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  数学物理学报  2015, Vol. 35 Issue (2): 306-311   PDF (286 KB)    
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马磊
曾春娜
关于Wulff流情形下的等周不等式的注记
马磊1, 曾春娜2    
1. 广东石油化工学院高州师范学院 广东高州 525200;
2. 重庆师范大学数学学院 重庆 400047
摘要:该文主要研究平面上 Wulff 流情形下的等周不等式. 利用凸域的某些量在 Wulff 流情形下的变化规律(单调性、不变性), 得到了Wulff-Gage 等周不等式与曲率的 Wulff-熵不等式的新的简单证明; 进一步地, 得到了一个新的 Wulff 流情形下的不等式.
关键词Wulff 曲率     Wulff-Gage 等周不等式     曲率的 Wulff-熵不等式     凸域    
Remark on Isoperimetric Inequalities in the Wullf Case
Ma Lei1, Zeng Chunna2    
1. Gaozhou Normal College, Guangdong University of Petrochemical Technology, Guangdong Gaozhou 525200;
2. College of Mathematics Science, Chongqing Normal University, Chongqing 400047
Abstract: In this paper we investigate some isoperimetric inequalities in the Wulff case. Via certain quantity of convex domains variation (monotonicity, invariance) in the Wulff case, we give a simplified proof of Wulff-Gage isoperimetric inequality and the Wulff-entropy inequality for curvature. Finally, we obtain a new inequality in the Wulff case.
Key words: Wulff curvature     Wulff-Gage isoperimetric inequality     Wulff-entropy inequality for curvature     Convex domains    
1 引言

平面上给定一个凸区域 K ,单位速度外法向流 (unit-speed outward normal flow) 有着 广泛的研究,它在许多实际问题中都有应用$^{[1]},(combustion).K沿,\gamma(\theta),Wulff.,.,,K$ 收敛于一个圆盘; 在后一种情形下, 收敛于某个 Wulff shape.

1980's 前后,Gage 在研究闭凸曲线在单位速度外法向流下的 演化问题时得到如下不等式(参见文献 [2]).

(Gage 等周不等式)\ 欧氏平面 R2上一个凸区域 K 的面积 A,周长 L 满足不等式

Kκ2dsπLA, (1.1)
其中,κK 的边界曲线 K 的曲率, 等号成立当且仅当 K 为圆.

在20世纪末,Green-Osher 推广了Gage 的工作并到了一 系列新的结果(参见文献 [3]). 比如

Kκ2WγdsAWLγAK,  (Wulff-Gage 不等式), (1.2)
Kκ3WγdsAWL2γ2A2WAKA2K, (1.3)
KκWln(κW)γds+AWln(AKAW)0,  (曲率的 Wulff 熵不等式). (1.4)

这些不等式本身是非常迷人的. 令我们惊奇的是, 这些不等式还存在着内在联系(递推关系). 本文主要研究平面上 Wulff 流情形下的等周不等式. 利用凸域的某些量在 Wulff 流情形下的变化规律(单调性、不变性), 得到了 Wulff 流情形下的一些等周不等式的内在关系,证明了 Wulff-Gage 等周不等式与曲率的 Wulff -熵不等式; 进一步地, 我们得到了一个新 的 Wulff 流情形下的等周不等式(定理3.5).

2 预备知识

C为欧氏平面 R2 中闭的凸曲线,其曲率为 κ,周长为 L,所围面积为 A. 若 记 h=h(θ)C 的支持函数(h(θ)是以 2π 为周期的周期函数), 则(参见文献 [5, 6, 8])

κ=1h+h, (2.1)
L=2π0hdθ=2π0(h+h)dθ, (2.2)
A=122π0(h2h2)dθ=122π0h(h+h)dθ. (2.3)

定义 2.1 若欧氏平面 R2 上简单闭曲线的曲率 κ 处处大于 0,则称此曲线为卵形线.

定义2.2W 为平面上一有界凸域, 且其支持函数为 γ. 则在以γ(n) 为速度的(外)法向流下,有界 凸域 K 在时刻 t0 时的像为 K+tW. 这种流称为 K 关于 W 的 Wulff 流.

K,W 分别为平面上的有界凸域,其面积分别记为 AK, AW 支持函数分别记为 p,γ 则定义 K 相对于 W 的 Wulff 长度为

Lγ=Kγds, (2.4)
Wulff 曲率定义为
κW=γ+γp+p, (2.5)
它的倒数定义为 Wulff 曲率半径,即
ρW=p+pγ+γ. (2.6)
下面分别用 Lγ,t,AK,t ,κW,t 分别表示 K+tW关于 W 的 Wulff 的周长、面积及 Wulff 曲率,则
Lγ,t=(K+tW)γds=2π0γ(p+p+t(γ+γ))dθ=Lγ+2AWt, (2.7)
AK,t=122π0(p+tγ)(p+p+t(γ+γ))dθ=AK+Lγt+AWt2. (2.8)
1κW,t=1κW+t,    κW,t=κW1+κWt. (2.9)

根据以上的定义及 (2.7),(2.8) 与 (2.9) 式我们可得如下性质.

性质 2.1

dLγ,tdt=2AW,  dAK,tdt=Lγ,t,  dκW,tdt=κ2W,t. (2.10)

性质 2.2

L2γ4AWAK=L2γ,t4AWAK,t. (2.11)
3 Wulff 流情形下的等周不等式

在本节中,我们将用到一些关于平面有界凸集的经典结果, 它们散见于各种文献(参见文献[3, 6, 7, 8, 9]). 但是我们将从一个新的角度来表述它们,比如 Wulff 等周不等式 (平面上 Brunn-Minkowski不等式的一种新的表示方法)表示为 L2γ4AWAK0. 对平面有界凸域 K, W,Wulff -等周亏格可定义为 Δ(K,W)=L2γ4AWAK 且由性质 2.2 可知 Wulff -等周亏格在 Wulff 流下是不变的.

下面的引理属于 Green-Osher (参见文献 [3, 9]), 对证明主要结论起着重要作用.

引理3.1 (Green-Osher) 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW ,则有如下不等式成立.

Kκ3WγdsAWL2γ2A2WAKA2K. (3.1)

定理3.2 (Wulff-Gage 等周不等式) 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW ,则有如下不等式成立.

Kκ2WγdsAWLγAK. (3.2)

F(t)=(K+tW)κ2W,tγdsAWLγ,tAK,t. 由(2.7),(2.8)式、 性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11) 式以及引理3.1, 可知下式成立 dFdt=ddt((K+tW)κ2W,tγdsAWLγ,tAK,t)=ddt(2π0κW,tγ(γ+γ)dθAWLγ,tAK,t)=2π0κ2W,tγ(γ+γ)dθ+AWL2γ,t2A2WAK,tA2K,t=(K+tW)κ3W,tγds+AWL2γ,t2A2WAK,tA2K,t0. 又因为 limt+F(t)=limt+((K+tW)κ2W,tγdsAWLγ,tAK,t)=limt+(2π0κW,tγ(γ+γ)dθAWLγ,tAK,t)=limt+2π0κWγ(γ+γ)1+κWtdθlimt+AWLγ+2A2WtAK+Lγt+AWt2=00=0. 因此,对于任意的 t0,都有 F(t)0.

特别地, F(0)=Kκ2WγdsAWLγA(K)0. 故定理得证.

注记1W 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 γ=1,可得著名的Gage 等周不等式(参见文献 [2, 3, 4, 9]). Kκ2dsπLA.

定理3.3 (曲率的 Wulff 熵不等式) 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW ,则有如下不等式成立,

KκWln(κW)γds+AWln(AKAW)0. (3.3)

G(t)=(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+AWln(AK,tAW). 由(2.7),(2.8)式、性质2.1、2.2中的(2.10)、(2.11)式以及定理3.2, 可知下式成立, dGdt=ddt[(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+AWln(AK,tAW)]=ddt[2π0γ(γ+γ)ln(κW,t)dθ+AWln(AK,tAW)]=2π0κW,tγ(γ+γ)dθ+AWLγ,tAK,t)=(K+tW)κ2W,tγds+AWLγ,tAK,t 又因为 limt+G(t)=limt+[(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+AWln(AK,tAW)]=limt+[2π0γ(γ+γ)ln(κW,t)dθ+AWln(AK,tAW)]=limt+2π0γ(γ+γ)ln(κW1+tκWAK+Lγt+AWt2AW)dθ=0. 因此,对于任意的 t0,都有 G(t)0. 特别地, G(0)0.

注记2W 取中心在原点的单位圆盘时,则其支持函数 γ=1,可得曲率的熵不等式(参见文献 [3]) Kκln(κ)ds+πln(Aπ)0.

由定理3.3与 Wulff 等周不等式 L2γ4AWAK0 (参见文献 [7]),我们立即可得到

推论3.4K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW,则有如下不等式成立.

KκWln(κW)γds+2AWln(Lγ2AW)0. (3.4)

根据推论3.4,我们可得到如下定理.

定理3.5K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW,则有如下不等式成立.

Kln(κW)γds+Lγln(Lγ2AW)0. (3.5)

H(t)=(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW). 由(2.7),(2.8)式、 性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11)式以及推论3.4, 可知下式成立, dHdt=ddt[(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW)]=ddt[(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW)]=(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+2AWln(Lγ,t2AW) 由于 κW,t2AWLγ,t=κW1+κWt2AWLγ+2AWt=κWLγ2AW(1+κWt)(Lγ+2AWt), 则当 t+ 时, κW,t2AWLγ,t0κW,t2AWLγ,t.H(t)=(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW)=(K+tW)ln(κW,tLγ,t2AW)γds 于是 limt+H(t)=0. 因此,对于任意的 t0,都有 H(t)0. 特别地, H(0)0.

注记3W 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 γ=1,可得如下曲率积分不等式(参见文献[10]) Kln(κ)ds+Lln(L2π)0.

参考文献
[1] Osher S, Merriman B. The Wulff shape as the asymptotic limit of a growing crystalline interface. Asian J of Math, 1997, 1: 560-571.
[2] Gage M. An isoperimetric inequality with applications to curve shortening. Duke Math J, 1983, 50: 1225-1229.
[3] Green M, Osher S. Steiner polynomials, Wulff flows, and some new isoperimetric inequalities for conver plane curves. Asian J Math, 1999, 3(3): 659-676.
[4] 潘生亮, 唐学远, 汪小玉. Gage等周不等式的加强形式. 数学年刊, 2008, 29A(3): 301-306.
[5] 任德麟. 积分几何引论. 上海: 上海科学技术出版社, 1988.
[6] Santaló L. Integral Geometry and Geometric Probability. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
[7] Schneider R. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
[8] 周家足, 任德麟. 从积分几何的观点看几何不等式. 数学物理学报, 2010, 30A(5): 1322-1339.
[9] 唐学远. Wulff流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式. 上海: 华东师范大学, 2005.
[10] 马磊, 曾春娜. 关于曲率积分不等式的注记. 数学杂志, 2014, 34(5): 925-930.
关于Wulff流情形下的等周不等式的注记
马磊, 曾春娜