20世纪50年代,Alexandrov创立了移动平面法并用其研究了 常平均曲率曲面嵌入问题的唯一性[1]. 其后,经过Serrin[2],Gidas,Ni 和Nirenberg[3],Caffarelli,Gidas和 Spruck[4],Li[5],Chen和 Li[6,7],Damascelli,Pacella和Ramaswamy[8] 等学者的进一步发展和完善, 移动平面法已成为研究非线性椭圆方程解的对称性,单调性, 非存在性以及先验估计的有力工具.
Monge-Ampere方程是典型的完全非线性方程,利用移动平面方法 Delanoe[9]证明了单位球上的一类 Monge-Ampere方程凸解的径向对称性. 对于一般的完全非线性椭圆方程Dirichlet边值问题 {F(x,u,u11,⋯,uNN)=0, x∈S=(−1,1)×Ω,u=0,x∈∂S,(1.1) 其中Ω是RN−1中的单位球. Li[10]证明了: 若u∈C2,α(¯S)是问题(1.1)的正解,且(i) F在x1 和{p12,⋯,p1N} 方向上是对称的; (ii) F在x1方向上的左半区域是递增的, 即Fx1(x1,y,u, u11,⋯,uNN)≥0,−1<x1<0. 那么u在x1方向上是对称的,并且只有一个极大值. 其后,Li[11] 将该结果推广到无界区域上.
对于半线性椭圆方程组,前人也做了大量的工作,如文献[]. 其中,Busca和Sirakov[12]研究了半线性椭圆方程组 {Δu+g(u,v)=0, x∈RN,Δv+f(u,v)=0,x∈RN,(1.2) 具有衰减性质正解的对称性. 假设(u,v)是方程组(1.2)的正解,当|x|→∞时, u(x)→0,v(x)→0. 若f,g满足
(i)~ f,g∈C1([0,∞)×[0, ∞),R), (u,v)∈[0,∞)×[0,∞);
(ii)~ ∂g∂v(u,v)≥0,∂f∂u(u,v)≥0;
(iii)~ ∂g∂u(0,0)<0, ∂f∂v(0,0)<0; (iv)~ detA>0, A=(∂g∂u∂g∂v∂f∂u∂g∂v)(0,0). \\ 那么存在两点x0,x1∈RN,使得u(x)=u(|x−x0|), v(x)=v(|x−x1|),并且对于∀r1=|x−x0| 和∀r2=|x−x1|,分别有dudr1<0和dvdr2<0成立.
本文通过结合上面介绍的完全非线性椭圆方程与半线性椭圆方程组解的对称性研究办法, 考虑如下完全非线性椭圆方程组解的对称性 {F(x,u,u11,⋯,uNN)+g(u,v)=0, x∈S=(−1,1)×Ω,G(x,v,v11,⋯,vNN)+f(u,v)=0,x∈S=(−1,1)×Ω,u(x)=0,v(x)=0,x∈∂S,(1.3) 其中,Ω是RN−1中的单位球, F和G满足一致椭圆型条件.
定义1.1 (一致椭圆型条件[18]) 设偏微分算子 L=N∑i,j=1aij(x)Dij+N∑i=1bi(x)Di+c(x),aij=aji, 其中,aij(x),bi(x),c(x)为定义在开集Ω⊂RN上的函数. 若存在的正数θ,使得N∑i,j=1aij(x)ξiξj≥θ|ξ|2, ∀x∈Ω, ξ∈RN, 则称L是一致椭圆型算子.
对于方程组(1.3)中的F满足一致椭圆型条件是指存在正数θ,使得 N∑i,j=1Fpij(x,u,p11,⋯,pNN)ξiξj≥θ|ξ|2(1.4) 对所有的ξ∈RN均成立.
本文的主要定理如下.
{\heiti\bf 定理1.2} 设F,G∈C1(S,[0,∞),RN×(N+1)2),f,g∈C1([0,∞)×[0,∞)),当满足如下条件
(i) Fp(−1,y,0,p11,⋯,pNN)+∂g∂u(0,0)<−c1, c1>0, ∀pij∈R,∀y∈Ω; Gs(−1,y,0,s11,⋯,sNN)+∂f∂v(0,0)<−c2, c2>0, ∀sij∈R,∀y∈Ω.
(ii)~ F关于x1和{p12,⋯,p1N}对称,G关于x1和{s12,⋯,s1N}对称,并且对于∀(x1,y)∈S, x1<0, ∀u,v>0, ∀pij,sij∈R,i=1,⋯,N, j=i,⋯,N,有下式成立 Fx1(x1,y,u,p11,⋯,pNN)≥0; Gx1(x1,y,v,s11,⋯,sNN)≥0.
(iii)~ 对于u,v∈[0,∞)×[0,∞), ∂g∂v(u,v)≥0, ∂f∂u(u,v)≥0.
(iv)~ ∀pij,sij∈R,∀y,y′∈Ω, |Fp(−1,y,0,p11,⋯,pNN)+∂g∂u(0,0) ∂g∂v(0,0)∂f∂u(0,0) Gs(−1,y′,0,s11,⋯,sNN)+∂f∂v(0,0)|>0.
那么对于方程组(1.3)的任意C2正解(u,v)必须在x1方向上对称, 且只有一个极大值,即对于(x1,y)∈S, −1<x1<0,有 u(x1,y)=u(−x1,y), u1(x1,y)>0,v(x1,y)=v(−x1,y), v1(x1,y)>0.
上述完全非线性方程组的一个特殊情形为实椭圆型Monge-Ampere方程组. 在几何中可用于两个耦合曲面的预定高斯曲率问题[19,20].
利用上述定理1.2,对于实Monge-Ampere方程组 {−det(D2u)+g(u,v)=0, x∈S=(−1,1)×(−1,1),−det(D2v)+f(u,v)=0,x∈S=(−1,1)×(−1,1),u(x)=v(x)=0,x∈∂S,u(x)>0,v(x)>0,x∈S,(1.5)可以得到如下推论.
推论1.3 设
(i')~ ∂g∂u(0,0)<−c1, ∂f∂v(0,0)<−c2,c1,c2>0; (ii')~ 对于任意的u,v≥0有 ∂g∂v(u,v)≥0, ∂f∂u(u,v)≥0;
(iii')~ |∂g∂u(0,0)∂g∂v(0,0)∂f∂u(0,0)∂f∂v(0,0)|>0. \\ 若u,v∈C2(S)∩C(ˉS) 为方程组(1.5)的正的严格凹解, 则 u(x1,y)=u(−x1,y), u1(x1,y)>0, ∀x1<0,y∈(−1,1); v(x1,y)=v(−x1,y), v1(x1,y)>0, ∀x1<0,y∈(−1,1).
本节对要用到的引理进行引用和证明并为定理的证明做一些准备.
取Tλ={x∈S|x1=λ, −1<λ≤0} 是一个与x1轴垂直的平面, Σλ={x∈S|−1<x1<λ}是S中在平面Tλ左边的部分. 对于−1<λ≤0, 定义xλ=(2λ−x1,y)是(x1,y)关于Tλ的对称点. 我们比较解u和v在Σλ上某点的值与其对称点的值. 对于x∈Σλ,记 uλ(x)=u(xλ), vλ(x)=v(xλ);ω(x,λ)=uλ(x)−u(x), φ(x,λ)=vλ(x)−v(x).
这些函数也可看成是定义在Qμ={(x1,y,λ)∈S×[−1,0]|−1<x1<λ<μ} 上的关于(x,λ)的函数. 注意到,我们只需证明解u,v关于T0对称, 即ω(x,0)≡0和φ(x,0)≡0.
记 Σω−λ={x∈Σλ|ω(x,λ)<0}, Σφ−λ={x∈Σλ|φ(x,λ)<0}.
引理2.1 若 F,G∈C1(S,[0,∞),RN×(N+1)2)满足定理1.2中条件(i), 则存在正数δ1,使得当−1<λ<−1+δ1时, 对任意x∈Σω−λ,有 ∫10Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))dt+∂g∂u(ξ,v(x))<0, 其中,ξ为介于uλ(x)和u(x)之间的任意值; 存在正数δ2, 使得当−1<λ<−1+δ2时,对任意x∈Σφ−λ,有 ∫10Gs(x,v(x)+tφ(x),vλij(x))dt+∂f∂v(u(x),η)<0, 其中,η可取vλ(x)和v(x)之间的任意值.
证 由于F∈C1(S,[0,∞),RN×(N+1)2)且满足(i),因此存在ϵ>0,使得当−1<λ<−1+ϵ时,对任意pij∈RN×(N+1)2,p>0,s>0,ξ>0,0<p<ϵ,ξ+s<ϵ,及任意x∈Σλ, 有 Fp(x,p,pij)+∂g∂u(ξ,s)<−c1/2<0. 由于当x1=−1时,u(x)=0,v(x)=0,因此对上述ϵ>0,存在δ1>0(δ1<ϵ),使得 −1<λ<−1+δ1时有 u(x)+v(x)<ϵ. 于是对于x∈Σω−λ, 0<uλ(x)<u(x),此时有 u(x)+tω(x)=(1−t)u(x)+tuλ(x)<u(x)<ϵ,∀t∈(0,1). 对于任意ξ∈(uλ(x),u(x)),有 ξ+v(x)<u(x)+v(x)<ϵ. 故有,对t∈(0,1) Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))+∂g∂u(ξ,v(x))<−c1/2. 两边对t在(0,1)上积分得 ∫10Fp(x,u(x)+tω(x),uλij(x))dt+∂g∂u(ξ,v(x))<0.
对于G的结果,证明类似.
引理2.2 设F,G∈C1(S,[0,∞),RN×(N+1)2),f,g∈C1([0,∞)×[0,∞)),满足定理1.2中的条件(iv), 则存在δ3>0,使得−1<λ<−1+δ3时, 对任意x∗,x∗∗∈Σω−λ∩Σφ−λ,有 α(λ)δ(λ)−β(λ)γ(λ)>0, 其中, α(λ)=∫10Fp(x∗,u(x∗)+tω(x∗),uλij(x∗))dt+∂g∂u(ξ1,v(x∗)), δ(λ)=∫10Gp(x∗∗,v(x∗∗)+tφ(x∗∗),vλij(x∗∗))dt+∂f∂v(u(x∗∗),η2), β(λ)=∂g∂v(uλ(x∗),η1),γ(λ)=∂f∂u(ξ2,v(x∗∗)); ξ1可取介于u(x∗)和uλ(x∗)之间的任意值, ξ2可取介于u(x∗∗)和uλ(x∗∗)之间的任意值, η1可取介于v(x∗)和vλ(x∗)之间的任意值, η2可取介于v(x∗∗)和vλ(x∗∗)之间的任意值.
证 记A(x,˜x,p,p′,˜p,pij,s,s′,˜s,sij,ξ1,ξ2,η1,η2)=|Fp(x,p,pij)+∂g∂u(ξ1,s) ∂g∂v(p′,η1)∂f∂u(ξ2,˜s) Gp(˜x,s′,sij)+∂f∂v(˜p,η2)|. 由(iv)可知,存在ϵ>0,使得当−1<λ<<−1+ϵ时, 对任意x,˜x∈Σλ,p>0,s>0,˜p>0, ˜s>0,ξi>0,ηi>0 (i=1,2), p+s<ϵ,˜p+˜s<ϵ,0<p′<p<ϵ, 0<s′<s<ϵ,ξ1+s<ϵ,ξ2+˜s<ϵ, η1+p<ϵ,η2+˜p<ϵ,有 A(x,˜x,p,p′,˜p,pij,s,s′,˜s,sij,ξ1,ξ2,η1,η2)>0, ∀pij,sij∈R. 对于上述ϵ,存在δ3>0,使得−1<λ<−1+δ3时,对任意x∗,x∗∗∈Σω−λ∩Σφ−λ,有 u(x∗)+v(x∗)<ϵ,u(x∗∗)+v(x∗∗)<ϵ,且0<uλ(x∗)<u(x∗)<ϵ,vλ(x∗∗)<v(x∗∗),0<v(x∗∗)+t2φ(x∗∗)=t2vλ(x∗∗)+(1−t2)v(x∗∗)<v(x∗∗)<ϵ,ξ1+v(x∗)<u(x∗)+v(x∗)<ϵ,ξ2+v(x∗∗)<u(x∗∗)+v(x∗∗)<ϵ,η1+u(x∗)<v(x∗)+u(x∗)<ϵ,η2+u(x∗∗)<v(x∗∗)+u(x∗∗)<ϵ. 于是对于 ∀t1,t2∈(0,1), 0<A(x∗,x∗∗,u(x∗)+t1ω(x∗),uλ(x∗),u(x∗∗),uλij(x∗),v(x∗),v(x∗∗)+t2φ(x∗∗),v(x∗∗),vλij(x∗∗),ξ1,ξ2,η1,η2)=(Fp(x∗,u(x∗)+t1ω(x∗),uλij(x∗))+∂g∂u(ξ1,v(x∗)))⋅(Gp(x∗∗,v(x∗∗)+t2φ(x∗∗),vλij(x∗∗))+∂f∂v(u(x∗∗),η2))−∂g∂v(uλ(x∗),η1)⋅∂f∂u(ξ2,v(x∗∗)).(2.1) 注意到当−1<λ<−1+δ3时,对任意x∗,x∗∗∈Σω−λ∩Σφ−λ,有 α(λ)δ(λ)−β(λ)γ(λ)=(∫10Fp(x∗,u(x∗)+tω(x∗),uλij(x∗))dt+∂g∂u(ξ1,v(x∗)))⋅(∫10Gp(x∗∗,v(x∗∗)+tφ(x∗∗),vλij(x∗∗))dt+∂f∂v(u(x∗∗),η2))−∂g∂v(uλ(x∗),η1)⋅∂f∂u(ξ2,v(x∗∗))=∫10∫10[(Fp(x∗,u(x∗)+t1ω(x∗),uλij(x∗))+∂g∂u(ξ1,v(x∗)))⋅(Gp(x∗∗,v(x∗∗)+t2φ(x∗∗),vλij(x∗∗))dt+∂f∂v(u(x∗∗),η2))−∂g∂v(uλ(x∗),η1)⋅∂f∂u(ξ2,v(x∗∗))]dt1dt2>0.
定理1.2的证明要用到角点区域的Hopf引理,其证明见文献[3].
引理2.3 (角点区域的Hopf引理,参见文献[10,Lemma A.1]或[3])
设Ω是RN中的区域,原点在其边界上, 并且在原点附近的边界包含两个横向分割的C2超曲面ρ=0, σ=0. 在Ω中有ρ<0,σ<0. 并设u∈C2是微分不等式 Lu=∑i,jaij(x)uij(x)+∑ibi(x)ui(x)+c(x)u(x)≤0 在¯Ω中的正解. 其中aij∈C(¯Ω),L是一致椭圆的. 原点处记μ=aijρiσj√aijρiρj√aijσiσj,则−1<μ<1. 令θ0=arccos(−μ). 如果在原点附近的¯Ω内,u∈Ck,α,k+α>πθ0,则 (∂∂s)ju, j=0,⋯,k 中至少有一个在原点处严格正, 这里s是指向Ω内的任意的一个方向.
本节给出定理1.2及推论1.3的证明.
先对方程组做一些处理. 由条件(ii),F和G关于x1和{u12,⋯,u1N}对称, 可知uλ和vλ同样满足方程组(1.3),即 {F(xλ,uλ,uλij)+g(uλ,vλ)=0, x∈Σλ,G(xλ,uλ,uλij)+f(uλ,vλ)=0, x∈Σλ.(3.1) 方程组(1.3)和(3.1)分别对应相减得 F(xλ,uλ,uλij)−F(x,u,uij)+g(uλ,vλ)−g(u,v)=0,(3.2) G(xλ,vλ,vλij)−G(x,v,vij)+f(uλ,vλ)−f(u,v)=0.(3.3) 利用中值定理处理(3.2)和(3.3)式得到 ∫10Fx1(x1+t(2λ−2x1),y,uλ,uλij)(2λ−2x1)dt+[∫10Fp(x,u+tω,uλij)dt+∂g∂u(ξ1(x,λ),v)]ω+∑i,j∫10Fpij(x,u,uij+tωij)dt⋅ωij=−∂g∂v(uλ,η1(x,λ))φ.(3.4) ∫10Gx1(x1+t(2λ−2x1),y,vλ,vλij)(2λ−2x1)dt+[∫10Gp(x,v+tφ,vλij)dt+∂f∂v(u,η2(x,λ))]φ+∑i,j∫10Gpij(x,v,vij+tφij)dt⋅φij=−∂f∂u(ξ2(x,λ),vλ)ω,(3.5) 其中, ξi(x,λ)∈(min{u(x),uλ(x)},max{u(x),uλ(x)}), ηi(x,λ)∈(min{v(x),vλ(x)},max{v(x),vλ(x)}), i=1,2; Fpij(x,u,uij+tωij)=Fpij(x,u,u11,⋯,uij−1,uij+tωij,uλij+1,⋯,uλNN), Gpij(x,v,vij+tφij)=Fpij(x,v,v11,⋯,vij−1,vij+tφij,vλij+1,⋯,vλNN), i=1,2,⋯,N, j=i,i+1,⋯,N−1; FpiN(x,u,uiN+tωiN)=FpiN(x,u,u11,⋯,uiN−1,uiN+tωiN,uλi+1i+1,⋯,uλNN), GpiN(x,v,viN+tφiN)=GpiN(x,v,v11,⋯,viN−1,viN+tφiN,vλi+1i+1,⋯,vλNN), i=1,2,⋯,N.
定理1.2的证明分四步.
第一步 证明存在−1<λ∗≤0, 使得当−1<λ<λ∗≤0时, ω(x,λ)≥0,φ(x,λ)≥0,∀x∈Σλ.
用反证法证明. 假设上述不等式不成立,则对于每一个λ∈(−1,0), 都存在点xλ∈Σλ,使得 ω(xλ,λ)<0或φ(xλ,λ)<0. 不妨设ω(xλ,λ)<0. 由于所考虑的函数u在区域S的边界上等于0,在区域S的内部严格大于零, 因此当x∈∂Σλ时, ω(x,λ)≥0. 所以,ω(x,λ)在Σλ的内部能够取得负的最小值. 记 ω(x0,λ)=minx∈¯Σλω(x,λ)<0, x0=(x10,x20,⋯xN0), 则有 ∇xω(x0,λ)=0, {ωij(x0,λ)}≥0.
根据引理2.1,引理2.2, 取δ=min{δ1,δ2,δ3,12},当 −1<λ<−1+δ时,有 α(λ):=∫10Fp(x0,u(x0)+tω(x0),uλij(x0))dt+∂g∂u(ξ1(x0,λ),v(x0))<0. 根据条件(ii),则有∫10Fx1(x10+t(2λ−x10),x20,⋯xN0,u+tω(x0),⋯)dt⋅(2λ−2x10)≥0. 根据F的一致椭圆性知 ∑i,j∫10Fpij(x,u,u11,⋯,uij−1,uij+tωij,uλij+1,⋯,uλNN)dt⋅ωij(x0)≥0. 于是由(3.4)式得 [∫10Fp(x,u(x0)+tω(x0),uλij)dt+∂g∂u(ξ1(x0,λ),v(x0))]ω(x0)≤−∂g∂v(uλ(x0),η1(x0,λ))φ(x0).(3.6) 注意到上式左端严格大于零(见引理2.1),又由条件(iii)知, - \frac{{\partial g}}{{\partial v}}\left( {{u^\lambda }\left( {{x_0}} \right),{\eta _1}\left( {{x_0},\lambda } \right)} \right) < 0, 得\varphi(x_0,\lambda)<0. 同样由于\varphi(x)\geq 0,x\in \partial \Sigma_\lambda,于是 \varphi(x)在\Sigma_\lambda内部取到负的最小值,即存在x_1\in\Sigma_\lambda, 使得 \varphi \left( {{x_1}} \right) = \mathop {\min }\limits_{x \in \overline{\Sigma _\lambda }} \varphi \left( x \right) < 0.
由引理2.1知 \delta \left( \lambda \right) := \int_0^1 {{G_p}\left( {{x_1},v(x_1) + t{\varphi(x_1) },v_{ij}^\lambda \left( {{x_1}} \right)} \right){\rm d}t + \frac{{\partial f}}{{\partial v}}\left( {u\left( {{x_1}} \right),{\eta _2}\left( {{x_1},\lambda } \right)} \right)} < 0. 且有 \begin{eqnarray} \label{jinhu10} \nonumber&&\left[{\int_0^1 {{G_p}\left( {{x_1},v(x_1) + t{\varphi(x_1)},v_{ij}^\lambda \left( {{x_1}} \right)} \right){\rm d}t + \frac{{\partial f}}{{\partial v}}\left( {u\left( {{x_1}} \right),{\eta _2}\left( {{x_1},\lambda } \right)} \right)} } \right]\varphi \left( {{x_1}} \right)\\ &\le&-\frac{{\partial f}}{{\partial u}}\left( {{\xi _2}\left( {{x_1},\lambda } \right),{v^\lambda }\left( {{x_1}} \right)} \right)\omega \left( {{x_1}} \right).(3.7) \end{eqnarray} 并且有\omega(x_1)<0.
记 \beta \left( \lambda \right) = \frac{{\partial g}}{{\partial v}}\left( {{u^\lambda }\left( {{x_0}} \right),{\eta _1}\left( {{x_0},\lambda } \right)} \right) >0,\ \gamma \left( \lambda \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial u}}\left( {{\xi _2}\left( {{x_1},\lambda } \right),{v^\lambda }\left( {{x_1}} \right)} \right)> 0.
改写(3.6)和(3.7)式我们得到 \begin{eqnarray} \nonumber \omega\left( {{x_0}} \right) &\ge& -\frac{{\beta \left( \lambda \right)}}{{\alpha \left( \lambda \right)}}\varphi \left( {{x_0}} \right) \ge -\frac{{\beta \left( \lambda \right)}}{{\alpha \left( \lambda \right)}}\varphi \left( {{x_1}} \right)\\ \nonumber &\ge& \frac{{\beta \left( \lambda \right)\gamma \left( \lambda \right)}}{{\alpha \left( \lambda \right)\delta \left( \lambda \right)}}\omega \left( {{x_1}} \right) \ge \frac{{\beta \left( \lambda \right)\gamma \left( \lambda \right)}}{{\alpha \left( \lambda \right)\delta \left( \lambda \right)}}\omega \left( {{x_0}} \right), \end{eqnarray} 于是得 \begin{eqnarray} \label{jinhu11} \alpha \left( \lambda \right)\delta \left( \lambda \right) - \beta \left( \lambda \right)\gamma \left( \lambda \right) \le 0.(3.8) \end{eqnarray}
另一方面,由于此时x_0,x_1\in \Sigma_{\lambda}^{\omega^-}\cap \Sigma_{\lambda}^{\varphi^-},利用引理2.2知 \alpha \left( \lambda \right)\delta \left( \lambda \right) - \beta \left( \lambda \right)\gamma \left( \lambda \right)>0. 这与(3.8)式矛盾. 因此假设错误.
故存在 \lambda^*\in (-1,0],使得\lambda\in (-1,\lambda^*]时,有 \begin{eqnarray} \label{jinhu13} \omega(x,\lambda) \geq0,\ \varphi(x,\lambda)\geq0,~~\forall x \in {\Sigma _\lambda }(3.9) \end{eqnarray} 均成立 (第一步完成).
第二步 连续地增加\lambda的值, 只要不等式(3.9)成立, 就继续向右移动平面T_\lambda. 我们要证明如此移动下去, 平面T_\lambda不会在触到原点之前停下来. 更为具体地说,令 \bar \mu = \sup \{ {\mu| {\omega ( {x,\lambda } ) \ge 0,~\varphi ( {x,\lambda } ) \ge 0,~ \forall x \in {\Sigma _\lambda }},~ \forall \lambda\leq \mu}\} , 则必有\overline{\mu}\geq0.
用反证法证明. 假设\overline{\mu}<0. 由\overline{\mu}的定义知, 当\lambda<\overline{\mu}时,有 \omega(x,\lambda) \geq0 和 \varphi(x,\lambda)\geq0,x\in{\Sigma _{ \lambda }} . 由于所考虑的函数对于\lambda 都是连续的, 并且根据条件(iii)和(3.9)式,对于所有的 x \in {\Sigma _{\bar \mu }} ,有 \begin{eqnarray} \label{jinhu14} \nonumber & & \int_0^1F_{x_1} \left(x_1+t\left(2\bar\mu-2x_1 \right),y,u^{\lambda},u_{ij}^\lambda \right){\rm d}t\cdot \left(2\bar\mu-2x_1\right)\\ \nonumber &&+ \sum\limits_{i,j}\int_0^1 F_{p_{ij}} \left(x,u,u_{ij}+t\omega_{ij}\left(x,\bar\mu\right)\right){\rm d}t\cdot \omega _{ij}\left(x,\bar \mu\right)\\ \nonumber&&+ \left[\int_0^1 F_p\left(x,u+t\omega\left(x,\bar\mu\right),u_{ij}^\lambda \right){\rm d}t+\frac{\partial g}{\partial u}\left(\xi _1\left(x,\bar\mu\right),v\right)\right]\omega\left(x,\bar\mu\right)\\ &=& -\frac{{\partial g}}{{\partial v}}\left( {{u^{\bar \mu }},{\eta _1}\left( {x,\bar \mu } \right)} \right)\varphi \left( {x,\bar \mu } \right)\le 0,(3.10)(3.10) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{jinhu15} \nonumber&&\int_0^1 {{G_{{x_1}}}} \left( {{x_1} + t\left( {2\bar \mu - 2{x_1}} \right)},y,v^\lambda,v_{ij}^\lambda \right){\rm d}t\cdot \left( {2\bar \mu - 2{x_1}} \right)\\ \nonumber&&+ \sum\limits_{i,j} {\int_0^1 {{G_{{p_{ij}}}}} } \left(x,v,{{v_{ij}} + t{\varphi _{ij}}\left( {x,\bar \mu } \right)} \right){\rm d}t\cdot {\varphi _{ij}}\left( {x,\bar \mu } \right) \\ \nonumber&&+ \left[{\int_0^1 {{G_p}\left(x,{v + t\varphi \left( {x,\bar \mu }\right)},v_{ij}^\lambda \right){\rm d}t + \frac{{\partial f}}{{\partial v}}\left( {u,{\eta _2}\left( {x,\bar \mu } \right)} \right)} } \right]\varphi \left( {x,\bar \mu } \right) \\ &= & - \frac{{\partial f}}{{\partial u}}\left( {{\xi _2}\left( {x,\bar \mu } \right),{v^{\bar \mu }}} \right)\omega \left( {x,\bar \mu } \right)\le 0.(3.11) \end{eqnarray}
根据条件(ii)和\overline{\mu}\geq x_1, (3.10)和(3.11)式的第一项非负,于是对于所有的 x \in {\Sigma _{\bar \mu }} ,有 \begin{eqnarray} \label{jinhu16} \nonumber& &- \sum\limits_{i,j}\int_0^1 F_{p_{ij}} \left(x,u,u_{ij}+t\omega_{ij}\left(x,\bar\mu\right)\right){\rm d}t\cdot \omega _{ij}\left(x,\bar \mu\right)\\ & & -\left[\int_0^1 F_p\left(x,u+t\omega\left(x,\bar\mu\right),u_{ij}^\lambda \right){\rm d}t+\frac{\partial g}{\partial u}\left(\xi _1\left(x,\bar\mu\right),v\right)\right]\omega\left(x,\bar\mu\right)\geq 0,(3.13) \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \label{jinhu17} \nonumber &&- \sum\limits_{i,j} {\int_0^1 {{G_{{p_{ij}}}}} } \left(x,v,{{v_{ij}} + t{\varphi _{ij}}\left( {x,\bar \mu } \right)} \right){\rm d}t\cdot {\varphi _{ij}}\left( {x,\bar \mu } \right) \\ \nonumber& & -\left[{\int_0^1 {{G_p}\left(x,{v + t\varphi \left( {x,\bar \mu }\right)},v_{ij}^\lambda \right){\rm d}t + \frac{{\partial f}}{{\partial v}}\left( {u,{\eta _2}\left( {x,\bar \mu } \right)} \right)} } \right]\varphi \left( {x,\bar \mu } \right)\geq 0.(3.12) \end{eqnarray}
需要注意的是,\omega(x,\overline{\mu})\equiv0是不成立的. 假设\omega(x,\overline{\mu})\equiv0,取边界上的点u(-1,y)=0, 又\overline{\mu}<0, 则对称点(2\overline{\mu}+1,y)在S内部且u(2\overline{\mu}+1,y)=0. 这和u是正解矛盾.
因为\overline{\mu}<0 是使(3.9)式成立的最大区间的右端点,所以对任意满足\lambda^k<0,{\lambda ^k} \searrow \bar \mu的单调减序列\{\lambda_k\},存在 {x^k} \in \overline{\Sigma _{\lambda ^k}},使得\omega \left( {{x^k},\ {\lambda ^k}} \right) < 0. 由于 {x_k} \in S(有界区域),必存在收敛子列,不妨设x^k即为收敛子列, 并且就是函数\omega(x,\lambda^k)在区域\overline{\Sigma _{\lambda ^k}}中的最小值点, 即 \begin{equation} \label{jinhu18} \left\{ \begin{array}{l} \omega (x^k,\lambda^k) = \min \limits_{x \in \overline{\Sigma _{\lambda ^k}}} \omega(x,\lambda^k)< 0,\\ {x^k} \to \bar x = (\bar{x}_1,\bar{x}_2,\cdots,\bar{x}_N) \in \bar \Sigma_{\bar\mu},\;k \to \infty . \end{array} \right.(3.13) \end{equation}
由于x^k是函数\omega(x,\lambda^k)在区域 {\bar \Sigma _{{\lambda ^k}}}内部的最小值点,因此有{\nabla _x}\omega \left( {{x^k},{\lambda ^k}} \right) = 0,\ \left\{ {{\omega _{ij}}\left( {{x^k},{\lambda ^k}} \right)} \right\} \ge 0. 取k\rightarrow\infty极限,则得 \begin{eqnarray} \label{jinhu19} \omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right) \le 0,\ {\nabla _x}\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right) = 0,\ \left\{ {{\omega _{ij}}\left( {\bar x,\bar \mu } \right)} \right\} \ge 0.(3.14) \end{eqnarray}
又由连续性可知,\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)\geq0. 于是\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)=0.
则\overline{x}的位置有三种情况: (a) 位于{\Sigma _{\bar \mu }}的内部; (b) \overline{x}属于T_{\overline{\mu}}或{\bar \Sigma _{\bar \mu }} \cap \partial S; (c) \bar x \in {T_{\bar \mu }} \cap \partial S. 以下对这三种情况分别讨论.
(a)~ \overline{x}位于{\Sigma _{\bar \mu }}的内部
对于{\Sigma _{\bar \mu }}的内部的任意一点a, 可以选择一个边界光滑的区域A (\overline{A} 包含于{\Sigma _{\bar \mu }}的内部),使得a和\overline{x}都位于A的内部. 在A上应用强极值原理(原定理条件在边界上函数等于0,此处在\partial A上,\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)\geq0,定理仍能够成立),得到在A上\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)\equiv0. \omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)在a点处等于0,由a的任意性得,在{\Sigma _{\bar \mu }}的内部\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)\equiv0. 由于边界条件u(x)=0,{\Sigma _{\bar \mu }}的内部u(x)>0, 所以在\partial {\Sigma _{\bar \mu }}上\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)>0. 由函数的连续性可得出矛盾.
(b)~ \overline{x}属于T_{\overline{\mu}}或{\bar \Sigma _{\bar \mu }} \cap \partial S
取r>0充分小,可使某一个以\overline{x}为边界点的球{B_r} \subset {\Sigma _{\bar \mu }}. 因为 \omega \left( {x,\bar \mu } \right) > 0,\ \forall x \in {B_r}\left( {\bar x} \right),\ \omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right) = 0,应用经典的Hopf引理知 \frac{{\partial\omega }}{{\partial n}}\left( {\bar x,\bar \mu } \right)\ne 0, 所以{\nabla _x}\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right)\ne 0, 与(3.14)式矛盾.
(c)~ \bar x \in {T_{\bar \mu }} \cap \partial S.
将\omega \left( {\bar x,\bar \mu } \right) = 0代入(3.12)式得 \begin{eqnarray} \int_0^1 \sum\limits_{i,j} F_{p_{ij}} \left(\bar x,u,u_{ij}+t\omega_{ij}\left(\bar x,\bar\mu\right)\right)\cdot \omega _{ij}\left(\bar x,\bar \mu\right){\rm d}t \le 0.(3.15) \end{eqnarray} 由F满足一致椭圆条件,则有 \int_0^1 \sum\limits_{i,j} F_{p_{ij}} \left(\bar x,u,u_{ij}+t\omega_{ij}\left(\bar x,\bar\mu\right)\right)\cdot \omega _{ij}\left(\bar x,\bar \mu\right){\rm d}t \ge 0. 因此有 \begin{equation} \label{jinhu20} \int_0^1 \sum\limits_{i,j} F_{p_{ij}} \left(\bar x,u,u_{ij}+t\omega_{ij}\left(\bar x,\bar\mu\right)\right)\cdot \omega _{ij}\left(\bar x,\bar \mu\right){\rm d}t = 0.(3.16) \end{equation} 由于\{F_{p_{ij}}\}是对称正定矩阵, \{\omega_{ij}(\bar x,\overline{\mu})\}是对称半正定矩阵, 则当且仅当\{\omega_{ij}(\bar x,\overline{\mu})\}=0时(3.16)式成立, 即\omega_{ij}(\bar x,\overline{\mu})=0, i,j=1,2,\cdots,N.
下面我们在\overline{x}处运用角点区域的Hopf引理(见引理2.3). 在\overline{x}处,\partial \Sigma_{\overline{\mu}} 包含两个横向相交的C^2的超曲面\rho=0,\rho=x_1-\bar\mu和\sigma=0,\sigma=x_2^2+\cdots+x_N^2-1. 记 a_{ij}\left( \bar x,\bar \mu \right) = \int_{0}^1F_{p_{ij}} \left(\bar x,u,u_{ij}+t\omega_{ij}\left(\bar x,\bar\mu\right)\right){\rm d}t. 下面我们证明\sum\limits_{i,j=1}^Na_{ij}(\overline{x},\overline{\mu})\rho_i(\overline{x})\sigma_j(\overline{x})=0. 即 \sum_{j=2}^Na_{1j}(\overline{x},\overline{\mu}) x_j=0.
由条件(ii),如果{u_{12}} = \cdots = {u_{1N}} = 0, 则{F_{{p_{1j}}}}\left( {x,u,{u_{ij}}} \right) = 0,j = 2,\cdots ,N. 注意到,由于\omega_{ij}(\bar x,\bar \mu)=0, a_{ij}\left( \bar x,\bar \mu \right) = \int_{0}^1F_{p_{ij}} \left(\bar x,u,u_{ij}\right){\rm d}t=F_{p_{ij}} \left(\bar x,u,u_{ij}\right). 因此, 我们只需验证{u_{1j}}\left( {\bar x} \right) = u_{1j}^\lambda \left( {\bar x,\bar \mu } \right) = 0,\ j=2,\cdots,N.
由于\overline{x}\in T_{\overline{\mu}},所以{u_{1j }}\left( {\bar x} \right) = - u_{1j }^\lambda \left( {\bar x,\bar \mu } \right) = - \frac{1}{2}{\omega _{1j }}\left( {\left( {\bar x,\bar \mu } \right)} \right) = 0,\ j = 2,3,\cdots N. 所以在\overline{x}处 \sum\limits_{i,j=1}^Na_{ij}(\overline{x},\overline{\mu})\rho_i(\overline{x})\sigma_j(\overline{x})=0.
由于u是C^2的,引理2.3中\theta_0=\frac{\pi}{2}, 则可得对于任意指向S内部的方向s,\frac{\partial }{{\partial s}}\omega \ne 0或者{\left( {\frac{\partial }{{\partial s}}} \right)^2}\omega \ne 0. 取s = -\frac{1}{\sqrt{2}}(1,x_2,\cdots,x_N).
利用(3.14)式和\omega_{ij}(\bar{x},\bar{\mu})=0,直接计算可知,在\bar{x}处有 \frac{\partial \omega}{\partial s}(\bar{x})=-\frac{1}{\sqrt{2}}(\omega_1+x_2\omega_2+\cdots+x_N\omega_N)|_{\bar{x}}=0; \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 \omega}{\partial s^2}(\bar{x})&=& \frac{1}{2}(\omega_{11}+\omega_{12}\bar x_2+\cdots+\omega_{1N}\bar x_N +\omega_{12}\bar x_2+\omega_{2}\bar x_2+\omega_{22}\bar x_2^2+\cdots+\omega_{2N}\bar x_2\bar x_N\\ & & +\cdots+\omega_{1N}\bar x_N+\omega_{2N}\bar x_2\bar x_N+\cdots+\omega_{NN}\bar x_N^2+\omega_N\bar x_N)|_{\bar{x}}\\ &=& 0. \end{eqnarray*} 而此与引理2.3矛盾.
综上所述,假设错误. 由此得\overline{\mu}=0.
并且由\overline{\mu}的定义知u(x_1,y)\leq u(-x_1,y),\ v(x_1,y)\leq v(-x_1,y),\ x_1<0. (第二步完成).
第三步 我们可以从右侧开始移动平面,由于F和G在x_1方向上是对称的, 能够同样推出\overline{\mu}=0. 于是得u(x_1,y)\geq u(-x_1,y),\ v(x_1,y)\geq v(-x_1,y),\ x_1<0.
所以对于(x_1,y)\in S,\ -1<x_1<0, u(x_1,y)=u(-x_1,y),\ v(x_1,y)=v(-x_1,y). (第三步完成).
第四步 证明单调性. 由以上证明过程知,当\lambda<0时, \omega(x,\lambda)\geq 0和\varphi(x,\lambda)\geq 0. 又由于\omega(x,\lambda)>0,x_1=-1,\omega(x,\lambda)不恒等于0. 利用Hopf引理,在T_\lambda去掉\partial S的边界处, \frac{{\partial \omega \left( {x,\lambda } \right)}}{{\partial {x_1}}} < 0, 又 \frac{{\partial \omega \left( {x,\lambda } \right)}}{{\partial {x_1}}} = - 2{u_1}\left( {{x_1},y} \right). 所以, 当x_1<0,y\in \Omega时,有u_1(x_1,y)>0,v_1(x_1,y)>0 (第四步完成). 定理1.2证毕.
下面证明推论1.3.
证 注意到由于u,v为严格凹解,则D^2u,D^2v为严格负定矩阵. 因此对于二维情形下-\det(D^2u)和-\det(D^2v)满足椭圆型条件 (1.4). 不难验证满足推论1.3条件的方程组(1.5) 满足定理1.2的所有条件, 直接应用定理1.2即可.