平面上给定一个凸区域 K ,单位速度外法向流 (unit-speed outward normal flow) 有着 广泛的研究,它在许多实际问题中都有应用$^{[1]},例如燃烧(combustion).如果K的沿着外法向的演化速度不是单位的,而是单位法向上一个一般的函数\gamma(\theta),那么就得到Wulff流.它也是很有意义的,例如对晶体生长的研究.我们可用一个简单的形式来刻画这些流,第一种流下,区域K$ 收敛于一个圆盘; 在后一种情形下, 收敛于某个 Wulff shape.
1980's 前后,Gage 在研究闭凸曲线在单位速度外法向流下的 演化问题时得到如下不等式(参见文献 [2]).
(Gage 等周不等式)\ 欧氏平面 R2上一个凸区域 K 的面积 A,周长 L 满足不等式
在20世纪末,Green-Osher 推广了Gage 的工作并到了一 系列新的结果(参见文献 [3]). 比如
这些不等式本身是非常迷人的. 令我们惊奇的是, 这些不等式还存在着内在联系(递推关系). 本文主要研究平面上 Wulff 流情形下的等周不等式. 利用凸域的某些量在 Wulff 流情形下的变化规律(单调性、不变性), 得到了 Wulff 流情形下的一些等周不等式的内在关系,证明了 Wulff-Gage 等周不等式与曲率的 Wulff -熵不等式; 进一步地, 我们得到了一个新 的 Wulff 流情形下的等周不等式(定理3.5).
设 C为欧氏平面 R2 中闭的凸曲线,其曲率为 κ,周长为 L,所围面积为 A. 若 记 h=h(θ)为 C 的支持函数(h(θ)是以 2π 为周期的周期函数), 则(参见文献 [5, 6, 8])
定义 2.1 若欧氏平面 R2 上简单闭曲线的曲率 κ 处处大于 0,则称此曲线为卵形线.
定义2.2 设 W 为平面上一有界凸域, 且其支持函数为 γ. 则在以γ(→n) 为速度的(外)法向流下,有界 凸域 K 在时刻 t≥0 时的像为 K+tW. 这种流称为 K 关于 W 的 Wulff 流.
设 K,W 分别为平面上的有界凸域,其面积分别记为 AK, AW 支持函数分别记为 p,γ 则定义 ∂K 相对于 W 的 Wulff 长度为
根据以上的定义及 (2.7),(2.8) 与 (2.9) 式我们可得如下性质.
性质 2.1
性质 2.2
在本节中,我们将用到一些关于平面有界凸集的经典结果, 它们散见于各种文献(参见文献[3, 6, 7, 8, 9]). 但是我们将从一个新的角度来表述它们,比如 Wulff 等周不等式 (平面上 Brunn-Minkowski不等式的一种新的表示方法)表示为 L2γ−4AWAK≥0. 对平面有界凸域 K, W,Wulff -等周亏格可定义为 Δ(K,W)=L2γ−4AWAK 且由性质 2.2 可知 Wulff -等周亏格在 Wulff 流下是不变的.
下面的引理属于 Green-Osher (参见文献 [3, 9]), 对证明主要结论起着重要作用.
引理3.1 (Green-Osher) 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW ,则有如下不等式成立.
定理3.2 (Wulff-Gage 等周不等式) 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW ,则有如下不等式成立.
证 令F(t)=∫∂(K+tW)κ2W,tγds−AWLγ,tAK,t. 由(2.7),(2.8)式、 性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11) 式以及引理3.1, 可知下式成立 dFdt=ddt(∫∂(K+tW)κ2W,tγds−AWLγ,tAK,t)=ddt(∫2π0κW,tγ(γ+γ″)dθ−AWLγ,tAK,t)=−∫2π0κ2W,tγ(γ+γ″)dθ+AWL2γ,t−2A2WAK,tA2K,t=−∫∂(K+tW)κ3W,tγds+AWL2γ,t−2A2WAK,tA2K,t≤0. 又因为 limt→+∞F(t)=limt→+∞(∫∂(K+tW)κ2W,tγds−AWLγ,tAK,t)=limt→+∞(∫2π0κW,tγ(γ+γ″)dθ−AWLγ,tAK,t)=limt→+∞∫2π0κWγ(γ+γ″)1+κWtdθ−limt→+∞AWLγ+2A2WtAK+Lγt+AWt2=0−0=0. 因此,对于任意的 t≥0,都有 F(t)≥0.
特别地, F(0)=∫∂Kκ2Wγds−AWLγA(K)≥0. 故定理得证.
注记1 当 W 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 γ=1,可得著名的Gage 等周不等式(参见文献 [2, 3, 4, 9]). ∫∂Kκ2ds≥πLA.
定理3.3 (曲率的 Wulff 熵不等式) 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW ,则有如下不等式成立,
证 令G(t)=∫∂(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+AWln(AK,tAW). 由(2.7),(2.8)式、性质2.1、2.2中的(2.10)、(2.11)式以及定理3.2, 可知下式成立, dGdt=ddt[∫∂(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+AWln(AK,tAW)]=ddt[∫2π0γ(γ+γ″)ln(κW,t)dθ+AWln(AK,tAW)]=−∫2π0κW,tγ(γ+γ″)dθ+AWLγ,tAK,t)=−∫∂(K+tW)κ2W,tγds+AWLγ,tAK,t 又因为 limt→+∞G(t)=limt→+∞[∫∂(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+AWln(AK,tAW)]=limt→+∞[∫2π0γ(γ+γ″)ln(κW,t)dθ+AWln(AK,tAW)]=limt→+∞∫2π0γ(γ+γ″)ln(κW1+tκW√AK+Lγt+AWt2AW)dθ=0. 因此,对于任意的 t≥0,都有 G(t)≥0. 特别地, G(0)≥0.
注记2 当 W 取中心在原点的单位圆盘时,则其支持函数 γ=1,可得曲率的熵不等式(参见文献 [3]) ∫∂Kκln(κ)ds+πln(Aπ)≥0.
由定理3.3与 Wulff 等周不等式 L2γ−4AWAK≥0 (参见文献 [7]),我们立即可得到
推论3.4 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW,则有如下不等式成立.
根据推论3.4,我们可得到如下定理.
定理3.5 设 K,W 分别为平面上的有界凸集且 W 是对称的. 它们的支持函数分别是 p,γ K 相对于 W 的 Wulff 曲率为 κW,则有如下不等式成立.
证 令 H(t)=∫∂(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW). 由(2.7),(2.8)式、 性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11)式以及推论3.4, 可知下式成立, dHdt=ddt[∫∂(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW)]=ddt[∫∂(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW)]=∫∂(K+tW)κW,tln(κW,t)γds+2AWln(Lγ,t2AW) 由于 κW,t−2AWLγ,t=κW1+κWt−2AWLγ+2AWt=κWLγ−2AW(1+κWt)(Lγ+2AWt), 则当 t→+∞ 时, κW,t−2AWLγ,t→0 即 κW,t→2AWLγ,t. 且 H(t)=∫∂(K+tW)ln(κW,t)γds+Lγ,tln(Lγ,t2AW)=∫∂(K+tW)ln(κW,tLγ,t2AW)γds 于是 limt→+∞H(t)=0. 因此,对于任意的 t≥0,都有 H(t)≤0. 特别地, H(0)≤0.
注记3 当 W 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 γ=1,可得如下曲率积分不等式(参见文献[10]) ∫∂Kln(κ)ds+Lln(L2π)≤0.