平面上给定一个凸区域 $K$ ,单位速度外法向流 (unit-speed outward normal flow) 有着 广泛的研究,它在许多实际问题中都有应用$^{^[1]}$,例如燃烧(combustion). 如果$K$的沿着外法 向的演化速度不是单位的,而是单位法向上一个一般的函数$\gamma(\theta)$,那么就得到 Wulff 流. 它 也是很有意义的,例如对晶体生长的研究. 我们可用一个简单的形式来 刻画这些流,第一种流下,区域$K$ 收敛于一个圆盘; 在后一种情形下, 收敛于某个 Wulff shape.

1980's 前后,Gage 在研究闭凸曲线在单位速度外法向流下的 演化问题时得到如下不等式(参见文献 ^[2]).

(Gage 等周不等式)\ 欧氏平面 ${\mathbb R}^{2}$上一个凸区域 $K$ 的面积 $A$,周长 $L$ 满足不等式

在20世纪末,Green-Osher 推广了Gage 的工作并到了一 系列新的结果(参见文献 ^[3]). 比如

这些不等式本身是非常迷人的. 令我们惊奇的是, 这些不等式还存在着内在联系(递推关系). 本文主要研究平面上 Wulff 流情形下的等周不等式. 利用凸域的某些量在 Wulff 流情形下的变化规律(单调性、不变性), 得到了 Wulff 流情形下的一些等周不等式的内在关系,证明了 Wulff-Gage 等周不等式与曲率的 Wulff -熵不等式; 进一步地, 我们得到了一个新 的 Wulff 流情形下的等周不等式(定理3.5).

设 $C$为欧氏平面 ${\Bbb R}^{2}$ 中闭的凸曲线,其曲率为 $\kappa$,周长为 $L$,所围面积为 $A$. 若 记 $h=h(\theta)$为 $C$ 的支持函数($h(\theta)$是以 $2\pi$ 为周期的周期函数), 则(参见文献 ^{[5, 6, 8]})

定义 2.1 若欧氏平面 ${\Bbb R}^{2}$ 上简单闭曲线的曲率 $\kappa$ 处处大于 $0$,则称此曲线为卵形线.

定义2.2 设 $W$ 为平面上一有界凸域, 且其支持函数为 $\gamma$. 则在以$\gamma(\overrightarrow{n})$ 为速度的(外)法向流下,有界 凸域 $K$ 在时刻 $t\geq0$ 时的像为 $K+tW.$ 这种流称为 $K$ 关于 $W$ 的 Wulff 流.

设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸域,其面积分别记为 $A_{K}$, $A_{W}$ 支持函数分别记为 $p$,$\gamma$ 则定义 $\partial K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 长度为

根据以上的定义及 (2.7),(2.8) 与 (2.9) 式我们可得如下性质.

性质 2.1

性质 2.2

在本节中,我们将用到一些关于平面有界凸集的经典结果, 它们散见于各种文献(参见文献^{[3, 6, 7, 8, 9]}). 但是我们将从一个新的角度来表述它们,比如 Wulff 等周不等式 (平面上 Brunn-Minkowski不等式的一种新的表示方法)表示为 $L_{\gamma}^{2}-4A_{W}{A_{K}}\geq 0$. 对平面有界凸域 $K$, $W$,Wulff -等周亏格可定义为 $\Delta(K,W)=L_{\gamma}^{2}-4A_{W} {A_{K}}$ 且由性质 2.2 可知 Wulff -等周亏格在 Wulff 流下是不变的.

下面的引理属于 Green-Osher (参见文献 ^{[3, 9]}), 对证明主要结论起着重要作用.

引理3.1 (Green-Osher) 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$ ,则有如下不等式成立.

定理3.2 (Wulff-Gage 等周不等式) 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$ ,则有如下不等式成立.

证 令 $$F(t)=\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}.$$ 由(2.7),(2.8)式、 性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11) 式以及引理3.1, 可知下式成立 $$\begin{eqnarray*} \label{eq:3} \frac{{\rm d}F}{{\rm d}t} &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&-\int_{0}^{2\pi}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta+\frac{A_{W} L_{\gamma,t}^{2}-2A_{W}^{2}A_{K,t}}{A_{K,t}^{2}}\\ &=&-\int_{\partial(K+tW)}{\kappa_{W,t}^{3}}\gamma {\rm d}s+ \frac{A_{W} L_{\gamma,t}^{2}-2A_{W}^{2}A_{K,t}}{A_{K,t}^{2}}\leq 0. \end{eqnarray*}$$ 又因为 $$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}F(t) &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left(\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta -\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}}\right)\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{{\kappa_{W}}\gamma(\gamma+\gamma'')}{1+{\kappa_{W}}t}{\rm d}\theta-\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{A_{W} L_{\gamma}+2A^{2}_{W} t}{A_{K}+L_{\gamma}t+A_{W} t^{2}}=0-0=0. \end{eqnarray*}$$ 因此,对于任意的 $t\geq 0$,都有 $F(t)\geq 0.$

特别地, $$F(0)=\int_{\partial K}{\kappa^{2}_{W}}\gamma {\rm d}s -\frac{A_{W} L_{\gamma}}{A_{(K)}}\geq0.$$ 故定理得证.

注记1 当 $W$ 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 $\gamma=1$,可得著名的Gage 等周不等式(参见文献 ^{[2, 3, 4, 9]}). $$\int_{\partial K}{\kappa}^{2}{\rm d}s\geq \frac{\pi L}{A}.$$

定理3.3 (曲率的 Wulff 熵不等式) 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$ ,则有如下不等式成立,

证 令 $$G(t)=\int_{\partial (K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right).$$ 由(2.7),(2.8)式、性质2.1、2.2中的(2.10)、(2.11)式以及定理3.2, 可知下式成立, $$\begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}G}{{\rm d}t} &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\partial (K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{0}^{2\pi} \gamma(\gamma+\gamma'')\ln (\kappa_{W,t}){\rm d}\theta+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&-\int_{0}^{2\pi}{\kappa_{W,t}}\gamma(\gamma+\gamma''){\rm d}\theta+\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t)}}\\ &=& -\int_{\partial(K+tW)}{\kappa^{2}_{W,t}}\gamma {\rm d}s+\frac{A_{W} L_{\gamma,t}}{A_{K,t}} \end{eqnarray*}$$ 又因为 $$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}G(t) &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{\partial (K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t}) \gamma {\rm d}s+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\left[\int_{0}^{2\pi} \gamma(\gamma+\gamma'')\ln (\kappa_{W,t}){\rm d}\theta+A_{W}\ln\left(\frac{A_{K,t}}{A_{W}}\right)\right]\\ &=&\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\int_{0}^{2\pi}\gamma(\gamma+\gamma'')\ln\left(\frac{{\kappa_{W}}}{1+t{\kappa_{W}}}\sqrt{\frac{A_{K}+L_{\gamma}t+A_{W} t^{2}}{A_{W}}}\right){\rm d}\theta=0. \end{eqnarray*}$$ 因此,对于任意的 $t\geq 0$,都有 $G(t)\geq 0.$ 特别地, $G(0)\geq 0.$

注记2 当 $W$ 取中心在原点的单位圆盘时,则其支持函数 $\gamma=1$,可得曲率的熵不等式(参见文献 ^[3]) $$\int_{\partial K}\kappa \ln (\kappa){\rm d}s+\pi\ln\left(\frac{A}{\pi}\right)\geq 0.$$

由定理3.3与 Wulff 等周不等式 $L_{\gamma}^{2}-4A_{W}{A_{K}}\geq 0$ (参见文献 ^[7]),我们立即可得到

推论3.4 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$,则有如下不等式成立.

根据推论3.4,我们可得到如下定理.

定理3.5 设 $K$,$W$ 分别为平面上的有界凸集且 $W$ 是对称的. 它们的支持函数分别是 $p,\gamma$ $K$ 相对于 $W$ 的 Wulff 曲率为 $\kappa_{W}$,则有如下不等式成立.

证 令 $$H(t)=\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right).$$ 由(2.7),(2.8)式、 性质2.1,2.2中的(2.10),(2.11)式以及推论3.4, 可知下式成立, $$\begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}H}{{\rm d}t} &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right)\right]\\ &=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right)\right]\\ &=&\int_{\partial(K+tW)}\kappa_{W,t} \ln (\kappa_{W,t})\gamma {\rm d}s+2A_{W}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right) \end{eqnarray*}$$ 由于 $$\begin{eqnarray*}\kappa_{W,t}-\frac{2A_{W}}{L_{\gamma,t}}=\frac{\kappa_{W}}{1+\kappa_{W}t}-\frac{2A_{W}}{L_{\gamma}+2A_{W}t}=\frac{\kappa_{W}L_{\gamma}-2A_{W}}{(1+\kappa_{W}t)(L_{\gamma}+2A_{W}t)}, \end{eqnarray*}$$ 则当 $t\rightarrow +\infty$ 时, $\kappa_{W,t}-\frac{2A_{W}}{L_{\gamma,t}}\rightarrow 0$ 即 $\kappa_{W,t}\rightarrow \frac{2A_{W}}{L_{\gamma,t}}.$ 且 $$\begin{eqnarray*} H(t)=\int_{\partial(K+tW)}{\ln (\kappa_{W,t})}\gamma {\rm d}s+{L_{\gamma,t}}\ln\left(\frac{L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right) =\int_{\partial(K+tW)}\ln\left(\frac{\kappa_{W,t}L_{\gamma,t}}{2A_{W}}\right)\gamma {\rm d}s \end{eqnarray*}$$ 于是 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}H(t) =0.$ 因此,对于任意的 $t\geq 0$,都有 $H(t)\leq 0.$ 特别地, $H(0)\leq 0.$

注记3 当 $W$ 取中心在原点的单位圆盘时, 则其支持函数 $\gamma=1$,可得如下曲率积分不等式(参见文献^[10]) $$\int_{\partial K}{\ln (\kappa)}{\rm d}s+{L}\ln\left(\frac{L}{2\pi}\right)\leq0.$$