\qquad 我们讨论下面的非经典反应扩散方程

\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{t}-\Delta{u_t}-\Delta{u}+f(x,u)=g(x), \quad &(x,t)\in {\Bbb R}^{3}\times{\Bbb R}^{+} ,\\ u(x,t)\mid_{t=0}=u_{0},\qquad &x\in{\Bbb R}^{3} \end{array} \right. \end{equation}

(1.1)

在 ${\Bbb R}^{3}$ 上解的长时间行为,其中外力项 $g\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$,非线性项 $f$ 满足下面的条件.

假设 $f$: ${\Bbb R}^{4}\rightarrow {\Bbb R}$ 是局部有界可测函数, 并且对几乎处处 $x\in{\Bbb R}^{3}$,$f(x,\cdot)\in{\cal C}^{2} ({\Bbb R})$,并且存在 $r_{0}>0$ 和 正常数 $c_{i}~(i=1,2,3)$ 使得

(H1)~ $f(\cdot,0)\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$;

(H2)~ $\left|f'(x,0)\right|\leq c_{1}$;

(H3)~ $\left|f''(x,s)\right|\leq c_{2}(1+|s|^{3}), ~\forall s\in{\Bbb R}$;

(H4)~ $\liminf\limits_{|s|\rightarrow \infty}\frac{f(x,s)}{s}\geq 0$, $\forall |x|\leq r_{0}$;

(H5)~ $(f(x,s)-f(x,0))s\geq c_{3}s^{2}, ~\forall s\in{\Bbb R},~|x|>r_{0}$成立,其中 $f'$ 表示 $f(\cdot,\cdot)$ 关于第二个变量的偏导数. 非经典反应扩散方程在非牛顿流体力学,土壤力学及热传导领域有着 广泛的应用,见文献^{[1, 2, 3]}. 由于方程中含有 $-\triangle u_{t}$ 项, 使得它与一般的反应扩散方程有着本质的区别,传统处理反应扩散方程 的方法对非经典反应扩散方程不再适用. 近年来,问题(1.1) 在有界区域上解的渐近行为已被广泛研究,见文献^{[6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]}. 比如2007年孙春友等利用渐近先验估计方法证明了非经典反应扩散 方程在 $H^{1}_{0}(\Omega)$ ( $\Omega$ 为有界区域)上全局吸 引子的存在性,其中非线性项 $f$ 分别为临界指数增长和任意多项式增长. 在非线性项为临界增长的条件下,2008年孙春友等又得到了当外力 项属于低正则空间 $H^{-1}(\Omega)$ 时，非经典反应扩散方程在 $H^{1}_{0}(\Omega)$ 中的全局吸引子,同时证明了外力项 $g(x)$ 依赖于时间 $t$ 时,即 $g(x)$ 为 $g(x,t)$ 时一致吸引子和指数吸 引子的存在性. 2011年吴红卿等得到了当外力项属于低正则空间 $H^{-1}(\Omega)$ 时该方程弱解的渐近正则性,进而我们在文献 ^[12]中获得到了指数吸引子的存在性,顺便得到了全局吸引子的 分形维数是有限的. 本文我们将研究具有临界非线性项的问题(1.1) 在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 中全局吸引子的存在性.

相比较有界区域的情形,问题(1.1)在无界区域解的长时间行为显得更 为有趣和复杂,主要是因为以下两个原因: 1. 问题(1.1)的解不能直接获 得较初值更高的正则性,无法利用Sobolev 嵌入定理获得吸引子的紧性; 2. 即使解有正则性,但在无界区域上Sobolev 嵌入也不再是紧的. 另外,非线性项满足临界指数增长条件也为我们的研究带来了实质性的困难.

我们的主要结果是:

定理1.1 假设 $f$ 满足(H1)-(H5), $g\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$. 则问题(1.1)对应的解半群在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 中存在全局吸引子.

注记1.1 事实上,在文献^[15]中, 作者在一定条件下得到了 $(H^{2},H^{1})$ -全局吸引子,而我们得到的是 $(H^{1},H^{1})$ -全局吸引子，所以在一定程度上改进了文献^[15]的结果.

注记1.2 $(H^{2},H^{1})$ -全局吸引子和 $(H^{1},H^{1})$ -全局吸引子为双空间吸引子,有关双空间吸引子的概念, 读者可参见文献^[17].

全文安排如下: 第二节是文章的预备工作, 回顾了一些将要用到的概念和结论; 在第三节, 我们证明了相应解半群的渐近紧性和本文的主要结论.

为了方便,我们记 Hilbert 空间 $H=L^{2}({\Bbb R}^{3}), V=H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 和 $V^{-1}=H^{-1}({\Bbb R}^{3})$. 用 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 和 $\|\cdot\|$ 分别表示 $H$ 中的内积和范数. 对于空间 $V$,定义范数为 $\|u\|_{V}=\|u\|+\|\nabla u\|$. 文中用 $C$ 表示任意的正常数.

首先,我们需要如下两个引理:

引理2.1^[14] (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式) \quad 设 $1\leq p<N$ ,那么存在依赖于 $p$ 和 $N$ 的正常数 $C$, 使得 $$ \|u\|_{L^{\frac{Np}{N-p}}({\Bbb R}^{N})}\leq C\|Du\|_{L^{p}({\Bbb R}^{N})},~~~\forall u\in {\cal C}^{1}_{c}({\Bbb R}^{N}). $$ 特别的,在 ${\Bbb R}^{3}$ 中我们有 $$\|u\|_{L^{6}({\Bbb R}^{3})}\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}({\Bbb R}^{3})},~~~\forall u\in H^{1}({\Bbb R}^{3}).$$

引理2.2^[5] (Gronwall -型引理) 设 $\Phi:~V\rightarrow {\Bbb R}$ 是一个连续函数, 并且满足下面微分不等式 $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Phi(u(t))+\delta\|u(t)\|^{2}\leq k,$$ 其中 $\delta,k>0$,$u\in{\cal C}({\Bbb R}^{+},V)$; 若 $$\sup\limits_{t\in{\Bbb R}^{+}}\Phi(u(t))\geq -m\quad \mbox{和\Phi(u(0))\leq M,$$ 其中 $m,M\geq0$. 则 $$\Phi(u(t))\leq \sup\limits_{\zeta\in V}\left\{\Phi(\zeta): \delta\|\zeta\|_{V}^{2}\leq 2k\right\},~~\forall t\geq\frac{m+M}{k}.$$

我们还要用到下面关于非线性项的估计不等式.

对于 $u\in V$,记 $${\mathfrak F}(u)=\int_{{\Bbb R}^{3}}\int_{0}^{u(x)}f(x,y){\rm d}y{\rm d}x.$$

引理2.3 若 $f$ 满足(H1)-(H5). 则对任意 $\nu>0$,存在 $\rho(\nu)\geq0$ 有

\begin{equation} {\mathfrak F}(u)\geq -\nu\|u\|^{2}-\rho(\nu),~~~\forall u\in V. \end{equation}

(2.1)

并且存在 $\alpha>0$ 和 $\beta\geq0$ 使得

\begin{equation} \langle f(x,u),u\rangle\geq \alpha\|u\|^{2}-\frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2}-\beta,~~~\forall u\in V. \end{equation}

(2.2)

进一步,若 $f$ 满足下面额外条件(H6) $$f(x,s)s\geq c_{4}s^{2},~~~~\forall s\in {\Bbb R},~ {\rm a.e.} ~x\in{\Bbb R}^{3} $$ 对某些 $c_{4}>0$ 成立. 则存在正常数 $C$ 使得

\begin{equation} {\mathfrak F}(u)\geq -C\|u\|^{2},~~~\forall u\in V. \end{equation}

(2.3)

\begin{eqnarray} \langle f(x,u),u\rangle\geq\alpha\|u\|^{2}-\frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2},~~~\forall u\in V. \end{eqnarray}

(2.4)

证 对于估计式 $(2.1)$ 和 $(2.2)$,类似于 文献^[5] 中的证明.

在(H6)的假设下,我们有 \begin{eqnarray*} {\mathfrak F}(u)\geq-\int_{{\Bbb R}^{3}}\int_{0}^{u(x)}|f(x,y)|{\rm d}y{\rm d}x \geq-c_{4}\int_{{\Bbb R}^{3}}\int^{u(x)}_{0}|y|{\rm d}y{\rm d}x\geq -C\|u\|^{2},~~~\forall u\in V. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &&\langle f(x,u),u\rangle\geq c_{4}\int_{{\Bbb R}^{3}}|u|^{2}{\rm d}x\geq c_{4}\int_{|x|>r_{0}}|u|^{2}{\rm d}x\geq\alpha\|u\|^{2}-\frac{1}{2}\|\nabla u\|^{2},~~~\forall u\in V. \end{eqnarray*} 即得到不等式 $(2.3)$ 和 $(2.4)$.

最后,为了证得全局吸引子的存在性,我们需要下面的定义和抽象结论.

定义2.1^[16]\quad 设 $A$ 是度量空间 $X$ 的有界子集, 用 $\alpha(A)$ 表示集合 $A$ 的Kuratoskii 非紧性测度,定义 $$\alpha(A)=\inf\{\gamma>0|A\mbox{ 存在直径小于等于 $\gamma$ 的有限覆盖}\}. $$

显然,$\alpha(A)=0$ 当且仅当 $\overline{A}$ ($A$ 的闭包)是紧集.

引理2.4^[4] 假设 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 是定义在Hilbert 空间 $V$ 上的连续半群且满足

(i)~ 存在不变的,连通的,有界吸收集 ${\Bbb B}_{0}\in V$;

(ii)~ 存在序列 $t_{j}\geq0$ 使得 $\lim\limits_{j\rightarrow\infty}\alpha(S(t_{j}){\Bbb B}_{0})=0$. \\ 则 ${\Bbb B}_{0}$ 的 $\omega$ -极限集,即 $\omega({\Bbb B}_{0})=\bigcap\limits_{t\geq0}\overline{\bigcup\limits_{s\geq t}S(s){\Bbb B}_{0}}^{V}$ 是半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$ 的紧的全局吸引子,并且全局吸引子是连通的.

利用 Galerkin 方法,可以得到问题(1.1)在有界区域上存在唯一的弱解, 为了得到全空间 ${\Bbb R}^{3}$ 上的弱解,根据文献^[13]中的方法, 可以用一列半径趋于 $\infty$ 的有界球来逼近整个空间, 从而得到 ${\Bbb R}^{3}$ 上的弱解. 这里我们只给出适定性结论, 有兴趣的读者请参见文献^[13].

引理3.1 假设 $f$ 满足(H1)-(H5), $g\in L^{2}({\Bbb R}^{3})$. 则对任意的 $T>0$ 和 $u_0\in H^{1}({\Bbb R}^3)$,问题 $(1.1)$ 存在唯一的弱解 $$u(t)\in {\cal C}^1(0,T;H^{1}({\Bbb R}^3))\cap L^\infty(0,T;H^{1}({\Bbb R}^3)),$$ $$u_{t}(t)\in L^{2}(0,T;H^{1}({\Bbb R}^3)).$$ 并且,$u(t)$ 连续依赖于 $V$ 中的初值.

从引理3.1,我们可以建立问题(1.1)在 $H^{1}({\Bbb R}^{N})$ 中的连续半群 $\{S(t)\}_{t\geq0}$,即 $$u(t)=S(t)u_{0}:~{\Bbb R}^{+}\times H^{1}({\Bbb R}^{3}) \rightarrow H^{1}({\Bbb R}^{3}),$$

引理3.2 在引理3.1的条件下, 存在常数 $R>0$,$t_{0}=t_{0}(R)\geq0$ 使得当 $\|u_{0}\|_{V}\leq R$ 时,对某些 $C_{0}=C_{0}(R)\geq0$ 有 $$\|S(t)u_{0}\|_{V}\leq C_{0},~~~~\forall t\geq t_{0},$$ $$\|S(t)u_{0}\|_{V}\leq C_{0},~~~~\forall t\in[0,t_{0}].$$ 证 取 $R\geq0$,$u_{0}\in V$ 使得 $\|u_{0}\|_{V}\leq R$.

用 $u_{t}+\theta u$ ($0\leq\theta\ll 1$ 待定)与 $(1.1)$ 式 在 $L^{2}({\Bbb R}^{3})$ 中作内积,我们有

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Phi(t)+2\|u_{t}\|^{2}+2\|\nabla u_{t}\|^{2}+2\theta\|\nabla u\|^{2}=-2\theta\langle f(x,u),u\rangle+2\langle g(x),u_{t}+\theta u\rangle, \end{equation}

(3.1)

其中 $\Phi(t)=\Phi(u(t))=(1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+2{\mathfrak F}(u)$.

利用式 $(2.1)$ (取 $\nu=\frac{\theta}{4}$) 和 条件(H1)-(H3), 存在正常数 $K_{i}=K_{i}(\theta)~ (i=1,2,3)$ 和 $K$,使得

\begin{eqnarray} \Phi(t)&=&(1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+2{\mathfrak F}(u)\nonumber\\ &\geq &(1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+2 \bigg(-\frac{\theta}{4}\|u\|^{2}-\rho(\frac{\theta}{4})\bigg)\nonumber\\ &\geq& K_{2}\|u\|^{2}_{V}-K_{1}, \end{eqnarray}

(3.2)

其中 $K_{1}=2\rho(\frac{\theta}{4}), K_{2}=\min\{1+\theta,\frac{\theta}{2}\}=\frac{\theta}{2}$.

利用引理2.1,$\|u\|_{L^{3}({\Bbb R}^{3})}\leq C\|\nabla u\|^{\frac{1}{2}}_{H}\|u\|^{\frac{1}{2}}_{H}$,我们有

\begin{eqnarray} \Phi(t)&=&(1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+2{\mathfrak F}(u)\nonumber\\ &\leq &(1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+2c_{2}\int_{{\Bbb R}^{3}}(|u|^{3}+|u|^{6}){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& (1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+2C^{3}c_{2}(\|u\|^{\frac{3}{2}}\|\nabla u\|^{\frac{3}{2}}+\|\nabla u\|^{6})\nonumber\\ &\leq &(1+\theta)\|\nabla u\|^{2}+\theta\|u\|^{2}+C(\|u\|^{2}+\|\nabla u\|^{6})\nonumber\\ &\leq &K_{3}\|u\|^{2}_{V}+K_{4}\|u\|^{6}_{V}, \end{eqnarray}

(3.3)

其中 $K_{3}=\max\{1+\theta,\theta+\frac{3}{2}c_{2}C^{3}\}, K=\{(\frac{1}{2}C^{2}+2)c_{2}C\}$.

利用式 $(2.2)$,得

\begin{equation} -2\theta\langle f(x,u),u\rangle\leq -2\alpha\theta\|u\|^{2} +\theta\|\nabla u\|^{2}+2\beta\theta, \end{equation}

(3.4)

运用H\"{o}lder不等式和Young不等式,有

\begin{equation} 2\langle g(x),u+\theta u_{t}\rangle\leq 2\theta^{2}\|u_{t}\|^{2} +\alpha\theta\|u\|^{2}+\bigg(\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha\theta}\bigg)\|g\|^{2}. \end{equation}

(3.5)

将式(3.4)-(3.5)代入式$(3.1)$,我们可以得到

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Phi(t)+\theta\|\nabla u\|^{2} +\alpha\theta\|u\|^{2}+2(1-\theta^{2})\|u_{t}\|^{2} +2\|\nabla u_{t}\|^{2}\leq \bigg(\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha\theta}\bigg)\|g\|^{2}+2\beta\theta. \end{equation}

(3.6)

此时,取充分小的 $\theta$ ($>0$) 使得 $\delta=\{\theta,\alpha\theta,2(1-\theta^{2}),2\}>0$,并令

\begin{equation} k=\bigg(\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha\theta}\bigg)\|g\|^{2}+2\beta\theta+\omega^{2}, \end{equation}

(3.7)

其中 $\omega\in (0,1)$ 使得 $k>0$.

则 $(3.6)$ 式变为

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Phi(u(t))+\delta\|u(t)\|^{2}_{V}+\delta\|u_{t}\|_{V}^{2}\leq k. \end{equation}

(3.8)

另一方面由 式$(3.2)$,可得 $$\sup\limits_{t\in{\Bbb R}^{+}}\Phi(u(t))\geq -K_{1}.$$ 又因为 $\|u_{0}\|_{V}\leq R$,由 $(3.3)$ 式知,存在 $M\geq0$ 有 $$\Phi(u(0))\leq M.$$ 现在运用引理2.2,得到 $$\Phi(u(t))\leq \sup\limits_{\zeta\in V}\left\{\Phi(\zeta):\delta\|\zeta\|_{V}^{2}\leq 2k\right\},~~\forall t\geq t_{0}=\frac{K_{1}+M}{k}.$$ 再次利用 $(3.2)$ 和 $(3.3)$式 可得

\begin{equation} \|u(t)\|_{V}\leq R_{0},~~\forall t\geq t_{0}, \end{equation}

(3.9)

其中 $R_{0}=\frac{\left(K_{1}+K_{3}\frac{2k}{\delta}+K(\frac{2k}{\delta})^{3}\right)^{1/2}}{\sqrt{K_{2}}}$.\\ 因此,本引理的第一个结论得证.

利用式(3.2)-(3.3) 对 $(3.8)$ 式在 $(0,t_{0})$ 上积分, 可证得本引理的第二个结论.

从引理3.2的证明过程中可以看到: 对于 $V$ 中的有界集 $B$ (即存在 $R>0$,使得对任意 $u\in B$ 有 $\|u\|_{V}\leq R$), 只要初值 $u_{0}\in B$ (即 $\|u_{0}\|\leq R$),则存在 $R_{0}=\frac{\left(K_{1}+K_{3}\frac{2k}{\delta} +K(\frac{2k}{\delta})^{3}\right)^{1/2}}{\sqrt{K_{2}}}$, $t_{0}=\frac{K_{1}+M}{k}$,对 $\forall t\geq t_{0}$ 有 $$\|u(t)\|_{V}=\|S(t)u_{0}\|_{V}\leq R_{0},$$ 其中 $K_{i}(1,2,3),K,k,M,\delta$ 都已在该证明中给出.

故可得到下面的有界吸收集的结论:

推论3.1 集合 $${\Bbb B}_{0}=\bigcup_{t\geq0}S(t){\Bbb B}_{R_{0}}, $$ 其中 ${\Bbb B}_{R_{0}}$ 表示 $V$ 中以 $0$ 为中心以 $R_{0}$ 为半径的球,是 $S(t)$ 在 $V$ 中的正不变的有界吸收集, 即 $S(t){\Bbb B}_{0}\subset{\Bbb B}_{0}$ 对任意的 $t\geq0$ 都成立,并且对任意的有界集 $B\subset V$,存在 $t_{0}=t_{0}(\|B\|_{V})\geq0$ 使得对每一$t\geq t_{0}$ 有 $S(t){\Bbb B}\subset{\Bbb B}_{0}$.

引理3.3 在引理3.1的条件下,给定任意 $R\geq0$, 则存在 $\Lambda_{0}=\Lambda_{0}(R)$ 使得,当 $\|u_{0}\|_{V}\leq R$,问题(1.1)的解 $u(t)=S(t)u_{0}$ 成立

\begin{equation} \int_{0}^{t}\|u_{t}(y)\|_{V}^{2}{\rm d}y=\int_{0}^{t}(\|\nabla u_{t}(y)\|^{2}+\|u_{t}(y)\|^{2}){\rm d}y\leq \Lambda_{0},~~\forall t\geq0. \end{equation}

(3.10)

证 令 $(3.1)$ 式中的 $\theta=0$,则有

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Phi(t)+2(\|u_{t}\|^{2}+\|\nabla u_{t}\|^{2})=0, \end{equation}

(3.11)

其中 $$\Phi(t)=\Phi(u(t))=\|\nabla u\|^{2}+2{\mathfrak F}(u)+2\langle g,u\rangle.$$ 类似于引理3.1中的讨论,我们有

\begin{equation} \Phi(t)\geq\|\nabla u\|^{2}+2{\mathfrak F}(u)-2|\langle g,u\rangle| \geq\|\nabla u\|^{2}-2\|u\|^{2}-\rho(\frac{1}{2})-\|g\|^{2} \end{equation}

(3.12)

和

\begin{equation} \Phi(t)\leq C\|\nabla u\|_{V}^{2}+\|u\|_{V}^{6}+\|g\|^{2}, \end{equation}

(3.13)

运用(3.12)和(3.13)式,对(3.11)式从 $(0,t)$ 积分, 本引理得证.

引理3.4 若 $f$ 满足条件(H6),则存在常数 $C>0$ 使得对每一 $\omega\in(0,1)$ 和 $\|u_{0}\|_{V}\leq R$,有

\begin{equation} \|S(t)u(0)\|_{V}^{2}\leq C(\omega^{2}+\|g\|^{2}+\|g\|^{6}),~~\forall t\geq t_{0} \end{equation}

(3.14)

成立,其中 $t_{0}=t_{0}(R,\omega,\|g\|)\geq0$.

证 在(H6) 的条件下,重复引理3.1的证明并且运用式 $(2.3)$,我们可得到 $(3.2)$ 式并且其中的 $K_{1}=0$. 因此, 由 $(3.9)$ 式可得

\begin{equation} \|u(t)\|^{2}_{V}\leq R_{0}^{2}=\frac{\left(K_{3}\frac{2k}{\delta}+K_{4}(\frac{2k}{\delta})^{3}\right)}{K_{2}},~~\forall t\geq t_{0}, \end{equation}

(3.15)

其中 $k=(\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha\theta})\|g\|^{2}+\omega^{2}$,$\omega\in(0,1)$. 从而本引理得证.

类似于文献 $^[5]$,对任意的 $r\geq r_{0}$,我们引入两个光滑函数 $\varphi^{r}_{i}(\cdot): {\Bbb R}^{3}\rightarrow {\Bbb R}^{+},~i=1,2$,使得 $$\varphi^{r}_{1}(x)+\varphi^{r}_{2}(x)=1,\qquad \forall x\in{\Bbb R}^{3} $$ 和 $$\varphi^{r}_{1}(x)=0,\qquad ~|x|\leq r,$$ $$\varphi^{r}_{2}(x)=0,\qquad ~|x|\geq r+1$$ 成立.

因为 $f(x,s)$ 是连续的,所以存在 $\nu_{r}>0$ 使得当 $|s|\leq1,~|z|\leq\nu_{r}$,$|x|\leq r_{0}+1$ 时,有 $$|f(x,s)||z|\leq \left(\frac{3}{8\pi(r+1)^{3}}\right)\frac{1}{r} $$ 成立,这里不妨设 $\nu_{r}\leq1$. 此外,由(H4) 可得, 存在 $M_{r}>0$ 使得当 $|s|\geq\nu_{r}$ 时, 对每一 $|x|\leq r_{0}$ 成立 $$\frac{f(x,s)}{s}\geq-M_{r}.$$

因此,结合(H5)我们将 $-f(x,s)+g(x)$ 分解为 $$-f_{1}(x,s)-f_{2}(x,s)+g_{1}(x)+g_{2}(x),$$ 其中 $$f_{1}(x,s)=(f(x,s)-f(x,0))\varphi^{r}_{1}(x)+(c_{3}s+f(x,s)-f(x,0)+M_{r}s)\varphi^{r}_{2}(x),$$ $$f_{2}(x,s)=-(c_{3}s+M_{r}s)\varphi^{r}_{2}(x),$$ $$g_{i}(x)=(-f(x,0)+g(x))\varphi^{r}_{i}(x),\qquad i=1,2.$$ 明显地,$f_{1}(\cdot,0)\equiv0$ 且 $f_{1}$ 也满足 (H2)-(H5) (常数可以被重新定义),并且对任意的 $s\in{\Bbb R}$ 和几乎处处的 $x\in{\Bbb R}^{3}$,有

\begin{equation} f_{1}(x,s)s\geq c_{4}s^{2}, \end{equation}

(3.16)

其中 $c_{4}>0$. 并且 $f_{2},g_{1},g_{2}$ 有如下性质 $$f_{2}(x,s)=0,~~g_{2}(x)=0,~~\forall s\in {\Bbb R},~|x|\geq r+1,$$ $$\|g_{1}\|\rightarrow 0,~~~~~r\rightarrow\infty.$$ 所以,我们分解带有初值 $u_{0}\in {\Bbb B}_{0}$ 的问题(1.1) 的解为: $u=v^{r}+w^{r}$,其中 $v^{r}$ 和 $w^{r}$ 分别是下面两问题的解,

\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} v^{r}_{t}-\Delta{v^{r}_t}-\Delta{v^{r}}+f_{1}(x,v^{r})=g_{1}(x),\\ v^{r}(x,t)\mid_{t=0}=u_{0} \end{array} \right. \end{equation}

(3.17)

和

\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} w^{r}_{t}-\Delta{w^{r}_t}-\Delta{w^{r}}+f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r})+f_{2}(x,u)=g_{2}(x),\\ w^{r}(x,t)\mid_{t=0}=0. \end{array} \right. \end{equation}

(3.18)

引理3.5 对于任意的 $\varepsilon>0$,存在 $t_{\varepsilon}\geq1$ (依赖于 $r$) 和 $r_{\varepsilon}\geq r_{0}$ 使得问题(3.17)的解 $v^{r}$ 满足下面估计:对任意的 $u_{0}\in{\Bbb B}_{0}$ 和 $r\geq r_{\varepsilon}$ 成立 $$\|v^{r}(t_{\varepsilon})\|_{V}\leq \frac{\varepsilon}{2}.$$ 证 利用 $f_{1}$ 的性质 $(3.16)$ 和引理3.4, 我们直接可以得到: 存在常数 $C>0$ 使得对每一个 $\omega\in(0,1)$, $$\|v^{r}(t)\|^{2}_{V}\leq C(\omega^{2}+\|g_{1}\|^{2}+\|g_{1}\|^{6}),~~~~\forall t\geq t_{0},$$ 其中 $t_{0}=t_{0}(\omega,\|g_{1}\|)\geq0$.

结合 $g_{1}$ 的性质,对于任意的 $\varepsilon>0$, 取充分小的 $\omega(\in(0,1))$,则存在 $t_{\varepsilon} \geq t_{0}\geq1$ 和 $r_{\varepsilon}\geq r_{0}$,当 $r\geq r_{\varepsilon}$ 有 $\|v^{r}(t_{\varepsilon})\|_{V} \leq \frac{\varepsilon}{2}$,所以本引理得证.

这样,固定 $\varepsilon>0$,在以上引理中选取合适的 $r\geq r_{\varepsilon}>r_{0}$ 和 $t_{\varepsilon}>0$. 很容易得到

\begin{equation} \sup\limits_{t\in[0,t_{\varepsilon}]}\sup\limits_{u_{0}\in{\Bbb B}_{0}}\{\|u\|_{V},\|v^{r}\|_{V},\|w^{r}\|_{V}\}< \infty. \end{equation}

(3.19)

对 $r>0$,下面记 $B_{r}=\{x\in{\Bbb R}^{3}:|x|\leq r\}$, $B^{c}_{r}={\Bbb R}^{3}\setminus B_{r}$.

引理3.6 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $r_{1}\geq r_{\varepsilon}$ 和 $r_{2}=2r_{1}+2$, 使得问题(3.18)在时刻 $t_{\varepsilon}$ 和相应 $r_{1}$ 的解 $w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})$ 满足下面估计 $$\|w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{V_{B^{c}_{r_{2}}}}\leq \frac{\varepsilon}{2},$$ 其中 $u_{0}\in{\Bbb B}_{0}$,$t_{\varepsilon}$ 在引理3.5中已经给出.

证 对于给定的 $r_{1}\geq r_{\varepsilon}$, 定义 $\phi(x):{\Bbb R}^{3}\rightarrow ^{[0, 1]}$ 为

\begin{equation}\phi(x)= \left\{\begin{array}{ll} 0,~~~~~~~~~&|x|<r_{1}+1,\\ \frac{1}{r_{1}+1}(|x|-r_{1}-1),~~~&r_{1}+1\leq|x|\leq2r_{1}+2,\\ 1,~~~~~~~~~&|x|>2r_{1}+2, \end{array} \right. \end{equation}

(3.20)

则我们有

$$|\nabla \phi(x)|\leq \frac{1}{r_{1}+1},~~ |\nabla \phi^{2}(x)|\leq \frac{2}{r_{1}+1}\phi(x),~~ \Delta\phi(x)\equiv0. $$

用 $2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}$ 作用方程 (3.18) 得

\begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2}+\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\nabla w_{t}^{r_{1}}{\rm d}x\nonumber\\ &&+\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\nabla w^{r_{1}}{\rm d}x+\langle f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}}),2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle\nonumber\\ &=&\langle -f_{2}(x,u)+g_{2},2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle. \end{eqnarray}

(3.21)

由引理3.2及其推论3.1,并利用H\"{o}lder不等式和Young不等式,可得

\begin{eqnarray} \left|\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\nabla w_{t}^{r_{1}}{\rm d}x\right| &\leq&\frac{4}{r_{1}+1}\int_{|x|\geq2r_{1}+2}|w^{r_{1}}||\nabla w_{t}^{r_{1}}|{\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\frac{2C}{r_{1}+1}+\frac{2}{r_{1}+1}\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2}. \end{eqnarray}

(3.22)

\begin{eqnarray} \left|\frac{4}{r_{1}+1}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\nabla w^{r_{1}}{\rm d}x\right|\leq\frac{2C}{r_{1}+1}. \end{eqnarray}

(3.23)

类似地,由引理2.1和引理3.5 可得

\begin{eqnarray} &&\left|\langle f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}}),2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle\right|\nonumber\\ &\leq& 2c_{2}\int_{{\Bbb R}^{3}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})\phi^{2}(x)|w^{r_{1}}|^{2}{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& 2c_{2}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})^{\frac{3}{2}}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{3}}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{6}(x)|w^{r_{1}}|^{6}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{3}}\nonumber\\ &\leq& 2c_{2}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})^{\frac{3}{2}}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{3}}\left(\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|w^{r_{1}}|^{6}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{3}}\nonumber\\ &\leq &2c_{2}(1+||\nabla u||^{4}+||\nabla v^{r_{1}}||^{4}){\rm d}x\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2}{\rm d}x\nonumber\\ &\leq &2c_{2}(1+C+\frac{\varepsilon}{2})\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2}{\rm d}x,~~\forall~t\geq t_{\varepsilon}. \end{eqnarray}

(3.24)

再利用 $f_{2}$ 和 $g_{2}$ 的性质可知

\begin{eqnarray} \langle -f_{2}(x,u)+g_{2},2\phi^{2}(x)w^{r_{1}}\rangle=0. \end{eqnarray}

(3.25)

结合以上不等式,我们有

\begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)|\nabla w^{r_{1}}|^{2} {\rm d}x\nonumber\\ &\leq &2c_{2}\bigg(1+C+\frac{\varepsilon}{2}\bigg)\int_{{\Bbb R}^{3}} \phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x+\frac{4C}{r_{1}+1}+\frac{2}{r_{1}+1}\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2}. \end{eqnarray}

(3.26)

最后应用 Gronwall -型引理于 $[0,t_{\varepsilon}]$, 根据引理3.3和 $w^{r_{1}}(0)=0$,可得到

\begin{eqnarray} &&\int_{V^{c}_{B_{r_{2}}}}(|w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})|^{2}){\rm d}x\leq\int_{{\Bbb R}^{3}}\phi^{2}(x)(|w^{r_{1}}|^{2}+|\nabla w^{r_{1}}|^{2}){\rm d}x\nonumber\\ &\leq& e^{2c_{2} (1+C+\frac{\varepsilon}{2})t_{\varepsilon}} \bigg(\frac{4C}{r_{1}+1}t_{\varepsilon}+\frac{2}{r_{1}+1} \int^{t_{\varepsilon}}_{0}\|\nabla w_{t}^{r_{1}}(y)\|^{2}{\rm d}y\bigg)\nonumber\\ &\leq &e^{2c_{2} (1+C+\frac{\varepsilon}{2} )t_{\varepsilon}} \bigg(\frac{4C}{r_{1}+1}t_{\varepsilon}+\frac{2}{r_{1}+1}\Lambda_{0} \bigg):=\frac{C}{r_{1}+1}. \end{eqnarray}

(3.27)

此时,选取 $r_{1}$ 充分大使得 $\sqrt{\frac{C}{r_{1}+1}}\leq\frac{\varepsilon}{2}$, 由此可得 $$\|w^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{V_{B^{c}_{r_{2}}}}\leq \frac{\varepsilon}{2}.$$ 证毕.

为了得到动力系统 $S(t)$ 必要的紧性,我们作如下定义:

设$B\subset{\Bbb R}^{3}$ 是具有光滑边界的有界区域. 定义 $L^{2}(B)$ 上的算子 $A$ 为 $$A=-\Delta,$$ 定义域为 $$D(A)=H^{2}(B)\cap H_{0}^{1}(B).$$

考虑一族Hirblet空间 $D(A^{s/2}),s\in{\Bbb R}$, 它们的内积和范数分别为 $$\langle\cdot,\cdot\rangle_{D(A^{s/2})}= \langle A^{s/2}\cdot,A^{s/2}\cdot\rangle, \qquad\|\cdot\|_{D(A^{s/2})}=\|A^{s/2}\cdot\|.$$ 特别地,$\langle\cdot,\cdot\rangle$ 和 $\|\cdot\|$ 分别表示 $L^{2}(B)$ 空间的内积和范数. 则我们有 $$D(A^{s/2})\hookrightarrow D(A^{r/2}),\qquad \forall s>r.$$

为了方便起见,记: 对任意的 $0\leq s\leq1,$ $${\cal H}^{s}=D(A^{(1+s)/2}),$$ 所以 ${\cal H}^{-1}=L^{2}(B),{\cal H}^{0}=V(B), {\cal H}^{1}=H^{2}(B)\cap H_{0}^{1}(B)$.

引理3.7 对任意的 $\varepsilon>0$,固定 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ (在引理3.6中给出),存在常数 $K_{\varepsilon,r_{2}}$ 使得 $$\|\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}\leq K_{\varepsilon,r_{2}},$$ 对每一个 $u_{0}\in{\Bbb B}_{0}$ 都成立, 其中 $\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})=(1-\phi(x))w^{r_{1}} (t_{\varepsilon})$,$t_{\varepsilon}$ 在引理3.5中已经给出.

证 定义 $\tilde{w}^{r_{1}}(t)=(1-\phi(x)) w^{r_{1}}(t)$,注意到当 $|x|\geq 2r_{1}+2=r_{2}$ 时, $\tilde{w}^{r_{1}}\equiv0$,所以 $w^{r_{1}}$ 被限制在 $B_{r_{2}}$ 上,并且对任意的 $t>0$,$w^{r_{1}}(t)\in H^{1}_{0} (B_{r_{2}})$. 而 $$A\tilde{w}^{r_{1}}=-\Delta[(1-\phi(x))w^{r_{1}}]=-(\Delta(1-\phi(x)))w^{r_{1}}-2\nabla(1-\phi(x))\nabla w^{r_{1}}-(1-\phi(x))\Delta w^{r_{1}},$$ $$A\tilde{w}_{t}^{r_{1}}=-\Delta[(1-\phi(x))w_{t}^{r_{1}}]=-(\Delta(1-\phi(x)))w_{t}^{r_{1}}-2\nabla(1-\phi(x))\nabla w_{t}^{r_{1}}-(1-\phi(x))\Delta w_{t}^{r_{1}}.$$ 又因为 $\Delta\phi(x)\equiv0$,从而有 $$-(1-\phi(x))\Delta w^{r_{1}}=A\tilde{w}^{r_{1}}+2\nabla(1-\phi(x))\nabla w^{r_{1}},$$ $$-(1-\phi(x))\Delta w_{t}^{r_{1}}=A\tilde{w}_{t}^{r_{1}}+2\nabla(1-\phi(x))\nabla w_{t}^{r_{1}}.$$

因此,对 $(3.18)$ 式两边同乘 $1-\phi(x)$,可得

\begin{eqnarray} &&\tilde{w}_{t}^{r_{1}}+A\tilde{w}_{t}^{r_{1}}+A\tilde{w}^{r_{1}}+(1-\phi(x)[f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}})]\nonumber\\ &=&-(1-\phi(x))f_{2}(x,u)+(1-\phi(x))g_{2}-2\nabla\phi(x)(\nabla w^{r_{1}}+\nabla w_{t}^{r_{1}}), \end{eqnarray}

(3.28)

其中(初值) $\tilde{w}^{r_{1}}(0)=0$.

用 $A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}$ 作用于 $(3.28)$式,可得

\begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2})+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}\nonumber\\ &=&-\langle(1-\phi(x))(f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r})),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle-\langle(1-\phi(x))f_{2}(x,u),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\nonumber\\ &&+\langle(1-\phi(x))g_{2}(x,u),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle-\langle2\nabla\phi(x)(\nabla w^{r_{1}}+\nabla w_{t}^{r_{1}}),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle. \end{eqnarray}

(3.29)

因此根据条件 (H2)-(H3) 和式 $(3.19)$, 利用Holder不等式和连续嵌入 $D(A^{\frac{5}{8}})\hookrightarrow L^{12}(B_{r_{2}})$ ,$D(A^{\frac{3}{8}})\hookrightarrow L^{4}(B_{r_{2}})$,应用引理2.1,可得到

\begin{eqnarray} &&\left|-\langle(1-\phi(x))(f_{1}(x,u)-f_{1}(x,v^{r_{1}})),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\right|\nonumber\\ &\leq& c_{2}\int_{B_{r_{2}}}(1+|u|^{4}+|v^{r_{1}}|^{4})|(1-\phi(x))w^{r_{1}}||A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}|{\rm d}x\nonumber\\ &\leq& c_{2}(1+\|u\|_{L^{6}}^{4}+\|v^{r_{1}}\|_{L^{6}}^{4})\|\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{12}(B_{r_{2}})}\|A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{4}(B_{r_{2}})}\nonumber\\ &\leq &c_{2}(1+\|\nabla u\|^{4}+\|\nabla v^{r_{1}}\|^{4})\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}\nonumber\\ &\leq& C\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}+\frac{1}{4}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}; \end{eqnarray}

(3.30)

利用嵌入 $L^{2}(B_{r_{2}})\hookrightarrow L^{\frac{4}{3}} (B_{r_{2}})$,得

\begin{eqnarray} &&-\langle2\nabla\phi(x)(\nabla w^{r_{1}}+\nabla w_{t}^{r_{1}}),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\nonumber\\ &\leq& \frac{2}{r_{1}+1}(\|\nabla {w}^{r_{1}}\|_{L^{\frac{4}{3}}(B_{r_{2}})}+\|\nabla {w}_{t}^{r_{1}}\|_{L^{\frac{4}{3}}(B_{r_{2}})})\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}\nonumber\\ &\leq& C(1+\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2})+\frac{1}{4}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}. \end{eqnarray}

(3.31)

类似地,我们利用 $f_{2},g_{2}$ 的定义,$\phi(x)$ 的性质和 (H1),有

\begin{equation} \left|-\langle(1-\phi(x))f_{2}(x,u),A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\right|\leq C+\frac{1}{4}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}, \end{equation}

(3.32)

\begin{equation} \left|-\langle(1-\phi(x))g_{2},A^{\frac{1}{4}}\tilde{w}^{r_{1}}\rangle\right|\leq C+\frac{1}{4}\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|^{2}_{L^{2}(B_{r_{2}})}. \end{equation}

(3.33)

将估计式(3.30)-(3.33) 代入 $(3.29)$式,得到

\begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}) \leq C\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+C(1+\|\nabla w_{t}^{r_{1}}\|^{2}). \end{equation}

(3.34)

取引理3.5中的 $t_{\varepsilon}>0$,利用 $(3.10)$ 式 (用 $w^{r_{1}}$ 替代 $u$),运用Gronwall -型引理于 $[0,t_{\varepsilon}]$, 注意到 $\tilde{w}^{r_{1}}(0)=0$,我们得到

\begin{equation} \|A^{\frac{1}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2}+\|A^{\frac{5}{8}}\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{L^{2}(B_{r_{2}})}^{2} \leq Ce^{Ct_{\varepsilon}}(1+t_{\varepsilon}+\Lambda_{0}), \end{equation}

(3.35)

因此,存在 $K_{\varepsilon,r_{2}}$ 使得 $$\|\tilde{w}^{r_{1}}(t_{\varepsilon})\|_{{\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}})}\leq K_{\varepsilon,r_{2}},$$ 对每一个 $u_{0}\in{\Bbb B}_{0}$ 成立.

定理1.1的证明 由引理3.5 和引理3.6可知, 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $t_{\varepsilon}$ 和 $r_{2}=r_{2}(\varepsilon)$ 使得 $$\|u(t_{\varepsilon})\|_{V(B^{c}_{r_{2}})}\leq \varepsilon, \qquad \forall u_{0}\in{\Bbb B}_{0}.$$ 再根据引理3.7,利用紧嵌入 ${\cal H}^{\frac{1}{4}}(B_{r_{2}}) \hookrightarrow {\cal H}^{0}(B_{r_{2}})=V(B_{r_{2}})$, 我们可以得到非紧性测度 $$\alpha(S(t_{\varepsilon}){\Bbb B}_{0})\leq \varepsilon,$$ 其中 $\alpha(S(t_{\varepsilon}){\Bbb B}_{0})$ 表示在度量空间 $V(B_{r_{2}})$ 的拓扑意义下的Kuratoskii 非紧性测度.

由引理3.5可知,当 $t_{\varepsilon}\rightarrow\infty$ 时 $\varepsilon\rightarrow 0$. 因此应用引理2.4, 即得定理1.1的结论成立.