数θ,使得 Ni,j=1Fpij(x,u,p11,,pNN)ξiξjθ|ξ|2(1.4) 对所有的ξRN均成立.

本文的主要定理如下.

{\heiti\bf 定理1.2} 设F,GC1(S,[0,),RN×(N+1)2),f,gC1([0,)×[0,)),当满足如下条件

(i) Fp(1,y,0,p11,,pNN)+gu(0,0)<c1, c1>0, pijR,yΩ; Gs(1,y,0,s11,,sNN)+fv(0,0)<c2, c2>0, sijR,yΩ.

(ii)~ F关于x1{p12,,p1N}对称,G关于x1{s12,,s1N}对称,并且对于(x1,y)S, x1<0, u,v>0, pij,sijR,i=1,,N, j=i,,N,有下式成立 Fx1(x1,y,u,p11,,pNN)0; Gx1(x1,y,v,s11,,sNN)0.

(iii)~ 对于u,v[0,)×[0,), gv(u,v)0, fu(u,v)0.

(iv)~ pij,sijR,y,yΩ, |Fp(1,y,0,p11,,pNN)+gu(0,0)  gv(0,0)fu(0,0)  Gs(1,y,0,s11,,sNN)+fv(0,0)|>0.

那么对于方程组(1.3)的任意C2正解(u,v)必须在x1方向上对称, 且只有一个极大值,即对于(x1,y)S, 1<x1<0,有 u(x1,y)=u(x1,y), u1(x1,y)>0,v(x1,y)=v(x1,y), v1(x1,y)>0.

上述完全非线性方程组的一个特殊情形为实椭圆型Monge-Ampere方程组. 在几何中可用于两个耦合曲面的预定高斯曲率问题[19,20].

利用上述定理1.2,对于实Monge-Ampere方程组 {det(D2u)+g(u,v)=0,  xS=(1,1)×(1,1),det(D2v)+f(u,v)=0,xS=(1,1)×(1,1),u(x)=v(x)=0,xS,u(x)>0,v(x)>0,xS,(1.5)可以得到如下推论.

推论1.3

(i')~ gu(0,0)<c1, fv(0,0)<c2,c1,c2>0; (ii')~ 对于任意的u,v0gv(u,v)0, fu(u,v)0;

(iii')~ |gu(0,0)gv(0,0)fu(0,0)fv(0,0)|>0. \\ 若u,vC2(S)C(ˉS) 为方程组(1.5)的正的严格凹解, 则 u(x1,y)=u(x1,y),  u1(x1,y)>0,  x1<0,y(1,1); v(x1,y)=v(x1,y),  v1(x1,y)>0,  x1<0,y(1,1).

2 预备引理

本节对要用到的引理进行引用和证明并为定理的证明做一些准备.

Tλ={xS|x1=λ, 1<λ0} 是一个与x1轴垂直的平面, Σλ={xS|1<x1<λ}S中在平面Tλ左边的部分. 对于1<λ0, 定义xλ=(2λx1,y)(x1,y)关于Tλ的对称点. 我们比较解uvΣλ上某点的值与其对称点的值. 对于xΣλ,记 uλ(x)=u(xλ),  vλ(x)=v(xλ);ω(x,λ)=uλ(x)u(x),  φ(x,λ)=vλ(x)v(x).

这些函数也可看成是定义在Qμ={(x1,y,λ)S×[1,0]|1<x1<λ<μ} 上的关于(x,λ)的函数. 注意到,我们只需证明解u,v关于T0对称, 即ω(x,0)0φ(x,0)0.

Σωλ={xΣλ|ω(x,λ)<0},  Σφλ={xΣλ|φ(x,λ)<0}.

引理2.1F,GC1(S,[0,),RN×(N+1)2)满足定理1.2中条件(i), 则存在正数δ1,使得当1<λ<1+δ1时, 对任意xΣωλ,有 10Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))dt+gu(ξ,v(x))<0, 其中,ξ为介于uλ(x)u(x)之间的任意值; 存在正数δ2, 使得当1<λ<1+δ2时,对任意xΣφλ,有 10Gs(x,v(x)+tφ(x),vλij(x))dt+fv(u(x),η)<0, 其中,η可取vλ(x)v(x)之间的任意值.

由于FC1(S,[0,),RN×(N+1)2)且满足(i),因此存在ϵ>0,使得当1<λ<1+ϵ时,对任意pijRN×(N+1)2,p>0,s>0,ξ>0,0<p<ϵ,ξ+s<ϵ,及任意xΣλ, 有 Fp(x,p,pij)+gu(ξ,s)<c1/2<0. 由于当x1=1时,u(x)=0,v(x)=0,因此对上述ϵ>0,存在δ1>0(δ1<ϵ),使得 1<λ<1+δ1时有 u(x)+v(x)<ϵ. 于是对于xΣωλ, 0<uλ(x)<u(x),此时有 u(x)+tω(x)=(1t)u(x)+tuλ(x)<u(x)<ϵ,t(0,1). 对于任意ξ(uλ(x),u(x)),有 ξ+v(x)<u(x)+v(x)<ϵ. 故有,对t(0,1) Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))+gu(ξ,v(x))<c1/2. 两边对t(0,1)上积分得 10Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))dt+gu(ξ,v(x))<0.

对于G的结果,证明类似.

引理2.2F,GC1(S,[0,),RN×(N+1)2),f,gC1([0,)×[0,)),满足定理1.2中的条件(iv), 则存在δ3>0,使得1<λ<1+δ3时, 对任意x,xΣωλΣφλ,有 α(λ)δ(λ)β(λ)γ(λ)>0, 其中, α(λ)=10Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))dt+gu(ξ1,v(x)), δ(λ)=10Gp(x,v(x)+tφ(x),vλij(x))dt+fv(u(x),η2), β(λ)=gv(uλ(x),η1),γ(λ)=fu(ξ2,v(x)); ξ1可取介于u(x)uλ(x)之间的任意值, ξ2可取介于u(x)uλ(x)之间的任意值, η1可取介于v(x)vλ(x)之间的任意值, η2可取介于v(x)vλ(x)之间的任意值.

A(x,˜x,p,p,˜p,pij,s,s,˜s,sij,ξ1,ξ2,η1,η2)=|Fp(x,p,pij)+gu(ξ1,s)  gv(p,η1)fu(ξ2,˜s)  Gp(˜x,s,sij)+fv(˜p,η2)|. 由(iv)可知,存在ϵ>0,使得当1<λ<<1+ϵ时, 对任意x,˜xΣλ,p>0,s>0,˜p>0, ˜s>0,ξi>0,ηi>0 (i=1,2), p+s<ϵ,˜p+˜s<ϵ,0<p<p<ϵ, 0<s<s<ϵ,ξ1+s<ϵ,ξ2+˜s<ϵ, η1+p<ϵ,η2+˜p<ϵ,有 A(x,˜x,p,p,˜p,pij,s,s,˜s,sij,ξ1,ξ2,η1,η2)>0,  pij,sijR. 对于上述ϵ,存在δ3>0,使得1<λ<1+δ3时,对任意x,xΣωλΣφλ,有 u(x)+v(x)<ϵ,u(x)+v(x)<ϵ,且0<uλ(x)<u(x)<ϵ,vλ(x)<v(x),0<v(x)+t2φ(x)=t2vλ(x)+(1t2)v(x)<v(x)<ϵ,ξ1+v(x)<u(x)+v(x)<ϵ,ξ2+v(x)<u(x)+v(x)<ϵ,η1+u(x)<v(x)+u(x)<ϵ,η2+u(x)<v(x)+u(x)<ϵ. 于是对于 t1,t2(0,1), 0<A(x,x,u(x)+t1ω(x),uλ(x),u(x),uλij(x),v(x),v(x)+t2φ(x),v(x),vλij(x),ξ1,ξ2,η1,η2)=(Fp(x,u(x)+t1ω(x),uλij(x))+gu(ξ1,v(x)))(Gp(x,v(x)+t2φ(x),vλij(x))+fv(u(x),η2))gv(uλ(x),η1)fu(ξ2,v(x)).(2.1) 注意到当1<λ<1+δ3时,对任意x,xΣωλΣφλ,有 α(λ)δ(λ)β(λ)γ(λ)=(10Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))dt+gu(ξ1,v(x)))(10Gp(x,v(x)+tφ(x),vλij(x))dt+fv(u(x),η2))gv(uλ(x),η1)fu(ξ2,v(x))=1010[(Fp(x,u(x)+t1ω(x),uλij(x))+gu(ξ1,v(x)))(Gp(x,v(x)+t2φ(x),vλij(x))dt+fv(u(x),η2))gv(uλ(x),η1)fu(ξ2,v(x))]dt1dt2>0.

定理1.2的证明要用到角点区域的Hopf引理,其证明见文献[3].

引理2.3 (角点区域的Hopf引理,参见文献[10,Lemma A.1]或[3])

ΩRN中的区域,原点在其边界上, 并且在原点附近的边界包含两个横向分割的C2超曲面ρ=0, σ=0. 在Ω中有ρ<0,σ<0. 并设uC2是微分不等式 Lu=i,jaij(x)uij(x)+ibi(x)ui(x)+c(x)u(x)0¯Ω中的正解. 其中aijC(¯Ω),L是一致椭圆的. 原点处记μ=aijρiσjaijρiρjaijσiσj,则1<μ<1. 令θ0=arccos(μ). 如果在原点附近的¯Ω内,uCk,α,k+α>πθ0,则 (s)ju, j=0,,k 中至少有一个在原点处严格正, 这里s是指向Ω内的任意的一个方向.

3 证明

本节给出定理1.2及推论1.3的证明.

先对方程组做一些处理. 由条件(ii),FG关于x1{u12,,u1N}对称, 可知uλvλ同样满足方程组(1.3),即 {F(xλ,uλ,uλij)+g(uλ,vλ)=0, xΣλ,G(xλ,uλ,uλij)+f(uλ,vλ)=0, xΣλ.(3.1) 方程组(1.3)和(3.1)分别对应相减得 F(xλ,uλ,uλij)F(x,u,uij)+g(uλ,vλ)g(u,v)=0,(3.2) G(xλ,vλ,vλij)G(x,v,vij)+f(uλ,vλ)f(u,v)=0.(3.3) 利用中值定理处理(3.2)和(3.3)式得到 10Fx1(x1+t(2λ2x1),y,uλ,uλij)(2λ2x1)dt+[10Fp(x,u+tω,uλij)dt+gu(ξ1(x,λ),v)]ω+i,j10Fpij(x,u,uij+tωij)dtωij=gv(uλ,η1(x,λ))φ.(3.4) 10Gx1(x1+t(2λ2x1),y,vλ,vλij)(2λ2x1)dt+[10Gp(x,v+tφ,vλij)dt+fv(u,η2(x,λ))]φ+i,j10Gpij(x,v,vij+tφij)dtφij=fu(ξ2(x,λ),vλ)ω,(3.5) 其中, ξi(x,λ)(min{u(x),uλ(x)},max{u(x),uλ(x)}), ηi(x,λ)(min{v(x),vλ(x)},max{v(x),vλ(x)}), i=1,2; Fpij(x,u,uij+tωij)=Fpij(x,u,u11,,uij1,uij+tωij,uλij+1,,uλNN), Gpij(x,v,vij+tφij)=Fpij(x,v,v11,,vij1,vij+tφij,vλij+1,,vλNN), i=1,2,,N, j=i,i+1,,N1; FpiN(x,u,uiN+tωiN)=FpiN(x,u,u11,,uiN1,uiN+tωiN,uλi+1i+1,,uλNN), GpiN(x,v,viN+tφiN)=GpiN(x,v,v11,,viN1,viN+tφiN,vλi+1i+1,,vλNN), i=1,2,,N.

定理1.2的证明分四步.

第一步 证明存在1<λ0, 使得当1<λ<λ0时, ω(x,λ)0,φ(x,λ)0,xΣλ.

用反证法证明. 假设上述不等式不成立,则对于每一个λ(1,0), 都存在点xλΣλ,使得 ω(xλ,λ)<0φ(xλ,λ)<0. 不妨设ω(xλ,λ)<0. 由于所考虑的函数u在区域S的边界上等于0,在区域S的内部严格大于零, 因此当xΣλ时, ω(x,λ)0. 所以,ω(x,λ)Σλ的内部能够取得负的最小值. 记 ω(x0,λ)=minx¯Σλω(x,λ)<0, x0=(x10,x20,xN0), 则有 xω(x0,λ)=0, {ωij(x0,λ)}0.

根据引理2.1,引理2.2, 取δ=min{δ1,δ2,δ3,12},当 1<λ<1+δ时,有 α(λ):=10Fp(x0,u(x0)+tω(x0),uλij(x0))dt+gu(ξ1(x0,λ),v(x0))<0. 根据条件(ii),则有10Fx1(x10+t(2λx10),x20,xN0,u+tω(x0),)dt(2λ2x10)0. 根据F的一致椭圆性知 i,j10Fpij(x,u,u11,,uij1,uij+tωij,uλij+1,,uλNN)dtωij(x0)0. 于是由(3.4)式得 [10Fp(x,u(x0)+tω(x0),uλij)dt+gu(ξ1(x0,λ),v(x0))]ω(x0)gv(uλ(x0),η1(x0,λ))φ(x0).(3.6) 注意到上式左端严格大于零(见引理2.1),又由条件(iii)知,gv(uλ(x0),η1(x0,λ))<0, 得φ(x0,λ)<0. 同样由于φ(x)0,xΣλ,于是 φ(x)Σλ内部取到负的最小值,即存在x1Σλ, 使得φ(x1)=minx¯Σλφ(x)<0.

由引理2.1知 δ(λ):=10Gp(x1,v(x1)+tφ(x1),vλij(x1))dt+fv(u(x1),η2(x1,λ))<0. 且有 [10Gp(x1,v(x1)+tφ(x1),vλij(x1))dt+fv(u(x1),η2(x1,λ))]φ(x1)fu(ξ2(x1,λ),vλ(x1))ω(x1).(3.7) 并且有ω(x1)<0.

β(λ)=gv(uλ(x0),η1(x0,λ))>0, γ(λ)=fu(ξ2(x1,λ),vλ(x1))>0.

改写(3.6)和(3.7)式我们得到 ω(x0)β(λ)α(λ)φ(x0)β(λ)α(λ)φ(x1)β(λ)γ(λ)α(λ)δ(λ)ω(x1)β(λ)γ(λ)α(λ)δ(λ)ω(x0), 于是得 α(λ)δ(λ)β(λ)γ(λ)0.(3.8)

另一方面,由于此时x0,x1ΣωλΣφλ,利用引理2.2知 α(λ)δ(λ)β(λ)γ(λ)>0. 这与(3.8)式矛盾. 因此假设错误.

故存在λ(1,0],使得λ(1,λ]时,有 ω(x,λ)0, φ(x,λ)0,  xΣλ(3.9) 均成立 (第一步完成).

第二步 连续地增加λ的值, 只要不等式(3.9)成立, 就继续向右移动平面Tλ. 我们要证明如此移动下去, 平面Tλ不会在触到原点之前停下来. 更为具体地说,令 ˉμ=sup{μ|ω(x,λ)0, φ(x,λ)0, xΣλ, λμ}, 则必有¯μ0.

用反证法证明. 假设¯μ<0. 由¯μ的定义知, 当λ<¯μ时,有 ω(x,λ)0φ(x,λ)0,xΣλ. 由于所考虑的函数对于λ 都是连续的, 并且根据条件(iii)和(3.9)式,对于所有的xΣˉμ,有 10Fx1(x1+t(2ˉμ2x1),y,uλ,uλij)dt(2ˉμ2x1)+i,j10Fpij(x,u,uij+tωij(x,ˉμ))dtωij(x,ˉμ)+[10Fp(x,u+tω(x,ˉμ),uλij)dt+gu(ξ1(x,ˉμ),v)]ω(x,ˉμ)=gv(uˉμ,η1(x,ˉμ))φ(x,ˉμ)0,(3.10)(3.10) 10Gx1(x1+t(2ˉμ2x1),y,vλ,vλij)dt(2ˉμ2x1)+i,j10Gpij(x,v,vij+tφij(x,ˉμ))dtφij(x,ˉμ)+[10Gp(x,v+tφ(x,ˉμ),vλij)dt+fv(u,η2(x,ˉμ))]φ(x,ˉμ)=fu(ξ2(x,ˉμ),vˉμ)ω(x,ˉμ)0.(3.11)

根据条件(ii)和¯μx1, (3.10)和(3.11)式的第一项非负,于是对于所有的xΣˉμ,有 i,j10Fpij(x,u,uij+tωij(x,ˉμ))dtωij(x,ˉμ)[10Fp(x,u+tω(x,ˉμ),uλij)dt+gu(ξ1(x,ˉμ),v)]ω(x,ˉμ)0,(3.13) i,j10Gpij(x,v,vij+tφij(x,ˉμ))dtφij(x,ˉμ)[10Gp(x,v+tφ(x,ˉμ),vλij)dt+fv(u,η2(x,ˉμ))]φ(x,ˉμ)0.(3.12)

需要注意的是,ω(x,¯μ)0是不成立的. 假设ω(x,¯μ)0,取边界上的点u(1,y)=0, 又¯μ<0, 则对称点(2¯μ+1,y)S内部且u(2¯μ+1,y)=0. 这和u是正解矛盾.

因为¯μ<0 是使(3.9)式成立的最大区间的右端点,所以对任意满足λk<0,λkˉμ的单调减序列{λk},存在 xk¯Σλk,使得ω(xk, λk)<0. 由于xkS(有界区域),必存在收敛子列,不妨设xk即为收敛子列, 并且就是函数ω(x,λk)在区域¯Σλk中的最小值点, 即 {ω(xk,λk)=minx¯Σλkω(x,λk)<0,xkˉx=(ˉx1,ˉx2,,ˉxN)ˉΣˉμ,k.(3.13)

由于xk是函数ω(x,λk)在区域ˉΣλk内部的最小值点,因此有xω(xk,λk)=0, {ωij(xk,λk)}0.k极限,则得 ω(ˉx,ˉμ)0, xω(ˉx,ˉμ)=0, {ωij(ˉx,ˉμ)}0.(3.14)

又由连续性可知,ω(ˉx,ˉμ)0. 于是ω(ˉx,ˉμ)=0.

¯x的位置有三种情况: (a) 位于Σˉμ的内部; (b) ¯x属于T¯μˉΣˉμS; (c) ˉxTˉμS. 以下对这三种情况分别讨论.

(a)~ ¯x位于Σˉμ的内部

对于Σˉμ的内部的任意一点a, 可以选择一个边界光滑的区域A (¯A 包含于Σˉμ的内部),使得a¯x都位于A的内部. 在A上应用强极值原理(原定理条件在边界上函数等于0,此处在A上,ω(ˉx,ˉμ)0,定理仍能够成立),得到在Aω(ˉx,ˉμ)0. ω(ˉx,ˉμ)a点处等于0,由a的任意性得,在Σˉμ的内部ω(ˉx,ˉμ)0. 由于边界条件u(x)=0,Σˉμ的内部u(x)>0, 所以在Σˉμω(ˉx,ˉμ)>0. 由函数的连续性可得出矛盾.

(b)~ ¯x属于T¯μˉΣˉμS

r>0充分小,可使某一个以¯x为边界点的球BrΣˉμ. 因为ω(x,ˉμ)>0, xBr(ˉx), ω(ˉx,ˉμ)=0,应用经典的Hopf引理知 ωn(ˉx,ˉμ)0, 所以xω(ˉx,ˉμ)0, 与(3.14)式矛盾.

(c)~ ˉxTˉμS.

ω(ˉx,ˉμ)=0代入(3.12)式得 10i,jFpij(ˉx,u,uij+tωij(ˉx,ˉμ))ωij(ˉx,ˉμ)dt0.(3.15)F满足一致椭圆条件,则有 10i,jFpij(ˉx,u,uij+tωij(ˉx,ˉμ))ωij(ˉx,ˉμ)dt0. 因此有 10i,jFpij(ˉx,u,uij+tωij(ˉx,ˉμ))ωij(ˉx,ˉμ)dt=0.(3.16) 由于{Fpij}是对称正定矩阵, {ωij(ˉx,¯μ)}是对称半正定矩阵, 则当且仅当{ωij(ˉx,¯μ)}=0时(3.16)式成立, 即ωij(ˉx,¯μ)=0, i,j=1,2,,N.

下面我们在¯x处运用角点区域的Hopf引理(见引理2.3). 在¯x处,Σ¯μ 包含两个横向相交的C2的超曲面ρ=0,ρ=x1ˉμσ=0,σ=x22++x2N1. 记aij(ˉx,ˉμ)=10Fpij(ˉx,u,uij+tωij(ˉx,ˉμ))dt. 下面我们证明Ni,j=1aij(¯x,¯μ)ρi(¯x)σj(¯x)=0. 即 Nj=2a1j(¯x,¯μ)xj=0.

由条件(ii),如果u12==u1N=0, 则Fp1j(x,u,uij)=0,j=2,,N. 注意到,由于ωij(ˉx,ˉμ)=0, aij(ˉx,ˉμ)=10Fpij(ˉx,u,uij)dt=Fpij(ˉx,u,uij). 因此, 我们只需验证u1j(ˉx)=uλ1j(ˉx,ˉμ)=0, j=2,,N.

由于¯xT¯μ,所以u1j(ˉx)=uλ1j(ˉx,ˉμ)=12ω1j((ˉx,ˉμ))=0, j=2,3,N. 所以在¯xNi,j=1aij(¯x,¯μ)ρi(¯x)σj(¯x)=0.

由于uC2的,引理2.3中θ0=π2, 则可得对于任意指向S内部的方向s,sω0或者(s)2ω0.s=12(1,x2,,xN).

利用(3.14)式和ωij(ˉx,ˉμ)=0,直接计算可知,在ˉx处有 ωs(ˉx)=12(ω1+x2ω2++xNωN)|ˉx=0; 2ωs2(ˉx)=12(ω11+ω12ˉx2++ω1NˉxN+ω12ˉx2+ω2ˉx2+ω22ˉx22++ω2Nˉx2ˉxN++ω1NˉxN+ω2Nˉx2ˉxN++ωNNˉx2N+ωNˉxN)|ˉx=0. 而此与引理2.3矛盾.

综上所述,假设错误. 由此得¯μ=0.

并且由¯μ的定义知u(x1,y)u(x1,y), v(x1,y)v(x1,y), x1<0. (第二步完成).

第三步 我们可以从右侧开始移动平面,由于FGx1方向上是对称的, 能够同样推出¯μ=0. 于是得u(x1,y)u(x1,y), v(x1,y)v(x1,y), x1<0.

所以对于(x1,y)S, 1<x1<0, u(x1,y)=u(x1,y), v(x1,y)=v(x1,y). (第三步完成).

第四步 证明单调性. 由以上证明过程知,当λ<0时, ω(x,λ)0φ(x,λ)0. 又由于ω(x,λ)>0,x1=1,ω(x,λ)不恒等于0. 利用Hopf引理,在Tλ去掉S的边界处, ω(x,λ)x1<0,ω(x,λ)x1=2u1(x1,y). 所以, 当x1<0,yΩ时,有u1(x1,y)>0,v1(x1,y)>0 (第四步完成). 定理1.2证毕.

下面证明推论1.3.

注意到由于u,v为严格凹解,则D2u,D2v为严格负定矩阵. 因此对于二维情形下det(D2u)det(D2v)满足椭圆型条件 (1.4). 不难验证满足推论1.3条件的方程组(1.5) 满足定理1.2的所有条件, 直接应用定理1.2即可.

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一类完全非线性椭圆型方程组解的对称性
赵金虎 , 刘白羽, 徐尔