关于Wulff流情形下的等周不等式的注记


扩展功能
	加入收藏夹

	复制引文信息

	加入引用管理器

	Email Alert

	RSS
本文作者相关文章
	马磊

	曾春娜

马磊¹, 曾春娜²

1. 广东石油化工学院高州师范学院广东高州 525200;
2. 重庆师范大学数学学院重庆 400047

收稿日期：2013-10-21；修订日期：2014-12-13

基金项目：国家自然科学基金天元基金(11326073)、重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2014jcyA00019)和广东石油化工学院高州师范学院教育科学十二五规划项目(2013GSKT01)资助

作者简介：马磊,E-mail:maleiyou@163.com;曾春娜,E-mail:zengchn@163.com

摘要：该文主要研究平面上 Wulff 流情形下的等周不等式. 利用凸域的某些量在 Wulff 流情形下的变化规律(单调性、不变性), 得到了Wulff-Gage 等周不等式与曲率的 Wulff-熵不等式的新的简单证明; 进一步地, 得到了一个新的 Wulff 流情形下的不等式.

关键词： Wulff 曲率 Wulff-Gage 等周不等式曲率的 Wulff-熵不等式凸域

Remark on Isoperimetric Inequalities in the Wullf Case

Ma Lei¹, Zeng Chunna²

1. Gaozhou Normal College, Guangdong University of Petrochemical Technology, Guangdong Gaozhou 525200;
2. College of Mathematics Science, Chongqing Normal University, Chongqing 400047

Received: 2013-10-21; Revision: 2014-12-13

Abstract: In this paper we investigate some isoperimetric inequalities in the Wulff case. Via certain quantity of convex domains variation (monotonicity, invariance) in the Wulff case, we give a simplified proof of Wulff-Gage isoperimetric inequality and the Wulff-entropy inequality for curvature. Finally, we obtain a new inequality in the Wulff case.

Key words: Wulff curvature Wulff-Gage isoperimetric inequality Wulff-entropy inequality for curvature Convex domains

1 引言

平面上给定一个凸区域 $K$ ,单位速度外法向流 (unit-speed outward normal flow) 有着广泛的研究,它在许多实际问题中都有应用$^{^[1]}$,例如燃烧(combustion). 如果 $K$ 的沿着外法向的演化速度不是单位的,而是单位法向上一个一般的函数 $\gamma(\theta)$ ,那么就得到 Wulff 流. 它也是很有意义的,例如对晶体生长的研究. 我们可用一个简单的形式来刻画这些流,第一种流下,区域 $K$ 收敛于一个圆盘; 在后一种情形下, 收敛于某个 Wulff shape.

1980's 前后,Gage 在研究闭凸曲线在单位速度外法向流下的演化问题时得到如下不等式(参见文献 ^[2]).

(Gage 等周不等式)\ 欧氏平面 ${\mathbb R}^{2}$上一个凸区域 $K$ 的面积 $A$,周长 $L$ 满足不等式

$$\int_{\partial K}{\kappa}^{2}{\rm d}s\geq \frac{\pi L}{A},$$

(1.1)

其中,$\kappa$为 $K$ 的边界曲线 $\partial K$ 的曲率, 等号成立当且仅当 $\partial K$ 为圆.

在20世纪末,Green-Osher 推广了Gage 的工作并到了一系列新的结果(参见文献 ^[3]). 比如

$$\int_{\partial K}{\kappa}_{W}^{2}\gamma {\rm d}s\geq \frac{A_{W} L_{\gamma}}{A_{K}},\ \ \mbox{(Wulff-Gage 不等式)},$$

(1.2)

$$\int_{\partial K}{\kappa_{W}^{3}}\gamma {\rm d}s\geq \frac{A_{W} L_{\gamma}^{2}-2A_{W}^{2}A_{K}}{A_{K}^{2}},$$

(1.3)

$$\int_{\partial K}\kappa_{W} \ln (\kappa_{W}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K}}{A_{W}}\right)\geq 0,\ \ \mbox{(曲率的 Wulff 熵不等式)}.$$

(1.4)

这些不等式本身是非常迷人的. 令我们惊奇的是, 这些不等式还存在着内在联系(递推关系). 本文主要研究平面上 Wulff 流情形下的等周不等式. 利用凸域的某些量在 Wulff 流情形下的变化规律(单调性、不变性), 得到了 Wulff 流情形下的一些等周不等式的内在关系,证明了 Wulff-Gage 等周不等式与曲率的 Wulff -熵不等式; 进一步地, 我们得到了一个新的 Wulff 流情形下的等周不等式(定理3.5).

2 预备知识

设 $C$为欧氏平面 ${\Bbb R}^{2}$ 中闭的凸曲线,其曲率为 $\kappa$,周长为 $L$,所围面积为 $A$. 若记 $h=h(\theta)$为 $C$ 的支持函数($h(\theta)$是以 $2\pi$ 为周期的周期函数), 则(参见文献 ^{[5, 6, 8]})

$$\kappa=\frac{1}{h+h''} ,$$

(2.1)

$$ L=\int^{2\pi}_{0}h{{\rm d}\theta}=\int^{2\pi}_{0}(h+h''){{\rm d}\theta},$$

(2.2)

$$A=\frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}(h^{2}-h'^{2}){{\rm d}\theta}=\frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}h(h+h''){{\rm d}\theta}.$$

(2.3)

定义 2.1 若欧氏平面 ${\Bbb R}^{2}$ 上简单闭曲线的曲率 $\kappa$ 处处大于 $0$,则称此曲线为卵形线.

定义2.2 设 $W$ 为平面上一有界凸域, 且其支持函数为 $\gamma$. 则在以$\gamma(\overrightarrow{n})$ 为速度的(外)法向流下,有界凸域 $K$ 在时刻 $t\geq0$ 时的像为 $K+tW.$ 这种流称为 $K$ 关于 $W$ 的 Wulff 流.

设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸域,其面积分别记为 $A_{K}$, $A_{W}$ 支持函数分别记为 $p$,$\gamma$ 则定义 $\partial K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 长度为

$$ L_{\gamma}=\int_{\partial K}\gamma{{\rm d}s},$$

(2.4)

Wulff 曲率定义为

$$\kappa_{W}=\frac{\gamma+\gamma''}{p+p''},$$

(2.5)

它的倒数定义为 Wulff 曲率半径,即

$$\rho_{W}=\frac{p+p''}{\gamma+\gamma''}. $$

(2.6)

下面分别用 $L_{\gamma,t}$,${A}_{K,t}$ ,${\kappa}_{W,t}$ 分别表示 $K+tW$关于 $W$ 的 Wulff 的周长、面积及 Wulff 曲率,则

$$L_{\gamma,t}=\int_{\partial(K+tW)}\gamma {\rm d}s =\int^{2\pi}_{0}\gamma(p+p''+t(\gamma+\gamma'')){{\rm d}\theta}=L_{\gamma}+2A_{W}t,$$

(2.7)

$$A_{K,t}=\frac{1}{2}\int^{2\pi}_{0}{(p+t\gamma)(p+p''+t(\gamma+\gamma''))}{\rm d}\theta=A_{K}+L_{\gamma}t+A_{W}t^{2}.$$

(2.8)

$$\frac{1}{{\kappa}_{W,t}}=\frac{1}{\kappa_{W}}+t, \ \ \ \ {\kappa}_{W,t}=\frac{\kappa_{W}}{1+\kappa_{W}t}.$$

(2.9)

根据以上的定义及 (2.7),(2.8) 与 (2.9) 式我们可得如下性质.

性质 2.1

$$\frac{{\rm d}L_{\gamma,t}}{{\rm d}t}=2A_{W},\ \ \frac{{\rm d}A_{K,t}}{{\rm d}t}=L_{\gamma,t},\ \ \frac{{\rm d}{\kappa}_{W,t}}{{\rm d}t}=-{{\kappa}^{2}_{W,t}}.$$

(2.10)

性质 2.2

$$L_{\gamma}^{2}-4A_{W} A_{K}=L_{\gamma,t}^{2}-4A_{W}A_{K,t}.$$

(2.11)

3 Wulff 流情形下的等周不等式

在本节中,我们将用到一些关于平面有界凸集的经典结果, 它们散见于各种文献(参见文献^{[3, 6, 7, 8, 9]}). 但是我们将从一个新的角度来表述它们,比如 Wulff 等周不等式 (平面上 Brunn-Minkowski不等式的一种新的表示方法)表示为 $L_{\gamma}^{2}-4A_{W}{A_{K}}\geq 0$. 对平面有界凸域 $K$, $W$,Wulff -等周亏格可定义为 $\Delta(K,W)=L_{\gamma}^{2}-4A_{W} {A_{K}}$ 且由性质 2.2 可知 Wulff -等周亏格在 Wulff 流下是不变的.

下面的引理属于 Green-Osher (参见文献 ^{[3, 9]}), 对证明主要结论起着重要作用.

引理3.1 (Green-Osher) 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$ ,则有如下不等式成立.

$$\int_{\partial K}{\kappa_{W}^{3}}\gamma {\rm d}s\geq \frac{A_{W} L_{\gamma}^{2}-2A_{W}^{2}A_{K}}{A_{K}^{2}}.$$

(3.1)

定理3.2 (Wulff-Gage 等周不等式) 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$ ,则有如下不等式成立.

$$\int_{\partial K}{\kappa}_{W}^{2}\gamma {\rm d}s\geq \frac{A_{W} L_{\gamma}}{A_{K}}.$$

(3.2)

证令$$F(t)=\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}. $$ 由(2.7),(2.8)式、性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11) 式以及引理3.1, 可知下式成立 \begin{eqnarray*} \label{eq:3} \frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&-\int_{0}^{2\pi}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta+\frac{A_{W} L_{\gamma,t}^{2}-2A_{W}^{2}A_{K,t}}{A_{K,t}^{2}}\\ &=&-\int_{\partial(K+tW)}{\kappa_{W,t}^{3}}\gamma {\rm d}s+ \frac{A_{W} L_{\gamma,t}^{2}-2A_{W}^{2}A_{K,t}}{A_{K,t}^{2}}\leq 0. \end{eqnarray*} 又因为 \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}F(t) &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{{\kappa_{W}}\gamma(\gamma+\gamma'')}{1+{\kappa_{W}}t}{\rm d}\theta-\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{A_{W} L_{\gamma}+2A^{2}_{W} t}{A_{K}+L_{\gamma}t+A_{W} t^{2}}=0-0=0. \end{eqnarray*} 因此,对于任意的 $t\geq 0$,都有 $F(t)\geq 0.$

特别地, $$F(0)=\int_{\partial K}{\kappa^{2}_{W}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma}}{A_{(K)}}\geq0. $$ 故定理得证.

注记1 当 $W$ 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 $\gamma=1$,可得著名的Gage 等周不等式(参见文献 ^{[2, 3, 4, 9]}). $$\int_{\partial K}{\kappa}^{2}{\rm d}s\geq \frac{\pi L}{A}.$$

定理3.3 (曲率的 Wulff 熵不等式) 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$ ,则有如下不等式成立,

$$\int_{\partial K}\kappa_{W} \ln (\kappa_{W}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K}}{A_{W}}\right)\geq 0.$$

(3.3)

证令$$G(t)=\int_{\partial (K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right).$$ 由(2.7),(2.8)式、性质2.1、2.2中的(2.10)、(2.11)式以及定理3.2, 可知下式成立, \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}G}{{\rm d}t} &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\partial (K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{0}^{2\pi} \gamma(\gamma+\gamma'')\ln (\kappa_{W,t}){\rm d}\theta+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&-\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta+\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t)}}\\ &=& -\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s+\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}} \end{eqnarray*} 又因为 \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}G(t) &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{\partial (K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{0}^{2\pi} \gamma(\gamma+\gamma'')\ln (\kappa_{W,t}){\rm d}\theta+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{0}^{2\pi}\gamma(\gamma+\gamma'')\ln\left(\frac{{\kappa_{W}}}{1+t{\kappa_{W}}}\sqrt{\frac{A_{K}+L_{\gamma}t+A_{W} t^{2}}{A_{W}}}\right){\rm d}\theta=0. \end{eqnarray*} 因此,对于任意的 $t\geq 0$,都有 $G(t)\geq 0.$ 特别地, $G(0)\geq 0.$

注记2 当 $W$ 取中心在原点的单位圆盘时,则其支持函数 $\gamma=1$,可得曲率的熵不等式(参见文献 ^[3]) $$\int_{\partial K}\kappa \ln (\kappa){\rm d}s+\pi\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\geq 0.$$

由定理3.3与 Wulff 等周不等式 $L_{\gamma}^{2}-4A_{W}{A_{K}}\geq 0$ (参见文献 ^[7]),我们立即可得到

推论3.4 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$,则有如下不等式成立.

$$\int_{\partial K}\kappa_{W} \ln (\kappa_{W})\gamma {\rm d}s+2A_{W}\ln\left(\frac{L_{\gamma}}{2A_{W}}\right)\geq 0.$$

(3.4)

根据推论3.4,我们可得到如下定理.

定理3.5 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$,则有如下不等式成立.

$$\int_{\partial K}{\ln (\kappa_{W})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma}}\ln\left(\frac{L_{\gamma}}{2A_{W}}\right)\leq0.$$

(3.5)

证令 $$H(t)=\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right).$$ 由(2.7),(2.8)式、性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11)式以及推论3.4, 可知下式成立, \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}H}{{\rm d}t} &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right)\right]\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right)\right]\\ &=&\int_{\partial(K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t})\gamma {\rm d}s+2A_{W}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right) \end{eqnarray*} 由于 \begin{eqnarray*}\kappa_{W,t}-\frac{2A_{W}}{L_{\gamma,t}}=\frac{\kappa_{W}}{1+\kappa_{W}t}-\frac{2A_{W}}{L_{\gamma}+2A_{W}t}=\frac{\kappa_{W}L_{\gamma}-2A_{W}}{(1+\kappa_{W}t)(L_{\gamma}+2A_{W}t)}, \end{eqnarray*} 则当 $t\rightarrow +\infty$ 时, $\kappa_{W,t}-\frac{2A_{W}}{L_{\gamma,t}}\rightarrow 0$ 即 $\kappa_{W,t}\rightarrow \frac{2A_{W}}{L_{\gamma,t}}.$ 且 \begin{eqnarray*} H(t)=\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right) =\int_{\partial(K+tW)}\ln\left(\frac{\kappa_{W,t}L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right)\gamma {\rm d}s \end{eqnarray*} 于是 $ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}H(t) =0.$ 因此,对于任意的 $t\geq 0$,都有 $H(t)\leq 0.$ 特别地, $H(0)\leq 0.$

注记3 当 $W$ 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 $\gamma=1$,可得如下曲率积分不等式(参见文献^[10]) $$\int_{\partial K}{\ln (\kappa)}{\rm d}s+{L}\ln\left(\frac{L}{2\pi}\right)\leq0.$$

参考文献

[1]	Osher S, Merriman B. The Wulff shape as the asymptotic limit of a growing crystalline interface. Asian J of Math, 1997, 1: 560-571.
[2]	Gage M. An isoperimetric inequality with applications to curve shortening. Duke Math J, 1983, 50: 1225-1229.
[3]	Green M, Osher S. Steiner polynomials, Wulff flows, and some new isoperimetric inequalities for conver plane curves. Asian J Math, 1999, 3(3): 659-676.
[4]	潘生亮, 唐学远, 汪小玉. Gage等周不等式的加强形式. 数学年刊, 2008, 29A(3): 301-306.
[5]	任德麟. 积分几何引论. 上海: 上海科学技术出版社, 1988.
[6]	Santaló L. Integral Geometry and Geometric Probability. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
[7]	Schneider R. Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 2014.
[8]	周家足, 任德麟. 从积分几何的观点看几何不等式. 数学物理学报, 2010, 30A(5): 1322-1339.
[9]	唐学远. Wulff流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式. 上海: 华东师范大学, 2005.
[10]	马磊, 曾春娜. 关于曲率积分不等式的注记. 数学杂志, 2014, 34(5): 925-930.